同济大学理论力学 导学7刚体基本运动

D l3 l1 y
则沿rA的单位矢量为：
r r r r r r − i + 2 j + 2k e= A = rA 3
x
l2
r r r r ω = ω e = −2i + 4 j + 4 k r r r r r α = α (−e ) = i − 2 j − 2k r
rad/s
rad/s 2
理论力学导学 第2篇 运动学_
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第7章 刚体基本运动
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理论力学导学
第7章 刚体的基本运动
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第7章 刚体基本运动
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第7章 刚体的基本运动 目录
1.内容提要… … … … … … … … … … … … … 3 2.基本要求… … … … … … … … … … … … … 6 3.典型例题… … … … … … … … … … … … … 7 4. 补充习题 … … … … … … … … … … … … 16
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第7章 刚体基本运动
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(4)点G法向加速度的矢量表达式及其大小
aGn
z C O B r
A
ω
G E l3 l1 y
α
A
aGt D
则定轴转动刚体上一点加速度 的矢量表示为： r r r r r aG = α × rAG + ω × vG
x
r r r r r r r r r r r r aG = (i − 2 j − 2k ) × 100 ( − i + j ) + 2( − i + 2 j + 2 k ) × 100 ( −4i − 4 j + 2 k ) r r r r r r r r r r aG = 100 ( 2i + 2 j − k ) + 1200 ( 2i − j + 2 k ) = 100 ( 26 i + 10 j + 23k )
mm/s 2
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4. 补充习题
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7-1 揉茶机的揉桶由三根曲柄支持，曲柄的转动轴A，B， C与支轴A′，B′，C′恰成等边三角形，如图所示。已知曲柄均长 l=15cm，并均以匀转速n=45r/min转动。试求揉桶中心点O的速 度和加速度。
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(2)点G对点A的矢量表达式
r r r r r r l1 r l2 r rAG = ( xG − x A )i + ( yG − y A ) j + ( zG − z A ) k = − i + j = 100 ( − i + j ) 2 4 ω vG α G E z B (3)点G速度的矢量表达式及其大小
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1.内容提要 1)基本概念 本章是在绝对坐标系中观察作为刚体的物体的运动规律， 在刚体的运动规律确定后，再进一步地观察体内各点的运动规 律。 移动：即体内任一直线在运动的过程中，其方位始终保持 不变； 定轴转动：即体内或其扩展部分有一直线始终不动，刚体 绕此定轴为转轴。 2)主要公式 (1)刚体的运动描述
与ω1转向相反
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例4： 长方体绕固定轴OA转动，某瞬时的角速度ω=6rad/s，角 加速度α=3rad/s2，转向如图示。点A为长方形体矩形顶面BCDE的 中心，l1=l3=200mm，l2=400mm，EG=h=100mm。试求此瞬时：
ω
z C O B r
转动规律。
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例2： 赛车以v=150km/h速率绕半径R=100m的圆形跑道行使, 观察者站在距圆心e=50m的A处观察车的运动如图示。试求车 的运行半径OC和观察者与圆心连线AO成θ=30°时，观察者的 &。 视线AC的角速度 ϕ v 解: 由点C速度v,得到线OC对应的弧长O C,又
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解: (1)角速度ω和角加速度α的矢量表达式 题意就是将ω或α表示成i,j,k的形式，由于ω和α的方位与rA相 同，故先写出rA的矢径表达式。
ω
z C O B r
A
α
A
G
E
r r r r r l1 r l 2 r rA = − i + j + l3 k = 100 ( − i + 2 j + 2 k ) 2 2
2 2 2 2 a = 100 26 + 10 + 23 = 3613 mm/s 大小 G
l2Fra Baidu bibliotek
r r r r aG n = 1200 ( 2i − j + 2 k ) r r r r aG t = 100 ( 2i + 2 j − k )
mm/s 2
2 大小 aG n = 3600 mm/s
2 a = 300 mm/s 大小 G t
sin ϕ =
1 5−2 3
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将任意瞬时的函数关系
sin ϕ sin(ϕ − θ ) = R e
对时间t求导，注意到ϕ、θ均是变量，得：
& cos ϕ ϕ
R
& ) cos(ϕ − θ ) & −θ (ϕ = e
整理得： 式中： 代入得：
cos(ϕ − θ ) θ& e cos(ϕ − θ ) − cos ϕ R v θ& = R v cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ &= ϕ e cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ − cos ϕ R R &= ϕ
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对基本运动刚体运动的描述 图例 运动描述
r r rA = rA (t ) r r rB = rB (t )
r r r
速度方程
r r v A = vB
加速度方程
r r aA = aB
移 动
而r = r − r r AB B A 同一瞬时， 同一瞬时， A、B为体上任 rAB 的大小方向 体内各点具有 体内各点具有相 意二点，则各 均不变化 相同的速度。 同的加速度。 为常矢量 点轨迹为平行 曲线
v23
Ⅱ
ω2 v
ω1
12
解: 作为一般的求解方法，只要抓住齿轮啮合 点具有相同的速度。
v12 = ω1 r1
Ⅰ Ⅲ
ω2 =
v12 r = 1 ω1 r2 r2
ω3
v 23 = ω 2 r2 = ω1 r1
r 100 23 ω = = 1ω = 2 π = 0 .4 π 3 1 500 r r 3 3 v rad/s
r r r at = α × r r r r an = ω × v v v r = ω × (ω × r )
M
r v rθ r r r α r at ω
O
ρ C
定轴转动刚体上各点均作圆周运动,故用自然坐标描述简便。 故用自然坐标描述简便。
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2.基本要求 1) 熟悉各种刚体基本运动的运动特征和描述其运动的独 立运动参变量，能从机构中区分各种不同的刚体基本运动。 2) 正确理解“刚体”的运动量（如角度，角速度，角加 速度）与刚体上一“点”的运动量（如速度，加速度）之间 的关系。 3) 能熟练地求解刚体基本运动的各种运动量。 4) 熟悉定轴转动刚体角速度、角加速度用矢量表示；熟 悉定轴转动刚体上一点的速度、加速度用矢积表示。 5) 正确理解泊桑公式的含义。
4 − 3 150 × 10 3 / 60 2 &= ϕ = 0.615 rad/s 100 5−2 3
不是常量。
当θ=30°时,
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例3： 图示轮系由外齿轮Ⅰ、Ⅱ和内齿轮Ⅲ所组成。各轮半 径分别为r1=100mm，r2=200mm， r3=500mm。如轮Ⅰ的角 速度ω1=2π rad/s，试求轮Ⅲ的角速度ω3。
答案 (1) ω=28.63rad/s，θ=24.13rad; (2) y=0.5m，z=0.25m, v=7.158m/s, a=205.1m/s2。
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7-4 摩擦轮无级变速机构如图示。已知Ⅰ轮输入转数 n1=600r/min，r1=15cm，r2=10cm。试求：(1) 摩擦轮Ⅰ与导轮接 触点A的速度；(2) 摩擦轮Ⅱ的转速；(3) 欲使n3=150r/min，怎样 调节导轮的位置。
R O e A
θ ϕ
C
因为ϕ(t)与θ(t) 对应的弧长相等，即可求出线 AC的角ϕ(t)。 对应的弧长： s = Rθ = vt
ϕ AC = s
1
AC sin ϕ = R sin θ 几何关系： AC sin(ϕ − θ ) = e sin θ
或
sin ϕ =
当θ=30°时,
R (sin ϕ cos θ − cos ϕ sin θ ) e 3 −1 cos ϕ = cot ϕ = 3 − 1 5−2 3
α
角加速度 得 ω=
5 at 角速度方程。 4 ϕ t 5 5 2 2 ϕ = a t d t ϕ 25 d ( t ) = at = t 得 ∫0 ∫0 4 8 v2 an = = 25000 m/s 2 v t = 5 = 100 m/s r
a t = a sin θ 匀加速度转动，切向加速度为常数。 a ω t t α = t 而 ∫ d ω = ∫ α d t = ∫ at d t 0 0 0 r r
C O r
A
A
D l3 l1 y
x
l2
r r r r r r r r vG = ω × rAG = ( −2i + 4 j + 4k ) × 100 ( − i + j ) r r r = 100 ( −4i − 4 j + 2 k )
vG = 100 4 2 + 4 2 + 2 2 = 600 mm/s
A
(1)角速度ω和角加速度α的矢量表达式；
E
α
A
G
(2)点G对点A的矢量表达式； (3)点G速度的矢量表达式及其大小； (4)点G法向加速度的矢量表达式及其大 小； (5)点G切向加速度的矢量表达式及其大 小； (6)点G全加速度的矢量表达式及其大小。
D l3 l1 y
x
l2
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ω=
ϕ = ϕ (t )
定 轴 转 动 有限转角不 能用矢量表示
角速度是描 述转动的快慢 程度。 r r ω = ωk 角速度可以 用矢量表示
dϕ & =ϕ dt
α=
角加速度是描 述角速度变化的 快慢程度。 r r α = αk 角加速度可 以用矢量表示
dω & =ϕ && =ω dt
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定轴转动刚体上一点的速度、 定轴转动刚体上一点的速度、加速度 图例 速度 加速度
ω
M0 s
α
Oρ
& v = s = ρϕ = ρω
an v
v an
ω
r z
M
&& = ρα & = ρϕ a t = v 2 a = v = ρω 2 n ρ
at
r r r v =ω×r
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3.典型例题
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例1： 汽轮机叶轮作无初速的匀加速转动。轮上点M离轴心r =0.4m，在某瞬时其全加速度的大小a=40m/s2，方向与点M和 轴心连线成θ=30°，试叶轮的转动规律以及当t=5s时点M的速 度与法向加速度。 an 解: 要得到叶轮的转动规律ϕ(t)，先要获得叶 M v 轮的角加速度α、积分后得角速度方程，再积 ω θ 分即得叶轮的转动规律；叶轮上的各点均作 a 圆周运动，则
答案 t=38min。
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7-3 图示正弦状的曲杆的曲线方程为z=0.25sin(π y)，曲杆 无初速开始绕轴y旋转，角加速度α=1.5et rad/s2，l=1m，y和z以m 计，角以rad计，t以s计。试求：(1) t=3s时杆的角速度大小和角 位移；(2) 确定曲杆上具有最大速度和加速度的点位置，并计算 该点在t=3s时的速度和加速度大小。
答案 (1) vA=942.5cm/s; (2) n2=900r/min ;(3) r1′=5cm，r2′=20cm。
答案 vO=70.69cm/s，aO=333.1cm/s2。
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7-2 飞轮由静止开始作匀加速转动，在t1=10min内其转速达 到n1=120r/min，并以此转速转动时间t2后，再作匀减速转动，经 t3=6min后停止，飞轮总共转过3600转。试求其转动的总时间。