同济大学理论力学 导学7刚体基本运动
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理论力学课件07第七章-刚体的简单运动PPT课件
26n03n01n0(rad) /s
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t2
精选2பைடு நூலகம்
与点的运动相类似。
9
§7－3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
z
S R
v
dS dt
Rddt
2avr2
av 2 r2
av2
2 r3
精选
17
（例2）
升降机装置由半径R＝50cm的鼓轮带动，被升降物体M 的运动方程为x=5t2（t：时间，秒；x：高度，米），求： （1）鼓轮的角速度和角加速度； （2）任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
解： (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为：
1
4
公式，有：
3
i12
n1 n2
Z2 Z1
n1
i 34
n3 n4
Z4 Z3
两式相乘，得：
精选
25
n1n3 Z2Z4
n2n4
Z1Z3
因 n2= n3 ，所以有：
i14 n n 1 4Z Z 2 1Z Z 3 4131 6 1 3 22 2 1 8.4 2
n4in 1141 14 2 .450 117(r/min)
③
ω α
θ a3
精选
12
〔例1〕画点的速度和加速度
试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O 1 A O 2 B , O 1 O 2 A)B
ω为常数 αα
精选
13
理论力学第七章刚体的简单运动
解：1） aτ = α R = a M ⋅ sin θ a M sin θ 40 × sin 30° ∴α = = = 50 rad/s 2 0.4 R 1 Q ω 0 = 0 ,∴ ϕ = ω 0 t + α t 2 = 25 t 2 2
转动方程 = 25t 2 ϕ ∴
& Q 2） ω = ϕ = 50 t ∴ v M = Rω = 20 t = 100 m / s
逆时针为正
顺时针为负
dω d 2ϕ & = = ϕ& = f ′′(t ) (代数量) α= 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
同号，则是加速转动； 如果ω与α同号，则是加速转动； 异号，则是减速转动。 如果ω与α异号，则是减速转动。
⇒ ω 1 R1 = ω 2 R2 ⇒ ω 1 = R2 ω2 R1
齿轮传动比： 齿轮传动比： ——主动轮和从动轮的角速度的比值。 主动轮和从动轮的角速度的比值。
i 12 R2 Z2 ω1 = = = ω2 R1 Z1
14
7-4
轮系的传动比
2.外啮合 2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 当各轮规定有正向时， 取代数值， 速度ω 取代数值，传动比也 取代数值。 取代数值。
第七章 刚体的简单运动
7-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1 刚体有两种简单的运动： ）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动 一.刚体平动的定义: 刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 刚体内任一直线， 行于初始位置。 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
2理论力学---第七章刚体的简单运动
一.齿轮传动 1.外啮合
vC vD
C rC D rD
C D
rD rC
20
设C主动轮，D从动轮，
定义齿轮传动比
iCD
C D
rD rC
zD zC
iCD
C D
其中：
齿数Z 2r
t
21
2.内啮合 因为是做纯滚动(即没有相对滑动)
vF vE vF vE
F rF E rE
齿轮传动比
iEF
传动比:
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
外:“－”， 内: “+”。
25
2、多级
V
n1
itota＝l i1 i2 in
1 k 从动轮齿数(半径)乘积
主动轮齿数(半径)乘积
26
§7-5 角速度和角加速度的矢量表示
点的速度和加速度的矢量表示
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
α
a r
an v
v r
a r an v
29
三、v,a的矢积表示小结
引入 ω ωk，α k
而 v Rω r sin θ rωsin ω，r
v ωr
R
而 α r rsin θ R aτ
r
ωv ωRωsin90 Rω2 an
2
A
B
定义: 刚体上任一直线始终与初始位置平行。
1.水平曲线轨迹上行驶的火车箱是否平移? 否。
2.平移时，刚体上各点轨迹是平行直线，对吗? 不一定。可是平行曲线。
3
二.刚体平动时内部各点的轨迹、速度和加速度
rB
rA
rAB
vB
drB dt
理论力学-刚体的基本运动
教学目标知识目标：刚体的平行移动，定轴转动刚体的角速度，定轴转动刚体的角加速度，定轴转动刚体内各点的速度和加速度，皮带轮传动，齿轮传动。
能力目标：理解刚体的两种基本运动。
素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。
良好的职业道德和严谨的工作作风理论力学-刚体的基本运动〖理论学习〗7.1刚体的平行移动刚体在运动过程中，其内任一直线始终与它的最初位置保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移。
刚体平移时，若其上各点的轨迹是直线，则称为直线平移；若其上各点的轨迹是曲线，则称为曲线平移。
图7-1结论：当刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，且在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
7.2刚体绕定轴的转动在工程实际中，经常遇到齿轮、机床的主轴、发电机的转子等的运动，它们的共同特点是刚体运动时，其上或其扩展部分有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称转动，这条固定不动的直线称为刚体的转轴或轴线，简称轴。
为确定转动刚体的位置，取其转轴为z轴，正向如图7-3所示。
通过轴线z作一固定平面A，此外，通过轴线z再作一动平面B与刚体固接。
当刚体转动时，两个平面之间的夹角用φ表示，称为刚体的转角，以弧度(rad)表示。
图7-3转角φ是一个代数量，可确定刚体在某一瞬时的位置，其符号依据右手螺旋法则确定，亦可自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计量的转角为正值，反之为负值。
当刚体转动时，转角φ是时间t的单值连续函数，即φ=f(t)(7-4)式（7-4）称为刚体定轴转动的运动方程。
定轴转动刚体的位置由参变量转角φ就可唯一确定，这样的刚体具有一个自由度。
7.2.1定轴转动刚体的角速度为了描述刚体转动的快慢程度，现引入角速度的概念。
设在Δt时间内，刚体的转角由φ变化到φ+Δφ，转角的增量Δφ称为角位移。
当Δt趋近于零时，比值ΔφΔt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，以字母ω表示。
刚体的角速度ω等于转角φ对时间的一阶导数。
理论力学第7章-刚体的基本运动
之比称为传动比，并用 i12 表示，则
i12
1 2
n1 n2
1 2
r2 r1
z2 z1
（7-14）
7.4 转动刚体内点的速度和加速度的矢积表示
7.4.1 角速度和角加速度矢量 绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示，角速
度矢 的大小等于角速度的绝对值，即
d
dt
（7-15）
z
角速度矢 沿转轴，它的指向表示
例7-2 一半径为R = 0.2 m圆轮绕O轴作定轴转动，
其转动方程为 t 2 4t
（1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。
解：圆轮在任一瞬时的角速
度和角加速度为
d 2t 4 rad / s
O i
j y
k k 0， k j i，
di 0， dj 0，
dt
dt
点 M 的矢径为r可表示成
ki j
dk 0 dt
r r sin cos i r sin sin j r cos k
点 M 的速度为
v dr r sin sin d i r sin cos d j
dt
dt
dt
按右手螺旋法则确定，或从z 轴的正向向负向
看，从定平面起按逆时针转向量得的角 取正；反
之，取负。
z
P0
M0 r
O1
MPO源自M0 rO anS a
M
（+）
a v
f (t)
（7-4）
刚体的转动方程（Equation of rotation）。
刚体上平行于转轴的任一直线均为平动， 其上各点的运动特征量相同，因此刚体的定轴转 动可以简化为垂直于转轴的平面图形在自身平面 内绕固定点的转动，定点O是转轴上一点，称为 转动中心。
i12
1 2
n1 n2
1 2
r2 r1
z2 z1
（7-14）
7.4 转动刚体内点的速度和加速度的矢积表示
7.4.1 角速度和角加速度矢量 绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示，角速
度矢 的大小等于角速度的绝对值，即
d
dt
（7-15）
z
角速度矢 沿转轴，它的指向表示
例7-2 一半径为R = 0.2 m圆轮绕O轴作定轴转动，
其转动方程为 t 2 4t
（1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。
解：圆轮在任一瞬时的角速
度和角加速度为
d 2t 4 rad / s
O i
j y
k k 0， k j i，
di 0， dj 0，
dt
dt
点 M 的矢径为r可表示成
ki j
dk 0 dt
r r sin cos i r sin sin j r cos k
点 M 的速度为
v dr r sin sin d i r sin cos d j
dt
dt
dt
按右手螺旋法则确定，或从z 轴的正向向负向
看，从定平面起按逆时针转向量得的角 取正；反
之，取负。
z
P0
M0 r
O1
MPO源自M0 rO anS a
M
（+）
a v
f (t)
（7-4）
刚体的转动方程（Equation of rotation）。
刚体上平行于转轴的任一直线均为平动， 其上各点的运动特征量相同，因此刚体的定轴转 动可以简化为垂直于转轴的平面图形在自身平面 内绕固定点的转动，定点O是转轴上一点，称为 转动中心。
07刚体的基本运动解析
7.5
第 7章
二、角速度ω
刚体转动的快慢用角速度来度量：
刚体的基本运动
7.2 刚体的定轴转动
* t
t →0
(1) 平均角速度
(2) 瞬时角速度
lim * lim
d t →0 t dt
单位为，式(7.2)表明：“转角φ对时间t的一阶导数，称为刚 体的角速度”。 ω为代数量，当dφ＞0时，ω＞0；当dφ＜0时，ω＜0。工程上 常给出转速n(单位为r/min)，换算：
z
ρ M O
M
M0
(b)
(a)
7.9
图7.6 刚体绕z轴转动
第 7章
一、M点的运动方程
刚体的基本运动
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
若以MO为计算起点，则当刚体转动φ角时，由图7.6(b)可知：
s f (t )
(7.9)
上式为用自然法表示的M点的运动方程。
二、M点的速度
0 0t t 2
1 2
2 0
2 2 0
7.8
(7.8)
第 7章
刚体的基本运动
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
工程上经常需要知道转动刚体的运动与刚体上一点的运动关系。即刚体整 体的运动和体内一点的运动关系。如：齿轮的转速和圆周上一点的速度的关系 等。现在来讨论这个问题。 设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到转动轴的距离 为ρ，M点的轨迹是半径为ρ的一个圆，如图7.6所示。
图7.5 刚体转动
2πn 60
式中n的单位为r/min。
7.6
(rad/s)
第 7章
第 7章
二、角速度ω
刚体转动的快慢用角速度来度量：
刚体的基本运动
7.2 刚体的定轴转动
* t
t →0
(1) 平均角速度
(2) 瞬时角速度
lim * lim
d t →0 t dt
单位为，式(7.2)表明：“转角φ对时间t的一阶导数，称为刚 体的角速度”。 ω为代数量，当dφ＞0时，ω＞0；当dφ＜0时，ω＜0。工程上 常给出转速n(单位为r/min)，换算：
z
ρ M O
M
M0
(b)
(a)
7.9
图7.6 刚体绕z轴转动
第 7章
一、M点的运动方程
刚体的基本运动
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
若以MO为计算起点，则当刚体转动φ角时，由图7.6(b)可知：
s f (t )
(7.9)
上式为用自然法表示的M点的运动方程。
二、M点的速度
0 0t t 2
1 2
2 0
2 2 0
7.8
(7.8)
第 7章
刚体的基本运动
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
工程上经常需要知道转动刚体的运动与刚体上一点的运动关系。即刚体整 体的运动和体内一点的运动关系。如：齿轮的转速和圆周上一点的速度的关系 等。现在来讨论这个问题。 设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到转动轴的距离 为ρ，M点的轨迹是半径为ρ的一个圆，如图7.6所示。
图7.5 刚体转动
2πn 60
式中n的单位为r/min。
7.6
(rad/s)
第 7章
同济大学理论力学 导学7刚体基本运动
理论力学导学 第2篇 运动学_
第7章 刚体基本运动
15
(4)点G法向加速度的矢量表达式及其大小
aGn
z C O B r
A
ω
G E l3 l1 y
α
A
aGt D
则定轴转动刚体上一点加速度 的矢量表示为： r r r r r aG = α × rAG + ω × vG
x
r r r r r r r r r r r r aG = (i − 2 j − 2k ) × 100 ( − i + j ) + 2( − i + 2 j + 2 k ) × 100 ( −4i − 4 j + 2 k ) r r r r r r r r r r aG = 100 ( 2i + 2 j − k ) + 1200 ( 2i − j + 2 k ) = 100 ( 26 i + 10 j + 23k )
理论力学导学 第2篇 运动学_
第7章 刚体基本运动
3
1.内容提要 1)基本概念 本章是在绝对坐标系中观察作为刚体的物体的运动规律， 在刚体的运动规律确定后，再进一步地观察体内各点的运动规 律。 移动：即体内任一直线在运动的过程中，其方位始终保持 不变； 定轴转动：即体内或其扩展部分有一直线始终不动，刚体 绕此定轴为转轴。 2)主要公式 (1)刚体的运动描述
理论力学导学第22篇运动学第77章章刚体基本运动141004221jijlilkzzjyyixxragagagagrrrrrrrr?????244100100442kjijikjirvaggrrrrrrrrrrr????mms600244100222gv2点g对点a的矢量表达式ocbegdaxyzral1l2l33点g速度的矢量表达式及其大小vg理论力学导学第22篇运动学第77章章刚体基本运动1524410022210022kjikjijikjiagrrrrrrrrrrrr??????2nmms3600ga23102610022120022100kjikjikjiagrrrrrrrrrr??2nmms221200kjiagrrrr?2tmms300ga2tmms22100kjiagrrrr?2222mms3613231026100gaocbegdaxyzral1l2l34点g法向加速度的矢量表达式及其大小gaggvrarrrrr则定轴转动刚体上一点加速度的矢量表示为
第七章 刚体的基本运动
7
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
理论力学7—刚体的基本运动
主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。
7.4 轮系的传动比
1) 齿轮传动
ω1 R2 i12 = = ω2 R1
即： 即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径 成反比。 由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
ω1 z2 i12 = = ω2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比 与它们的齿数成反比。
at at
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a = at + a = R α +ω
2 2 n 2
4
at α tanθ = = 2 an ω
(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间 的夹角θ 都有相同的值。
此处有影片播放
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
7.1 刚体的平行移动
rA = rB + BA
v A = vB
z
A
vA aA vB
B B1
A1
A2
rA
O
a A = aB
rB
aB
B2
y
x
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一 瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一 点的运动。
z
如图，在轴线上任选一点 为原点 为原点， 如图，在轴线上任选一点O为原点， R 表示，则点M的速度可 动点的矢径用 r 表示，则点 的速度可 M 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， r 即 v =ω ×r 将上式对时间求一阶导数， 将上式对时间求一阶导数，有
7.4 轮系的传动比
1) 齿轮传动
ω1 R2 i12 = = ω2 R1
即： 即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径 成反比。 由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
ω1 z2 i12 = = ω2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比 与它们的齿数成反比。
at at
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a = at + a = R α +ω
2 2 n 2
4
at α tanθ = = 2 an ω
(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间 的夹角θ 都有相同的值。
此处有影片播放
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
7.1 刚体的平行移动
rA = rB + BA
v A = vB
z
A
vA aA vB
B B1
A1
A2
rA
O
a A = aB
rB
aB
B2
y
x
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一 瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一 点的运动。
z
如图，在轴线上任选一点 为原点 为原点， 如图，在轴线上任选一点O为原点， R 表示，则点M的速度可 动点的矢径用 r 表示，则点 的速度可 M 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， r 即 v =ω ×r 将上式对时间求一阶导数， 将上式对时间求一阶导数，有
7刚体的基本运动
π 0l 16
an (m· s－2)
π2 2 0 l 16
（铅直向上）
0
0
第 六章 刚体的简单运动
例 题 2
M O α ω
滑轮的半径 r =0.2 m ， 可绕水平轴 O 转动，轮缘上缠有
不可伸长的细绳，绳的一端挂有
物体A（如图），已知滑轮绕轴O 的转动规律φ=0.15t3 ，其中t以 s计，φ 以rad计，试求t=2 s时 轮缘上M点和物体A的速度和加速 度。
φ0 l C0 C C1 a0
以t = 0代入上式，得摆在初瞬时 的角速度和角加速度
4π 2 0 0, 0 2 0 T
4π 2 0l a0t l0 , 2 T
此时重心C0的速度和加速度分别为
a0n l0 0
2
v0 l0 0,
此瞬时C0点的总加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ减小的 一边。
x
rA
o
A
A1
A2 B1
B
rB
B2 y
研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运动
第 六章 刚体的简单运动
§6－2刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上或其扩展部 分有两点保持不动，则这种运动 称为刚体绕定轴的转动，简称刚 体的转动。通过两固定点的不动 直线称为刚体的转轴。
转角：通过定轴的固定平面与通 过定轴与刚体一起转动的平面之 间的夹角。 f t （代数量）
§6－3转动刚体内各点的速度和加速度
R
s R
ds d R dt dt
v R
s
第 六章 刚体的简单运动
转动刚体内任一点的速度的大小，等 于刚体的角速度与该点到轴线垂直距 离的乘积，方向沿圆周曲线的切线， 指向转动的一方。 at s R at R 转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角 加速度的与该点到轴线垂直距离的乘积，方向由角加速 度的符号决定。 2 2 R v an R 2 转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体的角 速度的平方与该点到轴线垂直距离的乘积，方向与速度 垂直且指向轴线。
an (m· s－2)
π2 2 0 l 16
（铅直向上）
0
0
第 六章 刚体的简单运动
例 题 2
M O α ω
滑轮的半径 r =0.2 m ， 可绕水平轴 O 转动，轮缘上缠有
不可伸长的细绳，绳的一端挂有
物体A（如图），已知滑轮绕轴O 的转动规律φ=0.15t3 ，其中t以 s计，φ 以rad计，试求t=2 s时 轮缘上M点和物体A的速度和加速 度。
φ0 l C0 C C1 a0
以t = 0代入上式，得摆在初瞬时 的角速度和角加速度
4π 2 0 0, 0 2 0 T
4π 2 0l a0t l0 , 2 T
此时重心C0的速度和加速度分别为
a0n l0 0
2
v0 l0 0,
此瞬时C0点的总加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ减小的 一边。
x
rA
o
A
A1
A2 B1
B
rB
B2 y
研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运动
第 六章 刚体的简单运动
§6－2刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上或其扩展部 分有两点保持不动，则这种运动 称为刚体绕定轴的转动，简称刚 体的转动。通过两固定点的不动 直线称为刚体的转轴。
转角：通过定轴的固定平面与通 过定轴与刚体一起转动的平面之 间的夹角。 f t （代数量）
§6－3转动刚体内各点的速度和加速度
R
s R
ds d R dt dt
v R
s
第 六章 刚体的简单运动
转动刚体内任一点的速度的大小，等 于刚体的角速度与该点到轴线垂直距 离的乘积，方向沿圆周曲线的切线， 指向转动的一方。 at s R at R 转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角 加速度的与该点到轴线垂直距离的乘积，方向由角加速 度的符号决定。 2 2 R v an R 2 转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体的角 速度的平方与该点到轴线垂直距离的乘积，方向与速度 垂直且指向轴线。
刚体的基本运动
刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。
平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。
转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。
平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。
复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。
延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。
绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。
把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。
刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。
刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。
刚体的基本运动
§7-3 刚体内各点的速度与加速度矢积表示
1.角速度与角加速度的矢量表示 (1) 角速度矢 沿刚体的转轴z画出一个矢量 ω=ωk （其中k为轴z的单位矢）， ω称为刚体的角速度矢。 它的作用线表示出转轴的位 置，而它的模则以某一比例表 示出角速度ω的绝对值。ω的指 向由右手规则决定。 定轴转动刚体的角速度矢ω被认为是滑动矢量，可以从 转轴上的任一点画出。
§7-1 刚体的平移
刚体的平移 刚体平移的特点
§7-1 刚体的平移 刚体的两种最简单的运动是平移和定轴转动。 以后可以看到，刚体更复杂的运动可以看成由这两 种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基 本运动。 1. 刚体的平移 在运动过程中，刚体上任意一条直线的方向都 保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的 平行移动，简称为平移。
dv d d at ( r ) r dt d t dt
或
at r
M
即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动 半径与刚体角加速度的乘积。式中α和at具有相同的正负号。
§7-2 刚体的定轴转动
ω α
O an
θ
ω α
O a at v a
θ
an M v
M
at
不难看出，当 α 和 ω 正负相同时，切向加速度 at 和 v 速度有相 同的指向，这相当于加速转动；当α和ω正负不相同时，则at 与v有相反的指向，这相当于减速转动。
M 点与 A 点有相同的速度 和加速度
O1 φ l A r M
O2 l B
π vM=vA =lω 4 π cos t 4
ω
2
an
n =lω2 =a M A
π 4 π cos t 4
07 刚体的基本运动
a
n M
=0
am = a
τ
M
= π
2
方向垂直于AO1斜向右上方 因为半圆盘作平动，所以其角速度
ωab = 0 。
例7-7 转子启动时的角加速度与时间成正比增大,经过5分钟 转子的转速达到18000r/min,试问转子在这段时间内转了多少 转？ 【解】设比例系数为k，则
ε = kt
即
dω = kt dt
R2 , ω 2 , ε 2 .
v A = v B , a Aτ = a Bτ
又 υ A = R1ω1 , υ B = R2ω2 , a Aτ = R1ε 1 , a Bτ = R2ε 2 R1ω1 = R2ω2 , R1ε 1 = R2ε 2
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第七章 刚体的基本运动
传动比
i12 传动比
ω o R v M β A
ε o R
aτ
r
ε
A
M β
r
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第七章 刚体的基本运动
设刚体上一点M相对于角速度矢量 ω 的起点A的位置用矢径 表示， 与ω 之间的夹角为 β ， r 则M点： v = Rω = OM ω = ω r sin β 由此，据线性代数知
υ =ω×r
（转动刚体上点的速度矢积表示法） 又
s2
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第七章 刚体的基本运动
§7－3绕定轴转动刚体的问题
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的. 这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求. 变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传 动来完成.几个轮子的组合称为轮系. 以一对啮合轮为例： I轮: R1 , ω 1 , ε 1 . II轮:
刚体基本运动
解： aτ a sin 60 r
a n a cos 60 r 2
两式相除：
Oφ
a
பைடு நூலகம்
tg60
2
3 2
d 3 2
dt
d d 3 2 dt d
d 3 2 d
d 3d
d
0
0
3d
0e 3
vA
它们的方向铅直向下。
aA
M
R O
v
B
s
A
半径R=20 cm的滑轮可绕 水平轴O转动，轮缘上绕有不 能伸长的细绳，绳的另一端与 滑轮固连，另一端则系有重物 A，设物体A从位置B出发，以 匀加速度a =4.9 m·s－2向下降 落，初速v0=4 m·s－1，求当物 体落下距离s =2 m时轮缘上一 点 M 的速度和加速度。
ds dt
l
A0
A
an
B v
vA vB vC l
d2s dv aτ dt2 dt 0
C
aA a 2 an2 an l 2
an
v2
(l )2
l
l 2
aC aA an l 2
§7-2 刚体绕定轴的转动
在一般情况下，运动的
第七章 刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动(平动)
如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平 行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动。
vA
A
A1 A2
rA
vB aA
平面平行四连杆机构
B rB
aB B1
B2
理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
理论力学07—刚体的基本运动
第九页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
第十页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
第十一页，辑于星期二：十二点 五十一分。
第十三页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
第十四页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
第十五页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
第一页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
第二页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
第三页，编辑于星期二：十二点 五十一分。
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第7章 刚体的基本运动
（7-4）
dω k＝ω k =ϕ k = α k k =ω dt 由（7-4） 、 （7-5）式定义的角速度 ω 和 角加速度 α 《由于 ϕ 不是矢量，因此 ω α=
和 α 也不是矢量。这里需说明的是 ϕ 虽 然不满足平行四边形法则的加法交换 律（即有限转角 ϕ 不满足平行四边形法 则的加法交换律） 。 但无限小转角 dϕ 满 足平行四边形法则的加法交换律，即
v M = v M (t )
v N = v N (t ) = v M (t )
2
M aM = v
N = v M aN = v
由 M、N 的任意性可得结论。 §7-2 刚体的定轴转动运动
若刚体存在两点 A、B，在刚体的运动过程中 A、B 两点相对惯性参考系静止。则刚 体的运动称为刚体的定轴转动运动。或称为刚体的定轴转动。刚体的定轴转动运动定义 中的 A、B 两点要求在刚体上。这里的刚体指的是将真实刚体（实际存的具有一定大小 和形状的刚体）抽象成为充满整个几何空间的抽象体。或者说真实刚体可在几何空间的 三个方向任意延拓。因此 A、B 点可以不在真实刚体 上。 一、 刚体定轴转动运动的运动方程、转动轴 （转轴） ： 刚体在运动过程中保持相对惯性坐 标系静止的刚体上 A、B 两点所确定的直线 称为刚体定轴转动运动的转动轴。或称为刚 体定轴转动时的转轴。 若 L 轴是定轴转动运动状态的转动转，则 L 轴上 任意一点相对惯性参考系静止。即转动轴上任意一点 在刚体定轴转动运动的任意时刻相对惯性参考系静 止。对作定轴转动运动的刚体，设 A、B 两点相对惯 性参考系静止，C 是由 A、B 两点确定的转动轴 L 上 任意一点。如图 7-2 所示。由刚体定轴转动运动定义 有：
3
A、B 点相对惯性参考系静止，a、b、 AB 为常矢量。对任意给定的 C 点，只要 C 点在 A、 B 两点连线上， AC 与 AB 共线同向。对刚体 AC 保持不变。因此
第七章刚体的基本运动_理论力学
和
得： 由于轮子作匀速转动，所以 ，得：
§7-3
轮
系
的
传
动
比
1. 齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。图 7-6 所示为 一对外接（啮合）齿轮。图 7-7 为一对内接齿轮。 （1）齿轮传动特点 ①两轮接触点的速度大小、方向相同。 ②两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。 （2）传动比 由图 7-6，7-7，并考虑式（7-4） ，可得：
2.
定轴转动的特点
观察刚体上任一点
的轨迹，可以看到刚体定轴转动的特点：
不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点 到转轴的距离。
3.
刚体的转动方程
为描述转动刚体在空间的位置随时间的
变化，需建立转动方程。 ★ 定轴转动刚体简化成平面图形 设刚体绕 轴作定轴转动， 如图 7-4 所示在刚体上任取一直线 作平动，可取其上任一点 代表 的运动。 平面上的平面图形绕 点的转动。 平行 轴， 则
。
， 此处 和 分别表示两皮带轮的角速度（rad/s） 。于是得
，
，
∴ 即两皮带轮的角速度（或转速）与其半径成反比。 §7-4 速度和加速度的矢量表示法
1.
以矢量表示角速度和角加速度 和角加速度矢量 。如图 7-11 所示。 （7-13） （7-14） 当 当 时，说明两者同向，作加速转动。 时，说明两者反向，作减速转动。
72刚体绕定轴的转动简称定轴转动定义刚体在运动过程中其上有且只有一条直线始终固定不动时称刚体绕定轴转动该固定直定轴转动的特点观察刚体上任一点的轨迹可以看到刚体定轴转动的特点
第七章 刚体的基本运动 知识点 1. 刚体的平动和定轴转动称为刚体的基本运动。 它不可分解， 是刚体运动的最简单形 态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。 2.平动刚体上各点的轨迹形状相同。同一瞬时刚体上各点的 和 相同。因此可以用刚体上 任一点的运动代表整体。换言之，若知道平动刚体上某点的运动（ 、 等） ，则其它各点 均为已知。
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理论力学导学 第2篇 运动学_
第7章 刚体基本运动
15
(4)点G法向加速度的矢量表达式及其大小
aGn
z C O B r
A
ω
G E l3 l1 y
α
A
aGt D
则定轴转动刚体上一点加速度 的矢量表示为： r r r r r aG = α × rAG + ω × vG
x
r r r r r r r r r r r r aG = (i − 2 j − 2k ) × 100 ( − i + j ) + 2( − i + 2 j + 2 k ) × 100 ( −4i − 4 j + 2 k ) r r r r r r r r r r aG = 100 ( 2i + 2 j − k ) + 1200 ( 2i − j + 2 k ) = 100 ( 26 i + 10 j + 23k )
答案 (1) vA=942.5cm/s; (2) n2=900r/min ;(3) r1′=5cm，r2′=20cm。
A
(1)角速度ω和角加速度α的矢量表达式；
E
α
A
G
(2)点G对点A的矢量表达式； (3)点G速度的矢量表达式及其大小； (4)点G法向加速度的矢量表达式及其大 小； (5)点G切向加速度的矢量表达式及其大 小； (6)点G全加速度的矢量表达式及其大小。
D l3 l1 y
x
l2
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转动规律。
理论力学导学 第2篇 运动学_
第7章 刚体基本运动
9
例2： 赛车以v=150km/h速率绕半径R=100m的圆形跑道行使, 观察者站在距圆心e=50m的A处观察车的运动如图示。试求车 的运行半径OC和观察者与圆心连线AO成θ=30°时，观察者的 &。 视线AC的角速度 ϕ v 解: 由点C速度v,得到线OC对应的弧长O C,又
理论力学导学 第2篇 运动学_
第7章 刚体基本运动
4
对基本运动刚体运动的描述 图例 运动描述
r r rA = rA (t ) r r rB = rB (t )
r r r
速度方程
r r v A = vB
加速度方程
r r aA = aB
移 动
而r = r − r r AB B A 同一瞬时， 同一瞬时， A、B为体上任 rAB 的大小方向 体内各点具有 体内各点具有相 意二点，则各 均不变化 相同的速度。 同的加速度。 为常矢量 点轨迹为平行 曲线
v23
Ⅱ
ω2 v
ω1
12
解: 作为一般的求解方法，只要抓住齿轮啮合 点具有相同的速度。
v12 = ω1 r1
Ⅰ Ⅲ
ω2 =
v12 r = 1 ω1 r2 r2
ω3
v 23 = ω 2 r2 = ω1 r1
r 100 23 ω = = 1ω = 2 π = 0 .4 π 3 1 500 r r 3 3 v rad/s
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第7章 刚体基本运动
1
理论力学导学
第7章 刚体的基本运动
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第7章 刚体基本运动
2
第7章 刚体的基本运动 目录
1.内容提要… … … … … … … … … … … … … 3 2.基本要求… … … … … … … … … … … … … 6 3.典型例题… … … … … … … … … … … … … 7 4. 补充习题 … … … … … … … … … … … … 16
D l3 l1 y
则沿rA的单位矢量为：
r r r r r r − i + 2 j + 2k e= A = rA 3
x
l2
r r r r ω = ω e = −2i + 4 j + 4 k r r r r r α = α (−e ) = i − 2 j − 2k r
rad/s
rad/s 2
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第7章 刚体基本运动
14
(2)点G对点A的矢量表达式
r r r r r r l1 r l2 r rAG = ( xG − x A )i + ( yG − y A ) j + ( zG − z A ) k = − i + j = 100 ( − i + j ) 2 4 ω vG α G E z B (3)点G速度的矢量表达式及其大小
2 2 2 2 a = 100 26 + 10 + 23 = 3613 mm/s 大小 G
l2
r r r r aG n = 1200 ( 2i − j + 2 k ) r r r r aG t = 100 ( 2i + 2 j − k )
mm/s 2
2 大小 aG n = 3600 mm/s
2 a = 300 mm/s 大小 G t
C O r
A
A
D l3 l1 y
x
l2
r r r r r r r r vG = ω × rAG = ( −2i + 4 j + 4k ) × 100 ( − i + j ) r r r = 100 ( −4i − 4 j + 2 k )
vG = 100 4 2 + 4 2 + 2 2 = 600 mm/s
答案 (1) ω=28.63rad/s，θ=24.13rad; (2) y=0.5m，z=0.25m, v=7.158m/s, a=205.1m/s2。
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第7章 刚体基本运动
20
7-4 摩擦轮无级变速机构如图示。已知Ⅰ轮输入转数 n1=600r/min，r1=15cm，r2=10cm。试求：(1) 摩擦轮Ⅰ与导轮接 触点A的速度；(2) 摩擦轮Ⅱ的转速；(3) 欲使n3=150r/min，怎样 调节导轮的位置。
α
角加速度 得 ω=
5 at 角速度方程。 4 ϕ t 5 5 2 2 ϕ = a t d t ϕ 25 d ( t ) = at = t 得 ∫0 ∫0 4 8 v2 an = = 25000 m/s 2 v t = 5 = 100 m/s r
a t = a sin θ 匀加速度转动，切向加速度为常数。 a ω t t α = t 而 ∫ d ω = ∫ α d t = ∫ at d t 0 0 0 r r
sin ϕ =体基本运动
10
将任意瞬时的函数关系
sin ϕ sin(ϕ − θ ) = R e
对时间t求导，注意到ϕ、θ均是变量，得：
& cos ϕ ϕ
R
& ) cos(ϕ − θ ) & −θ (ϕ = e
整理得： 式中： 代入得：
cos(ϕ − θ ) θ& e cos(ϕ − θ ) − cos ϕ R v θ& = R v cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ &= ϕ e cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ − cos ϕ R R &= ϕ
第7章 刚体基本运动
5
定轴转动刚体上一点的速度、 定轴转动刚体上一点的速度、加速度 图例 速度 加速度
ω
M0 s
α
Oρ
& v = s = ρϕ = ρω
an v
v an
ω
r z
M
&& = ρα & = ρϕ a t = v 2 a = v = ρω 2 n ρ
at
r r r v =ω×r
答案 t=38min。
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第7章 刚体基本运动
19
7-3 图示正弦状的曲杆的曲线方程为z=0.25sin(π y)，曲杆 无初速开始绕轴y旋转，角加速度α=1.5et rad/s2，l=1m，y和z以m 计，角以rad计，t以s计。试求：(1) t=3s时杆的角速度大小和角 位移；(2) 确定曲杆上具有最大速度和加速度的点位置，并计算 该点在t=3s时的速度和加速度大小。
r r r at = α × r r r r an = ω × v v v r = ω × (ω × r )
M
r v rθ r r r α r at ω
O
ρ C
定轴转动刚体上各点均作圆周运动,故用自然坐标描述简便。 故用自然坐标描述简便。
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第7章 刚体基本运动
6
2.基本要求 1) 熟悉各种刚体基本运动的运动特征和描述其运动的独 立运动参变量，能从机构中区分各种不同的刚体基本运动。 2) 正确理解“刚体”的运动量（如角度，角速度，角加 速度）与刚体上一“点”的运动量（如速度，加速度）之间 的关系。 3) 能熟练地求解刚体基本运动的各种运动量。 4) 熟悉定轴转动刚体角速度、角加速度用矢量表示；熟 悉定轴转动刚体上一点的速度、加速度用矢积表示。 5) 正确理解泊桑公式的含义。
第7章 刚体基本运动
13
解: (1)角速度ω和角加速度α的矢量表达式 题意就是将ω或α表示成i,j,k的形式，由于ω和α的方位与rA相 同，故先写出rA的矢径表达式。
ω
z C O B r
A
α
A
G
E
r r r r r l1 r l 2 r rA = − i + j + l3 k = 100 ( − i + 2 j + 2 k ) 2 2
答案 vO=70.69cm/s，aO=333.1cm/s2。
理论力学导学 第2篇 运动学_