2015届高三文科4月周考数学试题附答案
山东省高密市2015届高三4月月考数学(文)试题及答案
2C
6
6
) 1， 0 11
，∴
6
即 sin(2 C ) 1 6
2C
，∴ C
62
∵ m与n 共线，∴ sin B 2sin A 0．
． ……７ 分
3
由正弦定理
a s i nA
b ， 得 b 2a,
s iBn
① …………………………………９ 分
∵ c 3，由余弦定理，得 9 a 2 b 2 2ab cos ， ②…………………… 10分 3
按照这样的规律，则 2016 在第
个等式中．
x y20
14．设 z kx y ,其中实数 x, y 满足 x 2 y 4 0 ,若 z 的最大值
2x y 4 0
为 12,则实数 k ________. 15. 已知 M 是 x2 8y 的对称轴与准线的交点，点
N 是其焦点，点 P 在该抛物线上，且满足
4x 的焦点重合，原点到过点
（Ⅱ）设动直线 l : y kx m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P ，过 F1 作 PF1 的垂线与直线 l 交于 点 Q ，求证：点 Q 在定直线上，并求出定直线的方程 .
21．（本题满分 14 分）
已知函数 f (x) e x ax(a R), g (x) ex ln x （ e为自然对数的底） .
a
1 A ． 2a
0.2 a
2
a
1
B．
2
0.2 a 2a
C． 0.2 a
a
1
2a
2
a
D ． 2a 0.2 a 1 2
7. 函数 f x
cos x
x2
的图象大致是
8．在等腰 ABC 中， BAC 90 , AB AC 2, BC 2BD, AC 3AE ，
2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题及答案
2015年普通高中毕业班质量检查文 科 数 学 2015.04本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,x y ∈R ，且1i 3i x y +=+，则i x y +等于A ．2B ．4CD ．102．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为x >0?y =3xy =log 3xA ．1B ．3C ．9D ．27 3．不等式102x x -≥-的解集为 A ．[1,2] B ．(,1][2,)-∞+∞C ．[1,2)D ．(,1](2,)-∞+∞4．“2a =”是“{}{}1,1,2,3a ⊆”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．已知y x ,满足2,1,220,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．46．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面命题正确的是Ａ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α Ｂ．若a ∥b ，b α⊂，则a ∥α Ｃ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ Ｄ．若αβ⊥，a β⊂，则a α⊥7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若22sin sin sin A B B C -=，c =，则角A 等于A ．30 B ．60 C ．120 D ．1508．若过点(的直线l与曲线y =l 的斜率的取值范围为 A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．⎡⎣ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．函数cos(sin )y x =的图象大致是10．在等边ABC ∆中，6AB =,且D ,E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE 等于A. 18B. 26C. 27D. 2811．已知1F 为双曲线22:11411x y C -=的左焦点，直线l 过原点且与双曲线C 相交于,P Q 两点．若110PF QF =，则△1PFQ 的周长等于A ．10B ．10C ．22D ．2412．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()f x f x -=,()()22f x f x +=-．若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+=，则曲线()y f x =在5x =处的切线方程为 A ．30x y --= B ．70x y --= C ．30x y +-= D ．70x y +-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知3cos (0)5αα=<<π，则sin 2α=__________． 14．已知函数321,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩若()1f x =，则x = __________．15．如图，函数cos y x x =+的图象经过矩形ABCD 的顶点,C D ．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________．16．A n ()n ∈N 系列的纸张规格如图，其特色在于：①A 0，A 1，A 2，…，A n 所有规格的纸张的长宽比都相同；② A 0对裁后可以得到两张A 1，A 1对裁后可以得到两张A 2，…，A n-1对裁后可以得到两张A n ．现有每平方厘米重量为b 克的A 0，A 1，A 2，…，A n 纸各一张，若A 4纸的宽度为a 厘米，则这（1n +） 张纸的重量之和1n S +等于__________．（单位：克）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕ><<π的最小正周期为2π，图象过点(0,1)P ． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值．18．（本小题满分12分）2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为1:5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一 梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思 想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．19．(本小题满分12分)某几何体的三视图及直观图如图所示，其中侧视图为等边三角形． （Ⅰ）若P 为线段1AA 上的点，求四棱锥C C BB P 11-的体积；（Ⅱ）已知D 为线段1BB 的中点，试在几何体的侧面内找一条线段，使得该线段垂直于平面1ADC ，且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段C A ''，并给予证明．20．(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)，离心率等于12． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；俯视图侧视图正视图直观图11B（Ⅱ）证明斜率为1的所有直线与椭圆C 相交得到的弦的中点共线；（Ⅲ）图中的曲线为某椭圆E 的一部分，试作出椭圆E 的中心，并写出作图步骤．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()415n n S a =-． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5n n n b ta =-，试问：是否存在非零整数t ，使得数列{}n b 为递增数列？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．(本小题满分14分)已知函数()e ()xf x x m m =--∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）判断()f x 的零点个数，说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个零点12,x x ，证明：120x x +<．2015年 普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．2425； 14．0； 15．12； 16．2111()2n b +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）因为()f x 的最小正周期是2π，所以2T ωπ=，得4ω=． ………………….2分 所以()sin(4)f x x ϕ=+．又因为()f x 的图象过点(0,1)P ，所以2()2k k ϕπ=π+∈Z ， 因为0ϕ<<π，所以2ϕπ=． ………………………………….5分 所以()sin(4)2f x x π=+，即()cos 4f x x =． …………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()cos 4f x x =，由题设可得2()cos(4)3g x x π=+． ………………………….…..8分因为(0,)x m ∈，所以2224(,4)333x m πππ+∈+，……………….…10分要使函数()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，只有243m π+≤π，所以12m π≤． 因此实数m 的最大值为12π． ……………….…..12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()cos 4f x x =，由题设可得()cos(4)3g x x 2π=+．……………….8分 令2423k x k 2π-π+π≤+≤π()k ∈Z ，则12262k k x 5ππππ-+≤≤-+()k ∈Z ， 因此函数()g x 在[,]123ππ上单调递增， …………………………….9分令2423k x k 2ππ≤+≤π+π()k ∈Z ，则62122k k x ππππ-+≤≤+()k ∈Z ， 因此函数()g x 在[,]612ππ-上单调递减， ………………………….10分要使函数()g x 在区间(0,)m 内是单调函数， 只有(0,)[,]612m ππ⊆-，因此实数m 的最大值为12π． …………………………….12分 18．本小题主要考查古典概型、茎叶图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个． …………………………….3分 其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．…………………………….6分设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为A ，则所求的概率为3()10P A =． ………………………….8分 （Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为a ，则其城区的居民用户数为3a ．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：31759752080%6120a aa ⋅+⋅=>．故此方案符合国家“保基本”政策． ………………………….12分 19．本小题主要考查几何体的体积、三视图和直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ）取线段BC 的中点E ，连接AE ，则BC AE ⊥．又∵ABC BB 平面⊥1，ABC AE 平面⊂， ∴AE BB ⊥1．又∵B BC BB =⋂1 C C BB BB 111平面⊂，C C BB BC 11平面⊂，∴C C BB AE 11平面⊥， ………………………….1分 又点P 在为线段1AA 上的点，且1AA ∥平面11BB C C ，∴AE 是四棱锥C C BB P 11-的高， ………………………….2分又11224BB C C AE ==⨯=正方形， ………………………….4分 ∴33432231311111=⨯⨯⨯=⋅=-AE S V C C BB C C BB P 正方形四棱锥．………………….6分 （Ⅱ）所求的线段是C A 1． ………………………….7分首先，∵1111CC A BC ⊥平面，∴C A 1在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段C A ''．………8分下面证明11AC ADC ⊥平面． 连接C A 1，交1AC 于点F ，则点F 为线段1AC 的中点，连接DF ，DC ，1DA ， 在平面C C BB 11中，2=BC ，1=BD ，∴CD =同理，1DA =FE∴1DA CD =，∴C A DF 1⊥， ………………………….10分 又 在正方形11A ACC 中，11AC C A ⊥， ………………………….11分1DFAC F =，1ADC DF 平面⊂，11ADC AC 平面⊂，∴11AC ADC ⊥平面． ………………………….12分 20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）依题意，得11,2c c a ==，所以2,a b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………….4分 （Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+，2l ：2y x b =+，分别交椭圆于()()111111,,,A A B BA x yB x y 及()()222222,,,A A B B A x y B x y ，弦11A B 和22A B 的中点分别为()111,Q x y 和()222,Q x y ．由2211,43,x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2211784120x b x b ++-=， 令()()22118474120b b ∆=-⨯⨯->，即1b ．又1118,7A B b x x +=-所以1111427A B x x bx +==-，111137b y x b =+=． 即11143,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭． ………………………….6分 同理可得22243,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭． ………………………….7分所以直线12Q Q 所在的直线方程为34y x =-． ………………………….8分 设l ：3y x b =+是斜率为1且不同于12,l l 的任一条直线，它与椭圆C 相交于33,A B ，弦33A B 的中点为333(,),Q x y 同理可得33343,,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭由于33343747b b ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，故点3Q 在直线34y x =-上． 所以斜率为1的直线与椭圆C（Ⅲ）①任作椭圆的两条组平行弦12A A ∥12B B ，12C C ∥1D 其中12A A 与12C C 不平行．②分别作平行弦1212,A A B B 的中点,A B 及平行弦12,C C 中点,C D ．③连接AB ，CD ，直线AB ，CD 相交于点O ，点O 分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于()(),,,,A A B B A x y B x y 弦AB 的中点()00,Q x y ．由2211,43,x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2211784120x b x b ++-=， 令()()22118474120b b ∆=-⨯⨯->，即1b <147A B b x x +=-，11167A B A B by y x b x b +=+++=． 所以10104,73,7b x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………6分所以0034y x =-． ……………….7分 即椭圆C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线34y x =-上，故斜率为1的直线与椭圆C 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于()(),,,,A AB B A x y B x y弦AB 的中点()00,Q x y ．则22143A A x y +=，22143B Bx y +=，所以()()()()043A B A B A B A B x x x x y y y y +-+-+=， 又02A B x x x +=，02A B y y y +=，1A BA By y x x -=-，所以0034y x =-． ……………….7分 即椭圆C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线34y x =-上，故斜率为1的直线与椭圆C 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分 （Ⅲ）同解法一．注：本题解法一、解法二中，如果没有考虑0∆>，不扣分．21．本小题主要考查数列的通项公式及前n 项和公式、等比数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为()415n n S a =-， 所以当1n =时，()11415a a =-，解得14a =-； ……………….1分当2n ≥时，()()11441155n n n n n a S S a a --=-=---，即14n n a a -=-，……….3分由14a =-，()142n n a a n -=-≥知0n a ≠，所以{}n a 是以14,4a q =-=-的等比数列．……………………………….4分所以()4nn a =-． ……………….5分 （Ⅱ）假设存在非零整数t ，使得数列{}n b 为递增数列，即对于n *∈N ，都有1n n b b +>．由(Ⅰ)知()4nn a =-，又5n n n b ta =-，所以()54nnn b t =--， ………………6分所以只要对任意n *∈N ，恒有()()115454n nn n t t ++-->--，即只要对任意n *∈N ，恒有()1514n nt -⎛⎫->- ⎪⎝⎭．……..① ………………7分当n 为奇数时，①等价于154n t -⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立．又n 为奇数时，154n -⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为1，所以1t <． ………………8分当n 为偶数时，①等价于154n t -⎛⎫>- ⎪⎝⎭恒成立．又n 为偶数时，154n -⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为54-，所以54t >-．………………10分 综上，514t -<<． ………………11分 又t 为非零整数，故存在非零整数1t =-使得数列{}n b 为递增数列． ………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4nn a =-，又5n n n b ta =-．所以()54nnn b t =--，所以154b t =+，22516b t =-，312564b t =+．…………………………6分 若数列{}n b 为递增数列，则123b b b <<，所以542516,251612564,t t t t +<-⎧⎨-<+⎩解得514t -<<，要使数列{}n b 为递增数列，且t 为非零整数，则只有1t =-． …………………7分以下证明，当1t =-时，数列{}n b 是递增数列，即证明对于n *∈N ，都有1n n b b +>． 因为1115(4)5(4)n n n nn n b b +++⎡⎤-=+--+-⎣⎦455(4)n n=⨯-⨯-45455nn⎡⎤⎛⎫=-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． …………………………9分当n 为奇数时，444545055n n⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………10分当n 为偶数时，444545055n n⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………11分因此对任意n *∈N ，都有1n n b b +>． …………………………12分22．本小题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解：（Ⅰ）因为()e 1xf x '=-， ………………1分所以，当(),0x ∈-∞，()0f x '<，当()0,x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞，……………2分 故当0x =时，()f x 取得最小值为()01f m =-． ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值为()01f m =-．（1）当10m ->，即1m <时，()f x 没有零点．………………5分 （2）当10m -=，即1m =时，()f x 有一个零点．………………6分 （3）当10m -<，即1m >时，构造函数()e 2(1)xg x x x =-≥，则()e 2xg x '=-，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)e 20g x g ≥=->， 因为1m >，所以()e 20mg m m =->，又()e 2(1)mf m m m =->，故()0f m >． ………………8分又()e0mf m --=>，………………9分所以必存在唯一的()1,0x m ∈-，唯一的()20,x m ∈，使得12,x x 为()f x 的两个零点，故当1m >时，()f x 有两个零点．………………10分（Ⅲ）若12,x x 为()f x 的两个零点，设12x x <，则由（Ⅱ）知120,0x x <>．因为()()()()1222f x f x f x f x --=--()()2222e e x x x m x m -=---+-222e e 2x x x -=--．………………11分令()()e e 20x x x x x ϕ-=--≥，则()e e 2x x x ϕ-'=+-20≥=，………………12分所以()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，因此，()()00x ϕϕ≥=． 又120x x <<，所以()20x ϕ>，即222e e20xx x --->，故()()12f x f x >-，………………13分又120,0x x <-<，且由（Ⅰ）知()f x 在(),0-∞单调递减，所以12x x <-，所以120x x +<．………………14分。
高三数学上学期周练试卷(十)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++=．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P （0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值X围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值X围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值X围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的X围结合已知数据即可算出|的取值X围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值X围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的X围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值X围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。
四川省高中2015届高三“联盟”测试数学试题(文史类) 扫描版含答案
四川省高中2015 届名校联盟文科数学参考答案及评分标准一、选择题1~5： B A D C D 6~10： A D D C B 二、填空题11. 0 12.三、解答题12[ , 5]51113.214. 900 15. ①③④16. 解：（Ⅰ）由题设sin A = sin(B +C )= sin 3B = sin 2B cos B + cos 2B sin B= 2 s in B cos2 B + (1 - 2 s in 2 B) sin B= 2 s in B(1 - sin 2 B) + (1 - 2 s in 2 B) sin B= 3sin B - 4 s in3 B 6 分（Ⅱ）在∆ABC中,0<π-3B <π得0<B < π,∴1< cos B <1 3 2由正弦定理AB +BC sin C + sin A=sin 3B + sin 2B AC sin B sin B=-4 s in 2 B + 2 cos B + 3= 4 cos2 B + 2 cos B -1= 4(cos B +12 -54 4易得所求取值范围为(1, 5)12 分17. 解：（Ⅰ）当空气质量为一级时，对应的PM2.5 浓度落在[0, 50]中，其频率P1=0.003⨯50=0.15 ，当空气质量为二级时，对应的P M2.5 浓度落在(50,100]中，其频率P2 =0.006⨯50=0.30 ，故由样本数据频率分布直方图估算该市居民每天可正常进行运动的概率P1+P2=0.45（Ⅱ）空气质量为“重度污染”和“严重污染”即P M2.5 浓度落在(200, 500]的频率为0.002 ⨯50+0.001⨯50+4 ⨯0.00025 ⨯50=0.20 ，则由题设知在未来每一天中出现雾霾天气5 1 1 7 7 1的概率P=0.20 ⨯ = . ∴在未来2天里恰有一天为雾霾天气的概率P= ⨯ + ⨯8 8 8 8 8 818.解：（Ⅰ） 证明 ① 平面PAB ⊥ 平面ABCD 且相交于直线AB而AD ⊂ 平面ABCD , AD ⊥ AB ∴ AD ⊥ 平面PAB , 又PB ⊂ 平面PAB ∴ PB ⊥ AD , 又PB ⊥ PD , AD PD = D .∴ PB ⊥ 平面PAD . PB ⊂ 平面PBC , 故平面PAD ⊥ 平面PBC4 分② 取PB 中点T , 连接RT 、ST ,RT / / P A , ST / / BC .且PB ⊥ PA , PB ⊥ BC . ∴ PB ⊥ RT , PB ⊥ ST .又RT ST =T , 则PB ⊥ 平面RST . 又PB ⊥ 平面PAD , ∴ 平面RST ⊥ 平面PAD . 且RS ⊂ 平面RST , 故RS / /平面PAD .8 分（Ⅱ） C D ⊥ 平面PDQ ,∴ PQ ⊥ CD .又PQ ⊥ AD , C D ⋂ AD = D ,∴ PQ ⊥ 平面ABCD .则PQ ⊥ AB ,由已知AQ = 1 , PQ = ,∴ DQ =, 又CD 22 2 C D ⊥ QD ,∴ ∆CQD 是面积S = 1 CD ⋅ DQ = 5.2 4则三棱锥P - CDQ 的体积为V = 1 ⋅ S ⋅ PQ = 3 ,3 24 故三棱锥Q - PCD 的体积为 .2412 分19.解： （Ⅰ） 设等比数列{b n }的公比为q ,由题设b 3 = -4,∴b = - 4 , b = - 4 . 1q 2 2 q或31则f ( x) =-4q2x -4x - 4 =-(2x +1)2 - 3q q∴f ( x)在R上的最大值为- 3，即a-7=-3,∴a=1.6 2 6 2（Ⅱ） d ≠ 0且f (a2+a8) = f (a3+a11),∴f ( x)图象的对称轴方程为x =(a3+a11) + (a2+a8)=2a7+ 2a5 = 2a=1.2 2 6由此得2=-1，即q =-2.q∴等比数列{bn}的通项公式bn=b q n-3 =-(-2)n-1(n ∈N * )（Ⅲ）a=-7,a=1,∴d=a6-a2 =1.2 2 6 2 6 - 2T =a2-a1 +a3-a2 ++an+1-ana1a2a2a3anan+1=1-1+1-1a2a1a3a2++1an-1an+1=1-1=-2-2=-4a1an+19 2n - 9 9解得n = 9.20. 解：（Ⅰ）设R( x, y), F1(-c, 0), F2 (c, 0).由题设RF+ RF=c2 +1,c> 0且c ≠ 1,∴F F= 2c <c2 +1.1 2 1 2则由椭圆的定义可知点R 的轨迹是以F1、F2为焦点,c2 +1为长轴的椭圆则2c=得⎧⎪c⎧⎪c =, 或.c2 +1 2 ⎨⎨c2 +1= 4 4⎪⎩⎪c2 +1=⎪⎩ 3设椭圆E 的长轴长，短轴长分别为2a, 2b⎧a2 = 4则⎨⎩b2 =1⎧a2 =4⎪9⎨⎪b2 =92 2 2故圆锥曲线E 的标准方程为x+y 2 =1 或x+y=1. 4 分4 4 19 9（Ⅱ） 设P (m , n ), B ( x 0 , y 0 ), A , P 两点关于原点对称，∴ A (-m , -n ).由(Ⅰ)知，椭圆E 的标准方程为xa2y 2+=1b2m2 n2x 2 y 2x 2 -m2y 2 -n2y 2 -n2 b2且+=1, 0 +0 =1.∴0 +0 = 0,即0 =-.a2 b2a2 b2a2 b2x 2 -m2 a2y -n y+n y 2 -n2 1又k =0 , k=0 ,∴k k=0 =-8 分1 x -m 2x +m1 2 x 2 -m2 40 0 0（Ⅲ）由已知可设P(m,n ),A、P两点关于原点对称∴A(-m,-n)当E 的方程为x+y2 =1 时，4F0),k2=由(Ⅱ)知k1=-+m,4nPA ⊥PB,∴(⋅n4n m=-1,得m =3易得n = ,∴k=6 28AB所在直线方程为y x3)8x2y2当E 的方程为4+1=1 时,同理可得，99AB所在直线方程为y =(x-)8 3 13 分21. 解：（Ⅰ）f '( x) =1 - 2ax2x(x > 0).(1)当a ≤ 0时，f '( x) > 0在(0, +∞)上恒成立∴f ( x)在(0, +∞)上递增.(2)当a > 0时, 设f '( x) > 0 ⇔ 0 <x设f '( x) < 0 ⇔x >∴f ( x)在(0, 1 )上递增,+∞)上递减.综上，当a ≤ 0时，f ( x )的单调递增区间为(0, +∞),当a > 0时，f ( x )的单调递增区间为)f ( x )的单调递减区间为1+∞).4 分（Ⅱ）由(Ⅰ)知当a = 时, f ( x )在(0, 2]上递增, 在[2, +∞)上递减.8设g ( x ) =f ( x ) - f ( 3 ) ( x ∈[2, +∞)) .2∴ g ( x )在[2, +∞)上递减, 2 ∈[2, +∞), 3e ∈[2, +∞)2由(Ⅰ)知f ( x )在(0, 2]上递增, 2> 3 ,∴ f (2) > f ( 3则g (2) = 2 2f (2) - f ( 3 ) > 02又g ( 3 e )=f ( 3 e ) - f ( 3 ) = ln 3 e - 1 ⋅ 9 e 2 - ln 3 + 92 2 2 2 8 4 2 3241 - 9e 2 = < 0,由零点存在定理可知，32g ( x )在(2 3e )上必有唯一零点记为x , ， 2 0即g ( x )=f ( x ) - f ( 30 02故存在x ∈[2, +∞), 使f ( x )=f ( 3 ). 9 分0 02（Ⅲ）由(Ⅰ)知当a ≤ 0时, f ( x )在[1, 3]上递增, 不合题意,∴ a > 0.11。
2015年长春市四模(数学文科)试卷及参考答案与评分参考[最新版]
![2015年长春市四模(数学文科)试卷及参考答案与评分参考[最新版]](https://img.taocdn.com/s3/m/7cbae97aa417866fb84a8ea2.png)
长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C8. A9. A 10. B 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -= B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化. 【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A 由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A. 9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A. 10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B.11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12ba +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e =，故选C. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+=，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE O E R CF O F =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-. (6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒.(12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4， 则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BDEF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面.(6分)(2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则1113C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC =，EB =1BC =1EBC S ∆=1113C EBD EBC V S h h -∆=⋅==4h =.(12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =. (4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得，20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=-根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-， 从而20111NF ABk k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x xf x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x ++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==.再令()ln h x x x =-， 则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴=== 在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==. (5分) (2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形O AD B 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点， 所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+= 2C 的直角坐标方程为1y x =+. (5分)(2) 设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C的距离2)|4d πα=+， 当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d1，此时P点坐标为(1.(10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥， 从而实数4m ≥. (10分)。
安徽省“江淮十校”2015届高三4月联考文科数学试题(扫描版)
文科数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案A B D C C A A B D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.题号11 12 13 14 15答案7250.71()37,17①③④⒖【答案】①③④.【解析】函数()f x 具有“自平行性”，即对定义域内的任意自变量1x ，总存在21x x ≠，使得()()21f x f x ''=.对于①，()cos f x x '=，满足条件，故①正确；对于②，()2()312f x x x '=-≤≤，对任意(]11,2x ∈，不存在21x x ≠，使得()()21f x f x ''=成立，故②错误；对于③，当0x <时，()()0,1xf x e '=∈，而x m >时，()21()10,1f x x '=-∈，则22110,111,x x ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩解得1x <-（舍去）或1x >，则1m =，故③正确；对于④，()()0f x x x =≠不符合定义，故④正确；对于⑤，同④，其导函数为奇函数，故⑤不正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内. ⒗（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()22223sin cos 2sin 23sin21cos22f x x x x x x =⋅+=-+=--+m n3sin 2cos21x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，……………………………………………………………………4分 故当2262x k πππ+=+，即()6x k k Z ππ=+∈时，()max 3f x =； ……………………………………6分（Ⅱ）由()02f =，知()0,2P . 由32262x k πππ+=+，得()23x k k Z ππ=+∈，此时()1f x =-，则2,13Q π⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………………8分 而由2266x k πππ+=-，得()6x k k Z ππ=-+∈，则()516x k π==，故5,06R π⎛⎫⎪⎝⎭，……………………10分 从而2,33QP π⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r，,16QR π⎛⎫= ⎪⎝⎭u uu r ，因此22313369QP QR πππ⋅=-⨯+⨯=-+u u u r u u u r . ………………………12分⒘（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设的公差为d ，由题意，1224a a a =，即()()21113a d a a d +=+………………………2分 于是10()d a d =－因为0d ≠，且13a =，所以3d =. …………………………………………………4分 故3n a n =. ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3nk n a k =，……………………………………………………………6分又数列{}nk a 是以1a 为首项，3为公比的等比数列，则1333nk n n a -=⨯=， ………7分所以33nn k =，即13n n k -=. ………………………………………………………8分 因此01211323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ①则()12313132333133n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ② ……………………………………………10分由①-②得211311213333331322n n n n n n S n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=--- ⎪-⎝⎭L 因此()1121344n n S n =+-. ……………………………………………………………………12分⒙（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可知，8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，………………………2分0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=， …………………………………………………3分平均分约为550.16650.30750.40850.10950.0470.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………5分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为,,,,a b c d e ，分数在[90，100)有2人，分别记为F ，G ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：()()()()()()()()()()a b a c a d a e a F a G b c b d b e b F ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()()()()()(),()b G c d c e c F c G d e d F d G e F e G F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21个等可能基本事件；……………………………………………………………………………………9分 其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a ，F)，(a ，G)，(b ，F)，(b ，G)，(c ，F)，(c ，G)，(d ，F)，(d ，G)，(e ，F)，(e ，G)，共10个，……11分所以抽取的2名同学来自不同组的概率1021P =.……………………………………………………12分⒚（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ． ABCD Q 是正方形，∴ E 是BD 的中点．M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线． ∴//ME SB ． 2分又∵ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM ． 4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ …………………………6分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.S D C ∴.SC AM ⊥ …………………………………………………8分由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面AMN . …………………………………………………9分解：（Ⅲ）,,,M D C N ∈平面ACD ，几何体MANCD 为四棱锥A MNCD -.由（Ⅱ）知AM 为点A 到平面M的距离. ……………………………………………………10分因为2SA AB ==，则22SD =，23SC =， 2AM SM ==. 因为SC ⊥平面AMN ，则M N S C ⊥，故26sin 2323MN SM MSN =⋅∠=⨯=，2623233SN ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此1162352=22222333MNCD S ⨯⨯-⨯⨯=四边形，……………………………………………………12分则135210239A MNCD V -=⨯⨯=. ……………………………………………………13分⒛（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，得()x f x e m '=-， …………………………………………………1分所以函数()f x 在0x =处的切线斜率1k m =-， …………………………………………………2分又(0)1f n =-，所以函数()f x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-， ………………………4分将点(1,0)代入，得2m n +=. …………………………………………………6分（Ⅱ）当0n =时，函数()x f x e mx =-的定义域为R ，()x f x e m '=-.因为1x ≥-，所以1x e e≥. ①当1m e ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增，从而min 1()(1)f x f m e=-=+，无最大值； …………………………………………………9分②当1m e>时，由()0x f x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，当[)1,ln x m ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以函数()f x 在[)1,-+∞上有最小值为(ln )ln f m m m m =-，无最大值. …………………………12分综上知：当1m e ≤时，函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增，有最小值1(1)f m e-=+，无最大值； 当1m e>时，函数()f x 在[)1,ln m -上单调递减，在(ln ,)m +∞上单调递增，有最小值为(ln )ln f m m m m =-，无最大值. (13)分21. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线为1x =-，则()1,0F -，即1c = (2)分 又点21,2M ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，则()2211121a a +=-，解得22a =， ……………………………………4分故求椭圆E 的方程为2212x y +=.………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设()02,P y -、()11,Q x y .依题意可知切线PQ 的斜率存在，设为k ，则PQ ：y kx m =+，并代入到2212x y +=中，整理得：()()222214210kx mkx m +++-= (8)分因此()()22221682110m k k m ∆=-+-=，即2221m k =+.……………………………………………9分从而12221mk x k =-+，212222121mk m y m k k =-+=++，则222,2121mk m Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；…………………………10分 又02y k m =-+，则()2,2P k m --+，()2221,2,1,2121mk m k m P k Q k F F ⎛⎫---⎪++⎭= ⎝=u u u r u u u r.…………………11分 由于()222222110212121m k m P mk m k F F k k Q =-⋅--=-=+++u u u r u u u r，故PF QF ⊥u u u r u u u r ，即PF QF ⊥.………………13分。
淮北一中2015届高二文科第四次周练数学试卷
高二数学周练试卷（四）班级 姓名 得分1.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =( )A ．5B ．8C ．10D ．142.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，312S =，则6a 等于( )A ．8B ．10C ．12D ．143.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( )A.3B.4C.5D.64.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则）5.设n a 是首项为1a ，公差为－1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a ＝A ．2B ．－2 C.12 D ．－126.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( )A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．369,,a a a 成等比数列7.等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =( )A ．()1n n +B ．()1n n - C. ()12n n + D. ()12n n - 8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若243,15S S ==，则6S =( )A ．31B ．32C ．63D ．649.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．310.已知数列}{n a 的通项公式为*)(21log 2N n n n a n ∈++=，设其前n 项和为S n ，则使5-<n S 成立的自然数n （ ）11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28641,2a a a a ==+，则6a 的值是 ．12.数列{}n a 满足111n na a +=-，82a =，则1a = 13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425l o g l o g l o g l o g l o g a a a a a ++++= ．14.已知ABC ∆的一个内角为︒120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为______.15.在数列{}n a 中，123a =，且满足113(2)32n n n a a n a --=≥+，则n a ＝ . 16.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若,,a b c 成等差数列，证明：()sin sin 2sin A C A C +=+；(2)若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的值．17.数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，n ∈N *.(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)设3n n b ={}n b 的前n 项和n S .文科第四次周练参考答案1-5 BCBAD 6-10 DACCB11. 4 12. 12 13.5 14. 315 15 546+n 16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 17．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32， 所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.。
全国大联考2015届高三第四次联考·文科数学试卷(附详解答案)
全国大联考2017届高三第四次联考·文科数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2≤2x},B={y|y>1},则A∩B等于A.{x|x≥2}B.{x|x>1}C.{x|0≤x<1}D.{x|1<x≤2}2.若双曲线x2-ay2=1的离心率为62,则正数a的值为A.3B.2C.4D.123.在下列四个图所表示的正方体中,能够得到AB⊥CD的是A.①②B.②③C.②④D.①③④4.若过点P(2,-1)的圆(x-1)2+y2=25的弦AB的长为10,则直线AB的方程是A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.x-2y+5=05.设sin α+cos β=12,则sin α+sin2β的最小值为A.3 2B.-12C.-1D.346.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A.4+4πB.4+3πC.3+4πD.3+3π7.设m,n ∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,且坐标原点O 到直线l 的距离为 3,则△AOB 的面积S 的最小值为A.1B.2C.3D.48.已知直线m ⊥平面α,直线n 在平面β内,给出下列三个命题:①“α∥β”是“m ⊥n ”的充分不必要条件;②“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件;③“α⊥β”是“m ⊥n ”的充要条件.则其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.39.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于A.1B. 2C.2D.2 2 10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=52cos(π2x)+lo g 12x,则函数f(x)的零点个数为A.4B.6C.7D.911.半径为1的球内最大圆柱的体积为A.2 69π B. 34πC.2 33π D.4 39π12.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A 、B,渐近线分别为l 1、l 2,点P 在第一象限内且在l 1上,若PA ⊥l 2,PB ∥l 2,则该双曲线的离心率为A. 5B.2C. 3D. 2第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .14.已知椭圆x 2+y 2=1(m>n>0)的离心率为1,且有一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则椭圆的短轴长为 ▲ .15.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知a 2-b 2=c,且sin Acos B=2cos Asin B,则c= ▲ .16.正四面体ABCD 的棱长为1,其中线段AB ∥平面α,E,F 分别是线段AD 和BC 的中点,当正四面体绕以AB 为轴旋转时,线段EF 在平面α上的射影E 1F 1长的范围是 ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,这是一个半圆柱与多面体ABB 1A 1C 构成的几何体,平面ABC 与半圆柱的下底面共面,且AC ⊥BC,P 为A 1B 1 上的动点.(1)证明:PA 1⊥平面PBB 1;(2)设半圆柱和多面体ABB 1A 1C 的体积分别为V 1,V 2,且AC=BC,求V 1∶V 2.18.(本小题满分12分)已知点C 的坐标为(0,1),A,B 是抛物线y=x 2上不同于原点O 的相异的两个动点,且OA ·OB =0. (1)求证:AC∥BC ; (2)若AM =λMB (λ∈R),且OM ·AB =0,试求点M 的轨迹方程.19.(本小题满分12分)如图,在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是平行四边形,DD 1⊥平面ABCD,AB= 2AD,AD= 2A 1B 1,∠BAD=45°. (1)证明:BD ⊥AA 1;(2)证明:AA 1∥平面BC 1D.20.(本小题满分12分)已知数列{a n }中,a 1=5,a 2=2,且2(a n +a n+2)=5a n+1. (1)求证数列{a n+1-2a n }和{a n+1-12a n }都是等比数列; (2)求数列{2n-3a n }的前n 项和S n .21.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点,当|MP |最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=a-lnxx(a ∈R). (1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,求实数a 的取值范围.2015届高三第四次联考·数学试卷参 考 答 案1.D 因为A={x|x 2≤2x}={x|0≤x ≤2},B={y|y>1},所以A ∩B={x|0≤x ≤2}∩{y|y>1}={x|1<x ≤2}.2.B 双曲线x 2-ay 2=1的方程可化为x 2-y 21a=1,得c 2=1+1a ,所以e 2=(1+1a )2=( 62)2,解得a=2.3.A 对于①,通过平移AB 到右边的平面,可知AB ⊥CD,所以①中AB ⊥CD;对于②,通过作右边平面的另一条对角线,可得CD 垂直AB 所在的平面,所以②中AB ⊥CD;对于③,可知AB 与CD 所成的角60°;对于④,通过平移CD 到下底面,可知AB 与CD 不垂直.所以能够得到AB ⊥CD 的是①和②.4.C 因为圆的直径为10,所以弦AB 为圆的直径,因为圆心为C(1,0),且直线AB 过点P(2,-1),由直线方程的两点式得y+1=x-2,即x+y-1=0.5.B 由sin α+cos β=12,得sin α=12-cos β,所以sin α+sin 2β=12-cos β+1-cos 2β=-(cos β+12)2+74,易知当cos β=1时,sin α+sin 2β取最小值-12,此时sin α=-12,满足题意. 6.A 由三视图可知,该几何体的上半部分是直径为1的球,其表面积为π,下半部分是底面半径为1,高为2的圆柱体的一半,其表面积为2×2+π×1×2+1×π×12×2=4+3π,所以该几何体的表面积为4+4π.7.C 由坐标原点O 到直线l 的距离为 3,可得22= 3,化简可得m 2+n 2=13,令x=0,可得y=1n ,令y=0,可得x=1m,故△AOB 的面积S=12·|1m ||1n |=12|mn|≥1m 2+n2=3,且当仅当|m|=|n|=6时,取等号. 8.C 对于①若α∥β,因为直线m ⊥平面α,所以直线m ⊥平面β,因为直线n 在平面β内, 所以直线m ⊥直线n,反之不成立,所以①是真命题;对于②,若m ∥n,因为直线m ⊥平面α,所以直线n ⊥平面α,因为直线n 在平面β内,所以α⊥β,反之不成立, 所以②是真命题;对于③,可知“α⊥β”是“m ⊥n ”的既不充分也不必要条件,所以③是假命题.所以真命题的个数为2.9.D 设抛物线C:y 2=8x 的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0), 如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M,BN ⊥l 于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B 为AP 的中点、连接OB,则|OB|=1|AF|,≨|OB|=|BF|,点B 的横坐标为1,故点B 的坐标为(1,2 2),≨k=2 2-0=2 2.10.C 当x>0时,函数f(x)=5cos(πx)+lo g 12x=5cos(πx)-log 2x 的零点个数,即函数y=52cos(π2x)与函数y=log 2x 的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为3×2+1=7.11.D 设圆柱的底面半径为r,高为h,则有(h 2)2+r 2=12,所以圆柱的体积为V=πr 2h=π(1-h 2)h=π(-h 3+h),而V'=π(-3h 2+1),易知当h= 3时,V 取最大值π(-h 3+h)=π[-4( 3)3+ 3]=4 3π. 12.B 依题意有A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为l 1:y=b a x,l 2:y=-bax,设P(x,y).由PB ∥l 2得y x-a =-b a,因为点P 在直线y=b a x 上,于是解得P 点坐标为P(a 2,b2),因为PA ⊥l 2,所以y-0x-(-a)·(-b a)=-1,即b 3a ·(-ba )=-1,所以b 2=3a 2,因为a 2+b 2=c 2,所以有c 2=4a 2,即c=2a,得e=2.13.3π3设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则l=2,2πr=πl,得r=1,所以h= l 2-r 2= 4−1= 3,所以圆锥的体积为V=13πr 2h=3π3.14.8 3 由已知得m-n m =122=14,所以4n=3m,因为抛物线y 2=16x 的焦点为(4,0),而椭圆的右焦点为(c,0),所以c=4,得m-n=42=16,解得m=64,n=48,所以椭圆的短轴长为2 n =2 48=8 3.15.3 由sin Acos B=2cos Asin B 得a 2R ·a 2+c 2-b 22ac =2·b 2+c 2-a 22bc ·b2R ,所以a 2+c 2-b 2=2(b 2+c 2-a 2),即a 2-b 2=c 2,又a 2-b 2=c,解得c=3.16.[1, 2] 如图,取AC 中点为G,连接EG 、FG,≧E,F 分别是线段AD 和BC 的中点,≨GF ∥AB,GE ∥CD,在正四面体中,AB ⊥CD,≨GE ⊥GF, ≨EF= GE 2+GF 2=22,当四面体绕AB 旋转时, ≧GF ∥平面α,GE 与GF 的垂直性保持不变,当CD 与平面α垂直时,GE 在平面上的射影长最短为0,此时EF 在平面α上的射影E 1F 1的长取得最小值1;当CD 与平面α平行时,GE 在平面上的射影长最长为12,E 1F 1取得最大值 22;≨射影E 1F 1长的取值范围是[12, 22].17.证明:(1)在半圆柱中,BB 1⊥平面PA 1B 1,所以BB 1⊥PA 1.因为A 1B 1是底面圆的直径,所以PA 1⊥PB 1,因为PB 1∩BB 1=B 1,PB 1⊂平面PBB 1,BB 1⊂平面PBB 1,所以PA 1⊥平面PBB 1. ................................................................................. 5分 (2)因为AC ⊥BC,AC=BC,所以△ABC 是等腰直角三角形,且AB 2=BC 2+AC 2=2AC 2.所以半圆柱的体积V 1=12(12AB)2π·AA 1=π4AC 2·AA 1.多面体ABB 1A 1C 是以矩形ABB 1A 1为底面,以C 为顶点的四棱锥,其高为点C 到底面ABB 1A 1的距离,设这个高为h,在Rt △ABC 中,易得AB ·h=AC ·BC,所以h=AC ·BCAB ,所以V 2=13·AA 1·AB ·AC ·BC AB =13·AA 1·AC ·BC=13AA 1·AC 2.所以V 12=3π. ................................................................................................................................... 10分18.解:(1)设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),x 1≠0,x 2≠0,x 1≠x 2,因为OA ·OB =0,所以x 1x 2+x 12x 22=0,又x 1≠0,x 2≠0,所以x 1x 2=-1. 因为 AC =(-x 1,1-x 12),BC =(-x 2,1-x 22),且(-x 1)(1-x 22)-(-x 2)(1-x 12)=(x 2-x 1)+x 1x 2(x 2-x 1)=(x 2-x 1)-(x 2-x 1)=0,所以AC ∥BC. ................ 6分 (2)由题意知,点M 是直角三角形AOB 斜边上的垂足,又定点C 在直线AB 上,∠OMB=90°,所以点M 在以OC 为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x 2+(y-12)2=14(y≠0). ................................................................................................................................................. 12分19.证明:(1)因为AB= 2AD,∠BAD=45°,在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·ABcos 45°=AD 2,所以AD 2+BD 2=AB 2,因此AD ⊥BD,因为DD 1⊥平面ABCD,且BD ⊂平面ABCD,所以DD 1⊥BD,又AD ∩DD 1=D,所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1,所以BD ⊥AA 1. ................................................................................. 6分 (2)连结AC 、A 1C 1,设AC ∩BD=E,连结EC 1,因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AE=12AC,由棱台的定义及AB= 2AD=2A 1B 1知,A 1C 1∥AE,且A 1C 1=AE,所以四边形A 1C 1EA 是平行四边形,因此AA 1∥EC 1, 又因为EC 1⊂平面BC 1D,AA 1⊄平面BC 1D,所以AA 1∥平面BC 1D. .............................................................................................................. 12分20.解:(1)由2(a n +a n+2)=5a n+1得a n+2=5a n+1-a n ,所以a n+2-2a n+1=5a n+1-a n -2a n+1=1a n+1-a n =1(a n+1-2a n ).又因为a 2-2a 1=2-2×5=-8,所以数列{a n+1-2a n }是首项为-8,公比为12的等比数列.同理a n+2-12a n+1=52a n+1-a n -12a n+1=2a n+1-a n =2(a n+1-12a n ),又a 2-12a 1=2-52=-12,所以数列{a n+1-1a n }是首项为-1,公比为2的等比数列. ...................................................... 6分(2)由(1)知a n+1-2a n =-8×(12)n-1=-2-n+4,a n+1-12a n =-12×2n-1=-2n-2,将以上两式相减得到a n =25−n -2n-13(n ∈N +),所以2n-3a n =2n-3×25−n -2n-13=4−4n-23(n ∈N +),所以S n =4n 3-13(4-1+40+41+42+…+4n-2)=48n-4n+136. ............................................................ 12分21.(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0).由题意 a 2=b 2+c 2a ∶b =2∶ 3c =2.解得a 2=16,b 2=12.所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1. .............................................................................................. 6分(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为x 216+y 212=1,故-4≤x ≤4.因为MP=(x-m,y), 所以|MP|2=(x-m)2+y 2=(x-m)2+12×(1-x 2)=1x 2-2mx+m 2+12=1(x-4m)2+12-3m 2. 因为当|MP |最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点, 即当x=4m 时,|MP|2取得最小值,而x ∈[-4,4], 故有4m ≥4,解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上,即-4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]. ......................................................................................... 12分22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+≦),f'(x)=-1-(a-lnx)2,令f'(x)=0,得x=e 1+a , 当x ∈(0,e 1+a )时,f'(x)<0,f(x)是减函数; 当x ∈(e 1+a ,+≦)时,f'(x)>0,f(x)是增函数.所以当x=e 1+a 时,f(x)取得极小值,即极小值为f(x)=a-(a+1)e a+1=-e -1-a ,无极大值. ............. 6分 (2)①当e 1+a <e,即a<0时,由(1)知,f(x)在(0,e 1+a )上是减函数,在(e 1+a ,e)上是增函数,当x=e 1+a时,f(x)取得最小值,即f(x)最小值=-e -1-a ,又当x=e a 时,f(x)=0,当x ∈(0,e a )时,f(x)>0,当x ∈(e a ,e)时,f(x)∈(-e -1-a ,0),所以f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,等价于-e -1-a ≤-1,解得a ≤-1,又a<0,所以a ≤-1.②当e 1+a ≥e,即a ≥0时,f(x)在(0,e]上是减函数,f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=a-1e,所以,原问题等价于a-1e≤-1,得a ≤1-e<0,又a ≥0,所以不存在这样的实数a.综上知实数a 的取值范围是a ≤-1. ....................................................................................................................... 12分。
山东省临沂市第十九中学2015届高三上学期10月第四周周考数学(文)试题Word版含答案
高三数学（文）集训一一、选择题1、函数y A ，函数ln(21)y x =+的定义域为集合B ，则A B =( )A ．11,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2、给出四个命题；:p x x =的充要条件是x 为非负数；:q 奇函数的图象一定关于原点对称，则假命题是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．p ⌝且qD ．p ⌝或q 3、以下给出的函数中，以π为周期的偶函数是（ ）A ．22cos sin y x x =- B ．tan y x = C ．cos y six x = D ．cos 2xy = 4、设等比数列{}n a 的公比为2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A ．2 B ．4 C ．152 D ．1725、对于函数()cos f x x x =+，下列命题中正确的是（ ） A ．(),2x R f x ∀∈= B ．(),2x R f x ∃∈= C ．(),2x R f x ∀∈> D ．(),2x R f x ∃∈>6、设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是二哥不同的平面，有下列四个命题： ①若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ ②若//,m αβα⊂，则//m β ③若,,n n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥ ④若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．②③7、已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8、一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形， 其尺寸如图，则该多面体的体积为（ ）A ．483m B ．243m C ．323m D ．283m9、已知变量,x y 满足条件10290x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,3处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<< B ．102a <<C ．1a <-D ．1a <-或12a > 10、对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中国,,abc 是常数，等式右边的运算是通常的加法乘法运算，已知123,234*=*-=-，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ，都有x m x *=，则m 的值是（ ）A ．-4B ．4C ．-5D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
广东省四校2015届高三上学期期末联考数学(文科)试题参考答案及评分标准
（2）根据样本估计总体，估计这所学校高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上（含 180cm ）的人数为
( a1 , A1 ) , ( a1 , A2 ) , ( a1 , B1 ) , ( b1 , A1 ) , ( b1 , A 2 ) , ( b1 , B1 ) , ( b2 , A1 ) , ( b2 , A2 ) , ( b2 , B1 ) , ( b3 , A1 ) , ( b3 , A2 ) , ( b3 , B1 ) , ( a1 , B1 ) , ( b1 , A1 ) , ( b1 , A2 ) , ( b2 , A1 ) , ( b2 , A2 ) , ( b3 , A1 ) , ( b3 , A2 ) ，共 7 个.
y = k 与 g (t ) 的图像恰有三个不同交点，即函数 f ( x ) 恰有三个零点，故实数 k 的取值范围是 (3, 4) .
14． 【解析 解析】先将点的极坐标 (2 2, 解析
, 2 2 sin ) 即 (2, 2) ；再将圆的极坐标方 4 4 4 2 2 2 程化为直角坐标方程 ρ = 4 sin θ ⇒ ρ = 4 ρ sin θ ⇒ x + y = 4 y ⇒ x 2 + ( y − 2) 2 = 4 ， 作图知，过圆上的点 (2, 2) 的切线方程为 x = 2 ，将切线方程化为极坐标方程是 ρ cos θ = 2 . ) 化为直角坐标 (2 2 cos
三、解答题： 解答题：本大题共 6 小题， 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分 12 分） 解:（1）由余弦定理得： b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = 52 + 82 − 2 × 5 × 8 × cos
湖北省七市2015年高三4月联合考试数学(文)试题及答案
2015年4月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试数学(文史类)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。
当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
一．选择题：A 卷：ABDDB CABDC B 卷：ACBDB CACDB二．填空题：11．94 12．6 13．①③④ 14．162915．4π 1617．(Ⅰ)23666777++(Ⅱ)(4，2)三．解答题：18．(Ⅰ)解：())cos()2sin()336f x x x x πππωωω=+-=⋅++m n 2分 由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为4π，所以2424T πππωω==⋅==，3分 令222262k x k πππππ-++≤≤，解得36k x k ππππ-+≤≤(k ∈Z )5分 又[0]x π∈，，所以所求单调增区间为2[0][]63πππ，，，6分(Ⅱ)解：1()2sin(2)1sin(2)2266266f A A A A k πππππ=+=+=+=+，，或52266A k πππ+=+A k π=或3A k ππ=+(k ∈Z )，又(0)A π∈，，故3A π=8分∵3cos (0)5C C π=∈，，，∴4sin sin sin()sin()53C B A C C π==+=+=， 10分由正弦定理得sin sin b aB A=，∴4b =12分19．(Ⅰ)解：当n = 1时，1221113232S a a a =-=+， 1分当n ≥2时，1132n n S a -=-，与已知式作差得1n n n a a a +=-，即12(2)n n a a n +=≥ 欲使{a n }为等比数列，则2122a a r ==，又21132a a =+，∴132r =5分 故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以62n n a -=6分(Ⅱ)解：6n b n =-，66||66n n n b n n -<⎧=⎨-⎩，，≥ 若6n <，21112n n n n T b b -=---=9分若6n ≥,215611302n n n n T b b b b -=---+++=+，∴221162113062n n n n T n n n ⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩，，≥ 12分20．(Ⅰ)证：由于C 是以AB 为直径的圆上一点，故AC ⊥BC又SC ⊥平面ABC ，∴SC ⊥BC2分 ∵SC AC C =，∴BC ⊥平面SAC ，BC ⊥SA 4分 O 、M 分别为AB 、SB 的中点，故OM 平行于SA ∴OM ⊥BC6分(Ⅱ)解：四面体S －ABC 的体积221112()3363ABC V SC S AC BC AC BC ∆=⋅=⋅+=≤当且仅当AC BC == 9分 取BC 的中点N ，连接MN 、AN ，则MN与SC 平行，MN ⊥平面ABC∴MAN α=∠ 11分tan MN AN α===13分 21. (Ⅰ)解：'()ln 1(0)f x x x =+>令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e --=≥，所以1x e≥同理，令'()0f x ≤，可得1(0]x e ∈，3分 所以()f x 的单调递增区间为1[)e +∞，，单调减区间为1(0]e，4分 min 11()()f x f e e==-5分(Ⅱ)解：()ln a F x x x =-，2'()x aF x x+= (1) 当a ≥0时，'()0()F x F x >，在[1]e ，上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去8分(2)当0a <时，()F x 在(0)a -，上单调递减，在()a -+∞，上单调递增①若(10)a ∈-，,()F x 在[1]e ，上单调递增,min 3()(1)2F x F a ==-=所以3(1,0)2a =-∉-，舍去10分②若[1]a e ∈--，，F (x )在[1]a -，上单调递减，在[]a e -，上单调递增所以min 3()()ln()12F x F a a =-=-+=，解得[,1]a e =--12③若()a e ∈-∞-，，F (x )在[1，e ]上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-= 所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去.综上所述：a =14分22．(Ⅰ)解：设T (x ，y )，则22y yx x λ⋅=-+-，化简得221(2)44x y x λ+=≠± 又A 、B 的坐标(20)-，、(2，0)也符合上式，故曲线:C 221(01)44x y λλλ+=>≠，3分 当01λ<<时，曲线C 是焦点在x轴上的椭圆，焦点为(0)0)-， 4分 当1λ>时，曲线C 是焦点在y轴上的椭圆，焦点为(0(0-，，， 5分(Ⅱ)解：由于01λ<<，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，其焦点为(0)0)-，，椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离故21-，34λ∴=，曲线C 的方程为22143x y +=6分 (ⅰ)由221143x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得33(1)(1)22M N -，，，或33(1)(1)22N M -，，，当33(1)(1)22M N -，，，时，13:(2):(2)22AM y x BN y x =+=-，，解得P (4，3)当33(1)(1)22N M -，，，时，由对称性知，P (4，－3)所以点P 坐标为(4，3)或(4，－3)9分 (ⅱ)由(ⅰ)知，若存在，直线l 1只能是4x = 9分以下证明当m 变化时，点P 总在直线4x =上．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立22143x y +=及1x my =+，消去x 得：22(34)690m y my ++-=，121222693434m y y y y m m +=-=-++， 直线1212:(2),:(2)22y y AM y x BN y x x x =+=-+-10分消去y 得122112122112122(2)2(2)426(2)(2)3y x y x my y y y x y x y x y y -++-+==+--+ 以下只需证明1212121212426446()03my y y y my y y y y y -+=⇔-+=+※对于m ∈R 恒成立 而22121222296363646()4()6()0343434m m m my y y y m m m m -+-+=⋅--⋅-==+++ 所以※式恒成立，即点P 横坐标总是4，点P 总在直线4x =上 故存在直线l 1：4x =，使P 总在直线l 1上． 14分谢谢大家。
新课标2015届高三第三次四校联考数学(文)试卷带答案
2015届高三年级第三次四校联考数学（文）试题一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.设全集为R ，集合A={}4|2<∈x R x ，B={}41|≤<-x x ，则 A =)(B C RA.()2,1-B.()1,2--C.(]1,2--D.()2,2- 2.已知复数iiz +-=11i (为虚数单位)，则z 的共轭复数是 A.i B.i +1 C.i - D.i -13.若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比q = A.1 B.2 C.2- D.44.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为A .x y 23±= B .x y 3±= C .x y 21±= D .x y ±= 5.已知命题:p ,x R ∃∈使23xx>；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，下列是真命题的是A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝ 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.π38 B.π316 C.π8 D.π364 7.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为 A .41 B .43C .94D .1698.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B . 2C .12D .1- 9.已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是10.在半径为cm 10的球面上有C B A ,,三点，如果38=AB ，060=∠ACB ，则球心O 到平面ABC 的距离为A .cm 2B .cm 4C .cm 6D .cm 8 11.已知函数)2||,0)(2cos()(πϕωπϕω<>-+=x x f 的部分图象如图所示，则)6(π+=x f y 取得最小值时x 的集合为A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,3ππC .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,62ππ D .⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,32ππ12.已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量),1(x =，)2,1(-=x ，若b a //，则=x .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ，则1-x y 的最小值是 .15.设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量)2,1(1=+n n P P ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x ，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分)在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos42BA -22-=. （1）求角C 的大小；（2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. (本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道 数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊， 记为x ，已知甲、乙两组的平均成绩相同. （1）求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定;（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19. (本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所 在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ． （1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（2）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE的距离．0 1 甲 乙 9 9 1 18 9 x 2（18题图）（19题图）20. (本小题满分12分)已知点)0,1(A ,点P 是圆C ：22(1)8x y ++=上的任意一点,，线段PA 的垂直 平分线与直线CP 交于点E . （1）求点E 的轨迹方程；（2）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．21. (本小题满分12分)设函数xkx x f +=ln )(，R k ∈. (1) 若曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线与直线02=-x 垂直，求)(x f 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意021>>x x ，2121)()(x x x f x f -<-恒成立，求k 的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()f x =|2||2|x x ++-，R x ∈.不等式()6f x ≤的解集为M . （1）求M ；（22015四校三联文科数学试题答案一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC二填空题 13. 2或1- 14. 1 15. 2n 16. 210<<b 三解答题17.解：（１）由条件得B A sin sin 4=2（212cos 2--BA ）2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ………………2分化简得 =+)cos(B A 22-, ………………………4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C ＝4π………………………6分 （２）由已知及正弦定理得4=b ………………………8分又 S ΔABC =8，C=4π ∴ 128sin =C ab ， 得24=a ………………………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . ………………………12分 18. （1） ，甲104111199=+++=x ，乙104012198=++++=x x ∴1=x ……………2分 ， 又 1]10-111011()910()910[(4122222=+-+-+-=）（）甲S25]10-121011()910()810[(4122222=+-+-+-=）（）乙S ………………4分∴22乙甲S S <∴甲组成绩比乙组稳定。
2015届高三第二次四校联考数学文试题-Word版含答案
2015届高三第二次四校联考数学文试题-Word版含答案DD ．)13(4910--4. 已知函数xx x f 2)(2+=，若)2(2)()(f a f a f ≤+-，则实数a的取值范围是A ．[]2,2-B ．(]2,2-C ．[]2,4-D ．[]4,4-5．已知命题p ：()0,∞-∃x ，xx32<，命题q ：()1.0∈∀x ，0log2<x 则下列命题为真命题的是A. q p ∧ B ．)(q p ⌝∨ C ．qp ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A. 144 B ．36 C ．49D ．1697．已知向量b a ,满足1=a ，2=b ，3-=•，则与的夹角为A ．32πB ．3πC ．6πD ． 65π8．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=BAC 30∠=，S S i=+0,1S i ==结束开始是否 输出Si<13？2i i =+若MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y 1,,2，则x y14+的最小值为（ ）A.20B.18C.16D.9 9．已知函数xx f x+=3)(，x x x g 3log )(+=，33log)(xx x h -=的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是 A ．1x >2x >3x B ．2x>1x >3x C ．1x>3x >2xD ．3x>2x >1x10. 已知α是第二象限角,54)3sin(=-απ,函数)2cos(cos cos sin )(x x x f -+=παα的图像关于直线0x x =对称,则=0tan xA ．53- B. 34- C. 43- D. 54- 11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++（第11题）正视图侧视图俯视图222 112. 已知函数⎩⎨⎧>≤-=-0,lg 0,22)(x x x x f x ，则方程)0()2(2>=+a a x xf 的根的个数不可 能为A ．3 B．4C ．5D ．6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.下列四个命题：①函数()()y f a x x R =+∈与()()y f a x x R =-∈的图像关于直线x a =对称； ②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为[0,1]；③在ABC ∆中，“30>A ”是“21sin >A ”的充分不必要条件； ④数列{}n a 的通项公式为22()n a n λn n N +=++ ∈，若{}na 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(3,)-+∞。
2015年四川省高考数学试题及答案【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x ＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+co s2x D．y=sinx+cos x考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin =，输出S 的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A =2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33?（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015?四川）设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r 的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= 2i ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i ﹣=i ﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是 2 ．考对数的运算性质．点：函数的性质及应用．专题：直接利用对数的运算法则化简求解即可．分析：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．解答：故答案为：2．本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．点评：13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2c osα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R 上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n ﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客 P1 P2 P3 P4 P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．答：（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH?平面ACH，BE?平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG?平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF?平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P （0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、?=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时?+λ?=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，+λ?=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且?=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时?+λ?=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时?+λ?=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x ﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）|1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x ＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．48．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015?四川）设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．1610．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r 的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= ．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P （0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2020-2-8。
山西省2015届高三第四次诊断考试数学文试题 Word版含答案
山西省2014～2015学年度高三第四次诊断考试数 学 试 卷（文 科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}215x x A =-≥，集合x y ⎧⎫B ==⎨⎩，则A B 等于（ ）A ．()3,7B ．[]3,7C ．(]3,7D ．[)3,7 2、已知向量()2,1a m =，向量()1,8b =-，若a b ⊥，则实数m 的值是（ ）A ．4-B ．4C ．43D ．143、设sin 6a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()(),0,0xa x f x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则21log 6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．14B ．4C ．16D ．64、若R m ∈，则“6l o g 1m =-”是“直线1:l 210x my +-=与2:l ()3110m x my ---=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）A ．1BCD 6、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220l n l n l n a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．50B ．25C ．75D ．1007、为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．53π8、已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数()()2y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是（ ） A ．14 B ．2 C ．23D ．1 9、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若222b c a +-=，且b =，则下列关系一定不成立的是（ ）A ．a c =B ．b c =C ．2a c =D ．222a b c +=10、若实数x 、y 满足22030x y y ax y a +-≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，且22x y +的最大值等于34，则正实数a 的值等于（ ）A ．12B ．34C ．43D ．311、已知O 为原点，双曲线2221x y a-=（0a >）上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12、已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（ ） A ．()212ln 24f x +<- B ．()212ln 24f x -< C ．()212ln 24f x +>D ．()212ln 24f x -> 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知α为锐角，且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α= ．14、若直线l 与幂函数n y x =的图象相切于点()2,8A ，则直线l 的方程为15、1by +=（其中a 、b 为非零实数）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∆AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 ．16、点A ，B ，C ，D 在同一球面上，C AB =B =C 2A =，若球的表面积为254π，则四面体CD AB 体积的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）在C ∆AB 中，已知()sin sin sin A +B =A +B ()1求角B ；()2若4tan 3A =，求sin C 的值．18、（本小题满分12分）已知命题:p 方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 双曲线2215y x m-=的离心率()1,2e ∈，若p 、q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19、（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n -=---，2n ≥且n *∈N ．()1证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ()2设13n n b -={}n b 的前n 项和n S ．20、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 中，C//D B A ，C 1B =，D 3A =，C CD A ⊥，且平面CD P ⊥平面CD AB ． ()1求证：C D A ⊥P ；()2在线段PA 上，是否存在点E ，使//BE 平面CD P ？若存在，求PEPA 的值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）如图，分别过椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点1F 、2F 的动直线1l ，2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、C O 、D O 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =，CD 3=． ()1求椭圆E 的方程；()2是否存在定点M 、N ，使得PM +PN 为定值？若存在，求出M 、N 点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()()23x g x x ax e =-+-（a 为实数）．()1求()f x 在区间[],2t t +（0t >）上的最小值； ()2若存在两不等实根1x ，21,x e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使方程()()2x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围．。
2015年贵州省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(附答案解析)
2015年贵州省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A ＝{0, 1, 2}，B ＝{x ∈R|x 2−3x +2＝0}，则（ ） A.A ⊊B B.B ⊊A C.A ＝B D.A ∩B ＝⌀2. 复数12+i在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A. B. C. D.4. 已知a →=(1, 2)，b →=(−1, 0)，c →=(2, 3)，若a →+λb →与c →垂直，则实数λ＝（ ） A.−2 B.−13C.73D.45. 设x ，y 满足约束条件{1≤x ≤2y ≤2x ≤2y ，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A.6B.5C.4D.06. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.32B.50C.70D.907. 设α∩β＝m ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）A.√34B.3√34C.√34πD.3√34π9. 在正项等比数列{a n }中，若a 1=1，且3a 3，a 2，2a 4成等差数列，则log 2(a 1⋅a 2⋅a 3⋅a 4⋅a 5⋅a 6⋅a 7)=( ) A.−28 B.−21C.21D.2810. 已知函数f(x)＝x 3+bx 2+cx 的图象如图所示，则x 1⋅x 2等于（ ）A.2B.43C.23D.1211. 已知函数y ＝sin (ωx −53π)(ω>0)在x =π3时取得最大值，则ω的最小值为（ ） A.12B.52C.72D.13212. 设e 1、e 2分别是具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，O 是F 1F 2的中点，且满足|PO|＝|OF 2|，则121222=( )A.13B.12C.√22D.√2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2015届高三文科4月周考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1．如图，阴影部分所表示的集合是（ ） A ．B A C 1 B ．B C A 1C ．B A C 1D ．B C A 12．若αααα则角且,0cos tan ,02sin <⋅<在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．曲线153122=+-=x x x y 在处的切线的倾斜角为 （ ）A ．43π B ．3π C ．4π D ．6π 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．)(||R ∈-=x x yB ．)()31(R ∈=x y xC ．)(3R ∈--=x xx yD ．)0(1≠∈-=x x xy R 5．函数)2||,0,0)(sin(πφωϕω<>>+=A x A y 的图象 如图所示，则y 的表达式为（ ）A ．)61110sin(2π+=x yB ．)61110sin(2π-=x y C ．)62sin(2π+=x yD ．)62sin(2π-=x y6．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15，5，25 B ．15，15，15 C ．10，5，30 D ．15，10，20 7．△ABC 中， 30,1,3=∠==B AC AB ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．23B ．43 C ．23或3 D ．23或43 8．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，4）B ．[0，4]C ．[)+∞,4D ．(]4,09．已知等差数列10987654113,40,}{a a a a a a a a a a n +-+++-=+则中的值为 （ ）A ．84B ．72C ．60D ．4810．球O 的截面把垂直截面的直径分成1：3两部分，若截面半径为3，则球O 的体积为（ ）A ．16πB ．316πC ．332πD ．π3411．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n的最小正值是（ ）A ．67π B ．2π C ．6πD ．3π 12．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是（ ）A ．223B ．183C ．1813D ．2213B 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．函数)1(log 2xx y += 的最小值是 . 14．若向量b a a a b a b a b a ⋅+⋅==则的夹角为与满足与满足,120,1|||| = . 15．设)(,8)]()][(1[,)1(log )()(1121b a f b f f a f x x f x f+=+++=---则若的反函数是函数的值为 . 16．在457,)1(x x ax 与含的展开式中+项的系数相等，则a 的值是 . 三、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．（本小题满分10分）平面向量b c a b a c b a 求已知,,//),,2(),,2(),4,3(⊥==-=y x 、c b c 与及的夹角.18．（本小题满分12分）已知：),(cos sin 32cos 2)(2为常数a R a a x x x x f ∈++=（1）若)(,x f R x 求∈的最小正周期；（2）若]3,6[)(ππ-在x f 是最大值与最小值之和为3，求a 的值.19．（本小题满分12分）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AB 的中点. （1）求证：BC ∥平面A 1MD 1； （2）求二面角A 1—D 1M —C 的大小.20．（本小题满分12分）甲、乙两支足球队经过加时赛后比分仍为0：0，现决定两队各派5名队员，每人各射一点球以决胜负，如果这10名队员每人点球的命中率均为21（相互独立）. （1）求：恰好有三人射中的概率；（2）求：甲队5名队员连续有3人射中，另外2人未射中的概率； （3）求：两队各射完5个点球后，比分为3：3的概率.21．（本小题满分12分）已知：定义域为R 的函数)22,0()(3在区间x ax x f -=内是增函数. （1）求实数a 的取值范围；（2）若)(x f 的极小值为－2，求实数a 的值.22．（本小题满分12分）已知等差数列0,1}{1>=d a a n 且公差的首项，第二项、第五项、第十四项分别是等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项. （1）求数列}{}{n n b a 与的通项公式； （2）设数列12211}{+=+++n nn n a b c b c b c n c 均有对任意自然数成立，求 n n c a c a c a +++ 2211的值.高三文科4月周考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．B 9．C 10．C 11．C 12．A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．1 14．21 15．2 16．35 三、解答题（本大题共6小题，共计70分）17．（本小题满分10分）解：38)4(23//),,2(),4,3(-=∴-⋅=⇔=-=x x x ， …………4分 23),2(=⇔⊥=y y …………6分 0),23,2(),38,2(=⋅=-=∴c b c b …………8分 90,>=∴<c b…………10分 18．解：a x x x f +++=2sin 32cos 1)(…………2分 1)62s i n (2+++=a x π…………4分 （1）ππ==22)(T x f 的最小正周期 …………5分 （2）由]65,6[62]3,6[πππππ-∈+-∈x x 知 …………7分 2)62s i n (211)62s i n (21≤+≤-∴≤+≤-∴ππx x …………9分 11)(,12)(m i n m a x ++-=++=∴a x f a x f …………11分 0,332==+∴a a 解得…………12分19．（本小题满分12分）解法1：（1）∵BC ∥B 1C 1，B 1C 1∥A 1D 1，∴BC ∥A 1D 1. 又A 1D 1⊂平面A 1MD 1，BC ⊄平面A 1MD 1 ∴BC ∥平面A 1MD 1；…………5分（2）设平面A 1MD 1与棱DC 相交于点N ， 连结D 1N ，则点N 是DC 的中点.∴A 1D 1⊥平面D 1DCC 1，A 1D 1⊂平面A 1MND 1∴平面A 1MND 1⊥平面D 1DCC 1， 且D 1N 是交线.过点C 作CH ⊥D 1N 于H 点， 则CH ⊥平面A 1MND 1，再过H 作HO ⊥D 1M 于O 点，连结CO ，根据三垂线定理得CO ⊥D 1M ， 从而∠COH 是二面角C —D 1M —N ，也就是所求二面角A 1—D 1M —C 的补二面角的平面角 …………8分设正方体的棱长为2，则在121,2,11===∆DC DN DD DND Rt 由于中， 所以有.55252cos 22111==+=∠DN DD DD N DD 在N DD NCH DC CN CHN Rt 1,121,∠=∠==∆由于中，所以有 .552cos cos 1=∠⋅=∠⋅=N DD CN NCH CN CH 又由于可求得22,5,321211122221211212111=+==+==++=+=C C C D C D BM CB MC AM A A D A M A D A M D所以在,101052229582cos 12122111=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠∆MC C D M D MC C D CM D C MD 中有进而有.101031011sin 1=-=∠CM D 根据三角形面积公式得2101035223sin 111=⇒⋅⋅=⋅⇒∠⋅⋅=⋅CO CO CM D MC C D CO M D 从而在.55arcsin ,55sin ,=∠==∠∆COH CO CH COH CHO Rt 中 因此所求的二面角.55arcsin11---π的大小为C M D A …………12分解法2：分别以直线DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，并设正方体的棱长为2，则相关点的坐标分别为A 1(2，0，2)，D 1(0，0，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0) …………6分⎩⎨⎧=-+=⎩⎨⎧=-⋅=⋅-===⋅=⋅=0220,0)2,1,2(),,(0)0,0,2(),,(),2,1,2(),0,0,2(,0,),,(1111111111z y x x z y x z y x D A D M A n A D n MD A z y x n 即所以有而且则的法向量是平面设).1,2,0(,0,2,11====n x y z 从而则令…………8分再设0,),,(121212=⋅=⋅'''=D n D n CMD z y x n 则的法向量是平面,⎩⎨⎧='-'+'='-'⎩⎨⎧=-⋅'''=-⋅'''-=-=0220,0)2,1,2(),,(0)2,2,0(),,(),2,1,2(),2,2,0(11z y x z y z y x z y x D D 即所以有而且 令)2,2,1(,2,12=='='='n z y x 从而则…………10分设θθ则的平面角是所求二面角,11C M D A --是钝角，并且有552|||||,cos |cos 212121-=⋅=><-=n n n n θ， 即552arccos)552arccos(-=-=πθ为所求 …………12分 20．解：（1）12815)211()21(73310=-C …………3分（2）由已知，甲队5名队员连续有3人射中，另外2人未射中的概率为.323)211()21(323=-⨯⨯…………7分（3）两队各射完5个点球后，比分为3：3的概率为.25625)211()21()211()21(23352335=-⨯⨯⨯-⨯⨯C C…………12分21．解：（1）03,0)(,)22,0(,3)(22>->'∈-='x a x f x x a x f 即时依题意恒成立， ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=⨯≥∴,23,23)22(32的范围是所以a a …………5分（2）令).23(,3,03,0)(2≥±==-='a a x x a x f 得即 …………6分当x 变化时，)()(x f x f 和'的变化情况如下表：)(,3x f ax 时-=∴取极小值. …………10分故.3:2)3()3()3(3=-=---⋅=-a aa a a f 解得 …………12分22．（1）由题意得：1,)4()13)((12111=+=++a d a d a d a 且解得：.3,12,21-=-==n n n b n a d 易得所以 …………5分（2）由题意得：3,1)2(32,2111==≥⋅==-=-+c n n c a a b c n n n n nn当所以……………7分12221132)12(32532331-⋅⋅-++⋅⋅+⋅⋅+⋅=+++=n n nn n n S c a c a c a Sn n n n n S 3)12(32)32(32333312⋅-+⋅⋅-++⋅⋅+⋅=- …………9分n n n n S 3)12(2322322333212--⋅⋅++⋅⋅+⋅+=--nn nn n n 3)12(213)13(343)12(2)3333(41132----⨯⋅=--++++=--nnn 3)12(2632⋅---⋅=…………11分 33)1(2+⨯-=n n n S…………12分。