几何图形变换中考数学压轴题整顿

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2023年 九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 专题训练(含答案)

2023年 九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 专题训练(含答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练(附答案)1.如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,直线AE,BD交于点F.(1)如图1,当A,C,D三点在同一直线上时,∠AFB的度数为,线段AE与BD的数量关系为.(2)如图2,当△ECD绕点C顺时针旋转α(0°≤α<360°)时,(1)中的结论是否还成立?若不成立,请说明理由;若成立,请就图2给予证明.(3)若AC=4,CD=3,当△ECD绕点C顺时针旋转一周时,请直接写出BD长的取值范围.2.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E两点分别在AC、BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现:当α=0°时,的值为;(2)拓展探究:当0°≤α<360°时,若△EDC旋转到如图2的情况时,求出的值;(3)问题解决:当△EDC旋转至A、B、E三点共线时,若CE=5,AC=4,直接写出线段AD的长.3.已知:如图1,线段AD=5,点B从点A出发沿射线AD方向运动,以AB为底作等腰△ABC,使得AC=BC=AB.(1)如图2,当AB=10时,求证:CD⊥AB;(2)当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时,求BC的长;(3)当AB>5时,在线段BC上是否存在点E,使得△BDE与△ACD全等,若存在,求出BC的长;若不存在,请说明理由;(4)作点A关于直线CD的对称点A′,连接CA′当CA′∥AB时,CA′=(请直接写出答案).4.如图1,在△ABC中,AE⊥BC于点E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD,CD.(1)试判断BD与AC的位置关系是:;数量关系是:;(2)如图2,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变.①试猜想BD与AC的数量关系为:;②你能求出BD与AC的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.5.如图,平面直角坐标系中O为原点,Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上,斜边BC 在x轴上,已知B、C两点关于y轴对称,且C(﹣8,0).(1)请直接写出A、B两点坐标;(2)动点P在线段AB上,横坐标为t,连接OP,请用含t的式子表示△POB的面积;(3)在(2)的条件下,当△POB的面积为24时,延长OP到Q,使得PQ=OP,在第一象限内是否存在点D,使得△OQD是等腰直角三角形,如果存在,求出D点坐标;如果不存在,请说明理由.6.如图1,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,点D在AB边的延长线上,且CD =AB.(Ⅰ)求BD的长度;(Ⅱ)如图2,将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A'CD'.①若α=30°,A'D'与CD相交于点E,求DE的长度;②连接A'D、BD',若旋转过程中A'D=BD'时,求满足条件的α的度数.(Ⅲ)如图3,将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A'CD',若点M 为AC的中点,点N为线段A'D'上任意一点,直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围.7.如图①,将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(0,+1),点B(+1,0),点C(0,1),点D(1,0).(Ⅰ)求证:AC=BD;(Ⅱ)如图②,现将△OCD绕点O顺时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<180°),连接AC,BD,这一过程中AC和BD是否仍然保持相等?说明理由;当旋转角α的度数为时,AC所在直线能够垂直平分BD;(Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,将旋转角α的范围扩大为0°<α<360°,那么在旋转过程中,求△BAD的面积的最大值,并写出此时旋转角α的度数.(直接写出结果即可)8.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,过点A作直线l平行于BC,点D是直线l上一动点,连接CD,射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E.(1)如图1,若α=60°,当点E在线段AB上时,请直接写出线段AC,AD,AE之间的数量关系,不用证明;(2)如图2,若α=60°,当点E在线段BA的延长线上时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明.(3)如图3,若α=90°,BC=6,AD=,请直接写出AE的长.9.有一根直尺短边长4cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长为16cm,如图甲,将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D 与点A重合.将直尺沿射线AB方向平移,如图乙,设平移的长度为xcm,且满足0≤x ≤12,直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2.(1)当x=0cm时,S=;当x=12cm时,S=.(2)当0<x<8(如图乙、图丙),请用含x的代数式表示S.(3)是否存在一个位置,使重叠部分面积为28cm2?若存在求出此时x的值.10.如图①,C为线段BD上的一点,BC≠CD,分别以BC,BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE,连接AE,F,G,H分别是BC,AE,CD的中点,连接FG,GH,FH.(1)△FGH的形状是;(2)将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转,其他条件不变,(1)的结论是否成立?结合图②说明理由;(3)若BC=2,CD=4,将△CDE绕点C旋转一周,当A,E,D三点共线时,直接写出△FGH的周长.11.已知,射线AB∥CD,P是直线AC右侧一动点,连接AP,CP,E是射线AB上一动点,过点E的直线分别与AP,CP交于点M,N,与射线CD交于点F,设∠BAP=∠1,∠DCP=∠2.(1)如图1,当点P在AB,CD之间时,求证:∠P=∠1+∠2;(2)如图2,在(1)的条件下,作△PMN关于直线EF对称的△P'MN,求证:∠3+∠4=2(∠1+∠2);(3)如图3,当点P在AB上方时,作△PMN关于直线EF对称的△P'MN,(1)(2)的结论是否仍然成立,若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出∠P,∠1,∠2之间数量关系,以及∠3,∠4与∠1,∠2之间数量关系.12.(1)如图1,平面直角坐标系中A(0,a),B(a,0)(a>0).C为线段AB的中点,CD⊥x轴于D,若△AOB的面积为2,则△CDB的面积为.(2)如图2,△AOB为等腰直角三角形,O为直角顶点,点E为线段OB上一点,且OB=3OE,C与E关于原点对称,线段AB交x轴于点D,连CD,若CD⊥AE,试求的值.(3)如图3,点C、E在x轴上,B在y轴上,OB=OC,△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形,直线CB、ED交于点A,CD交y轴于点F,试探究:是否为定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是,请求出其取值范围.13.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.(1)如图1,点P,Q在线段BC上,AP=AQ,∠BAP=15°,求∠AQB的度数;(2)点P,Q在线段BC上(不与点B,C重合),AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全;②用等式表示线段BP,AP,PC之间的数量关系,并证明.14.【问题背景】如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D是直线BC上的一点,将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE,连接CE,求证:△ABD≌△ACE;【尝试应用】如图2,在图1的条件下,延长DE,AC交于点G,BF⊥AB交DE于点F,求证:FG=AE;【拓展创新】如图3,A是△BDC内一点,∠ABC=∠ADB=45°,∠BAC=90°,BD =,直接写出△BDC的面积为.15.在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点,点C与点A关于y轴对称,点P是x轴正半轴上C点右侧一动点.(1)当2a2+4ab+4b2+2a+1=0时,求A,B的坐标;(2)当a+b=0时,①如图1,若D与P关于y轴对称,PE⊥DB并交DB延长线于E,交AB的延长线于F,求证:PB=PF;②如图2,把射线BP绕点B顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CP=AQ时,求∠APB的大小.16.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上,DE、DF分别与AB相交于点G、H.(1)如图1,当点F与点C重合时,点D恰好在斜边AB上,求△DEF的周长;(2)如图2,在△DEF作平行移动的过程中,图中是否存在与线段CF始终相等的线段?如果存在,请指出这条线段,并加以证明;如果不存在,请说明理由;(3)假设C点与F点的距离为x,△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式,并写出定义域.17.在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=2,点D为边AC的中点(如图),点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点,且BQ=BP,联结PQ、QD、DP.(1)求证:PQ⊥AB;(2)如果点P在线段BC上,当△PQD是直角三角形时,求BP的长;(3)将△PQD沿直线QP翻折,点D的对应点为点D',如果点D'位于△ABC内,请直接写出BP的取值范围.18.定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,求BN的长.(2)如图2,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M,N为边AB上两点满足∠MCN=45°,求证:点M,N是线段AB的勾股分割点;阳阳同学在解决第(2)小题时遇到了困难,陈老师对阳阳说:要证明勾股分割点,则需设法构造直角三角形,你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试.请根据陈老师的提示完成第(2)小题的证明过程.19.问题背景如图(1),△ABD,△AEC都是等边三角形,△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到,请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小.尝试应用如图(2),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,AB为边,作等边△ACD和等边△ABE,连接ED,并延长交BC于点F,连接BD.若BD⊥BC,求的值.拓展创新如图(3),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP,连接PB,直接写出PB的最大值.20.【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题.一块直角三角形木板,它的一条直角边AC长为1.5m,面积为1.5m2.甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面,请说明哪个正方形的面积较大.【解决问题】(1)记图1、图2中的正方形面积分别为S1,S2,则S1S2.(填“>”、“<”或“=”).【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1.某数学兴趣小组继续思考:按图3、图4、图5三种方式加工,分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5,哪一个正方形的面积最大呢?(2)若木板的面积S仍为1.5m2.小明:记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”,图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”,依此类推.以图3为例,求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积.设EF =x ,B 1C 1=a ,B 1C 1边上的高A 1H =h ,则S =ah .由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x =;同理可得图4、图5中正方形边长,再比较大小即可.小红:若要内接正方形面积最大,则x 最大即可;小莉:同一块木板,面积相同,即S 为定值,本题中S =1.5,因此,只需要a +h 最小即可.我们可以借鉴以前研究函数的经验,令y =a +h =a +=a +(a >0).下面来探索函数y =a +(a >0)的图象和性质.①根据如表,画出函数的图象:(如图6)a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象,发现该函数有最小值,此时a 的取值 ;A .等于2;B .在1~之间;C .在~之间;D .在~2之间.(3)若在△A 1B 1C 1中(如图7),A 1B 1=5,A 1C 1=,高A 1H =4.①结合你的发现,得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 (用“<”连接). ②小明不小心打翻了墨水瓶,已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损,请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1.(保留作图痕迹,不写作法)参考答案1.解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°,∵△ECD是等边三角形,∴CE=CD,∠DCE=60°,∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CBD,在△ABF中,∠AFB=180°﹣(∠BAF+∠ABF)=180°﹣(∠BAF+∠CBF+∠ABC)=180°﹣(∠BAC+∠ABC)=180°﹣(60°+60°)=60°,∴∠AFB=60°,故答案为:∠AFB=60°,AE=BD;(2)(1)中结论仍成立,证明:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°,∵△ECD是等边三角形,∴CE=CD,∠DCE=60°,∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CBD,∵∠AFB+∠CBD=∠ACB+∠CAE,∴∠AFB=∠ACB,∵∠ACB=60°,∴∠AFB=60°;(3)在△BCD中,BC+CD>BD,BC﹣CD<BD,∴点D在BC的延长线上时,BD最大,最大为4+3=7,当点D在线段BC上时,BD最小,最小为4﹣3=1,∴1≤BD≤7,即BD长的取值范围为1≤BD≤7.2.解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∠B=45°,∵DE∥AB,∴∠DEC=∠B=45°,∠CDE=∠A=90°,∴△DEC为等腰直角三角形,∴cos∠C==,∵DE∥AB,∴==,故答案为:;(2)由(1)知,△BAC和△CDE均为等腰直角三角形,∴==,又∠BCE=∠ACD=α,∴△BCE∽△ACD,∴==,即=;(3)①如图3﹣1,当点E在线段BA的延长线上时,∵∠BAC=90°,∴∠CAE=90°,∴AE===3,∴BE=BA+AE=4+3=7;由(2)知,=.故AD=.②如图3﹣2,当点E在线段BA上时,AE===3,∴BE=BA﹣AE=4﹣3=1,由(2)知,=.故AD=.综上所述,AD的长为或,故答案为:或.3.解:(1)如图2中,∵AB=10,AD=5,∴AD=DB,∵CA=CB,AD=DB,∴CD⊥AB.(2)如图1中,当AB<AD时,BC=BD.设AB=10k,则AC=BC=6k,∵AD=5,∴10k+6k=5,∴k=,∴BC=6k=.如图1﹣1中,当AB>AD时,BC=BD,同法可得10k﹣6k=5,解得k=,∴BC=6k=,综上所述,BC的值为或.(3)如图3﹣1中,当△ADC≌△BED时,BD=AC=BC,由(2)可知,BC=.如图3﹣2中,当△ADC≌△BCE时,点E与C重合,此时AB=10k=10,∴k=1,BC=6k=6.综上所述,BC的值为或6.(4)如图3中,当CA′∥AB时,∵CA′∥AB,∴∠ADC=∠A′CD,由翻折可知,∠A′CD=∠ACD,∴∠ACD=∠ADC,∴AC=AD=5,∴CA′=CA=5.故答案为5.4.解:(1)结论:BD=AC,BD⊥AC.理由:延长BD交AC于F.∵AE⊥CB,∴∠AEC=∠BED=90°.在△AEC和△BED中,,∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD,∠CAE=∠EBD,∵∠AEC=90°,∴∠ACB+∠CAE=90°,∴∠CBF+∠ACB=90°,∴∠BFC=90°,∴AC⊥BD,故答案为:BD⊥AC,BD=AC.(2)如图2中,不发生变化,设DE与AC交于点O,BD与AC交于点F.理由是:∵∠BEA=∠DEC=90°,∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,∴∠BED=∠AEC,在△BED和△AEC中,,∴△BED≌△AEC(SAS),∴BD=AC,∠BDE=∠ACE,∵∠DEC=90°,∴∠ACE+∠EOC=90°,∵∠EOC=∠DOF,∴∠BDE+∠DOF=90°,∴∠DFO=180°﹣90°=90°,∴BD⊥AC;(3)①如图3中,结论:BD=AC,理由是:∵△ABE和△DEC是等边三角形,∴AE=BE,DE=EC,∠BEA=∠DEC=60°,∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,∴∠BED=∠AEC,在△BED和△AEC中,,∴△BED≌△AEC(SAS),∴BD=AC,故答案为:BD=AC.②能;设BD与AC交于点F,由①知,△BED≌△AEC,∴∠BDE=∠ACE,∴∠DFC=180°﹣(∠BDE+∠EDC+∠DCF)=180°﹣(∠ACE+∠EDC+∠DCF)=180°﹣(60°+60°)=60°,即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°.5.解:(1)∵B、C两点关于y轴对称,且C(﹣8,0),∴点B(8,0),BO=CO,又∵AO⊥BC,∴AC=AB,∵∠CAB=90°,AC=AB,CO=BO,∴AO=CO=BO=8,∴点A(0,8);(2)如图1,过点P作PM⊥OB于M,∵点P的横坐标为t,∴OM=t,∴MB=8﹣t,∵∠CAB=90°,AC=AB,∴∠ABO=45°,∴∠BPM=∠ABO=45°,∴PM=MB=8﹣t,∴S△POB=×OB×PM=×8×(8﹣t)=32﹣4t;(3)∵△POB的面积为24,∴32﹣4t=24,∴t=2,∴点P(2,6),如图2,当点Q为直角顶点时,过点Q作HG⊥y轴,过点D作DG⊥HG于点G,∵PQ=OP,点P(2,6),∴点Q(4,12),∵∠OQD=90°=∠OHQ=∠QGD,∴∠OQH+∠DQG=90°=∠OQH+∠HOQ,∴∠HOQ=∠GQD,又∵OQ=QD,∴△OHQ≌△QGD(AAS),∴OH=QG=12,HQ=GD=4,∴HG=16,∴点D(16,8);当点D为直角顶点时,过点Q作HG⊥y轴,过点D作DG⊥HG于点G,过点D作DN ⊥y轴于N,同理可求△QDG≌△ODN,∴ON=QG,DN=DG,∵DN=QG+HQ=4+QG,DG=HN=12﹣ON,∴ON=QG=4,DN=DG=8,∴点D(8,4),综上所述:点D(16,8)或(8,4).6.解:(Ⅰ)如图1,过点C作CH⊥AB于H,∵∠ACB=90°,AC=BC=6,CH⊥AB,∴AB=CD=6,CH=BH=AB=3,∠CAB=∠CBA=45°,∴DH===3,∴BD=DH﹣BH=3﹣3;(Ⅱ)①如图2,过点E作EF⊥CD'于F,∵将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A′CD′,∴CD=CD'=6,∠DCD'=30°=∠CDA=∠CD'A',∴CE=D'E,又∵EF⊥CD',∴CF=D'F=3,EF=,CE=2EF=2,∴DE=DC﹣CE=6﹣2;②如图2﹣1,∵∠ABC=45°,∠ADC=30°,∴∠BCD=15°,∴∠ACD=105°,∵将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A′CD′,∴AC=A'C,CD=CD',∠ACA'=∠DCD'=α,∴CB=CA',又∵A′D=BD′,∴△A'CD≌△BCD'(SSS),∴∠A'CD=∠BCD',∴105°﹣α=15°+α,∴α=45°;如图2﹣2,同理可证:△A'CD≌△BCD',∴∠A'CD=∠BCD',∴α﹣105°=360°﹣α﹣15°,∴α=225°,综上所述:满足条件的α的度数为45°或225°;(Ⅲ)如图3,当A'D'⊥AC时,N是AC与A'D'的交点时,MN的长度最小,∵∠A'=45°,A'D'⊥AC,∴∠A'=∠NCA'=45°,∴CN=A'N=3,∵点M为AC的中点,∴CM=AC=3,∴MN的最小值=NC﹣CM=3﹣3;如图4,当点A,点C,点D'共线,且点N与点D'重合时,MN有最大值,此时MN=CM+CN=6+3,∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3.7.解:(Ⅰ)∵点A(0,+1),点B(+1,0),点C(0,1),点D(1,0),∴OA=+1,OB=+1,OC=1,OD=1,∴AC=OA﹣OC=+1﹣1=,BD=+1﹣1=,∴AC=BD;(Ⅱ)由题意知,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠AOB﹣∠COB=90°﹣∠COB,∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OAC=∠OBD,如图1(注:点C在x轴上,为了不要出现误解,点C没画在x轴上),延长AC交BD 于D,连接BC,在Rt△AOB中,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=45°,∴∠CAB+∠ABD=∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD=∠OAB+∠OBA=90°,∴AC⊥BD,∵AC垂直平分BD,∴CD=BC,设点C的坐标为(m,n),∴m2+n2=1①,由旋转知,CD==,∵B(+1,0),[m﹣(+1)]2+n2=2②,联立①②解得,m=1,n=0,∴点C在x轴上,∴旋转角为∠AOC=90°,故答案为:90°;(Ⅲ)如图2,∵OA=OB=+1,∴AB=OA=2+,过点O作OH⊥AB于H,∴S△AOB=OA•OB=AB•OH,∴OH====,过点D作DG⊥AB于G,S△ABD=AB•DG=(2+)DG,要使△ABD的面积最大,则DG最大,由旋转知,点D是以O为圆心,1为半径的圆上,∴点D在HO的延长线上时,DG最大,即DG的最大值为D'H=OD'+OH=1+=,∴S△ABD最大=AB•D'H=(2+)×=,在Rt△AOB中,OA=OB,OH⊥AB,∴∠BOH=45°,∴旋转角∠BOD'=180°﹣45°=135°.8.解:(1)AC=AE+AD.证明:连接CE,∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E,α=60°,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴CB=CA=AB,∠ACB=60°,∵AD∥BC,∴∠DAF=∠ACB=60°,∵∠FDC=∠EAF=60°,∠AFE=∠DFC,∴△AFE∽△DFC,∴,∴,∵∠AFD=∠EFC,∴△AFD∽△EFC,∴∠DAF=∠FEC=60°,∴△DEC是等边三角形,∴CD=CE,∠ECD=60°,∴∠BCE=∠ACD,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,∴AB=AE+BE=AE+AD,∴AC=AE+AD;(2)不成立,AD=AC+AE.理由如下:在AC的延长线上取点F,使AF=AD,连接DF,当α=60°时,∠BAC=∠EDC=60°,∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC∠BCA=60°,∵l∥BC,∴∠DAC=∠BCA=60°,∠EAD=∠ABC=60°,∵AF=AD,∴∠ADF=∠AFD=60°,AD=FD=AF,∴∠EDC=∠ADF=60°,∴∠EDC﹣∠ADC=∠ADF﹣∠ADC,即∠EDA=∠CDF,∵AD=FD,∠EAD=∠AFD=60°,∴△EAD≌△CFD(ASA),∴AE=CF,∴AD=AF=AC+CF=AC+AE;(3)AE的长为或.当点E在线段AB上,过点D作直线l的垂线,交AC于点F,如图3所示.∵△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,∴∠ACB=∠B=45°.∵直线l∥BC,∴∠DAF=∠ACB=45°.∵FD⊥直线l,∴∠DAF=∠DF A=45°.∴AD=FD.∵∠EDC=∠ADF=90°,∴∠ADE=∠FDC.由(1)可知DC=DE,∴△ADE≌△FDC(SAS),∴AE=CF.∵AD=,∴AF=2,∵BC=6,∴AC=AB=3,∴AE=AC﹣AF=3﹣2.当点E在线段AB的延长线上时,如图4所示.过点D作直线l的垂线,交AB于点M,同理可证得△ADC≌△MDE(SAS),∴AC=EM=3,∵AD=,∴AM=2,∴EM+AM=3+2.综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2.9.解:(1)当x=0cm时,S=4×4÷2=8cm2;当x=12cm时,S=4×4÷2=8cm2.故答案为:8cm2;8cm2.(2)①当0<x<4时,∵△CAB为等腰直角三角形,∴∠CAB=45°,∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形,∴AD=DG=x,AE=EF=x+4,∴梯形GDEF的面积=×(GD+EF)×DE=×(x+x+4)×4=4x+8.②如图所示:过点C作CM⊥AB于点M.当4<x<8时,梯形GDMC的面积=(GD+CM)×DM=(x+8)(8﹣x)=﹣x2+32,梯形CMEF的面积=(EF+CM)×ME=[16﹣(x+4)+8][(x+4)﹣8]=(20﹣x)(x﹣4)=﹣x2+12x﹣40,S=梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积=(﹣x2+32)+(﹣x2+12x﹣40)=﹣x2+12x ﹣8.综合以上可得,S=.(3)当0<x<4时s最大值小于24,当x=4时,S=24cm2,所以当S=28cm2时,x必然大于4,即﹣x2+12x﹣8=28,解得x1=x2=6,当x=6cm时,阴影部分面积为28cm2.当8<≤12时,由对称性可知s的最大值也是小于24,不合题意舍去.∴当x=6cm时,阴影部分面积为28cm2.10.解:(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴∠B=∠DCE=60°,AB=BC,CE=CD,∴CE∥AB,∵BC≠CD,∴CE≠AB,∴四边形ABCE是梯形,∵点F,G分别是BC,AE的中点,∴FG是梯形ABCE的中位线,∴FG∥AB,∴∠GFC=60°,同理:∠GHB=60°,∴∠FGH=180°﹣∠GFC﹣∠GHB=60°=∠GFC=∠GHB,∴△FGH是等边三角形,故答案为:等边三角形;(2)成立,理由如下:如图1,取AC的中点P,连接PF,PG,∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴AB=BC,CE=CD,∠BAC=∠ACB=∠ECD=∠B=60°,又F,G,H分别是BC,AE,CD的中点,∴FP=AB,FC=BC,CH=CD,PG=CE,PG∥CE,PF∥AB,∴FP=FC,PG=CH,∠GPC+∠PCE=180°,∠FPC=∠BAC=60°,∠PFC=∠B=60°,∴∠FPG=∠FPC+∠GPC=60°+∠GPC,∠GPC=180°﹣∠PCE,∴∠FCH=360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE=360°﹣60°﹣60°﹣(180°﹣∠GPC)=60°+∠GPC,∴∠FPG=∠FCH,∴△FPG≌△FCH(SAS),∴FG=FH,∠PFG=∠CFH,∴∠GFH=∠GFC+∠CFH=∠GFC+∠PFG=∠PFC=60°,∴△FGH为等边三角形;(3)①当点D在AE上时,如图2,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC=2,∵△CDE是等边三角形,∴∠CED=∠CDE=60°,CE=CD=DE=4,过点C作CM⊥AE于M,∴DM=EM=DE=2,在Rt△CME中,根据勾股定理得,CM===2,在Rt△AMC中,根据勾股定理得,AM===4,∴AD=AM﹣DM=4﹣2=2,∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB,∴∠ACD=∠BCE,连接BE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD=2,∠ADC=∠BEC,∵∠ADC=180°﹣∠CDE=120°,∴∠BEC=120°,∴∠BEA=∠BEC﹣∠CED=60°,过点B作BN⊥AE于N,∴∠BNE=90°,在Rt△BNE中,∠EBN=90°﹣∠BEA=30°,∴EN=BE=1,∴BN=EN=,DN=DE﹣EN=3,连接BD,根据勾股定理得,BD===2,∵点H是CD的中点,点F是BC的中点,∴FH是△BCD的中位线,∴FH=BD=,由(2)知,△FGH是等边三角形,∴△FGH的周长为3FH=3,②当点D在AE的延长线上时,如图3,同①的方法得,FH=,∴△FGH的周长为3FH=3,即满足条件的△FGH的周长为3或3.11.(1)证明:如图1中,过点P作PT∥AB.∵AB∥CD,AB∥PT,∴AB∥PT∥CD,∴∠1=∠APT,∠2=∠CPT,∴∠APC=∠APT+∠CPT=∠1+∠2.(2)证明:如图2中,连接PP′.∵∠3=∠MPP′+∠MP′P,∠4=∠NPP′+∠NP′P,∠APC=∠MP′N,∴∠3+∠4=2∠APC,∵∠APC=∠1+∠2,∴∠3+∠4=2(∠1+∠2).(3)结论不成立.结论是:∠P=∠2﹣∠1,∠4﹣∠3=2(∠2﹣∠1).理由:如图3中,设PC交AB于E,AP交NP′于F.∵AB∥CD,∴∠PEB=∠2,∵∠PEB=∠1+∠P,∴∠2=∠P+∠1,∴∠P=∠2﹣∠1.∵∠4=∠P+∠PFN,∠PFN=∠3+∠P′,∠P=∠P′,∴∠4=∠P+∠3+∠P,∴∠4﹣∠3=2∠P=2(∠2﹣∠1),∴∠4﹣∠3=2(∠2﹣∠1).12.解:(1)∵A(0,a),B(a,0)(a>0),∴OA=a,OB=a,∵△AOB的面积为2,∴S△AOB=×a×a=2,∴a=2(负值舍去),∴A(0,2),B(2,0),∵C为线段AB的中点,∴C(1,1),∴OD=BD=CD=1,∴S△CDB=×1×1=.故答案为:.(2)连AC,过点D作DM⊥BC于M,∵△AOB是等腰直角三角形,∴AO⊥BO,AO=BO,∠B=∠OAB=45°,又CO=EO,∴AO是CE的垂直平分线,∴AE=AC,不妨设AE、CD交于F,AO、CD交于G,∴∠CGA=∠OAE+∠AFC=∠OCD+∠COA,∵∠AFC=∠COA=90°,∴∠OAE=∠OCD=∠OAC,又∵∠CAD=∠CAO+∠OAB=∠OCD+∠B=∠CDA,∴CD=CA=EA,∴△AOE≌△CMD(AAS),∴OE=DM,∴===3,∴=2;(3)=2,理由如下:作点C关于y轴的对称点N,连接BN,作DM∥BC交y轴于M,∵OB=OC=ON,∠BON=90°,∴△BON等腰直角三角形,∴∠BNO=∠BMD=45°,∴∠MBD=∠OBE+∠DBE=∠OBE+∠BOE=∠BEN,又∵BD=BE,∴△BMD≌△ENB(AAS),∴EN=BM,BN=DM=BC,又∵∠BFC=∠DFM,∠BCF=∠FDM,∴△BCF≌△MDF(AAS),∴BF=MF,∴CO﹣EO=NO﹣EO=NE=BM=2BF,即=2.13.解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°,∵∠APQ是△ABC的一个外角,∴∠APQ=∠B+∠BAP,∵∠BAP=15°,∴∠APQ=60°,∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQB=60°.(2)①图形如图2所示.②解:结论:PC2+BP2=2AP2.理由:连接MC.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠BAP=∠CAQ,∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴BP=CQ,∵点Q关于直线AC的对称点为M,∴AQ=AM,CQ=CM,∠CAM=∠CAQ,∠ACM=∠ACQ=45°,∴AP=AM,∠B=∠ACM=45°,∠BAP=∠CAM,BP=CM,∴∠BAC=∠P AM=90°,在Rt△APM中,AP=AM,∠P AM=90°,∴PM=,∵∠ACQ=∠ACM=45°,∴∠PCM=90°,在Rt△PCM中,∠PCM=90°,∴PC2+CM2=PM2,∴PC2+BP2=2AP2.14.【问题背景】证明:如图1,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠DAB=∠EAC,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS).【尝试应用】证明:如图2,过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K.∵DK⊥CD,BF⊥AB,∴∠BDK=∠ABK=90°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠DBK=∠K=45°,∴DK=DB,∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE=135°,DB=EC=DK,∴∠ECG=45°,∵BF⊥AB,CA⊥AB,∴AG∥BF,∴∠G=∠DFK,在△ECG和△DKF中,,∴△ECG≌△DKF(AAS),∴DF=EG,∵DE=AE,∴DF+EF=AE,∴EG+EF=AE,即FG=AE.【拓展创新】解:如图3中,过点A作AE⊥AD交BD于E,连接CE..∵∠ADB=45°,∠DAE=90°,∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形,同法可证△ABD≌△ACE,∴CE=BD=2,∵∠AEC=∠ADB=45°,∴∠CED=∠CEB=90°,∴S△BDC=•BD•CE=×2×2=6.故答案为:6.15.解:(1)∵2a2+4ab+4b2+2a+1=0,∴(a+2b)2+(a+1)2=0,∵(a+2b)2≥0 (a+1)2≥0,∴a+2b=0,a+1=0,∴a=﹣1,b=,∴A(﹣1,0)B(0,).(2)①证明:如图1中,∵a+b=0,∴a=﹣b,∴OA=OB,又∵∠AOB=90°,∴∠BAO=∠ABO=45°,∵D与P关于y轴对称,∴BD=BP,∴∠BDP=∠BPD,设∠BDP=∠BPD=α,则∠PBF=∠BAP+∠BP A=45°+α,∵PE⊥DB,∴∠BEF=90°,∴∠F=90o﹣∠EBF,又∠EBF=∠ABD=∠BAO﹣∠BDP=45°﹣α,∴∠F=45o+α,∴∠PBF=∠F,∴PB=PF.②解:如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴于H.可得等腰直角△BQF,∵∠BOQ=∠BQF=∠FHQ=90°,∴∠BQO+∠FQH=90°,∠FQH+∠QFH=90°,∴∠BQO=∠QFH,∵QB=QF,∴△FQH≌△QBO(AAS),∴HQ=OB=OA,∴HO=AQ=PC,∴PH=OC=OB=QH,∴FQ=FP,又∠BFQ=45°∴∠APB=22.5°.16.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,∴AC=2,∠A=60°,∵△DEF是等边三角形,∴∠DCE=60°,∴∠ACD=30°,∴∠ADC=90°,∴CD=AC=3,∴△DEF的周长=9;(2)解:结论:CF=DG.理由:∵BC=6,EF=DF=DE=3,∴CF+BE=BC﹣EF=6﹣3=3,∵△DEF是等边三角形,∴∠DEF=60°,∵∠DEF=∠B+∠EGB,∴∠B=∠EGB=∠DGE=30°,∴EG=BE,∵EG+DG=CF+BE=3,∴CF=DG;(3)∵S△DEF=×32=,S△DGH=•GH•DH=•x•x=x2,y=S△DFE﹣S△DHG=﹣x2(0≤x≤3).17.解:(1)在Rt△ABC中,AC=2,BC=2,根据勾股定理得,AB===4,∴=,∵BQ=BP,∴=,∴,∵∠QBP=∠CBA,∴△BPQ∽△BAC,∴∠BQP=∠ACB=90°,∴PQ⊥AB;(2)∵点D是AC的中点,∴AD=CD=AC=1,由(1)知,PQ⊥AB,∴∠AQP=90°,∴∠PQD<90°,∵△PQD是直角三角形,∴①当∠DPQ=90°时,如图1,在Rt△ABC中,AC=2,AB=4,∴sin∠ABC==,∴∠ABC=30°,∴∠QPB=90°﹣∠ABC=60°,∴∠DPC=90°﹣∠BPQ=30°,∴CP===,∴BP=BC﹣CP=,②当∠PDQ=90°时,∴∠ADQ+∠PDC=90°,如图2,过Q作QE⊥AC于E,∴∠DEQ=90°=∠ACB,∴∠ADQ+∠DQE=90°,∴∠DQE=∠PDC,∴△EQD∽△CDP,∴,∴,设BP=t,则CP=BC﹣BP=2﹣t,在Rt△BQP中,BQ=BP cos30°=t,∴AQ=AB﹣BQ=4﹣t,在Rt△AEQ中,QE=AQ cos30°=(4﹣t)•=2﹣t,AE=AQ=2﹣t,∴DE=AD﹣AE=t﹣1,∴,∴t=或t=(大于2,舍去)∴BP=;即BP=或;(3);理由:如图3,①当点D'恰好落在边BC上时,由折叠知,PD'=PD,PQ⊥DD',由(1)知,PQ⊥AB,∴DD'∥AB,∴∠DD'C=∠ABC=30°,∴CD'=CD=,设BP=m,则CP=BC﹣BP=2﹣m,∴DP=D'P=CD'﹣CP=m﹣,在Rt△CDP中,根据勾股定理得,DP2=CP2+CD2,∴(m﹣)2=(2﹣m)2+1,∴m=,②当点D'落在D时,即PQ过点D,在Rt△CDP'中,∠P'=90°﹣∠DD'P'=30°,∴CP'===,∴BP'=BC+CP'=,综上:.18.(1)解:当MN最长时,BN===;当BN最长时,BN===,综合以上可得BN的长为或;(2)证明:如图,把△CBN绕点C逆时针旋转90°,得到△CAN',连接MN',∴△AN'C≌△BNC,∴CN'=CN,∠ACN'=∠BCN,∠CBN=∠CAN',∵∠MCN=45°,∴∠N'CA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°,∴∠MCN'=∠BCM,∴△MN'C≌△MNC(SAS),∴MN'=MN,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠B=∠CAM=45°,∴∠CAN'=45°,∴∠MAN'=∠CAN'+∠CAM=45°+45°=90°,在Rt△MN'A中,AN'2+AM2=N'M2,∴BN2+AM2=MN2,∴点M,N是线段AB的勾股分割点.19.问题背景解:∵△ABD,△AEC都是等边三角形,∴∠BAD=60°,∠CAE=60°,AD=AB,AC=AE,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,∴∠DAC=∠BAE,∴△ACD≌△AEB(SAS),∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到,即旋转中心是点A,旋转方向是顺时针,旋转角是60°;尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形,∴AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE=60°,∴∠CAB=∠DAE,∴△ADE≌△ACB(SAS),∴∠ADE=∠ACB=90°,DE=CB,∵∠ADE=90°,∴∠ADF=90°,∵∠ADC=∠ACD=60°,∴∠DCF=∠CDF=30°,∴CF=DF,∵BD⊥BC,∴∠BDF=30°,∴BF=DF,设BF=x,则CF=DF=2x,DE=3x,∴;拓展创新∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上运动,取AB的中点D,连接CD,∴CD=AB=1,如图,过点A作AE⊥AB,且使AE=AD,连接PE,BE,∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP,∴∠P AC=90°,P A=AC,∵∠EAD=90°,∴∠P AE=∠CAD,∴△CAD≌△P AE(SAS),∴PE=CD=1,∵AB=2,AE=AD=1,∴BE===,∴BP≤BE+PE=+1,当且仅当P、E、B三点共线时取等号,∴BP的最大值为+1.20.解:(1)由AC长为1.5m,△ABC的面积为1.5m2,可得BC=2m,如图①,设加工桌面的边长为xcm,∵DE∥CB,∴△ADE∽△ACB,∴=,即=,解得:x=;如图②,设加工桌面的边长为ym,过点C作CM⊥AB,分别交DE、AB于点N、M,∵AC=1.5m,BC=2m,∴AB===2.5(m),∵△ABC的面积为1.5m2,∴CM=m,∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,∴=,即=,解得:y=,∴x>y,即S1>S2,故答案为:>.(2)①函数图象如图6所示:②观察图象,发现该函数有最小值,此时a的取值~2之间.故选D.(3)①由(2)可知,S5<S4<S3.故答案为:S5<S4<S3.②如图7,△A1B1C1即为所求作.。

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)类型一图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点,多与三角形、四边形相结合.解决旋转变换问题,首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角,关键是找出旋转前后的对应点,利用旋转前后两图形全等等性质解题.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.(1)如图1,连接AC分别交DE,DF于点M,N,求证:MN=AC;(2)如图2,将∠EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′,DF′分别与直线AB,BC相交于点G,P.连接GP,当△DGP的面积等于3时,求旋转角的大小并指明旋转方向.【分析】 (1)连接BD,由∠BAD=60°,得到△ABD为等边三角形,进而证明点E是AB的中点,再根据相似三角形的性质解答;(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,然后根据旋转的性质解题.1.(20__·潍坊)边长为6的等边△ABC中,点D,E分别在AC,BC边上,DE∥AB,EC=2.(1)如图1,将△DEC沿射线EC方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′,BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)图1 图22.(20__·成都)如图1,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD.(1)求证:BD=AC;(2)将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连接AE.①如图2,当点F落在AC上时(F不与C重合),若BC=4,tan C=3,求AE的长;②如图3,当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时,设射线CF与AE相交于点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由.类型二图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点,多与三角形、四边形相结合.翻折变换的实质是对称,翻折部分的两图形全等,找出对应边、对应角,再结合勾股定理、相似的性质与判定解题.(20__·苏州)如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D,E分别在AB,BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为____.【分析】作DF⊥B′E于点F,B′G⊥AD于点G,由∠B=60°,BD=BE,得到△BDE是等边三角形,由对称的性质得到△B′DE也是等边三角形,从而GD=B′F,然后利用勾股定理求解.、3.(20__·安徽)在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30 cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为40或cm.图1 图24.如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作FG∥CD,交AE于点G,连接DG.(1)求证:四边形DEFG为菱形;(2)若CD=8,CF=4,求的值.类型三图形的相似图形的相似常以三角形、四边形为背景,与旋转、翻折、动点相结合,考查三角形相似的性质及判定,难度较大,是中考中常考的几何压轴题.与动点相关的相似三角形,要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应角,进而判定相似三角形,再利用相似三角形的性质解题.(20__·青岛)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1 cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6) ,解答下列问题:(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形;(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式.【分析】 (1)根据勾股定理求出AC的值,然后分类讨论:当AP=PO时,求出t的值;当AP=AO时,求出t的值;(2)过点E作EH⊥AC于点H,过点Q作QM⊥AC于点M,过点D作DN⊥AC于点N,交QF于点G,分别用t表示出EH,DN,DG,再利用面积的和差计算即可.5.(20__·常德)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于点M.求证:①GM=2MC;②AG2=AF·AC.图1 图2参考答案【例1】 (1)如图,连接BD,设BD交AC于点O,∵在菱形ABCD中,∠D AB=60°,AD=AB,∴△ABD为等边三角形.∵DE⊥AB,∴点E为AB的中点.∵AE∥CD,∴==.同理=.∴M,N是线段AC的三等分点,∴MN=AC.(2)∵AB∥CD,∠BAD=60°,∴∠ADC=120°.∵∠ADE=∠CDF=30°,∴∠EDF=60°.当∠EDF顺时针旋转时,由旋转的性质知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°.∵DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,∴△DEG≌△DFP,∴DG=DP,∴△DGP是等边三角形.则S△DGP=DG2.由DG2=3,又∵DG>0,解得DG=2.∴cos∠EDG===,∴∠EDG=60°.∴当顺时针旋转60°时,△DGP的面积是3.同理,当逆时针旋转60°时,△DGP的面积也是3.综上所述,当∠EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积是3.【变式训练】1.解:(1)当CC′=时,四边形MCND′为菱形.理由:由平移的性质得CD∥C′D′,DE∥D′E′.∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∴∠ACC′=180°-60°=120°.∵CN是∠ACC′的角平分线,∴∠NCC′=60°.∵AB∥DE,DE∥D′E′,∴AB∥D′E′,∴∠D′E′C′=∠B=60°,∴∠D′E′C′=∠NCC′,∴D′E′∥CN.∴四边形MCND′为平行四边形.∵∠ME′C′=∠MCE′=60°,∠NCC′=∠NC′C=60°,∴△MCE′和△NCC′为等边三角形,故MC=CE′,NC=CC′.又E′C′=2,CC′=,∴CE′=CC′=,∴MC=CN,∴四边形MCND′为菱形.(2)①AD′=BE′.理由:当α≠180°时,由旋转的性质得∠ACD′=∠BCE′.由(1)知AC=BC,CD′=CE′,∴△ACD′≌△BCE′,∴AD′=BE′.当α=180°时,AD′=AC+CD′,BE′=BC+CE′,即AD′=BE′.综上可知,AD′=BE′.②连接CP,在△ACP中,由三角形三边关系得,AP<AC+CP,∴当A,C,P三点共线时AP最大,如图所示.此时,AP=AC+CP.在△D′CE′中,由P为D′E′中点,得AP⊥D′E′,PD′=,∴CP=3,∴AP=6+3=9.在Rt△APD′中,由勾股定理得AD′===2.2.解:(1)在Rt△AHB中,∠ABC=45°,∴AH=BH.∵∠BHD=∠AHC=90°,DH=CH,∴△BHD≌△AHC,∴BD=AC.(2)①在Rt△AHC中,∵tan C=3,∴=3.设CH=_,则BH=AH=3_,∴BC=BH+CH=4_=4,∴_=1,∴AH=3,CH=1.由旋转的性质知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,∴∠EHA=∠FHC,==1,∴△EHA∽△FHC,∴∠EAH=∠C,∴tan∠EAH=tan C=3.如图,过点H作HP⊥AE于点P,则HP=3AP,AE=2AP.在Rt△AHP中,AP2+HP2=AH2,即AP2+(3AP)2=9.∴AP=,∴AE=.②由①知,△AEH和△FHC都为等腰三角形,设AH交CG于点Q,∴∠GAH=∠HCG,∴△AGQ∽△CHQ,∴=,∴=,∠AGQ=∠CHQ=90°.∵∠AQC=∠GQH,∴△AQC∽△GQH.又∵旋转角为30°,∴∠EHA=∠FHC=120°,∴∠QAG=30°,∴====2.【例2】如图,作DF⊥B′E于点F,B′G⊥AD于点G,∵∠B=60°,BD=BE=4,∴△BDE是边长为4的等边三角形.∵将△BDE沿DE所在的直线折叠得到△B′DE,∴△B′DE也是边长为4的等边三角形,∴GD=B′F=2.∵B′D=4,∴B′G==2.∵AB=10,∴AG=10-6=4,∴AB′==2.故答案为2.【变式训练】3.40或4.(1)证明:由折叠的性质知,DG=FG,ED=EF,∠AED=∠AEF,∵FG∥CD,∴∠FGE=∠AED,∴∠FGE=∠AEF,∴FG=FE,∴DG=GF=EF=DE,∴四边形DEFG为菱形.(2)解:设DE=_,根据折叠的性质,EF=DE=_,EC=8-_,在Rt△EFC中,FC2+EC2=EF2,即42+(8-_)2=_2.解得_=5,CE=8-_=3.∴=.【例3】(1)∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,∴AC=10 cm.①当AP=PO时,如图,过点P作PM⊥AO,∴AM=AO=.∵∠PMA=∠ADC=90°,∠PAM=∠CAD,∴△APM∽△ACD,∴=,∴AP=t=.②当AP=AO时,t=5.∵0<t<6,∴t=或t=5均符合题意,∴当t=或t=5时,△AOP是等腰三角形.(2)如图,过点E作EH⊥AC于点H,过点Q作QM⊥AC于点M,过点D作DN⊥AC于点N,交QF于点G,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠PAO=∠ECO.∵点O是对角线AC的中点,∴AO=CO.又∵∠AOP=∠COE,∴△AOP≌△COE,∴CE=AP=t.∵△CEH∽△CAB,∴=,∴EH=.∵S△ADC=AD·DC=DN·AC,∴DN==.∵QM∥DN,∴△CQM∽△CDN,∴=,即=.∴QM=,∴DG=-=.∵FQ∥AC,∴△DFQ∽△DOC,∴==,∴FQ=,∴S=S△OEC+S△OCD-S△DFQ=OC·EH+OC·DN-DG·FQ=-t2+t+12,即S与t的函数关系式为S=-t2+t+12.【变式训练】5.证明:(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中,∴△ABE≌△DBE.(2)①如图,过点G作GH∥AD交BC于H,∵AG=BG,∴BH=DH.∵BD=4DC,设DC=1,则BD=4,∴BH=DH=2.∵GH∥AD,∴==,∴GM=2MC.②如图,过点C作CN⊥AC交AD的延长线于N,则CN∥AG,∴△AGM∽△NCM,∴=.由①知GM=2MC,∴AG=2NC.∵∠BAC=∠AEB=90°,∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE,∴△ACN∽△BAF,∴=.∵AB=2AG,∴=,∴2CN·AG=AF·AC,∴AG2=AF·AC.。

(完整版)中考数学几何综合压轴题初三难题训练(真题附答案)

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中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. (2015金华中考)如图,正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点G , H ,则-EF 的值是()GHA.——B. 2C. . 3D. 222.(2015遵义中考)将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°,得正方形 AB 1GD 1,B^!交CD 于点E , AB 3,则四边形A^ED 的内切圆半径为()D ,E 分别是OA ,OB 的中点,则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. (2015遵义中考)如图,在圆心角为90°的扇形OAB 中,半径 OA 2cm ,C 为弧AB 的中点,6Di到E ,且有 EBD CAB • (1) 求证:BE 是eO 的切线;(2 )若BC 3 , AC 5,求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换(1) 如图①,在 VABC 中, ABC 130°,将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ,连接 BB ,求ABB 的大小;(2) 如图②,在 VABC 中, ABC 150° , AB 3, BC 5,将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ,连接BB ,以A 为圆心,AB 长为半径作圆.(I)猜想:直线 BB 与e A 的位置关系,并证明你的结论; (H)连接AB ,求线段AB 的长度;(3)如图③,在 VABC 中, ABC 90° 180° , AB m , BC n ,将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ,连接AB 和BB ,以A 为圆心,AB 长为半与角 满足什么条件时,直线 BB 与e A 相切,请说明理由,并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆,问:角6. (2016成都中考)如图,在RtVABC中,ABC 90°,以CB为半径作eC,交AC于点D,交AC 的延长线于点E,连接BD , BE .(1)求证:VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时,求tanE ;BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下,作BAC的平分线,与7. (2016苏州中考)如图,在矩形ABCD中,AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3cm/s,以O为圆心,0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t (单位:s)(0 t 8)•3(1)如图,连接DQ,当DQ平分BDC时,t的值为.(2)如图,连接CM,若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;(3)请你继续连行探究,并解答下列问题:①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;②如图3,在运动过程中,当QM与圆O相切时,求t的值;并判断此时PM与圆O是否也相切?说明理由.8. (2015扬州中考)如图,已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦,过点 延长线于点P ,连接BC •(1) 求证: PCA B ;(2) 已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上,从点A 开始逆时针运动到点 重合),当VABQ 与VABC 的面积相等时,求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止(点Q 与点C 不9. ( 2015大庆中考)如图, 四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点,APB BAD . (1) 证明:AB CD ;(2) 证明:DP BD AD BC ; (3) 证明:BD 2 AB 2 AD BC .10. (2015武汉中考)如图,AB是eO的直径,ABT 4^ , AT AB •(1)求证:AT是eO的切线;(2)连接OT交e O于点C,连接AC,求tan TAC的值.11. (2016随州中考)如图,AB是eO的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD OA交弦AB 于点E,连接BD,且DE DB •(1)判断BD与eO的位置关系,并说明理由;5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -,求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图,eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状:;(2) 试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;(3) 当点P位于的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景:如图1,在四边形 ADBC 中, ACB形,所以CE . 2CD ,从而得出结论:AC BC . 2CD •(1) 简单应用:在图1中,若AC 2 , BC 2 2,则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径,点 C 、D 在e 上,AD BD ,若AB 13, BC 12,求CD 的 长. (3) 拓展规律:如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ,若 AC m , BC n m n ,求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点,若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ,点Q 为AE 的中点,则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ,探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是:将 VBCD 绕点D ,逆时针旋转 90°到 VAED 处,点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2),易证点 C,A,E 在同一条直线上,并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点,连接EF,以EF为直径作eO,交边DC于D,G两点,AD分别与EF,GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数;(2)试判断四边形FACD的形状,并证明你的结论;(3)当G为线段DC的中点时,(i)求证:FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n,求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. (2015株洲中考)已知AB是圆O的切线,切点为B,直线AO交圆O于C , D两点,CD 2 , DAB 30°,动点P在直线AB上运动,PC交圆O于另一点Q .(1)当点P运动到使Q , C两点重合时(如图1),求AP的长;(2)点P在运动过程中,有几个位置(几种情况)使VCQD的面积为丄?(直接写出答案)21(3)当使VCQD的面积为丄,且Q位于以CD为直径的的上半圆上,CQ QD时(如图2),2求AP的长.第11页(共29页)第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图,连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ,过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ,第13页(共29页)故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF :丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -,负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ,过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点,D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图,连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径,ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上,BE 是eO 的切线.(2)如图,设圆的半径为 R ,连接CD .QAD 为eO 的直径,ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中, QVA BC 是由VABC 旋转得到,ABC ABC 130°,CB CBCBB CBB ,Q BCB 50o ,CBB CB B 650,ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论:直线 BB ,是e A 的切线. 理由:如图②中,150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ,是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中,Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中,当 180°时,直线BB ,是e A 的切线 理由:Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一:在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ,解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ,是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径,DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知,VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ,贝U CE 在 RtVABC 中,AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC , FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二:如图 2过点A 作EB 延长线的垂线,垂足为点在 VBAE 中,有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ,AFeC 的半径是NG BN a ,CG 3 a ,4 NC BC 9 a,4BH 9a, 5AB 3a , AC AG 3a ,tan NAC NG AG sin NAC 10105a ,4 15 a,4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M , 解法三:AE 于点G ,FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ,则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ,即 t 1.(2)如图,过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中,AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ,得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1,设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ,即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图,设MQ与eO相切时,切点我G,连接OG ,OG BCOF BD,0.88吗3t 10,4丄4t3当t -时,正方形PQMN的边长为3解法一:连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ,260.815HQ4,HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上,当QM1与eO相切时,PM与eO【解析】解法二:连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ,则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H,过点H作HK PM于点K不相切.OQ,设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时,PM与eO不相切QAB是eO的直径,ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线,PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12,AO 6 .AOQ 130°时,VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时,VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时,即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ,DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ,延长TO 交eO 于D ,连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图,过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径,CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线;(2)如图,过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明:如图,在PC上截取PD PA,连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—,即DG 12 .12在RtVEDG 中,DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE,AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时,四边形 APBC 面积最大.理由如下:如图,过点 P 作PE AB ,垂足为E , 过点C 作CF AB ,垂足为F ,四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径,ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ,逆时针旋转90°到VAED 处,如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线,Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得: AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ,S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形,CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ,D 1B , D 1C ,如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m , BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形,AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图,连接GE •由(2)的证明过程可知: ACBC ■ 2D 1C ,ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中,G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点,E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线,EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中,FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2,解得,n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测,S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线,OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中,CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线,PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2,而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-,从而如下图,我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N,过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ,薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。

中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)

中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)
三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重
要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论乊间的关系、图形的几何特征不数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系, 既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。
解中考压轴题技能:中考压轴题大多是以坐标系为桥梁,运用数形结合思想,通过建立点不数即坐标乊间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数不方程思想。以直线戒抛物线知识为载体,列(解)方程戒方程组求其解析式、研究其性质。
变式练习:(杭州模拟)如图,已知抛物 经过点A(﹣
2,0),抛物线的顶点为 D,过 O 作射线 OM∥AD.过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线
OM 于点 C,B 在 x 轴正半轴上,连接 BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件迚行计算,然后有动点(戒动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式,求函数的自变量的取值范围,最后根据所求的函数关系迚行探索研究。一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形,四边形是平行四边形、菱形、梯形等,戒探索两个三角形满足什么条件相似等,戒探究线段乊间的数量、位置关系等,戒探索面积乊间满足一定关系时求x的值等,戒直线(圆)不圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量乊间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。找等量关系的途径在刜中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置(极端位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少丌了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。

中考数学压轴题----《几何图形》例题讲解

中考数学压轴题----《几何图形》例题讲解

中考数学压轴题----《几何图形》例题讲解例1、(2020•广西)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸【答案】C【解答】解:取AB的中点O,过D作DE⊥AB于E,如图2所示:由题意得:OA=OB=AD=BC,设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r(寸),DE=10(寸),OE=CD=1(寸),AE=(r﹣1)寸,在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即(r﹣1)2+102=r2,解得:r=50.5,∴2r=101(寸),∴AB=101寸,故选:C.【变式1-1】(2021•鄂州)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且⊙O被水面截得的弦AB长为6米,⊙O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是()A.1米B.(4﹣)米C.2米D.(4+)米【答案】B【解答】解:连接OC交AB于D,连接OA,∵点C为运行轨道的最低点,∴OC⊥AB,∴AD=AB=3(米),在Rt△OAD中,OD===(米),∴点C到弦AB所在直线的距离CD=OC﹣OD=(4﹣)米,故选:B.【变式1-2】(2021•张家界)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,设正方形ABCD的面积为S,黑色部分面积为S1,则S1:S的比值为()A.B.C.D.【答案】A【解答】解:不妨设正方形面积S=1,则正方形边长为1,∴内切圆直径d=1,r=,=πr2=π,∴S圆根据圆的对称性得:黑色部分面积S1=S圆=π,∴S1:S==,故选:A.【变式1-3】(2022•西宁)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解.【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:解法一:原式=(2a﹣3ab)﹣(4﹣6b)=a(2﹣3b)﹣2(2﹣3b)=(2﹣3b)(a﹣2)解法二:原式=(2a﹣4)﹣(3ab﹣6b)=2(a﹣2)﹣3b(a﹣2)=(a﹣2)(2﹣3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止)【类比】(1)请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解;【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解;【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,我们利用它验证了勾股定理.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b),斜边长是3,小正方形的面积是1.根据以上信息,先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解,再求值.【解答】解:(1)原式=(x2﹣a2)+(x+a)=(x+a)(x﹣a)+(x+a)=(x+a)(x﹣a+1);(2)原式=(ax﹣bx)+(a2﹣2ab+b2)=x(a﹣b)+(a﹣b)2=(a﹣b)(x+a﹣b);(3)原式=(a4+2a2b2+b4)﹣(2ab3+2a3b)=(a2+b2)2﹣2ab(a2+b2)=(a2+b2)(a2+b2﹣2ab)=(a2+b2)(a﹣b)2,∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b),斜边长是3,小正方形的面积是1,∴a2+b2=32=9,(a﹣b)2=1,∴原式=9.【变式1-4】(2021•贵阳)(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程;(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多,如图②是古代的一种证明方法:过正方形ACDE 的中心O,作FG⊥HP,将它分成4份,所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12,BC=5,求EF的值;(3)拓展探究如图③,以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值n,小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d.已知∠1=∠2=∠3=α,当角α(0°<α<90°)变化时,探究b与c的关系式,并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示).【解答】解:(1)a2+b2=c2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方),证明如下:∵如图①是由直角边长分别为a,b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b﹣a)的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形,∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积,即4×ab+(b﹣a)2=c2,整理得:a2+b2=c2;(2)由题意得:正方形ACDE被分成4个全等的四边形,设EF=a,FD=b,分两种情况:①a>b时,∴a+b=12,∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成,∴E'F'=EF,KF'=FD,E'K=BC=5,∵E'F'﹣KF'=E'K,∴a﹣b=5,∴,解得:a=,∴EF=;②a<b时,同①得:,解得:a=,∴EF=;综上所述,EF为或;(3)c+b=n,理由如下:如图③所示:设正方形E的边长为e,正方形F的边长为f,∵∠1=∠2=∠3=α,∠PMQ=∠D'OE'=∠B'C'A'=90°,∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A',∴=,=,即=,=,∴e2=cn,f2=bn,在Rt△A'B'C'中,由勾股定理得:e2+f2=n2,∴cn+bn=n2,∴c+b=n.。

德州市中考数学一轮复习课件专题四:几何变换压轴题

德州市中考数学一轮复习课件专题四:几何变换压轴题
几何变换是德州市中考的常考点,多与三角形、四边 形、圆相结合,考查形式多样化.德州市近五年中考对此 问题的考查:2017年中考试题第11题考查了旋转变换,第 23题考查了翻折变换;2016年中考试题第12题考查了旋转
变换,第23题考查了类比变换;2015年中考试题第6题考查 了旋转变换,第23题考查了类比变换;2014年中考试题第 12题考查了翻折变换,第23题考查了类比变换;2013年中 考试题第23题考查了类比变换.
(3)
6.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”. 例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂 足为P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC= a,AC=b,AB=c. 【特例探索】 (1)如图1,当∠ABE=45°,c=2 2 时,a= ,b= ; 如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a= ,b= ;
类型一 图形的旋转变换 几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点,多与
三角形、四边形相结合.解决旋转变换问题,首先要明确 旋转中心、旋转方向和旋转角,关键是找出旋转前后的对 应点,利用旋转前后两图形全等等性质解题.
例1 如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,
将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,
4.(2017·淄博)如图,将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,顶 点B恰好与CD边上的动点P重合(点P不与点C,D重合),折痕 为MN,点M,N分别在边AD,BC上.连接MB,MP,BP,BP与 MN相交于点F. (1)求证:△BFN∽△BCP; (2)①在图2中,作出经过M,D,P三点的⊙O(要求保留作图 痕迹,不写作法);
【分析】 作DF⊥B′E于点F,B′G⊥AD于点G,由∠B= 60°,BD=BE,得到△BDE是等边三角形,由对称的性质得 到△B′DE也是等边三角形,从而GD=B′F,然后利用勾股 定理求解. 【自主解答】 如图,作DF⊥B′E于点F,B′G⊥AD于点G, ∵∠B=60°,BD=BE=4, ∴△BDE是边长为4的等边三角形.

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=3,BG=6,求AC的长.2、[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.[问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC 交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△,可推证△CEF是三角形,从而求得∠DCE=.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数.[拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值.3、(2019秋•锦江区校级期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图1,求证:AD=2DC.(2)如图2,作∠CBD的角平分线交线段CD于点M,若CM=1,求△DBM的面积;(3)如图3,过点D作DE⊥AB于点E,点N是线段AC上一点(不与C、D重合),以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,试探究线段ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由.4、(2019•镇平县三模)如图1,已知直角三角形ABC,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D是AC边上一点,过D作DE⊥AB于点E,连接BD,点F是BD中点,连接EF,CF.(1)发现问题:线段EF,CF之间的数量关系为;∠EFC的度数为;(2)拓展与探究:若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)拓展与运用:如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.5、(2017春•西城区校级期末)如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点P是线段AB的中点,点E是线段CB延长线上一点,且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD,连接BD.(1)如图2,若α=60°,其他条件不变,先补全图形,然后探究线段BD和BC之间的数量关系,并说明理由.(2)如图3,若α=90°,其他条件不变,探究线段BP、BD和BC之间的等量关系,并说明理由.6、【发现问题】如图1,已知△ABC,以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE.请你以A为直角顶点、AC为腰,向△ABC外作等腰直角△ACD(不写作法,保留作图痕迹).连接BD、CE.那么BD与CE的数量关系是BD=CE.【拓展探究】如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由.【解决问题】如图3,有一个四边形场地ABCD,∠ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD的最大值.7、(1)如图1,点C为线段AB外一个动点,已知AB=a,AC=b.当点C位于BA的延长线上时,线段BC取得最大值,则最大值为(用含a,b的式子表示);(2)如图2,点C为线段AB外一个动点,若AB=10,AC=3,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,DB.①求证:AE=DB;②请直接写出线段AE的最大值;(3)如图3,AB=6,点M为线段AB外一个动点,且AM=2,MB=MN,∠BMN=90°,请直接写出线段AN的最大值.8、【初步探索】(1)如图1:在四边形ABC中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF =BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系,并给出证明过程.9、(2018•大东区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=45°,AC=,请直接写出BQ的长.10、模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于时,线段BC的长取得最大值,且最大值为(用含b,c的式子表示)(直接填空).模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为.模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB =8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.11、已知:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.(1)如图1,点D在BC的延长线上,连AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证:AD=BF;(2)如图2,点D在线段BC上,连AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连BE交AC于F,连DE,问BD与CF有何数量关系,并加以证明;(3)如图3,点D在CB延长线上,AE=AD且AE⊥AD,连接BE、AC的延长线交BE于点M,若AC =3MC,请直接写出的值.12、已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求的值.13、已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC任意一点,连接BE.(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;(2)如图2,F也为AC上一点,且满足AE=CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG;①若AG平分∠CAD,求证:AH=AC;②如图3,当G落在△ABC外时,若将△EFG沿EF边翻折,点G刚好落在AB边上点P,直接写出AG与EF的数量关系.14、如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,连接CD;(1)如图1,求证:AB=2CD;(2)如图2,作CF⊥AB交AB于F,点G为CF上一点,点H为DE延长线上一点,分别连接AH、GH,若∠AHG=2∠B,求证:AH=GH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,且有DE=BF,∠EDG=90°,若AC=6,求AH的长度.15、【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于点G,求证:△CDE≌△EGF.(1)阅读理解,完成解答本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置,证明结论若CE平分∠ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;(3)知识迁移,探究发现如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中,∠BGF=90°,P是DF的中点,连接PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时,延长GP交DC于点E.求证:PG=PC;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论;(3)如图3,若四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,△BGF为等边三角形,点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,请直接写出你的结论,并画出论证过程中需要添加的辅助线.17、在△ABC中,∠BAC=60°,点D、E分别在边AC、AB上,AD=AE,连接CE、BD相交于点F,且∠BEC=∠ADF,连接AF.(1)如图1,连接ED,求证:∠ABD=∠CED;(2)如图2,求证:EF+FD=AF;(3)如图3,取BC的中点G,连接AG交BD于点H,若∠GAC=3∠ABD,BH=7,求△ABH的面积.18、点D,E分别在△ABC的边AC,BD上,BD,CE交于点F,连接AF,∠F AE=∠F AD,FE=FD.(1)如图1,若∠AEF=∠ADF,求证:AE=AD;(2)如图2,若∠AEF≠∠ADF,FB平分∠ABC,求∠BAC的度数;(3)在(2)的条件下,如图3,点G在BE上,∠CFG=∠AFB若AG=6,△ABC的周长为20,求BC长.中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题参考答案1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=3,BG=6,求AC的长.证明:(1)如图1,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵CG平分∠ACB,∴∠ACG=∠BCG=45°,∴∠A=∠BCG,在△BCG和△CAF中,∵,∴△BCG≌△CAF(ASA),∴CF=BG;(2)如图2,∵PC∥AG,∴∠PCA=∠CAG,∵AC=BC,∠ACG=∠BCG,CG=CG,∴△ACG≌△BCG,∴∠CAG=∠CBE,∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°,∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°,∴∠PCG=∠PGC,∴PC=PG,∵PB=BG+PG,BG=CF,∴PB=CF+CP;(3)解法一:如图3,过E作EM⊥AG,交AG于M,∵S△AEG=AG•EM=3,由(2)得:△ACG≌△BCG,∴BG=AG=6,∴×6×EM=3,EM=,设∠FCH=x°,则∠GAC=2x°,∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°,∵∠ACH=45°,∴2x+x=45,x=15,∴∠ACF=∠GAC=30°,在Rt△AEM中,AE=2EM=2,AM==3,∴M是AG的中点,∴AE=EG=2,∴BE=BG+EG=6+2,在Rt△ECB中,∠EBC=30°,∴CE=BE=3+,∴AC=AE+EC=2+3+=3+3.解法二:同理得:∠CAG=30°,AG=BG=6,如图4,过G作GM⊥AC于M,在Rt△AGM中,GM=3,AM===3,∵∠ACG=45°,∠MGC=90°,∴GM=CM=3,∴AC=AM+CM=3+3.2、[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.[问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC 交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△ADB,可推证△CEF是等腰直角三角形,从而求得∠DCE=135°.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数.[拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值.解:[问题初探]如图2,过点E作EF⊥BC交直线BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEG是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=135°,故答案为:ADB,等腰直角,135;[继续探究]如图3,过点E作EF⊥BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEG是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=45°;[拓展延伸]如图4,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,∴∠ACB=45°当点D在射线BC上时,由[问题初探]知,∠BCM=135°,∴∠ACM=∠BCM﹣∠ACB=90°,当点D在线段CB的延长线上时,由[继续探究]知,∠BCE=45°,∴∠ACN=∠ACB+∠BCM=90°,∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点,∴当BE⊥MN时,BE最小,∵∠BCE=45°,∴∠CBE=45°=∠BCE,∴BE=CE,∴BE最小=BC=,即:BE的最小值为.3、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图1,求证:AD=2DC.(2)如图2,作∠CBD的角平分线交线段CD于点M,若CM=1,求△DBM的面积;(3)如图3,过点D作DE⊥AB于点E,点N是线段AC上一点(不与C、D重合),以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,试探究线段ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由.证明:(1)如图1,过点D作DE⊥AB,∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠ACB=90°,∴DC=DE,∵∠A=30°,DE⊥AB,∴AD=2DE,∴AD=2DC;(2)如图2,过点M作ME∥BD,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=30°,∵BM平分∠CBD,∴∠CBM=15°=∠DBM,∵ME∥BD,∴∠MEC=∠CBD=30°,∠EMB=∠DBM=∠MBE,∴ME=BE,∵∠MEC=30°,∠C=90°∴CE=MC=,ME=2MC=2=BE,∴BC=+2,∵∠CBD=30°,∠C=90°,∴BC=CD,∴CD=1+,∴DM=,∴△DBM的面积=××(+2)=1+;(3)若点N在CD上时,AD=DG+DN,理由如下:如图3所示:延长ED使得DW=DN,连接NW,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,∵DN=DW,且∠WDN=60°∴△WDN是等边三角形,∴NW=DN,∠W=∠WND=∠BNG=∠BDN=60°,∴∠WNG=∠BND,在△WGN和△DBN中,∴△WGN≌△DBN(SAS),∴BD=WG=DG+DN,∴AD=DG+DN.(3)若点N在AD上时,AD=DG﹣DN,理由如下:如图4,延长BD至H,使得DH=DN,连接HN,由(1)得DA=DB,∠A=30°.∵DE⊥AB于点E.∴∠2=∠3=60°.∴∠4=∠5=60°.∴△NDH是等边三角形.∴NH=ND,∠H=∠6=60°.∴∠H=∠2.∵∠BNG=60°,∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.即∠DNG=∠HNB.在△DNG和△HNB中,∴△DNG≌△HNB(ASA).∴DG=HB.∵HB=HD+DB=ND+AD,∴DG=ND+AD.∴AD=DG﹣ND.4、如图1,已知直角三角形ABC,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D是AC边上一点,过D作DE⊥AB于点E,连接BD,点F是BD中点,连接EF,CF.(1)发现问题:线段EF,CF之间的数量关系为EF=CF;∠EFC的度数为120°;(2)拓展与探究:若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)拓展与运用:如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.解:(1)如图1中,∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∵∠BCD=90°,BF=DF,∴FE=FB=FD=CF,∴∠FBE=∠FEB,∠FBC=∠FCB,∴∠EFC=∠EFD+∠CFD=∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB=2(∠FBE+∠FBC)=2∠ABC=120°,故答案为:EF=CF,120°.(2)结论成立.理由:如图2中,取AB的中点M,AD的中点N,连接MC,MF,ED,EN,FN.∵BM=MA,BF=FD,∴MF∥AD,MF=AD,∵AN=ND,∴MF=AN,MF∥AN,∴四边形MFNA是平行四边形,∴NF=AM,∠FMA=∠ANF,在Rt△ADE中,∵AN=ND,∠AED=90°,∴EN=AD=AN=ND,同理CM=AB=AM=MB,在△AEN和△ACM中,∠AEN=∠EAN,∠MCA=∠MAC,∵∠MAC=∠EAN,∴∠AMC=∠ANE,又∵∠FMA=∠ANF,∴∠ENF=∠FMC,在△MFC和△NEF中,,∴△MFC≌△NEF(SAS),∴FE=FC,∠NFE=∠MCF,∵NF∥AB,∴∠NFD=∠ABD,∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,△BMC是等边三角形,∠MCB=60°∴∠EFC=∠EFN+∠NFD+∠DFC=∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠MCB=60°+60°=120°.(3)如图3中,作EH⊥AB于H.在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,BC=3,∴AB=2BC=6,在Rt△AED中,∠DAE=30°,AD=2,∴DE=AD=1,在Rt△DEH中,∵∠EDH=60°,DE=1,∴EH=ED•sin60°=,DH=ED•cos60°=,在Rt△EHG中,EG==.5、如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点P是线段AB的中点,点E是线段CB延长线上一点,且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD,连接BD.(1)如图2,若α=60°,其他条件不变,先补全图形,然后探究线段BD和BC之间的数量关系,并说明理由.(2)如图3,若α=90°,其他条件不变,探究线段BP、BD和BC之间的等量关系,并说明理由.解:(1)BC=2BD,理由:如图2,连接CD,由旋转可得,CP=DP,∠CPD=60°,∴△CDP是等边三角形,∴∠CDP=60°=∠PCD,又∵P是AB的中点,AB=AC,∠A=60°,∴等边三角形ABC中,∠PCB=30°,CP⊥AB,∴∠BCD=30°,即BC平分∠PCD,∴BC垂直平分PD,∴∠BDC=∠BPC=90°,∴Rt△BCD中,BC=2BD.(2)如图3,取BC中点F,连接PF,∵∠A=90°,AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵P是AB的中点,F是BC的中点,∴PF是△ABC的中位线,∴PF∥AC,∴∠PFB=∠ACB=45°,∠BPF=∠A=90°,∴△BPF是等腰直角三角形,∴BF=BP,BP=PF,∵∠DPC=∠BPF=90°,∴∠BPD=∠FPC,又∵PD=PC,∴△BDP≌△FCP,∴BD=CF,∵BC=BF+FC,∴BC=BD+BP.6、【发现问题】如图1,已知△ABC,以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE.请你以A为直角顶点、AC为腰,向△ABC外作等腰直角△ACD(不写作法,保留作图痕迹).连接BD、CE.那么BD与CE的数量关系是BD=CE.【拓展探究】如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由.【解决问题】如图3,有一个四边形场地ABCD,∠ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD的最大值.【发现问题】解:延长CA到M,作∠MAC的平分线AN,在AN上截取AD=AC,连接CD,即可得到等腰直角△ACD;连接BD、CE,如图1所示:∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形,∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE,【拓展探究】解:BD=CE;理由如下:∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形,∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE;【解决问题】解:以AB为边向外作等边三角形ABE,连接CE,如图3所示:则∠BAE=60°,BE=AB=AE=8,∵AD=CD,∠ADC=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠CAD=60°,AC=AD,∴∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE;当C、B、E三点共线时,CE最大=BC+BE=15+8=23,∴BD的最大值为23.7、如图1,点C为线段AB外一个动点,已知AB=a,AC=b.当点C位于BA的延长线上时,线段BC取得最大值,则最大值为a+b(用含a,b的式子表示);(2)如图2,点C为线段AB外一个动点,若AB=10,AC=3,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,DB.①求证:AE=DB;②请直接写出线段AE的最大值;(3)如图3,AB=6,点M为线段AB外一个动点,且AM=2,MB=MN,∠BMN=90°,请直接写出线段AN的最大值.(1)解:∵点C为线段AB外一动点,且AC=b,AB=a,∴当点C位于BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为AC+AB=a+b,(2)①证明:如图2中,∵△ACD与△BCE是等边三角形,∴CD=AC,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△CAD与△EAB中,,∴△CAD≌△EAB(SAS),∴AE=BD.②∵线段AE长的最大值=线段BD的最大值,由(1)知,当线段BD的长取得最大值时,点D在BA的延长线上,∴最大值为AD+AB=3+10=13;(3)如图3中,连接BN,∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM,连接AP,则△APM是等腰直角三角形,∴MA=MP=2,BP=AN,∴P A=2,∵AB=6,∴线段AN长的最大值=线段BP长的最大值,∴当P在线段BA的延长线时,线段BP取得最大值最大值=AB+AP=6+2.8、【初步探索】(1)如图1:在四边形ABC中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF =BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是∠BAE+∠F AD=∠EAF;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系,并给出证明过程.解:(1)∠BAE+∠F AD=∠EAF.理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据SAS可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再根据SSS可判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.故答案为:∠BAE+∠F AD=∠EAF;(2)仍成立,理由:如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;(3)∠EAF=180°﹣∠DAB.证明:如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ADC=∠ABE,又∵AB=AD,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠F AE=∠F AG,∵∠F AE+∠F AG+∠GAE=360°,∴2∠F AE+(∠GAB+∠BAE)=360°,∴2∠F AE+(∠GAB+∠DAG)=360°,即2∠F AE+∠DAB=360°,∴∠EAF=180°﹣∠DAB.9、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=45°,AC=,请直接写出BQ的长.解:(1)CP=BQ,理由:如图1,连接OQ,由旋转知,PQ=OP,∠OPQ=60°⊅∴△POQ是等边三角形,∴OP=OQ,∠POQ=60°,在Rt△ABC中,O是AB中点,∴OC=OA=OB,∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ,∴∠COP=∠BOQ,在△COP和△BOQ中,,∴△COP≌△BOQ(SAS),∴CP=BQ,(2)CP=BQ,理由:如图2,连接OQ,由旋转知,PQ=OP,∠OPQ=60°∴△POQ是等边三角形,∴OP=OQ,∠POQ=60°,在Rt△ABC中,O是AB中点,∴OC=OA=OB,∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ,∴∠COP=∠BOQ,在△COP和△BOQ中,,∴△COP≌△BOQ(SAS),∴CP=BQ,(3)如图3,在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=,∴BC=AC•tan∠A=,过点O作OH⊥BC,∴∠OHB=90°=∠BCA,∴OH∥AB,∵O是AB中点,∴CH=BC=,OH=AC=,∵∠BPQ=45°,∠OHP=90°,∴∠BPQ=∠PQH,∴PH=OH=,∴CP=PH﹣CH=﹣=,连接BQ,同(1)的方法得,BQ=CP=.10、模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为b+c(用含b,c的式子表示)(直接填空)模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为5.模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB =8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.解:当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,最大值为b+c,故答案为:线段BA的延长线上;b+c;模型应用:(1)证明:∵△ACD、△BCE都是等边三角形,∴CD=CA=AD,CB=CE,∠ACD=60°,∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△DCB和△ACE中,,∴△DCB≌△ACE(SAS)∴BD=AE;(2)当点D位于线段BA的延长线上时,线段BD的长取得最大值,最大值为AB+AD=AB+AC=3+2=5,∵AE=BD,∴线段AE长的最大值为5,模型拓展:取AB的中点G,连接OG、CG,在Rt△AOB中,G为AB的中点,∴OG=AB=4,在Rt△CAG中,CG===5,当点O、G、C在同一条直线上时,OC最大,最大值为4+5=9.11、已知:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.(1)如图1,点D在BC的延长线上,连AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证:AD=BF;(2)如图2,点D在线段BC上,连AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连BE交AC于F,连DE,问BD与CF有何数量关系,并加以证明;(3)如图3,点D在CB延长线上,AE=AD且AE⊥AD,连接BE、AC的延长线交BE于点M,若AC =3MC,请直接写出的值.(1)证明:如图1中,∵BE⊥AD于E,∴∠AEF=∠BCF=90°,∵∠AFE=∠CFB,∴∠DAC=∠CBF,∵BC=CA,∴△BCF≌△ACD,∴BF=AD.(2)结论:BD=2CF.理由:如图2中,作EH⊥AC于H.∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°,∴∠DAC+∠ADC=90°,∠DAC+∠EAH=90°,∴∠DAC=∠AEH,∵AD=AE,∴△ACD≌△EHA,∴CD=AH,EH=AC=BC,∵CB=CA,∴BD=CH,∵∠EHF=∠BCF=90°,∠EFH=∠BFC,EH=BC,∴△EHF≌△BCF,∴FH=CF,∴BD=CH=2CF.(3)如图3中,同法可证BD=2CM.∵AC=3CM,设CM=a,则AC=CB=3a,BD=2a,∴==.12、已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求的值.(1)①证明:如图1中,∵AB=AC,∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AD⊥BN,∴∠ADB=90°,∵∠MBN=30°,∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,∴∠1=∠2②证明:如图2中,在Rt△BFD中,∵∠FBD=30°,∴BF=2DF,∵BF=2AF,∴BF=AD,∵∠BAE=∠FBC,AB=BC,∴△BFC≌△ADB,∴∠BFC=∠ADB=90°,∴BF⊥CF(2)在BF上截取BK=AF,连接AK.∵∠BFE=∠2+∠BAF,∠CFE=∠4+∠1,∴∠CFB=∠2+∠4+∠BAC,∵∠BFE=∠BAC=2∠EFC,∴∠1+∠4=∠2+∠4∴∠1=∠2,∵AB=AC,∴△ABK≌CAF,∴∠3=∠4,S△ABK=S△AFC,∵∠1+∠3=∠2+∠3=∠CFE=∠AKB,∠BAC=2∠CEF,∴∠KAF=∠1+∠3=∠AKF,∴AF=FK=BK,∴S△ABK=S△AFK,∴=2.13、已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC任意一点,连接BE.(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;(2)如图2,F也为AC上一点,且满足AE=CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG;①若AG平分∠CAD,求证:AH=AC;②如图3,当G落在△ABC外时,若将△EFG沿EF边翻折,点G刚好落在AB边上点P,直接写出AG与EF的数量关系.(1)解:如图1中,在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.在Rt△ABE中,∵OB=OE,∴BE=2OA=2,∵MB=ME,∴∠MBE=∠MEB=15°,∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°,设AE=x,则ME=BM=2x,AM=x,∵AB2+AE2=BE2,∴(2x+x)2+x2=22,∴x=(负根已经舍弃),∴AB=AC=(2+)•,∴BC=AB=+1.方法二:作EH⊥BC于H,求出BH,CH即可解决问题.(2)证明:如图2中,作CP⊥AC,交AD的延长线于P,GM⊥AC于M.∵BE⊥AP,∴∠AHB=90°,∴∠ABH+∠BAH=90°,∵∠BAH+∠P AC=90°,∴∠ABE=∠P AC,在△ABE和△CAP中,,∴△ABE≌△CAP,∴AE=CP=CF,∠AEB=∠P,在△DCF和△DCP中,,∴△DCF≌△DCP,∴∠DFC=∠P,∴∠GFE=∠GEF,∴GE=GF,∵GM⊥EF,∴FM=ME,∵AE=CF,∴AF=CE,∴AM=CM,在△GAH和△GAM中,,∴△AGH≌△AGM,∴AH=AM=CM=AC(3)解:结论:AG=EF.理由:如图3中,作CM⊥AC交AD的延长线于M,连接PG交AC于点O.由(2)可知△ACM≌△BAE,△CDF≌△CDM,∴∠AEB=∠M=∠GEF,∠M=∠CFD=∠GFE,AE=CM=CF,∴∠GEF=∠GFE,∴GE=GF,∵△EFP是由△EFG翻折得到,∴EG=EP=GF=PF,∴四边形EGFP是菱形,∴PG⊥AC,OE=OF,∵AE=CF,∴AO=OC,∵AB∥OP,∴BP=PC,∵PF∥BE,∴EF=CF=AE,∵PB=PC,AO=OC,∴PO=OG=AB,∴AB=PG,AB∥PG,∴四边形ABPG是平行四边形,∴AG∥BC,∴∠GAO=∠ACB=45°,设EO=OF=a,则OA=OG=3a,AG=3a,∴==,∴AG=EF14、如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,连接CD;(1)如图1,求证:AB=2CD;(2)如图2,作CF⊥AB交AB于F,点G为CF上一点,点H为DE延长线上一点,分别连接AH、GH,若∠AHG=2∠B,求证:AH=GH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,且有DE=BF,∠EDG=90°,若AC=6,求AH的长度.解:(1)∵E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,∴AD=CD,∵∠ACB=90°,∴BC∥DE,∴AD=BD,∴CD=BD,∴AB=2CD;(2)如图2,连接CH,∵点E是AC的中点,∴AE=CE,∵DE⊥AC,∴CH=AH,∴∠ACH=∠CAH,∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°,∵CF⊥AB,∴∠BAC+∠ACF=90°,∴∠ACF=∠B,∴∠HCG=∠ACH+∠ACF=∠CAH+∠B,∠AHG=2∠B∴在四边形AHGF中,∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH=360°,∴∠FGH=360°﹣(∠AFG+∠AHG+∠F AH)=360°﹣(90°+2∠B+∠CAH+∠BAC)=360°﹣(90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B)=360°﹣(180°+∠B+∠CAH)=180°﹣(∠B+∠CAH),∵∠CGH=180°﹣∠FGH=∠B+∠CAH=∠HCG,∴CH=GH,∵CH=AH,∴AH=GH;(3)如图3,由(1)知,DE∥BC,∴∠B=∠ADE,在△BFC和△DEA中,,∴△BFC≌△DEA,∴BC=AD,∵AD=BD=CD,∴BC=BD=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠B=60°,在Rt△ABC中,AC=6,∴BC=2,AB=4,∵CF⊥BD,∴DF=,CF=3,∵∠BAC=30°,∴∠ADE=60°,∵∠EDG=90°,∠FDG=30°,在Rt△DFG中,DF=,∴FG=1,DG=2,∴CG=CF﹣FG=2过点H作HN⊥CF,由(2)知,CH=GH,∴NG=CG=1,∴FN=NG+FG=2,过点H作HM⊥AB,∴∠FMH=∠NFM=∠HNF=90°,∴四边形NFMH是矩形,∴HM=FN=2,在Rt△DMH中,∠ADE=60°,HM=2,∴DH=,在Rt△HDG中,根据勾股定理得,HG==.15、【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于点G,求证:△CDE≌△EGF.(1)阅读理解,完成解答本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置,证明结论若CE平分∠ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;(3)知识迁移,探究发现如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)(1)证明:∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠DCB=45°,∵∠ECF=∠DCB+∠1=45°+∠1,∠EFC=∠B+∠2=45°+∠2,∠1=∠2,∴∠ECF=∠EFC,∴CE=EF,∵CD⊥AB,FG⊥AB,∴∠CDE=∠EGF=90°,在△CDE和△EGF中,,∴△CDE≌△EGF(AAS);(2)证明:由(1)得:CE=EF,∠A=∠B,∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠1,∵∠1=∠2,∴∠ACE=∠2,在△ACE和△BEF中,,∴△ACE≌△BEF(AAS),∴AE=BF;(3)AE=BF,作EH⊥BC与H,如图3所示:设DE=x,根据题意得:BE=DE=x,AD=BD=2x,CD=AD=2x,AE=3x,根据勾股定理得:BC=AC=2x,∵∠ABC=45°,EH⊥BC,∴BH=x,∴CH=BC﹣BH=x,∵EC=EF,∴FH=CH=x,∴BF=x﹣x=x,∴=,∴AE=.16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中,∠BGF=90°,P是DF的中点,连接PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时,延长GP交DC于点E.求证:PG=PC;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论;(3)如图3,若四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,△BGF为等边三角形,点F在CB的延长线。

中考数学几何压轴题解题技巧

中考数学几何压轴题解题技巧

中考数学几何压轴题解题技巧
中考数学几何压轴题通常比较难,需要有一定的数学基础和思维能力。

以下是一些中考数学几何压轴题解题技巧:
1. 熟悉几何图形的特性:在解决几何压轴题时,要对一些特殊的形状和性质进行记忆和识别,例如平行线的性质、垂直线的性质、三角形的判定和性质等。

2. 理解空间观念:几何压轴题通常涉及到空间问题,因此要具备良好的空间观念,例如理解向量的概念、理解点、线、面之间的关系等。

3. 运用基本定理:解决几何压轴题时,需要运用一些基本定理,
例如相似三角形定理、勾股定理、三角函数等。

4. 化简和化归:在解决几何压轴题时,常常需要进行化简和化归,将复杂的问题转化为更简单的形式,从而更容易解决问题。

5. 寻找关键信息:几何压轴题通常需要寻找一些关键信息,例如对称性、三角形的重心、垂心、内心、外心等。

6. 画图辅助思考:在解决几何压轴题时,画图可以更加直观地理
解问题,帮助你找到解决问题的方法。

7. 多练习:最后,多练习是必要的。

通过大量的练习,你可以加深对几何图形的理解和记忆,提高解决问题的能力。

总之,几何压轴题需要理解和掌握几何图形的特性、运用基本定理、化简和化归、寻找关键信息、画图辅助思考以及多练习等方法,才能有效地解决问题。

(完整版)中考数学几何压轴题

(完整版)中考数学几何压轴题

1.(1)操作发现·如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.(2)问题解决Array AD的值;保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求AB(3)类比探究AD的值.保持(1)中的条件不变,若DC=n·DF,求AB2.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75º,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.求 错误!的值.3。

如图①,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AE ⊥BC 于点E ,DF ⊥BC 于点F .AD =2cm ,BC =6cm ,AE =4cm .点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上,顺次连接B 、P 、Q 、C ,线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M .若点P在线段AE 上运动时,点Q 也随之在线段DF 上运动,使图形M 的形状发生改变,但面积始终..为10cm 2.设EP =x cm ,FQ =y cm,解答下列问题: (1)直接写出当x =3时y 的值;(2)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当x 取何值时,图形M 成为等腰梯形?图形M 成为三角形? (4)直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积.ABCDE 图1ABCDE图2FADA DP4.如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC ,△A 1B 1C 1.(1)将△ABC ,△A 1B 1C 1如图②摆放,使点A 1与B 重合,点B 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交BB 1于点E .求证:∠B 1C 1C =∠B 1BC .(2)若将△ABC ,△A 1B 1C 1如图③摆放,使点B 1与B 重合,点A 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交A 1B 于点F .试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等,并说明理由.图 ①ABC A 1B 1C 1C 1C B 1B A(A 1)E图 ②5.将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC )的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD )的斜边恰好重合.已知AB =32,P 是AC 上的一个动点.(1)当点P 运动到∠ABC 的平分线上时,连接DP ,求DP 的长; (2)当点P 在运动过程中出现PD =BC 时,求此时∠PDA 的度数; (3)当点P 运动到什么位置时,以D ,P ,B ,Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上?求出此时□DPBQ 的面积.A BCD6.如图1,已知长方形ABED ,点C 是边DE 的中点,且AB =2AD . (1)判断△ABC 的形状,并说明理由;(2)保持图1中ABC 的固定不变,绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置(当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧),试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系?并给予证明;(3)保持图2中△ABC 的固定不变,继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置(当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧).试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系?并给予证明.AB CDE图1ABC D E图3NM ABCDE图2NM7.如图1,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =CD ,∠BAD =120°,∠MAN =60°,将图1中的∠MAN 绕点A 按逆时针方向旋转α角(0°<α<120°),边AM 、AN 分别交直线BC 、CD 于E 、F 两点. (1)当0°<α≤60°时,其他条件不变,如图2、如图3所示.①如图2,判断线段BE 、DF 、EF 的数量关系,并直接写出结论;②如图3,①中的结论是否依然成立?若成立,请利用图3证明;若不成立,说明理由. (2)当60°<α<120°时,其他条件不变,请在图4中画出一个..符合条件的图形,直接写出所画图形中线段BE 、DF 、EF 的数量关系.图1 AB C DMN 图2 ABC DMNE F图3ABCD M FEN图4ABCD。

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为线段AB上一点,线段CD绕点C 逆时针旋转90°能与线段CE重合,点F为AC与BE的交点.(1)若BC=5,CE=4,求线段BD的长;(2)猜想BD与AF的数量关系,并证明你猜想的结论;(3)设CA=3DA=6,点M在线段CD上运动,点N在线段CA上运动,运动过程中,DN+MN的值是否有最小值,如果有,请直接写出这个最小值;如果没有,请说明理由.2.阅读下列材料,并完成相应的学习任务:图形旋转的应用图形的旋转是全等变换(平移、轴对称、旋转)中重要的变换之一,利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质,可以将一般图形转化成特殊图形,从而达到解决问题的目的.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE平分∠ACB,且AC=4,BC=3.过点E作互相垂直的两条直线,即EF⊥ED,EF交AC于点F,ED交BC于点D,求四边形EFCD 的面积.分析:将∠FED以点E为旋转中心顺时针旋转,使得旋转后EF的对应线段所在直线垂直于AC,并且交AC于点M,旋转后ED的对应线段所在直线交BC于点N.则容易证明四边形MENC为正方形.因为∠EMF=∠END=90°,ME=NE,∠MEF=∠NED,所以△MEF≌△NED,所以S四边形EFCD=S正方形MENC.学习任务:(1)四边形EFCD的面积等于;(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,①作出△ABC的外接圆O;②作∠ACB的平分线,与⊙O交于点D.要求:尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹.(3)在(2)的基础上,若BC+AC=14,则四边形ACBD的面积等于.3.△ABC为等边三角形,AB=4,AD⊥BC于点D,点E为AD的中点.(1)如图1,将AE绕点A顺时针旋转60°至AF,连接EF交AB于点G,求证:G为EF中点.(2)如图2,在(1)的条件下,将△AEF绕点A顺时针旋转,旋转角为α,连接BE,H为BE的中点,连接DH,GH.当30°<α<120°时,猜想∠DHG的大小是否为定值,并证明你的结论.(3)在△AEF绕点A顺时针旋转过程中,H为BE的中点,连接CH,问线段CH何时取得最大值,请说明理由,并直接写出此时△ADH的面积.4.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,CD是边AB上的高线,E是AC上一点,连接BE,交CD于点F.(1)如图1,若∠ABE=15°,BC=+1,求DF的长;(2)如图2,若BF=AC,过点D作DG⊥BE于点G,求证:BE=CE+2DG;(3)如图3,若R为射线BA上的一个动点,以BR为斜边向外作等腰直角△BRH,M 为RH的中点.在(2)的条件下,将△CEF绕点C旋转,得到△CE'F',E,F的对应点分别为E',F',直线MF'与直线AB交于点P,tan∠ACD=,直接写出当MF'取最小值时的值.5.如图1,已知△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α得到△A1BC1.(1)若α=90°,则AA1的长为.(2)如图2,若0°<α<90°,直线A1C1分别交AB,AC于点G,H,当△AGH为等腰三角形时,求CH的长.(3)如图3,若0°<α<360°,M为边A1C1的中点,N为AM的中点,请直接写出CN的最大值.6.问题发现:(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,点D为AB上一点,且AD=2DB,过点D作DE∥BC,填空:=,=;类比探究:(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN,连接DM,BM,EN,CN,请求出,的值;拓展延伸:(3)如图3,△ABC和△DEF同为等边三角形,且AB=3EF=6,连接AD,BE,将△DEF绕AC(DF)的中点O逆时针自由旋转,请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值.7.【问题提出】如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,P A=3,PB=4,PC=5.求∠APB的度数.【数学思考】当图形中有一组邻边相等时,通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题.【尝试解决】(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP'B,连接PP',则△APP'为等边三角形.∵P'P=P A=3,PB=4,P'B=PC=5,∴P'P2+PB2=P'B2,△BPP'为三角形,∴∠APB的度数为.(2)如图2,在等边三角形ABC外部有一点P,若∠BP A=30°,求证:P A2+PB2【类比探究】=PC2.【联想拓展】(3)如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.点P在直线BC上方且∠APB=45°,PC=BC=2,求P A的长.8.如图(1),已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC;AE是过A的一条直线,且B,C 在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)求证:BD=DE+CE;(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系如何?请给予证明.(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系如何?请直接写出结果,不需证明;(4)根据以上的讨论,请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE,CE的数量关系.9.(1)如图1,等腰直角△ABC,∠B=90°,点D为AC的中点,点E为边AB上的一点,作DE垂直DF交BC于点F,求证:DE=DF.(2)如图2,等腰直角△ABC,∠B=90°,点D为AC的中点,点E为边AB上的一点,线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF,求证:点F在线段BC上;(3)如图3,直角△ABC,点D为AC的中点,点E为边AB上的一点,线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF,若AB=6,BC=8,①直接写出线段EF=时,BE的长;②直接写出△ACF是等腰三角形时,BE的长;③直接写出△BEF面积的最大值.10.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣4,0),点B(0,3),△ABO绕点B顺时针旋转,得△A'BO',点A、O旋转后的对应点为A'、O',记旋转角为α.(1)如图①,α=90°,边OA上的一点M旋转后的对应点为N,当OM=1时,点N 的坐标为;(2)在(1)的条件下,当O'M+BN取得最小值时,在图②中画出点M的位置,并求出点N的坐标.(3)如图③,P为AB上一点,且P A:PB=2:1,连接PO'、P A',在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中,△PO'A'的面积是否存在最大值和最小值,若存在,请求出;若不存在,请说明理由.11.如图①,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D在AB边上,过点D作DE⊥AC于点E,取BC边的中点F,连接DF并延长到点G,使FG=DF,连接CG.(如需作图或作辅助线,请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答.)问题发现:(1)填空:CE与CG的数量关系是,直线CE与CG所夹的锐角的度数为.探究证明:(2)将△ADE绕点A逆时针旋转,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请仅就图②所示情况给出证明,若不成立,请说明理由;问题解决:(3)若AB=4,AD=3,将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°),当△ACE是直角三角形时,请直接写出CG的值.12.如图,两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上,且∠DFE=∠ACB =60°,BC=1,EF=2.设EC=m(0≤m≤4),点M在线段AD上,且∠MEB=60°.(1)如图1,当点C和点F重合时,=;(2)如图2,将图1中的△ABC绕点C逆时针旋转,当点A落在DF边上时,求的值;(3)当点C在线段EF上时,△ABC绕点C逆时针旋转α度(0<α<90°),原题中其他条件不变,则=.13.在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,连接DE,将△AED 沿直线AE翻折得到△AEF(点D与点F为对应点),连接DF,过点D作DG⊥DE交BE于点G.(1)如图1,求证:四边形DFEG为平行四边形;(2)如图2,连接CF,若tan∠ABE=,在不添加任何辅助线与字母的情况下,请直接写出图2中所有正切值等于2的角.14.在△ABC中,∠BAC=90°,点E为AC上一点,AB=AE,AG⊥BE,交BE于点H,交BC于点G,点M是BC边上的点.(1)如图1,若点M与点G重合,AH=2,BC=,求CE的长;(2)如图2,若AB=BM,连接MH,∠HMG=∠MAH,求证:AM=2HM;(3)如图3,若点M为BC的中点,作点B关于AM的对称点N,连接AN、MN、EN,请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系.15.(1)如图1.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,CA=8,BC=6,点D、E分别在边CA,CB上,且CD=3,CE=4,连接AE,BD,F为AE的中点,连接CF交BD于点G,则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是.(提示:延长CF到点M,使FM=CF,连接AM)(2)将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转,在旋转过程中,当B,D,E三点在同一条直线上时,CF的长为.16.在△ABC和△AEF中,∠AFE=∠ABC=90°,∠AEF=∠ACB=30°,AE=AC,连接EC,点G是EC中点,将△AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图1,若E恰好在线段AC上,AB=2,连接FG,求FG的长度;(2)如图2,若点F恰好落在射线CE上,连接BG,证明:GB=AB+GC;(3)如图3,若AB=3,在△AEF旋转过程中,当GB﹣GC最大时,直接写出直线AB,AC,BG所围成三角形的面积.17.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,BC上运动,将线段DE绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF.(1)如图1,若D为AB中点,点E与点C重合,AF与DC相交于点O,求证:OE=OD;(2)如图2,若点E不与C,B重合,点D为AB中点,点G为AF的中点,连接DG,连接BF,判断线段BF,CE,AD的数量关系并说明理由;(3)如图3,若AB=4,AD=3BD,点G为AF的中点,连接CG,∠GDE=90°,请直接写出CE的长.18.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(x,y)中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|=0,过点A作x轴的垂线,垂足为点D,点E在x轴的负半轴上,且满足AD﹣OD=OE,线段AE与y轴相交于点F,将线段AD向右平移8个单位长度,得到线段BC.(1)直接写出点A和点E的坐标;(2)在线段BC上有一点G,连接DF,FG,DG,若点G的纵坐标为m,三角形DFG 的面积为S,请用含m的式子表示S(不要求写m的取值范围);(3)在(2)的条件下,当S=26时,动点P从D出发,以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动,动点Q从A出发,以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动,P,Q两点同时出发,当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时,求出P点坐标19.如图:直线l1:y=﹣x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB沿直线l1翻折后,设点O的对应点为点C,已知双曲线y=(x>0)经过点C.(1)求点A,B的坐标.(2)求k的值.(3)将直线l1绕着点A逆时针旋转得到直线l2.直线l2与y轴交于点B′,将△AOB′沿直线l2翻折得到△AB′C',当四边形OAC′B′为正方形时停止转动,求转动过程中点C运动到点C′的路径长.20.图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一.小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究.如图(1),已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,点D,E分别在线段AB,AC上,且∠C=∠AED=90°.(1)观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转,连接BD,CE,如图(2),当BD的延长线恰好经过点E时,①的值为;②∠BEC的度数为度;(2)类比探究如图(3),小芳在小华的基础上,继续旋转△ADE,连接BD,CE,设BD的延长线交CE于点F,请求出的值及∠BFC的度数,并说明理由.(3)拓展延伸若AE=DE=,AC=BC=,当CE所在的直线垂直于AD时,请你直接写出BD 的长.参考答案1.解:(1)在Rt△ABC中,AB=AC,BC=5,∴AB=AC=BC=5,由旋转知,CD=CE=4,在Rt△ADC中,AD===,∴BD=AB﹣AD=5﹣;(2)猜想:BD=2AF,理由:如图1,延长BA至G,使AG=AB,连接EG,则CG=CB,∴∠ABC=∠AGC,在Rt△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=45°,∴∠AGC=45°,∴∠BCG=90°,由旋转知,CD=CE,∠DCE=90°=∠BCG,∴∠BCD=∠GCE,∴△BCD≌△GCE(SAS),∴BD=GE,∠CBD=∠CGE=45°,∴∠BGE=∠CGB+∠CGE=90°=∠BAC,∴AC∥GE,∴,∴=,∴EG=2AF,∴BD=2AF;(3)存在,如图2,延长DA至P,使AP=AD,∵∠BAC=90°,∴点P,点D关于AC对称,∴MN+DN=MH+PN,过点P作PH⊥CD于H,要使MN+DN最小,则点P,N,M在同一条线上,且PM⊥CD,即MN+DN的最小值为PH,∵CA=3DA=6,∴AD=2,∴DP=2AD=4,CD===2,连接CP,∴S△CDP=DP•AC=CD•PH,∴PH===,即DN+MN的最小值为.2.解:(1)如图1中,∵EC平分∠ACB,EM⊥AC,EN⊥BC,∴EM=EN,∵∠EMC=∠DNC=∠MCN=90°,∴四边形EMCN是矩形,∵EM=EN,∴四边形EMCN是正方形,设正方形的边长为m,则×AC×BC=×AC×m+×BC×m,解得m=,∵EF⊥ED∴∠MEN=∠FED=90°,∴∠MEF=∠NDF,∵∠EMF=∠END=90°,∴△EMF≌△END(AAS),∴S四边形EFCD=S正方形EMCN=,故答案为:;(2)①如图2中,⊙O即为所求作.②如图2中,射线CD即为所求作.(3)如图2中,过点D作DM⊥CB交CB的延长线于M,DN⊥AC于N.∵∠DMC=∠DNC=∠MCN=90°,∴四边形DMCN是矩形,∵DC平分∠ACB,DM⊥CB,DN⊥AC,∴DM=DN,∴四边形DMCN是正方形,∴CM=CN,∵∠ACD=∠BCD,∴=,∴DB=DA,∵DM=DN,∠DMB=∠DNA=90°,∴Rt△DMB≌Rt△DNA(HL),∴BM=AN,S四边形ACBD=S正方形DMCN,∴AC+BC=CM﹣BM+CN﹣AN=2CM=14,∴CM=7,∴S四边形ACBD=49.故答案为:49.3.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°,∵∠EAF=60°,∴∠GAE=∠GAF=30°,∵AE=AF,∴FG=EG.(2)解:结论:∠EHD=120°,是定值.理由:如图2中,连接BF,CE.∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∵BH=EH,∴DH∥EC,∴∠HDB=∠ECB,∵FG=GE,EH=HB,∴GH∥BF,∴∠EHG=∠EBF,∵∠EAF=∠BAC=60°,∴∠BAF=∠CAE,∵AF=AE,AB=AC,∴△BAF≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠ABF,∵∠EHD=∠HDB+∠HBD,∴∠DHG=∠EHG+∠EHD=∠EBF+∠HDB+∠HBD=∠ABF﹣∠ABE+∠ECB+∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ECB+∠ABD=∠ACB+∠ABC=120°.(3)解:如图3中,取AB的中点N,连接AH,HN,CH,CH交AD于M,过点H作HT⊥AD于T.∵EH=BH,AN=BN,∴NH为△ABE的中位线,∴HN=AE=,∴点H在以N为圆心,为半径的圆上,当C,N,H共线时,CH的值最大,∵△ABC是等边三角形,∴CN⊥AB,∴∠ACM=∠MCB=30°,∵AD=2,∴CN=AD=2,在Rt△CMD中,CD=2,∠MCD=30°,∴CM==,∴MN=CN﹣CM=,∴HM=HN+MN=+=,∴HT=HM•sin60°=,∴S△ADH=•AD•HT=.4.(1)解:如图1中,过点F作FH⊥BC于H.∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∵∠DBC=45°,∴∠DCB=90°﹣45°=45°,∵FH⊥CH,∴∠FHC=90°,∴∠HFC=∠HCF=45°,∴CH=FH,设FH=CH=m,∵∠ABE=15°,∴∠FBC=45°﹣15°=30°,∴BH=HF=m,∴m+m=+1,∴m=1,∴CF=CH=,∵CD=BC=,∴DF=CD﹣CF=﹣=.(2)证明:如图2中,连接DE,过点D作DH⊥DE交BE于H.∵∠ADC=∠FDB=90°,DB=DC,BF=AC,∴Rt△BDF≌Rt△CDA(HL),∴∠DBF=∠ACD,∵∠BFD=∠CFE,∴△BFD∽△CFE,∴=,∴=,∵∠DFE=∠BFC,∴△DFE∽△BFC,∴∠DEF=∠BCF=45°,∵DH⊥DE,∴∠HDE=90°,∴∠DHE=∠DEH=45°,∴DH=DE,∵∠BDC=∠EDH=90°,∴∠BDH=∠CDE,∵DB=DC,DH=DE,∴△BDH≌△CDE(SAS),∴BH=EC,∵DH=DE,DG⊥EH,∴GH=EG,∴DG=EH,∴BE=BH+HE=EC+2DG.(3)解:如图3中,过点M作MJ⊥BC于J,过点P作PK⊥BC于K.∵△BHR,△DBC都是等腰直角三角形,∴∠DBC=∠HBR=45°,∴∠HBC=90°,∵∠H=∠HBJ=∠MJB=90°,∴四边形BHMJ是矩形,∴BH=MJ,HM=BJ,∵BH=HR,HM=MR,∴MJ=2BJ,∴tan∠MBJ==2,∴点M的在射线BM上运动,∴当C,F′,M共线,且CM⊥BM时,F′M的值最小.设AD=m,∵tan∠ACD==,∴CD=BD=3m,DF=AD=m,CF=CF′=2m,BC=3m,∵∠CMB=90°,tan∠CBM==2,∴BM=m,CM=m,∴BJ=HM=m,JM﹣BH=HR=m,∴MR=m,设BK=PK=n,CK=2n,∴n=m,∴BK=PK=m,CK=2m,PC=m,∴PF′=PC﹣CF′=m﹣2m,∴==.5.解:(1)∵∠C=90°,AC=4,CB=3,∴AB===5,∵α=90°,∴△ABA1是等腰直角三角形,AA1=AB=5.故答案为:5.(2)如图2﹣1中,当AG=AH时,∵AG=AH,∴∠AHG=∠AGH,∵∠A=∠A1,∠AGH=∠A1GB,∴∠AHG=∠A1BG,∴∠A1GB=∠A1BG,∴AB=AG=5,∴GC1=A1G﹣C1G=1,∵∠BC1G=90°,∴BG===,∴AH=AG=AB﹣BG=5﹣,∴CH=AC﹣AH=4﹣(5﹣)=﹣1.如图2﹣2中,当GA=GH时,过点G作GM⊥AH于M.同法可证,GB=GA1,设GB=GA1=x,则有x2=32+(4﹣x)2,解得x=,∴BG=,AG=5﹣=,∵GM∥BC,∴=,∴=,∴AM=,∵GA=GH,GM⊥AH,∴AM=HM,∴AH=3,∴CH=AC﹣AM=1.综上所述,满足条件的CH的值为﹣1或1.(3)如图3中,取AB的中点J,连接BM,CJ,JN.∵AJ=BJ,∠ACB=90°,∴CJ=AB=,∵BC1=BC=3,MC1=MA1=2,∠BC1M=90°,∴BM===,∵AJ=BJ,AN=NM,∴JN=BM=,∵CN≤CJ+JN,∴CN≤,∴CN的最大值为.6.解:(1)如图1中,在Rt△ABC中,,∵AD=2DB,∴AB=AD+DB=3DB,∵DE∥BC,∴,∵,∴,即,∴,故答案为:,.(2)由旋转性质可知:AD=AM,AE=AN,∠BAM=∠CAN,∵,∠BAM=∠CAN,∴△ABM∽△ACN,∴,∠ABM=∠ACN,∵,∠ABM=∠ACN,∴△DBM∽△ECN,∴.(3)如图3中,连接OB,OE,由三线合一性质可知∠BOC=∠DOE=90°,∴∠BOD=∠COE,∴∠AOB+∠BOD=∠BOC+∠COE,即∠AOD=∠BOE,∵,∠AOD=∠BOE,∴△AOD∽△BOE,∴,∵AB=3EF=6,∴,,在△BOE中,由三边关系可得,BE<BO+OE,当B、O、E三点共线时,BE存在最大值为,∵,∴当BE存在最大值时,BE﹣AD的最大值=.7.(1)解:如图1,将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,则△APP′为等边三角形.∵PP′=P A=3,PB=4,P′B=PC=5,∴P′P2+PB2=P′B2.∴△BPP′为直角三角形.∴∠APB的度数为90°+60°=150°.故答案为:直角;150°.(2)证明:如图2中,将△P AB绕点B逆时针旋转60°得到△TCB,连接PT.∵BP=BT,∠PBT=60°,∴△PBT是等边三角形,∴PT=PB,∠PTB=60°,由旋转的性质可知:△P AB≌△TCB,∴∠APB=∠CTB=30°,P A=CT,∴∠PTC=∠PTB+∠CTB=60°+30°=90°,∴PC2=PT2+CT2,∵PB=PT,P A=CT,∴P A2+PB2=PC2.(3)解:过点C作CT⊥PB于T,连接AT,设CT交AB于O.∵PC=BC=2,CT⊥PB,∴PT=BT,∵∠CAO=∠BTO=90°,∠AOC=∠BOT,∴∠ACT=∠ABP,∠ATC=∠ABC=45°,∵∠CTB=90°,∴∠ATP=∠CTA=∠APT=45°∵AC=AB,∴△CAT≌△BAP(AAS),∴CT=PB=2PT,∵PC2=PT2+CT2,∴(2)2=m2+(2m)2,解得m=2或﹣2(舍弃),∴PT=2,∴P A=PT=.8.解:(1)∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,又∵∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(AAS),∴BD=AE,AD=EC,∴BD=DE+CE.(2)∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,又∵∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(AAS),∴BD=DE﹣CE.(3)同(2)的方法得出,BD=DE﹣CE.(4)归纳:由(1)(2)(3)可知:当B,C在AE的同侧时,BD=DE﹣CE.当B,C在AE的异侧时,BD=DE+CE.9.(1)证明:如图1中,连接BD.∵△ABC是等腰直角三角形,AD=DC,∴BD⊥AC,BD=DA=DC,∴BD⊥AC,∵ED⊥DF,∴∠EDF=∠BDC=90°,∴∠EDB=∠FDC,∵∠DBE=∠C=45°,∴△EDB≌△FDC(ASA),∴DE=DF.(2)证明:如图2中,连接DB,CF.∵∠BDC=∠EDF=90°,∴∠BDE=∠CDF,∵DB=DC,DE=DF,∴△EDB≌△FDC(SAS),∴∠DBE=∠DCF=45°,∴点F在线段BC上.(3)①如图3﹣1中,过点D作DT⊥AB于T.∵∠ATD=∠ABC=90°,∴DT∥CB,∵AD=DC,∴AT=TB=3,∴DT=BC=4,∵△DEF是等腰直角三角形,EF=,∴DE=DF=,∴ET===1,∴BE=TB+ET=3+1=4,当点E在点T的下方时,BE=3﹣1=2,综上所述,满足条件的BE的值为4或2.②如图3﹣2中,∵△ACF是等腰三角形,又∵AD=DC=DF,∴∠AFC=90°,∴△AFC是等腰直角三角形,∴点E与A重合,∴BE=6.③如图3﹣3中,过点D作DT⊥AB于T,过点F作FR⊥DT于R.∵∠DTE=∠FRD=90°,∠EDT=∠DFR,DE=DF,∴△DTE≌△FRD(AAS),∴ET=DR,DT=FR=4,设ET=DR=m,则RT=4﹣m,∴S△EFB=(3+m)(4﹣m)=(﹣m2+m+12)=﹣(m﹣)2+,∵﹣<0,∴△BEF的面积有最大值,最大值为.10.解:(1)∵点A(﹣4,0),点B(0,3),∴OA=4,OB=3,由旋转的性质可知,BO=BO′=3,OM=O′N=1,∠OBO′=90°,∴N(﹣3,4).故答案为:(﹣3,4).(2)如图②中,∵BM=BN,∴O′M+BN=O′M+BM,作点B关于OA的对称点B′,连接O′B′交OA于M,连接BM,O′M+BM的值最小.∵O′(﹣3,3),B′(0,﹣3),∴直线O′B′的解析式为y=﹣2x﹣3,∴M(﹣,0),∴O′N=OM=,∴N(﹣3,).(3)存在.理由:如图③﹣1中,当点O′落在AB的延长线上时,△PO′A′的面积最大.由题意,OA=4,OB=3,∴AB===5,∴P A:PB=2:1,∴PB=,∴PO′=PB+PO′=,∴△PO′A′的面积的最大值=×4×=.如图③﹣2中,当点O′落在AB上时,△PO′A′的面积最小,最小值为×4×(3﹣)=.11.解:(1)如图①中,过点D作DT⊥BC于T.∵DE⊥AC,∴∠DEC=∠ECT=∠DTC=90°,∴四边形ECTD是矩形,∴DT=EC,DT∥AC,∴∠TDB=∠A=30°,∴DT=BD,∵FC=FB,∠CFG=∠BFD,FG=FD,∴△CFG≌△BFD(SAS),∴CG=BD,∠FCG=∠B=60°,∴EC=CG,∴∠ACG=90°+60°=150°,∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°,故答案为:EC=CG,30°.(2)成立.理由如下:连接CD,BG,延长BD交CE的延长线于H,设BH交AC于点O.在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=30°,∴cos∠BAC==,cos∠EAD==,∠EAC=∠DAB,∴==,∴△ACE∽△ABD,∴==,∠ACE=∠ABD,∵∠HOC=∠AOB,∴∠H=∠OAB=30°,∵CF=FB,DF=FG,∴四边形DCGB是平行四边形,∴CG=BD,CG∥BH,∴∠1=∠H=30°,∴EC=CG,直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°.(3)如图③﹣1中,当∠AEC=90°时,由题意AC=AB=2,AE=AD=,∴EC===,∴CG=EC=,如图③﹣2中,当∠EAC=90°时,可得EC==,∴CG=EC=5.综上所述,CG的值为或5.12.解:(1)由题意得,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,BC=1,∴AC=2,BC=,在Rt△DEC中,∠DEC=90°,∠DCE=60°,EF=2,∴DC=4,DE=2,∴∠DCA=180°﹣∠DCE﹣∠ACB=60°,∴AC=EF,∠DCE=∠DCA,DC=DC,∴△DEF≌△DAC(SAS),∴AD=DE=2,∠EDC=∠CDA=30°,∵∠MEC=60°,∴∠DEM=30°,∴∠DME=180°﹣∠DEM﹣∠EDM=180°﹣∠DEM﹣2∠EDC=90°,∴DM=DE=,∴AM=AD﹣DM=,∴=1,故答案为:1;(2)如图2,连接AE,∵AC=EF=2,∠ACE=60°,∴△AEC是等边三角形,∴AE=2,∠EAC=∠AEC=60°,∴∠AEB+∠BEC=∠AEC=60°,∵∠MEB=60°,∴∠AEB+∠MEA=60°,∴∠BEC=∠MEA,∵∠DAE=∠ECB=120°,AE=EC,∴△AME≌△CBE(ASA),∴AM=BC=1,∵AD=DC﹣AC=2,∴DM=AD﹣AM=1,∴=1;(3)如图3,过点B作BG⊥BE交EM延长线于点G,连接AG,BG,∵∠CBA=∠EBG=90°,∴∠EBC=∠GBA,∵∠MEB=∠ACB=60°,∴,∴△ECB∽△GAB,∴,∠AGB=∠CEB,∴AG=m,∵∠CEB+∠DEG=30°,∠AGB+∠EGA=30°,∴∠AGM=∠DEM,∴AG∥DE,∴△AGM∽△DEM,∴,∵DE=EF=2,∴==.故答案为:.13.(1)证明:如图1中,∵∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,∴∠BAD=90°﹣∠ABC=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD,∵BE⊥AC,∴∠GBD+∠C=90°,∵∠EAD+∠C=90°,∴∠GBD=∠EAD,∵∠ADB=∠EDG=90°,∴∠ADB﹣∠ADG=∠EDG﹣∠ADG,即∠BDG=∠ADE,∴△BDG≌△ADE(ASA),∴BG=AE,DG=DE,∵∠EDG=90°,∴△EDG为等腰直角三角形,∴∠AED=∠AEB+∠DEG=90°+45°=135°,∵△AED沿直线AE翻折得△AEF,∴△AED≌△AEF,∴∠AED=∠AEF=135°,ED=EF,∴∠DEF=360°﹣∠AED﹣∠AEF=90°,∴△DEF为等腰直角三角形,∴∠GDE=∠DEF=90°,DG=DE=EF,∴DG∥EF,∴四边形DFEG是平行四边形.(2)解:如图2中,设AD交BE于P,过点P作PT⊥AB于T.∵tan∠ABE==,∴可以假设PT=a,BT=3a,∵△ABD是等腰直角三角形,∴∠P AT=45°,∵PT⊥AB,∴∠ATP=90°,∴∠P AT=∠APT=45°,∴AT=PT=a,∴P A=a,AB=4a,AD=BD=2a,∴P A=PD=a,∴tan∠BPD==2,∵BE⊥AC,∴∠ADC=∠PEC=90°,∴∠EPD+∠ACD=180°,∵∠EPD+∠BPD=180°,∴∠BPD=∠ACD,根据对称性可知,∠ACD=∠ACF,∠ADF=∠AFD,AC⊥DF,∴∠ACD=∠ACF=∠BPD,∵∠ADF+∠CDF=90°,∠CDF+∠ACD=90°,∴∠ADF=∠ACD,∴∠ACD=∠ACF=∠ADF=∠AFD=∠BPD,∴正切值等于2的角有:∠ACD,∠ACF,∠ADF,∠AFD.14.解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AE,∴△BAE为等腰直角三角形,∵AG⊥BE,∴AH是△BAE的中线,∴BE=2AH=4,∵∠BEA=45°,∴∠BEC=135°,在△BCE中,过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D,如图1,∵∠DEC=45°,∴△DEC是等腰直角三角形,设ED=x,则DC=x,CE=x,在Rt△BCD中,BC2=BD2+DC2,即,∴x1=1或x2=﹣5(舍去),∴CE=;(2)如图2,过H作HD⊥HM交AM于点D,连接BD,∵AB=AE,∠BAC=90°,∴△ABE是等腰直角三角形,∵AG⊥BE,∴△ABH为等腰直角三角形,∴BH=AH,∠BAN=45°,∠BHA=90°,∵AB=BM,∴∠BAM=∠BMA,∵∠HMG=∠MAH,∴∠BAM﹣∠MAH=∠BMA﹣∠HMG,即∠BAH=∠AMH=45°,∵HD⊥HM,∴△DHM为等腰直角三角形,∴DH=HM,∠DHM=90°,∵∠BHD=∠BHA+∠AHD,∠AHM=∠DHM+∠AHD,∴∠BHD=∠AHM,在△BHD与△AHM中,,∴△BHD≌△AHM(SAS),∴∠DBH=∠MAH,BD=AM,∴∠BHA=∠BDA=90°,∵BA=BM,∴D是AM的中点,∴AM=2DM=2HM,即AM=2HM;(3)∵H是BE的中点,M是BC的中点,∴MH是△BCE的中位线,∴MH∥CE,∴∠AMH=∠MAC,∵∠BAC=90°,∴AM=BM,∴∠MAB=∠ABM,∵点B与点N关于线段AM对称,∴∠ABM=∠ANM,AB=AN,∴AE=AN,∴∠AEN=∠ANE,在△AEN中,∠NAE+2∠ANE=180°①,∵∠ANE=∠ANM+∠MNE,∠ABM=∠ANM=∠MAB=90°﹣∠MAC,∴∠ANE=90°﹣∠MAC+∠MNE,∴∠ANE=90°﹣∠AMH+∠MNE②,将②代入①,得:∠NAE+2×(90°﹣∠AMH+∠MNE)=180°,∴∠NAE+180°﹣2∠AMH+2∠MNE=180°,∴∠NAE+2∠MNE=2∠AMH.15.解:(1)结论:CG⊥BD.理由:延长CF到点M,使得FM=CF,连接AM.∵F A=FE,∠AFM=∠EFC,FM=FC,∴△AMF≌△ECF(SAS),∴AM=CE=4,∠AMF=∠ECF,∴AM∥CE,∴∠MAC=∠DCB=90°,∵==,∴△MAC∽△DCB,∴∠DBC=∠ACM,∵∠ACM+∠GCB=90°,∴∠DBC+∠GCB=90°,∴∠CGB=90°,∴CG⊥BD.故答案为:CG⊥BD.(2)结论仍然成立.理由:延长CF到点M,使得FM=CF,连接AM.∵F A=FE,∠AFM=∠EFC,FM=FC,∴△AMF≌△ECF(SAS),∴AM=CE=4,∠AMF=∠ECF,∴AM∥CE,∴∠MAC+∠ACE=180°,∴∠MAC=180°﹣∠ACE,∵∠DCB=∠DCE+∠ACB﹣∠ACE=90°+90°﹣∠ACE=180°﹣∠ACE,∴∠MAC=∠DCB,∵==,∴△MAC∽△DCB,∴∠DBC=∠ACM,∵∠ACM+∠GCB=90°,∴∠DBC+∠GCB=90°,∴∠CGB=90°,∴CG⊥BD.(3)如图3中,当点E在线段BD上时,∵△AMC∽△CDB,∴==,在Rt△DCE中,CD=3,CE=4,∴DE===5,∵CG⊥DE,∴CG==,在Rt△CGB中,CB=6,CG=中,∴BG===,在Rt△DCG中,DG===,∴BD=BG+DG=,∴CM=BD=,∴CF=CM=如图4中,当点E在线段BD的延长线上时,同法可得CF=CM=.综上所述,满足条件的CF的值为或.16.(1)解:如图1中,过点F作FH⊥AE于H.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠C=30°,∴AC=2AB=4,BC=AB=2,∵AE=EC=AC=2,EG=GC,∴EG=CG=1,∵∠AFE=90°,∠AEF=30°,∴EF=AE•cos30°=,∴FH=EF=,HE=FH=,∴GH=HE+EG=,∴FG===.(2)证明:如图2中,取AC的中点M,连接BM,GM,BF.∵AM=MC,∠ABC=90°,∴BM=AM=CM,∵AC=2AB,∴AB=AM=BM,∴∠BAM=∠AMB=∠ABM=60°,∴∠BMC=120°,∵AE=2AF,∠EAF=60°,∴∠BAF=120°+∠EAC,∵AM=MC,EG=GC,∴GM=AE=AF,GM∥AE,∴∠CMG=∠EAC,∴∠BMG=120°+∠CMG=120°+∠EAC=∠BAF,∴△BAF≌△BMG(SAS),∴∠ABF=∠MBG,BF=BG,∴∠FBG=∠ABM=60°,∴△BFG是等边三角形,∴BG=FG,∴BG=EF+EG=AE+CG=AB+CG.(3)解:如图3中,取AC的中点M,连接BM,GM,BF.在MC上取一点D,使得MD=MG,连接DG,BD.同法可证:△BAF≌△BMG(SAS),∴∠ABF=∠MBG,BF=BG,∴∠FBG=∠ABM=60°,∴△BFG是等边三角形,∴BG=FG,∵AM=CM,EG=CG,∴MG=AE,∵AB=3,∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴AC=2AB=6,AM=CM=3,∵AE=AC=3,MG=,∴MD=MG=,∵==,∠DMG=∠GMC,∴△MDG∽△MGC,∴==,∴DG=CG,∴GB﹣CG=GB﹣DG≤BD,∴当B,D,G共线时,BG﹣CG的值最大,最大值为BD的长,∴直线AB,AC,BG围成的三角形为△ABD,∵AD=AM+DM=3+=,∴S△ABD=××=,∴当GB﹣GC最大时,直线AB,AC,BG所围成三角形的面积为.17.(1)证明:如图1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,AD=DB,∴CD⊥AB,CD=AD=DB,∵∠DEF=∠ADC=90°,DE=EF,∴AD=EF,∵∠AOD=∠EOF,∴△AOD≌△FOE(AAS),∴OE=OD.(2)解:结论:AD﹣BF=CE.理由:如图2中,过点E作ET⊥BC交AB于T,过点T作TR⊥AC于R.则四边形ECRT 是矩形,△ART,△EBT都是等腰直角三角形,可得EC=RT,AT=RT=EC.∵∠TEB=∠DEF=90°,∴∠TED=∠BEF,∵ET=EB,ED=EF,∴△TED≌△BEF(SAS),∴DT=BF,∵AD﹣DT=AT,∴AD﹣BF=CE.(3)解:如图3中,取AB的中点R,连接GR,BF,过点E作EM⊥AB于M.设GR =x,EM=BM=y.由(2)可知,△TED≌△BEF(SAS),∴∠ETD=∠EBF=45°,∴∠ABC=45°,∴∠FBA=90°,∵AG=GF,AR=RB=2,∴GR∥BF,BF=2GR=2x,∴∠GRA=∠FBA=90°,∵GR⊥AB,∵AB=4,AD=3BD,∴AD=3,BD=,∴DR=AD﹣AR=3﹣2=,∵∠GRD=∠EMD=∠EDG=90°,∴∠GDR+∠DGR=90°,∠GDR+∠EDM=90°,∴∠DGR=∠EDM,∴△DRG∽△EMD,∴=,∴=①又∵AD﹣BF=CE,∴3﹣2x=(4﹣y)②,由①②可得y=(不合题意的解已经舍弃).∴EC=4﹣()=.18.解:(1)∵+|y﹣8|=0,又∵≥0,|y﹣8|≥0,∴x=2,y=8,∴A(2,8),∵AD⊥x轴,∴OD=2,AD=8,∵AD﹣OD=OE,∴OE=6,∴E(﹣6,0).(2)如图1中,连接OG.由题意G(10,m).∵AD=DE=8,∠ADE=90°,∴∠AED=45°,∴∠OEF=∠OFE=45°,∴OE=OF=6,∴F(0,6),∴S=S△ODG+S△OFG﹣S△OFD=×2×m+×6×10﹣×2×6=m+24(0≤m≤8).(3)如图2中,设FG交AD于J,P(2,t),当点P在DJ上,点Q在AB上时,当S=26时,m=2,∴G(10,2),∵F(0,6),∴直线FG的解析式为y=﹣x+6,∴J(2,),由题意,•(﹣t)×10=2××2t×6,解得t=,∴P(2,),当点P在AJ上,点Q在BG上时,同法可得,•(t﹣)×10=2××(14﹣2t)×8,解得t=,∴P(2,).综上所述,满足条件的点P的坐标为(2,)或(2,).19.解:(1)当x=0时,y=6,∴B(0,6),当y=0时,﹣x+6=0,∴x=6,∴A(6,0);(2)如图1,过点C作CM⊥x轴于M,Rt△ABO中,OA=6,OB=6,∴AB==12,∴∠ABO=30°,由翻折得:∠ABC=∠ABO=30°,∠AOB=∠ACB=90°,AC=OA=6,∴∠CAM=60°,∴∠ACM=90°﹣60°=30°,∴AM=AC=3,CM=3,∴C(9,3),∴k=9×3=27;(3)分两种情况:①如图2,当点B'在y轴的负半轴上时,。

中考专题1 【原创】2019年中考数学图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解(word)

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中考专题1 图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解1.(2017•黑龙江)已知:△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.连接AD,BC,点H为BC中点,连接OH.(1)如图1所示,易证:OH=AD且OH⊥AD(不需证明)(2)将△COD绕点O旋转到图2,图3所示位置时,线段OH与AD又有怎样的关系,并选择一个图形证明你的结论.2.(2017•连云港四模)阅读与理解:图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起(C与C′重合)的图形.操作与证明:(1)操作:固定△ABC,将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°,连接AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;(2)操作:若将图1中的△C′DE,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α,连接AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;猜想与发现:根据上面的操作过程,请你猜想当α为多少度时,线段AD的长度最大是多少?当α为多少度时,线段AD的长度最小是多少?3.(2017•金乡县模拟)请阅读下列材料:问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PC是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为,问题得到解决.请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,BP=,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.4.(2017•滦县模拟)两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为;(2)如图2,若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时,其余条件均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由;(3)如图3,将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图3,(1)中的猜想还成立吗?直接写出结论,不用证明.5.(2017•路北区三模)如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△AEC≌△ADB;(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.6.(2017•平房区二模)如图,正方形ABCD,点E在AD上,将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG,点F,G分别为点D,E旋转后的对应点,连接EG,DB,DF,DB与CE交于点M,DF与CG交于点N.(1)求证BM=DN;(2)直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形.7.(2017•路南区一模)如图①,△ABC中,AC=BC,∠A=30°,点D在AB边上且∠ADC=45°.(1)求∠BCD的度数;(2)将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′.当点D′恰好落在BC边上时,如图②所示,连接C′C并延长交AB于点E.①求∠C′CB的度数;②求证:△C′BD'≌△CAE.8.(2017•沙坪坝区一模)已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EDB=90°.(1)如图1,若点E,B,C在同一直线上,连接AE,当∠AEC=30°,BC=4时,求EB的长;(2)如图2,将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转,当点C在ED的延长线上时,EC交AB 于点H,求证:∠EAH=2∠HCB.9.(2017•重庆模拟)已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE,∠ACB=∠DCE=90°,把Rt△ABC 绕点C旋转.(1)如图1,当点A旋转到ED的延长线时,若BC=,BE=5,求CD的长;(2)当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时,过点C作BD的垂线交BD于点F,交AE于点G,求证:BD=2CG.10.(2017•河北区模拟)如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE、BD、MN.(1)求证:△PMN为等腰直角三角形;(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD 分别交于点G、H,请判断①中的结论是否成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.11.(2017•吉安模拟)两块全等的三角板ABC和EDC如图(1)放置,AC=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,且AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H,△ABC不动,将△EDC 绕点C旋转到如图(2),当∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.12.(2017•江津区校级三模)如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE的中点,连接CF,DF.(1)如图①,当点D在AB上,点E在AC上时,请判断线段CF,DF有怎样的数量关系和位置关系?为什么?(2)如图②,将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时,请判断(1)中的结论是否仍然成立?并证明你的判断.13.(2017•济宁二模)将两块全等的三角板如图1摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;(2)在图2中,若AP1=a,则CQ等于多少?(3)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C(如图3),点P2是A2C与AP1的交点.当旋转角为多少度时,有△AP1C∽△CP1P2?这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系?.14.(2017•常德)如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AF•AC.15.(2017•杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.16.(2017•天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.17.(2017•深圳模拟)如图1,边长为2的正方形ABCD中,E是BA延长线上一点,且AE=AB,点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动,直线EP交AD于点F,过点F作直线FG⊥DE于点G,交AB于点R.(1)求证:AF=AR;(2)设点P运动的时间为t,①求当t为何值时,四边形PRBC是矩形?②如图2,连接PB.请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值.18.(2017•惠阳区模拟)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF 移动的同时,点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P 移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形.19.(2017•蜀山区二模)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,线段BE、CD相交于点O,且∠DCB=∠EBC=∠A.(1)求证:△BOD∽△BAE;(2)求证:BD=CE;(3)若M、N分别是BE、CE的中点,过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ 相等吗?为什么?20.(2017•安徽模拟)如图,已知△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点,BF、ED的延长线交于点G,连接GC.(1)求证:AB=GD;(2)如图2,当CG=EG时,求的值.21.(2017•肥城市三模)如图,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)点G在BE上,且∠BDG=∠C,求证:DG•CF=DM•EG;(2)在图中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.22.(2017•石家庄二模)如图,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE 与AC交于点M,EF与AC交于点N,动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,伴随点P的运动,矩形PEFG在射线AB上滑动;动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P、K同时开始运动,当点K到达点F时停止运动,点P也随之停止.设点P、K运动的时间是t秒(t>0).(1)当t=1时,KE=,EN=;(2)当t为何值时,△APM的面积与△MNE的面积相等?(3)当点K到达点N时,求出t的值;(4)当t为何值时,△PKB是直角三角形?23.(2017•岱岳区二模)如图,C为线段BD上一动点,过B、D分别作BD的垂线,使AB=BC,DE=DB,连接AD、AC、BE,过B作AD的垂线,垂足为F,连接CE、EF.(1)求证:AC•DF=BF•BD;(2)点C运动的过程中,∠CFE的度数保持不变,求出这个度数;(3)当点C运动到什么位置时,CE∥BF?并说明理由.24.(2017•长春模拟)如图,在△ABC中,点D在边AB上(不与A,B重合),DE∥BC交AC于点E,将△ADE沿直线DE翻折,得到△A′DE,直线DA′,EA′分别交直线BC于点M,N.(1)求证:DB=DM.(2)若=2,DE=6,求线段MN的长.(3)若=n(n≠1),DE=a,则线段MN的长为(用含n的代数式表示).25.(2017•大冶市模拟)如图,△ABC中,点E、F分别在边AB,AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=∠A.(1)如图1,若AB=AC,求证:BE=CF;(2)若图2,若AB≠AC,①(1)中的结论是否成立?请给出你的判断并说明理由;②求证:=.26.(2017•大东区二模)如图1,在锐角△ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,点F在AC 上,且满足∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)证明:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图2,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图2中,取CE上一点H,使得∠CFH=∠B,若BG=5,求EH的长.27.(2017•阳谷县一模)如图,在△ABC中,点D是BA边延长线上一点,过点D作DE∥BC,交CA延长线于点E,点F是DE延长线上一点,连接AF.(1)如果=,DE=6,求边BC的长;(2)如果∠FAE=∠B,FA=6,FE=4,求DF的长.28.(2017•杭州模拟)已知,如图1,点D、E分别在AB,AC上,且=.(1)求证:DE∥BC.(2)已知,如图2,在△ABC中,点D为边AC上任意一点,连结BD,取BD中点E,连结CE并延长CE交边AB于点F,求证:=.(3)在(2)的条件下,若AB=AC,AF=CD,求的值.答案解析1.(2017•黑龙江)已知:△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.连接AD,BC,点H为BC中点,连接OH.(1)如图1所示,易证:OH=AD且OH⊥AD(不需证明)(2)将△COD绕点O旋转到图2,图3所示位置时,线段OH与AD又有怎样的关系,并选择一个图形证明你的结论.【解答】(1)证明:如图1中,∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,∴OC=OD,OA=OB,∵在△AOD与△BOC中,,∴△AOD≌△BOC(SAS),∴∠ADO=∠BCO,∠OAD=∠OBC,∵点H为线段BC的中点,∴OH=HB,∴∠OBH=∠HOB=∠OAD,又因为∠OAD+∠ADO=90°,所以∠ADO+∠BOH=90°,所以OH⊥AD(2)解:①结论:OH=AD,OH⊥AD,如图2中,延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA,知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°,∴OH⊥AD.②如图3中,结论不变.延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,延长EO交AD于G.易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA,知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°,∴∠AGO=90°∴OH⊥AD.2.(2017•连云港四模)阅读与理解:图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起(C与C′重合)的图形.操作与证明:(1)操作:固定△ABC,将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°,连接AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;(2)操作:若将图1中的△C′DE,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α,连接AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;猜想与发现:根据上面的操作过程,请你猜想当α为多少度时,线段AD的长度最大是多少?当α为多少度时,线段AD的长度最小是多少?【解答】解:操作与证明:(1)BE=AD.∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°,∴∠BCE=∠ACD=30度,∵△ABC与△C′DE是等边三角形,∴CA=CB,CE=CD,∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD.(2)BE=AD.∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α,∴∠BCE=∠ACD=α,∵△ABC与△C′DE是等边三角形,∴CA=CB,CE=CD,∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD.猜想与发现:当α为180°时,线段AD的长度最大,等于a+b;当α为0°(或360°)时,线段AD的长度最小,等于a﹣b.3.(2017•金乡县模拟)请阅读下列材料:问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PC是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为,问题得到解决.请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,BP=,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.【解答】解:(1)如图,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,则△BPC≌△BP′A.∴AP′=PC=1,BP=BP′=;连接PP′,在Rt△BP′P中,∵BP=BP′=,∠PBP′=90°,∴PP′=2,∠BP′P=45°;(2分)在△AP′P中,AP′=1,PP′=2,AP=,∵,即AP′2+PP′2=AP2;∴△AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°,∴∠AP′B=135°,∴∠BPC=∠AP′B=135°.(4分)(2)过点B作BE⊥AP′,交AP′的延长线于点E;则△BEP′是等腰直角三角形,∴∠EP′B=45°,∴EP′=BE=1,∴AE=2;∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=;(7分)∴∠BPC=135°,正方形边长为.4.(2017•滦县模拟)两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数量关系为相等和位置关系为垂直;(2)如图2,若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时,其余条件均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由;(3)如图3,将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图3,(1)中的猜想还成立吗?直接写出结论,不用证明.【解答】(1)解:∵CE=CD,AC=BC,∠ECA=∠DCB=90°,∴BE=AD,∵F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点,∴FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE,∴FH=FG,∵AD⊥BE,∴FH⊥FG,故答案为:相等,垂直.(2)答:成立,证明:∵CE=CD,∠ECD=∠ACD=90°,AC=BC,∴△ACD≌△BCE∴AD=BE,由(1)知:FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE,∴FH=FG,FH⊥FG,∴(1)中的猜想还成立.(3)答:成立,结论是FH=FG,FH⊥FG.连接AD,BE,两线交于Z,AD交BC于X,同(1)可证∴FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE,∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形,∴CE=CD,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠EBC=∠DAC,∵∠DAC+∠CXA=90°,∠CXA=∠DXB,∴∠DXB+∠EBC=90°,∴∠EZA=180°﹣90°=90°,即AD⊥BE,∵FH∥AD,FG∥BE,∴FH⊥FG,即FH=FG,FH⊥FG,结论是FH=FG,FH⊥FG5.(2017•路北区三模)如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△AEC≌△ADB;(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.【解答】解:(1)由旋转的性质得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,在△AEC和△ADB中,,∴△AEC≌△ADB(SAS);(2)∵四边形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,∴∠DBA=∠BAC=45°,由(1)得:AB=AD,∴∠DBA=∠BDA=45°,∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形,∴BD2=2AB2,即BD=2,∴AD=DF=FC=AC=AB=2,∴BF=BD﹣DF=2﹣2.6.(2017•平房区二模)如图,正方形ABCD,点E在AD上,将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG,点F,G分别为点D,E旋转后的对应点,连接EG,DB,DF,DB与CE交于点M,DF与CG交于点N.(1)求证BM=DN;(2)直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠DCB=90°,CD=CB,∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG,∴CF=CD,∠ECG=∠DCF=90°,∴△CDF为等腰直角三角形,∴∠CDF=∠CFD=45°,∵∠BCM+∠DCE=90°,∠DCN+∠DCE=90°,∴∠BCM=∠DCN,∵∠CBM=∠ABC=45°,∴∠CBM=∠CDN,在△BCM和△DCN中,∴△BCM≌△DCN,∴BM=DN;(2)解:∵四边形ABCD为正方形,∴△ABD和△BCD为等腰直角三角形;由(1)得△CDF为等腰三角形;∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG,∴CE=CG,∠ECG=90°,∴△ECG为等腰直角三角形;∵△CBD和△CFD为等腰直角三角形;∴△BDF为等腰直角三角形.7.(2017•路南区一模)如图①,△ABC中,AC=BC,∠A=30°,点D在AB边上且∠ADC=45°.(1)求∠BCD的度数;(2)将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′.当点D′恰好落在BC边上时,如图②所示,连接C′C并延长交AB于点E.①求∠C′CB的度数;②求证:△C′BD'≌△CAE.【解答】解:(1)∵AC=BC,∠A=30°,∴∠CBA=∠CAB=30°,∵∠ADC=45°,∴∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°=∠BC'D';(2)①由旋转可得CB=C'B=AC,∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°,∴∠CC'B=∠C'CB=75°;②证明:∵AC=C'B,∠C'BD'=∠A,∴∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°,∴∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°,∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE,在△C'BD'和△CAE中,,∴△C'BD'≌△CAE(ASA).8.(2017•沙坪坝区一模)已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EDB=90°.(1)如图1,若点E,B,C在同一直线上,连接AE,当∠AEC=30°,BC=4时,求EB的长;(2)如图2,将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转,当点C在ED的延长线上时,EC交AB 于点H,求证:∠EAH=2∠HCB.【解答】(1)解:如图1中,作AH⊥BC于H.∵AB=AC,∠BAC=90°,AH⊥BC,∴AH=BH=HC=2,在Rt△AEH中,∵∠AHE=90°,AH=2,∠AEH=30°,∴EH==2,∴EB=EH﹣BH=2﹣2.(2)证明:如图2中,连接AD.∵∠BDH=∠HAC,∠BHD=∠CHA,∴△BHD∽△CHA,∴=,∴=,∵∠AHD=∠CHB,∴△AHD∽△CHB,∴∠ADH=∠CBH=45°,∠DAH=∠BCH,∴∠ADB=90°+45°=135°,∴∠ADE=360°﹣90°﹣135°=135°,∴∠ADE=∠ADB,在△ADE和△ADB中,,∴△ADE≌△ADB,∴∠DAE=∠DAB,∵∠DAB=∠BCH,∴∠EAH=2∠HCB.9.(2017•重庆模拟)已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE,∠ACB=∠DCE=90°,把Rt△ABC 绕点C旋转.(1)如图1,当点A旋转到ED的延长线时,若BC=,BE=5,求CD的长;(2)当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时,过点C作BD的垂线交BD于点F,交AE于点G,求证:BD=2CG.【解答】解:(1)如图1,∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的,∴AD=BE=5,∠ADC=∠BEC,∵在等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中,BC=AC=,∠EDC=∠DEC=45°,∴AB=13,∠ADC=∠BEC=135°,∴∠AEB=90°,∴AE==12,∴DE=7,∴等腰Rt△CDE中,CD=DE=;(2)如图2,过点A作AH∥CE,交CG的延长线于H,连接HE,则∠CAH+∠ACE=180°,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠BCD+∠ACE=180°,∴∠CAE=∠BCD,∵CF⊥BD,∠ACB=90°,∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°,∴∠CBF=∠ACG,在△BCD和△CAH中,,∴△BCD≌△CAH(ASA),∴AH=CD=CE,BD=CH,又∵AH∥CE,∴四边形ACEH是平行四边形,∴CH=2CG,∴BD=2CG.10.(2017•河北区模拟)如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE、BD、MN.(1)求证:△PMN为等腰直角三角形;(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD 分别交于点G、H,请判断①中的结论是否成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.【解答】解:(1)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,∵∠CBD+∠BDC=90°,∴∠EAC+∠BDC=90°,∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,∴PM=BD,PN=AE,∴PM=PM,∵PM∥BD,PN∥AE,∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∵∠EAC+∠BDC=90°,∴∠MPA+∠NPC=90°,∴∠MPN=90°,即PM⊥PN,∴△PMN为等腰直角三角形;(2)①中的结论成立,理由:设AE与BC交于点O,如图②所示:∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD,∴∠BHO=∠ACO=90°,∴AE⊥BD,∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,∴PM=BD,PM∥BD,PN=AE,PN∥AE,∴PM=PN.∵AE⊥BD,∴PM⊥PN,∴△PMN为等腰直角三角形.11.(2017•吉安模拟)两块全等的三角板ABC和EDC如图(1)放置,AC=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,且AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H,△ABC不动,将△EDC 绕点C旋转到如图(2),当∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.【解答】解:四边形ACDM是菱形.证明:∵∠ACB=∠DCE=90°,∠BCE=45°,∴∠1=∠2=45°.∵∠E=45°,∴∠1=∠E,∴AC∥DE,∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD,又∵∠A=∠D=45°,∴四边形ACDM是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形),∵AC=CD,∴四边形ACDM是菱形.12.(2017•江津区校级三模)如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE的中点,连接CF,DF.(1)如图①,当点D在AB上,点E在AC上时,请判断线段CF,DF有怎样的数量关系和位置关系?为什么?(2)如图②,将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时,请判断(1)中的结论是否仍然成立?并证明你的判断.【解答】解:(1)CF=DF且CF⊥DF.理由如下:∵∠ADE=90°,∴∠BDE=90°,又∵∠BCE=90°,点F是BE的中点,∴CF=DF=BE=BF,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠5=∠1+∠3=2∠1,∠6=∠2+∠4=2∠2,∴∠CFD=∠5+∠6=2(∠1+∠2)=2∠ABC,又∵△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,∴∠CFD=90°,∴CF=DF且CF⊥DF.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:如图,延长DF至G使FG=DF,连接BG,CG,DC,∵F是BE的中点,∴BF=EF,又∵∠BFG=∠EFD,GF=DF,∴△BFG≌△EFD(SAS),∴∠FBG=∠FED,BG=ED,∴BG∥DE,∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形,∴DE=DA,∠DAE=∠DEA=45°,AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°,又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣(180°﹣∠AEB﹣∠EAB)﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=(∠DEF+∠AEB)+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB,而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB,∴∠CBG=∠DAC,又∵BG=ED,DE=DA,∴BG=AD,又∵BC=AC,∴△BCG≌△ACD(SAS),∴GC=DC,∠BCG=∠ACD,∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形,又∵F是DG的中点,∴CF⊥DF且CF=DF.13.(2017•济宁二模)将两块全等的三角板如图1摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;(2)在图2中,若AP1=a,则CQ等于多少?(3)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C(如图3),点P2是A2C与AP1的交点.当旋转角为多少度时,有△AP1C∽△CP1P2?这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系?.【解答】(1)证明:∵∠B1CB=45°,∠B1CA1=90°,∴∠B1CQ=∠BCP1=45°;又B1C=BC,∠B1=∠B,∴△B1CQ≌△BCP1(ASA)∴CQ=CP1;(2)解:如图:作P1D⊥AC于D,∵∠A=30°,∴P1D=AP1;∵∠P1CD=45°,∴=sin45°=,∴CP1=P1D=AP1;又AP1=a,CQ=CP1,∴CQ=a;(3)解:当∠P1CP2=∠P1AC=30°时,由于∠CP1P2=∠AP1C,则△AP1C∽△CP1P2,所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时,有△AP1C∽△CP1P2.这时==,∴P1P2=CP1.14.(2017•常德)如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AF•AC.【解答】证明:(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中,,∴△ABE≌△DBE;(2)①过G作GH∥AD交BC于H,∵AG=BG,∴BH=DH,∵BD=4DC,设DC=1,BD=4,∴BH=DH=2,∵GH∥AD,∴==,∴GM=2MC;②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N,则CN∥AG,∴△AGM∽△NCM,∴=,由①知GM=2MC,∴2NC=AG,∵∠BAC=∠AEB=90°,∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE,∴△ACN∽△BAF,∴=,∵AB=2AG,∴=,∴2CN•AG=AF•AC,∴AG2=AF•AC.15.(2017•杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.【解答】解:(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFE=∠AGC=90°,∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB,∵∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,(2)由(1)可知:△ADE∽△ABC,∴=由(1)可知:∠AFE=∠AGC=90°,∴∠EAF=∠GAC,∴△EAF∽△CAG,∴,∴=16.(2017•天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.【解答】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°,AB=AC,∵AP=AQ,∴BP=CQ,∵E是BC的中点,∴BE=CE,在△BPE和△CQE中,∵,∴△BPE≌△CQE(SAS);(2)解:∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=45°,∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,∴∠BEP=∠EQC,∴△BPE∽△CEQ,∴=,∵BP=2,CQ=9,BE=CE,∴BE2=18,∴BE=CE=3,∴BC=6.17.(2017•深圳模拟)如图1,边长为2的正方形ABCD中,E是BA延长线上一点,且AE=AB,点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动,直线EP交AD于点F,过点F作直线FG⊥DE于点G,交AB于点R.(1)求证:AF=AR;(2)设点P运动的时间为t,①求当t为何值时,四边形PRBC是矩形?②如图2,连接PB.请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值.【解答】(1)证明:如图,在正方形ABCD中,AD=AB=2,∵AE=AB,∴AD=AE,∴∠AED=∠ADE=45°,又∵FG⊥DE,∴在Rt△EGR中,∠GER=∠GRE=45°,∴在Rt△ARF中,∠FRA=∠AFR=45°,∴∠FRA=∠RFA=45°,∴AF=AR;(2)解:①如图,当四边形PRBC是矩形时,则有PR∥BC,∴AF∥PR,∴△EAF∽△ERP,∴,即:由(1)得AF=AR,∴,解得:或(不合题意,舍去),∴,∵点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动,∴(秒);②若PR=PB,过点P作PK⊥AB于K,设FA=x,则RK=BR=(2﹣x),∵△EFA∽△EPK,∴,即:=,解得:x=±﹣3(舍去负值);∴t=(秒);若PB=RB,则△EFA∽△EPB,∴=,∴,∴BP=AB=×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=,∴(秒).综上所述,当PR=PB时,t=;当PB=RB时,秒.18.(2017•惠阳区模拟)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF 移动的同时,点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P 移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形.【解答】(1)解:AP=2t∵∠EDF=90°,∠DEF=45°,∴∠CQE=45°=∠DEF,∴CQ=CE=t,∴AQ=8﹣t,t的取值范围是:0≤t≤5;(2)过点P作PG⊥x轴于G,可求得AB=10,SinB=,PB=10﹣2t,EB=6﹣t,∴PG=PBSinB=(10﹣2t)∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当(在0≤t≤5内),y有最大值,y最大值=(cm2)(3)若AP=AQ,则有2t=8﹣t解得:(s)若AP=PQ,如图①:过点P作PH⊥AC,则AH=QH=,PH∥BC ∴△APH∽△ABC,∴,即,解得:(s)若AQ=PQ,如图②:过点Q作QI⊥AB,则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A,∴△AQI∽△ABC∴即,解得:(s)综上所述,当或或时,△APQ是等腰三角形.19.(2017•蜀山区二模)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,线段BE、CD相交于点O,且∠DCB=∠EBC=∠A.(1)求证:△BOD∽△BAE;(2)求证:BD=CE;(3)若M、N分别是BE、CE的中点,过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ 相等吗?为什么?【解答】(1)证明:∵∠BCO=∠CBO,∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO,∵∠A=2∠BCO,∴∠DOB=∠A,∵∠ABE=∠ABE,∴△BOD∽△BAE;(2)解:延长CD,在CD延长线上取一点F,使BF=BD,∴∠BDF=∠BFD,∵∠BDF=∠ABO+∠DOB,∠BEC=∠ABO+∠A,由(1)得∠BOD=∠A,∴∠BDF=∠BEC,∴∠BFD=∠BEC,在△BFC与△CEB中,,∴△BFC≌△CEB,∴BD=BF,∴BD=CE;(3)解:AP=AQ,理由:取BC的中点G,连接GM,GN,∵M,N分别是BE,CD的中点,∴GM,GN是中位线,∴GM∥CE,GM=CE,GN∥BD,GN=BD,∵BD=CE,∴GM=GN,∴∠3=∠4,∵GM∥CE,∴∠2=∠4,∵GN∥BD,∴∠3=∠1,∴∠1=∠2,∴AP=AQ.20.(2017•安徽模拟)如图,已知△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点,BF、ED的延长线交于点G,连接GC.(1)求证:AB=GD;(2)如图2,当CG=EG时,求的值.【解答】解:(1)∵D、E分别是线段AC、BC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AB,即EG∥AB,∴∠FDG=∠A,∵点F为线段AD的中点,∴AF=DF,在△ABF与△DGF中,∴△ABF≌△DGF(ASA)∴AB=GD(2)∵DE为△ABC的中位线,∴DE=AB,CE=BC=AC∵DG=AB,∴EG=DE+DG∴EG=AB∵DE∥AB,∴∠GEC=∠CBA,∵AC=BC,CG=EG∴△GEC∽△CBA∴,即,∴21.(2017•肥城市三模)如图,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)点G在BE上,且∠BDG=∠C,求证:DG•CF=DM•EG;(2)在图中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.【解答】(1)证明:如图1所示,∴D,E分别为AB,BC中点,∴DE∥AC∵DM∥EF,∴四边形DEFM是平行四边形,∴DM=EF,如图2所示,∵D、E分别是AB、BC的中点,∴DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,∵∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE,∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,∵∠BDG=∠C,∴∠GDE=∠FEC,∴△DEG∽△ECF;∴,∴,∴,∴DG•CF=DM•EG;(2)解:如图3所示,∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,∴△BDG∽△BED,∴,∴BD2=BG•BE,∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH,又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH∽△ECF,∴=,∴EF2=EH•EC,∵DE∥AC,DM∥EF,∴四边形DEFM是平行四边形,∴EF=DM=DA=BD,∴BG•BE=EH•EC,∵BE=EC,∴EH=BG=1.22.(2017•石家庄二模)如图,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE 与AC交于点M,EF与AC交于点N,动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,伴随点P的运动,矩形PEFG在射线AB上滑动;动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P、K同时开始运动,当点K到达点F时停止运动,点P也随之停止.设点P、K运动的时间是t秒(t>0).(1)当t=1时,KE=1,EN=;(2)当t为何值时,△APM的面积与△MNE的面积相等?(3)当点K到达点N时,求出t的值;(4)当t为何值时,△PKB是直角三角形?【解答】解:(1)当t=1时,根据题意得,AP=1,PK=1,∵PE=2,∴KE=2﹣1=1,∵四边形ABCD和PEFG都是矩形,∴△APM∽△ABC,△APM∽△NEM,∴=,=,∴MP=,ME=,∴NE=;故答案为:1;;(2)由(1)并结合题意可得,AP=t,PM=t,ME=2﹣t,NE=﹣t,∴t×t=(2﹣t)×(﹣t),解得,t=;(3)当点K到达点N时,则PE+NE=AP,由(2)得,﹣t+2=t,解得,t=;(4)①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形,即,0<t≤2;②当点k在EF上时,则KE=t﹣2,BP=8﹣t,∵△BPK∽△PKE,∴PK2=BP×KE,PK2=PE2+KE2,∴4+(t﹣2)2=(8﹣t)(t﹣2),解得t=3,t=4;③当t=5时,点K在BC边上,∠KBP=90°.综上,当0<t≤2或t=3或t=4或5时,△PKB是直角三角形.23.(2017•岱岳区二模)如图,C为线段BD上一动点,过B、D分别作BD的垂线,使AB=BC,DE=DB,连接AD、AC、BE,过B作AD的垂线,垂足为F,连接CE、EF.(1)求证:AC•DF=BF•BD;(2)点C运动的过程中,∠CFE的度数保持不变,求出这个度数;(3)当点C运动到什么位置时,CE∥BF?并说明理由.【解答】解:(1)∵BF⊥AD,∴∠AFB=∠BFD=90°,∴∠ABF+∠BAF=90°,∵AB⊥BC,∴∠ABF+∠DBF=90°,∴∠BAF=∠DBF,∴△ABF∽△BDF,∴=,即AB•DF=BF•BD,由AB=BC,AB⊥BC,∴AB=AC,∴AC•DF=BF•BD;(2)∵=,AB=BC、BD=DE,∴=,∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°,∴∠FBC=∠EDF,∴△FBC∽△FDE,∴∠BFC=∠DFE,又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°,∴∠DFE+∠CFD=90°,即∠CFE=90°,故∠CFE的度数保持不变,始终等于90°.(3)当C为BD中点时,CE∥BF,理由如下:∵C为BD中点,∴AB=BC=CD=BD=DE,在△ABD和△CDE中,∵,∴△ABD≌△CDE(SAS),∴∠ADB=∠CED,∵∠CED+∠ECD=90°,∴∠ADB+∠ECD=90°,∴CE⊥AD,∵BF⊥AD,∴CE∥BF.。

中考数学 精讲篇 中考压轴题突破 二、解答题压轴题突破 重难点突破十 几何图形综合题

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(2)如解图,连接 EF, 由(1)知△BCE≌△ADF,∴AF=BE,又∵AF∥BE, ∴四边形 ABEF 为平行四边形, ∴S△AEF=S△AEB,同理 S△DEF=S△DEC, ∴T=S△AEB+S△DEC. ∵T=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BCE,
S ∴S=S△AEB+S△AED+S△BCE+S△DEC=2T,∴T=2.
(1)解:①在 Rt△ABC 中,∵BC=2,AC=4, ∴AB= 22+42=2 5.∵AD=CD=2,∴BD=2 2. 由翻折可知 BP=BA=2 5. ②证明:∵△BCD 是等腰直角三角形, ∴∠BDC=45°,∴∠ADB=∠BDP=135°,
∴∠PDC=135°-45°=90°.∴∠BCD=∠PDC=90°,∴DP∥BC. ∵PD=AD=BC=2,∴四边形 BCPD 是平行四边形.
重难点突破十 几何图形 综合题
类型一:与全等三角形有关的问题 (安徽:2018,2014,2011T23)
如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,延长 AB 至点 D,使 DB= AB,连接 CD,以 CD 为边作△CDE,其中∠DCE=90°,CD=CE,连接 BE. (1)求证:△ACD≌△BCE; (2)若 AB=6 cm,则 BE=______cm; (3)BE 与 AD 有何位置关系?请说明理由.
证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠ABC=45°=∠PBA+PBC, ∵∠APB=135°, ∴∠PAB+PBA=45°, ∴∠PBC=∠PAB, ∵∠APB=∠BPC=135°, ∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC, PA PB AB
∴PB=PC=BC, 在 Rt△ABC 中,AC=BC, ∴ABBC= 2, ∴PA= 2PB,PB= 2PC, ∴PA=2PC.

几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)—2024年中考数学压轴题(全国通用)(解析版)

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几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(压轴通关)目录【中考预测】预测考向,总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题,讲解通关策略(含新考法、新情境等)几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容,更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看,几何图形中的性质综合问题,是高频考点、也是必考点。

2.从题型角度看,以解答题的最后一题或最后二题为主,分值12分左右,着实不少!题型一 线段最值问题【例1】(2024·四川成都·一模)如图1,在四边形ABFE 中,90F ∠=︒,点C 为线段EF 上一点,使得AC BC ⊥,24AC BC ==,此时BF CF =,连接BE ,BE AE ⊥,且AE BE =.(1)求CE 的长度;(2)如图2,点D 为线段AC 上一动点(点D 不与A ,C 重合),连接BD ,以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD .①当DG AB ∥时,试求AD 的长度;②如图3,点H 为AB 的中点,连接H G ,试问H G 是否存在最小值,如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由.【答案】(2)①103;②2【分析】(1)取AB 的中点H ,连接,EH HC ,证明FEB CAB ∠=∠,得出1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=则12BF EF =,进而根据CE EF CF =−(2)①如图所示,过点D 作DM EF ⊥于点M ,过点D 作DN AB ⊥于点N ,证明DBC GBF ∽得出DC ,即可得出DM GF =,证明DMG GFB ≌,进而证明G 在EF 上,根据已知条件证明D 在EB上,然后解直角三角形,即可求解;②如图所示,过点H 作HP EF ⊥于点P ,连接EH ,由①可得G 在EF 上运动,当HG EF ⊥时,H G 取得最小值,即,G P 重合时,HP 的长即为HG 的最小值,由①可得103AT =,求得sin ETA ∠=45HEF ETA α∠=+︒=∠,即可求解.【详解】(1)解:如图所示,取AB 的中点H ,连接,EH HC ,∵BF CF =,90F ∠=︒,∴45BCF ∠=︒,BC , 又∵AC BC ⊥ ∴45ECA ∠=︒ ∵AE BE =,BE AE ⊥ ∴45EBA ∠=︒ ∴45ECA ABE ∠=∠=︒ ∴FEB CAB ∠=∠ ∵24AC BC ==, ∴2BC =∴BF CF = ∴1tan 2CB CAB AC ∠== ∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠= ∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =−(2)①如图所示,过点D 作DM EF ⊥于点M ,过点D 作DN AB ⊥于点N ,由(1)可得45ACE ABE ∠=∠=︒ ∴CDM V 是等腰直角三角形,∴CD ,∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形,∴CB DBBF BG==∴BD BGBC BF= 又∵DBG CBF ∠=∠ ∴DBC GBF ∠=∠ ∴DBC GBF ∽∴DC DBGF GB==∴DC ∴DM GF = 在,DMG GFB 中,DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB ≌ ∴MGD FBG ∠=∠ ∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒ 又∵90DGB ∠=︒ ∴180MGF ∠=︒ ∴G 在EF 上,∵DG AB ∥,90DGB ∠=︒ ∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD ∠=︒∠=︒=∠ ∴D 在EB 上, ∵1tan 2CAB ∠=,∴12DN AN =,则AD ∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒ ∴DN DB = ∴3AB DN =, ∵4AC =,2CB =∴AB ==∴13DN AB ==∴103AD ==, ②如图所示,过点H 作HP EF ⊥于点P ,连接EH ,由①可得G 在EF 上运动,∴当HG EF ⊥时,HG 取得最小值,即,G P 重合时,HP 的长即为H G 的最小值, 设,AC EB 交于点T ,即与①中点D 重合,由①可得103AT =∵AB =∴AE 12EH AB ==∴sin 3AE ETA AT ∠=== 设FEB CAB α∠=∠= 则45HEF ETA α∠=+︒=∠,在Rt PEH △中,sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯= 【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键.【例2】(2024·天津红桥·一模)在平面直角坐标系中,点()0,0O ,()2,0A , (2,B ),C ,D 分别为OA ,OB 的中点.以点O 为中心,逆时针旋转OCD ,得OC D '',点C ,D 的对应点分别为点C ',D ¢.(1)填空∶如图①,当点D ¢落在y 轴上时,点D ¢的坐标为_____,点C '的坐标为______; (2)如图②,当点C '落在OB 上时, 求点D ¢的坐标和 BD '的长; (3)若M 为C D ''的中点,求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可). 逆时针旋转OCD ,得OC D '',知为中心,逆时针旋转OCD,得OC D'',可得(2,23B为中心,逆时针旋转OCD,得OC D'',()A,2,0()A2,0,(2,23 B是AOB的中位线,为中心,逆时针旋转OCD,得OC D'','==,D CD3M是C'(2,23B1.(2024·山东济宁·模拟预测)已知,四边形ABCD 是正方形,DEF 绕点D 旋转(DE AB <),90EDF ∠=︒,DE DF =,连接AE CF ,.(1)如图1,求证:ADE CDF ≅; (2)直线AE 与CF 相交于点G .①如图2,BM AG ⊥于点M ,⊥BN CF 于点N ,求证:四边形BMGN 是正方形;②如图3,连接BG ,若6AB =,3DE =,直接写出在DEF 旋转的过程中,线段BG 长度的最小值为 . 再证明AMB CNB ≅可得MB ,证明BGM 是等腰直角三角形,然后求出【详解】(1)证明:四边形ABCD 是正方形,AD DC ∴=,90ADC ∠=︒,DE DF =,90EDF ∠=︒,ADC EDF ∴∠=∠,ADE CDF \Ð=Ð,在ADE V 和CDF 中,DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, SAS ADE CDF ∴()≌. (2)解:①证明:如图2中,设AG 与CD 相交于点P ,90ADP ∠=︒, 90DAP DPA ∴∠+∠=︒,ADE CDF ≅,DAE DCF ∴∠=∠,DPA GPC ∠∠=,90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒, 90PGN ∠∴=︒,BM AG ⊥,BN GN ⊥,∴四边形BMGN 是矩形,90MBN ∴∠=︒,四边形ABCD 是正方形,AB BC ∴=,90ABC MBN∠∠==︒,ABM CBN ∴∠=∠,又90AMB BNC ∠∠==︒,AMB CNB ∴≅,MB NB ∴=,∴矩形BMGN 是正方形;∵DAH BAM ABM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠,又∵AD BA =,DHA ∠∴AMB DHA ≌△△, BM AH ∴=,2AH AD =DH ∴最大时,可知,BGM 是等腰直角三角形,23⨯=(1)若AC AB AD BC >⊥,,当点E 在线段AC 上时,AD BE ,交于点F ,点F 为BE 中点.①如图1,若37BF BD AD ===,,求AE 的长度;②如图2,点G 为线段AF 上一点,连接GE 并延长交BC 的延长线于点H .若点E 为GH 中点,602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠,,求证:12AG DF AB +=. (2)如图3,若360AC AB BAC ︒==∠=,.当点E 在线段AC 的延长线上时,连接DE ,将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △,连接AM ,当AM 取得最小值时,ABC 内存在点K ,使得ABK CAK ∠=∠,当KE 取得最小值时,请直接写出2AK 的值.的长,证明(AAS)FDB FGE ≌AD BC EG AD ⊥⊥,, 90BDF ∴∠=︒,EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠,在Rt BDF △中,90BDF ∠=点(AAS)FDB FGE ∴≌3BD GE ∴==DFAD=,7∴=AG ADRt AGE中,2⊥,AD BC90∴∠=︒,ADC点E为GH的中点,∴=,GE HE在AGE和KHE△中,=AE KE∴≌(SAS) AGE KHE∴∠=∠34∠=DAC∴设EBC∠点和KEF中,(SAS)AFB KEF ∴≌89AB FK ∴=∠=∠,BAC ∠=Rt FDM 中,1由题意可知:160∠=︒,AC 30CAM ∴∠=︒,1322CM AC ∴==, ABK ∠=ABK ∴∠+∠EKQ EOA ∴∽,KE KQ QE(1)如图①,在ABC 中,点M ,N 分别是AB ,AC 的中点,若BC =MN 的长为__________. 问题探究:(2)如图②,在正方形ABCD 中,6AD =,点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点,点F 为AB 上的动点,将AEF △折叠,点A 的对应点为点G ,求CG 的最小值. 问题解决:(3)如图③,某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ,已知120ABC ∠=︒,60BCD ∠=︒,40m AB AE ==,80m BC CD ==,点C 处为参观入口,DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台,求点C 与点P 之间的最小距离.是ABC 的中位线,由中位线的性质,即可求解,Rt EDC 中,根据勾股定理,求出∵点E为AD上的靠近点∴11633AE AD==⨯=在Rt EDC中,EC 根据折叠的性质,【问题提出】(1)如图1,点D 为ABC 的边BC 上一点,连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=,若ABD △的面积为4,则ACD 的面积为______; 【问题探究】(2)如图2,在矩形ABCD 中,6,5AB BC ==,在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、,使得65BE CF =,连接AE BF 、相交于点P ,连接CP ,求CP 的最小值; 【问题解决】(3)如图3,菱形ABCD 是某社区的一块空地,经测量,120AB =米,60ABC ∠=︒.社区管委会计划对该空地进行重新规划利用,在射线AD 上取一点E ,沿BE CE 、修两条小路,并在小路BE 上取点H ,将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道(通道宽度忽略不计),根据设计要求,BHC BCE ∠=∠,为了节省铺设成本,要求休闲通道CH 的长度尽可能小,问CH 的长度是否存在最小值?若存在,求出CH 长度的最小值;若不存在,请说明理由.994CBAABDSS ==,即可得到ACD 的面积;为直径的O 上交O 于点P )证明,CBH EBC ∽得到,再证明,ABH EBA ∽得到在O 的劣弧与O 相交于点ABDCBAS S=994CBAABDSS ==,∴ACD 的面积为9CBAABDS S−=故答案为:为直径的O 上运动,交O 于点P,作ABH 的外接圆O ,连接∴,CBH EBC ∽ BC BH∴,ABH EBA ∽ 120AHB EAB ∠=∠=在O 的劣弧120=︒在AOB 中,则1602BM AM AB ===米, 与O 相交于点题型二 线段和的最小值问题【例1】(2024·四川达州·模拟预测)【问题发现】(1)如图1,在OAB 中,3OB =,若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B '',连接BB ',则BB '=________. 【问题探究】(2)如图2,已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △,P 为ABC 内一点,连接AP BP CP ,,,将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒,得DQC △,求PA PB PC ++的最小值; 【实际应用】(3)如图3,在长方形ABCD 中,边1020AB AD ==,,P 是BC 边上一动点,Q 为ADP △内的任意一点,是否存在一点P 和一点Q ,使得AQ DQ PQ ++有最小值?若存在,请求出此时PQ 的长,若不存在,请说明理由.将AQD 绕点BC ⊥在OAB 中,3OB =,将OAB 绕点120BOB '∴∠=︒,3OB OB '==,OBB OB B ''∴∠=∠,OBB '∠+OC BB ⊥OCB '∴∠将∴++=+PA PB PC PA∴当点D、Q、P、A⊥连接AD,作DE AC∠=,ABC边长为DCBDCE BCA∴∠=∠=60)如图所示,将AQD绕点,90EA︒=【例2】(2024·贵州毕节·一模)在学习了《图形的平移与旋转》后,数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究.已知ABC 是边长为2的等边三角形.(1)【动手操作】如图1,若D 为线段BC 上靠近点B 的三等分点,将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ,连接CE ,则CE 的长为________;(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点,将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ,连接CE ,若,,B D E本题主要考查了等边三角形的性质与判定,矩形的性质与判定,旋转的性质,勾股定理,含度角的直角三角形的性质,解题的关键在于利用旋转构造等边三角形,从而把三条不在一条直线的线段之和的问题,转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键.三点共线,求证:EB 平分AEC ∠;(3)【拓展提升】如图3,若D 是线段BC 上的动点,将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ,连接CE .请求出点D 在运动过程中,DEC 的周长的最小值. 证明BAD CAE ≌,的三等分点和ABC 是边长为ADB AEC =∠60BEC ∠=︒EB(3)由ABD ACE ≌△△,得CE BD =,可得DEC 的周长BC DE =+,而DE AD =,知AD 的最小时,DEC的周长最小,此时AD BC ⊥,即可求得答案.∵ABC 是等边三角形,AB AC =,∴SAS ABD ACE ≌()BD CE =;的三等分点,且ABC 是边长为∵ABC 是等边三角形,AB AC =,∴SAS ABD ACE≌(),120ADB AEC ∠=∠=上时,DEC 的周长存在最小值,如图:∵ABD ACE ≌△△, ∴CE BD =,∴DEC 的周长DE CE =++∴当点D 在线段BC 上时,DEC 的周长∵DEC 为等边三角形,DE AD =,的最小时,DEC 的周长最小,此时∴DEC 的周长的最小值为【点睛】本题考查几何变换综合应用,旋转性质、涉及等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,垂1.(2024·陕西·二模)在平面直角坐标系中,A 为y 轴正半轴上一点,B 为x 轴正半轴上一点,且4OA OB ==,连接AB .(1)如图1,C 为线段AB 上一点,连接OC ,将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ,连接AD ,求AC AD +的值.(2)如图2,当点C 在x 轴上,点D 位于第二象限时,90ADC ∠=︒,且AD CD =,E 为AB 的中点,连接DE ,试探究线段AD DE +是否存在最小值?若存在,求出AD DE +的最小值;若不存在,请说明理由.≌,可得出点,证明AND CMDAOC的平分线对称,由∴AND CMD≌,DN DM=,P大值和最小值分别是______和______;(2)如图2,在矩形ABCD中,4AB=,6AD=,点P在AD上,点Q在BC上,且AP CQ=,连接CP、QD,求PC QD+最小时AP的长;(3)如图3,在ABCDY中,10AB=,20AD=,点D到AB的距离为动点E、F在AD边上运动,始终保持3EF=,在BC边上有一个直径为BM的半圆O,连接AM与半圆O交于点N,连接CE、FN,求CE EF FN++的最小值.()SASABP CDQ≌=的O 外有一点在O 上, 如图,当点P 在AO 的延长线上时,此时PA 的最大值为:PO OA +故答案为:11;3;(2)延长BA 至点B ',使AB ∵在矩形ABCD 中,4AB =,∴DAB BAP CBA DCQ '∠=∠=∠=∠在ABP 和CDQ 中,AB CD =∴()SAS ABP CDQ ≌Rt B BC '中,AB P BB ''=∠ (3)如图,过点F 作FG EC ∥,交BC OG ',NO ,∵在ABCD Y 中,10AB =,20AD =,点∴AD BC ∥,即EF CG ∥,BC AD =EFGC【点睛】本题考查圆的基本性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,矩形的性质,平行四边形的判定和性质,对称的性质,勾股定理,三角形三边关系定理,两点之间线段最短等知识点.灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键.3.(2024·陕西西安·三模)【问题提出】(1)如图①,AB 为半圆O 的直径,点P 为半圆O 的AB 上一点,BC 切半圆O 于点B ,若10AB =,12BC =,则CP 的最小值为 ; 【问题探究】(2)如图②,在矩形ABCD 中,3AB =,5BC =,点P 为矩形ABCD 内一点,连接PB 、PC ,若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍,求PB PC +的最小值; 【问题解决】(3)如图③,平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地,经测量,AB BC ==米,=60B ∠︒,150BAF BCD ∠=∠=︒,DE DC ⊥,20CD =米,劣弧E F 所对的圆心角为90︒,E F 所在圆的圆心在AF 的延长线上,10AF =米.某天活动课上,九(1)班的同学准备在这块空地上玩游戏,每位同学在游戏开始前,在BC 上选取一点P ,在弧E F 上选取一点Q ,并在点P 和点Q 处各插上一面小旗,从点A 出发,先到点P 处拔下小旗,再到点Q 处拔下小旗,用时最短者获胜.已知晓雯和晓静的跑步速度相同,要使用时最短,则所跑的总路程()AP PQ +应最短,问AP PQ +是否存在最小值?若存在,请你求出AP PQ +的最小值;若不存在,请说明理由.交O于点P⊥PH BC交O于点P点P为半圆O的AB上一点,∴当点P与点P不重合时,1当点P与点P重合时,BC切半圆∴∠=ABC=OB OP矩形ABCD 的面积是PBC 面积的13553PBCS∴=⨯⨯=CF PH =又5BC =,60ABC ∠=︒,AB BC ==ABC ∴是等边三角形, 60BAC BCA ∴∠=∠=︒,150BAF BCD ∠=∠=︒,DE AA M '∴和CMN ∴∠=点'A Q OQ+∴的最小值为A Q'ABC为等边三角形,点∴点为BC△,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F,连接CF.EF AD FG AB FG特例感知(1)以下结论中正确的序号有______;ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形;②矩形ABCD与四边形AGFE位似;③以,,角三角形;类比发现(2)如图2,将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转,连接BG,观察CF与BG之间的数量关系和位置关系,并证明你的发现;拓展应用(3)连接CE ,当CE 的长度最大时, ①求BG 的长度;②连接,,AC AF CF ,若在ACF △内存在一点P ,使CP AP ++的值最小,求CP AP ++的最小值.先证明APF AKL ∽,得到∴HF DE =,CH BG =,∴CHF 是直角三角形,∵四边形ABCD 是矩形,∴43AB CD ==,AD =∴228AC AB BC =+=,则由(2)知,90CEF ∠=︒,∵2247CF CE EF =+=,根据旋转,可得30PAF KAL ∠=∠=,根据两边对应成比例且夹角相等可得APF AKL ∽, ∴3KL PF =,过P 作PS AK ⊥于S ,则12PS AP =题型三 面积的最小值问题【例1】(新考法,拓视野)(2024·陕西西安·一模)【问题提出】(1)如图1,已知在边长为5的等边ABC 中,点D 在边BC 上,3BD =,连接AD ,则ACD 的面积为 ; 【问题探究】(2)如图2,已知在边长为6的正方形ABCD 中,点E 在边BC 上,点F 在边CD 上,且45EAF ∠=︒,若5EF =,求AEF △的面积; 【问题解决】(3)如图3是某座城市廷康大道的一部分,因自来水抢修在4AB =米,AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面,其中B 、F 分别在BC CD 、边上(不与B 、C 、D 重合),且60EAF ∠=︒,为了减少对该路段的拥堵影响,要求AEF △面积最小,那么是否存在一个面积最小的AEF △?若存在,请求出AEF △面积的最小值;若不存在,请说明理由.,证明()SAS ABG ADF ≌,再证明()SAS AEF AEG ≌,得到ABG ,则)()33AEF AEG SS==最小值最小值∵ABC 是边长为 ∴()SAS ABG ADF ≌∴()SAS AEF AEG ≌,得到ABG , )()33AEF AEG SS==最小值最小值【例2】(2024·陕西西安·二模)图形旋转是解决几何问题的一种重要方法.如图1,正方形ABCD 中,E F 、分别在边AB BC 、上,且45EDF ∠=︒,连接EF ,试探究AE CF EF 、、之间的数量关系.解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置(易得出点H 在BC 的延长线上),进一步证明DEF 与DHF △全等,即可解决问题.(1)如图1,正方形ABCD 中,45,3,2EDF AE CF ∠=︒==,则EF =______;(2)如图2,正方形ABCD 中,若30EDF ∠=︒,过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点,请计算AE CF +与EM 的比值,写出解答过程;(3)如图3,若60EDF ∠=︒,正方形ABCD 的边长8AB =,试探究DEF 面积的最小值. 进一步证明DEF,,,D F H G 四点共圆;进而可得30FHG ∠=,根据1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒(3)过点E 作EK CD ⊥于K ,交DF 于M ,作FT EK ⊥于T ,得出 4DEFS EM =,进而根据(2)的方法得出EM GH =,根据FC AE CH ==时,面积最小,得出32OF =− 【详解】(1)解:∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒, ∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠,DH DE HDC EDA =∠=∠, ∴点H 在BC 的延长线上, ∵四边形ABCD 是正方形 ∴90ADC ∠=︒, ∵45EDF ∠=︒,∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF ∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠ 又∵DF DF =,∴DEF ()SAS DHF ≌,∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=, 故答案为:5.(2)解:将ADE V ,DEM △绕点D 逆时针旋转90︒,得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠, ∵EM BC ∥,则EM AB ⊥, ∴90AEM ∠=︒,∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∵30EDF ∠=︒,EM BC ∥则EM AD ∥, ∴ADE CDH ∠=∠,30GDH MDE ∠=∠=︒, ∵EM BC ∥, ∴EMF DFC ∠=∠,∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒, 即180DFC DGH ∠+∠=︒, ∴,,,D F H G 四点共圆; ∴30GFH GDH ∠=∠=︒, 又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒(3)如图,过点E 作EK CD ⊥于K ,交DF 于M ,作FT EK ⊥于T ,90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形, FT CK ∴=8DK CK DK FT ∴+=+= 111()4222DEFEMDEMFSSSEM DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+=同(2)将ADE V ,DEM △绕点D 逆时针旋转90︒,得,DCH DHG , 可得60GFH EDM ∠=∠=︒,EM GH = 取得最小值时,DEF 的面积最小,∵2220−=≥,∴FH x y =+≥ 当且仅当x y =时取得等于号, 此时FC AE CH ==, 设,,,D F H G 的圆心为O , ∵DC FH ⊥,FC CH =, ∴DC 经过点O ,∴OF OD =,sin 602OC OF =︒= ∵8OD OC +=8OF +=解得:32OF =−∴232FH FC OF ===−∴48GH =,∴()44448192DEFSEM GH ====,即DEF 面积的最小为192.【点睛】本题考查了旋转的性质,正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识,解直角三角形,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.1.(2023·陕西西安·一模)问题发现(1)在ABC 中,2AB =,60C ∠=︒,则ABC 面积的最大值为 ;(2)如图1,在四边形ABCD 中,6AB AD ==,90BCD BAD ∠=∠=︒,8AC =,求BC CD +的值. 问题解决(3)有一个直径为60cm 的圆形配件O ,如图2所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ,要求60O B ∠=∠=︒,OA OC =OABC 的面积尽可能小.试问,是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ?若存在,请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长;若不存在,请说明理由.为弦的确定的圆上,作ABC 的外接圆,可得当点时,ABC 的面积最大,求出,再根据三角形的面积公式计算即可;将ABC 绕点A 逆时针旋转、D 、E 在同一条直线上,求出BCES,可得要使四边形面积最小,就要使BCE 的面积最大,然后由(时,BCE 的面积最)的方法求出BCE 面积的最大值,可得四边形,根据OA 如图,作ABC 的外接圆,∴当点C 在C '的位置,即时,ABC 的面积最大,∴C A C B ''=,BD =∴ABC '△是等边三角形,∴ABC 面积的最大值为)如图,将ABC 绕点∴B ADE ∠=∠,BAC ∠∵6AB AD ==,BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒,∵60AOC ∠=︒,OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转至COE ,连接∴60BOE ∠=︒,OE OB =∴BOE △是等边三角形,AOBBCOSS+COEBCOSS+ BOE BCES S− BCESBCES,的面积最小,就要使BCE 的面积最大,作BCE 的外接圆I ,点F 是I 上一点,CF 交由(1)可知,当CF 是直径,且CF BE ⊥时,BCE 的面积最大,∴BCE 面积的最大值为150BCES=(1)如图①,已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线,则AB 的长为______. 问题探究:(2)如图②,在ABC 中,90C ∠=︒,AC BC =,4AB =,点D 为AB 的中点,点E ,F 分别在边AC ,BC 上,且90EDF ∠=︒.证明:DE DF =.问题解决:(3)如图③,李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ,然后将其分割种植三种不同的花卉.按照他的分割方案,点P ,Q 分别在AD ,BC 上,连接PQ 、PB 、PC ,60BPC ∠=︒,E 、F 分别在PB 、PC 上,连接QE 、QF ,QE QF =,120EQF ∠=︒,其中四边形PEQF 种植玫瑰,ABP 和PCD 种植郁金香,剩下的区域种植康乃馨,根据实际需要,要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2,为了节约成本,矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值?若存在,请求出矩形ABCD 的最小面积,若不存在,请说明理由.)设ABC 的边长为EQG ,根据四边形则当PQ BC ⊥时,矩形ABCD 的面积最小,根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形,即可求解.【详解】解:(1)∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线, ∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴AD ==∴2112224ABCS BC AD a =´=´´=∴24a =解得:4a =, 故答案为:4.(2)如图所示,连接CD ,∵在ABC 中,90C ∠=︒,AC BC =,4AB =,点D 为AB 的中点, ∴CD AD =,90ADC ∠=︒,45A DCF ∠=∠=︒ 又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF ∠=∠−∠=∠−∠=∠ 在,ADE CDF △△中,45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDF V V ≌ ∴DE DF =; (3)如图所示,∵60BPC ∠=︒,120EQF ∠=︒, ∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒−︒−︒=︒ 将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒,得到EQG , ∴,,P E G 三点共线,∴四边形PEQF 的面积等于PQG , 又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=,∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ,则12QN PQ =设PQ b =,则1,22NQ b PN ==∴2PG PN ==∴2111222PQGSPG NQ b =⨯=⨯=∵四边形PEQF 的面积为 ∴16b =,即16PQ =,如图所示,作QM PM ⊥于点M ,∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒,QM PM ⊥,QN PG ⊥,则QN QM =, 在,ENQ FMQ 中,QN QM EQ FQ =⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌, 同理可得PNQ PMQ ≌ 则2PNQPEQF S S=四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形,作点Q 关于PE 的对称点T ,连接PT ,则PTQ 是等边三角形,则PTQS=如图所示,依题意,当PQ BC ⊥时,矩形ABCD 的面积最小,此时,E F 与,N M 重合,,∴22ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,勾股定理,旋转的性质,综合运用以上知识是解题的关键.3.(2024·陕西榆林·二模)(1)如图1,AB CD ∥,1,2AB CD ==,AD ,BC 交于点E ,若4=AD ,则AE = ;(2)如图2,矩形ABCD 内接于O , 2,AB BC ==点 P 在AD 上运动,求 PBC 的面积的最大值; (3)为了提高居民的生活品质,市政部门计划把一块边长为 120米的正方形荒地 ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区,计划在边AD ,BC 上分别取点P ,Q ,修建一条笔直的通道PQ ,要求 2CQ AP =,过点 B 作 BE PQ ⊥于点E ,在点E 处修建一个应急处理中心,再修建三条笔直的道路BE CE DE ,,,并计划在 CDE 内种植花卉, DEP 内修建老年活动区, BCE 内修建休息区,在四边形ABEP 内修建儿童游乐园.问种植花卉的 CDE 的面积是否存在最小值? 若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.得ABE DCE ∽,得对应成比例的线段,于是得到结论;时,PBC 的面积有最大值,解直角三角形求出PBC 的高即可得到结论;于点M ,作BME 的外接圆O ,过点OF DC ⊥₂E CD ₂的面积最小. ()∥AB CD DCE ,是O的直径.₂的面积最大.P BC上任意另取一点P₁PBC的面积最大.Rt OBE中,.S=PBC。

2021年九年级数学中考一轮复习几何图形变换综合型填空压轴题专题训练

2021年九年级数学中考一轮复习几何图形变换综合型填空压轴题专题训练

2021年九年级数学中考一轮复习几何图形变换综合型填空压轴题专题训练(附答案)1.如图,D为△ABC内一点,且AD=BD,若∠ACD=∠DAB=45°,AC=5,则S△ABC=.2.△ABC是边长为2的等边三角形,点P为直线BC上的动点,把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE,O为AB边上一动点,则OE的最小值为.3.已知,如图,△ABD中,AB=AD=1,∠B=30°,△ABD绕着A点逆时针旋转α(0°<α<120°)旋转得到△ACE.CE与AD、BD分别交于点G、F;设DF+GF=x,△AEG的面积为y,则y关于x的函数解析式为.4.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,D是AB中点,E是边BC上一动点,连接DE,将DE绕点D 逆时针旋转60°得DF,连接CF.若CF=,则BE=.5.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF 的最小值为.6.如图,△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,将△ADE绕点A在平面内自由旋转,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,若AD=3,AB=7,则线段MN的取值范围是.7.如图,在△ABC中,AC=BC=9,∠C=120°,D为AC边上一点,且AD=6,E是AB边上一动点,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转30°得到DF,若F恰好在BC边上,则AE的长为.8.如图,正方形ABCD,将正方形AEFG绕点A旋转,连接DF,点M是DF的中点,连接CM,若AB=4,AE=1,则线段CM的最大值为.9.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∠APC=165°,P A=3,PC=,则PB=.10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE 交AC于点F,则CF的长为cm.11.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,AC,BD交于点O.以点B为中心,顺时针旋转矩形ABCD,得到矩形BEFG,点A,D,C的对应点分别为G,F,E,连接OG,OF,则在旋转过程中△OGF的面积最大值为.12.如图,线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC,点B对应点C,在∠BAC的内部有一点P,P A=8,PB=4,PC=4,则线段AB的长为.13.如图,已知在△ABC中,AB=3,AC=2,∠A=45o,将这个三角形绕点B旋转,使点A落在射线AC 上的点A1处,点C落在点C1处,那么AC1=.14.如图,点D是等边△ABC的边BC上的一个动点,连接AD,将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AC 于点E,若AB=4,则AE的最小值是.15.如图,△ABC是等边三角形,AB=3,E在AC上且AE=AC,D是直线BC上一动点,线段ED绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,当点D运动时,则线段AF的最小值是.16.如图,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AD=4,将CD绕点D逆时针旋转90°至DE,连接AE、CE,若△ADE的面积为6,则BC=.17.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=1,AB=2.将△ABC绕点C逆时针旋转,旋转后的图形是△A'B'C,点A的对应点A′落在△ABC的中线AD的A′处,A'B'与BC相交于点E,则CE=.18.如图,AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径,P为⊙O上一动点,过点P分别作PE⊥AB、PF⊥CD,垂足分别为E、F,M为EF的中点.若点P从点B出发,以每秒15°的速度按逆时针方向旋转一周,当∠MAB取得最大值时,点P运动的时间为秒.19.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,△ABE为等边三角形,F为对角线BD(不含B点)上任意一点,将FB绕B逆时针旋转60°得到BG,连接EG,AF,CF,探究AF+BF+CF的最小值是.20.如图,将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B′C交CD边于点G,如果当AB′=B′G时量得AD=7,CG=4,连接BB′、CC′,那么=.21.如图,等边△AOB的边长为4,点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,点C随点P的运动而运动,连接CP、CA.在点P从O向A运动的过程中,当△PCA为直角三角形时t的值为.22.如图,已知△ABC是边长为4的等边三角形,取AC的中点E,△ABC绕E点旋转任意角度得到△GMN,直线BN,GC相交于点H,△GMN绕点E旋转的过程中,线段AH的最大值是.23.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,=,D为△ABC外一点,连接AD、CD.若∠ADC=30°,AC=AD,则的值为.24.如图,四边形ABCD四顶点坐标分别为(﹣1,0)、(0,)、(2,)、(1,0),BE⊥DC于点E,将∠OBE以点B为旋转中心旋转,其两边BO、BE分别与直线AD、DC相交于点O′、E′,连接O′E′,当△BO′E′的面积等于6时,则E′的坐标为.25.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),⊙A的半径为2,点P是⊙A上一动点,以OP为边作等腰直角三角形OPQ(Q点在第二象限),则AQ的最小值为.26.已知P是等腰Rt△ABC外一点,∠ACB=90˚,且P A=3,PC=4,则PB的最大值是.27.如图,△ABC是等边三角形,AB=4,E是AC的中点,D是直线BC上一动点,线段ED绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,当点D运动时,AF的最小值是.参考答案1.解:如图,作DE⊥DC交AC于E,连接BE交AD于O.∵DA=DB,∠DAB=45°,∴∠DAB=∠DBA=45°,∴∠ADB=90°,∵∠DCE=45°,DE⊥DC,∴DC=DE,∵∠CDE=∠ADB=90°,∴∠CDA=∠EDB,∵DC=DE,DA=DB,∴△CDA≌△EDB(SAS),∴AC=BE=5,∠CAD=∠EBD,∵∠AOE=∠BOD,∴∠AEO=∠BDO=90°,∴BE⊥AC,∴S△ABC=•AC•BE=,故答案为.2.解:如图,连接EC,作CH⊥AB于H.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC,∵∠P AE=∠BAC=60°,∴∠P AB=∠EAC,∵P A=EQ,BA=CA,∴△P AB≌△EAC(SAS),∴∠ABP=∠ACE,∵∠ABP=180°﹣60°=120°,∴∠ACE=120°,∴∠BCE=120°﹣60°=60°,∴∠ABC=∠BCE,∴CE∥AB,∴点E的运动轨迹是直线CE(CE∥AB),∵CB=CA=AB=2,CH⊥AB,∴BH=AH=1,∴CH===,根据垂线段最短,可知OE的最小值=CH=,故答案为.3.解:设AC交BD于H,作AM⊥BD于M,AN⊥EC于N.∵AB=AD=1,∠B=30°,AM⊥BD,∴AM=AN=AB=,BM=DM=,∴BD=EC=,∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAH=∠EAG,∵AB=AE,∠B=∠E=30°,∴△BAH≌△EAG(ASA),∴AH=AG,BH=EG,∵△ABD≌△ACE,∴AM=AN,∵∠AMH=∠ANG=90°,∴Rt△AMH≌Rt△ANG(HL),∴HM=GN,∵∠AMF=∠ANF=90°,AF=AF,∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL),∴FM=FN,∴FG=FH,∴FG+DF=FH+DF=DH=x,∴EG=BH=﹣x,∴y=S△AEG=•EG•AN=.∴y=(0<x<).故答案为y=(0<x<).4.解:连接CD,当点F在直线CD的右侧时,如图1中,取BC的中点M,连接DM,MF,延长MF交CD于N,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,BA=BC,∵AD=DB,CM=MB,∴DB=BM,∴△BMD是等边三角形,∴∠BDM=∠EDF=60°,DB=DM,∴∠BDE=∠MDF,∵DE=DF,∴△BDE≌△MDF(SAS),∴FM=BE,∠FMD=∠B=60°,∴∠FMD=∠BDM,∴MF∥AB,∵CM=MB,∴CN=ND,∴NM=BD=,∵AD=BD,CA=CB,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∵BC=6,BD=3,∴CD=3,∴CN=,∠CNM=∠CDB=90°,∵CF=,∴NF==∴BE=FM=﹣=1.当点F在直线CD的左侧时,如图2中,同法可得FM=BE=+=2,综上所述,满足条件的BE的值为1或2.5.解:如图,作DM⊥BC于M,FJ⊥DM于J交AB于N.∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2BC=4,AB=BC=2,∵AD=DC.DM∥AB,∴DM=AB=,BM=CM=1,易证四边形BMJN是矩形,∴JN=BM=1,∵∠FDJ+∠EDM=90°,∠EDM+∠DEM=90°,∴∠FDJ=∠DEM,∵∠FJD=∠DME=90°,∴△FJD≌△DME(AAS),∴FJ=DM=,∴FN=FJ+JN=1+,∴点F在直线l上运动(直线l与直线AB之间的距离为+1),根据垂线段最短可知,当AF⊥直线l时,AF的值最短,最小值为+1,故答案为+1.6.解:∵点P,M分别是CD,DE的中点,∴PM=CE,PM∥CE,∵点N,M分别是BC,DE的中点,∴PN=BD,PN∥BD,∵△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形,∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,∵PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC,∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,∵∠BAC=90°,∴∠ACB+∠ABC=90°,∴∠MPN=90°,∴△PMN是等腰直角三角形,∴PM=PN=BD,∴MN=BD,∴点D在AB上时,BD最小,∴BD=AB﹣AD=4,MN的最小值2;点D在BA延长线上时,BD最大,∴BD=AB+AD=10,MN的最大值为5,∴线段MN的取值范围是2≤MN≤5.故答案为:2≤MN≤5.7.解:如图,延长DC到G,使DG=AE,连接FG,∵AC=BC,∠C=120°,∴∠A=30°,∠FCG=60°,∵∠A+∠1=∠EDF+∠2,又∵∠EDF=30°,∴∠1=∠2,在△EDA和△DFG中,,∴△EDA≌△DFG(SAS)∴AD=GF=6,∠A=∠G=30°,∵∠G+∠FCG=90°,∴∠CFG=90°,设CF=x,则CG=2x,由CF2+FG2=CG2得:x2+62=(2x)2,解得x1=,x2=﹣(不合题意舍去),∴CG=4,∴AE=DG=3+4,故答案为:3+4.8.解:如图,连接AF,取AD的中点K,连接KM,KC.∵四边形ABCD,四边形AEFG都是正方形,∴CD=AD=AB=4,∠CDK=90°,AK=DK=2,AG=FG=AE=1,∠G=90°,∴AF=,CK=2,∵DK=KA,DM=MF,∴KM=AF=∴CM≤KM+CK,∴CM≤2+,∴CM的最大值为2+.故答案为2+.9.解:将△ACP绕着点C逆时针旋转90°得到△BCP′,连接PP′,过点P作PD⊥BP′,交BP′的延长线于点D,如图所示:由旋转可知,CP=CP′,∠∠PCP′=90°,∠APC=∠BP′C=165°,∴∠CPP′=∠CP′P=45°,PP′=PC=2,∴∠PP′B=∠CP′B﹣∠CP′P=165°﹣45°=120°∴∠PP′D=180°﹣120°=60°,在Rt△PP′D中,P′D=PP′=1,PD==,∴BD=BP′+P′D=3+1=4,在Rt△BPD中,由勾股定理得:BP==,故答案为.10.解:过点A作AG⊥DE于点G,由旋转知:AD=AE,∠DAE=90°,∠CAE=∠BAD=15°,∴∠AED=∠ADG=45°,在△AEF中,∠AFD=∠AED+∠CAE=60°,在Rt△ADG中,AG=DG==3cm,在Rt△AFG中,GF==cm,AF=2FG=2cm,∴CF=AC﹣AF=(10﹣2)cm,故答案为:(10﹣2)cm.11.解:∵ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,AC=BD,在Rt△ABD中,AB=4,AD=3,∴BD==5,∴OB=BD=∵顺时针旋转矩形ABCD,得到矩形BEFG,∴BG=AB=4,GF=AD=3,∠BGF=90°,如图1,顺时针旋转矩形ABCD过程中,点F的轨迹为以点B为圆心,BD为半径的圆,延长FG交⊙B 于M,则BG垂直平分FM,过点O作OH⊥FM于点H,则S△OFG=FG•OH,∴当OH取最大值时,S△OFG有最大值,如图2,当矩形ABCD旋转到点O,B,G在同一条直线上时,点H与点G重合,此时OH有最大值,此时OH=OG=OB+BH=BD+BH=+4=,∴S△OFG=FG•OH=×3×=,故答案为:.12.解:如图,将△ABP绕点A逆时针旋转120°,得到△ACD,连接PD,过点A作AH⊥PD于H,则△ABP≌△ACD,∠P AD=120°,∴P A=DA=8,PB=DC=4,∠APH=∠ADH=30°,∴AH=AP=4,∴PH=DH==4,∴PD=2PH=8,在△PDC中,PD2+CD2=(8)2+42=208,PC2=(4)2=208,∴PD2+CD2=PC2,∴△PDC为直角三角形,且∠PDC=90°,∴∠AHD=∠PDC,∴AH∥DC,∴△DMC∽△HMA,∵DC=AH=4,∴AM=CM=AC,HM=DM=HD=2,∴在Rt△DMC中,CM===2,∴AB=AC=2CM=4,故答案为:4.13.解:如图,连接AC1,由旋转知,△ABC≌△A1BC1,∴AB=A1B=3,AC=A1C1=2,∠CAB=∠C1A1B=45°,∴∠CAB=∠CA1B=45°,∴△ABA1为等腰直角三角形,∠AA1C1=∠CA1B+∠C1A1B=90°,在等腰直角三角形ABA1中,AA1=AB=3,在Rt△AA1C1中,AC1===,故答案为:.14.解:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=4,∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠ADE=60°,∴∠BAD=∠EDC,∴△ABD∽△DCE,∴=,设BD=x,则CD=4﹣x,∴=,∴CE=﹣x2+x,∴AE=AC﹣CE=4﹣(﹣x2+x)=x2﹣x+4=(x﹣2)2+3,∵>0,由二次函数的性质可知,当x的值为2时,AE有最小值,最小值为3,故答案为:3.15.解:如图所示,过E作EG⊥BC于G,过A作AP⊥EG于P,过F作FH⊥EG于H,则∠DGE=∠EHF =90°,∵∠DEF=90°,∴∠EDG+∠DEG=90°=∠HEF+∠DEG,∴∠EDG=∠FEH,又∵EF=DE,∴△DEG≌△EFH(AAS),∴HF=EG,∵△ABC是等边三角形,AB=3,AE=AC,∴AE=2,CE=1,∠AEH=∠CEG=30°,∴CG=CE=,AP=AE=1,∴EG=CG=,∴HF=,∴当点D运动时,点F与直线GH的距离始终为个单位,∴当AF⊥EG时,AF的最小值为AP+HF=1+,故答案为:1+.16.解:过D点作DF⊥BC,垂足为F,过E点作EG⊥AD,交AD的延长线与G点,由旋转的性质可知CD=ED,∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°,∴∠EDG=∠FDC,又∠DFC=∠G=90°,∴△CDF≌△EDG,∴CF=EG,∵S△ADE=AD×EG=6,AD=4,∴EG=3,则CF=EG=3,依题意得四边形ABFD为矩形,∴BF=AD=4,∴BC=BF+CF=4+3=7,故答案为:7.17.解:如图,过点C作CH⊥AD于H.∵AC=1,AB=2,∠BAC=90°,∴BC===,∵DB=CD,∴AD=BD=CD=BC=,∵S△ADC=•AD•CH=××1×2,∴CH=,∵CA=CA′,CH⊥AA′,∴AH=HA′===,∴AA′=,A′D=AD﹣AA′=,∵△A′CB′是由△ABC旋转得到∴CA′=CA,BC=CB′,∠ACB=∠A′CB′=∠DAC,∠CA′B′=90°,∴∠CAA′=∠CA′A=∠DAC,∠DA′B′+′CA′A=90°,∠B′+∠A′CB′=90°,∴∠DA′B′=∠B′∴DA′∥CB′,∴=,∴=,∴EC=10DE,∴EC=CD=.18.解:如图1中,连接OP.∵AB⊥CD,PF⊥OC,PE⊥OB,∴∠EOF=∠PFO=∠PEO=90°,∴四边形PEOF是矩形,∴EF与OP互相平分,∵ME=MF,∴点M在OP上,OM=MP=OP,如图2中,当OM⊥AM时,∠MAB的值最大,∵OA=2AM,∴∠MAO=30°,∠AOM=60°,∴∠BOP=120°或240°时,∠MAB的值最大,∴t==8(秒)或t==16(秒)故答案为8或16.19.解:如图所示,连接GF,过E作EH⊥BC,交CB的延长线于H,由旋转可得,BF=BG,∠GBF=60°,∴△BFG是等边三角形,∴GF=BF,∵△ABE是等边三角形,∴BE=BA,∠ABE=60°,∴∠ABF=∠EBG,∴△ABF≌△EBG(SAS),∴AF=EG,∴AF+BF+CF=EG+GF+CF,∴当E,G,F,C在同一直线上时,AF+BF+CF的最小值是CE的长,又∵∠ABE=60°,∠ABH=90°,∴∠EBH=30°,∴Rt△EBH中,EH=EB=,∴BH===,∴CH=+1,∴Rt△CEH中,CE======.故答案为:.20.解:如图,连接AC,AG,AC',由旋转可得,AB=AB',AC=AC',∠BAB'=∠CAC',∴=,∴△ABB'∽△ACC',∴=,∵AB'=B'G,∠AB'G=∠ABC=90°,∴△AB'G是等腰直角三角形,∴AG=AB',设AB=AB'=x,则AG=x,DG=x﹣4,∵Rt△ADG中,AD2+DG2=AG2,∴72+(x﹣4)2=(x)2,解得x1=5,x2=﹣13(舍去),∴AB=5,∴Rt△ABC中,AC===,∴==,故答案为:.21.解:①如图1中,连接KC、BC.设PB的中点为K.∵PK=PC,∠KPC=60°,∴△PKC是等边三角形,∴KC=PK=BK,∴∠PCB=90°,∴当∠PCA=90°时,点C在线段AB上,∵△AOB是等边三角形,∴∠A=60°,∴∠APC=30°,∵∠CPK=60°,∴∠APB=90°,∴BP⊥OA,∵BO=BA,∴OP=P A=2,∴t=2.②如图2中,当∠P AC=90°时,作BH⊥OA于H,BG⊥AC于G,连接KC、BC.则四边形BHAG是矩形,△P AC∽△CGB,∴===,设OP=x,则AP=4﹣x,∵AH=BG=2,∴AC=,GC=(4﹣x),∵BH=AG=2,∴+(4﹣x)=2,∴x=.∴t=,综上所述,t=2或s时,△P AC是直角三角形,故答案为2或s.22.解:如图:连接EN,EB,MB,CN,MC∵△ABC是等边三角形,E是AC中点∴AE=CE=2,BE⊥AC即∠BEC=90°∵AB=4∴BE=2∵旋转∴BC=MN=4,GE=EM=2且△GMN是等边三角形∴EN⊥GM即∠NEC=90°∴∠CEN=∠BEM,且EM=EC,BE=EN∴△EBM≌△ECN∴BM=CN∵BM=CN,BN=BN,BC=MN∴△MNB≌△BCN∴∠BNM=∠CBN∵BM=CN,且MN=BC,MC=MC∴△MCB≌△MCN∴∠MCB=∠CMN∵∠BNM+∠CBN=∠MCB+∠CMN∴∠MCB=∠CBN∴MC∥BN∵ME=EG=EC∴△GCM为直角三角形即∠GCM=90°∵MC∥BN∴∠BHG=∠GCM=90°∴H在以BC为直径的圆上∴当AH过以BC为直径的圆的圆心时,线段AH长度最大∴AH最大值为2+2故答案为2+223.解:如图所示,将△ABD绕A顺时针旋转120°得△ACQ,连BQ,则∠BAQ=∠DAC=120°,BA=QA,∴∠ABQ=30°,∠QBC=60°+30°=90°,设BC=2,AB=3,过A作AE⊥BQ于E,则BQ=2BE=2cos30°×AB=2×,∴Rt△BCQ中,CQ=,∴BD=CQ=,∴.故答案为:.24.解:如图,∵四边形ABCD四顶点坐标分别为(﹣1,0)、(0,)、(2,)、(1,0),∴OA=1,OB=,OD=1,BC=2,∴AB===2,CD==2,∴AB=BC=CD=AD=2,∴四边形ABCD是菱形,∵tan∠OAB==,∴∠OAB=∠C=60°,在Rt△BEC中,∵∠BEC=90°,BC=2,∠C=60°,∴BE=BC•sin60°=,∴BE=BO,∵∠OBE=∠O′BE′=60°,∴∠OBO′=∠EBE′,∵∠BOO′=∠BEE′,∴△OBO′≌△EBE′(ASA),∴O′B=E′B,∵∠O′BE′=60°,∴△O′BE′是等边三角形,∵△BO′E′的面积等于6,∴×E′B2=6,∴E′B2=24,∴EE′===,∴DE′=1+或﹣1,可得E′(,﹣)或(,).故答案为(,﹣)或(,).25.解:连接OA,将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OE,连接AE,AQ,AP.∵∠AOE=∠POQ=90°,∴∠AOP=∠EOQ,∵OP=OQ,OA=OE,∴△AOP≌△EOQ(SAS),∴EQ=AP=2,∵OA==,∴OA=OE=,AE=OE=,∵AQ≥AE﹣EQ,∴AQ≥﹣2,∴AQ的最小值为﹣2.故答案为﹣2.26.解:如图,将△ACP绕点C顺时针旋转90°,得到△BCD,连接PD,PB,则BD=AP=3,CD=CP=4,∠PCD=∠ACB=90°,∴Rt△PCD中,PD=4,∵PD+BD≥BP,∴BP的最大值为PD+BD的长,即BP的最大值为4+3,故答案为:4+3.27.解:作DM⊥AC于M,FN⊥AC于N,如图,设DM=x,在Rt△CDM中,CM=DM=x,而EM+x=2,∴EM=﹣x+2,∵线段ED绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,∴ED=EF,∠DEF=90°,易得△EDM≌△FEN,当D在BC上时,∴DM=EN=x,EM=NF=﹣x+2,在Rt△AFN中,AF2=(﹣x+2)2+(2+x)2=(x+)2+4+2,此时AF2没有最小值,当D在BC的延长线上时,∴DM=EN=x,EM=NF=x+2,在Rt△AFN中,AF2=(x+2)2+(2﹣x)2=(x﹣)2+4+2,当x=时,AF2有最小值4+2,∴AF的最小值为=+1.故答案为+1.。

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几何图形变换压轴题中考整理
1(黑龙江省哈尔滨市)已知:△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F.(1)如图l,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,求证:FG+DC=AD;
(2)如图2,若∠ABC=135°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________;
(3)在(2)的条件下,若AG=2
5,DC=3,将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转,这个角的两边分别交线段FG于M、N两点(如图3),连接CF,线段CF分别
3,求线段PQ的长.
与线段BM、线段BN相交于P、Q两点,若NG=
2
(湖北省随州市)如图①,已知△ABC是等腰三直角角形,∠BAC=90°,点D是BC 的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG.(1)试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论.
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图②,通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
(3)若BC=DE=2,在(2)的旋转过程中,当AE为最大值时,求AF的值.
3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测
量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长
线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
3.在△ABC 中,点P 为BC 的中点.
(1)如图1,求证:AP <
2
1
(AB +BC ); (2)延长AB 到D ,使得BD =AC ,延长AC 到E ,使得CE =AB ,连结DE .
①如图2,连结BE ,若∠BAC =60°,请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明; ②请在图3中证明:BC ≥
2
1
DE .
图13-2
图13-3
图13-
1 A
( B ( E )
4.我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题: (1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;
(2)如图1,在ABC △中,AB=AC ,点D 在BC 上,且CD=CA ,点E 、F 分别为BC 、
AD 的中点,连接EF 并延长交AB 于点G .求证:四边形AGEC 是等邻角四边形; (3)如图2,若点D 在ABC △的内部,(2)中的其他条件不变,EF 与CD 交于点H .图
中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.
图2
图1
H G
F D
E C
B
A
G
F
E D
C
B
A
5.(1)已知:如图1,Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,︒=∠60BAC ,CD 平分ACB ∠,点E 为AB 中点,AB PE ⊥交CD 的延长线于P ,猜想:PBC PAC ∠+∠= °(直接写出结论,不需证明).
(2)已知:如图2,Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,︒≠∠45BAC ,CD 平分ACB ∠,点E 为AB 中点,AB PE ⊥交CD 的延长线于P ,(1)中结论是否成立,若成立,请证明;若不成立请说明理由.
7.如图1,一张三角形纸片ABC ,∠ACB =90︒
,AC =8,BC =6.沿斜边AB 的中线CD
把这张纸片剪成1122AC D BC D ∆∆和两个三角形(如图2).将11AC D ∆沿直线2D B (AB )方
向平移(点12,A D D B ,,始终在同一直线上),当点1D 与点B 重合时停止平移.在平移的过程中,112C D BC 与交于点E ,1AC 与222C D C B 、分别交于点F 、P .
(1)当11AC D ∆平移到如图3所示位置时,猜想12D E D F 与的数量关系,并证明你的
猜想;
(2)设平移距离21D D 为x ,1122AC D BC D ∆∆和重叠(阴影)部分面积为y ,试求y
A
B
C
D E
P
P
E
D C
B
A
与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围. 10. 如图
17、18是两个相似比为1:2的等腰直角△DMN 和△ABC ,将这两个三角形如图19放置,△DMN 的斜边MN 与△ABC 的一直角边AC 重合.
⑴ 在图19中,绕点D 旋转△DMN ,使两直角边DM 、DN 分别与BC AC 、交于点F E ,,如图20. 求证:2
2
2
EF BF AE =+;
⑵ 在图19中,绕点C 旋转△DMN ,使它的斜边CM 、直角边CD 的延长线分别与AB 交于点F E 、,如图21,此时结论2
2
2
EF BF AE =+是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
⑶ 如图22,在正方形ABCD 中,F E 、分别是边CD BC 、上的点且满足CEF ∆的周长等于正方形ABCD 的周长的一半,AF AE 、分别与对角线BD 交于点N M 、. 线段BM 、
MN 、DN 恰能构成三角形. 请指出线段BM 、MN 、DN 所构成的三角形的形状,并给
出证明.
11.(1)如图1,BP 为ABC ∆的角平分线,PM AB ⊥于M ,PN BC ⊥于N ,
30,23AB BC ==,请补全图形,并求ABP ∆与BPC ∆的面积的比值;
(2)如图2,分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角
形ACE ,CD 与BE 相交于点O ,判断AOD ∠与AOE ∠的数量关系,并证明; (3)在四边形ABCD 中,已知BC DC =,且AB AD ≠,对角线AC 平分BAD ∠,
请直接写出B ∠和D ∠的数量关系.
O
A
B
C
图1
图2
P
C
M E
B
A
D
12.如图1,四边形ABCD ,将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转,若角的一条边与DC 的延长线交于点F ,角的另一条边与CB 的延长线交于点E ,连接EF .
(1)若四边形ABCD 为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF -BE .请你思考如何证明这个结论(只思考,不必写出证明过程);
(2)如图2,如果在四边形ABCD 中,AB=AD ,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAF=
21
∠BAD 时,EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式(只需写出结论); (3)如图3,如果四边形ABCD 中,AB=AD ,∠ABC 与∠ADC 互补,当∠EAF=
2
1
∠BAD 时,EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式并给予证明. (4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF 的周长(直接写出结果即可).
C
D 13. (1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,
EG⊥AC于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG;
图1
D
(2) 若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点
G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的
猜想;
(3) 如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC, 连结CL,点E是CL
上任一点, EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量
关系,直接写出你的猜想;
(4) 观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、
EG、CH这样的线段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.。

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