《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2
教学设计5：3.1.5空间向量运算的坐标表示
3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1.知识与技能掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示．2．过程与方法通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．3．情感、态度与价值观通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．教学重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算．教学难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算．空间向量线性运算的坐标表示问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa?【答案】a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？【答案】a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.空间向量线性运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)b≠0，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何用坐标表示a·b?【答案】a·b＝a1b1＋a2b2.2．用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？ 【答案】 求向量的模、夹角等． 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝_a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； (3)a ≠0，b ≠0，cos a ，b ＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 ； (4)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.例题解析例1 如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中，11B E = 11114A B D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则13(1,1,0),(1,,1),4B E 11(0,0,0),(0, 1).4D F ，131(1,,1)(1,1,0)(0,,1),44BE =-=-111(0, 1)(0,0,0)(0, 1).44DF =-=，，11111500()11,4416BE DF =⨯+-⨯+⨯=111717||,||.44BE DF == 1111111515cos ,.17||||1744所以BE DF BE DF BE DF <>===⋅ 例2 如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 分别是BB 1，D 1B 1的中点， 求证EF ⊥DA 1.证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ，DC ， 1DD 为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,1,)2E ，11(,,1)22F 所以111(,,)222EF =--.又1(1,0,1)A ，(0,0,0)D ， 所以1(1,0,1)DA = 所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=， 因此1EF DA ⊥，即1EF DA ⊥. 课堂检测一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2)C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132【解析】 AB 的中点M (2，32，3)，∴CM →＝(2，12，3)，故|CM |＝|CM →|＝22＋122＋32＝532. 【答案】 C3．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( ) A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A4．点A (n ，n －1,2n )，B (1，－n ，n )，则|AB →|的最小值是( ) A.12B.22C ．2D ．不存在【解析】 ∵AB →＝(1－n,1－2n ，－n )， ∴|AB →|2＝(1－n )2＋(1－2n )2＋n 2＝6(n －12)2＋12，当n ＝12时，|AB →|的最小值为22.【答案】 B5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 【答案】 A 二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________． 【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2， AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴AB →，AC →＝60°. 【答案】 60°7．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(b,2μ－1,2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，a ＝t b .于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6t ，0＝t 2μ－1，2λ＝2t .解之可得⎩⎨⎧λ＝t ＝15，μ＝12.故λ＋μ＝15＋12＝710.【答案】7108．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0|a |＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313y ＝413z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313y ＝－413z ＝－1213.【答案】 (313，413，1213)或(－313，－413，－1213)三、解答题9．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，求cos 〈b ，c 〉． 解 (3a －2b )·c ＝3a ·c －2b ·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 又a ·c ＝2，∴b ·c ＝－3，由c ＝(－2,1,2)知|c |＝3.∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－34×3＝－14. 10．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为(－65，－145，25)．图3－1－3211．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1用向量法解： (1)求A 1B 和B 1C 的夹角； (2)证明：A 1B ⊥AC 1； (3)求AC 1的长度．解 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz . 设棱长为1，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)， ∴A 1B →＝(0,1，－1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， ∴A 1B →·B 1C →＝(0,1，－1)·(－1,0，－1) ＝0＋0＋1＝1.|A 1B →|＝0＋1＋1＝2，|B 1C →|＝1＋0＋1＝ 2.∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →|·|B 1C →|＝12.∵〈A 1B →，B 1C →〉∈[0°，180°]， ∴A 1B 与B 1C 夹角为60°.(2)由(1)知A 1B →＝(0,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)， ∴A 1B →·AC 1→＝0＋1－1＝0， ∴A 1B ⊥AC 1.(3)∵AC 1→＝(－1,1,1)， ∴|AC 1→|＝1＋1＋1＝ 3. 即AC 1的长度为 3. 课堂小结1．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算． 2．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．3．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．。
3.1.5空间向量运算的坐标表示(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.5空间向量运算的坐标表示一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．2、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．3、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
三、教学重点：夹角公式、距离公式．四、教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择： 六、教学方法： 七、教学过程1、自主导学：2、合作探究 (一)、复习引入1). 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可）2). 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） (二)、新课讲授1) 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模. ｜a，｜b向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2) 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞ ∴1122a b a b++cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3) 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)Bx y z ，则A B d =、A B d 、表示A 与B 两点间的距离． 4) 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 例题讲解:课本96页：例5、例63、巩固训练：课本97页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结： （1）向量的模（2）两个向量的夹角公式（3）空间两点间的距离公式八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 10 九、板书设计：。
3.1.5空间向量运算的坐标表示(二)
B ( x 2 , y 2 , z 2 )，则
AB
( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) | AB | ABAB 2 1 2 1 2 1
3.1.5空间向量运算的 坐标表示（二）
一．复习回顾
1．空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1， 这个基底叫单位正交基底 用{i , j , k }表示
O 和一个单位 (2)在空间选定一点 正交基底 {i,j , k } ，以点O 为原点，分 别以 i , j , k 的方向为正方向建立三 y 轴、 z 轴 ，它们 条数轴：x 轴、 都叫坐标轴．我们称建立了一个空间 O xyz ,点 O 叫原点， 直角坐标系 向量 i , j , k 都叫坐标向量．通过每 两个坐标轴的平面叫坐标平面， 分别称为 xOy 平面，yOz 平面， zOx 平面；
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a与 （2）当 cos a , b 1 时，
思考：当 0 cos a , b 1
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
z
x
y
新课
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 a b (a 1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 ) ; a b (a 1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 ) ;
一、向量的直角坐标运算
教学设计2:3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一．创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的 坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，0,0(=k二．新课讲授1、空间直角坐标系：（让学生了解即可，重点知道坐标表示）（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，332211b a b a b a b a ++=⋅112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈；00332211=++⇔=⋅⇔⊥b a b a b a b a b a 212||a a a a a a =⋅=++21cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （2）在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案 新人教A版选修2-1
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空间向量运算的坐标表示教学目标知识与能力掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．过程与方法1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。
2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。
情感态度价值观激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。
教学重、难点重点：夹角公式、距离公式．难点:夹角公式、距离公式的应用．教学方法启发式教学,归纳课时安排1课时新课讲解1、向量的模：设a＝123(,,)a a a，b＝123(,,)b b b,求这两个向量的模。
｜a|＝222123a a a++，｜b|＝222123b b b++．这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2. 夹角公式推导：∵a·b＝｜a|｜b|cos＜a,b＞∴112233a b a b a b++＝222123a a a++·222123b b b++·cos＜a,b＞由此可以得出：cos＜a,b＞＝112233222222123123a b a b a ba a ab b b++++++这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系:当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b 反向；当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．3。
人教课标版高中数学选修2-1《空间向量运算的坐标表示》教案-新版
3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、教学目标 （一）核心素养本节课是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，通过本节课的学习，让学生经历向量坐标运算由平面向空间推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展，提高学生的空间想象能力、探索能力及科学思维素养，使学生能在空间几何体中借助图形进行空间向量的运算，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定知识和方法基础． （二）学习目标1．掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．3．掌握向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题． （三）学习重点1．空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．两个向量共线或垂直的判断．3．向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式． （四）学习难点1．向量运算到坐标运算的转化．2．应用空间向量坐标运算解决立体几何问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第95页至第96页，填空：我们知道，向量在平面上可用有序实数对),(y x 表示，在空间中则可用有序实数组),,(z y x 表示．类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a =，),,(321b b b =， 则=+),,(332211b a b a b a +++，=-),,(332211b a b a b a ---，=λ),,(321a a a λλλ，=⋅332211b a b a b a ++．（2）写一写：类似于平面向量的坐标表示，我们还可以得到：λ=⇔//⇔332211,,b a b a b a λλλ===)(R ∈λ；⋅⇔⊥0332211=++b a b a b a=||=；||||,cos b a >=<=．在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离==||d AB ．2．预习自测（1）已知向量)0,2,1(-=，)2,1,3(-=，)1,3,0(-=，则向量c b a m -+=的坐标为（ ） A ．)3,6,4(-B ．)1,0,4(C ．)1,4,2(---D ．)1,4,2(【知识点】空间向量加减运算的坐标表示． 【解题过程】-+=)0,2,1(-=)2,1,3(-+)1,3,0(--)120),3(12,031(-+-----+=)1,0,4(=． 【思路点拨】熟练掌握空间向量加减运算的坐标表示． 【答案】B ．（2）已知向量)3,0,1(-=，)2,1,0(-=，则向量23-的坐标为 ． 【知识点】空间向量线性运算的坐标表示． 【解题过程】23-)3,0,1(3-=2(0,1,2)--)2233),1(203,02)1(3(⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯=(325)=-，，． 【思路点拨】熟练掌握空间向量线性运算的坐标表示． 【答案】)5,2,3(-．（3）已知向量)3,1,2(-=a ，),1,2(x b --=，且⊥，则=x （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】空间向量垂直的坐标表示．【解题过程】∵b a ⊥，∴03)1()1()2(2=+-⨯-+-⨯=⋅x ，解得1=x ． 【思路点拨】空间向量的垂直即数量积为0，代入公式计算． 【答案】C ．（4）已知点)2,0,1(-A ，)0,1,4(B ，)1,1,0(-C ，则=∠BAC （ ） A ． 30B ． 45C ． 60D ． 90【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示．【解题过程】)2,1,3(=，)1,1,1(-=，01211)1(3=⨯+⨯+-⨯=⋅， 故，的夹角为 90，即=∠BAC 90．【思路点拨】空间向量的夹角可转化为数量积的计算． 【答案】D ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量加减、数乘、数量积的运算法则； （2）空间向量平行、垂直、长度、夹角公式； （3）空间向量基本定理． 2．问题探究探究一 由平面向量的坐标运算类比空间向量的坐标运算★ ●活动① 类比提炼概念我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）同学们，我们知道，向量在平面上可用有序实数对),(y x 表示，那么，向量在空间中则可用什么来表示呢？（抢答）可用有序实数组),,(z y x 表示．【设计意图】提出类比问题，由学生答出从平面到空间，从有序实数对到有序实数组的过渡，从二维拓展到三维，引出新课概念．●活动② 巩固理解，深入探究类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a =，),,(321b b b =，则这几种运算的坐标表达式是什么呢？（抢答） 加法：+),,(332211b a b a b a +++=， 减法：-),,(332211b a b a b a ---=， 数乘：),,(321a a a λλλλ=， 数量积：⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】通过学生的抢答，使学生深入探究，更深刻地理解各种运算的坐标表示． ●活动③ 深入探究，证明猜想以上结论中，前三个比较容易证明，我们只对向量的数量积运算加以证明．设i ，，为单位正交基底，则123a a i a j a k =++，123b b i b j b k =++，所以123123()()a b a i a j a k b i b j b k ⋅=++⋅++r r r r r r r r ，利用向量数量积的分配率以及1i i j j k k ⋅=⋅=⋅=，0i j j k k i ⋅=⋅=⋅=， 即可得出a b ⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】引导学生进行探究，证明形式最复杂的数量积的坐标表示，让学生的理解更加深刻．探究二 探究空间向量性质的坐标运算★▲ ●活动① 类比探究，研究性质同学们，类似于平面向量的的性质坐标表示，我们可以得到哪些空间向量的性质？（抢答）平行、垂直、长度、夹角、距离．【设计意图】通过复习平面向量的性质，引出空间向量的性质，并转化为坐标表示，体现重点，突破难点．●活动② 巩固理解，深入探究那刚才我们得到的空间向量的性质应该怎么用坐标来表示呢？（抢答）平行：112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈r r r r；垂直：11223300a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=r r r r；长度：||a ==r夹角：cos ,||||a ba b a b ⋅<>==r rr r r r ．距离：在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解各性质的同时，将它们的坐标表示由二维拓展到三维，从而加以应用．探究三 探究空间向量坐标运算的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，空间向量的坐标表示由二维拓展到了三维．在空间中的加法、减法、数乘、数量积等运算和平行、垂直、长度、夹角、距离等关系中，我们可以利用数量的运算关系，解决立体几何中的平行、垂直和长度、角度等问题．【设计意图】归纳知识点和定理，让学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量(2,1,3)a x =r ，(1,2,9)b y =-r，若与为共线向量，则（ ） A ．1=x ，1=yB ．21=x ，21-=y C ．61=x ，23-=y D ．61-=x ，23=y【知识点】空间向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵(2,1,3)a x =r ，(1,2,9)b y =-r 共线，∴932112=-=y x ，解得61=x ，23-=y ．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例． 【答案】C ．同类训练 已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设=，=，若向量k +与k 2-垂直，则k 的值为 ． 【知识点】空间向量的坐标运算，垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题知，=)0,1,1(=，=)2,0,1(-=，则k +)2,,1(k k -=，k 2-)4,,2(-+=k k ，由⋅-)2,,1(k k )4,,2(-+k k 08)2)(1(2=-++-=k k k ，得01022=-+k k ，解得25-=k 或2=k ．【思路点拨】将向量垂直转化为数量的对应相乘．【答案】25-=k 或2=k ．【设计意图】利用平行和垂直的转化，使学生对空间向量的坐标运算更加熟悉． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间中三点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB 的中点M 到C 点的距离是（ ） A ．453B ．253 C ．253 D ．213 【知识点】空间向量的坐标运算，空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵AB 的中点为)3,23,2(M ，∴||MC ==uuu r ．【思路点拨】先求出中点坐标，再利用距离公式． 【答案】C ．同类训练 设向量)2,,1(λ=，)2,1,2(-=，，夹角的余弦值为98，则=λ ．【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵||||,cos b a b a >=<985362=+-=λλ，∴2-=λ或552=λ． 【思路点拨】利用向量的夹角公式进行计算．【答案】2-=λ或552=λ． 【设计意图】利用长度和夹角的公式的运算，使学生熟练掌握空间向量的坐标运算． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是1BB ，11B D 的中点，求证：1DA EF ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为1，分别以，，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)21,1,1(E ，)1,21,21(F ，所以)21,21,21(--=，又)1,0,1(1A ，)0,0,0(D ，所以)1,0,1(1=DA ，所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=uu u r uuu r ，因此1DA ⊥，即1DA EF ⊥．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将和1DA 用坐标表示出来，利用空间向量垂直的坐标表示得到数量积等于0． 【答案】见解题过程．同类训练 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是11B A ，11D C 上的点，且113EB E A =，113FD F C =，求BE 和DF 所成角的余弦值．【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决异面直线所成角问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为4，分别以，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,4,4(B ，)4,3,4(E ，)0,0,0(D ，)4,1,0(F ，所以)4,1,0(-=BE ，)4,1,0(=DF ，17||=，17||=，⋅)4,1,0()4,1,0(⋅-=15=，所以||||,cos DF BE >=<1715171715=⨯=．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将和用坐标表示出来，利用空间向量夹角公式的坐标表示得到夹角的余弦值． 【答案】见解题过程．【设计意图】在空间直角坐标系中，用向量的坐标解决平行、垂直、长度、角度等问题是立体几何的基本思想方法，需要深刻理解，熟练掌握． 3. 课堂总结 知识梳理（1）设),,(321a a a =，),,(321b b b =，则①+),,(332211b a b a b a +++=，②b a -),,(332211b a b a b a ---=，③),,(321a a a a λλλλ=，④b a ⋅332211b a b a b a ++=．（2）设),,(321a a a =),,(321b b b =，则①λ=⇔//332211,,b a b a b a λλλ===⇔)(R ∈λ；②0=⋅⇔⊥0332211=++⇔b a b a b a ；③=||232221a a a ++=；④||||,cos b a >=<232221232221332211bb b aa ab a b a b a ++++++=．（3）在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==． 重难点归纳（1）熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算以及平行、垂直、长度、角度、距离的坐标表示．（2）合理选取单位正交基底建立空间直角坐标系是立体几何证明与运算的基础． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知)1,2,3(-A ，)3,5,4(-B ，则与向量平行的一个向量的坐标为（ ）A ．)1,1,31( B ．)1,1,31(--C ．)1,23,21(-D ．)1,23,21(-【知识点】空间向量平行的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】)2,3,1(-=)1,23,21(2-=．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例．【答案】C ．2．已知向量)2,5,1(-=，)2,2,(+=m m ，若b a ⊥，则m 的值为（ ） A ．6-B ．2C ．6D ．8【知识点】空间向量垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意，有=⋅b a ⋅-)2,5,1()2,2,(+m m 0)2(210=+-+=m m ，解得6=m ． 【思路点拨】利用空间向量垂直的坐标表示列式．【答案】C ．3．已知点)2,1,(x A ，)4,3,2(B ，且62||=，则实数x 的值是（ ） A ．3-或4 B ．6-或2 C ．3或4- D ．6或2-【知识点】空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵62)42()31()2(||222=-+-+-=x ，解得6=x 或2-=x ． 【思路点拨】熟练掌握空间两点的距离公式． 【答案】D ．4．已知向量)3,2,1(=，),2,(2y y x x -+=，并且，同向，则x ，y 的值分别为 ． 【知识点】向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意知//，∴32212yy x x =-+=，即⎩⎨⎧=-+=x y x x y 2232，解得⎩⎨⎧-=-=62y x ，或⎩⎨⎧==31y x ．当⎩⎨⎧-=-=62y x 时，2)6,4,2(-=---=，向量，反向，故舍去．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例，解出答案后还需验证．【答案】1=x ，3=y ．5．已知向量)1,3,2(--=a ，)4,0,2(=b ，)2,6,4(--=c ，下列结论正确的是（ ） A ．//，//B ．//，⊥C ．⊥，//D ．⊥，⊥【知识点】空间向量平行及垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⋅0410)3(2)2(=⨯+⨯-+⨯-=，∴⊥；∵216342=--=--，∴//． 【思路点拨】利用空间向量平行及垂直的坐标表示，将几何关系转化为坐标关系． 【答案】C ．6．已知)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，则ABC ∠= ． 【知识点】空间向量夹角的坐标公式． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，∴101220=+-=⋅，52420||222=++=AB ，103)1(0||222=+-+=， ∴><,cos ||||BC AB BC AB =105210⨯=22=，∴4,π>=<， ∴43,π>=<，即43π=∠ABC ．【思路点拨】利用向量夹角的坐标公式进行计算，需特别注意所求角和向量夹角的关系．【答案】43π． 能力型 师生共研7．已知)sin ,1,(cos αα=，)cos ,1,(sin αα=，则向量+与-的夹角的大小为 ． 【知识点】空间向量数量积的坐标运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵+)cos sin ,2,sin (cos αααα++=，-)cos sin ,0,sin (cos αααα--=，∴⋅+)()(-)cos )(sin cos (sin 02)sin )(cos sin (cos αααααααα-++⨯+-+= αααα2222cos sin 0sin cos -++-=0=，∴向量+与-的夹角的大小为 90．【思路点拨】将夹角问题转化为用坐标求数量积． 【答案】 90．8．已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设=，=．（1）若3||=，且//，求；（2）求与夹角的余弦值；（3）若)3//()(b a b a k -+，求k 的值．【知识点】空间向量坐标表示的综合应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）∵//，∴m =)2,,2()2,1,2(m m m m --=--=， 则3||3)2()()2(||222==+-+-=m m m m ，∴1±=m ，即)2,1,2(--=c 或)2,1,2(-=c ；（2）∵)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，∴⋅)2,0,1()0,1,1(-⋅=b 1-=，又2||=a ，5||=b ， ∴||||,cos b a b a >=<521⨯-=1010-=； （3）∵)2,,1(k k k -=+，)6,1,4(3-=-，)3//()(k -+， ∴62141-==-k k ，∴31-=k ．【思路点拨】牢记空间向量各种运算和性质的坐标表示，再进行坐标的运算． 【答案】（1）)2,1,2(--或)2,1,2(-（2）1010-（3）31-． 探究型 多维突破9．已知空间中三点)3,2,0(A ，)6,1,2(-B ，)5,1,1(-C ．（1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若3||=，且a 分别与，AC 垂直，求向量a 的坐标．【知识点】空间向量的运算，垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）由题中条件可知，)3,1,2(--=，)2,3,1(-=， ∴><AC AB ,cos ||||AC AB =21=，则><AC AB ,sin 23=， 则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积||||S AB AC =><AC AB ,sin 37=；（2）设),,(z y x a =，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=++023*******z y x z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=111z y x ，则)1,1,1(=或)1,1,1(---=．【思路点拨】采用合理的向量公式，再转化成坐标进行运算． 【答案】（1）37；（2）)1,1,1(或)1,1,1(---．10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：CD EF ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ，使⊥GF 平面PCB ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明及计算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】不妨设正方形ABCD 的边长为2，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，)1,1,1(F ，)2,0,0(P ，（1）)1,0,1(-=，），02,0(=．∵⋅0=DC ，∴CD EF ⊥； （2）设点),0,(z x G ，则)1,1,1(---=z x ，由题意，要使⊥GF 平面PCB ，只需⋅)1(2-=x 0=，⋅)1(22-+=z 0=，解得1=x ，0=z ，故)0,0,1(G ，即G 为AD 中点．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将几何性质转化为坐标运算，并由解方程组得到点G 的具体位置．【答案】见解题过程．自助餐1．已知向量)5,0,2(=，)1,1,1(--=，)2,2,1(-=，则=-+32（ ） A ．)3,5,2(- B ．)3,5,2( C ．)3,5,0(- D ．)3,5,2(-【知识点】空间向量线性运算的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=-+32)1,1,1()10,0,4(--+)6,6,3(--=)3,5,2(．【思路点拨】空间向量线性运算就是将坐标独立地进行相应的运算．【答案】B ．2．已知)5,4,3(A ，)1,2,0(B ，)0,0,0(O ，若=C 的坐标是（ ） A ．)58,54,56(--- B ．)58,54,56(-- C ．)58,54,56(-- D ．)58,54,56( 【知识点】空间向量的坐标运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】)4,2,3(---=，则===---)4,2,3(52)58,54,56(---．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算法则． 【答案】A ．3．已知向量)1,0,1(=，)1,1,2(--=，)0,1,3(=，则|2|+-等于（ ）A ．103B ．102C ．10D ．5【知识点】空间向量的坐标运算，长度公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2+-)0,3,9(=，∴|2|+-103039222=++=【思路点拨】利用空间向量线性运算的坐标公式得到所求向量的坐标，再计算长度． 【答案】A ．4．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点， 1CC CA BC ==，则BM 和AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101B ．52C ．22D ．1030 【知识点】空间向量夹角的坐标公式求异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以1C 为原点，11A C ，11B C ，C 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz C -1，不妨设2=CA ，则)2,0,2(A ，)0,0,1(N ，)2,2,0(B ，)0,1,1(M ．∴)2,1,1(--=BM ，)2,0,1(--=，3401=++-=⋅，6211||222=++=，5201||222=++=，><AN BM ,cos ||||AN BM =563⨯=1030=，即BM 和AN 所成角的余弦值为1030．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为向量夹角的坐标公式进行计算． 【答案】D ．5．已知向量)1,sin ,(cos θθ=a ，)2,1,3(-=b ，则|2|b a -的最大值为 ．【知识点】空间向量的线性运算及长度公式的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵=-2)0,1sin 2,3cos 2(+-θθ， ∴|2|-22)1sin 2()3cos 2(++-=θθθθcos 34sin 48-+=)3sin(88πθ-+=488=+≤，即|2|b a -的最大值为4．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算，再使用辅助角公式求出最值．【答案】4．6．在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F ，G ，H 分别是1CC ，BC ，CD ，11C A 的中点．证明：（1）GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）⊥G A 1平面EFD ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】以A 为原点，，，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，设正方体棱长为1.则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ，)1,0,0(1A ，)1,0,1(1B ，)1,1,1(1C ，)1,1,0(1D ，∴)21,1,1(E ，)0,21,1(F ，)0,1,21(G ，)1,21,21(H ． （1）)1,0,1(1=AB ，)21,0,21(=，)21,21,21(--=， ∵GE AB 21=，01=⋅EH AB ，∴GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）∵)1,1,21(1-=A ，)0,21,1(-=，)21,0,1(=，∴⋅G A 10=，⋅G A 10=， 即⊥G A 1DF ，⊥G A 1DE ，又DF DE D =，则⊥G A 1平面EFD ．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将向量关系转化为坐标的运算．【答案】见解题过程．。
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2 【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。
现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试： （基础题）1．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=-r r //,a b λμr r若则与的值分别为（ ）A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-2（中等题）3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(，)3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》导学案2【学习目标】1.用空间向量坐标表示空间点、向量；2.用空间向量坐标表示向量的运算；【探索新知】1. 设()()123123,,,,,a a a a b b b b ==r u u r ，则()1.a b ±=r u u r ； ()2.a λ=r ；()3.a b •=r u u r ； ()4.//a b =r u u r ；()5.a b ⊥⇔r u u r ．（6）模长公式：若123(,,)a a a a =r ，则||a ==r（7）夹角公式：cos ||||a b a b a b ⋅⋅==⋅r r r r r r ．2.两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则AB ＝ ；= ；AB 的中点M 的坐标为 ．【基础自测】1．已知},,{k j i 为单位正交基，且k j i b k j i 2323--=++-=，则向量a r =_________；向量b r =_______；向量-2a r =____________；向量a b •r r =_____________；向量+=_____________；向量b a 2-=_____________；()()2a b a b •+-r r r r =____________________________． 2．(1)已知A (1，－2，－3)，B (－1，－1，－1)，则AB =_____________；(2)已知()=1,3,1AB u u u r ，点A (1，3，1)，则B ( ， ， )；3．已知向量a (0，2， 1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4．设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，若b a //，则m ，n 的值分别为( )A ．43，8B ．43-，8C ．43-，8D ．43，－8 5．a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，若⊥，则x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±6【合作学习】例1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长； (2)求><11,cos CB BA 的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M ．【检测反馈】1.已知(1,0,1),(0,1,1)a b =-=-r r ，求=a r ；=b r ；=a b ⋅r r ；cos a b =r r , ；a b =r r , ；=a b +r r ；-8=a b r r ；2.已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ，且a b ⊥r r ，则x ＝ .3．设向量),12,3(),2,6,4(),2,3,1(t -=-=-=，若b n a m c +=，则t ＝______．4．已知A (4，1，3)、B (2，－5，1)，C 为线段AB 上一点，满足AB AC 31=，则点C 的坐标为______．5．若a r ＝123(,,)a a a ，b r ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b r r 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件6．已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+u u u r u u u r 与OB u u u r 的夹角为120°，则λ的值为（ ） A. 6 B. 6 C. 6 D. 6±7．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，边长为2，点,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，G 、H 分别是11B D 、1BB 的中点，,求 (1)求GE 的长；（2）求cos ,BE DF <>u u u r u u u r 的值 ；(3)求证：1A D GH ⊥．。
高中数学优质课一等奖--《空间向量运算的坐标表示》教案
《3.1.5空间向量运算的坐标表示》教案教学目标：1.通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.2通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法.3.会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力.教材分析: 这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。
教学重点：1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示2、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式 教学难点：引入空间直角坐标系后，应用空间向量解决简单的立体几何问题 教学方法：启发探究、讲练结合 教学过程：（一）、情境引入1.一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力为1F 、2F 、3F ，它们两两垂直，且N F 30001=、N F 20002=、N F 320003=.若以1F 、2F 、3F 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示。
2.复习回顾平面向量的坐标运算：设12121122(,),(,),(,),(,)a a a b b b A x y B x y ==，则 (1)1122(,)a b a b a b +=++ 1122(,)a b a b a b -=--12(,)()a a a R λλλλ=∈ 1122a b a b a b ⋅=+(2)//(0)a b b a b λ≠⇔=即1122,a b a b λλ==a b ⊥⇔ 0a b ⋅=⇔11220a b a b +=(3) 21||a a a =+2121(,)AB OB OA x x y y =-=--21||()AB d AB x x ==-21cos ,||||a a ba b a b a ⋅==+（注意：,[0,]a b π∈） 思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？ （二）、讲授新课： 我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对(x ，y)表示，在空间则可用有序实数组{},,x y z 表示。
3.1.5空间向量运算的坐标表示课件人教新课标2
2
1 2
0
D1F AE 又 AD AE A
D1F 平面ADE
1、重点： (1)熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律；
(2)空间向量中的公式的情势与平面向量中相 关内容一致，因此可类比记忆.
2、难点：
确定空间几何体中顶点和向量的坐标.
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.夹角公式 cos a,b a b a1b1 a2b2
| a | | b | a12 a22 b12 b22
a b a,b 900 cos a,b 0 a b 0 a1b1 a2b2 0
例1、已知a (2, 3, 5), b (3,1, 4) 求a b, a b,| a |,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) | a | 22 (3)2 52 38
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值.
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
DF1
0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
BE1
•
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
D
O
A
x
17
17
| BE1 | 4 , | DF1 | 4 .
Cy
15
B
cos
BE1
,
DF1
高中数学选修2-1精品教案1：3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学设计
3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学目标：掌握空间向量运算的坐标表示教学重点：空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示.教学难点：如何建立适当的坐标系及空间向量的坐标的确定和运算. 教学过程： 一.复习引入(1)空间向量基本定理及空间向量的坐标表示; (2)平面向量的坐标运算. 二.思考分析一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力为F 1，F 2，F 3，它们两两垂直，且|F 1|＝3 000 N ，|F 2|＝2 000 N ，|F 3|＝2 000 3 N. 问题1：若以F 1，F 2，F 3的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F ＝(3 000,2 000,2 0003)． 问题2：巨石受到的合力有多大？ 提示：|F |＝5 000 N. 三.抽象概括1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R)；(4)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3. 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； (3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23； (4)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)．(1) AB uu u r＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB uu u r|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.1．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．2．长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关． 四.例题分析及练习[例1] 已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB uu u r，q ＝CD uuu r .求：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )； (4)cos 〈p ，q 〉．[思路点拨] 先由点的坐标计算得到向量p ，q 的坐标，然后进行各种运算．[精解详析] 因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB uu u r＝(2,1,3)，q ＝CD uuu r＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26； (4)cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p ||q |＝2，1，3·2，0，－622＋12＋32·22＋02＋－62＝－1414·210＝－3510.[感悟体会](1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用． 训练题组11．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求： (1)a ·(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a ·(b ＋c )＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21；(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8，17)．2．已知O 为坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1) OP uuu r ＝12(AB uu u r －AC uuu r )；(2) AP uu u r ＝12(AB uu u r －AC uuu r )．解：AB uu u r＝(2,6，－3)，AC uuu r ＝(－4,3,1)．(1) OP uuu r ＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设P 为(x ，y ，z )，则AP uu u r＝(x －2，y ＋1，z －2)．∵12(AB uu u r －AC uuu r )＝AP uu u r ＝(3，32，－2)， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 坐标为(5，12，0).[例2] 设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，求k .[思路点拨] 先求ka ＋b ，a －3b 的坐标，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解；也可由两向量平行或垂直的充要条件进行整体运算，再代入坐标求解． [精解详析] 法一：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)． a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)因为(ka ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)因为(ka ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.法二：(1)因为(ka ＋b )∥(a －3b )，所以(ka ＋b )＝λ(a －3b )，即ka ＋b ＝λa －3λb .因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，解得k ＝－13.(2)因为(ka ＋b )⊥(a －3b )，所以(ka ＋b )·(a －3b )＝0，即k |a |2－(3k －1)a ·b －3|b |2＝0.而|a |2＝27，|b |2＝38，a ·b ＝8，所以27k －8(3k －1)－114＝0，解得k ＝1063.[感悟体会](1)要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．(2)在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件．在条件不明确时，要分类讨论． 训练题组23．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为( )A.15，12 B ．5,2C ．－25，－12D ．－5，－2解析：∵a ∥b ，∴a ＝kb ，即λ＋1＝6k,0＝k (2μ－1)，2λ＝2k .解得λ＝15，k ＝15，μ＝12.答案：A4．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB uu u r，b ＝AC uuu r .若向量ka ＋b与ka －2b 互相垂直，求k 的值． 解：a ＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b ＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)．∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量的坐标，再利用向量方法进行求解．[精解详析] 如图，以CA u u r ，CB u u u r ，1CC u u u r为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN uuu r |＝1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴1BA u u u r ＝(1，－1,2)，1CB u u u r＝(0,1,2)，∴1BA u u u r ·1CB u u u r ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA u u u r |＝6，|1CB u u u r |＝5，∴cos 〈1BA u u u r ，1CB u u u r 〉＝1BA u u u r ·1CB u u u r|1BA u u ur ||1CB u u u r |＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. [感悟体会] 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单． 训练题组35．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB ―→|的取值范围是( ) A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]解析：AB uu u r＝(2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0)， ∴|AB uu u r|2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＝4＋9－12(cos θcos α＋sin θsin α)＝13－12cos(θ－α)．∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴1≤|AB ―→|2≤25.∴1≤|AB ―→|≤5. 答案：B6．已知a ＝(5,3,1)，b ＝(－2，t ，－25)，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×(－25)＝3t －525.∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即3t －525<0，∴t <5215.若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ(－2，t ，－25)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ·－2，3＝λt ，1＝λ·－25，∴t ＝－65，故t 的范围是(－∞，－65)∪(－65，5215)．五.课堂小结与归纳1．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况． 2．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：3．若〈AB uu u r ，CD uuur 〉＝α，两条异面直线AB ，CD 所成角为θ，则cos θ＝|cos α|.六.当堂训练1．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p·q ＝( ) A ．－1 B ．1C ．0D ．－2解析：∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p·q ＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1. 答案：A2．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB uu u r＝(3,4，－8)，AC uuu r ＝(5,1，－7)，BC uuu r ＝(2，－3,1)，∴|AB uu u r|＝32＋42＋82＝89，|AC uuu r |＝52＋12＋72＝75，|BC uuu r |＝22＋32＋1＝14，∴|AC uuu r |2＋|BC uuu r|2＝75＋14＝89＝|AB ―→|2.∴△ABC 为直角三角形．答案：C3．已知a ＝(2,0,3)，b ＝(4，－2,1)，c ＝(－2，x,2)，若(a －b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．2D ．－2解析：∵a －b ＝(－2,2,2)，又(a －b )⊥c ， (a －b )·c ＝0，即4＋2x ＋4＝0，∴x ＝－4. 答案：B4．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA u u u r ＋λOB uuu r 与OB uuu r 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：∵OA u u u r ＝(1,0,0)，OB uuu r＝(0，－1,1)， ∴OA u u u r ＋OB uuu r＝(1，－λ，λ)，∴(OA u u u r ＋λOB uuu r )OB uuu r＝λ＋λ＝2λ， |OA u u u r ＋λOB uuu r|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2， |OB uuu r|＝ 2.∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16. 又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66.答案：C5．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：36．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，则cos 〈b ，c 〉＝________. 解析：(3a －2b )·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 即3a ·c －2b ·c ＝12.由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3.又∵|c |＝3，|b |＝4，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－14.答案：－147．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求： (1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4.这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值cos θ＝5－12＋338·38＝－219.8．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为坐标原点)．当QA uu u r ·QB uuu r取最小值时，求点Q 的坐标．解：OP uuu r ＝(1,1,2)，因为点Q 在直线OP 上，所以OQ uuu r 与OP uuur 共线，故可设OQ uuu r＝λOP uuu r ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，则Q (λ，λ，2λ)，所以QA uu u r＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB uuu r＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA uu u r ·QB uuu r ＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23.所以当λ＝43时，QA uu u r ·QB uuu r 取最小值．此时Q 点坐标为(43，43，83)．。
2013新人教A版(选修2-1)3.1.5《空间向量运算的坐标表示》word教案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：秦雪峰 审稿人：张林3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程：（一）复习上一节内容（二）新课讲解：设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。
(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模长公式：若123(,,)a a a a =， 则2||a a a a =⋅=+． 2||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+两点间的距离公式：若11(,,)A x y z ，22(,,B x y z 2||(A B A Bx x ==),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则＝ ，= ．AB 的中点M 的坐标为 ．例题分析： 例1、（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A. ：||=：||B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各组向量共面的是（ ）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
高中数学第三章3.1.5空间向量运算的坐标表示学案含解析新人教A版选修206.doc
3．1.5 空间向量运算的坐标表示[提出问题]一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力分别为F 1，F 2，F 3，它们两两垂直，且|F 1|＝3 000 N ，|F 2|＝2 000 N ，|F 3|＝2 000 3 N.问题1：若以F 1，F 2，F 3的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F ＝(3 000,2 000,2 0003)． 问题2：巨石受到的合力有多大？ 提示：|F |＝5 000 N. [导入新知]1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R)；(4)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3. 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3； (2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23； (4)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)． (1)AB ―→＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB ―→|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.[化解疑难]1．空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广，包括运算法则，仅是在平面向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算．2．空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样，但实质一样，即对应坐标成比例． 3．空间中两向量垂直的充要条件形式上与平面内两向量垂直类似，仅多了一个基向量．[例1] 已知，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)OP ―→＝12(AB ―→－AC ―→)；(2)AP ―→＝12(AB ―→－AC ―→)．[解] AB ―→＝(2,6，－3)，AC ―→＝(－4,3,1)， ∴AB ―→－AC ―→＝(6,3，－4)．(1)OP ―→＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2.(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )， 则AP ―→＝(x －2，y ＋1，z －2)， ∵12(AB ―→－AC ―→)＝AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. [类题通法](1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．[活学活用]已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB ―→，q ＝CD ―→.求：(1)p ＋2q ； (2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )．解：因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB ―→＝(2,1,3)，q ＝CD ―→＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.[例2] 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC ―→. (1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c ； (2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k . [解] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)，且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )， ∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0，即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[类题通法]解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a ＝(x ，y ，z )． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a ∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． [活学活用]已知向量a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影． 解：(1)∵a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)， ∴b ＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a.∴a∥b .(2)∵a ∥c ，∴21＝x 2＝－4－2，解得x ＝4，∴c ＝(2,4，－4)， 从而|c |＝22＋42＋－2＝6.(3)∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0.∴(－2，－4,4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0， 解得x ＝－5.∴c ＝(2，－5，－4)． ∴c 在a 方向上的投影为|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c|a ||c |＝，2，－，－5，－12＋22＋－2＝2－10＋83＝0.[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．[解] 如图，以CA ―→，CB ―→，CC 1―→为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN ―→|＝－2＋－2＋－2＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1―→＝(1，－1,2)，CB 1―→＝(0,1,2)， ∴BA 1―→·CB 1―→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又∵|BA 1―→|＝6，|CB 1―→|＝5，∴cos 〈BA 1―→，CB 1―→〉＝BA 1―→·CB 1―→|BA 1―→||CB 1―→|＝3010.故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. [类题通法]在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．[活学活用]在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，点G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F 12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.EF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C ―→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF ―→·B 1C ―→＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0，∴EF ―→⊥B 1C ―→，即EF ⊥B 1C .(2)∵C 1G ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1， ∴|C 1G ―→|＝174.又∵EF ―→·C 1G ―→＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，|EF ―→|＝32，∴cos 〈EF ―→，C 1G ―→〉＝EF ―→·C 1G ―→|EF ―→||C 1G ―→|＝5117.即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12， ∴FH ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，∴|FH ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418.5.探究两向量的夹角[典例] 已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25.若a 与b 的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[解] 由已知，得a ·b ＝5×(－2)＋3t －25＝3t －525，∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b ＜0.∴3t －525＜0，即t ＜5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ＜0，使a ＝λb (λ＜0)， 即(5,3,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ－，3＝λ·t ，1＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，∴t ＝－65.故t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－65∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，5215. [多维探究]1．在本例条件下，若a 与b 的夹角为180°，求t 的值． 解：由本例的解法知t ＝－65.2．在本例条件下，若a 与b 的夹角为锐角，求实数t 的取值范围． 解：由已知，得a ·b ＝5×(－2)＋3t －25＝3t －525，因为a 与b 的夹角为锐角， 所以a ·b ＞0， 即3t －525＞0，所以t ＞5215.若a 与b 的夹角为0°，则存在λ＞0，使a ＝λb (λ＞0)， 即(5,3,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25， 所以5＝－2λ，3＝λt,1＝－25λ，进而得t ＝－65(舍去)．故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫5215，＋∞.3．若a ＝(1，t ，－2)，b ＝(－2，t ，－1)，试求a 和b 夹角θ余弦值的范围．解：cos θ＝t2t 2＋5·t 2＋5＝t2t 2＋5，当t ＝0时，cos θ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝11＋5t2＜1，∴0≤cos θ＜1，即夹角θ的余弦值的取值范围是[0,1)． [类题通法]求解时，易误认为a ，b 的夹角是钝角与a ·b ＜0等价，而a ·b ＜0中包含着〈a ，b 〉＝180°的情形，〈a ，b 〉＝180°的情形可利用a ＝λb (λ＜0)，也可利用a ·b ＝－|a |·|b |，即cos 〈a ，b 〉＝－1求得，同样a ·b ＞0也包含着〈a ，b 〉＝0°的情形，解题时应把这种情况剔除．[随堂即时演练]1．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC AB ＝13，则点C 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－3，2C.⎝⎛⎭⎪⎫103，－1，73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32解析：选C 由题意知，2AC ―→＝CB ―→，设C (x ，y ，z )， 则2(x －4，y －1，z －3)＝(2－x ，－5－y,1－z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －8＝2－x ，2y －2＝－5－y ，2z －6＝1－z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B.15 C.35D.75解析：选D 由题意得：(ka ＋b )·(2a －b )＝(k －1，k,2)·(3,2，－2)＝3(k －1)＋2k－4＝0，所以k ＝75.3．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角的大小是________．解析：∵AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)， cos 〈AB ―→，CA ―→〉 ＝－－＋－＋－14×14＝－714＝－12， ∴〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°4．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________． 解析：由a ＝(2,4，x )，得|a |＝22＋42＋x 2＝6，所以x ＝±4.又因为a ⊥b ，所以a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，解得x ＝4，y ＝－3或x ＝－4，y ＝1.所以x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.答案：1或－35．已知向量a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求： (1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4.这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2， 于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)， 因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值 cos θ＝5－12＋338×38＝－219.[课时达标检测]一、选择题1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)B ．a －b ＝(2，－1，－6)C ．a ·b ＝10D ．|a |＝6解析：选D a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，a ·b ＝22，|a |＝6，∴选项A ，B ，C 错误．2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA ―→与BO ―→的夹角是( ) A ．0 B ．π C.32π D ．2π解析：选B ∵OA ―→·OB ―→＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且|OA ―→|＝33，|OB ―→|＝63， ∴cos 〈OA ―→，OB ―→〉＝5433×63＝1.∵〈OA ―→，OB ―→〉∈[0，π]， ∴〈OA ―→，OB ―→〉＝0. ∴〈OA ―→，BO ―→〉＝π.3．若非零向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2是a 与b 同向或反向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 若x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2，则a 与b 同向或反向，反之不成立．4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C AB ―→＝(3,4，－8)，AC ―→＝(5,1，－7)， BC ―→＝(2，－3,1)，∴|AB ―→|＝32＋42＋82＝89， |AC ―→|＝52＋12＋72＝75，|BC ―→|＝22＋32＋1＝14，∴|AC ―→|2＋|BC ―→|2＝75＋14＝89＝|AB ―→|2.∴△ABC 为直角三角形．5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66 D ．± 6解析：选C ∵OA ―→＝(1,0,0)，OB ―→＝(0，－1,1)，∴OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，∴(OA ―→＋λOB ―→)·OB ―→＝λ＋λ＝2λ，|OA ―→＋λOB ―→|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB ―→|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12， ∴λ2＝16. 又∵2λ2·1＋2λ2＜0， ∴λ＝－66. 二、填空题6．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________. 解析：∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.∵λ＞0，∴λ＝3.答案：37．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.解析：因为AB ―→＝(m －1,1，m －2n －3)，AC ―→＝(2，－2，6)，由题意得AB ―→∥AC ―→，则m －12＝1－2＝m －2n －36， 所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.答案：08．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________． 解析：由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)．∴|b －a |＝＋t 2＋t －2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355. 答案：355三、解答题9．空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)，试求：(1)△ABC 的面积；(2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)AB ―→＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，|AB ―→|＝14，|AC ―→|＝217，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝－1414×217＝－7238， sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝2734， S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1214×217× 2734＝321.(2)|AB ―→|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321， ∴h ＝3 6.10.如图，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A 1P ―→＝λA 1B ―→，且PC ⊥AB .求：(1)λ的值；(2)异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0，1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，于是AB ―→＝(3，1,0)，CA 1―→＝(0，－2,2)，A 1B ―→＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP ―→·AB ―→＝0，即(CA 1―→＋A 1P ―→)·AB ―→＝0，也即(CA 1―→＋λA 1B ―→)·AB ―→＝0.故λ＝－CA 1―→·A 1B ―→A 1B ―→·AB ―→＝12. (2)由(1)知CP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AC 1―→＝(0,2,2)， cos 〈CP ―→，AC 1―→〉＝CP ―→·AC 1―→|CP ―→||AC 1―→|＝－3＋22×22＝－28， 所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.。
最新2019高中数学 第三章 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修2-1
3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点，难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则123123a ∥b 一定有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立吗？[提示] 当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立． 3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|[基础自测]1．思考辨析(1)若a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝(－2,4，－2)．( ) (2)若a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0,0,1)，b ＝(1,0,0)则a ⊥b .( )(4)在空间坐标系中，若A (1,2,3)，B (4,5,6)，则AB →＝(－3，－3，－3)．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＝(12，－8,4)，2b ＝(－4,8,0)， ∴4a ＋2b ＝(8,0,4)．]3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( )【导学号：46342154】A ．1B ．15C ．35D ．75D [k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.]4．若点A (0,1,2)，B (1,0,1)，则AB →＝__________，|AB |→＝__________________. (1，－1，－1)3 [AB →＝(1，－1，－1)，|AB →|＝12＋(－1)2＋(－1)2＝ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]b )＝－2，则x ＝________.(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标；①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．[解析] (1)c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·2b ＝－2得2(1－x )＝－2，解得x ＝2.[答案] 2(2)AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2.②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．∵AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0.1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)．求： (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)a ·b ； (4)2a ·(－b )；(5)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a ＝(4，－2，－4)，∴(2a )·(－b )＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路探究] (1)根据c ∥BC →，设c ＝λBC →，则向量c 的坐标可用λ表示，再利用|c |＝3求λ值；(2)把k a ＋b 与k a －2b 用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． [解] (1)∵BC →＝(－2，－1,2)且c ∥BC →， ∴设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0， 解得k ＝2或k ＝－52.2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【导学号：46342155】[解] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k (2m －1)，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2).[1．已知A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点P 的坐标是多少？ 提示：P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 222．设异面直线AB ，CD 所成的角为θ，则cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉一定成立吗？ 提示：当cos 〈AB →，CD →〉≥0时，cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉 当cos 〈AB →，CD →〉<0时，cos θ＝－cos 〈AB →，CD →〉．如图3138所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．图3138(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN . [思路探究] 建系Cxyz →得各点的坐标→数量积运算→夹角、长度公式→几何结论[解] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3， ∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. (3)证明：依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B (0,1,0)，N (1,0,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2， ∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .3．如图3139所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．图3139(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． [解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB ． 同理可证MN ⊥CD ．(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则|3a ＋b |为( ) A ．15 B ．4 C ．5D ．17D [3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.]2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA →与BO →的夹角是( ) A ．0 B ．π C ．32π D ．2πB [OA →＝(3,3,3)，BO →＝(－6，－6，－6)则OA →·BO ＝3×3×(－6)＝－54，|OA →|＝33，|BO →|＝6 3所以cos 〈OA →，BO →〉＝OA →·BO →|OA →||BO →|＝－5433×63＝－1，所以〈OA →，BO →〉＝π.]3．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________. 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa . ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4.]4．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________.【导学号：46342156】65 [a ·b ＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a |＝14，|b |＝14， ∴cos〈a ，b 〉＝－414×14＝－27.∴sin〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－272＝357.因此以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝14×14×357＝6 5.]5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．[解] 如图所示，以DA ，DC ，DD 1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0，1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0.∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． ∴EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)因为C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1. 则|C 1G →|＝174.又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，∴cos〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵H 是C 1G 的中点，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12. 又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， ∴FH ＝|FH →| ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫78－122＋⎝⎛⎭⎫12－02＝418.。
2020最新高中数学 第三章 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修2-1
3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点，难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则123123a ∥b 一定有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立吗？[提示] 当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立． 3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|[基础自测]1．思考辨析(1)若a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝(－2,4，－2)．( ) (2)若a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0,0,1)，b ＝(1,0,0)则a ⊥b .( )(4)在空间坐标系中，若A (1,2,3)，B (4,5,6)，则AB →＝(－3，－3，－3)．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＝(12，－8,4)，2b ＝(－4,8,0)， ∴4a ＋2b ＝(8,0,4)．]3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( )【导学号：46342154】A ．1B ．15C ．35D ．75D [k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.]4．若点A (0,1,2)，B (1,0,1)，则AB →＝__________，|AB |→＝__________________. (1，－1，－1)3 [AB →＝(1，－1，－1)，|AB →|＝12＋(－1)2＋(－1)2＝ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]空间向量的坐标运算b )＝－2，则x ＝________.(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标；①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．[解析] (1)c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·2b ＝－2得2(1－x )＝－2，解得x ＝2.[答案] 2(2)AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2.②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．∵AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0.[规律方法] 1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.[跟踪训练]1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)．求： (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)a ·b ； (4)2a ·(－b )；(5)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a ＝(4，－2，－4)，∴(2a )·(－b )＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路探究] (1)根据c ∥BC →，设c ＝λBC →，则向量c 的坐标可用λ表示，再利用|c |＝3求λ值；(2)把k a ＋b 与k a －2b 用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． [解] (1)∵BC →＝(－2，－1,2)且c ∥BC →， ∴设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0， 解得k ＝2或k ＝－52.2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【导学号：46342155】[解] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k (2m －1)，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2).空间向量夹角与长度的计算[1．已知A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点P 的坐标是多少？ 提示：P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 222．设异面直线AB ，CD 所成的角为θ，则cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉一定成立吗？ 提示：当cos 〈AB →，CD →〉≥0时，cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉 当cos 〈AB →，CD →〉<0时，cos θ＝－cos 〈AB →，CD →〉．如图3138所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．图3138(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN . [思路探究] 建系Cxyz →得各点的坐标→数量积运算→夹角、长度公式→几何结论[解] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3， ∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. (3)证明：依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B (0,1,0)，N (1,0,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2， ∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .[规律方法] 向量夹角的计算步骤(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上．(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标．(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角． 3．如图3139所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．图3139(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． [解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB ． 同理可证MN ⊥CD ．(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则|3a ＋b |为( ) A ．15 B ．4 C ．5D ．17D [3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.]2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA →与BO →的夹角是( ) A ．0 B ．π C ．32π D ．2πB [OA →＝(3,3,3)，BO →＝(－6，－6，－6)则OA →·BO ＝3×3×(－6)＝－54，|OA →|＝33，|BO →|＝6 3所以cos 〈OA →，BO →〉＝OA →·BO →|OA →||BO →|＝－5433×63＝－1，所以〈OA →，BO →〉＝π.]3．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________. 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，xλ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4.]4．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________.【导学号：46342156】65 [a ·b ＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a |＝14，|b |＝14， ∴cos〈a ，b 〉＝－414×14＝－27.∴sin〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－272＝357.因此以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝14×14×357＝6 5.]5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．[解] 如图所示，以DA ，DC ，DD 1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0，1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0.∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． ∴EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)因为C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1. 则|C 1G →|＝174.又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，∴cos〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵H 是C 1G 的中点，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12. 又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， ∴FH ＝|FH →| ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫78－122＋⎝⎛⎭⎫12－02＝418.。
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《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2 【学情分析】：
平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。
现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量
（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：空间向量的坐标运算
【教学难点】：空间向量的坐标运算
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：
101
练习与测试： （基础题）
1．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．180°
2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=- //,a b λμ
若则与的值分别为（ ）
A ．2
1,51 B ．5，2 C ．21
,51-- D ．-5，-2
（中等题）
3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；
（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件
解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)2
3
,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)2
3
,3,2(，
)3,4,2(-=
29)3(4)2(||222=-++-=．
（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，
则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,
所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是
07684=++-z y x ．
点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=共线。
4,已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式1||||sin 2
S AB AC A =⋅⋅
来求面积
解：∵(1,2,2)AB =- ，(2,0,3)AC =--
，
∴||3AB ==
，||AC =
(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=
，
∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>==
⋅
sin sin ,A AB AC =<>= ∴所以
1||||s i n 2
ABC S AB AC A ∆=
⋅⋅=
． 5．已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ== ，则向量a b + 与a b -
的夹角是 （ ）
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．0°
6．已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--= ，则||a b -
的最小值是 （ ）
A
B
C
D ．115
7．已知()()3cos ,3sin ,12cos ,2sin ,1P ααββ==和Q ，则PQ 的取值范围是（ ） A.[]0,5 B.[]0,25 C.[]1,5 D.()1,5。