本科阶段固体物理期末重点计算题完整版

本科阶段固体物理期末
重点计算题
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第一章 晶体结构
1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结
构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。

解：
氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。

氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －组成的正负离子对。

金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。

由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：
相应的晶胞基矢都为：
2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。

试写出13O A A '、1331A A B B 、
2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。

解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1
2-，１。

所以，
其晶面指数为()1121。

(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1
2
-，∞。

所
以，其晶面指数为()1120。

(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。

所以，其晶面指数为()1100。

(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。

所以，其晶面指数为()0001。

3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：
简立方：
6
π
；面心立方：6；六角密集：6；金刚石：16。

证明：由于晶格常数为a ，所以：
(1)．构成简立方时，最大球半径为2
m a
R =
，每个原胞中占有一个原子，
(2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子，
(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子，
(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正
四面体，其高则正好是其原胞基矢c 的长度的一半，由几何知识易知3
m R =c 。

原胞底面边长为2m R 。

每个晶胞占有两个原子，
33
482233
m m m V R R ππ∴=⨯=，
原胞的体积为：()2
3
462sin 60
3
m m m V R R ==
(5)．构成金刚石结构时，
1
4
的体对角线长度等于两个最大球半径，即：3
2m R a =
，每个晶胞包含8个原子， 4. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法
证明这一夹角为10928'。

证明：
如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为１。

选择体对角线AB 和CD ，用坐标表示为{1,1,1}
-和
{1,1,1}-。

所以,其夹角的余弦为：
5. 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a 。

解：
如图所示，面ABCD 即(110)面，面CDE 即为(111)面。

设该面心立方的晶格常数为
a ，则
在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD ，其
面积为22222
a
a a =，所以其原子数面密度为：
在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG ，其面积
为：22(
)sin 23a π=， 所以其原子数面密度为：
6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内
包含几个原子，设立方边长为a 。

解：
这种体心立方结构中有五种不同的原子。

顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。

故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。

每个原胞中的原子数为：
11
8132582
⨯++⨯⨯=（个） 7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个侧面的中
心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子每个原胞包含几个原子
解：
这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：
底心立方：1
818⨯=
侧心立方：11
84382
⨯+⨯=
边心立方：11
812484
⨯+⨯=
第二章
1. 由实验测得NaCl 晶体的密度为
2.16g/cm 3 , 它的弹性模量为2.14×1010 N/m 2 ，试求NaCl 晶体的每对离子内聚能c
U N。

（已知马德隆常数M=1.7476, Na 和Cl 的原子量分别为23和35.45）
解：NaCl 晶体中Na +和Cl -的最近距离为0r
晶胞基矢长为 20r ， 一个晶胞中含有四对正负离子对
∴ 一个原胞（一个NaCl 分子）的体积为：
3
02v r ==6
23
(2335.45)102.16 6.0210
m N ρ-+⨯=⨯⨯ ∴ NaCl 晶体中的正负离子的平衡间距为：
由晶体体积弹性模量的公式：
2
4
00
(1)36m n Me B r πεβ-= ， 并且由于NaCl 晶体为面心立方结构，参数β=2，故由上式可得：
=129410
192
36 3.148.85102(0.28210)1 2.41101.7476(1.610)
--⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ =7.82
由平衡时离子晶体的内聚能公式：
2001
(1)4c NMe U r n
πε=--，
将n=7.82代入得NaCl 晶体的每对离子的内聚能为：
=1921219
1.7476(1.610)1
(1)4 3.148.85100.282107.82
---⨯⨯--⨯⨯⨯⨯⨯ 2. LiF 晶体具有NaCl 结构，已由实验测得正负离子间的最近距离0r =0.2014nm(1摩尔的内聚能c U ＝1012.8kJ/mol, 以孤立离子系统的内能为能量的零点)。

试计算该晶体的体积弹性模量
m B ，并与它的实验植1026.7110/N m ⨯进行比较。

解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式：2001
(1)4c NMe U r n πε=--，其中M=1.784
计算1mol 的内聚能时，N=Na=6.02×1023 ，且0r =0.2014，计算得：
n=1
002
4(1)c r U NMe
πε-+ =199323192
4 3.148.85100.201410(1012.810)
[1]6.0210 1.748(1.610)
---⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯ =6.33
LiF 晶体具有NaCl 结构，将 β=2，n =6.33, 0r =0.2014代入上式得：晶体的弹性模量为:
24
00(1)36m n Me B r πεβ-== 7.242×101 0 (N/m 2
) 相对误差为：
7.242 6.71
100%7.9%6.71
-⨯=
3. 由气体分子的实验测得惰性气体Xe 的伦纳德——琼斯势参数0.02,0.398eV nm εσ==在低温下Xe 元素形成面心立方的晶体，试求Xe 晶体的晶格常数a,每个原子的内聚能
c
U N
及体积弹性模量Bm 。

若对Xe 晶体施加压力82/610N m P =⨯。

试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这些晶体的晶格常数a 将变为多少？并求这时的内聚能
c
U N
将变为多少？ 解：原子间的平衡间距为 ：0 1.09 1.090.3980.434r nm nm σ≈=⨯=
因结构为立方晶体，则晶格常数为：0.614a nm =
= 每个原子的内聚能为：
8.68.60.020.172c
U eV N
ε≈-=-⨯=- 体积弹性模量：3931975750.02(0.39810) 1.610Bm εσ----≈=⨯⨯⨯⨯⨯
=3.81×109 N/m 2
由体积弹性模量的定义式可知：(
)T P Bm V V
∂=-∂ ∴ 0
0ln V
V dV V
P Bm Bm V V =-=-⎰
因为：3V N r β=
故 P 0
3ln
r Bm r =- ∴ 晶格常数
0.583nm a == / 1.09
r σ=
内聚能 2/
612()8.60.149275
c U r A Bm N A σε•=-≈-⨯=-
第三章
1.一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。

解：设第n 个原子的势能函数为
其中，m β为与第n 个原子的相距ma 的原子间的恢复力常数，a 为晶格常数。

则，第n 个原子的受力为
其中，利用了m m ββ-=。

第n 个原子的运动方程为
令其试解为
代入运动方程得
故，
2. 聚乙烯链CH CH CH CH -=-=-的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描
述，原胞两原子质量均为M ，但每个原子与左右的力常数分别为1β和2β，原子链的周期为a 。

证明振动频率为
解：单键及双键的长分别为1b 和2b ，而
原子(,1)n 与(,2)n 的运动方程分别为
令这两个方程的试解为
把试解代入运动方程得
有非零解的条件为
解得
利用12b b a +=，方程的解为
晶体中的衍射
1. 试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。

方法1：
面心立方：
123()2()2()
2a
a
a
=
+=+=+a j k a k i a i j （1）
由正格子和倒格子的转换关系
1232313122()/2()/2()/b a a b a a b a a πππ=⨯Ω
=⨯Ω=⨯Ω
（2） 其中：123()a a a Ω=•⨯得：
1232()2()2()
b i j k a b i j k a b i j k a π
ππ=
-++=-+=+- （3）
在体心立方中
123()2()
2
()
2a
a i j k a
a i j k a
b i j k =
-++=-+=+- （4） 由（2）式可得
1232()2()
2()
b j k a
a k i a a i j a
π
π
π=
+=+=+ （5） 比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。

方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：
由此可得面心立方的倒格子基矢：
1
2
3
2
()
2
()
2
() b i j k
a
b i j k
a
b i j k
a
π
π
π
=-++ =-+
=+-
同理可得体心立方的倒格子基矢：
1
2
3
2
()
2
()
2
() b j k
a
a k i
a
a i j
a
π
π
π
=+
=+
=+
比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。

2. ,,
a b c为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶面间距为
解：
,,,
a ai
b b j
c ck
===()
a b c abc
Γ=•⨯=
由19(2.2.7)
p知
可得：
再由22
p中
h
k和hkl
d的关系：2/
h hkl
k d
π
=可得：
222 2
()()()
(
h k l
hkl a b c
h
a
h
d
k
π
⎡⎤===++⎦
⎣得证。

3. 设一二维格子的基矢10.125a nm =,20.250a nm =,12a a 与夹角a=120，试画出第一与
第二布里渊区。

二维倒格子基矢12,b b 与正格子基矢间有如下关系：
解：
令
11,a a a ai
==则 2
3a ai a j =-+
中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。

晶格振动和晶体的热学性质
1，
求一维单原子链的振动模式密度()g ω，若格波的色散可以忽略，其()g ω具有什么形式，比较这两者的()g ω曲线。

解: ()1一维单原子链的晶格振动的色散关系为
sin
2
m qa
ωω= 其中，m ω=此函数为偶函数，只考虑0q ≥的情况，下式右边乘2。

d ωωω+区间振动模式数目为
其中，()1
222
cos 222
m m d a qa a grad dq ωωωωω=
==- 故色散关系为
其中，l 为单链总长，a 为晶格常数，因此，N 为原子个数。

12色散关系的曲线图如下：
4. 金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为12210N m ⋅，密度33.5g cm ρ-
=⋅。

试估算它的德
拜温度?D Θ=
解：德拜温度为
将1
2
3
6D s N V V πω⎛⎫= ⎪⎝⎭
，s
V = 5. 试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。

解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为1
2
3
6D s N V V πω⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，其中
33311123s l t V V V ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭。

纵波的零点振动能为
同理，两支横波的零点振动能均为
故，总的零点振动能为
7. Na 和Cl 的原子量分别为23和37。

氯化钠立方晶胞边长为0.56nm ，在[]100方向可
以看作是一组平行的离子链。

离子间距0.28d nm =。

NaCl 晶体的杨氏模量为
102510N m -⨯⋅，如果全放射的光频率与0q =的光频模频率相等，求对应的光波波长
（实验值为61m μ）。

解：在一维双原子链模型中，0q =时，光频模频率为
杨氏模量为
故，
光波波长为
金属电子论
1. 导出一维和二维自由电子气的能态密度。

解：一维情形
由电子的Schr?dinger 方程：
得自由电子波函数解：d 2d d 2ππ2E
L L z k k =⋅
==
且有：2
2
2k E m
=
由周期性边界条件：()()x L x ϕϕ+= 得：
在k =到d k k +区间：
那么：1d ()d Z Lg E E =，其中：1
21()2π
g E E -= 二维情形
同上，由电子的Schr?dinger 方程：
得自由电子波函数解：()i
ϕ⋅=
k r
r ，2S L =
且：2
22
22
()()22x y k E k k m m
=
=+k 由周期性边界条件：
得：2πL x x k n =
，2πL
y y k n =
在k =到d k k +区间：
那么：2d ()d Z Sg E E =
其中：2()π
m
g E =
2. He 3是费米子，液体He 3在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。

计算它的费米能E F 和费米温度T F 。

解：He 3的数密度：
其中m 是单个He 3粒子的质量。

可得：
代入数据，可以算得：E F ＝6.8577×10－23 J = 4.28×10－4 eV.
则：F
F E T k
=
＝4.97 K. 5. 银是一价金属，在T ＝295 K 时，银的电阻率ρ＝1.61×10－6Ω·cm ，在T ＝20 K
时，电阻率ρ＝0.038×10－8Ω·cm 。

求在低温和室温时电子的自由程。

银的原子量为107.87，密度为10.5 g ／cm 3。

解：由
2
1
F
mV ne l
ρσ
=
=
可得：2F mV l ne ρ= 又：
其中A N 为阿伏加德罗常数，s M 为Ag 的原子量，0ρ为Ag 的密度。

将上式
代入l 的表达式，并代入数据可得：
当 T ＝295 K 时，l = 3.7×10－4 m,
当 T ＝20 K 时，l = 1.6 m.
在计算过程中，已取V F =106 m.。