有界磁场最小面积全攻略
求磁场区域最小面积的三类问题
求磁场区域最小面积的三类问题1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0．50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3．5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0．50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
2、如图所示，在竖直平面内，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角θ=30°，在MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 点处在磁场的边界上，现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v （0<v ≤BE）垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。
求：（1）速度最大的粒子在磁场中运动的时间；（2）速度最大的粒子打在水平线POQ 上的位置离O 点的距离； （3）磁场区域的最小面积。
3、如图，ABCD 是边长为a 的正方形。
质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。
其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。
已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。
由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。
下面我就以几道典型题验证这个思路。
例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。
一个质量为m、电荷量为q 的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。
后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。
不计重力的影响。
求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。
解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。
过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。
作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。
这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。
由图中几何关系得L=3r②由①、②求得B=■③图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得R=■L④例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x 轴重合。
一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。
一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。
18 磁场最小面积问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破
一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。
现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。
求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。
(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。
设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。
(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。
答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。
磁场最小面积的确定方法(学生)
磁场最小面积的确定方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。
近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。
一、几何法1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。
图1二、参数方法2．在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。
现加一个垂直于xOy平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。
求符合该条件磁场的最小面积。
图3三、带电粒子在磁场中的运动例题3．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。
现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度vo沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30º，OP=L 求：⑴磁感应强度的大小和方向⑵该圆形磁场区域的最小面积。
U + － 四．--穿越有界场的轨迹分析；4．如图所示，在y ＜0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY 平面并指向纸外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子从Y 轴上的A 点，以速度V 0与Y 轴负半轴成夹角θ射出，进入磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A 点，A 点的坐标为（0，a ）．试问该粒子的比荷为多少？从A 点射出到再次经过A 点共要多少时间【益智演练】1．如图，在xoy 平面内有一边界半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感强度为B ，方向垂直xoy 平面指向纸内。
带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析
带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。
其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。
一、磁场范围为圆形 例1 一质量为m 、带电量为q 的粒子以速度0v 从O 点沿y 轴正方向射入磁感强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b 处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O 点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）b 点的坐标。
二、磁场范围为矩形例2 如图3所示，直角坐标系xoy 第一象限的区域存在沿y 轴正方向的匀强电场。
现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，L 83）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点Q （4L，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y 轴、x 轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O ，并沿y 轴的正方向运动，不计电子的重力。
求 （1）电子经过Q 点的速度； （2）该匀强磁场的磁感应强度B 和磁场的最小面积。
三、磁场范围为三角形例3如图5，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。
为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。
试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；四、磁场范围为树叶形例4在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图7所示。
高中物理最小磁场面积
高中物理最小磁场面积
高中物理中，最小磁场面积是指通过一定数量的导线所产生的最小磁
场所需要的面积。
具体来说，如果有一根长为l的直导线，其电流为I，那么在它周围
产生的磁场强度为：
B=μ0I/2πr。
其中，μ0是真空中的磁导率，r是距离导线的距离。
如果我们要求通过n根这样的导线所产生的磁场具有一定的强度B0，那么我们需要满足以下的条件：
n{l⋅(2πr)}≥A。
其中，A是所需的磁场面积。
所以，最小磁场面积可以表示为：
A=n{l⋅(2πr)}。
其中，r是满足B=μ0I/2πr=B0的导线距离。
需要注意的是，由于磁场的传播是三维的，实际上这个公式只能提供
一个参考值。
另外，这里也只是简单地考虑了一些理想化的情况，实际应
用中还需要综合考虑各种因素，如导线长度、形状等。
磁场区域的最小面积问题(公开课)
四、 解题方法小结
1、根据题意，分析物体的运动过程和运动 形式，扣住运动过程中的临界点或转折点， 特别注意轨迹的对称性。
2、应用几何知识，找出粒子运动的轨迹圆 心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径。
3、用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子 圆周运动部分的轨迹，然后应用数学工具 和相应物理规律分析求解最小面积即可。
为矩形的匀强磁场区域后，可使所有粒子在磁场中经过一
段半径为a的圆周运动后到达N点，且粒子的运动轨迹关
于y轴对称，不计粒子间的相
互作用和粒子重力。求：（1）匀
强磁场的磁感应强度B的大小和方
v
向。（2）矩形匀强磁场的最小面
积S.
2a
思考：若匀强磁场为圆形边界，最小面积又为多少？
例2、如图，一个质量为m，带电量为+q的粒子在
BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC 区域。为了使该粒子以速度v从AC边上的N点垂直AC 边飞出该三角形，可在空间加上一个平行于纸面的匀 强电场，也可在适当的位置加上一个垂直于纸面向里 的匀强磁场，不计粒子的重力。（1）如果加的是匀 强电场，求电场强度的方向。（2）如果加的是垂直 于纸面向里的匀强磁场，且此磁场也是分布在一个 正三角形区域内，已知粒子在磁 场中的运动时间为t,求 磁感应强度B的大小 及该正三角形区域磁场的最小边长。
带电粒子在磁场中的运动之
磁场区域 最小面积问题
相关知识回顾：
1、若不计粒子重力,带电粒子在无场区
怎样运动？
做匀速直线运动
2、如图，带电粒子从M点以v射出，要改
变带电粒子的前进方向，使粒子击中N点,
有哪些可行的方法？
方法一、加与速度方向垂直
的匀强电场。（电偏转）
磁场区域的最小面积问题
磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。
其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。
下面我们以实例对此类问题进行分析。
一、磁场范围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=mq C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。
⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106-⨯πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程；⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。
15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2mv qvB R=２分运动周期22R mT v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间611066t s T π-=⨯= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为1263πθπ⨯=＝ １分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan23y x x θ==２分⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有2mv qv B R =００ ２分mv R qB=1=ｍ １分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分调整后磁场区域的最小面积22min22()422R R S ππ-=⨯-=m2２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。
确定有界磁场最小面积的方法归析
ｎ 土 ｊ
０
．
ｃ Ｎ） 垂 直 于 ＡＣ边 飞 出 ＡＢ Ｃ
，
Ｂ
／
Ｃ
可 在
中 掌
Ⅲ ｑ
Ｍ、 Ｎ 点 分 别 为 粒 子 进 入
％
网。
适当的 位置加一个垂直于纸面向 图ｂ 里， 磁感应强度为 Ｂ的匀强磁场． 若此磁场仅分布在一个也是
正 三 角 形 的 区域 内 ， 且 不 计 粒 子 的重 力 试 求 ：
有 一 个 矩 形 区 域 的 匀 强 磁
／
／
纸面 向外， 则粒 子从 Ｍ 点垂 直
针 方 向的 偏 转 ， 如图 Ｆ
／
， ／ ＼ ＼
， 、
Ｂ 一 ０
．
场． 该 磁 场 的 磁 感 应 强 度
里． 一 带 电微粒 电荷量 ｑ 一
２ Ｔ， 方 向 垂 直 纸 面 向
肘
Ｓ
…
一
×
Ｌ ： × １ 一
图 ７
例 ２ 如 图 ４所 示 ， 直 线
Ｏ Ａ 与 Ｙ 轴 成 ０ — ３ ０ 。 角 ， 在Ａ Ｏ ｙ
范 围 内 有 沿 ｙ轴 负 方 向 的
（ ） 。 ２ ＋ ） ．
ａ
．
、
匀强电场
，
在 ＡＯ ｘ范 围 内
／
一
若 该三角形磁场的 方向 垂直
炳 。 ！ Ｊ
２ ０ １ ３年 第 ７期
／
确 定 有 界 磁 场 最 小 面 积 的 方 法 归 析
■ 余 佳 飞
１ ． 圆 形 磁 场
（ １ ） 带 电 微 粒 进 入 电 场 时的初速度 Ｖ ｏ ．
磁场区域的最小面积问题201409
（2）磁场区域的最小面积.
（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小（只要写出最远距离的最终结果，不要求写出解题过程）
【答案】(1) 或 (2) 或 (3)d= （
【解析】（1）(11分)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1
（3）设在坐标（x，y）的点进入磁场，由相似三角形得到：
圆的方程为：
消去（y+b），磁场边界的方程为：
11、（揭阳二模1304）(18分)直角坐标系xoy界线OM两侧区域分别有如图所示电、磁场（第三象限除外），匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，匀强电场场强 、方向沿x轴负方向。一不计重力的带正电的粒子，从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点垂直电场方向进入电场，并最终飞离电、磁场区域。已知粒子的电荷量为q，质量为m，求：
3、一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴的正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角为30°，如图所示，粒子的重力不计，试求：
⑴圆形磁场区域的最小面积。
⑵粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间。
⑶b点的坐标。
磁场区域的最小面积问题
考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。
最小磁场面积2
确定磁场最小面积的方法一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。
图1解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：Bqv m v R2=①解得RmvqB=0②过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：图2rR=cos30°③由②③得rmvqB =32所以圆形匀强磁场的最小面积为：S r m v q Bmin ==ππ2222234（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：s vt ·°sin30=④ s at ·°cos30122=⑤ 而a qE m=⑥联立④⑤⑥解得s mv Eq=4302二、参数方法例2. 在xOy 平面内有许多电子（质量为m 、电荷量为e ），从坐标原点O 不断地以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。
现加一个垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。
求符合该条件磁场的最小面积。
图3解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O 沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y 方向的电子，其运动轨迹是圆心在x 轴上的A 1点、半径为R mv qB=的圆。
磁场中的“最小面积”问题
磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学 陈庆威 2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。
很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。
那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。
相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。
例题1：如图所示，一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从y 轴上的P 1点以速度v 射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成α角．为了使该粒子能从x 轴上的P 2点射出该区域，且射出方向与x 轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场．若磁场分布为一个圆形区域，求这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：R v m qvB 2= 则粒子在磁场中做圆周的半径：qBmv R = 由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R 的O ′点就是圆周的圆心．粒子在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆上的圆弧ef ，而e 点和f 点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef 连线为直径的圆周．即得圆形区域的最小半径qB mv R r ααsin sin == 则这个圆形区域磁场的最小面积222222min sin B q v m r S αππ==例题2：如图所示，一带电质点,质量为m ，电量为q ，以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
有界磁场区域出现“最小面积”问题归类例析
有界磁场区域出现“最小面积”问题归类例析
邹韩仕
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2015(000)010
【摘要】＂带电粒子在磁场中的运动＂是历年高考中的一个重要考点,而＂带电粒子在有界磁场中的运动＂则是此考点中的一个难点.其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界,其轨迹不一定是完整的圆,它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去明确几何关系,然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题.
【总页数】3页(P25-27)
【作者】邹韩仕
【作者单位】广东省汕头市澄海区苏北中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.确定有界磁场最小面积的方法归析
2.浅析带电粒子在有界磁场中运动的时间极值问题*——以三角形有界磁场为例
3.带电粒子在电、磁场中的运动问题归类例析
4.带电微粒进入有界磁场区域的最值问题分析——基于认知心理诊断和思维症结分析的问题设计
5.浅析带电粒子在有界磁场中运动的时间极值问题--以三角形有界磁场为例
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带电粒子在磁场中运动最小面积问题.
求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
带电粒子在磁场中运动最小面积问题例 1.在 xOy 平面内有许多电子(质量为 m,电荷量为 e ), 从坐标原点 O 不断以相同大小的速度 v 0沿不同的 方向射入第一象限 ,如图所示 . 现加上一个垂直于 xOy 平面的磁感应强度为 过该磁场后都能沿平行于 x 轴正方向运动 , 试求出符合条件的磁场最小面积例 2．一质量为 m 、带电荷量为 q 的粒子以速度 v0 从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的一圆形匀强例 3．一个质量为 m ，带＋ q 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC 。
为了使 该粒子能在 AC 边上的 N 点 图示 (CM ＝CN)垂直于 AC 边飞出三角形 ABC ，可在适当的位置加一个垂直于纸 面向里 ，磁感应强度为 B 的匀强磁场 ．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内 ，且不计粒子的重力．试求：(1) 粒子在磁场里运动的轨迹半径 r 及周期 T ；(2) 该粒子在磁场里运动的时间 t ；(3) 该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09 年海南高考 )如图甲所示， ABCD 是边长为 a 的正方形．质量为 m 、电荷量为 e 的电子以大小为 v 0的 初速度沿纸面垂直于 BC 边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从 BC 边上的任意点 入射，都只能从 A 点射出磁场．不计重力，求：(1) 此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2) 此匀强磁场区域的最小面积．2．( 09 年福建卷)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度大小 B=2.0×10-3T,在 X 轴上距坐标原点 L=0.50m 的P 处为离子的入射口， 在 Y 上安放接 收器，现将一带正电荷的粒子以 v=3.5 × 104m/s 的速率从 P 处射入磁场， 若粒子在 y 轴上距坐标原点 L=0.50m的 M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为 m,电量为 q, 不记其重力。
确定有界磁场最小面积的方法归析
确定有界磁场最小面积的方法归析
余佳飞
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2013(000)007
【摘要】例1一质量为m、电荷量为＋q的粒子以速度u0，从a点垂直于y轴方向射人图1中第一象限，为了使该粒子能从z轴上的b点以与Or轴夹角为60°的速度方向射出，可在适当的地方加一垂直于xOy平面向外、
【总页数】1页(P26)
【作者】余佳飞
【作者单位】浙江省慈溪实验高级中学
【正文语种】中文
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最小磁场面积、最短时间
磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0
（2）C点到 b点的距离 h。
y O2
A v
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
O1 60°
30°
v
x
h E
解：(1) 反向延长vb交y 轴于O2 点，作∠bO2 O的角平分线
交x 轴于O1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为R = OO1 =mv/qB，画出圆形轨迹交b O2于A点，如图虚线所示。
最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示：
d
例 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状
如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面内
的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速度
-q A v m
为 v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与 磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间 最短？（已知 mv/Bq > d） 对象模型：质点
d
αR O
过程模型：匀速圆周运动 规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式 条件：要求时间最短
解 ：质点在磁场中圆周运动半径为
r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是 a 1/4 圆周，如图中M、N两点间的圆弧。
y v0 M B
r 2R
在通过M、N两点的不同的圆中，最小 的一个是以MN 连线为直径的圆周。
Or N
O
bx
圆形磁场区域的最小半径
R
1 2
MN
2 mvqB
例、如图，质量为m、带电量为+q 的粒子以速度v 从O点沿
故P1P2=20cm
a P1 N l
S
P2 b B
解题经验
1、临界问题，经常是运动轨迹圆与磁场边界相切时为临 界状态。
专题04 有界磁场的最小面积模型-高考物理模型(原卷版)
图1高中物理系列模型之情景模型4.有界磁场的最小面积模型一模型界定：带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法.二模型破解：在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题. 1.单一粒子的运动(i)确定粒子在磁场运动的轨迹半径：粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来.(ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向：粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出.(iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置：当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直线的垂线,使O 点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点.(iv)确定有界磁场的边界：连接入射点与出射点得到一条线段或直线,并作出粒子在磁场处于入射点与出射点之间的一段运动轨迹圆,再由题目对磁场边界形状的要求确定磁场边界线的位置或圆形磁场的最小半径. ①圆形有界磁场(I)当题目对圆形磁场区域的圆心位置有规定时,连接圆心与粒子在磁场中的出射点即得到磁场区域的半径.但是这种情况下磁场区域的大小是固定的.(II)当题目对圆形磁场区域的圆心位置无规定时,若粒子在磁场中转过的圆弧为一段劣弧时，将连接入射点a 与出射点b 所得的线段作为磁场区域的直径,则所得圆即为最小面积的圆形磁场区域,如图1所示. 图中几何关系为θsin R r=，若粒子在磁场中转过的圆弧为半圆弧或一段优弧时,最小磁场区域的边界极图2图3图4限圆弧与粒子运动轨迹重合,即无最小值. ②半圆形有界磁场(I)当粒子在磁场中运动轨迹是一段劣弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以ab 为直径作出的半圆弧即为所求,如图2甲所示.图中几何关系为θsin R r =(II)当粒子在磁场中运动轨迹是一段优弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以其中点为圆心作出与粒子运动轨迹相切的圆弧，此圆弧即为半圆形磁场区域的曲线边界,如图2乙所示． 图中几何关系为)cos 1(θ+=R r(III)当粒子在磁场中运动轨迹是一个半圆弧时，磁场圆形边界与粒子运动轨迹重合. ③矩形有界磁场(I)当题目对矩形磁场区域边界某个边有规定时,过入射点或过出射点作已知边界线的平行线或垂线,再作与已知边界线平行或垂直的、与粒子在磁场中运动轨迹相切的直线,则所得矩形即为题目要求的最小矩形. (II)当题目对矩形磁场区域边界无规定时, 第一步:连接入射点a 与出射点b 得一条直线ab; 第二步:作ab 的平行线且使其与粒子运动轨迹圆相切; 第三步:作ab 的两条垂线,若粒子在磁场中转过的是一个优弧时,应使这两条垂线也与粒子运动轨迹圆弧相切,如图3甲所示;若粒子在磁场转过的是一段劣弧时,两条垂线应分别过入射点a 和出射点b,如图3乙所示.所得矩形即为题目要求的最小矩形. 甲图中几何关系为)cos 1(1θ+=R L 、R L22=乙图中几何关系为)cos 1(1θ-=R L 、θsin 22R L = ○4正三角形有界磁场 当粒子在磁场中转过的圆心角超过1200时,先作入射点a 、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点作粒子运动轨迹圆的两条切线,且使两切线间的夹角为600,则此三条直线所组成的三角形即为题目所要求的最小三角形,如图4甲所示.当粒子在磁场中转过的圆心角不超过1200时,也是先作入射点a 、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点连接入射点a 与出射点b,使其与ab 组成一正三角形,此正三角形即为所示如图4乙所示.甲图中几何关系为θcos 30sin 30cos 00R RL +=;乙图中几何关系为θsin 2R L =.例2题图30°v o b c vxy EO 例1题PMN600Oxyv例3题图 例1.一质量为m 、带电量为＋q 的粒子以速度v 0从O 点沿y 轴正方向射入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，同时进入场强大小为大小为E ，方向沿x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b 点正下方c 点，如图所示，已知 b 到O 的距离为L ，粒子的重力不计，试求： ⑴磁感应强度B⑵圆形匀强磁场区域的最小面积； ⑶c 点到b 点的距离例2.如图所示，在直角坐标xOy 平面y 轴左侧（含y 轴）有一沿y 轴负方向的匀强电场，一质量为m ，电荷量为q 的带正电的粒子从x 轴上P 处发速度v0沿x 轴正方向进入电场，从ｙ轴上Q 点离开电场时速度方向与ｙ轴负方向间夹角θ＝300，Q 点坐标为(0,-ｄ)，在ｙ轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁场磁感应强度大小qdmv B 0，粒子能从坐标原点O 沿ｘ轴负方向再进入电场，不计粒子重力，求：(1)电场强度大小E(2)如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积 (3)粒子从P 点运动到O 点的总时间例3.如图所示，第三象限内存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场方向向里，大小为B 0，匀强电场场强为E 。
有界磁场的最小面积问题
有界磁场的最小面积问题1. (20分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷q m； （2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
答案（1）mq =4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ）；（2）s t 6109.7-⨯= ； （3）225.0m S = 解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。
第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。
（1）设粒子在磁场中的运动半径为r 。
如图甲，依题意M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得22L r = ① 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得 rv m qvB 2= ② 联立①②并代入数据得mq =4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ） ③ （2）设所加电场的场强大小为E 。
如图乙，当粒子子经过Q 点时，速度沿y 轴正方向，依题意，在此时加入沿x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 qvB qE = ④代入数据得 C N E /70= ⑤所加电场的长枪方向沿x 轴正方向。
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有界磁场最小面积全攻略
作者：高爱虎
来源：《中学物理·高中》2013年第12期
带电粒子在磁场中的运动问题，既是高中物理的重点，也是学生学习的难点，同时又是高考的热点.而这类问题中求解有界磁场最小面积的题目更是近年来高考及各类试卷的“新宠儿”.
求解有界磁场的最小面积的题目主要考查了学生对平面几何知识与物理知识的综合运用能力，它能够很好的体现高考对学生“分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力”的考查.其难点在于粒子做部分圆周运动的圆心、半径、射入磁场点、射出磁场点的确定.下面按磁场区域的形状分类解析.
1磁场区域为矩形
例1如图1所示，在直角坐标系xOy第一象限的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场.现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点A（L，38L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点B（L4，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面向里的矩形匀强磁场区域，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力.求：（1）电子经过B点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B的大小和矩形磁场的最小面积S.
小结求解该类问题时，应依据题意确定圆心的位置、圆的半径、射入磁场点、射出磁场点，从而画出粒子在磁场中运动的部分圆弧；让矩形的一边与射入、射出磁场点的连线重合，另一边（运动轨迹小于半圆周）或三边（运动轨迹大于半圆周）与圆弧相切，据此画出能恰好覆盖运动轨迹的矩形即是最小.
2磁场区域为圆形
小结磁场区域为三角形的题目当三角形边长最小时粒子圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆，因此在计算最小边长时要注意等边三角形三边的三条中垂线中只有射入、射出磁场点所在边的中垂线过轨迹圆的圆心.
4磁场区域为树叶形
磁场区域为树叶形的题目的特征是大量相同带电粒子都过磁场中某点.设大量质量为m、带电量为q的粒子以相同速率v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，且均过磁场中某点P.则粒子将在磁场中做半径为r=mvBq的匀速圆周运动，且轨迹圆的圆心集合是以P点为圆心、r
为半径的圆（以下统称“圆心圆”），如图7虚线所示.下面利用“圆心圆”的知识求解树叶形磁场的最小面积.
例4（2009年海南卷）如图8，ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积.
小结沿“圆心圆”的部分弧平移某条半径即可找到相应的磁场区域边界，从而求出磁场的最小面积.。