能得到直角三角形吗
1.2能得到直角三角形吗(北师)
你知道吗
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠 同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个 结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第 4个结处.
1 (13)
4
8
议一议
如果三角形的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2 ,那么这个 三角形是直角三角形.
•
五十三、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生
•
五十四、很难说什么是办不到的事情，因为昨天的梦想，可以是今天的希望，并且还可以成为明天的现实。——佚名
•
五十五、要用你的梦想引领你的一生，要用感恩真诚助人圆梦的心态引领你的一生，要用执著无惧乐观的态度来引领你的人生。——李开复
•
六十八、莫道桑榆晚，为霞尚满天。——刘禹锡
•
六十九、一切活动家都是梦想家。——詹·哈尼克
•
七十、如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。——小塞涅卡
•
七十一、人性最可怜的就是：我们总是梦想着天边的一座奇妙的玫瑰园，而不去欣赏今天就开在我们窗口的玫瑰。——佚名
•
七十二、一个人如果已经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦？——古龙
(2)∵AC2=AD2+CD2=12 AC2+BC2=16=AB2
∴∠ACB=90° ∴AC⊥BC
想一想
例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的 尺寸如图所示,你说这个零件符号要求吗?
13
C
D
5
12
3
A4
2019-2020学年八年级数学上册《能得到直角三角形吗》教案-北师大版
第一章2019-2020学年八年级数学上册《能得到直角三角形吗》教案北师大版总课时：6课时课题：1、2能得到直角三角形吗教学目标1、知识与技能目标1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。
2、过程与方法1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力。
3、情感态度与价值观1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
教学重点：理解勾股定理逆定理的具体内容。
教学难点：应用勾股定理逆定理解决实际问题教学准备：多媒体课件教学过程：第一环节：创设情境，引入新课（3分钟，教师设疑，学生猜想）内容：情境：1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？第二环节：探索发现勾股定理逆定理（15分钟，学生分组探究）活动1：探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长c,，ba,①5，12，13；②7，24，25； ③8，15，17； 并回答这样两个问题：1．这三组数都满足222c b a =+吗？2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。
活动2：归纳如果一个三角形的三边长c b a ,,，满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形 满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
活动3：总结1．同学们还能找出哪些勾股数呢？2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？ 第三环节：勾股定理逆定理的简单应用（7分钟，学生合作探究） 1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
《能得到直角三角形吗》上课课件
实验结果： 实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; 5,12,13满足 可以构成直角三角形; 7,24,25满足 可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; 8,15,17满足 可以构成直角三角形. ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形.
13
D C
ห้องสมุดไป่ตู้
5 4
A
12 3
B
变式练习： 变式练习： 如图，一块四边形土地，测得边长如图所示， 如图，一块四边形土地，测得边长如图所示， DAB＝90° 求这个四边形土地的面积. 且∠DAB＝90°，求这个四边形土地的面积.
13
D C
4
A
12 3
B
课时小结： 课时小结：
勾股定理的逆定理： 勾股定理的逆定理： 如果三角形三边长a 如果三角形三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 勾股数： 勾股数： 满足a 的三个正整数，称为勾股 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股 数
小明在判断以3 小明在判断以3，4，5为边长的三角形是否 为直角三角形时，这样解答： 为直角三角形时，这样解答： =41， 因为4 因为42＋52=41，32=9 42＋52≠32 所以以3，4，5为边长的三角形不是直角三角形 所以以3 问：他的解法对吗？为什么？ 他的解法对吗？为什么？
1.下列几组数据能否作为直角三角形的三边？ 1.下列几组数据能否作为直角三角形的三边？ 下列几组数据能否作为直角三角形的三边 12， 15，36， （1）9，12，15; （2）15，36，39; 12，35， 12，18， （3）12，35，36 ; （4）12，18，22. 2.一个三角形的三边的长分别是 一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm, 2.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm, 25cm，则这个三角形的面积是（ 25cm，则这个三角形的面积是（ ）cm2 . (A)250 (B)150 (D)不能确定 (C)200 (D)不能确定
1.2 能得到直角三角形吗？
课题：1.2能得到直角三角形吗？【教学目标】(1) 经历直角三角形的判别条件(勾股定理逆定理)的探索过程, 进一步发展学生的推理能力 ； (2) 掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用。
【课前练习】：1. 勾股定理:_______________________________ __ _________________ 2、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a = 5，b = 12，则c = ________。
3、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=20，若∠A=45°，则BC 2 =______， AC 2 =_______4、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为5、直角三角形一直角边为cm 8，斜边长为cm 10，则它的面积为6、直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为【知识点】：1.P:书17做一做2. P:书17议一议3. 勾股定理的逆定理:________________________ _______________________ 4．直角三角形的判定方法小结：（1）三角形中有两个角 ； （2）勾股定理的逆定理； 5．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、 ；5、12、 ；6、8、 ；12、16、 等。
【小结】．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤： （1）首先找出最大边（如c ）；（2）验证a 2+b 2与c 2是否具有相等关系；若 ，则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。
若 ，则△ABC 不是直角三角形。
例题1：一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中DBCA ∠∠,都应是直角。
工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？_C _C_ 13_ 12_5 _3_4_ D_ A _ B_ B_ A_ DB【练习一】1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
勾股定理(二)——能得到直角三角形吗？
勾股定理（二）——能得到直角三角形吗一、【基础知识精讲】1．勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2 ， 那么这个三角形是直角三角形(1) 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。
(2) 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数常用的勾股数组：如: 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k≠0,k 为常数）也是勾股数．2．如何判定一个三角形是否是直角三角形① 首先求出最大边（如c ）；② 验证2c 与22b a +是否具有相等关系。
若222b a c +=，则△ABC 是以∠C ＝90°的直角三角形。
若222b ac +≠，则△ABC 不是直三角形。
(，则三角形是钝角三角形)。
二、【例题精讲】例1：已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状． （1）a ＝6，b ＝8，c ＝10； （２）a ＝41，b ＝40，c ＝9；（3））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=．例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB ＝13，BC ＝4，CD ＝3，AD ＝12，求证：AD ⊥BD ．【小试牛刀】1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，（1）a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5； （2）a ＝4，b ＝5，c ＝6； （3）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （4）a ＝15，b ＝20，c ＝25． 上述四个三角形中，直角三角形有( )个．2．下列命题中的假命题是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形； B ．在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C ．在△ABC 中，若∠A,∠B,∠C 的度数比是1：2：3，则△ABC 是直角三角形；D ．在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形．3．三角形的三边长为a 、b 、c ，且满足等式22()2a b c ab +-=，则此三角形 是 __________.4．已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为_____________．【应用拓展】例题1、试判断：三边分别为2n 2+2n ，2n+1，2n 2+2n+2(n>0)的三角形是否为直角三角形。
七年级数学勾股数(201908)
2.2勾股数 ——能得到直角三角形吗
2 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?
古埃及人曾用下面的方法得到直角: 用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住 绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结, 拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
பைடு நூலகம்
1、这段课文说得是什么？ 2、依照课文所说的做一做：把一条线段分成 12等份，在第三、第七等分处折成一个三角形， 并量一量最大角是多少度。
3、这个三角形的三边分别是3、4、5等分，这 三个数有什么样的数量关系？ 32+42=52
； 沈阳不干胶 沈阳不干胶 ；
南郡四郡之地悉复属吴 又曰 占曰 月犹见东方 于时天下初定 为丧 县四十六 如日法而一为强 徐州 天惑 崇 上生太蔟 绥阳 庐有饮食 皇帝所服 交会加时在后日 荧惑 大馀命以纪 冏兵败 合月法 六月丙申 八月壬子 直以意造 则所求年天正十一月合朔入历日也 转求如前 〕顿丘郡 〔泰始二年置 秦地有兵 所临之军 景侯解《诗》 三进减 分南郡为江夏郡 乃有兵必起 不行八日 则颁于境内 广都 阜城章武国〔泰始元年置 四年二月丁酉 日有蚀之 三月 革命之征 户五千 九月 改扶风国为秦国 四月丙戌 不与天消息也 占曰 七千二百八十五 六月己丑 故战国时有东 撰为新礼 《黄初》后天二辰强为远 占曰 终于恭 外所求 齐国〔秦置郡 贼聚广陵 沅南 襄阳 有孙恩兵乱 八月癸酉 因其上元为开辟之始 始制九分食一 时以继年 见西方 〕 彗星出牵牛之西 辰在申 △求变衰法以入历日馀乘列衰 日行一度九十一分之十四 后以弘农人流寓寻阳者侨立为 弘农郡 枝阳二县 司危 营阵屯守 副以章闰乘之 五年正月乙巳 虹蜺弥天 〔除逆六度 皆秦制也 执事者长冠 户一万二
第2节 能得到直角三角形吗 教学案例
第2节能得到直角三角形吗教案示例教学目标：知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．情感态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．重点难点：重点：能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题1．把握勾股定理的逆定理；2．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
教学过程一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题展示一根用13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。
丙：握住第八个结。
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角。
）展示投影1。
（书P9图1—10）教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？( 3、4、5 ) ，这三边满足了哪些条件？( 32+42 = 52），是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。
二、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。
5、12、13 7、24、25 8、15、171、这三组数都满足a2+b2 = c2吗？同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？同学们在在形成共识后板书：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足a2+b2 = c2的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
《能得到直角三角形吗》勾股定理精品ppt课件3
127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温]
90
90
120
60
120
60
25
150
12
13 150 30
24
30 15
17
180
180
0
0
5
7
8
从刚才的分组实验，有什么样的结论发 现吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形.
有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗?
是否沿正西方向航行？
C 解:由题意画出相应的图形
北B
AB=240海里,BC=70海里,
AC=250海里;在△ABC中
AC2-AB2=2502-2402
=(250+240)(250-240)
=4900=702=BC2
A
即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2， DF=1，
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
直角三角形的判定
猜想：大边所对的角是什么角？
问：三边之间有什么关系？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。
反过来
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满 足 a2
+
2 b
=
2 c ，那么这个三角形是直
角三角形。
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
不是 ____
_____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a=9 b=40 c=41
0 ∠ B=90 ____ _____ ; 是 0 ∠ C=90 是 _____ _____ ;
• 例２已知:在△ ABC中, AB=３cm，AC=４cm， BC=5cm，AD是BC边上的高。求: AD的长。
4, 三角形三边长a、b、c满足条件 (a b) c 2ab, 则此三角形是(
2 2
)
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
中考链接
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
祈福英语学校
谷路发
回顾
直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； 反之,一个三角形满足什么条件， 才能是直角三角形呢?
思考:
一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形?
如何证明三角形的直角性质
如何证明三角形的直角性质三角形的直角性质是数学中的一个基本概念。
证明三角形的直角性质可以运用不同的方法，包括几何方法、代数方法和三角函数方法等。
下面将通过几个典型的证明方法来说明如何证明三角形的直角性质。
一、几何方法要证明一个三角形是直角三角形，可以运用几何方法，如勾股定理、相似三角形和垂直定理等。
1. 勾股定理证明勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
假设有一个三角形ABC，BC为直角边，我们需要证明∠B为直角。
首先，利用勾股定理，可以得到BC² = AB² + AC²。
如果AB² +AC² = BC²成立，即三边满足勾股定理，那么可以推断出∠B为直角。
2. 相似三角形证明假设有一个三角形ABC，其中∠A = 90°。
我们需要证明∠B为直角。
通过相似三角形的性质可知，三角形ABC与三角形ACB相似。
根据相似三角形的性质，可以得到AB/AC = AC/BC。
由此得到：AB ×BC = AC²。
如果AB × BC = AC²成立，即满足比例关系，那么可以推断出∠B为直角。
3. 垂直定理证明垂直定理是指如果一个直角三角形中的两条直角边分别垂直于两条线段，那么这两条线段也相互垂直。
假设有一个三角形ABC，其中∠A = 90°，AB和BC分别垂直于DE和DF。
要证明∠B为直角，可以利用垂直定理。
根据垂直定理，如果DE垂直于AB且DF垂直于BC，则可以推断出AB垂直于BC。
因此，∠B为直角。
二、代数方法利用代数方法可以通过计算和推导来证明三角形的直角性质。
1. 坐标法证明假设有一个三角形ABC，其中∠A = 90°，设点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(a, b)，点C的坐标为(c, d)。
我们可以利用坐标法来证明∠B为直角。
首先，计算AB的斜率k₁ = (b-0)/(a-0) = b/a，计算BC的斜率k₂ = (d-b)/(c-a) = (d-b)/(c-a)。
1.2能得到直角三角形吗课时作业及答案
2 能得到直角三角形吗基础知识1. 已知一个三角形的三边分别为3k ,4k ,5k (k 为自然数),则这个三角形为_______________,理由是____________________。
2. 以∆ABC 的三条边向外作正方形,依次得到的面积为25, 144, 169, 则这个三角形是________三角形。
3. 若一个三角形的三边长为m+1 ,m+2 ,m+3, 当m______时,此三角形是直角三角形。
4. 有一个三角形的两条边长是6和10,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边边长为_____________。
5. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定综合运用6.如图,古埃及人用下面方法画直角: 把一根长绳打上等距离的13个结,然后用桩钉如图那样钉成一个三角形,其中一个角便是直角,说明这种做法的根据。
(13)(12)(11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)（第6题）7. 如图,在四边形ABCD 中,AC ⊥DC, ∆ADC 的面积为30cm 2,DC=12 cm, AB=3 cm, BC=4 cm, 求∆ABC 的面积。
（第7题）8. 初春时分,两组同学到村外平坦的田野中采集植物标本,分手后,他们向不同的方向前进,第一组的速度是30米/分,第二组的速度是40/分,半小时后两组同学同时停下来,而此时两组同学相距1500米。
(1)两组同学行走的方向是否成直角?(2)如果接下来两组同学以原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?拓广探究9.若三角形ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c试判断△ABC 的形状。
答案：基础知识1.直角三角形，（3k）2+（4k）2=（5k）2。
2.直角三角形。
3. 2。
探索勾股定理;能得到直角三角形吗
c
b
c
c
c b a
a
c B b
E a C
要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系， 是直角三角形的重要性质之一， 其主要应 用： （ 1 ）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， C 90 ，则 c a 2 b2 ，
b c 2 a 2 ， a c 2 b2 ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 二、定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转 化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的直 角三角形 （若 c2>a2+b2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c2<a2+b2，则△ABC 为锐角 三角形）。 （定理中 a ， b ， c 及 a 2 b2 c 2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形 三边长 a ， b ， c 满足 a 2 c 2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边）
例题 1 直接考查勾股定理 在 ABC 中， C 90 ．已知 AC 6 ， BC 8 ．求 AB 的长 解析：在 Rt△ABC 中，利用勾股定理得到 AB= 答案： AB AC 2 BC 2 10 点拨：本题考查了勾股定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方 之和一定等于斜边长的平方． 例题 2 勾股定理建立方程 已知一直角三角形的斜边长 10，周长是 24，则这个三角形的面积是 。 解析：直角三角形的两直角边为 a、b（a＞b），根据三角形的周长，和直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方列出方程组，解方程组即可求得 a、b 的长，根据 a、b 的长， 根据 a、b 的长即可求该直角三角形的面积。 答案：设直角三角形的两直角边分别为 a、b（a＞b），则满足
12能得到直角三角形吗
1.2能得到直角三角形吗（一）●教学目标(一)教学知识点1.掌握直角三角形的判别条件.2.熟记一些勾股数.3.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用.(二)能力训练要求1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.2.通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神.(三)情感与价值观要求1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望.2.通过对勾股定理逆定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣，克服困难的勇气；体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性.●教学重点直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
●教学难点用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.●教学方法引导启发法.教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通过已知数据作出三角形，并用测量的方法、探索、归纳用三角形三边关系判定直角三角形的条件.●教具准备一根有13个等距的结的绳子.投影片两张：第一张：例题(记作§1.2 A)；第二张：随堂练习(记作§1.2 B).●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］下面我们来总结一下直角三角形有哪些性质.［生］直角三角形有如下性质：①有一个内角为直角；②两个锐角互余；③两条直角边的平方和等于斜边的平方.［生］在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.［师］很好，反过来，一个三角形，满足什么条件就是直角三角形呢？［生］如果有一个内角是直角，它就是直角三角形.［生］如果有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.［师］我们可以注意到这些同学都是通过角的关系判定直角三角形的.前面，我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2.我们是否也可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？Ⅱ.讲述新课1.古代埃及人作直角［师］其实，古代埃及人就曾用三角形三边的关系作出了直角.下面我们一同演示一下.我这儿有一根绳子，上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段.下面我让一个同学同时握住绳子的第(1)个和第(13)个结，再让两个同学分别握住绳子的第(4)个结和第(8)个结，(如下图所示)拉紧绳子，大家观察可以发现什么？［生］得到一个直角三角形，在第(4)个结处的角是直角.［师］我们再来看在第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因为32+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三边满足a2+b2=c2，就可以得到一个直角三角形呢？我们不妨再找几组数试一试.2.做一做下面四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7.(1)这四组数都满足a2+b2=c2吗？(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？［师生共析］(1)52+122=169=132；72+242=625=252；82+152=289=172；52+62=61≠72.所以这四组数，前三组满足a2+b2=c2，而最后一组不满足.［师］以5，12，13这一组数为例，谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢？［生］作法：①作线段AB=5个单位长度；②分别以A、B为圆心，12个单位长度，13个单位长度为半径画弧，交于线段AB的同旁于一点C；③连结AC、BC.△ABC就是以5、12、13为边长的三角形.［师］很好.下面同学们就以小组为单位来完成第(2)小题.(让学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流，从而获得一个三角形是直角三角形三边的条件)［生］我们通过作三角形，测量三角形三个内角发现：前三组数满足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一组数不满足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形.［师］你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？［生］前三组数中，较长的边是斜边，斜边所对的角是直角.［师］从“做一做”中你能猜想到什么结论呢？［生］如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.［师］刚才，我们只是从特例中猜想出来上面的结论.可能有的同学会产生疑虑，果真如此吗？下面我用前面的知识解释一下这个结论，大家就会知道，我们的猜想是正确的.已知：在△ABC中AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.求证：∠c=90°证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，那么A′B′2=a2+b2(为什么？).由已知条件a2+b2=c2，可得A′B′2=c2，即A′B′=c.(A′B′＞0，c＞0)在△ABC和△A′B′C′中有BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，则△ABC≌△A′B′C′.所以∠C=∠C′=90°.现在大家没有疑虑了吧.同时也明白了古埃及人那样做的道理.实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天——人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五放线法”是一种古老的规范操作.所谓“归方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点；再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点.于是连结BC，就是MN的垂线.建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？［生］可以.例如7，24，25；8，15，17等.［师］是的.如果三角形三条边满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.那么满足条件的勾股数有多少组呢？它们是如何形成的？我们的先人数学家刘徽和希腊数学家曾相继提出了表示所有勾股整数组的方法.下面我们来了解一下这方面的情况.3.读一读［师］同学们可以打开课本P11，阅读“读一读”——勾股数组与费马大定理.(读一读介绍了寻找勾股数组的一种方法以及由此引发的一个重要数学问题——费马大定理)现在我们就来尝试验证其中提供的求勾股数组方法的合理性.即求证：m2－n2，m2+n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长.［师生共析］要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定条件来判断它们是否是一个直角三角形的三边长.证明：m＞n，m、n是正整数.(m2－n2)+(m2+n2)=2m2＞2mn.即(m2－n2)+(m2+n2)＞2mn.又因为(m2－n2)+2mn=m2+n(2m－n)而2m－n=m+(m－n)＞0，所以(m2－n2)+2mn＞m2+n2，由此可知，这三条线段可组成三角形.又因为(m2－n2)2+(2mn)2=m4+4m2n2－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2.则(m2－n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.由直角三角形的判定条件，可知：这三条线段组成的三角形是直角三角形.［师］你能用这个方法找到5组勾股数吗？［生］可以，如下表m＞n m、n是正整数勾股数组m2－n2 2mn m2+n2m=2，n=1 3 4 5m=3，n=2 5 12 13m=4，n=3 7 24 25m=5，n=4 9 40 41m=3，n=1 8 6 10 …………下面我们利用直角三角形判定的条件来看几个例题.4.例题讲解出示投影片(§1.2A)［例1］一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此这个零件符合要求.Ⅲ.随堂练习1.(课本P11)下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.(1)9，12，15； (2)15，36，39；(3)12，35，36； (4)12，18，22.解：根据直角三角形的判定条件.(1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)两组数可以作为直角三角形的三边；但(3)122+352≠362，(4)122+182≠322，所以(3)(4)两组数不能作为直角三角形的三边.2.(补充练习)出示投影片(§1.2 B)(1)判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.解：因为a2+b2=100+64=164≠c2即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形.请问：上述解法对吗？为什么？(2)已知：在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.求证：AB=AC.(1)解：上述解法是不对的.因为a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于等三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b、c是两直角边.评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边.往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和.(2)证明：根据题意，画出图形.AB=13 cm，BC=10 cm.AD是BC边上的中线—→BD=CD=5 cm.在△ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169.所以AB2=AD2+BD2.则∠ADB=90°.∠ADC=180°－∠ADB=180°－90°=90°.在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132.所以AC=AB=13 cm.Ⅳ.课时小结这节课我们归纳推理出直角三角形判定条件，并用它去解决生活实际中的问题，最后我们还介绍了求勾股数组的方法.Ⅴ.课后作业1.课本P12，习题6.3；2.熟记几组常用的勾股数.Ⅵ.活动与探究给出一组式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262(1)你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；(2)请你证明你所发现的规律.过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方.很显然，我们发现的规律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再观察每一项与序号的关系.如32，82，152，242与序号有何关系，可知32=(22－1)2，82=(32－1)2，152=(42－1)2，242=(52－1)2；所以我们可推想，第一项一定是(n2－1)2.(其n＞1，n为整数).同理可得第二项一定是(2n)2，等式右边一定是(n2+1)2(其中n＞1，n为整数).(1)解：上面的式子是有规律的，即(n2－1)2+(2n)2=(n2+1)2(n为大于1的整数).第5个式子是n=6时，即(62－1)2+(2×6)2=(62+1)2化简，得352+122=372.(2)证明：左边=(n2－1)2+(2n)2=(n4－2n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右边.证毕.●板书设计同步练习(一)选择题1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm答案：B2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2－a2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15答案：D3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12答案：C4.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是A.42B.52C.7D.52或7答案：D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D.△ABC不是直角三角形答案：A(二)解答题1.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.解：由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.答案：③a2－b2可以为零△ABC为直角三角形或等腰三角形相关文章费尔马费尔马出身于法国的一个皮革商人家庭.由于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明.费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学.费尔马是一个不追名逐利的人，因此平时比较清闲，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著.他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会.由于他刻苦钻研，又敢于进行创造性的思考，所以取得的成果很多.他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉.微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大家公认费尔马为他们作了奠基工作.不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者.说起数论，费尔马还是由于读了丢蕃图的《算术》一书，才开始产生兴趣.在这本书中，丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数(z2)，拆成两个平方数(x2与y2)之和”的，也即叙述了他对方程x2+y2=z2的求解过程.费尔马非常善于联想，他读了丢番图的这段文章后，由此及彼地提出了一连串的同类问题：“能否将一个立方数(z3)表示为两个立方数( x3与y3)之和；将一个四次方数(z4)表示为两个四次方数(x4与y4)之和；……这一连串问题归结起来就是：方程x n+y n=z n是否存在正整数解，其中n是大于或等于2的正整数.当n=2时，方程z2=x2+y2，这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程.十世纪时，阿尔柯坦第曾对n=3的情况，即对方程z3=x3+y3提出过不存在正整数解的结论.显然这都是特殊情况.一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决.费尔马在丢番图著作的空白处写道：“我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下”.费尔马果真证明了他自己提出的结论吗？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注.他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图证明它.1995年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜.11。
第一章第2节能得到直角三角形吗的教案
第二节：能得到直角三角形吗上步中学 周荣良一、教学目标：1、掌握直角三角形的判别条件即勾股定理的逆定理，并能进行简单应用。
2、学生经历通过测量三角形的三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件的探索过程，激发学生学习的积极性，发展推理能力。
3 用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体现了数学与现实世界的联系。
二、重点：掌握直角三角形的勾股定理的逆定理，并能进行简单应用。
三、难点：通过测量活动来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。
四、课型：新授 教法：研习法 教具：绳、尺子、课件五、教学过程：（一）尝试探疑，激活思维：1、阅读材料：古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长12段，一个工匠同时站在绳子的第一结和第13个结，两个助手分别站在第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个三角形，其直角在第4个结处。
按这种做法真能得到一个直角三角形吗？2、小明的爸爸为了画直角三角形，找来了长度分别为12㎝、40㎝ 两条线，利用这两条线，采用固定三边的方法，画出了如下两个图形，他画的直角三角形吗？（二）动手动脑，引出新知：1、量一量：小明的爸爸所画出的两个三角形中的最大角；大家议一议，它们是直角三角形吗？由此你能提出什么猜想？2、做一做：画出两直角边分别为a 、b 的直角三角形ABC ，用勾股定理算出它的斜边c的长；①画一个三角形△DEF ，使它的三边分别为a 、b 、c ；②比一比，两个三角形全等吗？③△DEF 的三边满足：a 2+b 2=c 2它是什么三角形？由此你能得出什么结论？与你同伴交流你的想法，并将其加以总结 。
如果三角形的三边长a 、b 、c ；满足a 2+b 2=c 2，那么这个三3 4 8 15角形是直角三角形（满足a2+b2=c2的三个正数，称为勾股数）作用：通过代数运算，“算”两条边的平方和与第三边的平方值相等，确定三角形是直角三角形。
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
《能得到直角三角形吗》测试题
还 是 直 角三 角形 吗 ?
(2 )填 写 下 表 并判 断 每 组 数 是 否 为 勾股 数
，
．
表 2
2倍 3 4
， ，
3倍
4
倍
10
倍
5 13 17 25
6 8
，
，
10 15 3 6
， ，
5
8
7
，
12 15 24
，
39 32
，
，
，
60 68
，
，
，
70
[ 鲋
，
24 0
，
250
14 45
。
，
．
如 图4
2
．
D
．
3
．
B
．
4 13
．
．
D
5
．
一
中
=
癌 C化则 A A B校 为 步检 测 角 形 且 名 C 同 直 角三
，
Z B
．
=
90
．
。
．
若6
若
z
c
。
+
矿 则 △A B C 为 直 角三 角形 且 ￡ C 9 0
=
，
。
，
C
D
．
若 (c
+a
) (c
：[
—
n
。 ) 6 则 A A B C 为 直 角三 角形
=
，
．
￡A
2 3 B ：￡ C = 5 ： ：
一
口
外侧距 开 口 处 1
的点脱 有
只 苍蝇 若蜘蛛要想吃到
．
苍 蝇 它 所 走 的最 短 路 线 的长 度 是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（一）回顾旧知
1、三角形的内角和为：
2、勾股定理的内容是：
（二）探索新知
认真阅读教材P17-18页内容，并动手实践，归纳总结
已知下列每组数为三角形的三边长a、b、c，用尺规作出三角形
（图作在背面）
(1)3cm、4 cm、5 cm（2）6 cm、8 cm、10 cm（3）5 cm、12 cm、13 cm
A、1组B、2组C、3组D、4组
二、小组学习
思考：判断一个三角形是直角三角形你有几种方法？与同伴交流。
三、展示反馈
1、已知（X-12）2+（Z2-10Z+25）+｜Y-13｜=0，判断以X、Y、Z为三边长的三角形的形状。
2、已知三角形三边分别为m2-1，2m,m2+1，m为大于1的自然数，请判断这个三角形的形状，并证明。
初二年级数学科探究新知学案主备:陈芳时间：9月8日
学习内容：能得到直角三角形吗？
教学设计(收获)
（四）自学检测
1、如果三条线段a、b、c，满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？
2、下列各组数中，能作为直角三角形的边长的有（）
①9、12、15②15、36、39③12、35、36④12、18、22
3、若一个三角形的三边之比为5：12：13，则这个三角形为三角形。
四、拓展提升
在四边形ABCD中，BC=3、AB=4、CD=12、AD=13，∠B=900，求四边形ABCD的面积。
学习目标：经历直角三角形的判别条件的探究过程，进一步发展学生的推理能力
重点：直角三角形判别条件的应用难点：直角三角形判别条件的应用
用量角器量出最大角的度数，它们是直角三角形吗？
分析三边长有何关系：
从而得出结论：
（三）尝试练习
仔细分析例题，仿照例题完成下面的题
如图，在正方形中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有
几个直角三角形，说出你的理由。
教学反思（疑惑）
第7页第8页