浅谈高考中几种题型的解法与思想

浅谈高考中几种题型的解法与思想

摘要：本文讨论了中学数学填空题的若干解法，如配方法、换元法、定

义法、待定系数法、参数法、数形结合思想、函数与方程法等。以及类比思想方法的应用。

关键词：高考、题型、解法、思想

一、前言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们

解题时遇到一个新问题，总想着用熟悉的题型去解决，这只能满足于解出来.只

有对数学思想、数学方法理解透彻并能融会贯通时，才能提出新看法、巧解法. 在

数学学习中“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的

核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能

力”.中学数学特别是高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是考查

能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.

本文主要是通过数学思想方法的应用，提出了关于填空题解法的部分技巧，

以及类比思想的应用。重点强调的是数学思想方法的掌握和应用[1].希望引起对

解题策略的重视.文中讨论了一些常见的数学填空题解法.主要引用以下几种有

配方法、换元法、待定系数法、参数法、定义法、函数与方程法、数形结合法、

等价转化法.类比思想的应用主要讲函数类比、数列类比、维数类比。

解题方法即解题技巧，可以帮助答题者以最有效率的方式得到答案.在数学

题量变大的同时，如何把握解题时间，如何提高解题效率都是很重要的.

二、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的

联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与

“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺y x 、项的二次曲线的平移变换等问题.

配方法使用的最基本的配方依据是完全平方公式222()2a b a ab b +=++，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如

2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+.

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如

21sin 212sin cos (sin cos )ααααα+=+=+；

2222111()2()2x x x x x x

+=+-=-+ …… 例1 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____.

分析 先转换数学表达式，即设长方体长宽高分别为x y z 、、，则

2()11

4()24x y y z x z x y z ++=⎧⎨++=⎩

,将其配凑成两已知式的组合形式可得.

解 设长方体长、宽、高分别为x y z 、、，由已知“长方体的全面积为11，

其12条棱的长度之和为24”可得 211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩

， 长方体所求对角线长为

5===.

注 本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法可以将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.

三、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是

等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，问题变得容易处理.

换元法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.

换元的主要方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.

例2 设实数x y 、满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________. 分析 本题如果直接求解或是采用配方法，难度较大.所以我们考虑将该题转化.

解 设x y k +=，则2210x kx -+=, 2440k ∆=-≥,所以1k ≥或1k ≤-.

注 数学方法的灵活运用也是作为数学素质训练的一个重要方面.

四、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法[2].其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x ≡的充要条件是：对于一个任意a 值，都有()()f a g a ≡；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.

例3 在310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是________.

分析 5x 的系数由510C 与210(1)C -两项组成，相加后得5

x 的系数. 解 5

x 的系数为521010(1)207C C +-=.