高三数学每日一题(原创)

第1题（2020年2月1日）【基础题1】若3tan 4α=，则2cos 2sin2αα+=（）（A ）6425（B ）4825（C ）1（D ）1625【解析】由3tan 04α=＞，及22sin cos 1αα+=，得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,.所以2cos 2sin 2αα+=2161264cos 4sin cos 4252525ααα+=+⨯=，故选A ．另解：2cos 2sin2αα+=2222cos 2sin2cos 4sin cos 1sin cos ααααααα++=+231414tan 6449tan 125116αα+⨯+===++．【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角公式.【提高题1】已知θ是第四象限角，且()π3sin 45θ+=，则()πtan 4θ-=.【解析】 θ是第四象限角，且()π3sin 045θ+=＞，∴()π4cos 45θ+=，ππ3sin cos cos sin 445ππ4cos cos sin sin 445θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,∴,解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴sin 1tan cos 7θθθ==-，()πtan 4θ-1π1tan tan474π131tan tan 1147θθ---===-+-⨯.另解： θ是第四象限角，且()π3sin 045θ+=＞，∴()π4cos 45θ+=，∴()πtan 4θ-()()()πsin π4tan π4cos 4θθθ-=--=--()()()()πππcos cos 4244πππ3sin sin 424θθθθ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦.另解2：()π3ππ3sin sin cos cos sin 45445θθθ+=⇒+=⇒32sin cos 5θθ+=⇒218sin cos 25θθ+=()⇒72sin cos 25θθ=-⇒232sin cos 25θθ-=()， θ是第四象限角，∴sin 0θ＜，cos 0θ＞，∴42sin cos 5θθ-=-，从而()πtan tanπtan 14tan π41tan 1tan tan 4θθθθθ---==++sin 1cos sin 1cos θθθθ-==+sin cos cos sin θθθθ-+42453325-==-．【考点】三角恒等变换．【基础题2】设ABC △的角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，已知22b c a bc -=-()．（I）求A ；（II）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC △的面积．【解析】（I）22222π2cos 3b c a bc b c a bc bc A A -=-⇒+-==⇒=()．（II）sin 2sin 2C B c b =⇒=，代入222b c a bc +-=中，得b =，故c =，所以133sin 22ABC S bc A ==△．【提高题2】在ABC △中，设a b c ,,分别为角A B C ,,所对的边.已知3c =，π3C =.（I）若sin 2sin B A =，求a b ,的值；（II）求22a b +的最大值.【解析】（I）因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =.由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即222π32cos 3a a a a =+- (2)2，得a =从而b =.（II）由余弦定理得222π32cos3a b ab =+-，即229ab a b =+-，由基本不等式得222a b ab +≥，所以22a b +≥2229a b +-()，得2218a b +≤，当且仅当3a b ==时，22max 18a b +=().【基础题3】在正项等比数列n a {}中，1336a a =，2460a a +=，函数12n f n a a a =+++ ()，n *N ∈，求满足400f n ＞()的n 的最小值.【解析】设n a {}的公比为0q q ＞()，由13243660a a a a =⎧⎨+=⎩，，知212136160a q a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，()()解得123.a q =⎧⎨=⎩,又由400n S ＞，得21340013n --＞()，由n *N ∈，得n 的最小值为6.【提高题3】已知数列n a {}的前n 项和41132n n n n S -+=+()，求证：不等式14n n S S +≥对任意n *N ∈均成立.【证明】14n n S S +-=1411411243232n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-+-+++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()21342n n =+-()，设函数f x =()21342x x +-()，则f x ()是1+[,)∞上的增函数，故1n =时，2211343114022n n +-⨯+-=()≥()，即14n n S S +≥对任意n *N ∈均成立.【基础题4】设n S 为等比数列n a {}的前n 项和，且3242S S a -=.（I ）若1a =1，求通项n a ；（II ）若40a ＜，求使得1815n S a ≥成立的n 的取值范围.【解析】（I ）设n a {}的公比为q ，由3242S S a -=，得342a a =，所以4312a q a ==，又1a =1，所以11112n n n a a q--==.（II ）由40a ＜，得3410a a q =＜知，10a ＜.因为1815n S a ≥，所以11112815112na a -⨯-≥，所以11216n ≥，得4n ≤，又n *N ∈，所以使得1815n S a ≥成立的n 的取值范围是{}14n n *N∈≤≤.【提高题4】已知等比数列n a {}与等差数列n b {}中，111a b ==，12a a ≠，且123b a b ,,成等差数列，124b a b ,,成等比数列.（I ）求n a {}与n b {}的通项公式；（II ）设n n S T ,分别是n a {}和n b {}的前n 项和，若00n n S T +1＞，求n 的最小值.【解析】（I ）设n a {}的公比为1q q (≠)，n b {}的公差为d ，则222213q d q d =+⎧⎨=+⎩,,解得21q d =⎧⎨=⎩,,或10q d =⎧⎨=⎩,（舍去），所以12n n a -=，n b n =.（II ）由（I ）知，122112n n n S -==--，12n n n T +=()，由00n n S T +1＞，得122nn n ++()011＞，显然122n n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭()为递增数列，且666121012⨯++＜()，777121012⨯++＞()，所以n 的最小值为7.【基础题5】已知等差数列n a {}中，25a =，523a =.（I ）求数列n a {}的通项公式；（II ）若等比数列n b {}的前n 项和为n S ，且12b a =，27b a =，求满足1000n S ＞的最小正整数n 的值.【解析】（I ）211515511616723423 6.n a a d a a n n a a d d =+==-⎧⎧⎧⇒⇒⇒=-+-=-⎨⎨⎨=+==⎩⎩⎩,,,().（II ）由题意，得125b a ==，2735b a ==，则数列n b {}的公比217b q b ==，所以1000n S ＞11517100071201117n n n b q q --⇒=⇒--＞＞()()，因为373431201=＜，4724011201=＞，所以n 的最小值是4.【提高题5】若数列n a {}的前n 项和为n S ，且11a =，22a =，221111n n n S S S ++++=+()()().（I ）求n S ；（II ）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ＜≤.【解析】（I ）由221111n n n S S S ++++=+()()()，得21211111111111n n n n n n S S S S S S S S +++-++++====++++ ，所以数列1n S +{}是以11S +为首项的等比数列，又11112S a +=+=，212114S a a +=++=()，所以2114212S q S +===+，所以11222n n n S -+=⨯=，所以21n n S =-.（II ）由（I ）知，当2n ≥时，1111112*********nn n n n n n n n n a S S ------=-=---=-=⨯-=()()，当1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列n a {}的通项公式为12n n a -=，所以()11121112n n n a --==⨯，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项111a =，公比为1'2q =，从而n T =1211a a ++ 1111111111221122212n n n n a ---+=+++==-- ，即1122n n T -=-，当n 增大时，nT 也增大，又11T =，min 11n T T ==()；n →+∞时，2n T →，所以12n T ＜≤.【基础题6】已知等差数列n a {}的公差0d ＞，11a =，且2a ，612a a -，14a 分别是等比数列n b {}的前三项.（I ）求数列n a {}的通项公式；（II ）记数列n b {}的前n 项和为n T ，若39n T ＞，求n 取值的集合.【解析】（I ）因为2a ，612a a -，14a 分别是等比数列n b {}的前三项，所以2612142a a a a -=()，即211115213a d a a d a d +-=++()()()，由0d ＞，11a =，解得2d =，所以21n a n =-.（II ）由（I ）知，123b a ==，26129b a a =-=，所以数列n b {}的公比213b q b ==，所以39n T ＞11313393113n n b q n q -⨯-⇒=⇒--＞＞()()，故n 取值的集合为{}3n n *N ＞∈.【提高题6】已知数列n a {}满足：11a =，131n n a a +=+.（I ）求n a {}的通项公式；（II ）证明：1211132n a a a +++ ＜.【解析】（I ）设13n n a x a x ++=+()，即132n n a a x +=+，与131n n a a +=+对比，知21x =，得12x =，所以()111322n n a a ++=+，所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112a +为首项、3为公比的等比数列，所以()1111322n n a a -+=+⨯，又11a =，所以312n n a -=.（II ）1111112222131331231312303n n n n n n n a -----====-⨯-⨯+⨯-⨯+≤，所以12111na a a +++()()211111111313311133323213n n n-⨯-++++==-- ＜≤.【基础题7】已知n S 为等比数列n a {}的前n 项和，且公比为2，7127S =.（I ）求n a {}的通项公式；（II ）设21221log log n n n b a a ++=，记数列n b {}的前n 项和n T ，求证：1n T ＜.【解析】（I ）因为7117112127112n a q a S q --===--()()，所以11a =，所以12n n a -=.（II ）由（I ）知12n n a -=，所以12n n a +=，122n n a ++=，所以21221log log n n n b a a ++==1221111log 2log 211n n n n n n +==-++ ()，所以()()()111111111122311nT n n n =-+-++-=-++ ＜.【提高题7】已知数列n a {}为等比数列，13a =，且2a 是1a 与33a -的等差中项.（I ）求n a {}的通项公式；（II ）求证：1211121113n a a a ++++++ ＜.【解析】（I ）因为2a 是1a 与33a -的等差中项，所以21323a a a =+-()，又13a =，设n a {}的公比为q ，所以223333q q ⨯=+-()，解得2q =，或0q =（舍去），11132n n n a a q --==⨯.（II ）11111132132n n n a --=+⨯+⨯＜，则()21121111111111131222n n a a a -++++++++++ ＜()1111112221332312n n --=⨯=⨯--＜.【基础题8】求函数1ln x f x x x-=-()的单调区间.【解析】函数f x ()的定义域为0+(,)∞.由11ln 1ln x f x x x x x -=-=--()，得21'xf x x-=().当01x ＜＜时，'0f x ＞()，f x ()为增函数，得增区间为01(,)；当1x ＞时，'0f x ＜()，f x ()为减函数，得减区间为1+(,)∞.综上知，函数f x ()的单调递增区间为01(,)，单调递减区间为1+(,)∞.【提高题8】已知函数323f x x x a =--()有两个零点，则非零实数a 的值为.【解析】2'3632f x x x x x =-=-()()，当2x ＞，或0x ＜时，'0f x ＞()，f x ()为增函数；当02x ＜＜时，'0f x ＜()，f x ()为减函数，所以f x ()在0x =处有极大值，在2x =处有极小值.因为函数f x ()有两个零点，所以极大值或极小值为0，所以0f =()0，或2f =()0，即320300a -⨯-=或322320a -⨯-=，解得0a =（舍去），或4a =-.【基础题9】已知函数ln 22f x x ax a =-+()，讨论f x ()的单调区间.【解析】112'20ax f x a x x x -=-=＞()().当0a ≤时，12'0ax f x x -=＞()，则f x ()在0+(,)∞上为增函数.当0a ＞时，令12'0ax f x x -=＞()，得120ax -＞，所以102x a＜＜，此时f x ()为增函数；令12'0ax f x x -=()，得120ax -＜，所以12x a ＞，此时f x ()为减函数.综上知，当0a ≤时，f x ()的增区间为0+(,)∞；当0a ＞时，f x ()的增区间为()102a ,，减区间为()12a+,∞.【提高题9】若函数e 2xf x x k =--()在R 上有两个零点，则实数k 的取值范围是.【解析】'e 2xf x =-()，令'0f x ＞()，即e 20x-＞，解得ln 2x ＞，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，即e 20x-＜，解得0ln 2x ＜＜，此时f x ()为减函数；所以f x ()在ln2x =处有极小值ln2ln2e2ln2f k =--()，也是最小值.又x →+∞时，f x →+()∞，x →-∞时，e 0x→，2x -→+∞，所以f x →+()∞，因为函数()e 2xf x x k =--在R 上有两个零点，所以ln 2ln 2e2ln 20f k =--＜()，解得22ln 2k -＞，即实数k 的取值范围是22ln 2-+(,)∞.另解：令e 20xf x x k =--=()，得e 2xx k -=，设e 2xg x x =-()，则'e 2xg x =-()，令'0g x ＞()，即e 20x -＞，解得ln 2x ＞，此时g x ()为增函数；令'0g x ＜()，即e 20x -＜，解得0ln 2x ＜＜，此时g x ()为减函数；所以g x ()在ln2x =处有极小值ln2ln2e2ln2g =-().又x →+∞时，g x →+()∞，x →-∞时，e 0x →，2x -→+∞，所以g x →+()∞，因为函数()e 2x f x x k =--在R 上有两个零点，直线与曲线有两个交点，所以ln 222ln 2k g =-＞()，即实数k 的取值范围是22ln 2-+(,)∞.【基础题10】已知函数2ln af x x x=+()，a R ∈，求f x ()的单调区间.【解析】233122'0a x af x x x x x-=-=＞()().当0a ≤时，232'0x af x x -=＞()，所以f x ()在0+(,)∞上为增函数.当0a ＞时，令232'0x a f x x -=()，得220x a -＞，所以2x a ＞，故f x ()在2a +,)∞上单调递增；令232'0x a f x x-=＜()，得220x a -＜，所以02x a ＜＜，故f x ()在02a (,上单调递减.综上，0a ≤时，f x ()的增区间为0+(,)∞；0a ＞时，增区间为2a +(,)∞，减区间为02a (,).【提高题10】已知函数ln 1x f x a x+=-()有两个零点，求实数a 的取值范围.【解析】（方法1）令ln 10x f x a x +=-=()，即ln 1x a x +=，设ln 1x h x x +=()，则2ln '0xh x x x -=＞()().当1x ＞时，2ln '0xh x x-=＜()，h x ()为减函数；当01x ＜＜时，2ln '0xh x x -=＞()，hx ()为增函数.所以hx ()在x =1处有极大值ln11111h +==()，也是最大值.易知，当0x ＞且0x →时，h x →-()∞，当x →+∞时，0h x →().因为函数f x =()ln 1x a x+-有两个零点，所以曲线y h x =()与直线y a =有两个交点，所以01a ＜＜，即实数a 的取值范围是01(,).（方法2）2ln '0xf x x x-=＞()().当1x ＞时，'0f x ＜()，f x ()为减函数；当01x ＜＜时，'0f x ＞()，f x ()为增函数，所以f x ()在x =1处有极大值ln11111f a a +=-=-()，也是最大值.当0x ＞且0x →时，f x →-()∞，当x →+∞时，ln 10x x+→，因为函数f x =()ln 1x a x +-有两个零点，所以ln 10x a x+-＞有解，所以0a ＞.综上，实数a 的取值范围是01(,).（方法3）令ln 10x f x a x+=-=()，得ln 10x ax -+=，设ln 1g x x ax =-+()，则'g x =()11ax a x x--=，若0a ≤，则'g x 0＞()，g x ()在0+(,)∞上为增函数，g x ()最多一个零点，不合题意.故0a ＞，当10x a ＜＜时，'0g x ＞()，g x ()为增函数；当1x a＞时，'0g x ＜()，g x ()为减函数，所以g x ()在x a=1处有极大值()1111ln 1ln g a a a a a =-⨯+=，也是最大值.当0x ＞且0x →时，g x →-()∞，当x →+∞时，g x →-()∞.因为函数f x =()ln 1x a x+-有两个零点，即y g x =()有两个零点，所以()11ln 0g a a=＞，得01a ＜＜.综上，实数a 的取值范围是01(,).（方法4）令ln 10x f x a x+=-=()，得ln 1x ax +=，设ln 1g x x =+()，当直线y ax =与曲线ln 1g x x =+()相切时，设切点为00x y (,)，则001|'x x k g x x ===切()，01:l y x x =切，由000001ln 1y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,,消去0y ，得01x =，所以1k =切，因为f x ()有两个零点，所以直线y ax =与曲线ln 1g x x =+()有两个交点，所以实数a 的取值范围是01(,).【基础题11】已知函数2ln f x x a x =-()，a R ∈，讨论f x ()的单调性.【解析】22'20a x af x x x x x-=-=＞()().当0a ＜时，22'0x af x x -=＞()在0+(,)∞上恒成立，所以f x ()在0+(,)∞上为增函数.当0a ＞时，由22'0x a f x x -=＞()，得22ax ＞，所以f x ()在)22a+∞上为增函数；由22'0x af x x-=＜()，得202a x ＜＜，所以f x ()在(22a0,上为减函数.综上，0a ≤时，f x ()在0+(,)∞上为增函数；0a ＞时，f x ()在()22a +∞上为增函数，在(22a0,上为减函数.【提高题11】若函数32962f x x x x a =-++()有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【解析】2'396312f x x x x x =-+=--()()()，由'0f x ＞()，得2x ＞，或1x ＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得12x ＜＜，此时f x ()为减函数.所以f x ()在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值.因为f x ()有且只有一个零点，所以20f ＞()，或10f ＜()，得2a -＞或52a -＜，即实数a 的取值范围是()522-+-- (,),∞∞.【基础题12】已知函数22ln 0x f x x a a =-()(≠)，讨论f x ()的单调性.【解析】22222'0x x af x x a x ax-=-=＞()().当0a ＜时，222'0x af x ax -=＜()，所以f x ()在0+(,)∞上为减函数.当0a ＞时，2222'0x a x x f x x ax ax-==＞(()().当0x ＜时，'0f x ＜()，所以f x ()在0(上为减函数.当x 时，'0f x ＞()，所以f x ()在+)∞上为增函数.综上，0a ＜时，f x ()在0+(,)∞上为减函数；0a＞时，f x ()在+)∞上为增函数，在0(上为减函数.【提高题12】讨论函数21ln 102f x a x x a x a =+-+其中＞()()()的单调区间.【解析】函数f x ()的定义域为0+(,)∞.211'1a x a x a x a x f x x a x x x -++--=+-+==()()()()()当01a ＜＜时，由'0f x ＞()，得1x ＞或0x a ＜＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得1a x ＜＜，此时f x ()为减函数.当1a =时，'0f x ()≥恒成立，当且仅当1x =时，'0f x =()，所以f x ()在0+(,)∞上为增函数.当1a ＞时，由'0f x ＞()，得x a ＞或01x ＜＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得1x a ＜＜，此时f x ()为减函数.综上，当01a ＜＜时，f x ()的增区间为1+(,)∞和0a (,)，减区间为1a (,)；当1a =时，f x ()在0+(,)∞上为增函数；当1a ＞时，f x ()的增区间为a +(,)∞和01(,)，减区间为1a (,).【基础题13】求函数21ln 2f x x x =-()的单调区间.【解析】由f x ()得21412121'20222x x x f x x x x x x-+-=-==＞()()()().令'0f x ＞()，得12x ＞，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得102x ＜＜，此时f x ()为减函数；故函数f x ()的单调递增区间为()12+,∞，单调递减区间为()102,..【提高题13】已知函数3213532f x x x m =-+-()有3个零点，求实数m 的取值范围.【解析】令32135032f x x x m =-+-=()，即3213532x x m -+=，令3213532hx x x =-+()，则2'33h x x x x x =-=-()()，当0x ＜或3x ＞时，'0h x ＞()，h x ()单调递增；当03x ＜＜时，'0h x ＜()，hx ()单调递减，所以h x ()有极大值05h =()，极小值132h =().因为f x ()有3个零点，所以曲线y h x =()与直线y m =有3个交点，所以实数m 的取值范围是()152,.【基础题14】求函数231ln f x x x x =-++-()的单调区间.【解析】由f x ()得21231211'230x x x x f x x x x x x --+---=-+-==＞()()()()().令'0f x ＞()，得112x ＜＜，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得1x ＞或12x ＜，此时f x ()为减函数；故函数f x ()的单调递增区间为()112,，单调递减区间为()102,和1+(,)∞.【提高题14】设三次函数3231f x ax ax =-+()有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A .()14-,∞B .()104,C .()14+,∞D .02(,)【解析】2'3632f x ax ax ax x =-=-()().若0a ＞，由'0f x ＞()，得2x ＞，或0x ＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得02x ＜＜，此时f x ()为减函数.所以f x ()在x =0处取得极大值010f =＞()，在x =2处取得极小值214f a =-().因为函数f x ()有3个零点，所以2140f a =-＜()，得14a ＞.若0a ＜，由'0f x ＞()，得02x ＜＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得02x ＜＜，2x ＞，或0x ＜，此时f x ()为减函数.所以f x ()在x =0处取得极小值010f =＞()，在x =2处取得极大值214f a =-()，此时函数f x ()只有1个零点，不合题意.综上，实数a 的取值范围是()14+,∞.故选C .【基础题15】求函数210a x f x a x-=＞()()()的单调区间.【解析】42'00ax x f x a x x -=＞()()(,≠).令'0f x ＞()，得20x x -＞()，即02x ＜＜时，f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得20x x -＜()，即2x ＞，或0x ＜时，f x ()为减函数.故f x ()的增区间为02(,)，减区间为0-(,)∞和2+(,)∞.【提高题15】若函数ln f x x kx =-()有2个零点，求实数k 的取值范围.【解析】方法1（分离参数法）令ln 0f x x kx =-=()，得ln x k x =，令ln xh x x=()，则21ln '0xh x x x -=＞()()，当e x ＞时，'0h x ＜()，h x ()单调递减；当0e x ＜＜时，'0h x ＞()，hx ()单调递增，所以hx ()有极大值1e e h =().又0x ＞且0x →时，h x →-()∞；x →+∞时，0h x →().由题意，函数f x ()有2个零点，所以曲线y h x =()与直线y k =有2个交点，所以实数k 的取值范围是()10e,.方法2（参数讨论法）11'0kxf x k x x x -=-=＞()().当0k ≤时，'0f x ＞()，f x ()在0+(,)∞上为增函数，f x ()至多一个零点，不合题意.当0k ＞时，令'0f x ＞()，得10x k＜＜，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得1x k＞，此时f x ()为减函数；当1x k =时，'0f x =().所以f x ()有极大值()11ln 1fk k=-.因为函数f x ()有2个零点，且0x →时，f x →-()∞；x →+∞时，f x →-()∞，所以()10fk ＞，即1ln 10k -＞，解得10ek ＜＜.方法3（切线法，数形结合）令ln 0f x x kx =-=()，得ln x kx =，作出函数ln y x =与y kx =的图象，当直线y kx =与曲线ln y x =相切时，设切点为00x y (,)，则001|ln 'x x k x x ===切()，由000001ln y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,,得0e x =，所以e k =切1，因为函数f x ()有2个零点，所以直线y kx =与曲线ln y x =有两个交点，由图易知，10ek ＜＜.每日一题（2020年2月16日）【基础题16】求函数232320f x a x ax a =-+＞()()的单调区间.【解析】22'36320f x a x ax ax ax a =-=-＞()()().令'0f x ＞()，得20x ax -＞()，所以2x a＞，或0x ＜，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得20x ax -＜()，所以20x a＜＜，此时f x ()为减函数.故f x ()的增区间为0-(,)∞和()2a +,∞，减区间为()20a ,.【提高题16】若函数213ln 42f x x x x a =+--()在14[,]上恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．5ln 224⎡⎤--⎢⎣⎦,B ．()5ln 224-,C ．(5ln 224⎤--⎥⎦,D ．(5ln 224⎤-⎥⎦,【解析】21133212'142222x x x x f x x x x x x-+--=+-==()()()(≤≤).当12x ＜≤时，'0f x ()≤，f x ()单调递减；当24x ＜≤时，'0f x ()≥，f x ()单调递增.所以f x ()在2x =处有极小值2ln 213ln 22f a a =+--=--()，因为f x ()在14[,]上有2个零点，所以201040f f f ⎧⎪⎨⎪⎩＜(),()≥,()≥,解得ln 22542ln 22a a a -⎧⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩＞,≤,≤.因为()53ln 222ln 244---=-(2)331044=-2＞，所以5ln 224--＞2，所以5ln 224a --＜≤.故选C ．【基础题17】已知函数ln f x x x ax =+()，若曲线y f x =()在1x =处的切线与直线210x y +-=互相垂直，求函数f x ()的单调区间.【解析】'1ln 0f x x a x =++＞()()，因为曲线y f x =()在1x =处的切线与直线210x y +-=互相垂直，所以切线斜率1'11212k f a ==+=-=-切()，得1a =，所以'2ln 0f x x x =+＞()().令'0f x ＞()，即2ln 0x +＞，得21ex ＞，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，即2ln 0x +＜，得210ex ＜＜，此时f x ()为减函数.故f x ()的增区间为()21e +,∞，减区间为()210e ,.【提高题17】已知函数2ln f x x m x =-()，2g x x x a =-+()，m a R ,∈.（I）若0a =时，f x g x ()≥()在1+(,)∞上恒成立，求m 的取值范围；（II）若2m =时，函数h x f x g x =-()()()在区间13[,]上恰有两个零点，求a 的取值范围.【解析】（I）当0a =时，“f x g x ()≥()在1+(,)∞上恒成立”等价于“1ln xm x x＞≤()恒成立”.令1ln xx x xϕ=＞()()，则只需min m x ϕ≤[()].因为2ln 1'ln x x x ϕ-=()()，所以当e x ＞时，'0x ϕ＞()，x ϕ()单调递增；当1e x ＜＜时，'0x ϕ＜()，x ϕ()单调递减.所以minx ϕ[()]e e ϕ==()，所以e m ≤，即实数m 的取值范围是e -(,]∞.（II））当2m =时，2ln 3hx x x a x =--()(1≤≤)，22'1x h x x x-=-=()，所以当23x ＜≤时，'0h x ＞()，h x ()单调递增；当12x ＜≤时，'0h x ＜()，h x ()单调递减.所以h x ()有极小值222ln2h a =--().又11h a =-()，332ln3h a =--()，则13132ln3h h a a -=----()()()()222ln 32ln 3ln e 0=-=-＞，所以13h h ＞()()，因为函数h x ()在区间13[,]上恰有两个零点，所以3020h h ⎧⎨⎩＜()≥,().即32ln 3022ln 20a a --⎧⎨--⎩＜≥,.解得a 的取值范围是22ln 232ln 3--(,].【基础题18】在三棱柱111ABC A B C -中，D E F ,,分别为AB ，11BC A C ,的中点．求证：//FE 平面1A CD ．【证明】连接DE ，因为D E F ,,分别为AB ，11BC A C ,的中点，所以DE //=12AC //=1A F ，所以四边形1DEFA 是平行四边形，所以1//FE A D ，又因为FE ⊄平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，所以//FE 平面1A CD ．【提高题18】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△'A DE ，且F 为线段'A C 的中点，求证：//BF 平面'A DE ．【证明】取'A D 的中点G ，连接GF GE ,，则//GF =//12DC =EB ，所以四边形BFGE 为平行四边形，所以//BF GE ，又因为BF ⊄平面'A DE ，GE ⊂平面'A DE ，所以//BF 平面'A DE ．【基础题19】（2017 浙江，19）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）略．【解析】（1）证明：取PA 的中点F ，连接FE FB ,，因为E 为PD 的中点，所以//FE =12AD ，因为//BC AD ，2AD CB =，所以//FE =BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，所以//CE BF ，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．【提高题19】如图，已知D E ,分别为三棱柱111ABC A B C -底边11BC A C ,的中点，求证：(I )//DE 平面11ABB A ；(II )1//C D 平面EAB ；(III )1//A B 平面1C AD .【解析】证明：(I )取AB 的中点G ，连接1A G DG ,，因为D 为BC 的中点，所以//GD =12AC ，因为1//A E AC ，112A E AC =，所以1//A E =GD ，所以四边形1A EDG 是平行四边形，所以1//DE A G ，又DE ⊄平面11ABB A ，1A G ⊂平面11ABB A ，所以//DE 平面11ABB A ．(II )证明：(I )取AB 的中点G ，连接EG DG ,，因为D 为BC 的中点，所以//GD =12AC ，因为1//EC AC ，112EC AC =，所以1//EC =GD ，所以四边形1EC DG 是平行四边形，所以1//C D EG ，又1C D ⊄平面EAB ，EG ⊂平面EAB ，所以1//C D 平面EAB ．(III )【解析】证明：(I )连接1A C ，交1AC 于O ，连接OD ，因为D 为BC 的中点，所以1//A B OD ，又1A B ⊄平面1C AD ，OD ⊂平面1C AD ，所以1//A B 平面1C AD ．【基础题20】（2017 课标II ，理19）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=o，E 是PD 的中点．（Ⅰ）证明：直线//CE 平面PAB ；（Ⅱ）略．【解析】（Ⅰ）证明：取PA 的中点F ，连接FE FB ,，因为E 为PD 的中点，所以//FE =12AD ，因为90BAD ABC ∠=∠=o，所以//BC AD ，又12BC AD =，所以//FE =BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，所以//CE BF ，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．【提高题20】（2019 新课标1，文19）如图，直四棱柱1111A B C D ABCD -的底面是菱形，114A A =，2AB =，60BAD ∠=o，E M N ,,分别是11BC BB A D ,,的中点．(I )证明：//MN 平面1C DE ；（Ⅱ）略．【解析】(I )（证法1）连接1B C ，ME ．因为M E ,分别为1BB ，BC 的中点，所以//ME =112B C ．由题设知11//A B =DC ，所以四边形11A B CD 是平行四边形，因为N 为1A D 的中点，所以//ND =112B C ．故//ME =ND ，所以四边形MNDE 为平行四边形，所以//MN DE ．又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE ．（证法2）取AD 的中点F ，连接NF BF ,．因为M N E ,,分别为11B B A D BC ,,的中点，所以//NF =1//12A A =MB ，所以四边形BMNF 是平行四边形．所以MN BF //，又//FD =BE ，所以四边形BEDF 是平行四边形，故//BF DE ，所以//MN DE ．又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE ．【基础题21】在四棱锥P ABCD -中，F 为PB 的中点，PC ⊥底面ABCD ，且底面ABCD是正方形，求证：//PD 平面ACF ．【解析】证明：连接BD ，交AC 于O ．则O 为BD 的中点．因为F 是PB 的中点，所以FO 是BDP △的中位线，所以//PD FO ，又PD ⊄平面ACF ，FO ⊂平面ACF ，所以//PD 平面ACF ．【提高题21】在正方体ABCD 1111A B C D -中，已知P Q ,分别为111A C CD ,的中点.求证：//PQ 平面11BCC B ．【解析】（证法1：利用三角形中位线的性质）连接111B D B C ,，因为P 是11A C 的中点，所以P 为11B D 的中点，因为Q 是1D C 的中点，所以PQ 是11D B C △的中位线，所以1//PQ B C ，又因为PQ ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以//PQ 平面11BCC B ．（证法2：利用平行四边形的性质)设111CC B C ,的中点分别为G H ,，连接QG PH GH ,,．1111111111////11//////22PQ GH PQ BCC B GH BCC B Q G D C A B PH PQGH PQ BCC B ⇒⇒⎬⊂⎫⎪⎭⊄⇒⎪平由四边形为平面行四边形.面面＝平平＝＝ （证法3：利用面面平行的性质)取11D C 的中点O ，则1//QO CC ．111111111111////////QO CC QO BCC B QO BCC B CC BCC B P PO O BCC B Q BCC B PQ POQ PO QO O ⎫⎫⎫⎪⎪⎪⊄⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪⊂⎪⎭⎪⇒⎬⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎭⊂⎪⎪⎭平面平平面平面平面 同平面理平面面11//PQ BCC B ⇒平面．【基础题22】（如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是该四棱锥的高，求证：（Ⅰ）AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）略．【解析】证明：PH ABCD PH AC AC ABCD AC PBD AC BD PH BD H ⎫⎫⇒⎪⎬⊂⎭⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪=⎭⊥平面⊥平面⊥平面⊥.【提高题22】如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE ，AC BD G = .求证：⊥AE 平面BCE .【解析】证明：//AD ABE BC ABE BC AE AD BC AE ABE AE BCE BF ACE BF AE AE ACE BC BF B ⎫⎫⎫⎪⇒⎪⎪⎬⇒⎪⎬⎪⎭⎪⎪⊂⎭⎪⎪⇒⎬⎫⇒⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪=⎭⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面.【基础题23】（2018 新课标1卷改编）在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=o，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ACD ；（Ⅱ）略．【解析】证明：（Ⅰ）//90MC ABAB AC ACM AB ACD AB DA AC DA A ⎫⎫⇒⎪⎬∠=⎭⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪=⎭o ⊥⊥平面⊥.【提高题23】（2018 新课标2卷）如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（Ⅰ）证明：PO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）略．【解析】（Ⅰ）证法1：连接BO ，因为AB BC ==，4AC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥．12AB BCOB AC AO O AC PAO PBOPA PB PO BO PO PO PO ABC PA PC PO AO O AC PO AO BO AO O ⎫⎫⊥⎫⎫⇒==⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⇒=⎬⎪⎪⎪⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎪⎪=⎪⎭⎪⇒⊥⎬⎪⎫=⎪⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎪⎭⎭⎪⎪⊥⎪⎪⎪=⎭为中点≌平面为中点△△证法2：连接BO ，因为AB BC ==，O 为AC 的中点，所以AC BO ⊥，又4PA PB PC AC ====，所以2BO ==，同理，PO AC ⊥，PO ==，所以222PB PO BO =+，所以PO BO ⊥，又AO BO O = ，所以PO ⊥平面ABC ．【基础题24】（2017年 课标1，文18改编）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）略．【解析】（Ⅰ）证明：90//90CDP AB PD AB CD AB PAD BAP PA PD P ⎫⎫∠=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⇒∠=⎬⎪⎪⎪=⎭oo ⊥平面.【提高题24】（2017年 北京卷，文18）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）略．【解析】（Ⅰ）证明：PA AB PA BC PA ABC PA BD AB BC B BD ABC ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⊥⎪⎬⇒⊥⎬⎪=⎪⎭⎪⊂⎭平面平面.（Ⅱ）证明：AB BC AC BD D AC BD PAC PA BD AC PA A ⎫⎫=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⎪=⎭为的中点平面.【基础题25】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ,,分别为棱PC AC AB ,,的中点，PA AC ⊥，6PA =，8BC =，5DF =，求证：DE ⊥平面ABC ．【解析】证明：连接EF ，因为D E F ,,分别为PC AC AB ,,的中点，所以//DE =12PA ，//EF =12BC ，2221321425//DE PA EF BC DF DE EF DE EF DF DE ABC PA DE DE AC PA AC EF AC E ⎫⎫==⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⇒=+⇒⎬⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⇒⎬⎭⎪⎫⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪⎪=⎭ ⊥⊥平面.【提高题25】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．求证：（Ⅰ）BC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）DE ⊥平面PBC ；（III ）PB ⊥平面DEF ．【解析】证明：（Ⅰ）PD ABCD PD BC BC ABCD BC PCD DC BC AB BC B ⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⊂⎭⎪⎪⇒⊥⊥⎬⎪⎪⎪=⎭ 平面平面平面.（Ⅱ）PD DC PC DE E PC BC PCD DE PBC BC DE DE PCD PC BC C ⎫⎫=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎪⎭⎪⎪⎪=⎭ 为的中点平面平面平面.（III ）DE PBC DE PB PB PBC PB DEF EF PB DE EF E ⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⊂⎭⎪⎪⇒⊥⊥⎬⎪⎪⎪=⎭平面平面平面.【基础题26】（2018年全国卷I ，文）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =o∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）略．【解析】证明：（Ⅰ）//90MC ABAB AC ACM AB ACD AB DA ACD ABC AC DA A AB ABC ⎫⎫⎫⇒⎪⎪⎬∠=⎪⎭⎪⎪⎪⇒⎬⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⊂⎭o 平面平面平面平面⊥⊥⊥⊥.【提高题26】（2019年全国卷Ⅲ，文）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC △和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=o．将其沿AB BC ,折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（Ⅰ）证明：平面ABC ⊥平面BCGE ；（Ⅱ）略．【解析】证明：（Ⅰ）由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，BC BE B = ，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．【基础题27】（2017年新课标II 卷改编，文）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==,90BAD ABC ∠=∠=o．求证：（Ⅰ）直线//BC 平面PAD ；（Ⅱ）AB PD ⊥；（III ）平面PAB ⊥平面PAD ．【解析】证明：（Ⅰ）//BAD ABC BC ADBC PAD BC PAD AD PAD ∠=∠⇒⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面//平面平面.（Ⅱ）PAD ABCD AB AD AB PAD AB PD PAD ABCD AD AB ABCD PD PAD ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⎪⎪⇒⊥⎬⎪⇒⊥=⎬⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⊂⎭ 面面面面面面面.（III ）AB PAD PAB PAD AB PAB ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面面面.【提高题27】（2018年全国卷Ⅲ，文）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD上异于C ，D 的点．(Ⅰ)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(Ⅱ)在线段AM 上是否存在点P ，使得M C ∥平面PBD ？说明理由．【解析】（Ⅰ）证明：由题设知，面CMD ⊥面ABCD ，面CMD 面ABCD CD =．因为BC CD ⊥，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥面CMD ，则DM ⊂面CMD ，故BC DM ⊥．因为DC 为直径，所以CM DM ⊥，又BC CM C = ，所以DM ⊥面BMC ，而DM ⊂面AMD ，故面AMD ⊥面BMC ．（Ⅱ）当P 为AM 的中点时，//MC 面PBD ，证明如下：连结AC 交BD 于O ，连结OP ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点，又因为P 为AM 中点，所以//MC OP ．又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以//MC 平面PBD．【基础题28】（2017年 北京卷改编，文18）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当//PA DE 时，求三棱锥E BCD -的体积（只做此问）．【解析】（Ⅰ）证明：PA AB PA BC PA ABC PA BD AB BC B BD ABC ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⊥⎪⎬⇒⊥⎬⎪=⎪⎭⎪⊂⎭平面平面.（Ⅱ）证明：AB BC AC BD D AC BD PAC PA BD AC PA A ⎫⎫=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⎪=⎭为的中点平面.（III ）因为//PA DE ，D 为AC 中点，所以112DE PA ==，12BD AC =由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ．所以三棱锥E BCD -的体积V =111323BD DC DE ⨯⨯⨯⨯=．【提高题28】（2017年 新课标1，文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积（只做此问）．【解析】（Ⅰ）证明：90//90CDP AB PD AB CD AB PADBAP PAB PAD PA PD P AB PAB ⎫⎫⎫∠=⎪⇒⊥⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⇒∠=⎬⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⊂⎭oo ⊥平面平面⊥平面平面.（Ⅱ）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ．由（Ⅰ）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，得PE ⊥面ABCD ．设AB x =，则AD ，22PE x ．故3118333P ABCD V AB AD PE x -=== ，故2x =，即2PA PD ==，由//AB =CD 知ABCD为平行四边形，故A D B C P B P C ====．得P ABCD S -=侧21111sin6062222PA PD PA AB PD DC BC +++=+o【基础题29】（2019 全国课标卷II ，文）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．（Ⅰ）证明：BE ⊥平面11EB C ；（Ⅱ）若1AE A E =，3AB =，求四棱锥11E BB C C -的体积．【解析】（Ⅰ）由已知得11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知190BEB ∠=o，由题设知11Rt Rt ABE A B E ≌△△，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故3AE AB ==，126AA AE ==．作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==．所以四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=．【提高题29】（2016年 石家庄模拟）在如图所示的几何体中，CDEF 为正方形，ABCD为等腰梯形，//AB CD ，AC =，22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证:AC ⊥平面FBC ；（Ⅱ）求四面体FBCD 的体积（只做此问）；（Ⅲ）略．【解析】证明：（I）在ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为AC FB ⊥，BC FB B = ，所以AC ⊥平面FBC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC BC ⊥，AC ⊥平面FBC ，所以AC FC ⊥，因为CD FC ⊥，AC CD C = ，所以FC ⊥平面ABCD ．在等腰梯形ABCD 中，分别过C D ,作CH AB ⊥，DG AB ⊥，H G ,为垂足，在Rt ABC △中，由12BC AB =知30CAB ∠=o，则60ABC ∠=o，在Rt BCH △中，30BCH ∠=o，所以1122AG BH BC ===，所以1DC GH ==，所以BCD △的面积为13sin12024BCD S DC BC ==o△，所以四面体FBCD 的体积为F BCD V -13312BCD S FC ==△．【基础题30】如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE EB BC ===2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，AC BD G ＝.（I）求证:F 为CE 的中点；（II）求证:AE ∥平面BFD ；（II）求证:AE ⊥平面BCE ；（IV ）求三棱锥G BCF -的体积.【解析】（I）因为BF ⊥平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，所以BF CE ⊥，又EB BC =，所以F 为CE 的中点.（II）连接GF ，在矩形ABCD 中，G 为AC 中点，又F 为CE 的中点，所以GF AE //，又GF ⊂平面BFD ，AE ⊄平面BFD ，所以AE ∥平面BFD .（III）//AD ABE BC ABE BC AE AD BC AE ABE AE BCE BF ACE BF AE AE ACE BC BF B ⎫⎫⎫⎪⇒⎪⎪⎬⇒⎪⎬⎪⎭⎪⎪⊂⎭⎪⎪⇒⎬⎫⇒⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪=⎭⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面.（IV ）由（II）知，GF AE //，由（III）知，AE ⊥平面BCE ，所以GF ⊥平面BCE ，故GF 是三棱锥G BCF -的高，且112GF AE ==.由BC ⊥平面ABE BC BE ⇒⊥，则12BCF BCE S S =△△11122BC BE == ，所以1133G BCF BCF V S GF -== △.【提高题30】在R t ABC △中，90ABC ∠o＝，2AB ＝，BC ＝，D 为AC 的中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，如图（1）所示.现将ABD △沿BD 折起，使点A到1A 位置，且145A EF ∠=o，如图（2）所示.（I）求证：1A F BD ⊥；（II）求三棱锥1B AEF -的体积.【解析】（I）证明：∵BD AF ⊥，∴1BD AE ⊥，BD EF ⊥，又∵1A E EF E ＝，∴BD ⊥平面1A EF ，∵1A F ⊂平面1A EF ，∴1AF BD ⊥．（II）∵90ABC ∠=o，2AB =，BC =，∴4AC ==，∵D 为AC的中点，∴122BD AC AD AB ====，∴ABD △为正三角形，∴30BAF ∠=o，112BE BD ==，∴在R t ABF △中，23tan 2tan 303BF AB BAF ∠⨯o＝＝＝，在R t BEF △中，33EF ==，在1R t A BE △中，1A E ==，又145A EF ∠=o，∴1111sin 2A EF S A E EF A EF =∠= △13222324⨯=，又由（I）BE 为三棱锥1B A EF -的高，从而1B A EF V -111133412A EF S BE =⨯=⨯=△.【基础题31】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PD =，60DAB ∠=o．（Ⅰ）证明：AD PB ⊥；（Ⅱ）若PB =2AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积．【解析】（Ⅰ）证明：取AD 的中点O ，连接PO ，BO ．因为PA PD =，所以AD PO ⊥．因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=o，所以AB BD =，所以AD BO ⊥，又PO BO O = ，所以AD ⊥平面POB ，因为PB ⊂平面POB ，所以AD ⊥PB ．（Ⅱ）因为2AB PA ==，所以PAD △、BAD △、BCD △均是边长为2的正三角形，所以PO BO==2DC BC ==，又PB =，所以222PB PO BO =+，所以PO BO ⊥，又AD BO O = ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 是三棱锥P BCD -的高，所以13P BCD BCD V S PO -=11sin 60132DC BC PO ==o()．【提高题31】（2017年新课标II 卷，文）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==,90BAD ABC ∠=∠=o．求证：（Ⅰ）直线//BC 平面PAD ；（Ⅱ）若PCD △的面积为，求四棱锥P ABCD -的体积．【解析】（Ⅰ）证明：//BAD ABC BC AD BC PAD BC PAD AD PAD ∠=∠⇒⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面//平面平面.（Ⅱ）如图，取AD 的中点M ，连接PM CM ,，因为侧面PAD 为等边三角形，所以PM AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，所以PM ⊥底面ABCD ，因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥．由题意知四边形ABCM 为正方形，则CM AD ⊥．设BC x =，则CM x =，CD =，PM =，2PC PD x ==，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN CD ⊥，所以PN ，所以12PCD S ==△，解得2x =，于是2AB BC ==，4AD =，PM =12+32P ABCD V -==(24)．。