高三数学每日一题(原创)

第1题（2020年2月1日）

【基础题1】若3tan 4

α=，则2

cos 2sin2αα+=（

）

（A ）

6425

（B ）

4825

（C ）1

（D ）

1625

【解析】由3tan 04α=＞，及22

sin cos 1αα+=，得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,或3sin 54cos 5αα⎧

=-⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

,.

所以2

cos 2sin 2αα+=2161264

cos 4sin cos 4252525

ααα+=

+⨯=，故选A ．另解：2cos 2sin2αα+=2

2

22cos 2sin2cos 4sin cos 1sin cos ααααααα++=+23

1414tan 6449tan 1251

16

αα+⨯

+===++．【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角公式.

【提高题1】已知θ是第四象限角，且()π3sin 45θ+=，则()

π

tan 4

θ-=.

【解析】 θ是第四象限角，且

()π3

sin 0

45

θ+=＞，

∴()

π4

cos 45

θ+=

，

ππ3sin cos cos sin 445

ππ4cos cos sin sin 445θθθθ⎧+=⎪⎪⎨

⎪-=⎪⎩,∴

,

解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∴sin 1tan cos 7θθθ==-，()

πtan 4θ-1π

1

tan tan

474π131tan tan 1147θθ---===-+-⨯.

另解： θ是第四象限角，且(

)π3sin 045θ+

=＞，∴()

π4

cos 45

θ+=，∴()πtan 4θ-()()()πsin π4tan π4cos 4θθθ-=--=-

-()()()()πππcos cos 4244πππ3sin sin 424θθθθ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦

.

另解2：()

π3ππ3

sin sin cos cos sin 45445θθθ+

=⇒+=⇒32sin cos 5

θθ+=⇒218sin cos 25θθ+=

()⇒72sin cos 25θθ=-⇒232

sin cos 25

θθ-=()， θ是第四象限角，∴sin 0θ＜，cos 0θ＞，∴42

sin cos 5

θθ-=-

，从而()

π

tan tan

πtan 14tan π41tan 1tan tan 4θθθθθ---==++sin 1cos sin 1cos θθθθ-==+sin cos cos sin θθθθ-+4245332

5

-

==-．【考点】三角恒等变换．

【基础题2】设ABC △的角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，已知2

2

b c a bc -=-()．（I）求A ；（II）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC △的面积．【解析】（I）2

2

2

2

2

π2cos 3

b c a bc b c a bc bc A A -=-⇒+-==⇒=

()．

（II）sin 2sin 2C B c b =⇒=，代入2

2

2

b c a bc +-=中，得b =，故c =，所以

133

sin 22

ABC S bc A ==

△．【提高题2】在ABC △中，设a b c ,,分别为角A B C ,,所对的边.已知3c =，π

3

C =.（I）若sin 2sin B A =，求a b ,的值；（II）求2

2

a b +的最大值.【解析】（I）因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =.

由余弦定理得2

2

2

2cos c a b ab C =+-，即2

2

2

π

32cos 3

a a a a =+- (2)2，得a =

从而b =.

（II）由余弦定理得2

2

2

π32cos

3

a b ab =+-，即22

9ab a b =+-，由基本不等式得2

2

2a b ab +≥，所以2

2

a b +≥2

2

29a b +-()，得2

2

18a b +≤，当且仅当3a b ==时，2

2

max 18a b +=().

【基础题3】在正项等比数列n a {}中，1336a a =，2460a a +=，

函数12n f n a a a =+++ ()，n *N ∈，求满足400f n ＞()的n 的最小值.

【解析】设n a {}的公比为0q q ＞()，由13243660a a a a =⎧⎨+=⎩，，知2

12

1

36160a q a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，

，()()解得123.a q =⎧⎨=⎩,又由400n S ＞，得21340013

n --＞()

，由n *N ∈，得n 的最小值为6.

【提高题3】已知数列n a {}的前n 项和41132

n n n n S -+=+

()

，求证：不等式14n n S S +≥对任意n *

N ∈均成立.

【证明】14n n S S +-=1411411243232n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-+-+++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

()()()2

1342n n =+-()，

设函数f x =()2

1342

x x +-()，则f x ()是1+[,)∞上的增函数，

故1n =时，2

2

1

134311402

2

n n +-⨯+-=()≥()，即14n n S S +≥对任意n *

N ∈均成立.