2017秋人教A版高中数学必修四课件：2-5平面向量应用举例 精品
人教A版数学必修四2.5 平面向量应用举例.docx
2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习·练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为A. B.5N C.10N D.2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.3．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE ⊥EF于E,CF⊥EF于F,都有++=0,则点M是△ABC的()A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.6．在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|的值.7．某人骑车以速度a向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC中,·=0, ||=8,||=6,l为线段BC 的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求·的值;(2)判断·的值是否为一个常数,并说明理由.能力提升1．根据指令(r,θ)(r≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令取.2．如图，已知扇形OAB的周长2+，面积为，并且.(1)求的大小；(2)如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中、，求的最大值与最小值的和；(3)若点C、D在以O为圆心的圆上，且.问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】1．A2．C3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0即为+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.4．10N5．设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.6．如图,在四边形ABCD中,∵+=+=0,∴=,=.∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||=1,∴四边形ABCD为菱形.∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形.∴|+|=|+|=||=2||=.|+|=||=||=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解.7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.桑水如图所示,设 =-a, =-2a, =v,∵ + = ,∴ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵ + = ,∴=v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO, ∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,| | =|| = |a|,即|v|= |a|. ∴实际风速的大小是 |a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A( ,),此时 =(- ,-), =(-10,0), 所以 ·=-×(-10)+(-)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时=(-,y-), 所以 · =-×(-10)+(y-)×0=14为常数,故 ·的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =，因为OA 与x 轴正方向的夹角为45，所以42,45r θ==，故指令为()42,45(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球， 由题意2PB AP =，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=， 即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA 与AP 的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-.桑水2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅，所以18081.8798.13θ=-=又5AP =，OA 旋转到AP 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-. 2．(1)设扇形半径为 ，圆心角由得或又当,时，不成立； 当 ,时，成立， 所以(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B，C .由得，. 即. 则又，则，故.(3)由题可知，当且即时【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。
人教A版数学必修四2.5 平面向量应用举例.docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为 A.5√3NB.5NC.10ND.5√2N2．一个人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为 A.v 1-v2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.v 1v 23．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC 内部一点M 任作一条直线EF,AD ⊥EF 于D,BE⊥EF 于E,CF ⊥EF 于F,都有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 是△ABC 的( )A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N ，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D 是△ABC 内的一点,且AB 2-AC 2=DB 2-DC 2,求证:AD ⊥BC.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷6．在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12.求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的值. 7．某人骑车以速度a 向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,l 为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点D,E 为l 上异于D 的任意一点.(1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)判断AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是否为一个常数,并说明理由. 能力提升1．根据指令(r ,θ)(r ≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(取cos81.87∘=√210). 2．如图，已知扇形OAB 的周长2+ 23π，面积为π3，并且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &(1)求∠AOB 的大小；(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上变动.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其中 x 、y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .问BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ取何值时，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大？并求出这个最大值.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】 1．A 2．C 3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF 经过C 点时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,EF 即为AB 边上的中线,同理,当EF 经过A点时,EF 是BC 边上的中线,因此,点M 是△ABC 的三条中线的交点,故选B. 4．10N5．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d,则a=e+c,b=e+d,所以a 2-b 2=(e+c)2-(e+d)2=c 2+2e ·c-2e ·d-d 2. 由已知可得a 2-b 2=c 2-d 2,所以c 2+2e ·c-2e ·d-d 2=c 2-d 2,所以e ·(c-d)=0.因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d-c,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e ·(d-c)=0,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AD ⊥BC. 6．如图,在四边形ABCD 中,∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴四边形ABCD 为菱形. ∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解. 7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a 向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a 时感到的风速为v-2a.如图所示,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =v,& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ =v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO,∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|PB⃗⃗⃗⃗⃗ | =√2|a|,即|v|=√2|a|. ∴实际风速的大小是√2|a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A(75,245),此时AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,-245),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,0), 所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(-245)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y ≠0),此时AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,y-245), 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(y-245)×0=14为常数,故AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a ·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =u u u r ，因为OA u u u r 与x 轴正方向的夹角为45o ，所以42,45r θ==o ，故指令为()42,45o(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球，由题意2PB AP =u u u r u u u r，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=，即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA u u u r 与AP u u u r的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-u u u r u u u r u u u r.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅o u u u r u u u ru u u r u u u r，所以18081.8798.13θ=-=o o o 又5AP =u u u r ，OA u u u r 旋转到AP u u u r 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-o.2．(1)设扇形半径为r ，圆心角∠AOB =α由{2r +αr =2+23π12αr 2=π3得{r =1α=2π3或{r =π3α=6π 又当r =π3,α=6π时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1不成立； 当r =1,α=2π3时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1成立， 所以∠AOB =2π3(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B (−12,√32)，C (cosθ,sinθ).由OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得cosθ=x −y2，sinθ=√32y . 即x =cosθ+√33sinθ,y =2√33sinθ. 则xy =(cosθ+√33sinθ)(2√33sinθ)=23sin(2θ−π6)+13又θ∈[0,23π]，则2θ−π6∈[−π6,7π6]，故(xy)max + (xy)min =1+0=0.(3)由题可知D(−cosθ,−sinθ)& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+12,sinθ−√32),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cosθ−1，−sinθ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3sin (θ−π3)−32当θ−π3=π2+2kπ(k ∈Z )且θ∈[0,π],即θ=5π6时(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =√3−32【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。
数学必修四课件 2.5 平面向量应用举例
• 【点评】本题关键是理解共点力平衡的特点， 在共点力的作用下处于平衡状态时，那么其中 的任何一个力必定与其他力的合力大小相等， 方向相反.
用力 F 推动一物体沿直线运动 s m，设力 F 与 物体运动方向的夹角为 θ，则力 F 对物体所做的功为( A．|F|s C．Fssin θ B．Fscos θ D．|F|scos θ )
• 【解题探究】在三个共点力的作用下处于平衡 状态，那么其中的任何一个力必定与其他力的 合力大小相等，方向相反，求出F1，F2的合 力，再与F3合成即可，此时它们间的夹角为 120°. • 【答案】B • 【解析】根据共点力平衡的特点可知，F1，F2 的合力与F3大小相等，方向相反．当把F3的方 向在同平面内旋转60°时，就相当于计算两个 大小相等的力，在夹角为120°时的合力的大 小．根据平行四边形法则可知，此时合力的大 小为|F3|.故选B.
• 【答案】D • 【解析】力对物体所做的功等于力向量与位移向量的 数量积，由向量的数量积的知识可知D正确．
利用向量判断平面图形形状时的误区 → → → →2 【示例】在△ABC 中，(BC＋BA)· AC＝|AC| ，则△ABC 的 形状一定是( ) B．等腰三角形 D．等腰直角三角形
பைடு நூலகம்
A．等边三角形 C．直角三角形
• 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
向量 向量问题 运算
• 1．想一想 • 船逆水行驶的实际速度，可看作向量怎样的运 算？ • 【解析】可看作船的静水速度(向量ν1)与水流速 度(向量ν2)的和运算，即ν1＋ν2.
2．判一判(判断下列说法的正误) → → (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB· BC＝0.( → → (2)若AB∥CD，则直线 AB 与 CD 平行．(
高中数学 2.5.2平面向量的应用举例课件 新人教A版必修4
反思小结 观点提炼
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系， 再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？ 用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
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设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
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[作业精选，巩固提高]
• 题：A组：3，4. B组：2.
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2.5.2平面向量的应用举例
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1
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
问题1：你能掌握物理中的哪些矢量？
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2
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
用向量研究物理问题的方法: 问题转化，即把物理问题转化为数学问题； 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
高中数学必修四人教A版 课件《2-5平面向量应用举例-2》
1
即 cos θ= ,又 0°<θ<90°, ∴θ=60°.
答案:D
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探究一
探究二
易错辨析
探究二用向量解决力学问题
【例 2】 (1)两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90°时 ,合力的大小为 20 N,则当它们的夹角为 120°时 ,合力的大小 为( ) A.40 N B.10 2 N C.20 2 N D. 10 N (2)一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进 60 m,若纤绳与行进方向的夹 角为 ,此人的拉力为 50 N,则纤夫对船所做的功为 耳.
∴|������������ |=|������������ |=|������������|=75 2,| ������������ |=75 6.
从而 |������������ |=150 2,∠CAD=30°. ∴|vb|=150 2 km/h,方向为北偏西 60°
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探究一
探究二
易错辨析
探究一用向量法解决速度问题 6km/h − 2的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行, 【例1】在风速为75( ) 求没有风时飞机的航速和航向. 分析:解本题首先根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有关运算求解.
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π 6
焦
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探究一
探究二
易错辨析
解析:(1)对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N 2 时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角 形法则可知力的合成构成一个等边三角形 ,因此合力的大小为10 N.
人教A版高中数学必修四课件：2-5 平面向量应用举例1
【解析】设木块的位移为s， 则F· s＝|F||s|cos 30°＝50×20× ＝ (J)， F在竖直方向上的分力大小为 3 |F|sin 30°＝50× ＝25(N)， 500 3 2 ×0.02＝1.1(N)， 所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25) 所以f· s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 所以力F，摩擦力f所做的功分别为 J，－22 J.
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
500 3
【题型示范】 类型一 向量在平面几何中的应用 【典例1】 (1)(2013· 福建高考)在四边形ABCD中， 则该四边形的面积为( ) A. B. C.5 D.10
【要点探究】 知识点 1 向量在平面几何中的应用 向量方法在平面几何中应用的五个主要方面 (1)要证明两线段相等，如AB＝CD，则可转化为证明：
(2)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明：存在实数 λ≠0，使 成立，且AB与CD无公共点.
AB ＝
2
CD .
2
AB＝CD
(3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则只要证明数量积 (4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0， 使 AB CD＝0. (5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量 与向量 的夹 角即可.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC是直角三角形，则有 ( ) (2)若 则直线AB与CD平行.( ) (3)向量 的夹角与直线AB,CD .( ) AB 的夹角不相等 BC 0.
AB CD, AB,CD
【解析】(1)错误.因为△ABC是直角三角形，并不一定∠B是直 角，有可能∠A或∠C是直角，故 不一定成立. (2)错误. 所以直线AB与CD平行或重合，故直线AB与 CD平行的结论不一定正确. AB BC 0 (3)正确.直线AB,CD的夹角范围是 当 与 的夹角是锐角或直角时， AB CD, 即为直线AB与CD的夹角，否则不是直线AB与CD的夹角. 答案：(1)× (2)× (3)√
高中数学必修四人教A版 课件《2-5平面向量应用举例-1》
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变式训练
1
已知 A -1,-
7 3
,B 1,
1 3
,C -
1 ,2 2
,D -
7 ,-2 2
,则直线 AB
与直线 CD( ) A.垂直
解析 :������������ = 2,
8 3
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思维辨析
探究二垂直问题 【例2】 已知正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证AF⊥DE.
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变式训练
2
平面上有三个点 A(-2,y),B 0, .
�����Leabharlann ,������ 2������ 2
,C(x,y)(x ≠0),若
������������ ⊥ ������������ ,则动点 C 的轨迹方程为
解析 :∵������������ = 2,������ 2
, ������������ =
, ������������ ⊥ ������������ ,
答案:(1)C (2)2 10 4 2
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2016-2017学年高中数学人教A必修4课件：2.5 平面向量应用举例
[基础·初探] 教材整理 1 平面几何中的向量方法 阅读教材 P109～P110 例 2 以上内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用__向__量___表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为__向__量___问题； (2)通过___向__量__运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把___运__算_结__果______“翻译”成几何关系．
所以P→A＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为P→O＋O→B＝P→B，所以P→B＝v－2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 → PB. 由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB 为等腰直角三 角形，所以 PO＝PB＝ 2a，即|v|＝ 2a，所以实际风速是每小时 2a 千米的西 北风．
第二十六页，编辑于星期五：十六点 二分。
探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？ 【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量 为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问 题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．
第二十九页，编辑于星期五：十六点 二分。
1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用 向量法求解．
2．如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功 W＝|F||s|cos
θ，其中 θ 是 F 与 s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力
与位移的数量积．
第十一页，编辑于星期五：十六点 二分。
最新-人教A版高中数学必修四课件：25 平面向量应用举例5 精品
2
2
，所
AC BD
2.方法一：设 AB a，AD b，
则 AF a 1 b，ED b 1 a，
2
2
所以 AF ED (a 1 b) (b 1 a) 1 b2 1 a2 3 a b.
2
2224
又AB AD，且 AB AD ，
所以a2=b2，a·b=0，所以AF ED=0，所以 AF 即EDA，F⊥DE.
DP 0＜＜ 2a ，
则F( 2 ，0)，P( 2 ， 2 )，E(a， 2 )，A 0，a ，
2
22
2
所以EF ( 2 a， 2 )，PA ( 2 ，a 2 )，
2
2
2
2
因为 EF 2 2 2a a2，PA 2 2 2a a2，
所以 EF PA ，即PA EF.
类型二 平面几何中的长度问题 【典例】1.已知在△ABC中，∠A=60°，BC=a，AC=b，AB=c，AP是BC 边上的中线，则AP的长为( )
因为D为AB的中点，所以
D( n ，m )， 22
所以 CD 1 n2 m2，AB m2 n2， 2
所以 CD 1 AB ，即CD 1 AB.
2
2
(2)因为E为CD的中点，所以
设F(x，0)，则
E(
n ，m 44
)，
因 即为 (x，A，-mE，)=F三A点E共 (线n4，，所43 m以)，AF x， m．
【证明】以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，
DP 0 2 ，
则A 0，1，P( 2 ， 2 )，E(1， 2 )，F( 2 ，0)，
22
2
2
于是PA ( 2 ，1 2 )，EF ( 2 1， 2 )，
2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件：2.5 平面向量应用举例
2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
第二页，编辑于星期五：十六点 七分。
[化解疑难] 向量法在平面几何中的应用 用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向： (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹 角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算 律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几 何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
第五页，编辑于星期五：十六点 七分。
[类题通法] 利用向量解决垂直问题 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向 量的数量积为 0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系 式的形式，也可以考虑坐标的形式．
第六页，编辑于星期五：十六点 七分。
[活学活用]
如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，
第二十三页，编辑于星期五：十六点 七分。
课时达标检测见课时达标检测(二十四)
第二十四页，编辑于星期五：十六点 七分。
答案：垂
第十八页，编辑于星期五：十六点 七分。
3．若动点
P
满足OP
＝OB
＋OC 2
＋λ|
AB AB |cos
＋ B|
AC AC |cos
C，λ∈
(0，＋∞), 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．
答案：外
第十九页，编辑于星期五：十六点 七分。
[随堂即时演练]
1．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为
人教版高中数学必修四平面向量应用举例课件 (4)
思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的关系如何？
思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？
θ∈[0°，180°)
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？为什么？
1
2
3
4
4.已知直线l1：3x＋y－2＝0与直线l2：mx－y＋1＝0的夹角为45°，求实数m的值.解 设直线l1，l2的法向量为n1，n2，则n1＝(3,1)，n2＝(m，－1).
1
2
3
4
整理得：2m2－3m－2＝0，
呈重点、现规律
1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点.(1)求直线DE、EF、FD的方程；
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程.同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1).②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).
2.5.2 向量在物理中的应用举例
2.5 平面向量应用举例
第二章 平面向量
问题提出
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？
高一数学(人教A版)必修4课件：2-5 平面向量应用举例
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4 第二章 2.5
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课堂典例讲练
第二章 2.5
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思路方法技巧
第二章 2.5
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[答案] B
第二章 2.5
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第二章 2.5
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建模应用引路
第二章 2.5
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高中数学 必修四 2.5平面向量应用举例课件 新人教A版必修4
求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． [证明] 设O→A＝(a，b)，O→B＝(c，d)．
当O→A、O→B至少有一个为零向量时，所证不等式成立；
当O→A、O→B均不是零向量时，设其夹角为 α，则有
→→
cosα＝
OA·OB →→
＝
|OA|·|OB|
a2＋acb＋2·bcd2＋d2，
＝|a||b|，其中正确的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
[答案] B
3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋
kb，则l＝________，k＝________.
[答案]
1 10
－12
●自主预习
1．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、 平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否 平行，常运用向量平行(共线)的条件： _a_∥__b_⇔__a_＝__λb_(_或__x_1_y_2－__x_2_y_1＝__0_)_．
[错因分析] 误认为|A→D|＝|C→D|，就有A→D＝C→D.
[思路分析] 先证平行四边形，再证其邻边相等即获证． [正解] 设对角线 AC、BD 交于点 O，则有A→O＝O→C，B→O＝O→D， ∴A→O＋O→D＝O→C＋B→O，∴A→D＝B→C. 故四边形 ABCD 是平行四边形． 又∵|A→O|2＋|O→D|2＝|A→D|2， |O→C|2＋|O→D|2＝|C→D|2， ∴|A→D|＝|C→D|.故四边形 ABCD 是菱形．
(1)F1，F2分别对该质点所做的功； (3)F1，F2的合力F对该质点所做的功．
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1．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法
则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向
a∥b⇔a＝λb(或 x1y2－x2y1＝0) 量平行(共线)的条件：___________________________.
新课标导学
数 学
必修④ ·人教A版
第二章
平面向量
2.5 平面向量应用举例
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
英国科学家赫胥黎应邀到都柏林演讲，由于时间紧迫，他一跳上出租车， 就急着说：“快！快！来不及了！”司机遵照指示，猛开了好几分钟，赫胥黎 才发现不太对劲，问道：“我没有说要去哪里吗？”司机回答：“没有啊！你 只叫我快开啊！”赫胥黎于是说：“对不起，请掉头，我要去都柏林．”由此 可见，速度不仅有大小，而且有方向．在我们的生活中，有太多的事物不仅与 表示它的量的大小有关，而且也与方向有关．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角
形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
2．向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不 同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下， 可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力 ． _____________________________________________ (2)速度向量 速 度 向 量 是 具 有 大 小 和 方 向 的 向 量 ， 因 而
可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度 ． __________________________________________________
[知识点拨]向量方法在平面几何中应用的几点说明： → → (1)要证明两线段平行， 如 AB∥CD， 则只要证明存在实数 λ≠0， 使AB＝λCD成 立，且 AB 与 CD 无公共点． → → (2)要证明 A、B、C 三点共线，只要证明存在一实数 λ≠0，使AB＝λAC. → → (3)要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA与向量BC的夹角即可．
『规律总结』 在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识， 解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决，AC 和 BD 是它的两条对角 线，试用向量证明：AC⊥BD． 导学号 14434872
→ → → → → → [证明] ∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB， → → → → → → →2 →2 ∴AC· BD＝(AB＋AD)· (AD－AB)＝|AD| －|AB| ＝0. → → ∴AC⊥BD.∴AC⊥BD．
转化为向量 分析条件 → → 求解 加法问题
[解析] ＝|G|tanθ.
|G| (1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝ ，|F2| cosθ
当 θ 从 0° 趋向于 90° 时，|F1|，|F2|都逐渐变大． |G| (2)由(1)，得|F1|＝ . cosθ 1 由|F1|≤2|G|，得 cosθ≥ . 2 又因为 0° ≤θ<90° ，所以 0° ≤θ≤60° .
命题方向2 ⇨向量在物理中的应用
如图，在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体，绳 子与铅垂方向的夹角为 θ，绳子所受到的拉力为 F1. 导学号 14434873
(1)求|F1|、|F2|随角 θ 的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，求角 θ 的取值范围.
[思路分析]
→ 1→ 1． 四边形 ABCD 中， 若AB＝ DC， 则四边形 ABCD 是 导学号 14434867 ( D ) 2 A．平行四边形 C．菱形 → 1→ [解析] ∵AB＝ DC， 2 ∴AB∥DC 且 AB≠DC， 应为梯形． B．矩形 D．梯形
2．下列直线与 a＝(2,1)垂直的是 导学号 14434868 ( A ) A．2x＋y＋1＝0 C．x－2y＋4＝0 B．x＋2y＋1＝0 D．2x－y＋4＝0
[解析] 由于向量(A，B)与直线 Ax＋By＋c＝0 垂直，故应选 A．
3．已知两个力 F1，F2 的夹角为 90° ，它们合力大小于 10N，合力与 F1 的夹 角为 60° ，则 F1 的大小为________N 导学号 14434869 ( D ) A．5 3 C．5 2 B．10 D．5
互动探究学案
命题方向1 ⇨向量在平面几何中的应用
如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝ 2.求对角线 AC 的长．
[ 思路分析 ]
本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解
决. 导学号 14434871
→ → → → [解析] 设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b， → 而|BD|＝|a－b|＝ a2－2a· b＋b2＝ 1＋4－2a· b＝ 5－2a· b＝2，① → ∴|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a· b＋b2＝|a|2＋2a· b＋|b|2＝1＋4＋2a· b. ∵由①得 2a· b＝1. →2 → ∴|AC| ＝6，∴|AC|＝ 6，即 AC＝ 6.
1 [解析] |F1|＝|F|cos60° ＝10× ＝5. 2
－1或2 4．若直线 l：mx＋2y＋6＝0 与向量(1－m,1)平行，则实数 m 的值为________.
导学号 14434870
1 m [解析] 因为直线与向量平行，所以 ＝－ ，故有：m2－m－2＝0， 2 1－m ∴m＝－1 或 2.
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0) 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：_____________________________. a· b cosθ＝ |a||b| (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式______________.