推荐2018版高中数学专题08解密导数的几何意义特色训练新人教A版选修1_1
人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.3导数的几何意义(含答案)
3.1.3导数的几何意义课时目标1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了________________________________________．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么() A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是() A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)题号12345 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．13．在曲线E ：y ＝x 2上求出满足下列条件的点P 的坐标． (1)在点P 处与曲线E 相切且平行于直线y ＝4x －5； (2)在点P 处与曲线E 相切且与x 轴成135°的倾斜角．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即 k ＝0lim x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x0)＝f′(x0) (x －x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3．1.3 导数的几何意义答案知识梳理1．f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况3．导函数 导数 lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 作业设计 1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝lim Δx →02(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx ＝lim Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.] 2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)， 所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.]3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．] 4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1， 由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．] 6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时， 曲线上x ＝2处切线斜率最大， k ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．]7．－1解析 由偶函数的图象和性质可知应为－1. 8．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3， 又∵f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x . ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3. 当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6. 11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.13．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， 设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.。
[K12学习]2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修1-1
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3.1.3 导数的几何意义1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程.(重点)2.理解导函数的概念、会求导函数.(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别.(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的几何意义阅读教材P76导数的几何意义～P77例2以上部分，完成下列问题.导数的几何意义1.设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limx n→x0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0).2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点.( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线.( )【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 导函数的概念阅读教材P79导函数部分，完成下列问题.导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x ＋Δx－f xΔx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的.( )(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.( )(3)函数f(x)＝0没有导函数.( )【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型].记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图313【自主解答】函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线.故选D.【答案】 D函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.[再练一题]1.函数y ＝f (x )的图象如图314所示，根据图象比较曲线y ＝f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2附近的变化情况.图314【解】 当x ＝x 1时，曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线l 1的斜率f ′(x 1)＞0，因此在x ＝x 1附近曲线呈上升趋势，即函数y ＝f (x )在x ＝x 1附近单调递增.同理，函数y ＝f (x )在x ＝x 2附近单调递增，但是，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，这表明曲线y ＝f (x )在x ＝x 1附近比在x ＝x 2附近上升得缓慢.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6x ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题.解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率.【自主解答】 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点. (3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点.解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[再练一题]2.已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值.【导学号：97792036】【解】 设切点P (x 0，y 0)，切线斜率为k .由y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx2＋a ]－x 2＋aΔx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0，根据题意4x 0＝8，x 0＝2，分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15得y 0＝8＋a ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，y 0＝1.故所求切点为P (2,1)，a ＝－7.[探究共研型]探究1 【提示】不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.探究2 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？【提示】 根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程.探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？ 【提示】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.(1)y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x －12C.y ＝4x －4D.y ＝4x －2【自主解答】 先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx，ΔyΔx＝1x x ＋Δx ，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.【答案】 C(2)已知曲线C ：y ＝x 3－x ＋2，求曲线过点P (1,2)的切线方程.【导学号：97792037】【自主解答】 设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0 ＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0). 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为y ＝2x 或x ＋4y －9＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法1.若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.[再练一题]3.(1)已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 【解析】 lim Δx →0a 1＋Δx2＋b －a －bΔx＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a＝2. 【答案】 2(2)求曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程.【解】 因为y ＝2x，所以y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δxx x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.1.如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A.f ′(x 0)＞0 B.f ′(x 0)＜0 C.f ′(x 0)＝0D.f ′(x 0)不存在【解析】 由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.【答案】 B2.已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A.2B.4C.6＋6Δx ＋2(Δx )2D.6【解析】 ∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′| x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.【答案】 D3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.【导学号：97792038】【解析】 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30). 【答案】 (3,30)4.曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【解析】 Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0. 【答案】 2x －y －2＝05.函数f (x )的图象如图315所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f 2的大小关系.【导学号：97792039】图315【解】 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示.则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1).。
高中数学：导数教案 新人教A版选修1-1 教案
导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
最新人教版高中数学选修1-1《导数的几何意义》目标导引
3.1.3 导数的几何意义
一览众山小
三维目标
1.理解导数的概念,能利用导数的定义求导数，掌握在某点处的导数的定义及几何意义.通过导数和相应函数的图象比较,加深对导数几何意义的理解.
2.在掌握用定义求导数的基础上.要借助图形去认识和理解导数的几何意义和物理意义，并会用导数的几何意义、物理意义去分析、解决实际问题.
3.感受导数在实际问题中的应用,初步认识导数的应用价值,树立学好数学的信心.
学法指导
在学习本节课时，首先回顾变化率与导数的关系，导数的概念和函数在某一点处的导数，然后回顾如何利用求导数的一般步骤求函数在某点处的导数.
本节课从导数的定义出发，考虑导数的几何意义和物理意义，在学习过程中，要应用运动变化的观点，和以曲代直的观点分析解决问题，不断培养自己的抽象概括能力.
诱学导入
材料：在爬山的过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘嘘嘘.
问题：怎样用数学反映山坡的平缓和陡峭程度呢？
导入：由于登山的路线是弯曲的，所以我们的想法是把山路分成许多小段，每一小段可近似地看作是直线，因此，此段山路的陡峭程度可用每一段的斜率来表示.。
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：3.1.3 导数的几何意义
3.1.3 导数的几何意义[学习目标] 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.知识点一 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0).相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).知识点二 函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝.lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 题型一 已知过曲线上一点求切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值.解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a .lim Δx →0设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得Error!解得Error!∴a ＝1－.322反思与感悟 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝＝，继而由点与斜率可得点斜式方程，化lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 简得切线方程.跟踪训练1 求过曲线y ＝在点处的切线方程.1x (2，12)解 因为＝＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得lim Δx →0－12(2＋Δx )14(2，12)14切线方程为y －＝－(x －2)，即x ＋4y －4＝0.1214题型二 求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程.解 y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx＝ (4x ＋2Δx )＝4x .lim Δx →0由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0).将P (3,9)及y 0＝2x －7代入上式，20得9－(2x －7)＝4x 0(3－x 0).20解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪训练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝相切的直线方程.1x 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由y ′|x ＝x 0＝＝－，0x x =lim Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx 1x 20得所求直线方程为y －y 0＝－(x －x 0).1x 20由点(2,0)在直线上，得x y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得20x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.题型三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角.解 f ′(x )＝＝＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点.lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·＝－1，得x 0＝－，y 0＝，133294即P 是满足条件的点.(－32，94)(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－，y 0＝，1214即P 是满足条件的点.(－12，14)反思与感悟 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.跟踪训练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x －1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.20∴＝4x 0＋2Δx .ΔyΔx 当Δx 无限趋近于零时，无限趋近于4x 0.ΔyΔx 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3).(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9).计算切线与坐标轴围成的图形的面积求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类：(1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算.(2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积.解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标.(3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为：①求两曲线的交点坐标；②求交点处两条切线的切线方程；③求两切线与坐标轴的交点坐标；④依据数形结合的思想计算图形的面积.例4 已知曲线y ＝和y ＝x 2.求两曲线交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积.1x 解 由Error!解得Error!即两曲线的交点坐标为(1,1).曲线y ＝在点(1,1)处的切线的斜率为1xk 1＝f ′(1)＝＝＝－1，lim Δx →011＋Δx －1Δx lim Δx →0－11＋Δx 所以曲线y ＝在点(1,1)处的切线方程为y ＝－x ＋2.1x 同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线的斜率为k 2＝＝ (2＋Δx )＝2，lim Δx →0(1＋Δx )2－12Δx lim Δx →0故曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y ＝2x －1.如图所示，两切线分别与y 轴交于点(0,2)和(0，－1)，其与y 轴所围成的三角形的面积为S ＝×3×1＝.12321.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B.16C.8D.2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝＝ (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8.lim Δx →02(2＋Δx )2－8Δx lim Δx →02.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝＝1，∴a ＝1.lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3.已知曲线y ＝x 2－2上一点P ，则过点P 的切线的倾斜角为( )12(1，－32)A.30°B.45°C.135°D.165°答案 B解析 ∵y ＝x 2－2，12∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－(12x 2－2)Δx ＝＝＝x .lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx lim Δx →0(x ＋12Δx )∴y ′|x ＝1＝1.∴点P 处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.(1，－32)4.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x ＋4x 0)，20则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝＝4x 0＋4，lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30).5.曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1,3)处的切线方程为________________.答案 4x ＋y ＋1＝0解析 Δy ＝2(Δx －1)2＋1－2×(－1)2－1＝2(Δx )2－4Δx ，＝2Δx －4，ΔyΔx ＝ (2Δx －4)＝－4，lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0由导数几何意义知，曲线y ＝2x 2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y ＝－4x －1，即4x ＋y ＋1＝0.1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。
新版高中数学人教A版选修1-1课件第三章习题课——导数运算及几何意义的综合问题
A.-3 B.3 C.1 D.-1
解析:由f(x)=sin x-cos x,可得f'(x)=cos x+sin x.
又f'(x0)=2f(x0),
∴cos x0+sin x0=2(sin x0-cos x0),
整理得3cos
∴tan x0=csoins
故选B.
x������������000==s3i.n
问题的求解方法.
-2-
习题课——导数运算及几何意义的综合问题
首页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
1.导数的几何意义
(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率等于函数f(x)在x0处的 导数f'(x0).
(2)曲线的切线与该曲线不一定只有一个公共点.
(3)“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同
������x→0
������(������+ΔΔ������������)-������(������).
-3-
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【做一做1】 已知函数f(x)=sin x-cos x,且f'(x0)=2f(x0), 则tan x0=( )
即 lim
-������→0
������(������0-���-������)���-������(������0)=2.
所以 lim
������→0
������(������0-���������)���-������(������0)=-2,
故 lim
������→0
2018版高中数学专题08解密导数的几何意义特色训练新人教A版选修1_1
专题08 解密导数的几何意义一、选择题1．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数()()2g f x x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）A . 2B . 14-C . 4D . 12- 【答案】C【解析】对函数()()2f x g x x =+，求导可得()()''2f x g x x =+，∵()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，∴()12g '=，∴()()'1'121224f g =+⨯=+=，∴()y f x =在点()()1,1f 处切线斜率为4，故选C .2．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为A . 3B . 4C . 5D . 6【答案】C由24ln y x x =-+，得42y x x=-'+， 令422y x x'=-+=，得220x x +-=， 解得1x =或2x =-（舍去）。
所以切点为()1,1-。
故点()1,1-到直线220x y -+=的距离为d ==。
∴()()22a cb d -+-的最小值为5。
选C 。
点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子()()22a cb d -+-的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。
然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。
3．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A . 2 B . 2- C . 3 D . 2-或3【答案】C4．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数()2f x ax c =+，且()'12f =，则实数a 的值为（ ）A . 1BC . 1-D . 0【答案】A【解析】由题意可得()2f x ax '=， ()122,1f a a ==='，选A .5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设曲线()()2ln 1y a x x =---在点(2,0)处的切线方程为3y x =，则a =（ ）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】C【解析】由题可知： 1'1y a x =--，故切线的斜率为： 1,a -由134a a -=⇒= 6．【湖北省宜昌市葛洲坝中学2018届高三9月月考】过点A (2,1)作曲线()33f x x x =-的切线最多有( )A . 3条B . 2条C . 1条D . 0条【答案】A【解析】设切点为()300,3x x x -，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，因为过A (2,1)，所以()()()323200000133322670x x x x x x --=--∴-+= 令()()32226761200,2g x x x g x x x x x =-+⇒=-=⇒=='，而()()070,210g g =>=-<，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A7．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二数学】抛物线2y x =在点11,24M ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的倾斜角是（ ）A . 30B . 45C . 60D . 90【答案】B8．【内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三9月月考】已知函数()1xf x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线，则实数m 的取值范围是 （ ） A . 2m > B . 2m ≤ C . 12m >- D . 12m ≤-【答案】A【解析】1'x xf x e mx f x e m =-+∴=- （），（）， ∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线， '2xf x e m ∴=-=-（） 成立， 22xm e ∴=+＞， 故选A9．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）A .B .C .D . 3【答案】C【解析】由得令，易得切点的横坐标为即切点利用点到直线的距离公式得故选C10．【宁夏银川一中2018届高三上学期第二次月考】设过曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为A . －1≤a <2B . －1≤a ≤2C . a ≤2D . 1≤a ≤2【答案】B点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即()()()1212,,x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域；()()()1212,,x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空。
人教A版选修1-1教案：导数的几何意义(含答案)
§3．1．3 導數的幾何意義【學情分析】：上一節課已經學習了導數定義，以及運用導數的定義來求導數。
【教學目標】：1.瞭解曲線的切線的概念2.掌握用割線的極限位置上的直線來定義切線的方法．3.並會求一曲線在具體一點處的切線的斜率與切線方程【教學重點】：理解曲線在一點處的切線的定義，以及曲線在一點處的切線的斜率的定義.光滑曲線的切線斜率是瞭解導數概念的實際背景．導數的幾何意義及“數形結合，以直代曲”的思想方法.【教學難點】：發現、理解及應用導數的幾何意義,會求一條具體的曲線在某一點處的切線斜率.【教學過程設計】：教學環節教學活動設計意圖(1)復習引入圓與圓錐曲線的切線定義:與曲線只有一個公共點並且位於曲線一邊的直線叫切線曲線的切線如圖，設曲線c是函數()y f x=的圖象，點00(,)P x y是曲線c 上一點作割線PQ當點Q 沿著曲線c無限地趨近於點P，割線PQ無限地趨近於某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點P處的切線為課題引入作鋪墊. 如圖，設曲線c是函數()y f x=的圖象，點00(,)P x y是曲線c 上一點作割線PQ當點Q 沿著曲線c無限地趨近於點P，割線PQ無限地趨近於某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點P 處的切線y=f(x)β∆x∆yQMPxOy切线xOy（說明：要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（討論、描述運動員的運動狀態），體會利用導數的幾何意義解釋實際問題，滲透“數形結合”、“以直代曲”的思想方法。
） 5．如圖表示人體血管中的藥物濃度)(t f c =（單位：mL mg /）隨時間t （單位：min ）變化的函數圖像，根據圖像，估計8.0,6.0,4.0,2.0=t （min ）時，血管中藥物濃度的暫態變化率，把數據用表格的形式列出。
(精確到0.1)t0.20.40. 60.8藥物濃度的 暫態變化率（說明：要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出如何估計切線斜率），進一步體會利用導數的幾何意義解釋實際問題，滲透“數形結合”、“以直代曲”的思想方法。
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：章末复习提升3
1.对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比的极限，即 ＝ .ΔyΔx lim Δx →0ΔyΔx limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.2.曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意：(1)判断P 点是否在曲线上；(2)如果曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可得方程为x ＝x 0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为f ′(x 0).3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.4.判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.5.利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号.6.求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.7.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.题型一 导数几何意义的应用导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1) (x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①又已知y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.例1 已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值.解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－.ax (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－(x >0), 2x ∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－＝，x >0.a x x －ax ①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a;∵x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一类类型.y 0－y 1x 0－x 1跟踪训练1 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，直线m ∶y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由.解 (1)因为f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，且f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，得a ＝－2.(2)因为直线m 过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y ＝g (x )相切的直线方程.设切点为(x 0,3x ＋6x 0＋12)，又因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，20所以切线方程为y －(3x ＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0).20将点(0,9)代入，得9－3x －6x 0－12＝－6x －6x 0，2020所以3x －3＝0，得x 0＝±1.20当x 0＝1时，g ′(1)＝12，g (x )＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y ＝12x ＋9；当x 0＝－1时，g ′(－1)＝0，g (－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y ＝9.下面求曲线y ＝f (x )的斜率为12和0的切线方程：因为f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，所以f ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12.由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，f (0)＝－11，此时切线方程为y ＝12x －11；当x ＝1时，f (1)＝2，此时切线方程为y ＝12x －10.所以y ＝12x ＋9不是公切线.由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.当x ＝－1时，f (－1)＝－18，此时切线方程为y ＝－18；当x ＝2时，f (2)＝9，此时切线方程为y ＝9，所以y ＝9是公切线.综上所述，当k ＝0时，y ＝9是两曲线的公切线.题型二 应用导数求函数的单调区间在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增；在区间(a ，b )内，如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递减.例2 已知函数f (x )＝x －＋a (2－ln x )，a ＞0.讨论f (x )的单调性.2x 解 由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋－＝.2x 2ax x 2－ax ＋2x 2设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜2时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增2函数.②当Δ＝0即a ＝2时，仅对x ＝，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )22也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ＞0即a ＞2时，方程g (x )＝0有两个不同的实根2x 1＝，x 2＝，0＜x 1＜x 2.a －a 2－82a ＋a 2－82当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (0，x 1)x 1(x 1，x 2)x 2(x 2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗此时f (x )在上单调递增，(0，a －a 2－82)在上单调递减，(a －a 2－82，a ＋a 2－82)在上单调递增.(a ＋a 2－82，＋∞)反思与感悟 求解函数y ＝f (x )单调区间的步骤：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为减区间.特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接.跟踪训练2 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<<x ；x －1ln x (3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x .(1)解 由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.1x 当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0.所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln <－1，即1<<x .1x 1x x －1ln x (3)证明 由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，则g ′(x )＝c －1－c x ln c ，令g ′(x )＝0.解得x 0＝.ln c －1ln cln c 当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．由(2)知1<<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0.c －1ln c 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x .题型三 利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f (x )的定义域；(2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号.若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点.2.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值， 这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞).例3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2,1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝时取23极大值.(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时对应的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2,1]上的最大值与最小值.解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，又因为当x ＝－1，x ＝时，函数分别取得极小值、极大值，23所以－1，为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根.23所以a ＝－1＋，－＝(－1)×.2323b323于是a ＝－，b ＝2，则f (x )＝－x 3－x 2＋2x .1212当x ＝－2时，f (－2)＝2，即切点为(－2,2).又因为切线斜率k ＝f ′(－2)＝－8，所以，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)，即8x ＋y ＋14＝0.(2)当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2(－2，－1)－1(－1，)2323(，1)231f ′(x )－0＋0－f (x )2单调递减↘－32单调递增↗2227单调递减↘12因此，f (x )在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.32跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R )，12(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，x 2＋ln x <x 3.1223(1)解 f ′(x )＝x －，因为x ＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －＝ax a24x ，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当(x ＋2)(x －2)xx ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，则a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －＝，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).ax x 2－a x当a ＞0时，f ′(x )＝x －＝＝，所以函数f (x )的单调递增区间(，＋∞)；ax x 2－a x (x ＋a )(x －a )xa 递减区间为(0，).a (3)证明 设g (x )＝x 3－x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －，因为当x ＞1时，g ′(x )＝23121x ＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝＞0，所以(x －1)(2x 2＋x ＋1)x16当x ＞1时，x 2＋ln x ＜x 3.1223题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.例4 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝－，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．1x ee x (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．(1)解 f ′(x )＝2ax －＝(x >0)．1x 2ax 2－1x当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝.12a 当x ∈时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；(0，12a )当x ∈时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(12a，＋∞)(2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝－>0.1x 1e x －1(3)解 由(2)知，当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <时，>1，1212a 由(1)有f <f (1)＝0，而g >0.(12a )(12a )所以f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立；当a ≥时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －＋－e 1－x >x －＋－＝121x 1x 21x 1x 21x >>0.x 3－2x ＋1x 2x 2－2x ＋1x 2因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈.[12，＋∞)跟踪训练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－≤x 3－4x ≤.11313163证明 令f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,1]，13则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0，即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减.故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝，163最小值为f (1)＝－.113所以，当x ∈[－2,1]时，－≤f (x )≤，113163即－≤x 3－4x ≤成立.113131631.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.。
高中数学 导数几何意义学案 新人教A版选修1-1
§3.1.3 导数的几何意义通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运.7679，找出疑惑之处）探究任务：导数的几何意义问题：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋势是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 二、合作学习例1 求2y x =在点1x =处的导数.例2.求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.三、总结提升※ 学习小结1.函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为 2. 导函数的概念：※ 知识拓展：导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()lim x t y v f x x∆→∆'==∆ 而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()lim t v v t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-（ ） A ．与0x 、h 都有关 B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆=课堂小结课后反思。
人教A版高中数学选修1-1学案：导数的几何意义(含答案)
3.1.3导数的几何意义课时目标1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了________________________________________．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么() A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是() A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．13．在曲线E ：y ＝x 2上求出满足下列条件的点P 的坐标．(1)在点P 处与曲线E 相切且平行于直线y ＝4x －5；(2)在点P 处与曲线E 相切且与x 轴成135°的倾斜角．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0lim x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x0)＝f′(x0) (x －x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3．1.3 导数的几何意义答案知识梳理1．f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况3．导函数 导数 lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx作业设计1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )3－2x 3Δx＝lim Δx →02(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx＝lim Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.] 3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．]4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．]6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．] 7．－1解析 由偶函数的图象和性质可知应为－1.8．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x . ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12. 13．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ， 设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．(2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.。
高中数学人教A版选修(1-1) 3.1 教学设计 《导数的几何意义》(人教)
《导数的几何意义》
本课教学导数的几何意义。
让学生学会用已知探究未知，用逼近的思想考虑问题。
【知识与能力目标】
1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；
2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法
【过程与方法目标】
在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力
【情感态度价值观目标】
体会数学知识在现实生活中的广泛应用
【教学重点】
掌握用导数的定义求导数的一般方法
【教学难点】
掌握用导数的定义求导数的一般方法
多媒体课件
（一） 创设情境
1.平均变化率、割线的斜率
2.瞬时速度、导数
3.我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？
（二）新课讲授
1.曲线的切线及切线的斜率（出示课件第5页）
2.导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，
即 0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P 点的坐标;。
推荐高中数学专题08解密导数的几何意义特色训练新人教A版选修1_1
专题08 解密导数的几何意义一、选择题1．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数()()2g f x x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）A . 2B . 14-C . 4D . 12- 【答案】C【解析】对函数()()2f x g x x =+，求导可得()()''2f x g x x =+，∵()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，∴()12g '=，∴()()'1'121224f g =+⨯=+=，∴()y f x =在点()()1,1f 处切线斜率为4，故选C .2．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为A . 3B . 4C . 5D . 6【答案】C由24ln y x x =-+，得42y x x=-'+， 令422y x x'=-+=，得220x x +-=， 解得1x =或2x =-（舍去）。
所以切点为()1,1-。
故点()1,1-到直线220x y -+=的距离为d ==∴()()22a cb d -+-的最小值为5。
选C 。
点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子()()22a cb d -+-的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。
然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。
3．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A . 2B . 2-C . 3D . 2-或3【答案】C4．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数()2f x ax c =+，且()'12f =，则实数a 的值为（ ）A . 1BC . 1-D . 0【答案】A【解析】由题意可得()2f x ax '=，()122,1f a a ==='，选A .5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设曲线()()2ln 1y a x x =---在点(2,0)处的切线方程为3y x =，则a =（）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】C【解析】由题可知：1'1y a x =--，故切线的斜率为：1,a -由134a a -=⇒= 6．【湖北省宜昌市葛洲坝中学2018届高三9月月考】过点A (2,1)作曲线()33f x x x =-的切线最多有( )A . 3条B . 2条C . 1条D . 0条【答案】A【解析】设切点为()300,3x x x -，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，因为过A (2,1)，所以()()()3232000000133322670x x x x x x --=--∴-+=令()()32226761200,2g x x x g x x x x x =-+⇒=-=⇒=='，而()()070,210g g =>=-<，所以()0gx =有三个零点，即切线最多有3条，选A 7．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二数学】抛物线2y x =在点11,24M ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的倾斜角是（ ）A . 30B . 45C . 60D . 90【答案】B8．【内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三9月月考】已知函数()1xf x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（） A . 2m >B . 2m ≤C . 12m >-D . 12m ≤-【答案】A 【解析】1'x x f x e mx f x e m =-+∴=-（），（），∵曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线，'2x f x e m ∴=-=-（）成立，22x m e ∴=+＞，故选A9．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）A .B .C .D . 3【答案】C【解析】由得令，易得切点的横坐标为即切点利用点到直线的距离公式得故选C10．【宁夏银川一中2018届高三上学期第二次月考】设过曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为A . －1≤a <2B . －1≤a ≤2C . a ≤2D . 1≤a ≤2【答案】B点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即()()()1212,,x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域；()()()1212,,x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空。
人教A版选修1-1数学《解密导数的几何意义》特色训练(2)含答案
专题08 解密导数的几何意义一、选择题1．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数()()2g f x x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）A . 2B . 14-C . 4D . 12- 【答案】C 【解析】对函数()()2f x g x x =+，求导可得()()''2f x g x x =+，∵()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，∴()12g '=，∴()()'1'121224f g =+⨯=+=，∴()y f x =在点()()1,1f 处切线斜率为4，故选C .2．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为A . 3B . 4C . 5D . 6【答案】C由24ln y x x =-+，得42y x x =-'+， 令422y x x'=-+=，得220x x +-=， 解得1x =或2x =-（舍去）。
所以切点为()1,1-。
故点()1,1-到直线220x y -+=的距离为d 。
∴()()22a cb d -+-的最小值为5。
选C 。
点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子()()22a c b d -+-的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。
然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。
3．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A . 2 B . 2- C . 3 D . 2-或3【答案】C4．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数()2f x ax c =+，且()'12f =，则实数a 的值为（ ）A . 1BC . 1-D . 0【答案】A【解析】由题意可得()2f x ax '=， ()122,1f a a ==='，选A .5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设曲线()()2ln 1y a x x =---在点(2,0)处的切线方程为3y x =，则a =（ ）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】C【解析】由题可知： 1'1y a x =--，故切线的斜率为： 1,a -由134a a -=⇒= 6．【湖北省宜昌市葛洲坝中学2018届高三9月月考】过点A (2,1)作曲线()33f x x x =-的切线最多有( )A . 3条B . 2条C . 1条D . 0条【答案】A【解析】设切点为()300,3x x x -，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，因为过A (2,1)，所以()()()3232000000133322670x x x x x x --=--∴-+= 令()()32226761200,2g x x x g x x x x x =-+⇒=-=⇒=='，而()()070,210g g =>=-<，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A7．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二数学】抛物线2y x =在点11,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角是（ ） A . 30 B . 45 C . 60 D . 90【答案】B8．【内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三9月月考】已知函数()1xf x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 （ ） A . 2m > B . 2m ≤ C . 12m >- D . 12m ≤- 【答案】A【解析】1'x x f x e mx f x e m =-+∴=- （），（），∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线， '2x f x e m ∴=-=-（） 成立， 22x m e ∴=+＞，故选A9．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线上的点到。
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专题08 解密导数的几何意义
一、选择题
1．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数()()2g f x x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）
A . 2
B . 14-
C . 4
D . 12
- 【答案】C 【解析】对函数()()2f x g x x =+，求导可得()()''2f x g x x =+，∵()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，∴()12g '=，∴()()'1'121224f g =+⨯=+=，∴()y f x =在点()()1,1f 处切线斜率为4，故选C .
2．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22
a c
b d -+-的最小值为
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
【答案】C
由24ln y x x =-+，得42y x x =-'+
， 令422y x x
'=-+=，得220x x +-=， 解得1x =或2x =-（舍去）。
所以切点为()1,1-。
故点()1,1-到直线220x y -+=的距离为d =
=。
∴()()22a c b d -+-的最小值为5。
选C 。
点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子()()22a c b d -+-的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。
然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。
3．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线23ln 4
x y x =-的一条切线的斜率为12
，则切点的横坐标为（ ） A . 2 B . 2- C . 3 D . 2-或3
【答案】C
4．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数()2f x ax c =+，且()'12f =，则实数a 的值为（ ）
A . 1
B
C . 1-
D . 0
【答案】A
【解析】由题意可得()2f x ax '=， ()122,1f a a ==='，选A .
5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设曲线()()2ln 1y a x x =---在点(2,0)处的切线方程为3y x =，则a =（ ）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
【答案】C。