导数复习1

(2)
(log a x)
1 x ln a
.
（5）.指数函数的导数:
(1)
( 2)
ex. (e )
x
x
a x ln a(a 0, a 1). (a )
1、基本初等函数的求导公式
c 0(c为常数).
(a )' a ln a(a 0, a 1).
x x
2
(sec x)' sec x tan x.
(arcsin x)' 1 1 x 1
2
(csc x)' csc x cot x.
(arccos x)' 1 1 x 1
2
.
.
(arctan x)'
1 x
. 2
(arc cot x)'
1 x
2
.
2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则
k切线 f ( x0 )
'
y

y=f(x) 割 Q 线 T 切 线 x
P o ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解. 即 f ( x 0 ) 存 在 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.
（1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
uv uv , （4）( u ) uv uv (v 0). （3）( uv ) 2
v v
求 下 列 函 数 在 给 定 点 的 导 数 -优 化 4 6 页 1 . f ( x ) (3 x 4 x )( 2 x 1), x 1
说明：在（a,b)内，若出现个别点使f′(x)=0，那 么这不影响包含该点的区间上的单调性； 应用：已知函数的增减性，求函数中参数 的取值范围。
三、知识要点
1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)<0, 则 y=f(x) 为 减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0). 注 当 f (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正 (或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.
当a 0时, 必须有 a>0 { =(-2) 2 -4 (3a) 1<0 a>0 { a> 1 3 1 a> 3 1 2 又 a= 时, f / (x)=x 2 -2x+1=(x-1) 3 此时 x 1时,f / (x)>0 ,而 f / (1)=0 f(x)单调 递增区间也是( ,+ )
3
2 . f ( x ) x sin x , x 0
2
3. f ( x ) 3 e 2 e, x 0
x x x
4. f ( x)
ln x x 1
2
,x 1
2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则
（1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
f ( x ) lo g a x , f ( x ) ln x f ( x ) sin x f ( x ) co s x
求下列函数的导数
3
(1) y ( 3 x 5 ) (2) y 1 1 3x
4
y'
9 4
(3 x 5 ) 3

1 4
y'
(1 3 x )


导数的物理意义:
设描述质点运动位置的函数为
则
到
的平均速度为
v
f (t ) f (t0 )
t t0
自由落体运动
s
f (t0 )
1 2
而在 时刻的瞬时速度为
gt
2
v lim
t t0
f (t ) f (t0 )
t t0
f (t )
o
t0
t
s
设切线的倾斜角为α ,那么当 Δx→0时,割线PQ的斜率,称为 曲线在点P处的切线的斜率. 即:
uv uv , （4）( u ) uv uv (v 0). （3）( uv ) 2
v v
3.复合函数的求导法则
设 y f ( u ), 而 u ( x ) 则复合函数 导数为 dy dx dy du 或 y f [ ( x )]的
y ( x ) f ( u ) ( x ).
2
x 1 x
2
1 2 x 1
2
2x

2x 1 x 1
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
.
求下列函数的导数
6
y x 2 ln x sin x
2
(6)根据求导法则(2),得
y x 2 ln x
2



sin x x 2 ln x sin x
2



2 2 2 x sin x x 2 ln x cos x x
1
O
O
1
2
x O
1
y
O
2 x (B)
2
x
(A) y 2
O 1
1 2
x
x
(C)
(D)
y x e
2
x 1

1 3
x x ,求 单调 区间
3 2
在 某 个 区 间 ( a , b )内 ,
f ( x ) 在(a,b)内单调递增 f ( x ) 在(a,b)内单调递减
f '( x ) 0 f '( x ) 0
f (x)
ax 1 x2
在 （ -2， ） +
单 调 递 增 ， 求 a的 范 围
例: 若函数f(x)=ax 上单调递增 求a的取值范围
3 -x 2 +x-5在(-
,+ )
解:由題意 f / (x)=3ax 2 -2x+1>0 在 (- ,+ ) 恒成立 当a=0时,-2x+1>0 x< 1 2 不是恒成立(舍去)
基本初等函数测试题（理科） A D A A B ... D C A C B ... B C 1 3)( 1, 0 ) (0,1)......1 4 )( 1,1) 1 5) x x 3 或 x < -1 ..1 6 ) a 17) 5 a 2 2 2 1 8)..1)3 .5 2)a 3 1 2
( x )' ax
a x x
a 1
(a为实数) .
(e )' e .
(ln x)' 1 . x (cos x)' sin x.
(log a x)'
1

1
(a 0, a 1).
x ln a
(sin x)' cos x.
(tan x)' sec x.
2
(cot x)' csc x.
du dx
（注意:函数的复合过程,合理分解 ,正确使用链导法）
1 .默 写 导 数 公 示 表 f (x) x
n
2 .导 数 的 四 则 运 算 法 则
f (x)
x
g ( x) '
f (x) a , f (x) e
x
f ( x) g ( x) '
f (x) ' g (x)
f '( x ) 0
f ( x ) 在 ( a , b )内 单 调 递 增
f '( x ) 0
f ( x ) 在 ( a , b )内 单 调 递 减
注意：“ 某个区间 ” 指定义域内的某个区间； 应用：求函数的单调区间； 用导数求单调区间的步骤： ①求定义域 ②求 f '( x )
3.利用导数求切线方程
练习： 1.已知抛物线y=x2+bx+c在点（1,2）处的切线与直线 y=x-2平行，求b,c的值.
b=-1
c=2
2. 已知曲线 y 2 x 1 ，问曲线上哪一点处切线 与直线 y=-2x+3 垂直，并写出这一点处的切线方程.
（4,5）
x-2y+6=0
注意3如果在区间(a, b)内 f (x)0 (或 f (x)0)，但等号只在个别点 处成立，那么f(x)在(a, b)内仍旧 是单调增加(或单调减少)的。 例3．确定函数 yx3 的单调性。
0 0
由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 y 0 5 , 2 x 0 y 0 5 ②.
x0 3 x0 3
x0 1 x0 5 或 . 联立①,②解得: y 0 1 y 0 25
例3 求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 小结:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.