华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的的解法拓展导学案

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华师大版-数学-九年级上册-22.2 一元二次方程的解法导学案

22.2 一元二次方程的解法学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=a(a≥0)或（mx+n）2=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。

难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。

导学流程：修改批注复习导入：如果 x2=a(a≥0) ，则 x就叫做a的，x=如果 x2=64,则x=把下列各式分解因式：（1）x2-3x(2)x2+4/3x+4/9 (3)2χ2－χ－3自主探索试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x=____ ____________＝0，必有x－1＝0，或______＝0,得x1＝___，x2＝_____.精讲点拨对于方程(1),可以这样想:∵χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( ).即: χ=±2∴χ=4这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。

∴方程χ2=4的两个根为χ1=2，χ2=－2.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

巩固练习：利用直接开平方法解下列方程:)()13(2=+x4-x0-25x0)1(2=)2(2=9004） 12（2－χ）2－9=0精讲点拨：对于方程（2）χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0则必有：χ＋1=0，或χ－1=0分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。

巩固练习：利用因式分解法解下列方程:χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25；（2χ+3）2－25=0.小结：采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

秋九年级数学上册第22章一元二次方程公式法导学案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九

公式法【学习目标】 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程； 2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式的推导过程，并应用公式法解一元二次方程．【学习重点】求根公式法的应用．【学习难点】一元二次方程求根公式法的推导．情景导入生成问题用配方法解方程2x 2＋4x ＋1＝0并总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么．自学互研生成能力知识模块一公式法的推导过程阅读教材P 28～P 31的内容．解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．因为a≠0，方程两边都除以a ，得x 2＋b a x ＋c a＝0，移项，得x 2＋b a x ＝－c a .配方，得x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a ，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，因为a≠0，所以4a 2＞0，当b 2－4ac≥0时，直接开平方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b 2a ±b 2－4ac 2a .即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)．归纳：1.此公式使用的前提条件是b 2－4ac≥0，如果b 2－4ac ＜0，方程无实数根，此时就不能将a ，b ，c 代入公式来计算．所以，用公式法解方程时，首先求它的判别式b 2－4ac 的值，如果为非负数，然后再代入公式求解.2.我们可以不解方程，用它的判别式即可知道方程的解的情况．知识模块二用公式法解一元二次方程X 例：解下列方程：(1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2.解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49，所以x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即x 1＝32，x 2＝－2. (2)将方程化为一般式，得x 22－4ac ＝24，所以x ＝－4±242＝－2±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6仿例：解下列方程：(1)5x 2－4x －12＝0；(2)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.解：(1)因为b 2－4ac ＝256，所以x ＝－（－4）±2562×5＝4±1610＝2±85，即x 1＝2，x 2＝－65.(2)整理，得4x 22－4ac ＝0，所以x ＝－12±08，即x 1＝x 2＝－32. 交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公式法的推导过程知识模块二用公式法解一元二次方程X 例：(方法二)解：配方得：(x ＋2)2＝6，∴x ＋2＝±6，∴x ＋2＝－6，x ＋2＝6，∴x 1＝－2－6，x 2＝－2＋ 6.检测反馈达成目标1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为( D ) A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1C ．－1，－3，－1D ．1，－3，12．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( C ) A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－32D ．x 1＝－2，x 2＝3 23．已知关于x 的方程x 2＋3mx ＋m 2＝0的一个根是x ＝1，那么m ＝__－3±52__． 4．解下列方程：(1)x 2＋3x －2＝0；(2)(x －1)(x －3)＝1.解：(1)x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172； (2)x 1＝2－2，x 2＝2＋ 2.5．(1)解方程：x 2＋4x －5＝0；(2)求证：无论k 取任意值，关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根．解：(1)x 2＋4x －5＝0，(x ＋5)(x －1)＝0，x 1＝－5，x 2＝1；(2)∵Δ＝(－k)2－4(k －2)＝k 2－4k ＋8＝(k －2)2＋4＞0，∴关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法根的判别式》公开课教案_3

一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。

教学过程：一、创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。

那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？二、得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成）三、运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。

22.2一元二次方程的解法--配方法教案-华东师大版九年级数学上册

班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型运算课课时 1 主备主讲课题一元二次方程的解法——配方法教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心二、教学过程知识预备 1. 用直接开平方法解方程：27)132=+x（2.问题导入：学校要建一个操场，要求长比宽多10m，并且面积为375m2，那么操场的长和宽分别为多少？自主探究（一）探究配方所需的常数1.回顾: 完全平方公式：2)ba±（= ，说出公式的特点2.根据你所掌握的公式特点，将下列代数式配成完全平方的形式试一试：2x＋6x＋（）= x（）22x- 5x＋（） = x（）22x＋8x＋（） = x（）23、思考：当二次项系数为1时，常数项与一次项系数有怎样的关系？常数项为一次项系数一半的平方（二）用配方法解一元二次方程1、尝试解一元二次方程375102=+xx2.解下列方程。

(1)016-62=+xx（2）024-2=+xx课堂小结配方法解一元二次方程的一般步骤：1、将二次项系数化为1；2、将常数项移到方程的右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、写成()2mx n p+=的形式，用直接开平法求解。

《22.2 二次函数与一元二次方程》教案、教学设计、导学案

《22．2 二次函数与一元二次方程》教案【教学目标】1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．【教学过程】一、情境导入如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A．0 B．0或2C．2或－2 D．0，2或－2解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x 轴没有交点．【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax ＋b＝0的解是( )A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x＝4，故选D.2方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x ＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计【教学目标】知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．【教学重点和难点】重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.【教学过程设计】（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c++的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c++=0的根.（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计《22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时）》教案【教学目标】：1．知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2．方法与过程：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识.3．情感、态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.【教学难点】：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．【教学过程】：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋4 5 .(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－34＝0的解.更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.三、课堂练习： P23练习1、2.五、小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况.六、作业：《22.2 二次函数与一元二次方程（第二课时）》教案【教学目标】：1．知识与能力：复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点.【教学难点】：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.【教学过程】：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m ＝1所以y1＝x＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1.5y2＝2.5所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结：如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：《22.2二次函数与一元二次方程》导学案【学习目标】：1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．【重点、难点】1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．【导学过程】：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习【课前预习】1：准备知识（1）一元二次方程根的情况：（2）一次函数与一元一次方程的关系：2：探究1以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第1课时学案

22.2 —元二次方程的解法第一课时直接开平方法和因式分解法（1）【学习目标】会用开平方法、因式分解法解形如x1 2=p的一元二次方程。

能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。

【学习重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程, 理解一元二次方程无实根的解题过程。

【课标要求】会用因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程【知识回顾】1、求出或表示出下列各数的平方根。

（1）25 （2）0.04解：（3）0（4）7（5）9（6）1212、求出下列各式中的X.2（1）X =49 ⑵ 9 X 2 =16⑶X2=62⑷X=—【自主学习】自学课本20---22页思考下列问题：1、教材"试一试”中由X2=4得x=± 2依据是什么？2、“试一试”中所列的方程是一元二次方程吗？有几个解？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？3、请你总结一下“试一试”中解方程的过程。

4、什么是直接开平方法？什么是因式分解法？【例题学习】1、解下列方程：2 2（1）2X -8=0 （2）9x -5X=0(4) (1 - ■- 2 )x 2=(1+ ' 2 )x 0.2x 2 -2、方程 5=0的解是 ____________(3) 4x 2 14 50 (4)x(x+1)-5x=0【巩固训练】2 (1) x =169 2(2) 45- x =0 2(3) 12y -25=0 2 -2x=0 (4)(t-2)(t+1)=0【归纳小结】“尊重、自主、高效”华师九上23章一元二次方程【板书设计】标题直接开方法例1因式分解法例2【堂清】1、已知一元二次方程 3x 2习题 c 0，若方程有解，则c 2、解下列方程:（1）36x 2-1=0解： ⑵4x 2=81 解：【作业】1、解下列方程与 0.01（1）4 0.2x 2 3 0⑵ 5 (3) (x+3)(x - 3)=93、下面解方程的过程中，正确的是() A. X 2=2 解：x 、2。

2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第5课时教案(表格式)+导学案

22.2一元二次方程的解法第五课时一元二次方程的根与系数的关系教学任务分析教学过程学们展示自己的证明。

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．6、总结归纳：如果方程)0(02≠=++acbxax的根是x1和x2，那么21xx+= ；21xx=三、例题学习：1、例(教材P34例8)2、已知方程022=--cxx的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。

3、已知方程0652=--xx的根是x1和x2，求下列式子的值：（1）2221xx+ +21xx（2）1221xxxx+交流与点拨：教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。

牢牢把握一元二次方程根与系数的关系四、课堂练习：1教材P35练习学生板演，教师点评。

通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。

五、布置作业1、教材P36习题22.2第10，11题六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。

22.2一元二次方程的解法第五课时一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：a b x x -=+21，ac x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 重点、难点重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系. 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；【课前预习】阅读教材P40 — 42 ，完成课前预习 1、知识准备( 1 ) 一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格①用语言叙述你发现的规律；②x 2+px +q =0的两根1x ，2x 用式子表示你发现的规律。

探究2：完成下列表格请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② ax 2+bx +c =0的两根1x ，2x 用式子表示你发现的规律。

华师版九年级数学上册教案：第22章一元二次方程2 一元二次方程的解法(5课时)

22.2 一元二次方程的解法1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)一、基本目标1．理解直接开平方法和因式分解法,掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤,并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．2．通过利用已学知识求解一元二次方程,获得成功的体验,体会转化思想的应用．二、重难点目标【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P20～P25的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法． 2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0,那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来,如果两个因式中有一个等于0,那么__它们的积__就等于0.4．方程(x －1)2＝1的解为__x 1＝2,x 2＝0__.5．用因式分解法解一元二次方程(4x －1)(x ＋3)＝0时,可将原方程转化为两个一元一次方程,其中一个方程是4x －1＝0,则另一个方程是__x ＋3＝0__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x ＋1)2＝2； (2)(2x ＋1)2＝2x ＋1； (3)－x 2＝4x ； (4)12(x ＋5)2＝9.【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点,确定解方程的方法及一般步骤．【解答】(1)直接开平方,得x ＋1＝±2. 故x 1＝2－1,x 2＝－2－1.(2)移项,得(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝0.方程左边分解因式,得(2x ＋1)(2x ＋1－1)＝0,所以2x ＋1＝0或2x ＋1－1＝0,得x 1＝－12,x 2＝0.(3)方程可变形为x 2＋4x ＝0.方程左边分解因式,得x (x ＋4)＝0,所以x ＝0或x ＋4＝0,得x 1＝0,x 2＝－4.(4)方程两边同时乘2,得(x ＋5)2＝18.直接开平方,得x ＋5＝±32,所以x 1＝32－5,x 2＝－32－5.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x 2＝b (b ≥0)或(mx ＋a )2＝b (m ≠0,b ≥0)的形式；②直接开平方,得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项,将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( D ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x 1＝2,x 2＝－2D ．x 1＝4,x 2＝－42．在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a ﹡b ＝a 2－b 2,根据这个规则,方程(x ＋1)﹡3＝0的解为__x 1＝2,x 2＝－4__.【教师点拨】根据新定义,由(x ＋1)﹡3＝0,得(x ＋1)2－32＝0. 3．解下列方程： (1)4x 2＝25； (2)x (x ＋2)＝x ＋2.解：(1)方程可化为x 2＝254.直接开平方,得x ＝±52,所以x 1＝52,x 2＝－52.(2)移项,得x (x ＋2)－(x ＋2)＝0.方程左边分解因式,得(x ＋2)(x －1)＝0,所以x ＋2＝0或x －1＝0,得x 1＝－2或x 2＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】由多项式乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．示例：分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试：分解因式：x 2＋6x ＋8＝(x ＋__2__)(x ＋__4__)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．【解答】∵x 2－3x －4＝0,即x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0,∴(x －4)(x ＋1)＝0,则x ＋1＝0或x －4＝0,解得x 1＝－1,x 2＝4.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要把握新定义的内涵,抓住关键词语,合理套用求解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)直接开平方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：平方根的定义形式：方程x 2＝a (a ≥0)的根为x 1＝a ，x 2＝－a因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2 配方法(第2课时)一、基本目标1．理解配方法解一元二次方程的含义,并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程,掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．二、重难点目标【教学重点】用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x ±h )2＝k (k ≥0)的形式．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P25～P27的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1. (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝⎝⎛⎭⎫x －！！！！__12__####2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.2．配方法：通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,右边是一个__非负常数__,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法．环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列方程： (1)x 2－4x －12＝0； (2)22x 2＋4x －6＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)原方程可化为x 2－4x ＝12. 配方,得x 2－4x ＋4＝16,即(x －2)2＝16. 直接开平方,得x －2＝±4, 所以x 1＝－2,x 2＝6. (2)移项,得22x 2＋4x ＝6. 两边同除以22,得x 2＋211x ＝311.配方,得x 2＋211x ＋⎝⎛⎭⎫1112＝311＋⎝⎛⎭⎫1112,即⎝⎛⎭⎫x ＋1112＝34121. 直接开平方,得x ＋111＝±3411,所以x 1＝－1＋3411,x 2＝－1－3411.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数,将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方,把原方程化为(x ±h )2＝k 的形式；(5)求解：若k ≥0,则利用直接开平方法求解；若k <0,则原方程无实数根．活动2 巩固练习(学生独学)1．用配方法解下列方程,配方正确的是( D ) A ．2y 2－4y －4＝0可化为(y －1)2＝4 B ．x 2－2x －9＝0可化为(x －1)2＝8 C ．x 2＋8x －9＝0可化为(x ＋4)2＝16 D ．x 2－4x ＝0可化为(x －2)2＝42．用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C ) A ．x 2－2x ＝5 B ．2x 2－4x ＝5 C ．x 2＋4x ＝3D ．x 2＋2x ＝53．用配方法解方程2x 2－x ＝4,配方后方程可化为⎝⎛⎭⎫x －142＝__3316__. 4．用配方法解下列方程：(1)x 2＋6x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋12＝0.解：(1)x 1＝22－3,x 2＝－22－3. (2)x 1＝5＋34,x 2＝－5＋34. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】试用配方法说明：无论x 取何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,并指出当x 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x 2－4x ＋5进行配方→确定代数式的最小值．【解答】x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1. ∵(x －2)2≥0, ∴(x －2)2＋1≥1,∴不论x 为何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,且当(x －2)2＝0,即x ＝2时,代数式x 2－4x ＋5有最小值,最小值为1.【互动总结】(学生总结,老师点评)已知代数式是一个关于x 的二次三项式且含有一次项,在求它的最值时,通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式,再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)配方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2形式：方程(x ±h )2＝k (k ≥0)的根为x 1＝k ±h ，x 2＝－k ±h请完成本课时对应练习！3 公式法(第3课时)一、基本目标1．理解求根公式的推导过程,能正确推导出一元二次方程的求根公式．2．理解b 2－4ac ≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分,当b 2－4ac <0时,方程无解．3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤,并能正确运用公式法解一元二次方程．二、重难点目标【教学重点】用公式法解一元二次方程．【教学难点】求根公式的推导过程．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P28～P31的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝__－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)__.将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.2．用公式法解方程2x 2－3x －1＝0时,a ＝__2__,b ＝__－3__,c ＝__－1__,则b 2－4ac ＝__17__,代入求根公式,得x ＝__3±174__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋5(2x ＋1)＝0.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)∵a ＝5,b ＝－4,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝4±362×5＝4±610,∴x 1＝1,x 2＝－15.(2)将方程化为一般形式,得3x 2＋10x ＋5＝0. ∵a ＝3,b ＝10,c ＝5,∴b 2－4ac ＝102－4×3×5＝100－60＝40, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－10±402×3＝－5±103,∴x 1＝－5＋103,x 2＝－5－103.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)确定a 、b 、c 的值；(3)求出b 2－4ac 的值；(4)判断b 2－4ac 的符号．当b 2－4ac ≥0时,把a 、b 及b 2－4ac 的值代入求根公式,求出x 1、x 2；当b 2－4ac <0时,b 2－4ac 无意义,此时方程无解．活动2 巩固练习(学生独学)1．以x ＝b ±b 2＋4c2为根的一元二次方程可能是( D )A ．x 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2＋bx －c ＝0C ．x 2－bx ＋c ＝0D ．x 2－bx －c ＝02．方程3x 2－5x ＋1＝0的解,正确的是( B ) A ．x ＝－5±136B ．x ＝5±136C ．x ＝－5±133D ．x ＝5±1333．用公式法解下列方程： (1)3x 2－6x －1＝0； (2)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)x 2－x ＋3＝0.解：(1)x 1＝3＋233,x 2＝3－233.(2)x 1＝－5,x 2＝3. (3)方程没有实数解．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们规定一种运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,例如：⎪⎪⎪⎪24 35＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定,当x 取何值时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0?【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．【解答】由⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0,得2x 2－1×(0.5－x )＝0. 整理,得4x 2＋2x －1＝0,则a ＝4,b ＝2,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝22－4×4×(－1)＝20, ∴x ＝－2±202×4＝－1±54,∴当x ＝－1＋54或－1－54时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0.【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题,解这类题的关键是根据新定义得到方程,再解方程即可．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)公式法⎩⎪⎨⎪⎧定义—求根式公：－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)推导过程—配方法一般形式—方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根为x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)请完成本课时对应练习！4 一元二次方程根的判别式(第4课时)一、基本目标1．了解根的判别式,掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况．2．经历思考、探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的过程,学会合作交流,并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．二、重难点目标【教学重点】由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况．【教学难点】推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的b 2－4ac 的符号与其根的关系．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P31～P32的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“__Δ__”来表示．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时,方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时,方程有两个相等的实数根；当Δ<0时,方程__没有__实数根．3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】不解方程,判定下列方程的根的情况：(1)16x2＋8x＝－3；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)2x2－9x＋8＝0；(4)x2－7x－18＝0.【互动探索】(引发学生思考)不解方程,要判断方程的根的情况,结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系,各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0,则a＝16,b＝8,c＝3.∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0,∴方程没有实数根．(2)a＝9,b＝6,c＝1.∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0,∴方程有两个相等的实数根．(3)a＝2,b＝－9,c＝8.∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0,∴方程有两个不相等的实数根．(4)a＝1,b＝－7,c＝－18.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0,∴方程有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)不解一元二次方程,由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．活动2巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －m ＝0有实数根,则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥14B ．m ≥－14C ．m ≤14D ．m ≤－14【教师点拨】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根,则b 2－4ac ≥0. 3．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根,则p 与q 的关系是__p 2＝4q __. 4．不解方程,试判断下列方程的根的情况： (1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0. 解：(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程没有实数根．5．已知关于x 的方程kx 2－6x ＋9＝0,问k 为何值时,这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)当k ＜1且k ≠0时,方程有两个不相等的实数根． (2)当k ＝1时,方程有两个相等的实数根． (3)当k ＞1时,方程没有实数根．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由．【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a 、b 、c 的数量关系→确定三角形的形状．【解答】△ABC 是直角三角形．理由如下：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0有两个相等的实数根, ∴Δ＝0,即(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0, ∴a 2＝b 2＋c 2,∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据根的情况得到判别式的符号,再推出系数之间的关系,进而解决问题．【例3】如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【互动探索】方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根→确定m 的取值范围→分类讨论确定方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【解答】∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0,∴m ＞4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0,当m ＝5时,方程有一个实数根；当m ≠5时,Δ1＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝12m ＋4.∵m ＞4,∴Δ1＝12m ＋4＞0,∴此时方程有两个不相等的实数根．综上,当m ＝5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题时,不要忽略对方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0是否为一元二次方程进行讨论,此方程可能是一元一次方程．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)一元二次方程根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧ 定义——Δ＝b 2－4ac 与ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)实数根的关系⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0↔有两个不相等的实数根Δ＝0↔有两个相等的实数根Δ<0↔没有实数根请完成本课时对应练习！5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)一、基本目标1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P33～P35的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则有x 1＋x 2＝__－b a __,x 1x 2＝__c a __. 特殊形式：若x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝__－p __,x 1x 2＝__q __.2．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2－6x －15＝0的两根,则x 1＋x 2＝__6__,x 1x 2＝__－15__.3．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝11,x 1x 2＝30,则以x 1、x 2为根的一元二次方程是__x 2－11x ＋30＝0__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,不解方程,求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2； (2)x 2x 1＋x 1x 2. 【互动探索】(引发学生思考)方程x 2＋6x ＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解答】∵x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,∴x 1＋x 2＝－6,x 1x 2＝3.(1)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－6)2－4×3＝24.(2)x 2x 1 ＋ x 1x 2＝x 22 ＋ x 21x 1x 2＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10. 【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)解此类题时,先根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再把所求代数式变形,最后利用整体代入法计算即可．(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①x 21 ＋ x 22＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ④x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； ⑤(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2；⑥|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.活动2巩固练习(学生独学)1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是(C)A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1,x2＝2,则这个方程可能是(C) A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝03．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2,则k＝__－7__,另一个根为__－35__.4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．(1)a＋b＝__－2__,ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；(2)求代数式a2＋3a＋b的值．解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3,求b和c的值；(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,不解方程,求1x1＋1x2的值．解：(1)b＝－1,c＝－6.(2)1x1＋1x2＝3.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.(1)若x1＝2,求x2的值；(2)若k＝4,且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,试求Rt△ABC的面积．【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关,即x1x2的乘积关系→根与系数的关系,确定x1x2的值．【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,且x1＝2,∴x1＋x2＝－(－6),即2＋x2＝6,∴x2＝4.(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,k＝4,∴x1·x2＝k＝4.又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,∴S Rt△ABC＝12x1·x2＝12×4＝2.【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程的根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝c a. 特殊地,x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q .请完成本课时对应练习！。

华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法3.公式法导学案

§22.2.2 一元二次方程的解法(三)【课前预习学案/参考课本P28-30】★(一)温故知新：1、用配方法解下列一元二次方程：(1)x2+10=15x (2)3y2-12y+1=0(1)解：移项，得= (2)解：移项，得=配方，得= 二次项系数化为1，得=即( )2 = 配方，得=直接开平方，得= ±即( )2 =∴x1= ，x2= . 直接开平方，得= ±∴y1= ，y2= .2、通过对直接开平方法、因式分解法、配方法这三种方法的探讨，我们可发现：形如(x+a)2=b 的用法；能变形成a·b=0的用法；上述两种方法都不行的，用法变形成可用直接开平方法的形式再求解。

前面两种方法更简便，但很多方程用这两种方法都无法迅速求解，目前只能求助于配方法，而配方法的缺点是计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？★(二)自我探究：1、先试试能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解：移项，得=二次项系数化为1，得=两边都加上，得=即( )2 =直接开平方，得= ±∴x1= ，x2= .注意：在用配方法求解过程中，有一个条件很关键，即≥0.只有满足了该条件才能继续用直接开平方法求解。

2、从上面这个题的求解过程，可得出结论：当b2-4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为a acbbx24 2-±-=，即x1= ，x2= .这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

2、试试用公式法解方程：(1)2x2- x-2=0(2)3y2 +3y+1=31-6y(1)解：∵a=，b=，c=，(2)解：移项整理，得= 0b2- 4ac== ∵a=，b=，c=，∴x== b2- 4ac==即x1= ，x2= . ∴x==即x1= ，x2= .3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为形式；(2)确定、、的值；(3)计算代数式的值；(4)当≥0时，把a、b、c的值代入求根公式求解。

华师大版-数学-九年级上册- 一元二次方程的解法导学案

一元二次方程的解法【学习目标】1.了解什么是一元二次方程根的判别式；2.知道一元二次方程根的判别式的应用。

【学习重点】重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；难点：根的判别式的变式应用。

【自主预习】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解用公式表示为：，由二次根式的意义可知：①当b2－4ac＞0时，方程有个的实数根；（填相等或不相等）②当b2－4ac＝0时，方程有个的实数根x1＝x2③当b2－4ac＜0时，方程实数根.小结：这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝0，直接判断它实数根。

练习：不解方程，判断方程根的情况。

（1）x2＋2x－8＝0；（2）3x2＝4x－1；（3）（x＋2）（x－5）＝1；【合作探究】说明：不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。

解：把化为一般形式得则：Δ＝b2－4ac = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＝所以：【展示交流】【归纳总结】【巩固反馈】1.方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（）A 、有两个不相等的实数根；B 、有两个相等的实数根；C 、有一个实数根；D 、没有实数根.2.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A 、x 2＋1＝0B 、x 2+x-1＝0C 、x 2+2x ＋3＝0D 、4x 2-4x ＋1＝03.若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（）A 、k ＜41B 、k ＞41C 、k≤41D 、k≥41 4.关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（） A 、k ＜21 B 、k ＞21 C 、k≤21 D 、k≥21 5.ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0，有两个相等的实数根？求出这时方程的根。

2022-2022学年九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法(1)导学案(新版)华东师大版

一元二次方程的解法一、学习目标掌握用直接开平方法解形如2x =a(a ≥0)或（mx+n ）2=a(a ≥0)的一元二次方程。

二、学习重点重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。

难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。

三、自主预习1.因为22=4，（-2）2=4，所以一元二次方程x 2=4中的x= 。

2.一元二次方程x 2=1的实数根有个。

3.一元二次方程x 2-25=0的根是（）A 、x=2B 、x=-2C 、x=2或-2D 、以上都不对四、合作探究探究1.解下列方程：（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.解：（1）移项，得解：(2) 移项，得_________直接开平方，得x= 方程两边都除以16，得所以原方程的解是：直接开平方，得x ＝x 1= ，x 2= 。

所以原方程的解是 x 1＝，x 2＝。

探究2.解下列方程：（1）（x ＋1）2－4＝0 （2）12（2－x ）2－9＝0解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____直接开平方，得x+1=所以原方程的解是 x 1＝，x 2＝。

五、巩固反馈1.关于x 的一元二次方程2x 2-3x-a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（）A 、1B 、C 、-D 、或- 2.已知（a 2+b 2-1）2=9，那么a 2+b 2= 。

3.用直接开平方法解下列方程： 3333（1）x2＝169 （2）45－x2＝0 （3）12y2－25＝0（4）100（x+1）2=121 （5）（x+ ）（x- ）=20554.小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？5.已知方程3（x-2）2=12的解也是方程x2-2x=a-3的解。

求代数式a2-2a-3的值。

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法配方法》教学案例_4

用配方法解一元二次方程教学设计【教学目标】：1.理解配方法的意义；2.经历探索用配方法解一元二次方程的步骤,体验数学发现的过程,感悟转化思想在解一元二次方程中的运用.【重点难点】：1.重点用配方法解简单的数字系数的一元二次方程2.难点如何对一元二次方程正确进行配方【教学过程】：（一）知识回顾1、(x+a ）2=x 2+2ax+a 22、(x-a ）2=x 2-2ax+a 22.解下列方程：(1)(x 2+8x+ ) = (x+ )2(2) (x 2-10x+ ) = (x- )2(3) (x 2+ x+ 25) = ( )2（二）合作探究你会解方程你会将它变成（x+m ）²=n （n 为非负数）的形式吗?试试看.如果是方程 x²-4x+3=0呢?（三）定义像这样将一个一元二次方程转化为﹙x+m ﹚²=n （n 为非负数）的形式,从而能够直接开平方求解的方法,叫做配方法.（四）规范过程例解方程 x² - 4x + 3 = 0移项,得X² - 4x = -3方程左边配方,得x² - 2•x•2 + 2² = -3 + 2²822=+x x即 ﹙x - 2﹚² = 1所以 x – 2 = ±1得 x1= 3,x2 =1（五）用配方法解一元二次方程的步骤:•移项：把常数项移到方程的右边•配方：依据二次项和一次项配常数项（即方程两边都加上一次项系数的绝对值的一半的平方）•整理：将上式写成﹙ ﹚² =a 的形式•开方：根据平方根意义,方程两边开平方•求解：解两个一元一次方程•定解：写出原方程的解.【随堂练习】：（一）用配方法解下列方程：(1) x² - 6x – 7 = 0（2） x² -4x +3 = 0(二)勇攀高峰方程能用配方法解吗?若能,请求解；若不能,请说明理由. 提示：与上题相比,有什么不同?能否变成二次项系数是1的一元二次方程呢?（三）比一比,看谁争第一用配方法解下列方程：⑴ x² - 3x – 4 = 0⑵ （一）课后感悟•通过本节课的学习,你都有那些收获?•这节课的重、难点是什么?有哪些是你需要注意的?（二）作业课后习题05822=-+x x 02532=-+x x。

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.2配方法导学案华东师大版(2

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.2 配方法导学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.2 配方法导学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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22.2.2 配方法【学习目标】1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想.【学习重难点】用配方法解数字系数的一元二次方程【学习过程】一、课前准备1.你能求出适合等式x2=4的x的值吗?2.你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？（1)x2＝5; (3)x2-4＝0; （4）2x2—50＝0；（5)(x+2）2＝5；3。

填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2+12x+ ＝(x+6）2；（2）x2—4x+ =（x- ）2；（3）x2+8x+ ＝(x+ )2．二、学习新知自主学习:我们把方程x2－4x＋3＝0变形为（x－2）2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数。

这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.配方法基本思路：配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为（x+m)2＝n的形式,它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数,当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．基本过程：（1）(2）（3）（4）实例分析：例4、解方程:522=+x x解：例5、用配方法解方程（1）0142=+-x x (2）011242=--x x解（1)移项，得x 2－4x ＝____.方程左边配方，得x 2－2·x ·2＋__2＝-1＋___，即 (______）2＝____.所以 x －2＝____.原方程的解是 x 1＝_____，x 2＝_____.（2）移项，得4x 2-12x ＝1.两边同除以4，得配方，得x 2—2·x·( ）＋（）2＝41＋____，即 _____________________所以 ___________________原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________【随堂练习】用配方法解方程: (1)x 2＋8x －2＝0 (2)x 2－5x －6＝0。

新华东师大版九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第2课时学案

22.２一元二次方程的解法第二课时直接开平方法和因式分解法（2）【学习目标】1 认识用因式分解法解方程的依据是：“假如两个因式的积等于0，那么这两个因式中最少有一个等于0；反过来，假如两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。

【学习重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较娴熟地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

【课标要求】会用因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程【温故知新】1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）2、在实数范围内因式分解。

（ 1） 4x2-12x(2)4x2-9解：解：(3)x 2 -7(4)(2x-1)2- (x-3)2解：解：【例题学习】解以下方程：（用因式分解法）（ 1）x( x 2) x 2 0(2)5x22x1x22x344【课堂练习】1、（1）2x 0（2）x22 3x 0（3）3x26x3x 解：（ 4） 2121 0 （）（）224x ( x 4)(5 2x)5 3x( 2x 1) 4x 262、把小圆形场所的半径增添 5cm 获得大圆形场所，场所面积增添了一倍，求小圆形场所的半径。

【总结反思】【作业】1、方程 3－ (2x － 1) 2=0的解是。

2、方程 3x2－5 x=0的解是。

3、解以下方程（ 1）(3x+1)2－ 2=0（ 2） (x+2 ) 2=(1+ 2 ) 2（ 3）(2x － 2)2=6（ 4） (x － 5)(x+3)+(x － 2)(x+4)=49（ 5）(x+1) 2=3；（ 6） 3(y － 1) 2=27；（ 7）4(2x+5) 2-1=0 ；（8） 3(x －2) 2=27；（ 9）y(y － 2)=3 ；（ 10） 2y 2－ 3y=0；（ 11） (2x+1) 2=(2 － x) 2；。

【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第1课时教案+导学案

22.2 一元二次方程的解法第一课时直接开平方法和因式分解法( 1) 教学目标知识技能目标21.认识形如x2＝a(a≥0)类型的方程，并会用直接开平方法或因式分解法求解；2.培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力；过程性目标1.使学生体会运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；2.在学生自主实践中感悟一元二次方程解法的多样性，从而初步认识一些特殊一元二次方程的求解思路．情感态度目标通过两边同时开平方或运用因式分解的方法，将一元二次方程转化为一元一次方程，渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化的思想，这是研究数学问题常用的方法．重点和难点重点：掌握运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；难点：怎样的一元二次方程用直接开平方法，以及用因式分解法，理解一元二次方程的解的情况．教学过程一、创设情境问题解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．(1)x2＝4；(2) x2-1 ＝0．二、探究归纳概括(1) x2＝4，一个数x 的平方等于4，这个数x 叫做4 的平方根(或二次方根)；根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为± 2，所以x＝±2．我们知道，求一个数平方根的运算叫做开平方．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．(2)x2-1 ＝0，如果把它化为x2＝1，由直接开平方法，得x＝±1．对于x2-1 ＝0，将左边运用平方差公式因式分解后再解这个方程，( x＋1)( x－1) ＝0，必有x＋1＝0 或x－1＝0，从而得，x1＝-1 ，x2＝1．这种通过因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．通常用x1、x2 来表示未知数为x 的一元二次方程的两个实数解．思考(1) 能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程有什么特征？(2)x2＝4 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程形如x2＝a(a≥0) ；用因式分解法来解时，首先应将它化成一般形式．三、实践应用2例1 试用两种方法解方程：x2-900 ＝0．学生分组分别用直接开平方法和因式分解法解这个方程．并指出x＝± 30，或x1＝30，x2＝-30 都可以作为方程的解．例2 解方程：(1) x2-2＝0；(2)16 x2-25 ＝0．2分析对于缺少一次项的一元二次方程ax2+c＝0( a≠0) ，用直接开平方法来解比较简便．解(1) 移项，得x2＝2，直接开平方，得x＝ 2 .所以原方程的解是x1 2， x2 2．2(2)移项，得16x2＝25，2 25方程的两边都除以16，得x2 25，165直接开平方，得x 5，455原方程的解是x15，x25．44思考本题若用因式分解法求解，应如何解？22例3 解方程(1)3 x2＋2x＝0；(2) x2＝3x．分析将方程化成一般形式后，可把左边因式分解再求解，因式分解的常用方法有提公因式法和运用公式法.解(1) 方程左边分解因式，得x(3 x ＋2) ＝0，所以x＝0，或3 x ＋2＝0．原方程的解是x1 0,x2.3(2) 原方程化为x2－3x＝0 方程左边分解因式，得x(x－3) ＝0，所以x＝0，或x－3＝0 原方程的解是x1＝0，x2＝3.注意运用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1) 方程化为一般形式；(2) 方程左边因式分解；(3)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；会用开平方法、因式分解法解形如x 2=p 的一元二次方程。

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2121222=-+-x x x x 0624=--x x 06)1
(5)1(2=+---x x x x 华东师大版九年级上册导学案
§22.2一元二次方程的解法拓展
【课前预习学案】
★(一)温故知新：
1、若一元二次方程通过适当变形为(x -m )2=n (n ≥0)，可用法求解较为简便；方程通过适当变形为(x +a )(x +b )=0，可用法求解；对任意一个一元二次方程如果有解，都可以用法和法。

2、掌握好了上述方法的同学，请按要求解下列方程：(有一定的难度哦，相信你能行的!)
（用因式分解法）
（用公式法）（用配方法）（用开平方法）；；； .0154)53(2)4( 2
312)3( 03161)2( )0(0)1(2222=++--==-+≠=-x x p p y y m n mx
★(二)自我探究：
1、上述几种方法是解一元二次方程的基本方法，但对于一些特殊的一元二次方程或更高次数的一元方程，这些方法就有一定的局限了。

我们一起来看看一种新的解方程的方法：解一元二次方程：(3x +5)2- 9(3x +5)+20=0
分析：若用常规思路，即整理成一般形式，再选用适当方法求解；还可以将(3x +5)看作一个整体，进行“换元”，从而达到降次的目的，将原方程转化为一元一次方程求解。

解：设3x +5= y ，则原方程化为y 2- 9y +20=0，解得y 1=4，y 2=5.
当y =4时，即3x +5=4，解得x =3
1-；当y =5时，即3x +5=5，解得x =0. ∴原方程的解为x 1=3
1-，x 2=0. 模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：
(1) (x +2)2-13(x +2)+36=0 (2) (x 2-x )2-7(x 2-x )-8=0
2、换元法不只是在解这种特殊的一元二次方程时可用，它真正的威力在解某些高次方程或分式方程时才会显现出来，以下面三个题为例：
解方程：(1) (2) (3) 解：(1),65,1
2+-=-y y y x x 则原方程化为设
.3,221==y y 解得；解得时，即当2,212==-=x x x y 5.1,31
3==-=x x x y 解得时，即当 .5.1221是原方程的解，经检验，==x x
6151=+++x x x x 0241124=+-y y 0324)12(22=----x
x x x 06,)2(22=--=m m m x 则原方程化为设,.2,321-==m m 解得
；，解得时，即当3332±===x x m .,222此时方程无解时，即当-=-=x m
.3321-==∴x x ，原方程的解为 (3),21,122=+=-y y y x x 则原方程化为令,11
2,1,0122
2=-==+-x x y y y 即解得去分母得 .10122==+-x x x ，解得去分母整理得.1是原方程的解
经检验，=x
模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：
(1) (2) (3)
【课后练习题案】
一、填空：
1、若一元二次方程x 2-4x -5=0的一根是直角三角形斜边上中线的长，则该直角三角形两直角边长平方的和是 .
2、. )2
52(63301322的值为，则一元二次方程--+÷--=-+x x x x x x x 3、. ,02
12的值为则若分式a a a a =--- 二、用换元法解下列方程：
(1)(3x -1)2+1-3x=6 (2)04)1(3122=++-+x x x x (3)22322=+-+x x x x (4)0)5)(2(22=--x x
三、.,4)1(22222的值求已知y x y x +=++
四、已知m 是方程x 2-2020x +1=0的一个根，求m 2-2019m +1
20202+m 的值。