上海市复旦大学附中高三数学一轮复习 直线与圆 沪教版
上海市复旦大学附中高三数学一轮复习 数列 沪教版
复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：数列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=( )A ．58B ．88C ．143D ．176 【答案】B2．设s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知s 6=36, s n =324, s 6-n =144 (n>6),则n=( ) A ． 15 B ． 16C ． 17D ． 18【答案】D3．已知等差数列{}n a 满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=n S ，则n 的值为( ) A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若439,15a S ==，则数列{}n a 的通项为( ) A ．2n-3 B ．2n-1C ．2n+1D ．2n+3【答案】C5．在公差不为零的等差数列{}n a 中，137,,a a a 依次成等比数列，前7项和为35,则数列{}n a 的通项n a =( ) A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【答案】B6．数列{}n a 中，nnn a a a 311+=+，且21=a ，则n a 等于( )A ．1651n - B ．265n - C ．465n - D ．431n - 【答案】B7．在等差数列}{n a 中,=+++=10752111111a a a a S ，则项和若前 ( ) A ． 5B ．6C ．4D ．8【答案】C8．用数学归纳法证明33n n ≥(n ≥3,n ∈N)第一步应验证( )A ． n=1B ． n=2C ． n=3D ． n=4【答案】C9．等差数列{a n }中，a 5+a 7=16，a 3=4，则a 9=( )A ．8B ．12C ．24D ．25【答案】B10．在等差数列{}n a 中，若前5项和520S =，则3a 等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】A11．等差数列{}n a 前n 项和满足4020S S =,下列结论正确的是( )A ．30S 是n S 中最大值B ．30S 是n S 中最小值C ．30S =0D ．060=S【答案】D12．已知实数列1,,,2a b 成等比数列，则ab =( ) A ． 4 B ． 4-C ． 2D ． 2-【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{}n a 的前n 项和为332412++=n n S n ，则这个数列的通项公式为____________【答案】⎪⎩⎪⎨⎧>+==1,12561,1259n n n a n14．已知等差数列{}n a 满足：100543a π=，则12009tan()a a +=____________.【答案】15．在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2011S 的值等于 ． 【答案】402216．已知数列{a n }的前三项依次是－2，2，6，前n 项和S n 是n 的二次函数，则a 100＝____________ 【答案】394三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知数列{a n }的前n 项和n n S n 23212+=. (1)求{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11+=n n n a a b ,求{b n }的前10项和10T .【答案】2,111===S a n 时 1)1(23)1(212321,2221+=----+=-=≥-n n n n n S S a n n n n 时当1=n 时,2111=+=a 也满足上式 所以1+=n a n (2）由（1）得：()()111111212n n n b a a n n n n +===-++++ 12101111111152334111221212b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=-+-+-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．设数列满足，， 。
上海市复旦大学附中高三数学一轮复习集合与逻辑沪教版
上海市复旦大学附中高三数学一轮复习会合与逻辑沪教版本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分．满分150 分．考试时间120 分钟．第Ⅰ卷 ( 选择题共60分)一、选择题 ( 本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．在以下四个结论中，正确的有( )(1） x24是x38 的必需非充足条件；(2）ABC 中，A>B是sinA>sinB的充要条件；(3） x y 3是x 1或y 2 的充足非必需条件；(4） sin x tan x是 cot x0 的充要条件.A .(1)(2)(4) B． (1)(3)(4)C．(2)(3)(4) D． (1)(2)(3)(4)【答案】 D2．设会合A＝{1,2,3,4}， B ＝{3,4,5}U，全集 U＝ A∪ B，则会合? ( A∩ B)的元素个数为( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 C13．设a R，则 a＞1 是<1 的 ( )A．充足但不用要条件B．必需但不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A4．以下命题中的假命题是()．．．A．x R,lg x0B．x R,tan x1C．x R, x30D．x R,2 x0【答案】 C5．会合A0,2, a, B 1,a2 , 若A B0,1,2,4,16 ,则a的值为()A ． 1B． 2C． 3D．4【答案】 D6．已知 p：存在 x∈ R，mx2＋ 1≤ 0；q：对随意x∈R， x2＋mx＋ 1>0，若 p 或 q 为假，则实数m的取值范围为 ( )A． m≤－ 2B． m≥2C． m≥ 2 或 m≤－ 2D．－ 2≤ m≤ 2【答案】 B7．关于会合 A， B，“ A∩ B=A∪ B”是“ A=B”的 ( )A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件【答案】 C8．已知命题p :x0,1 , a e x，命题q :x R, x24x a0 ，若命题 p, q 均是真命题，则实数 a 的取值范围是()A．[4,)B．[1,4]C．[e,4]D．(,1]【答案】 C9．给出以下个两个命题：命题p1：y ln (1x)(1 x)1x 为偶函数；命题 p2：函数 y lnx1是奇函数，则以下命题是假命题的是( )A．p p2B．p p2C．p1p2D．p p1112【答案】 D10．已知命题p：x R,sin x1，则()A．p :x R,sin x1B．C．p :x R,sin x1D．【答案】 C p :x R,sin x1 p :x R,sin x111．给出两个命题： p：|x|=x的充要条件是x 为正实数； q：存在反函数的函数必定是单一递加的函数 . 则以下复合命题中的真命题是( )A． p 且 q B． p 或 q C．非 p 且 q D．非 p 或 q【答案】 B12．会合A{( x, y) y x0}，B{( x, y) x 2y 21} ，C=A B ，则C中元素的个数是 ()A．1 个B．2 个C．3个D．4 个【答案】 A第Ⅱ卷 ( 非选择题共90分)二、填空题 ( 本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13．命题“对任何x R, x 2 x 43”的否认是【答案】14．以下四个命题，是真命题的有( 把你以为是真命题的序号都填上).①若 p： f ( x)＝ln x－2＋ x 在区间(1,2)上有一个零点；q：e0.2＞e0.3，则 p∧ q 为假命题；1②当x＞1时，f(x) ＝x2， (x) ＝x2－2的大小关系是 () ＜ (x) ＜(x) ；g， h( x)＝ x h x g f③若 f ′( x )＝0，则 f ( x)在 x＝x处获得极值；00④若不等式 2－ 3x－ 2x2＞0 的解集为P，函数y＝x＋2＋1－ 2x的定义域为Q，则“x∈P”是“ x∈ Q”的充足不用要条件.【答案】①②④15．会合A0,2,a, B 1,a2,若A B0,1,2,4,16, 则a的值为 .【答案】 416．会合 Ax R| x 2 5 中最小整数位.【答案】 3三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17．已知命题 p ：方程 x2y 21 1表示焦点在 y 轴上的椭圆； 命题 q ：双曲线 y 2x 2 12mm5 m的离心率 e (1,2) ，若 p 、 q 有且只有一个为真，求m 的取值范围。
44.沪教版高三一轮复习基础题练习——学科基本要求解析几何例题
7.1坐标平面上的直线与圆例1、分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过直线20x y +-=与210x y --=的交点，且垂直于直线5230x y -+=的直线；（2）在过点()1,1P -的所有直线中，与点()2,1Q -距离最远的直线；（3）ABCD 的两个顶点为9,72A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()2,6B ，中心坐标为33,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，边CD 所在的直线.例2、分别求经过点()0,1-，且满足下列条件的直线l 的方程：（1）点()2,1A 与点()0,1B 到直线l 的距离相等；（2）直线l 被两条平行直线260x y +-=和4250x y +-=截得的线段长为72.例3、分别求满足下列条件的圆C 的方程：（1）经过点()3,0A -与点(0,B ，且圆心在直线1x y +=-上的圆；（2）圆心在直线23x y -=上，且与x 轴、y 轴都相切的圆.例4、已知ABC 的顶点()3,1A -，边AB 上的中线所在直线的方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在的直线方程为4100x y -+=，求边BC 所在直线的方程.例5、已知三条直线1111:+0l a x b y c +=，2222:+0l a x b y c +=，3333:+0l a x b y c +=互不平行，求证：1l 、2l 、3l 共点的充分必要条件是1112223330a b c a b c a b c =.7.2椭圆、双曲线、抛物线例1、分别求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）分别以椭圆221259x y +=的焦点和顶点为双曲线的顶点和焦点的双曲线； （2）以340x y ±=为渐近线，且过点()2,3-的双曲线；（3）抛物线的顶点在原点，准线过椭圆()2222+10x y a b a b=>>的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为23P ⎛ ⎝⎭的抛物线及椭圆.例2、O 为坐标原点，直线y x b =+与双曲线2222x y -=相交于A 、B 两点，若OAB的面积为b 的值.例3、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线22y x =相交于A 、B 两点.（1）求证：“如果直线l 过点()3,0T ，那么3OA OB ⋅=”是真命题；（2）写出小题（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.例4、太平洋上有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东40海里处.经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A 、B 两岛.曾有渔船在距A 岛正西20海里处发现过鱼群.某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A 、B 两岛收到鱼群反射信号的时间比为5:3，求鱼群此时分别与A 、B 两岛的距离.例5、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=.（1）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；（2）设椭圆222:41C x y +=.若M 、N 分别为1C 、2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：点O 点到直线MN 的距离为定值.。
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之空间直线与直线的位置关系
沪教版（上海）高中数学2019-2020 学年度高三数学一轮复习立体几何系列之空间直线与直线的位置关系②教学目标（1）从两个角度学习异面直线的概念：一、相交、平行、异面；二、共面、异面. 设置问题，进行问题教学，引导学生思考——探索——得出结论. 会判断、会画出空间内任意两条异面直线.（2）复习反证法，学习用反证法证明两条异面直线.（3）应用等角定理，确定异面直线所成角，利用直线平行计算异面直线所成角大小.知识梳理（一）异面直线1 、定义：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线.2 、与平行直线、相交直线的区别：相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.3、异面直线的画法：过渡：用两张图例说明，分别在两个平面内的直线，并不一定是异面直线4、异面直线的判定：不平行、不相交的直线5、空间直线的位置关系二）证明异面直线复习：反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾——与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾 （三）异面直线所成角1、异面直线 a 与 b 所成的角：在空间内任取一点 P ，过 P 分别作 a 和 b 的平行线a '和b ',则 a '和b所成的锐角 （或直角 ）叫做异面直线 a 与 b 所成的角 .问题 1: 理论依据—等角定理 .问题 2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？ 答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其他所有的角，因此我们只研究其中 较简单的锐角或直角 .2 、异面 直线所成角范围 0,2四）问题拓展典例精讲A ）空间不相交的两条直线1 、空间内两直线所成角范围0,2当空间两直线 l 1、l 2 所成角为直角时， l 1 l 2 当空间两直线 l 1、l 2 所成角为零角时，若 l 1 l 2，则 l 1 Pl 2若l 1 l 2，则 l 1 l 22、 异面垂直（1） 定义 : 如果两条异面直线所成的角是直角 , 则这两条异面直线互相垂直 [ 来源 : 学§科§网 Z § X § X § K] （2） 记法 : 异面直线 a,b 互相垂直 , 记为 a ⊥ b(3) 分类 :两直线垂直共面垂直（相交）异面垂直例 1. （★★★） 两条异面直线指的是（ D ）B）分别位于两个不同平面上的两条直线（C）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线（D）不能同在一个平面上的直线【说明】：异面直线概念掌握例 2. （★★★）若a、b 是两条异面直线，且分别在平面、内，若l，则直线l 必定（ B ）A ．分别与a、b 相交； B.至少与a、 b 之一相交；C. 与a、b 都不相交；D.至多与a、 b 之一相交.【说明】：异面直线的概念掌握例 3. （★★★）直线l 与平面相交于点A，直线m 在平面上，且不经过点A，求证：直线l 与m 是异面直线.说明】：学习用反证法证明异面直线例 4. （★★★）（1）正方体ABCD A1B1C1D1 中，哪些棱所在直线与直线BC1成异面直线？答案】：共有 6 条棱.2）如图所示，空间四边形ABCD 中，H、F 是AD边上的点，G、E 是BC边上的点【答案】：与AB 成异面直线的线段有：HG、EF、CD 与CD 成异面直线的线段有：AB、HG、EF 与EF 成异面直线的线段有：HG、AB、EF、CD 【说明】：在空间中能确定异面直线.例 5. （★★★）在长方体ABCD A1B1C1D1 中，AB 5,BC 4,CC1 3.（1）B1C和DD 1所成角大小.（2）BC和 A 1C1所成角大小；223） B 1C 和AD 1所成角大小答案】：（1）Q C 1C PD 1DB 1CC 1为异面直线 B 1C 和DD 1所成角， 4 在 RT VB 1C 1C 中， B 1C 1 BC4,C 1C 3， tan B 1CC 134B 1CC 1 arctan ，34 异面直线 B 1C 和DD 1 所成角大小为 arctan .1 1 32)Q BC PB 1C 1， A 1C 1B 1为异面直线 BC 和A 1C 1 所成角，在RTVB 1C 1C 中， A 1B 1 AB 5, B 1C 1 BC 4 ， 5tan A 1C 1B 1,45 A 1C 1B 1 arctan ， 45 异面直线 BC和A 1C 1 所成角大小为 arctan43)Q AD 1 PBC 1，设 B 1C 和 BC 1 相交于 O ，C 1OB 1为异面 直线 B 1C 和AD 1 所成角（或其补角）例 6. （★★★） 在空间四边形 ABCD 中，AB=CD=6，M 、N 分别是对角线 AC 、BD 的中点且 MN=5，求异面直 线AB 、 CD 所成角大小 .【答案】：取 AD 中点，11在 VABD 中， NEAB,NE P AB11在 VADC 中， ME CD,ME P CD22NEM 为异面直线 AB 、 CD 所成角（或其补角）在 VNEM 中， MN5，NE ME 3，利用余弦定理，77cos NEMNEMarccos1818异面直线 AB 和CD 所成角大小为 7 arccos 18说明】：在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题在 VB 1OC 1 中， B 1C 1 4，B 1O 5 2 725利用余弦定理， cos B 1OC 1异面直线 B 1C 和A D 1 所成角大小为C 1OB 1OC 17 arccos257 arccos25课堂检测1．（★★★）如果 a,b 是异面直线， b,c 也是异面直线，则 a,c 的位置关系是（ D） .A ．异面； B. 相交或平行； C.异面或平行； D. 相交，平行，异面都有可能 .[ 来源: 学。
2024年高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件
B.线段 AB 中垂线方程为 x＋y－1＝0
C.公共弦
AB
的长为
2 2
D.P 为圆 O1 上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为 22＋1
外离
d＝R＋r d>R＋r
3
4
【名师点睛】(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋ y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方 程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两 切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16 的圆心为 M(5，5)，由题易 知直线 AB 的方程为4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0，则圆心 M 到直线 AB 的距离 d＝|5＋2×55－4|＝ 115＞4，所以直线 AB 与圆 M 相离， 所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值为 4＋d＝4＋115，4＋ 115＜10， 故 A 正确；易知点 P 到直线 AB 的距离的最小值为 d－4＝115－4，
a2，0，半径 r＝a2，
a
圆心 O1 到直线 x－y＝0 的距离 d＝ 22＝2 a 2，所以由题意可
得弦长 2 2＝2 r2－d2＝2
a42－a82，解得 a＝4，所以圆 O1 的
方程为 x2＋y2－4x＝0，即圆心坐标 O1(2，0)，半径 r＝2，圆 O2 的圆心 O2(4，2)，半径 r′＝1，
程中，体会用代数方法处理几何 主，难度中等中出现
1.直线与圆的位置关系
判断方法
相交
几何法
d<r
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线与圆②
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线与圆②教学目标（1）掌握圆的标准方程和一般方程；（2）会判断直线与圆的位置关系：相交、相切、相离； （3）会求圆的切线方程知识梳理圆的标准方程与一般方程1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x .特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点)2,2(ED --，半径2422FE D r -+=，其中0422>-+F E D .3.二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ； ②、没有xy 项，即0=B ； ③、0422>-+AF E D . 直线和圆位置关系的判定方法方法 一：方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成一元二次方程组，利用判别式∆来讨论位置关系．①0>∆，直线和圆相交； ②0=∆，直线和圆相切； ③0<∆，直线和圆相离．方法 二：几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较.①R d <，直线和圆相交；②R d =，直线和圆相切； ③R d >，直线和圆相离．当直线与圆相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.典例精讲例1.（★★★★）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππ D.[0,]2π【答案】：圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴ 222a b +≤，∴ 2()4()1a a b b ++≤0，∴ 23()23a b ---+≤≤，()a k b =-，∴ 2323-+≤k ≤，直线l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B.例2.（★★★★）如果实数满足22(2)3x y ++=,求yx的最大值、2x -y 的最小值 【答案】：（1）问题可转化为求圆22(2)3x y ++=上一点到原点连线的斜率y k x=的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆22(2)3x y ++=作切线,其中切线斜率的最大值即为yx的最大值设过原点的直线为y =k x ,即k x -y =0,由22031k k --=+,解得3k =或3k =-max 3y x ⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭（2）Q x ,y 满足22(2)3x y ++=,23cos 3sin x y θθ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩()2423cos 3sin 415sin x y θθθφ∴-=-+-=-++ {}min 2415x y ∴-=--例3.（★★★★）自点A(-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在的直线方程【答案】:由已知可得圆C ：()()22221x y -+-=关于x 轴对称的圆C ‘的方程为()()22221x y -++=，其圆心C ‘（2，-2），则l 与圆C ’相切，21-3-2-1-2-11oyx设l : y -3=k(x+3), 1=，整理得12k 2+ 25k+12=0, 解得34k =-或43k =-，所以所求直线方程为y -3=34- (x +3)或 y -3=43- (x +3)，即 3x +4y -3=0或4x +3y +3=0例4.（★★★★）已知圆2280x y x y m +--+=与直线260x y +-=相交于P 、Q 两点，定点(1,1)R ，若PR QR ⊥，求实数m 的值． 【答案】：设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，由2280260x y x y m x y ⎧+--+=⎨+-=⎩，消去y 得：254600x m +-=， ①由题意：方程①有两个不等的实数根，∴6040m ->，15m <，由韦答定理：121204125x x x x m +=⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∵PR QR ⊥，∴1PR QR k k =-，∴121211111y y x x --⋅=---，即1212(1)(1)(1)(1)0x x y y --+--=， 即12121212()()20x x x x y y y y -++-++=， ②∵12123,322x x y y =-=-，∴12121212123(3)(3)9()922244x x x x x x y y x x =--=-++=+，126y y +=，代入②得：125504x x +=，即54(12)5045m -+=，∴10m =，适合15m <，所以，实数m 的值为10。
上海市复旦大学附中2020届高三数学一轮复习 选考内容 沪教版
复旦大学附中2020届高三数学一轮复习单元训练：选考内容 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上 的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )A ． 1对B ． 2对C ． 3对D ． 4对 【答案】C2．已知，则使得都成立的取值范围是( )A ．（，）B ．（，）C ．（，）D.（，）【答案】B 3．若点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线244x t y t⎧=,⎨=⎩ (t 为参数)上,则|PF|等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 4．已知x,y ∈R 且122=+y x ，a,b ∈R 为常数，22222222y a x b y b x a t +++=则( )A ．t 有最大值也有最小值B ．t 有最大值无最小值C ．t 有最小值无最大值D ．t 既无最大值也无最小值【答案】A 5．如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是( )A ．32B ．364C ．473D ．3212 【答案】D 6．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】A7．已知点P 的极坐标是(1,π),则过点P 且垂直于极轴的直线方程是( )A ．1ρ=B ．ρ=cos θC ．1cos ρθ=-D ．1cos ρθ= 【答案】C8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为( )A ．31B 3C ．31D ．12 【答案】A9．圆内接三角形ABC 角平分线CE 延长后交外接圆于F ，若2,FB =1EF =，则CE =( )A ． 3B ． 2C ． 4D ． 1【答案】A10．若不等式｜2x 一a ｜＞x －2对任意x ∈(0,3)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ． (－∞, 2] U [7, +∞)B ． (－∞, 2) U (7, +∞)C ． (－∞, 4) U [7, +∞）D ．（－∞, 2) U (4,+ ∞)【答案】C11．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是( )A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π 【答案】B 12．设0a >，不等式||ax b c +<的解集是{|21}x x -<<，则::a b c 等于( )A ．1:2:3B ． 2:1:3C ．3:1:2D ．3:2:1 【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．不等式32>++x x 的解集是 .【答案】 ),21()25,(+∞⋃--∞ 14．已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，则曲线C 上的点到直线t t y t x (21⎩⎨⎧=+-=为参数）的距离的最大值为____________【答案】4555+15．如图：若PA PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 交于点D ，且4PB =，3PD =，则AD DC ⋅= .【答案】716．如图：在ACD 直角三角形中，已知AC=1,延长斜边CD 至B,使DB=1,又知030=∠DAB .则CD= 。
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)图形量的关系外离d >r 1＋r 2外切d ＝r 1＋r 2相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2内切d ＝|r 1－r 2|内含d <|r 1－r 2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d 、半径r 和弦长|AB |的一半构成直角三角形，弦长|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，代入，消去y ，得关于x 的一元二次方程，则|MN |＝1＋k 2· x M ＋x N 2－4x M x N .常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )；②过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，所以注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(√)(4)在圆中最长的弦是直径．(√)教材改编题1．直线3x ＋4y ＝5与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案A解析圆心到直线的距离为d ＝532＋42＝1<4，所以直线与圆相交．2．直线m ：x ＋y －1＝0被圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为()A ．4B ．23 C.12D.13答案B解析∵x 2＋y 2－2x －4y ＝0，∴(x －1)2＋(y －2)2＝5，∴圆M 的圆心坐标为(1,2)，半径为5，又点(1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|12＋12＝2，∴直线m被圆M截得的弦长等于2 5 2－ 2 2＝2 3.3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()A．±3B．±5C．3或5D．±3或±5答案D解析圆C1与圆C2的圆心距为d＝ a－0 2＋ 0－0 2＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A．相交、相切或相离B．相交或相切C．相交D．相切答案C解析方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为|k＋2－k|1＋k2＝21＋k2≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．命题点2弦长问题例2(1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k 的值为()A．±33B.33C.3D．±3答案D解析圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝|2k|12＋k2，则弦长为2r2－d2＝2，得24－4k21＋k2＝2，解得k＝± 3.(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝23时，直线l的方程为________．答案x＝0或3x＋4y－4＝0解析因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，因为|AB |＝23，所以圆心到直线的距离为d ＝22－ 3 2＝1，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时圆心(－1,3)到直线x ＝0的距离为1，满足条件；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心(－1,3)到直线l 的距离d ＝|－k －3＋1|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0，综上，所求直线的方程为3x ＋4y －4＝0或x ＝0.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.命题点3切线问题例3已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴过点P 的切线的斜率为－1k PC＝1，∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x ＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，由圆心C 到切线的距离d ′＝|k －2＋1－3k |k 2＋1r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.∵|MC |＝ 3－1 2＋ 1－2 2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．命题点4直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4(2023·龙岩模拟)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 的面积的最小值为________．答案23解析由圆O ：x 2＋y 2＝2，得r ＝2，四边形PAOB 的面积S ＝2S △PAO ＝|PA |·|AO |＝2|PA |，∵点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，∴P (x 0，4－x 0)，则|PA |＝|PO |2－|OA |2＝|PO |2－2，又|PO |2＝x 20＋(4－x 0)2＝2x 20－8x 0＋16＝2(x 0－2)2＋8≥8，∴|PO |2－2≥6，则|PA |≥6，∴四边形PAOB 的面积的最小值为2×6＝2 3.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．跟踪训练1(1)(2022·宣城模拟)在平面直角坐标系中，直线3x cos α＋2y sin α＝1(α∈R )与圆O ：x 2＋y 2＝12的位置关系为()A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切答案D解析因为圆心到直线的距离d ＝13cos 2α＋2sin 2α＝12＋cos 2α≤22，当且仅当α＝k π＋π2(k ∈Z )时，取得等号，又圆x 2＋y 2＝12的半径为22，所以直线与圆相交或相切．(2)(2023·昆明模拟)直线2x ·sin θ＋y ＝0被圆x 2＋y 2－25y ＋2＝0截得的弦长的最大值为()A ．25B ．23C ．3D ．22答案D解析易知圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，所以圆心为(0，5)，半径r ＝3，由题意知圆心到直线2x ·sin θ＋y ＝0的距离d ＝|5|4sin 2θ＋1<3，解得sin 2θ>16，所以弦长为2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1，因为53<4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin 2θ＋1<3，所以2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1∈(0,22]．所以当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.题型二圆与圆的位置关系例5(1)(2023·扬州联考)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16和两点A (0，－m )，B (0，m )，若圆C 上存在点P ，使得AP ⊥BP ，则m 的最大值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案C解析因为两点A (0，－m )，B (0，m )，点P 满足AP ⊥BP ，故点P 的轨迹C 1是以A ，B 为直径的圆(不包含A ，B )，故其轨迹方程为x 2＋y 2＝m 2(x ≠0)，又圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16上存在点P ，故两圆有交点，又|CC1|＝12＋ 22 2＝3，则|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7.(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．答案x－2y＋4＝025解析2＋y2－2x＋10y－24＝0，2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝|1－2× －5 ＋4|1＋ －2 2＝3 5.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦长为2 5.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．跟踪训练2(1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．内含B．相交C．外切D．外离答案B解析圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，则|MN|＝22＋12＝5，故有|R－r|<|MN|<R＋r.故两圆是相交关系．(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．答案x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3,4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l 21设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0,0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，则点O (0,0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.课时精练1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不确定答案B解析由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝|－3＋8＋5|32＋42＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切．2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切答案B解析由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝1＋4＝5，则2－1<5<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交．3．(2022·沈阳模拟)已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2,2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为()A．25 B.4215C.21055D.655答案D解析设圆心坐标为(a，b)，0，＝ a＋2 2＋ b－2 2，解得a ＝－1，b ＝4.则圆心坐标为(－1,4)，半径r ＝ －1＋2 2＋ 4－2 2＝5，则圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离d ＝|－2＋4－6|22＋12＝455，则弦长为2r 2－d 2＝2×5－165＝655.4．(多选)(2023·滁州模拟)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝25，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋a )2＝4，若圆C 1与圆C 2内切，则实数a 的值是()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案BC解析由题可知圆心C 1(a ，－2)，半径r 1＝5，圆心C 2(－1，－a )，半径r 2＝2，因为圆C 1与圆C 2内切，所以|C 1C 2|＝ a ＋1 2＋ －2＋a 2＝|r 1－r 2|＝3，解得a ＝－1或a ＝2.5．(2022·深圳模拟)若圆C ：x 2＋y 2－6x －6y －m ＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m 的取值范围为()A ．(－18,6]B ．[－2,6]C ．[－2,18]D ．[4,18]答案C解析将圆C 的方程化为标准方程得(x －3)2＋(y －3)2＝m ＋18，所以m >－18.因为圆C 上有到(－1,0)的距离为1的点，所以圆C 与圆C ′：(x ＋1)2＋y 2＝1有公共点，所以|m ＋18－1|≤|CC ′|≤m ＋18＋1.因为|CC ′|＝ 3＋1 2＋32＝5，所以|m ＋18－1|≤5≤m ＋18＋1，解得－2≤m ≤18.6．(多选)在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2,0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC (图略)，所以四边形PACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，结合选项知实数k 的可能取值是1,2.7．(2022·阳泉模拟)若直线(m ＋1)x ＋my －2m －1＝0与圆x 2＋y 2＝3交于M ，N 两点，则弦长|MN |的最小值为________．答案2解析直线MN的方程可化为m(x＋y－2)＋x－1＝0＋y－2＝0，－1＝0，＝1，＝1，所以直线MN过定点A(1,1)，因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内，圆x2＋y2＝3的圆心为原点O，半径为3，当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值，此时|MN|取最小值，故|MN|min＝23－|OA|2＝2.8．(2022·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，12|OP|＝5为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 9．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－1 2＋ 6－3 2＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的长为2×27.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；(2)若过点P (1,0)的直线m 与圆C 相交于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线m 的方程．(1)证明转化l 的方程(m －2)x ＋(1－m )y ＋m ＋1＝0，可得m (x －y ＋1)－2x ＋y ＋1＝0，－y ＋1＝0，2x ＋y ＋1＝0，＝2，＝3，所以直线l 恒过点(2,3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，得点(2,3)在圆内，即直线l 恒过圆内一点，所以无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交．(2)解由C 的圆心为(3,4)，半径r ＝2，易知此时直线m 的斜率存在且不为0，故设直线m 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，直线m 的一般方程为my －x ＋1＝0，圆心到直线m 的距离d ＝|4m －3＋1|m 2＋ －12＝|4m －2|m 2＋1，所以|AB |＝2r2－d 2＝24－ 4m －2 2m 2＋1，所以S 2|·＝4－4m －2 2m 2＋1· 4m －2 2m 2＋1，令t ＝ 4m －2 2m 2＋1，可得S 2＝4t －t 2，当t ＝2时，S 2max ＝4，所以△ABC 面积的最大值为2，此时由2＝4m －2 2m 2＋1，得7m 2－8m ＋1＝0，得m ＝1或m ＝17，符合题意，此时直线m 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.11．若一条光线从点A (－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案D解析点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，得|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.12．(2022·合肥模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，则sin ∠AOB ＝________.答案158解析因为圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，所以直线AB 的方程为(x 2＋y 2－4)－(x 2＋y 2－x ＋3y －3)＝0，即x －3y －1＝0，所以圆心O (0,0)到弦AB 的距离为d ＝12，所以|AB |＝222－d 2＝15，所以在△AOB 中，|OA |＝|OB |＝2，由余弦定理得cos ∠AOB ＝4＋4－152×2×2＝－78，所以sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝1－4964＝158.13．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4,0)，B (0,2)，则()A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，因为4＋115<5＋1255＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4<1255－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋ 5－2 2－42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确．14．(2023·衡水中学模拟)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r1＝3，依题意，得圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图，因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，即r2＝r1－|OC2|，而点C2在线段AB上，过O作OP⊥AB于P，则|OP|＝|－5|32＋42＝1，显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，即圆C2的半径的最大值是2.。
复旦附中高三第一学期数学课后练习(40)直线与圆 2017.11
高三第一学期数学课后练习（40）直线与圆 2017.11班级________姓名________一、填空题：1.圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于A ，B 两点，圆心为C ，若90ACB ?，则F 的值为________2.圆22222sin 2cos cos 0x y ax by a θθθ+---=在x 轴上截得的弦长为_________3.已知()()22454x y -+-=，则22x y +的取值范围_________ 4.若直线240mx ny +-=始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则mn 的取值范围是_________ 5.过点1,02骣÷ç÷ç÷ç桫的直线与直线10x y --=的交点在圆221x y +=上，则这条直线的斜率为_________6.已知集合(){}22M ,4x y x y =+?与()(){}222N 11,0x y r r =-+-?满足M N N =，则r 的取值范围是________7.0y m -+=与圆222x y +=相切，则实数m 等于_________8.如果一条直线过点3M 3,2骣÷ç--÷ç÷ç桫，且被圆2225x y +=所截的的弦长为8，则这条直线的方程是_________ 9.过点()1,5-的圆()()22124x y -+-=的切线方程是_________10.以抛物线28y x =上的点A 为圆心，经过坐标原点O ，且与直线20x +=相切的圆的方程是_________11.若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆()()2211sin 16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是________12.若点(),P m n 为圆()2211x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++?恒成立，则c 的取值范围是________二、选择题：13.过点()1,1P 的直线，将圆形区域(){}22,4x y x y +?分为两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=14.已知两圆22111:30C x y D x E y +++-=和22222:30C x y D x E y +++-=都经过点()2,1-，则同时经过点()11,D E 和点()22,D E 的直线方程是（ ）A. 220x y -+=B. 20x y --=C. 20x y -+=D. 220x y +-= 15.方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=中，0A C =?且0B =是此方程为圆的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 16.能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离为1的c 的一个值为（ ）A.2B.C.3D.三、解答题：15.（1）已知实数x ，y 满足221x y +=，[]0,1x Î，求21y x ++的取值范围； （2）求函数3sin 2cos x y x-=+[]0,x Î的值域.16.已知与圆22C :2210x y x y +--+=相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为原点，且OA a =，OB b =，()2,2a b >>.（1）求证：()()222a b --=；（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求ΔABO 面积的最小值。
上海市复旦大学附中2022届高三数学一轮复习 圆锥曲线与方程 沪教版
复旦大学附中2022届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题 共60分一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数的取值范围是 A ． 25 C ． 5 D ． 以上答案均不对【答案】C2．若圆224x y +=上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是A ．221412xy+=B ．221436xy+=C ．229144xy +=D ． 221364xy+=【答案】C3．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数的值是 A ．19B ．125C ．15D ．13【答案】A4．在椭圆)0(12222>>=-b a by a x 中，F ，A ，B 分别为其左焦点，右顶点，上顶点，O 为坐标原点，M 为线段OB 的中点，若FMA 为直角三角形，则该椭圆的离心率为A ．25-B ．215- C ．552 D ．55 【答案】A5．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．＝±y 215B ．＝±x 215 C ．＝±y 43 D ．＝±x 43 【答案】D6．椭圆x y 22+=14的离心率是A ．32B ．34C ．34D ．12【答案】A7．已知直线01=+-y mx 交抛物线2x y =于、两点，则△ A 为直角三角形 B 为锐角三角形C 为钝角三角形D 前三种形状都有可能 【答案】A8．设双曲线222:1,(0,1),10x M y C x y a-=-+=点若直线交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且2BC AC =，则双曲线的离心率为A ．52B ．103C ．D ．【答案】B9．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为52233224936x y -=x y 22=MA MF +⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21()2,11162522=+y x 22221(0)x y a b a b +=>>22221(0,0)x y a b a b-=>>()AP BP AM BM λ+=+R λ∈125k k +=34k k +=28y x=||||PO PQ 4722y x=21722221(0)x y a b a b+=>>32(,0)A a (,0)A a -OP OQ ⋅31,2c b a ==2214x y +=(3,0)313y x =-+27830x x -=12830,7x x ==1211,7y y ==-831(,)77D -2283116||(0)(1)777CD =-+--=11(0)2y kx k k =+≠≠且22(41)80k x kx ++=12280,41k x x k -==+2122141,41k y y k -==+222814(,)4141k k k k --++12x y +=12(2)24ky x k +=+-4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩(4,21)Q k k -+1(,0)P k -1(,0)(4,21)4OP OQ k k k ⋅=--+=OP OQ ⋅22221(0,0)x y a b a b -=>>2332213x y -=()022，-e =223-12y a x bc c a 2222122223+===，由已知，又y x 2291+=k k ><-33或k k ><-33或()0,22212x y +=P Q 和OP OQ AB +与1122(,),(,),P x y Q x y1212(,),OP OQ x x y y +=++1224212k x x k +=-+1212222()2212y y k x x k +=++=+(2,0),(0,1),A B (2,1)AB =-OP OQ AB +与12122(),x x y y +=-+2.2k =2,2k <-2或k>20=++c my x x y 22==－1,c=－2时，求证：OA ⊥OB ； 2若OA ⊥OB ，求证：直线恒过定点；并求出这个定点坐标。
上海市复旦大学附中2022年高三数学一轮复习单元练习：直线与圆
上海市复旦大学附中2022年高三数学一轮复习单元练习：直线与圆本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时刻120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为( )A ．2(2)x ++2(2)y -=1B ．2(2)x -+2(2)y +=1C ．2(2)x ++2(2)y +=1D ．2(2)x -+2(2)y -=1【答案】B2．假如两条直线l1:260ax y ++=与l2:(1)30x a y +-+=平行，那么 a 等于( )A ．1B ．-1C ．2D ．23 【答案】D3．A(1,3)，B(5，-2)，点P 在x 轴上使|AP|－|BP|最大，则P 的坐标为( )A ． (4,0)B ． (13,0)C ． (5,0)D ． (1,0) 【答案】B4．已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为( )A ．7B ．-5C ．3D ．-1【答案】A5．已知正数x ，y 满足y x xy y x +=+则,122的最大值为( ) A ．1552 B ．42 C ．55 D ．22 【答案】B6．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=，与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 7．方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范畴是( )A ． m ≤2B ． m<2C ． m<21D ． m ≤21 【答案】C8．已知点()b a M , 关于x 轴、y 轴的对称点分别为N 、P ，则=PN ( )A ． 0B ． 22b a + [来源:学*科*网Z*X*X*K]C ． 222b a +D ． a 2【答案】C9．当圆x2+y2+2x+ky+k2=0的面积最大时,圆心坐标是( )A ．(0,-1)B ．(-1,0)C ．(1,-1)D ．(-1,1)【答案】B10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x ―5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范畴是( )A ．（―13，13）B ．[―13，13]C ．[―13，13]D ．（―13，13）[来源:1]【答案】D11．圆的标准方程为3)1()1(22=++-y x ，则此圆的圆心和半径分别为( )A ．)1,1(-,3B ．)1,1(-, 3C ．)1,1(-,3D ．)1,1(-,3 【答案】B12．直线220210x y m x y x -+=+--=与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m <【答案】C[来源:Z+xx+k ]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a R ∈，且2k παπ≠+，k Z ∈设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①l 的倾斜角为arctan(tan )α；②l 的方向向量与向量(cos ,sin )a αα=共线；③l 与直线sin cos 0x y n αα-+=()n m ≠一定平行；④若04a π<<，则l 与y x =直线的夹角为4πα-；⑤若4k παπ≠+，k Z ∈，与l 关于直线y x =对称的直线l '与l 互相垂直．其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）【答案】②④14．以点（2，-1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是 .【答案】2225(2)(1)2x y -++= 15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，则圆C 的方程为 ．【答案】226210x y x y +--+=（22(3)(1)9x y -+-=） 16．直线l 1过点（3，0），直线l 2过点（0， 4）；若l 1∥l 2且d 表示l 1到l 2之间的距离，则d 的取值范畴是 。
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用-6
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用-6教学目标1、掌握直线方程的四种形式，直线的方向向量和法向量；2、掌握直线的倾斜角和斜率3、掌握两直线的位置关系及其判断方法，两直线夹角公式4、掌握点到直线的距离公式，两平行直线的距离公式，知识梳理直线方程的几种形式⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨--⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩点方向式方程直线的方程点法向式方程一般式方程直线的倾斜角（定义、取值范围、与斜率的关系）直线的倾斜角和斜率直线的斜率直线的点斜式方程坐标平面上的直线平行两直线的位置关系重合相交两直线的夹角点到直线的距离公式点到直线的距离两平行线间的距离 典例精讲例1.（★★★） 已知两直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=的交点为(2,3)P ，求过两点111(,)Q a b 、222(,)Q a b （12a a ≠）的直线方程【答案】：解法一：∵(2,3)P 在已知直线上，∴ 112310a b ++=，222310a b ++=∴12122()3()0a a b b -+-=，即322121=--a a b b∴所求直线方程为112()3y b x a -=-- ∴1123(23)0x y a b +-+=，即2310x y ++=解法二：∵(2,3)P 在已知直线上，∴ 112310a b ++=，22231a b ++=根据以上两式的结构特点易知：点111()Q a b ，与222()Q a b ，的坐标都适合方程2310x y ++=，故经过点1Q 、2Q 的直线的方程为2310x y ++=例2.（★★★）求过点(5,4)P --且分别满足下列条件的直线方程：(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5； (2)与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且35AP BP =∶∶【答案】：解法一：设所求的直线方程为1=+b y a x ． 由直线过点)4,5(--P ，得145=-+-b a ，即ab b a -=+54． 又521=⋅b a ，故10=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧=-=+,10,54ab ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a ． 故所求直线方程为1425=+-y x 和125=-+y x ，即： 02058=+-y x 和01052=--y x ．解法二：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ，它与两坐轴的交点为)0,54(kk -，)45,0(-k ． 由已知，得5544521=-⋅-kk k ，即k k 10)45(2=-． 当0>k 时，上述方程可变成01650252=+-k k ，解得58=k ，或52=k ． 由此便得欲求方程为02058=+-y x 和01052=--y x ． (2)解：由P 是AB 的分点，得53±==PB AP λ． 设点A 、B 的坐标分别为)0,(a ，),0(b ． 当P 是AB 的内分点时，53=λ．由定比分点公式得8-=a ，332-=b ． 再由截距式可得所求直线方程为03234=++y x ． 当点P 是AB 的外分点时，53-=λ． 由定比分点公式求得2-=a ，38=b ．例3.（★★★）如图, 已知正方形ABCD 的对角线AC 在直线x+2y －1=0上, 且顶点A(－5,3), B(m,0)(m>－5), 求顶点B,C,D 的坐标.【答案】：∵直线AB 到直线AC 的角为450, 故由013315625,,tan 45,1135221031()()25AB AC m m k k m m m ------++==-==++++--+得化简得, 故m=－4. ∴B 的坐标为(－4,0). 又∵点C 在直线x+2y －1=0上, 故可设C 的坐标为(1－2b, b), 则由k AB ·k BC =-1, 得,125)3(-=-•-bb 故b=1, 于是点C 的坐标为(－1,1). 假设D 的坐标为(x 0,y 0), ∵对角线AC 的中点为M(－3,2), 故由正方形的对角线互相平分, 得⎩⎨⎧=+-=-+406)4(00y x ∴⎩⎨⎧=-=4200y x , 于是点D 的坐标为(－2,4)课堂检测1.（★★★）若两条直线11122233l a x b y l a x b y +=+=：，：相交于点(1,2)P ，试求经过点11()A a b ，与22()B a b ，的直线方程。
上海市复旦大学附中高三数学一轮复习 平面向量 沪教版
复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设(2,1),(0,1),OM ON ==u u u u r u u u rO 为坐标原点，动点(,)P x y 满足01,01OP OM OP ON ≤⋅≤≤⋅≤u u u r u u u u r u u u r u u u r，则x y -的最小值是( )A ．12B ．—12C ．32D ．－32【答案】D2．在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则( )A ． AB 与AC 共线 B ． DE 与CB 共线 C ． AD 与AE 相等 D ． AD 与BD 相等【答案】B3．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边，)cos ,(cos ),2,(C B n c a b m =-=ρρ，且n m ρρ//，则B 的大小为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C4．(2,),(,2),//a x b x a b x ===，则( ) A ．2 B ．-2C ．2±D ．1【答案】C5．已知=a ρ（1，0，1），=b ρ（1，1，0），则向量a ρ与b ρ的夹角为( )A ．0B ．3πC ．6π D ．2π 【答案】B6．如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记1BC e =u u u r u r ，2BA e =u u u r u u r ，则向量CD =u u u r( )A ．1212e e --u r u u rB ．1212e e -+u r u u rC ．1212e e -u r u u rD ．1212e e +u r u u r【答案】B7．已知向量a ＝(sinx ，cosx)，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b|的最大值为( )A ．1B ． 3C ．3D ．9 【答案】C8．已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+b 与- b 垂直，则的值为( )A ．B ．C ． D.2【答案】A9．已知向量(1,2),(4,)a x b y =-=r r，若a b ⊥r r ，则93x y +的最小值为( )A ．23B ．6C ．12D ．32【答案】B10．在△ABC 中，c b a ,,分别为角A ，B ， C 的对边，若(,1)(1,)m a b n c b =-=-u r r和垂直且4sin 5B =，当△ABC 面积为32时，则b 等于( )A ．132+ B ．4 C ．23+ D ．2【答案】D11．已知平面向量n m ,的夹角为,6π且2,3==n m ，在ABC ∆中，n m AB 22+=，n m AC 62-=，D 为BC 中点，则=AD ( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A12．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a +b |的值为( )A ．37B ．13C ．37D ．13【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图所示：ABC ∆中，点O 是BC 中点。
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之空间直线与直线的位置关系①
1沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之空间直线与直线的位置关系①教学目标（1）掌握公理4，在常见几何体内（如长方体、正方体等），能快速应用公理，找到问题突破口，寻找作为中间桥梁的直线；（2）能学会利用公理4画出几何体的截面；（3）在公理4和定理的推导过程中，着重对初中知识的复习和掌握，引导同学大胆推测，尝试科学的探索精神.在空间四边形的中点、中位线图形中进行推广和证明.知识梳理 1.公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行.2.等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等.典例精讲例1.（★★）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11B C ，AD 的中点，求证 ：1A F EC P 【证明】：取BC 中点G ，连结1B G11B C G BC E ⎫⎬⇒⎭为中点为中点11EB GC B G EC ⇒Y P1111=A B =A B FG AB FG ABAB AB P P 且且1111=A B FG A B FG P 且1111A B FG A F B G ⇒⇒Y P 1A F EC ∴P【说明】：学会在空间中借助平行四边形，寻找起到桥梁作用的直线.例2.（★★）在长方体1111ABCD A B C D -中，求证：111D AC A C B ∠=∠.1D21B【证明】：11111111=AC AA CC AA CC AAC C AC ⇒⇒P Y P 且,11111BC AB C AB C ABC AD =⇒⇒P Y P 111D 且D D ,111,D AC A C B ∠∠Q 是锐角，111D AC AC B ∴∠=∠.【说明】：掌握在空间中利用直线的平行来证明角相等.例3.（★★）在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别为AB 、AD 中点，F 、G 为CB 、CD 三等分点，且11,33CF CB CG CD ==.求证：EF ，HG ，AC 三线共点.【说明】：复习公理1、2 ，对于空间四边形——这一立体几何内的新事物，进行回顾和整理，为下一步更好学习做好准备.例4.（★★）已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边中点.（1） 判断四边形EFGH 形状；（答：平行四边形.1A B1B DC1C A1D ABDCEFGH3通过公理4）（2） 若空间四边形中对角线AC=BD ，判断四边形EFGH 形状；（答：菱形.平行四边形对角线相互垂直） （3） 四边形EFGH 什么情况下为矩形？（答：对角线相互垂直，即AC BD ⊥）（4） 结合（2）、（3），可得正方形EFGH（5） 第（2）、（3）、（4）题的逆命题是否成立？该如何求证？如（2） 若四边形EFGH 中，EG HF ⊥，则AC=BD（6） 若E 、H 分别为AB 、AD 中点，F 、G 为CB 、CD 三等分点，且11,33CFCB CG CD ==，判断四边形EFGH 形状.（梯形EFGH ）证明：E 、H 分别为AB 、AD 中点1122EHBC EH BC ⇒=P 且 13CF CG BC CD ==1133FG BC FG BC ⇒=P 且EH FG EH FG ⇒>⇒P ，梯形EFGH 【说明】：这是空间两条直线平行——公理4的典型应用，加以推测、证明的重要应用.课堂检测1．（★★）在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是11,AA CC 中点，判断四边形1BED F 的形状并加以证明. 答案：菱形2.（★★）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 中点，试画出过点E 、F 、1D 的截面.1A 1D 1C 1B4CD C 1D 1B 1A 1AGF HGH FEAB C3.（★★）在正方体中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，点G ，H 分别在1111,C D C B 上，且满足11,AE C G AF C H ==，联结11,,,A F A E CH CG 求证：1EA F GCH ∠=∠说明：本题可用角的两边分别平行的角相等或互补去证，也可证明三角形全等。
复旦附中■高三第一学期数学教学讲义(40)直线与圆 2017.11
高三第一学期数学教学讲义（40）直线与圆 2017.11班级________姓名________【本节知识要点】1.圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=（其中(),a b 是圆心，()0r r >是半径）2.圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为,22D E 骣÷ç--÷ç÷ç桫，半径为r =3.设()11,A x y ，()22,B x y ，则以AB 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=4.点与圆的位置关系：已知点()00,M x y 与圆()()222x a y b r -+-=， （1）点M 在圆内()()22200x a y b r ?+-<； （2）点M 在圆上()()22200x a y b r ?+-=； （3）点M 在圆外()()22200x a y b r ?+->5.圆与圆的位置关系： 设圆()()2221:O x a y b R -+-=，()()()2222:0O x m y n rR r -+-=?，12d O O =，则（1）两圆外离d R r ?+；（2）两圆外切d R r ?+；（3）两圆相交R r d R r ?<<+；（4）两圆内切dR r ?-；（5）两圆内含d R r ?-；两圆同心0d ?. 6.直线与圆的位置关系：设直线l 及圆O ，圆心O 到直线l 的距离为d ，圆O 的半径为()0r r >，则（1）d r >?直线l 与圆O 外离；（2）d r =?直线l 与圆O 相切；（3）d r >?直线l 与圆O 相交；7.圆的切线方程：（1）设圆()()222:O x a y b r -+-=，()00,P x y 是圆O 上一点，则过P 点的圆的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=；（2）设圆()()222:O x a y b r -+-=，()00,P x y 是圆O 外一点，则过P 点的圆的切线方程可设为：()()000m x x n y y -+-=，利用圆心到直线的距离等于半径求出m ，n 的关系，代入直线方程即可.【课前预习】1.方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是__________2.点P 从()1,0出发，沿单位圆221x y +=按逆时针方向运动23弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为__________3.若点(),3m 在圆222230x y x my +--+=外，则m 的取值范围是_________ 4.若点()1,1为圆22:60C x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线方程为________ 5.直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为________6.已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为_________【例题精讲】例1.求分别满足下列条件的圆的方程：（1）过三点()0,0O ，()1,0M ，()4,2N ；（2）与两平行直线1:210l x y --=和2:290l x y -+=均相切，且圆心在直线3210x y ++=上.例2.在直角坐标系中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA OB ^，求a 的值.例3.已知方程()()()2224232141690x y t x t y t t R +-++-++=?的图形为圆（1）求t 的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点()23,4P t 恒在所给圆内，求t 的取值范围.例4.已知点()2,,0C t t R t t 骣÷ç喂÷ç÷ç桫为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，O 为原点，（1）求证：OAB D 的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程.例5.（1）求圆心在4y x =-上且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -的圆的方程.（2）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程.例6.已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=（1）求证：对m R Î，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若AB =l 的倾斜角； （3）求弦AB 中点M 的轨迹方程；（4）若定点()1,1P 分弦AB 为:1:2AP PB =，求此时直线l 的方程.例7.已知x ，y 满足方程22410x y x +-+=（1）求y x -的最大最小值；（2）求22x y +的最大最小值；例8.（1）已知实数x ，y 满足()2224022x y x y y +-+=---，求2x y -取值范围；（2）当曲线1y =+()24y k x =-+有两个相异交点时，求实数k 的取值范围.。
沪教版(上海)数学高三上册-14.3 直线与圆的位置关系教案
【教学难点】
运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题及数形结合思想方法的灵活应用．
【教学策略设计(教学模式)】
精讲练结合 合作探究
【教学用具】
多媒体
【教学过程设计】
教学环节和教学内容 教师活动
学生活动 设计意图
一、情景导入
当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300 km 处生成，并以40 km/h 的速度向西偏北45°方向移动.已知距离台风中心250 km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？
二、热身训练
1.对任意的实数k ,直线
1y kx =+与圆222x y +=的位置关
系是 .
2. 在平面直角坐标系xoy 中，直线3450x y +-=与圆2
2
4x y +=相交于A ，B 两点，则|AB|等于 .
3.直线1y x =+上的点到圆
台风是一种自然灾害,它以台风中心
为圆心在周围数十千
米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力. 请同学们先看这个实际例子，能否把它转化为数学问题呢？
学生独立作业，回顾直线与圆的位置关系中常涉及的知识点.
通过情景导入了解本节课所要复习的知识点的一些实际应用.
学生练习后口述答案和解题过
通过引入台风的例子，让大家了解直线和圆的位置关系在实际生活中的具体应用.
温故基础知识点，了解三种位置关系的一般应用.
【教学板书】。
上海市复旦大学附中2022届高三数学一轮复习 导数及其应用 沪教版
复旦大学附中202X 届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题 共60分一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．曲线324y x x =-+在点处切线的倾斜角为A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π【答案】C2．若0)32(20=-⎰dx x x k，则=A ．1B ．0C ．0或1D ．以上都不对【答案】C3．()203sin x x dx π+⎰是A ．2318π+ B ．2314π+C ．2314π-D ．2318π-【答案】A4．由直线与曲线2x y =所围成的封闭图形的面积是A ．34B ．32C ．31D ．21【答案】A 5．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为A ．12B ．12-C ．2-D【答案】A6．由直线=12,=2,曲线1y x=及轴所围图形的面积为A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2n2【答案】D7．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x【答案】D8．0(sin cos )x x π-⎰=A ．2B ．4C ．πD ．2π【答案】A9．设点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点,点处切线倾斜角为，则角的取值范围是A ．2[0,)[,)23πππ⋃B ．5[0,)[,)26πππ⋃C ．2[,)3ππD ．5(,]26ππ【答案】A10．曲线233x x y +-=在点处的切线方程为A ．53+=x yB ．53+-=x yC ．13-=x yD ．x y 2=【答案】C11．曲线321132y x x =+在点5(1,)6A 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A ．4918B ．4936C ．4972D ．49144【答案】D 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是A ．81B ．81-C ．161D 161- 【答案】D第Ⅱ卷非选择题 共90分二、填空题本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上13．132dx(11+5x)--=⎰______ 【答案】77214．已知一组抛物线2y ax bx c =++，其中为1、3、5、7中任取的一个数，为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是．15．已知()x f x xe =，则＝ 【答案】16．函数e x y =的图象在点()e ka k a , 处的切线与轴的交点的横坐标为，其中*k ∈N ，，则135aa a ++=【答案】6三、解答题本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．定义函数()(,)(1),,0,y F x y x x y =+∈+∞．1令函数()32()1,log 3f x F x x ⎡⎤=-⎣⎦的图象为曲线求与直线03154=-+y x 垂直的曲线的切线方程；2令函数()322()1,log 1g x F x ax bx ⎡⎤=+++⎣⎦的图象为曲线，若存在实数b 使得曲线在()()001,4x x ∈处有斜率为的切线，求实数a 的取值范围； 3当,N*x y ∈，且y x <时，证明()(),,F x y F y x >．【答案】（1）[]x x x x F x f x x 3)11()3(log ,1)(3)3(log 3232-=+=-=-，由0)3(log 32>-x x ，得133>-x x ．又41533)(2=-='x x f ，由()0f x '=，得32x =±133>-x x ，32x ∴=-．又3928f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，切点为39,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．存在与直线03154=-+y x 垂直的切线，其方程为9153842y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即027415=+-y x2）[]1)1(log ,1)(23232+++=+++=bx ax x bx ax x F x g ． 由0)1(log 232>+++bx ax x ，得023>++bx ax x ． 由823)(2-=++='b ax x x g ，得8232---=ax x b ．082)823(2322323>---=---++=++x ax x ax x x ax x bx ax x 在)4,1(∈x 上有解．0822<++∴ax x 在()1,4x ∈上有解得xx a 82--<在()1,4x ∈上有解，()max 82,1,4a x x x ⎛⎫∴<--∈ ⎪⎝⎭．而844)4(282-=⋅-≤+-=--x x x x x x ，当且仅当2=x 时取等号，8-<∴a ．3）证明：),(),(x y F y x F >x y y x )1()1(+>+⇔ln(1)ln(1)y x x y ⇔+>+()ln(1)ln(1),*,x y x y x y x y++⇔>∈<N ．令x x x h )1ln()(+=，则2)1ln(1)(xx x xx h +-+='，当时，∵()1ln 11xx x<<++，∴0)(<'x h ，单调递减，当y x <≤2时，)()(y h x h >．又当21==y x 且时，()()11ln 2ln 322h h =>=， 当,*x y ∈N ．且y x <时，)()(y h x h >，即),(),(x y F y x F >． 18．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为元（911）时，一年的销售量为（12－）2万件。
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上海市复旦大学附中高三数学一轮复习 直线与圆 沪教版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的 方程为( )A ．2(2)x ++2(2)y -=1B ．2(2)x -+2(2)y +=1C ．2(2)x ++2(2)y +=1D ．2(2)x -+2(2)y -=1【答案】B2．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么 a 等于( )A ．1B ．-1C ．2D ．23【答案】D3．A(1,3)，B(5，-2)，点P 在x 轴上使|AP|－|BP|最大，则P 的坐标为( )A ． (4,0)B ． (13,0)C ． (5,0)D ． (1,0)【答案】B4．已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为( )A ．7B ．-5C ．3D ．-1【答案】A5．已知正数x ，y 满足y x xyy x +=+则,122的最大值为( )A ．1552 B ．42 C ．55D ．22【答案】B6．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=，与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C7．方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范围是( )A ． m ≤2B ． m<2C ． m<21D ． m ≤21【答案】C8．已知点()b a M , 关于x 轴、y 轴的对称点分别为N 、P ，则=PN ( )A ． 0B ． 22b a +C ． 222b a +D ． a 2【答案】C9．当圆x2+y2+2x+ky+k2=0的面积最大时,圆心坐标是( )A ．(0,-1)B ．(-1,0)C ．(1,-1)D ．(-1,1)【答案】B 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x ―5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是( )A ．（―13，13）B ．[―13，13]C ．[―13，13]D ．（―13，13） 【答案】D11．圆的标准方程为3)1()1(22=++-y x ，则此圆的圆心和半径分别为( )A ．)1,1(-,3B ．)1,1(-, 3C ．)1,1(-,3D ．)1,1(-,3【答案】B12．直线220210x y m x y x -+=+--=与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m < 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a R ∈，且2k παπ≠+，k Z ∈设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①l 的倾斜角为arctan(tan )α；②l 的方向向量与向量(cos ,sin )a αα=共线；③l 与直线sin cos 0x y n αα-+=()n m ≠一定平行；④若04a π<<，则l 与y x =直线的夹角为4πα-；⑤若4k παπ≠+，k Z ∈，与l 关于直线y x =对称的直线l '与l 互相垂直．其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）【答案】②④14．以点（2，-1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是. 【答案】2225(2)(1)2x y -++= 15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，则圆C的方程为．【答案】226210x y x y +--+=（22(3)(1)9x y -+-=） 16．直线l 1过点（3，0），直线l 2过点（0， 4）；若l 1∥l 2且d 表示l 1到l 2之间的距离，则d 的取值范围是。
【答案】05d <≤三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知动圆C 过点A(-2,0),且与圆()642:22=+-y x M 相内切.(1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线:l y kx m =+（其中,)k m Z ∈与(1)中所求轨迹交于不同两点B,D 与双曲线112422=-y x 交于不同两点E,F,问是否存在直线l ，使得向量DF BE +=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【答案】（1）圆()642:22=+-y x M ， 圆心M 的坐标为()0,2，半径8=R . ∵R AM <=4，∴点()0,2-A 在圆M 内.设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得CA r =，且r R CM -=， 即AM CA CM >=+8.∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以M A ,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为()012222>>=+b a by a x , 则2,4==c a .∴12222=-=c a b . ∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+y x . (2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()0484843222=-+++m kmx x k 设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122834km x x k+=-+.△1()()()04844348222>-+-=m k km . ① 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ，则24332kkm x x -=+,△2()()()012342222>+-+-=m k km . ②∵DF BE +=0，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+， ∴2232438k km k km -=+-.∴02=km 或2231434k k -=+-.解得0k =或0m =. 当0k =时,由①、②得 3232<<-m ，∵∈m Z,，∴m 的值为2,3--1-，0，13,2,;当0m =，由①、②得 33<<-k ，∵∈k Z,，∴1,0,1-=k . ∴满足条件的直线共有9条．18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：(1）求实数b 的取值范围；(2）求圆C 的方程；(3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0． (Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.(Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．19．已知椭圆的一个顶点为B （0，－1），焦点在x 轴上，若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3．（1）、求椭圆的方程；(2)、设直线l 与椭圆相交于不同的两点M 、N, 直线l 的斜率为k （k ≠0），当｜BM ｜＝｜BN ｜时，求直线l 纵截距的取值范围．【答案】（1）、椭圆方程为 x 2+3y 2＝3 (2）设P 为弦MN 的中点．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1y 3x ,m kx y 22得（3k 2＋1）x 2＋6kmx ＋3（m 2－1）＝0．由Δ＞0，得m 2＜3k 2＋1 ①，∴x P ＝1k 3mk 32x x 2N M +-=+，从而，y P ＝kx p ＋m ＝1k 3m 2+．∴k BP ＝km 31k 3m 2++-．由MN ⊥BP ，得km 31k 3m 2++-＝－k 1，即2m ＝3k 2＋1 ②．将②代入①，得2m ＞m 2，解得0＜m ＜2．由②得k 2＝(2m-1)/3＞0．解得m ＞1/2．故所求m 的取值范围为（1/2，2）．20．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3，-1),并且各自绕着A,B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：1）d 的变化范围；2）当d 取最大值时两条直线的方程。
【答案】 (1)方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x ＝6和x ＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l 1：y －2＝k(x －6)，l 2：y ＋1＝k(x ＋3)，即l 1：kx －y －6k ＋2＝0，l 2：kx －y ＋3k －1＝0，∴d ＝|3k －1＋6k －2|k 2＋1＝3|3k －1|k 2＋1． 即(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0.∵k ∈R ，且d ≠9，d ＞0，∴Δ＝(－54)2－4(81－d 2)(9－d 2)≥0，即0＜d ≤310且d ≠9. 综合①②可知，所求d 的变化范围为(0,310]．方法二：如图所示，显然有0＜d ≤|AB|.而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310．故所求的d 的变化范围为(0，310]．(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线垂直于AB.而k AB ＝2－－16－－3＝13， ∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)，y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.21．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55，求该圆的方程． 【答案】设圆心为(,)a b ，半径为r ，由条件①：221r a =+，由条件②：222r b =，从而有：2221b a -=．5|2|15a b =⇒-=，解方程组2221|2|1b a a b ⎧-=⎨-=⎩可得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2222r b ==．故所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=22．已知方程04222=+--+m y x y x . (Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围；(Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；(Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.【答案】（Ⅰ）04222=+--+m y x y x D=-2，E=-4，F=mF E D 422-+=20-m 40>， 5<m(Ⅱ）⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x y x 24-=代入得 081652=++-m y y51621=+y y ，5821my y +=∵OM ⊥ON得出：02121=+y y x x ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m (Ⅲ）设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a 半径554=r 圆的方程516)58()54(22=-+-y x 。