高中数学第7章解析几何初步72直线的方程湘教版3!

7.2直线的方程

一、素质教育目标

1、知识教学点

⑴直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，它们之间的内在联系

⑵直线与二元一次方程之间的关系

⑶由已知条件写出直线的方程

⑷根据直线方程求出直线的斜率、倾斜角、截距，能画方程表示的直线

2、能力训练点

（1）通过对直线方程的点斜式的研究，培养学生由特殊到一般的研究方法

（2）通过对二元一次方程与直线的对应关系的认识和理解，培养学生的数、形转化能力（3）通过运用直线方程的知识解答相关问题的训练，培养学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力。

二、学法指导

本节主要学习直线方程的五种形式，应理解并记忆公式的内容，特别要搞清各个公式的适用范围：点斜式和斜截式需要斜率存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线。一般式虽然可表示任意直线但它所含的变量多，故在运用时要灵活选择公式，不丢解不漏解。

三、教学重点、难点

1、重点：直线的点斜式和一般式的推导，由已知条件求直线的方程

2、难点：直线的点斜式和一般式的推导，如何选择方程的形式，如何简化运算过程。

四、课时安排

本课题安排3课时

五、教与学过程设计

第一课时直线的方程－点斜式、斜截式

●教学目标

1.理解直线方程点斜式的形式特点和适用范围.

2.了解求直线方程的一般思路.

3.了解直线方程斜截式的形式特点.

●教学重点

直线方程的点斜式

●教学难点

点斜式推导过程的理解.

●教学方法

学导式

●教具准备

幻灯片

●教学过程

1、创设情境

已知直线l过点（1,2），斜率为2，则直线l上的任一点应满足什么条件？

分析：设Q(x,y)为直线l上的任一点，则k PQ= 1,

即(y―1)/(x―1)= 2(x≠1),

整理得y―2=2（x―1）

又点（1,2）符合上述方程，

故直线l 上的任一点应满足条件y ―2=2（x ―1）

回顾解题用到的知识点：

过两点的斜率的公式：

经过两点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的直线的斜率公式是：

)(211

212x x x x y y k ≠--= 2、提出问题

问：直线l 过点（1,2），斜率为2，则直线l 的方程是y ―2=2（x ―1）吗？回想一下直线的方程与方程的直线的概念：

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

直线l 上的点都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以直线l 的方程是y ―2=2（x ―1）

3、解决问题

直线方程的点斜式： y ―y 1 =k( x ―x 1)

其中（11,y x ）为直线上一点坐标, k 为直线斜率.

推导过程：

若直线l 经过点),(111y x P ,且斜率为k ，求l 方程。

设点 P (x ,y )是直线l 上任意一点,

根据经过两点的直线的斜率公式, 得

)(11

1x x x x y y k ≠--=,可化为)(11x x k y y -=-. 当x = x 1时也满足上述方程。

所以，直线l 方程是)(11x x k y y -=-.

说明:①这个方程是由直线上一点和斜率确定的;

②当直线l 的倾斜角为0°时,直线方程为1y y =;

③当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1x x =.

4、反思应用.

例1.一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.

解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是:145tan =︒=k .

代入点斜式方程,得05,23=+-+=-y x x y 即

这就是所求的直线方程,图形如图中所示

说明:例1是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能

力.

巩固训练：P 39 练习 1、2

例2.直线l 过点A(－1 ,－3),其倾斜角等于直线y=2x 的倾斜角的2倍，求直线l 的方程。

分析：已知所求直线上一点的坐标，故只要求直线的斜率。所以可以根据条件，先求出y=2x 的倾斜角，再求出l 的倾斜角，进而求出斜率。

解：设所求直线l 的斜率为ｋ，直线y=2x 的倾斜角为α，则

tan α=2 , k= tan2α

342122tan 1tan 22tan 2

2-=-⋅=-==αααk 代入点斜式，得

)]1([3

4)3(---=--x y 即：４x + 3y + 13 = 0

例３：已知直线的斜率为k, 与y 轴的交点是p (0 ,b ), 求直线l 的方程．

解：将点p (0,b), k 代入直线方程的点斜式，得

y-b=k(x-0) 即b kx y +=

直线的斜截式：y = kx + b, 其中k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距。

说明:①b 为直线l 在y 轴上截距；

②斜截式方程可由过点（0，b ）的点斜式方程得到；

③当0≠k 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.

想一想：点斜式、斜截式的适用范围是什么？

当直线与x 轴垂直时，不适用。

练习：直线l 的方程是４x + 3y + 13 = 0，求它的斜率及它在y 轴上的截距。

分析：由４x + 3y + 13 = 0得y = ―4x/3―13/3

所以斜率是－4/3, 在y 轴上的截距是―13/3。

例4 直线l 在y 轴上的截距是－7，倾斜角为45°，求直线l 的方程。

分析：直线l 在x 轴上的截距是－7，即直线l 过点（0，－7）

又倾斜角为45°，即斜率k = 1

∴直线l 的方程是y = x - 7

●课堂小结

数学思想：数形结合、特殊到一般

数学方法：公式法

知识点：点斜式、斜截式

●课后作业 P 44习题7.2 1 (2)(3),2,3

思考题：一直线被两直线l 1：4x+y+6=0, l 2：3x ―5y ―6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程。

分析：设所求直线与直线l 1：4x+y+6=0, l 2：3x ―5y ―6=0交于点A 、B ，

设A （a, b ），则B （－a,－ b ），

∵A 、B 分别在直线l 1：4x+y+6=0, l 2：3x ―5y ―6=0

∴4a+b+6=0, 3a ―5b ―6=0

∴a+6b=0 ∴所求直线的方程是x+6y=0

教学后记：