2014年湖北省部分重点中学高三理科二模数学试卷
湖北省示范性高中2014届高三考前模拟强化测试理科数学2
2 2侧视图俯视图湖北省示范性高中2014届高三考前模拟强化测试理科数学2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i 2i-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．若R ∈y x ,，则“x y =”是“22(y x xy +≥”成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 和q 中必一真一假D ．对命题p ：R ∈∃x ，使得210x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，则210x x -+≥3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是A ．613 B ． 365 C ．65 D ．36136．在OAB ∆中，120=∠AOB ，2=OA ，1=OB ，D 、C 分别是线段AB 和OB 的中点，则=⋅AC OD A ．2- B ．23-C ．21- D ．437．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三 棱锥的正视图可能为2211 12 3 1 6 11 6 1 24 50 35 10 1 ……………………………8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是A ．169 B ．21 C ． 167 D ．83 9．设点P 是双曲线22197x y -=右支上一动点，,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点，则PM PN -的取值范围是A ．[]4,8B ．[]2,6C ．[]6,8D ．[]8,12 10．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xyyx f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点； ④)41()31()21(f f f <+． 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题（11—14题）11．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=,1,,11,12x e x x x f x 则⎰-21d )(x x f =__________．12．若nxx )12(-的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．13．如图是斯特林数三角阵表，表中第r 行每一个 数等于它左肩上的数加上右肩上的数的1r -倍， 则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________； （Ⅱ）第1n +行的第二个数是___________．（用n 表示）14．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为 OA 的中点，连结BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ． 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y t x 21,2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则⋅= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()x x x x f sin sin cos 2cos sin 22-+=ϕϕ（πϕ<<0）在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C ．18．（本小题满分12分）某车站每天上午安排A 、B 两种型号的客车运送旅客，A 型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B 型车发车时刻可能是9：00，9：20， 9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表： 频 数 频 率A 型车8：00发车 25 0．25 A 型车8：20发车 m 0．50 A 型车8：40发车 25 0．25B 型车9：00发车 25 0．25 B 型车9：20发车 50 0．50 B 型车9：40发车25 n （Ⅰ）直接写出表中的m ，n 的值；（Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，（ⅰ）求该旅客能乘上A 型客车的概率；（ⅱ）求该旅客候车时间ξ（单位：分钟）的分布列和数学期望．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，65=a ，且1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设na nnn b 2)1(4⋅--=λ(*n ∈N ），问:是否存在非零整数λ，使数列{}n b 为递增数列． 20．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥A C ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上．（Ⅰ）证明：AM ⊥PN ； （Ⅱ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成 的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由． AMP A 1 B 1 C 121．（本小题满分13分）已知平面内一动点P 到椭圆15922=+y x 的右焦点F 的距离与到直线2-=x 的距离相等．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作倾斜角为60的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，若点F 始终在以线段AB 为直径的圆内，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于A ，B 两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由﹒22．（本小题满分14分）设函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设1212,0,,0,x x p p >>且121,p p +=证明：()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+；（Ⅲ）设0,,,21>n x x x ，0,,,21>n p p p ，且121=+++n p p p ，如果e 2211≥+++n n x p x p x p ，证明：e )()()(2211≥+++n n xf p x f p x f p ．参考答案一、选择题：1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C二、填空题：11．22e e π+- 12．160- 13．274；111!2n n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14． 15． 553 16． 0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )在x ＝π处取最小值， ∴sin(π＋φ)＝－1，∴sin φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π2． ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ．由f (A )＝32，得cos A ＝32． ∵角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π6．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝2sin B ，∴sin B ＝22．∵b ＞a ，∴B ＝π4，或B ＝3π4．当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12．故C ＝7π12，或C ＝π12． ………………………………12分18．解：（Ⅰ）m =50，n =0．25． ………………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A ，B ，则A ，B 互斥．∴()()()113244P A B P A P B +=+=+=． …………………………………5分 （ⅱ）可能取值为10,30,50,70,90ξ=，则()1102P ξ==，()1304P ξ==，()3115014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()311701428P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()3119014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭．ξ的分布列是ξ 10 30 50 70 90P12 14 116 18 116 ∴111111030507090302416816E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………12分19．解：（Ⅰ）设公差为d （d ≠0），由题意，知2371a a a =⋅，65=a ．于是⎩⎨⎧=++=+.64,)2()6(12111d a d a d a a解得1,21==d a ．1+=∴n a n ．………………………………………………………4分（Ⅱ）∵1n a n =+， ∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅．20．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则)1,0,0(1A ，)1,0,1(1b ，)21,1,0(M ，)0,21,21(N ．由题意，可设)1,0,(λP ． （Ⅰ）∵)21,1,0(=AM ，)1,21,21(--=λ， 021210=-+=⋅∴AM ． ∴ AM ⊥PN ．……………………… 6分（Ⅱ）设),,(z y x =是平面PMN 的一个法向量，)21,21,21(-=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++-,021)21(,0212121z y x z y x λ得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.322,321x z x y λλ令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ，∴)22,21,3(λλ-+=n ．若存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º， 则|cos<,>|=23)22()21(9|22|22=-+++-λλλ．化简得0131042=++λλ．∵△＝100-4⨯4⨯13＝-108<0，方程无解．∴不存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º．……………12分 21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为)0,2(F ．由抛物线的定义，知P 点的轨迹是以)0,2(F 为焦点，直线2-=x 为准线的抛物线． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为x y 82=． ……………………………………4分（Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为)(3m x y -=．代入x y 82=，得03)86(322=++-m x m x ． 设),(),,(2211y x B y x A ，则22121,386m x x m x x =+=+． 因为点F 始终在以线段AB 为直径的圆内， AFB ∠∴为钝角．又),2(11y x -=，),2(22y x -=，0<⋅∴FB FA ，0)2)(2(2121<+--y y x x ．即0])([34)(2221212121<++-+++-m x x m x x x x x x ， 034))(32(422121<++++-∴m x x m x x ．因此043632<--m m ， 321418321418+<<-∴m ． 综上，实数m 的取值范围是)321418,321418(+-．（Ⅲ）设过点M 的直线方程为m y x +=λ，代入x y 82=，得0882=--m y y λ．设),(),,(2211y x B y x A ，则λ821=+y y ，m y y 821-=． 于是m m y y x x 282)(22121+=++=+λλ．AB ∴的中点坐标为)4,4(2λλm +又2212221221))(1()()(y y y y x x AB -+=-+-=λ]4))[(1(212212y y y y -++=λ)3264)(1(22m ++=λλ．设存在直线0x x =满足条件，则=-+|4|202x m λ)3264)(1(22m ++λλ．化简，得028)816(020220=+--++mx x m m x λ．所以，028)816(020220=+--++mx x m m x λ对任意的λ恒成立，所以⎩⎨⎧=+--=+.028,081602020m x x m m x 解得20-=x ，2=m ．所以，当2=m 时，存在直线2-=x 与以线段AB 为直径的圆始终相切． (13)分22．解：（Ⅰ）()x x f ln 1+='．由()0>'x f ，得e 1>x ；由()0<'x f ，得e 10<<x ． ∴()f x 在)e 1,0(单调递减；()f x 在),e 1(+∞单调递增．()f x ∴在e 1=x 取最小值e1)e 1(-=f ．………………………………………………4分（Ⅱ）令()()()()112112g x p f x p f x f p x p x =+-+，不妨设12x x x ≤≤，则()()()22112g x p f x p f p x p x '''=-+．0111211≤-=-+x p x p x x p x p ， x x p x p ≤+∴211．而()1ln f x x '=+是增函数，()()112f x f p x p x ''∴≥+．()()()221120g x p f x p f p x p x '''∴=-+≥，所以()g x 在[]12,x x 是增函数． ∴()()210g x g x ≥=，即()()()112211220p f x p f x f p x p x +-+≥．∴()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+．………………………………8分（Ⅲ）先证明()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++．当2n =时，由（Ⅱ）知不等式成立． 假设当n k =时，不等式成立，即()()()()11221122k k k k p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++．当1n k =+时，e 2211≥+++n n x p x p x p ，e e)()(2211=≥+++∴f x p x p x p f n n ．∴e )()()(2211≥+++n n x f p x f p x f p ． ……………………………14分。
湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考数学理图片版含答案
湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考高三数学试卷（理科）参考答案CDDDBCACBB②和③ 3或13 2(0,]3 216．解：（Ⅰ）∵()2π3πcos 2cos 22cos 22323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴.故函数()f x 的最小正周期为π；递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )（Ⅱ）解法一：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =． 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，∴2132a a =+-⨯，即2320a a -+=，故1a =（不合题意，舍）或2a =． 因为222134b c a +=+==，所以∆ABC 为直角三角形.解法二：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin C =，∵0πC <<，∴π3C =或2π3． 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍） 所以∆ABC 为直角三角形. 17.(Ⅰ) 延长AD ，FE 交于Q ．因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角．在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF＝2，DE ＝1得∠AQF ＝30°．(Ⅱ) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得DG ⊥AF ．因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，(第17题图)所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ．过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG．在直角△BAF 中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG ，得GH x， 所以GH．在直角△DGH 中，DG，GH，得DH＝． 因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得x所以AB方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则 F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )， 所以DF ＝(1，0)，BF ＝(2，0，－x )．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)．设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 所以，可取2n ＝，1． 因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得 x所以AB18．解：（1）当1n =时，由111211a S a -=⇒=.又1121n n a S ++-=与21n n a S -=相减得：12n n a a +=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=（2）设n a 和1n a +两项之间插入n 个数后，这2n +个数构成的等差数列的公差为(第17题图)n d ， 则11211n n n n a a d n n -+-==++， 又(12361)611952,2014195262+++++=-=， 故61616220146262262(621)2612.6363b a d =+-⋅=+⨯=⨯ 19 0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==.（Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦ 211.76p p =-++. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)， 所以21211.76p p <-++.所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.620．解：（1）依题意，得2a =，c e a == 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ． （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*） 由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-． 方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． 故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83(,)55M -， (3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**）又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为4 方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ， 同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， 故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为421、解：（I ）'121()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---， 当1[,1]2x ∈时，由'()0n f x =知1x =或者2n x n =+， 当1n =时，11[,1]232n n =∉+，又111()28f =，(1)0n f =，故118a =； 当2n =时，11[,1]222n n =∈+，又211()216f =，(1)0n f =，故2116a =； （II ）当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+， ∵1[,)22n x n ∈+时，'()0n f x >；(,1)2n x n ∈+时，'()0n f x <； ∴()n f x 在2n x n =+处取得最大值，即2224()()22(2)n n n n n n a n n n +==+++ 综上所述，21,(1)84,(2)(2)n n n n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩． 当2n ≥时，欲证 2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n+≥ ∵011222222(1)()()()n n n n n n n C C C C n n n n+=+⋅+⋅++⋅ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=，所以，当2n ≥时，都有21(2)n a n ≤+成立． （III ）当1,2n =时，结论显然成立；当3n ≥时，由（II ）知3411816n n S a a a =+++++2221111181656(2)n <++++++ 11111111()()()816455612n n <++-+-++-++ 1117816416<++=． 所以，对任意正整数n ，都有716n S <成立．。
2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １ ０． C １ １． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ 分 ０ ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分) ２ n １ ３． ㊀㊀１ ４． ３ ２． ８; ㊀㊀１ ５． ４; ㊀㊀１ ６． ． －２; n ＋１ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有 １ ７． Ⅰ) E C 中, ． ＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝ ７, ３ ３ B E ������s i n B ２ ２ １ ʑ s i n øB C E＝ ． ＝ ＝ C E １ ４ ７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２ ３ ５７ ２ ʑc o s øD E A ＝ １－s i n øD E A ＝ １－ ＝ ． ２ ８ １ ４ 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ６． C; １ ２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２ ＝ C E２ ＋D E２ －２ C E������D E������ c o s øC E D ＝ ７＋２ ８－２ˑ ７ ˑ２ ７ ˑ ( －
当 x ＝５ ７ ０时, ３ˑ５ ７ ０＋４ ３ ３． ２＝６ ０ ４． ２． y ＝０．
������������������������１ ０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) １ 页(
������������������������１ 特征量 y 的估计值为 ６ ʑ 当 x ＝５ ７ ０时, ０ ４． ２． ２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ． １ ９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝ ＝ ＝ ． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ������������������������４ 分 ʑGM ������E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形 ． ʑG E ʊ MF ． 又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ������������������������６ 分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F． 以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１ ２, ０, ０) , B (３, ０, ４ ３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝ ９００ E B ＝ (３, ４ ３) ． －４, 设平面 E B F 的法向量n１ ＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１ ＝０ n ������E F ＝０, ９ 由 １ 得 ． ң ３ x１ －４ z１ ＝０ ������ y１ ＋４ ３ n１ E B ＝０ ������������������������８ 分 取 y１ ＝ ３ , 得 n１ ＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４ ３) ． －４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２ ＝ ( x２ , z ． y２ ２ ң ３ x ４ ������ － ＝０ ２ ２ y n F C ＝０, 由 ２ 得 ． ң x２ －４ z２ ＝０ －６ y２ ＋４ ３ n２ ������F B ＝０ ������������������������１ 取 x２ ＝４, 得 n２ ＝ (４, ０分 ３, ３ ３) ． n１ ������ n２ ０ˑ４＋ ３ ˑ３＋１ˑ３ ３ ６３ ３ ３ ９ ʑ c o s＜ n１ , n２ ＞＝ ． ＝ ＝ ＝ n１ | n２ | ２ ６ | | ２ˑ １ ６＋９＋２ ７ ２ˑ２ １ ３ ������������������������１ １分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,
【小题解析】湖北省八校2014届高三第二次联考数学(理)试题(解析)
湖北省 八校2014届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足i z i 21)1(+=+(其中i 是虚数单位)，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 ( ) A ．{0} B ．{03}， C ．{13,4}， D ．{013,4}，，3.下列说法正确的是 ( )A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件B ．自然数的平方大于0C ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真D ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数4.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( )A．48cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm35.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 ( ) A ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭6.已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为 ( )A B C D ．57.把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式2F=kqr （其中k 为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到a r 2=处，与从a r 2=处移动到a r 3=处，电场力对它所做的功之比为( )3328.如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则AB AC( )A ．52B ．252 C ．52R D ．252R9.将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 ( )189187210.函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是 ( ) A ．[)3,4m ∈B ．)40,abcd e ⎡∈⎣C ．562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一 【答案】D 【解析】试题分析：作出函数()f x 的图象，如图，()f x 的图象与y 轴交点点(0,3)，0x ≤时，()f x 的极大值为4，因此，当34m ≤<时，直线y m =与()f x 的图象有4个交点，A 正确，3m =时，12,0,,a b c e=-==5d e =，0abcd =，512a b c d e e +++=+-，4m =时，1,a b ==-621,c d e e ==，4abcd e =，6212a b c d e e+++=+-，因此当34m ≤<时，40abcd e ≤<，5621122e a b c d e e e+-≤+++<+-，这样,B C 也正确，再作直线:l y x m =-+，可见当直线l 与抛物线223y x x =--+相切时，方程()f x x m +=有三个不同实根，对函数2ln y x =-，1'y x =-，令1'1y x=-=-，则1x =，2ln12y =-=，即函数2ln y x=-的图象的斜率为1-的切线方程为2(1)y x -=--，整理得3y x =-+，它正好与函数223(0)y x x x =--+≤的图象有两个交点，因此此时方程()f x x m +=(3m =)也有三个不同实根，故D 错误．选D ．考点：直线与曲线相切，方程的解，函数的综合问题．二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一） 必考题（11—14题）11.记集合{}22(,)|4A x y x y =+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为 .考点：几何概型．12.已知非负实数x, y, z 满足x+2y+3z=1, 则xz z y y x +++++3932421的最小值为 ．13.定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如图所示．设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f ______；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______14.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；由此推测：11位的回文数总共有个．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ．若AB = AC ，AE = ， BD = 4，则线段CF 的长为______．16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线 54532:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x C （t 为参数）和曲线θθρcos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为 ．第11 页共11 页。
湖北省部分重点高中2014届高三11月联考数学(理)考试试题
湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学（理）试题时间：2013年11月15日 下午：15:00-17:00一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M（ ）A 、∅B 、{})0,2(),0,3(C 、 ]3,3[-D 、{}2,3 2. 复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A ．15i B ．15C ． 15i - D ．15- 3. 下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4. 若曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，a b += （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是（ ） A.8a B. 9S C. 17a D. 17S6. 函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如右图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-7. 某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）AD8、八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好三个连续的小球涂红色，则涂法共有 （ ）A ．24种B ．30种C ．20种D ．36种9、如图，偶函数)(x f 的图像形如字母M ，奇函数)(x g 的图像形如字母N ，若方程：,0))((,0))((==x g f x f f 0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=（ ）A ． 27B ． 30C ．33D ． 3610、定义][x 表示不超过x 的最大整数，记][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13][)(--⋅=xx x x g 的零点个数分别为.,n m 则（ ） A ． 314,101==n m B ． 313,101==n m C ．313,100==n mD ．314,100==n m二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. (一)必考题（11—14题）11、若框图（右图）所给的程序运行结果为90S =，那么判断框中应填入 的关于k 的条件是___________.12A 是曲线2x y =与P 落入区域A 的概率为 13、已知各项全不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝11(3n n a a n +∈N *),其中1a =1.则n a = 14、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的取值范围是 .选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15、（选修4-1：几何证明选讲）AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 .16、（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ，则圆心C 到直线l 距离为第11题小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
湖北省部分重点中学2014届高三二月联考数学(理)试卷及答案
湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三数学试卷（理科）命题学校：江夏一中考试时间：2014年2月6日下午15:00—17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为 ( ）A ．4B ．4+4iC ．4-D ．2i2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ⋃B ，则集合)(B A C U ⋂ 的真子集共有 A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个3．要得到函数)42sin(π+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位 C ．向右平移8π单位 D ．向左平移8π单位4．半径为R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ ）A 、233RB 、23RC 、222RD 、22R5．已知数据123 n x x x x ，，，，是武汉市n *(3 )n n N ≥∈，个普通职工的2013年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收入1n x +（约900亿元），则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ） A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。
6．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列}{n a 是递增数列；B ．数列}{n a 是递减数列；C ．数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列；D ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列．7．已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④8．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58B ．－34C ．－32D ．－389．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的渐近线方程为（ ）A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±=D．y = 10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++=（ ） A. 2 B. 4 C.8 D. 随a 值变化二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的．．．．．对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．执行如图所示的程序框图，输出的S = ．12．若不等式组02(1)1y y x y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .13．已知椭圆12222=+by a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰________； 14. 设数列.,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11 kk k -这个数列第2010项的值是________； 这个数列中，第2010个值为1的项的序号是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答?10<nnn S S 2⋅+=结果计分.）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 为半径为2的圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦， 垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．则2AC ＋BF·BM ＝16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。
湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考理科数学试题
湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考高三数学试卷（理科）命题学校: 武汉六中 命题教师: 徐 涛 审题教师: 涂中华考试时间：2014年元月20日下午15：00—17：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为 A ．43 B ．34 C ．43- D ．34-2．设集合M={}|x y x R =∈，集合N ＝{}2|,y y x x R =∈，则M N = A ．∅ B ．N C ．[)0,+∞ D ．M3．抛物线22y x =-的焦点坐标是A ．1(,0)2-B ．(1,0)-C ．1(0,)4-D ．1(0,)8- 4．各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2110(,2)n n n a a a n n *-+--=∈≥N ，则2009S 等于A ．0B ．2C ．2009D ．40185．设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A ．()(0,)2f x π在单调递增B ．()(0,)2f x π在单调递减C ．3()(,)44f x ππ在单调递减D ．3()(,)44f x ππ在单调递增6、三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 A. 8 B. 4 C.7．设椭圆22221x y a b += (0a b >>)的离心率12e =，右焦点(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12(,)P x x 在A ．圆222x y +=内B ．圆222x y +=上C ．圆222x y +=外D ．以上三种情况都有可能正视图8．已知命题p ：函数2()21f x ax x =--在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数2a y x -=在(0,)+∞上是减函数.若p 且q ⌝为真命题,则实数a 的取值范围是A.1a >B.2a ≤C.12a <≤D.1a ≤或2a >9．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是A ．13 BCD10．在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集},),,(|{R y R x y x D ∈∈==上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下： 对于任意两个向量),,(),,(222111y x a y x a ==，21a a 当且仅当“21x x >”或“2121y y x x >=且”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题：①若)1,0(),0,1(21==e e ,)0,0(=则21 e e ； ②若3221,a a a a ,则31a a ； ③若21a a ,则对于任意D a ∈,a a a a ++21 ；④对于任意向量0 a ，)0,0(0=,若21a a ，则21a a a a ⋅>⋅.其中真命题的序号为 A ．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④二、填空题：本大题共5小题，，每小题5分，满分25分． 11. 设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列 四个命题，其中为真命题的序号为 ① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ ② a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭③ //m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭④ ////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭12．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a ⋅=+=，则155a a = 13．若函数()log (2)(0,1)a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是 14．如图，在△ABC中，cos 2C =,0,AH BC ⋅=0)(=+⋅， 则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________15.已知正实数z y x ,,满足yz z y x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++112，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+z x y x 11的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()cos(2)cos23f x x x π=--(x ∈R )．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若(),1,2B f b ==c =且,a b >试判断∆ABC 的形状，并说明理由．17．（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形， AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝AD ＝2 DE ＝2． (Ⅰ) 求异面直线EF 与BC 所成角的大小；(Ⅱ) 若二面角A －BF －D 的平面角的余弦值为13，求AB 的长．18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*21,.n n a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 的每相邻两项1n n a a +和之间插入n 个数，使这2n +个数构成等差数列，记其公差为n d例如：在1a 和2a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ；在2a 和3a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，记公差为2d ；……以此类推 （i ）求出n d 的表达式（用n 表示）（ii ）按照以上规则插入数后，依次排列构成新的数列{}n b ，求2014b 的值 19．（本小题满分12分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B 两个项目可供选择：11(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月(第17题图)进行价格调整的概率分别为p(0< p <1)和1-p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X(次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E(X 1)< E(X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围．20．（本小题满分13分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求OR OS +21．（本小题满分14分）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,3,n = ）．（I ）求函数()n f x 的导函数()n f x '，以及1a ，2a ；（II ）求数列{}n a 的通项公式，并求证对任何正整数(2)n n ≥，都有21(2)n a n ≤+成立；（III ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：对任意正整数n ，都有716n S <成立．。
湖北省宜昌市2014届高三年级第二次调研考试理科数学试题 5
宜昌市2014届高三年级第二次调研考试理科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U R =，1{|21},{|ln()0}8x M x N x x =<<=->，则U M C N ⋂=（ ）A ．{|1}x x ≥-B ．{|30}x x -<<C ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<2．已知复数1z i =+，则221z zz --的虚部是（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2- 3．下列说法正确的是（ ）A ．若已知两个变量具有线性相关关系，且它们正相关，则其线性回归直线的斜率为正B ．直线l 垂直于平面α的充要条件为l 垂直于平面α内的无数条直线C ．若随机变量2~(10,0.1)N ξ，且(9.910.1)0.6826P ξ<<=，则(10.1)0.3174P ξ>=D ．已知命题2:,220p x R x x ∀∈-+>，则2:,220p x R x x ⌝∃∈-+<4．已知中心在原点的双曲线，其右焦点为(3,0)F ，且F的方程为（ ）A．2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x -= 5．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）俯视图侧视图正视图A ．158B ．108C ．98D ．88 6．已知不等式201x ax ->-的解集为(1,2)-，则二项式621()ax x-展开式的常数项是（ ）A ．-15B ．15C ．-5D ．5 7．若函数sin()3y x πω=+的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．28．设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为（ ）A ．14 B ．23 C ．13 D ．129．已知,a b 是非零向量，它们之间有如下一种运算：sin ,a b a b a b ⊗=<> ，其中,a b <>表示,a b的夹角．给出下列命题：①a b b a ⊗=⊗ ；②()()a b a b λλ⊗=⊗ ；③()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗ ； ④a b a b a b ⊥⇔⊗= ；⑤若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221a b x y x y ⊗=- ，其中真命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 10．已知直线:90l x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线l 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围为（ ）A ．[2,6]B ．[0,6]C ．[1,6]D ．[3,6]二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题） 11．直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221sin cos θθ-的值为 ．12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S的值是 ．13．一物体在力10,(02)()34,(2)x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从0x =处运动到4x=处（单位：m ），则力()F x 所做的功为 J ． 14．数列{21}n -的前n项组成集合{1,3,7,,21}nn A =- ，从集合n A 中任取k（1,2,,n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，则规定乘积为此数本身），记12nn S T T T =+++ ．例如：当1n =时，111{1},1,1A T S ===；当2n =时，2122{1,3},13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=．则，（1）3S = ；（2）n S = ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你多选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题做答结果计分．）15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，52,3,2AC AB EC ===，则AD 的长为 ．BCA16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线cos()04πρθ+=上一点，点Q 为曲线214x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上一点，则||PQ 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC∆中，三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B ⋅的最大值．18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为11,,21()n n n S a t a S n N *+==+∈．（1）当t 为何值时，数列{}n a 是等比数列；（2）在（1）的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +、22a b +、33a b +成等比数列，求n T ．19．（本小题满分12分）某公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作，180分以下者到“乙部门”工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（1）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？ （2）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．20．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，1AC ⊥平面1A BD ，1D 为AC 的中点．（1）求证：11B C ⊥平面11ABB A ；（2）在1CC 上是否存在一点E ，使得145BA E∠=︒，若存在，试确定E 的位置，并求此时二面角1A BD E --的大小．21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，且与直线y x =相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为,A B ，过点(3,0)P 的直线l 与椭圆C 交于两点,M N （M 在N的右侧），直线,AM BN 相交于点Q ，求证：点Q 在一条定直线上．22．（本小题满分14分）已知函数ln(1)()1x f x ax +=+．（1）当1a=，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）已知,,x y z 均为正实数，且1x y z ++=，求证：(31)ln(1)(31)ln(1)(31)ln(1)0111x x y y z z x y z -+-+-+++≤---．宜昌市2014届高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案一、选择题10、设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤11、5312、10 13、46 14、（1）63（2）(1)221n n +- 15、1 1617、（Ⅰ）由正弦定理()(sin sin )()sin ()()()a c A C a b B a c a c a b b -+=-⇔-+=- 即222222ac ab b a b c ab -=-⇒+-= 3分由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-== ∵(0,)C π∈ ∴3C π=5分（Ⅱ）由（1）得2233A B B A ππ+=⇒=-则21sin sin sin sin()sin sin )32A B A A A A A π⋅=-=+ 7分211cos 211cos sin 2sin(2)2244264A A A A A A π-=+=+=-+ 10分 ∵2(0,)3A π∈ ∴72(,)666A πππ-∈- ∴当262A ππ-=即3A π=时，sin sin A B ⋅有最大值3412分 18、（Ⅰ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即 3分∴当2≥n时，}{n a 是等比数列要使1≥n时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ． 6分 （Ⅱ）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b 7分故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ，由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d解得10,221-==d d 9分∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d 10分∴2520)10(2)1(15n n n n n T n-=-⨯-+=． 12分 19、（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为82205=根据茎叶图，甲部门人选10人，乙部门人选10人∴选中的甲部门人选有21045⨯=人，乙部门人选有21045⨯=人 3分用A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名甲部门人选被选中”，则343813()1()114C P A P A C =-=-=故至少有一人是“甲部门”人选的概率是13145分 （Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,3 6分03643101(0)30C C P X C === 12643103(1)10C C P X C ===21643101(2)2C C P X C === 30643101(3)6C C P X C === 10分∴X 的分布列为∴1311901233010265EX=⨯+⨯+⨯+⨯= 12分 20、（Ⅰ）∵1AB BB = ∴四边形11ABB A 为正方形 ∴11A B AB ⊥ 2分又∵1AC ⊥平面1ABD ∴11AC A B ⊥ ∴1A B ⊥面11AB C ∴111A B B C ⊥ 4分又在直棱柱111ABC A B C -中，111BB B C ⊥∴11B C ⊥平面11ABB A 5分（Ⅱ）设1AB BB a ==，CE x =∵D 为AC 的中点，且11AC A D ⊥∴111A B AC ==又∵11B C ⊥平面11ABB A ∴1111B C A B ⊥∴11,B C a BE ==1A E ==在1A BE ∆中，由余弦定理得22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅即222222322a x a a x ax +=++--⋅122a x x a =-⇒=即E 是1CC 的中点 9分 ∵D 、E 分别为AC 、1CC 的中点 ∴1//DE AC∵1AC ⊥平面1ABD ∴DE⊥平面1ABD 又∵DE ⊂平面BDE ∴平面1A BD ⊥平面BDE 11分 故二面角1A BD E --的大小为90 12分21、（Ⅰ）∵椭圆的焦距为2 ∴221ba =- 且21a >于是椭圆方程为222222(1)(1)0a x a y a a -+--=将y x =22224(21)40a x x a a --+-= 2分∵直线与椭圆相切∴22224()4(21)(4)0a a a ∆=----=即42320aa -+= ∵21a > ∴22a = 则21b =故所求椭圆方程为2212x y += 4分 （Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为(3)y k x =-联立方程22(3)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)122(91)0k x k x k +-+-=∵直线l 与椭圆C 交于1122(,),(,)M x y N x y 两点∴422211448(21)(91)07k k k k ∆=-+->⇒<由韦达定理得21221221k x x k +=+ 21222(91)21k x x k -=+ 6分则42222211212222221448(91)856()()4(21)21(21)k k k x x x x x x k k k ---=+-=-=+++ 又M 在N 的右侧∴21x x -= 8分∵(A B∴:AM l y x =+:()AN l y x = 设直线AM 、BN 相交于点(,)Q x y 由上面两直线方程消去y 得21y y =⇒==22224(91)36k k --⇒==23x⇒==⇒=12分故点Q在定直线23x=上。
湖北省部分重点高中2014届高三11月联考数学理试题Word版含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M （ ） A 、∅B 、{})0,2(),0,3(C 、 ]3,3[-D 、{}2,32.复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ． 15iB ．15C ． 15i -D ．15-3.下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4.若曲线()co s f x a x =与曲线2()1g x x b x =++在交点(0,)m 处有公切线，a b +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．25.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是（ ）A.8aB. 9SC. 17aD. 17S故选D.考点：等差数列求和公式6.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin2θ的值是（ ） A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-7.某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）AB ．CD【答案】A 【解析】8.八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好三个连续的小球涂红色，则涂法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．20种D ．36种9.如图，偶函数)(x f 的图像形如字母M ，奇函数)(x g 的图像形如字母N ，若方程：,0))((,0))((==x g f x f f 0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=（ ）A ． 27B ． 30C ．33D ． 36【答案】B 【解析】试题分析：由图象可知9,9,9,3====d c b a 得，故30=+++d c b a ，选B. 考点：1.复合函数；2.函数的零点10.定义][x 表示不超过x 的最大整数，记{}][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13][)(--⋅=xx x x g 的零点个数分别为.,n m 则（ ） A ． 314,101==n m B ． 313,101==n m C ．313,100==n mD ．314,100==n m直线131+=x y 在)4,3[∈x 有一个交点，在)5,4[∈x 有一个交点， ，在)316,315[∈x 有一个交点，共有313个，故313=n .选B.考点：1.函数的图像；2.函数的零点；3.数形结合法处理函数问题第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.） (一)必考题（11—14题）11.若框图（右图）所给的程序运行结果为90S =，那么判断框中应填入 的关于k 的条件是__________．【答案】k<9? 或者k<=8?12.A 是曲线2x y =与围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 【答案】121 【解析】试题分析：如图所示，31)(012=-=⎰x x S ，由几何概型可得1212231=⨯=P .考点：1.利用定积分求曲面面积；2.几何概型第11题13.已知各项全不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝11(3n n a a n +∈N *),其中1a =1.则n a ==-12n a233)1(1-=⨯-+n n ，设12-=n t ，则21+=t n ，2123-=t a t （t 为奇数）.故有：.考点：数列的通项公式14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的取值范围是 ．考点：1.平面向量的数量积；2.空间直角坐标系选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15．（选修4-1：几何证明选讲）AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 .16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ，则圆心C 到直线l 距离为 .考点：1.直线的参数方程；2.圆的极坐标方程；3.点到直线的距离公式三、解答题 （本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知(sin m A =与(3,sin n A =其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.又，…………………8分PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入18.（本小题满分12分） 2.5PM的含量对空气质量评定的肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响。
2014年湖北省荆州市高考数学二模试卷(理科)
2014年湖北省荆州市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知复数z=2+i，是z的共轭复数，则对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：∵z=2+i，∴=2-i，∴====．因此对应的点，位于第四象限．故选：D．利用复数的运算法则和几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2.已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x≤1}，则∁U（A∪B）=（）A.（-∞，1）B.（1，+∞）C.（-∞，1]D.[1，+∞）【答案】B【解析】解：∵lg X≤0=lg1，∴x≤1，∴A={x|x≤1}．∵2x≤1=20，∴x≤0，∴B={x|x≤0}．∴A∪B═{x|x≤1}，∵U=R，∴C U（A∪B）={x|x＞1}=（1，+∞）．故选B由lg X≤0解得x≤1，知可得A={x|x≤1}．再由2x≤1解得x≤0，可得B={x|x≤0}．然后求得A∪B═{x|x≤1}，最后可求得C U（A∪B）={x|x＞1}=（1，+∞）．可得答案为B．本题为指数不等式，对数不等式与集合的交，并，补的综合应用题．属于中档题．3.下列命题中，真命题的是（）A.∃0∈R，e≤0B.∀x∈R，2x＞x2C.a-b＞0是a3-b3＞0的充分不必要条件D.ab＞1是a＞1且b＞1的必要不充分条件【答案】D【解析】解：A．∀x∈R，e x＞0，∴A错误．B．当x=2时，22=22=4，∴B错误．C．∵函数y=x3，单调递增，∴a-b＞0是a3-b3＞0的充分必要条件，∴C错误．D．当a=-2，b=-2时，满足ab＞1，但a＞1且b＞1不成立，充分性不成立，若a＞1且b＞1，则必有ab＞1，即ab＞1是a＞1且b＞1的必要不充分条件，正确，故选：D．分别根据命题的真假关系进行判断即可得到结论．本题主要考查了命题的真假判断，要求熟练掌握含有量词的命题的真假判断，以及充分条件和必要条件的定义．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.π C. D.2π【答案】A【解析】解：由三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，∴几何体的体积V=π×12×2-π×13=．故选A．根据三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，再根据球与圆柱的体积公式计算即可．本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．5.点P（x，y）为不等式组表示的平面区域上一点，则x+2y取值范围为（）A.，B.，C.[-1，2]D.[-2，2]【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=，平移直线y=由图象可知当直线y=在第一象限内和圆相切时，直线y=的截距最大，此时z最大，圆心O到直线x+2y-z=0的距离d=，此时z=，（z=-舍掉），当直线y=经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（0，-1），此时z=x+2y=0-2=-2，即z的最小值为-2，∴-2≤z≤故选：B作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6.如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A.1-B.-1C.D.3-2【答案】B【解析】解：由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|，由x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==（sinx+cosx）|=，∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故选：B．根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，利用积分的几何意义求出对应的区域面积是解决本题的关键．7.若α∈（，π），3cos2α=sin（-α），则sin2α的值为（）A. B.- C. D.-【答案】D【解析】解：3cos2α=sin（-α），可得3cos2α=（cosα-sinα），3（cos2α-sin2α）=（cosα-sinα），∵α∈（，π），∴sinα-cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．8.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），其准线方程为x=-∵准线经过双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点∴a=∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，∴M的横坐标为代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±将M的坐标代入双曲线方程，可得，∴∴=∴c=∴e==故选A．确定抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论．本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M的坐标是关键．9.设函数f（x）=（x-1）k cosx（k∈N*），则（）A.当k=2013时，f（x）在x=1处取得极小值B.当k=2013时，f（x）在x=1处取得极大值C.当k=2014时，f（x）在x=1处取得极小值D.当k=2014时，f（x）在x=1处取得极大值【答案】C【解析】解：当k=2014时，f（x）=（x-1）2014cosx，则f′（x）=2014（x-1）2013cosx+（x-1）2014（-sinx）=（x-1）2013[2014cosx-（x-1）sinx]，故当x→1+时，f′（x）＞0，当x→1-时，f′（x）＜0，故f（x）在x=1处取得极小值．故选：C．求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．10.若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l为该三角形的“平分线”，已知△ABC三边之长分别为3，4，5，则△ABC的“平分线”的条数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】解：∵△ABC三边之长分别为3，4，5，∴△ABC为直角三角形，设AB=3，AC=4，BC=5．（1）若直线过△ABC的某个顶点．如图，假设直线过点A．如果直线平分△ABC的面积，则有BN=NC，此时，AC＞AB，∴周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在；（2）若直线交AB、BC于点M、N．如图，设BN=x，则三角形的周长为3+4+5=12，∵MN平分三角形的周长，∴BN+BM=6，即BM=6-x，作MD⊥BC，由R t△MBD∽R t△ABC，可得MD=，根据S△MBN=MD•BN=S△ABC，即2x2-12x+15=0，得x=得BN=3+，BM=3-，即这样的直线存在，且只有一条，（3）若直线经过两直角边，则此时不满足条件．综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条．故选：B．根据勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．应分情况讨论：（1）若直线过△ABC 的某个顶点；（2）若直线交△ABC的某两条边．本题主要考查直线的性质，正确理解△ABC的“平分线”的定义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大，不太容易理解．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.已知向量，满足=（1，），•（-）=-3，则向量在上的投影为______ ．【答案】【解析】解：∵向量，满足=（1，），•（-）=-3，∴=2，＜，＞-22=-3，化为＜，＞=．∴向量在上的投影为．故答案为：．利用数量积的定义和投影的定义即可得出．本题考查了数量积的定义和投影的定义，属于基础题．12.已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式（a-）6的展开式中常数项是______【答案】-160【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下：a=2，i=1，1＜2014，是，a==-1；i =1+1=2，2＜2014，是，a = =； i =2+1=3，3＜2014，是，a ==2；，…，i =2013，2013＜2014，是，a ==2；i =2014，2014＜2014，否，输出a =2； ∴二项式（2 - ）6的展开式中的项是T r +1= • • =（-1）r••26-r•x 3-r；令3-r =0，得r =3；∴常数项是T 4=（-1）3••23=-160． 故答案为：-160．先模拟程序框图的运行过程，求出输出a 的值，再求出二项式的展开式中常数项的值． 本题考查了程序框图以及二项式定理的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，求出输出a 的值，这是解题的关键，是中档题．13.设a ，b ，c 为正数，a +b +4c 2=1，则 + + c 的最大值是 ______ ，此时a +b +c = ______ ． 【答案】；【解析】解：∵a ，b ，c 为正数，∴根据柯西不等式可得：， ∴，当且仅当且a +b +4c 2=1，即，c =时取等号．∴ + + c 的最大值是，此时a +b +c =．故答案为：；．根据柯西不等式即可得出．本题考查了柯西不等式的应用，考查了变形能力和计算能力，属于中档题．14.若O 为ABC 内部任意一点，边AO 并延长交对边于A ′，则′=四边形，同理边BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出′+ ′+′= ______ ；类似的，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对面于A ′，B ′，C ′，D ′，则′+′+′+′= ______ ． 【答案】 2；3【解析】 解：（1）根据′= 四边形推得′四边形，′四边形所以 ′+′+ ′ =四边形 四边形 四边形==2（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，可得′+′+′+′ =四面体四面体四面体四面体= 四面体四面体=3故答案为：2，3． （1）根据′=四边形，推得′四边形，′四边形，然后求和即可；（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，求出′+′+′+′的值即可． 本题主要考查了类比推理的思想和方法，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出可能的定理．15.已知⊙O 的半径R=2，P 为直径AB 延长线上一点，PB=3，割线PDC 交⊙O 于D ，C 两点，E 为⊙O 上一点，且= ，DE 交AB 于F ，则OF= ______ ． 【答案】【解析】解：作直径EG ，交圆于G 点，连EC 交AP 于H 点， ∵= ，由垂径定理得H 是EC 中点， 又O 是EG 中点，∴OH 是三角形ECG 的中位线，∴AP ∥CG ，∴∠P=∠PCG=∠DEG ， 又∠EFO=∠PFD ， ∴△EOF ∽△PDF∴OF •PF=EF •DF=AF •BF ， 设OF=x ，则x （5-x ）=（2+x ）（2-x ）， 解得x =． 故答案为： ．作直径EG，交圆于G点，连EC交AP于H点，由已知条件得OH是三角形ECG的中位线，得∠P=∠PCG=∠DEG，从而得到△EOF∽△PDF，进而OF•PF=EF•DF=AF•BF，由此能求出OF．本题考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意垂径定理和三角形相似的性质等知识点的合理运用．16.设P的极坐标为（2，），直线l过点P，且与θ=平行，则直线l的极坐标方程为______ ．【答案】ρcosθ-ρsinθ+1-=0【解析】解：由P的极坐标为（2，），可得x P==，=1，∴P，．直线θ=即为直线y=x．直线l与直线y=x平行，因此l的斜率为1．∴直线l的方程为：y-1=x-，化为极坐标方程=0，故答案为：=0，利用即可实现极坐标与直角坐标方程的互化．本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.点P在以原点为圆心的单位圆上运动，点P从A（，）出发按逆时针方向匀速转动时，每秒钟转ω（ω＞0）弧度，点Q（-1，-）为定点，记经过x（x≥0）秒后，||2=f（x）．（1）求f（x）解析式，并求f（x）的值域；（2）若ω∈N，且f（x）在[5，6]上单调递增，求ω的所有可能的取值．【答案】解：（1）点P经过x（x≥0）秒后，转过ωx弧度，由于A（，），∠AOB=，故P的坐标为（cos（ωx+），sin（ωx+）），∴||2=f（x）=[cos（ωx+）+1]2+[sin（ωx+）+]2=5+2cos（ωx+）+2sin（ωx+）=5+4sin（ωx+）（ω＞0），即f（x）=5+4sin（ωx+）（ω＞0，x＞0），且f（x）的值域为[1，9]；（2）令2kπ-≤ωx+≤2kπ+，k∈Z，则2kπ-π≤ωx≤2kπ，∵ω＞0，ω∈N，x＞0，∴k为正整数，∵f（x）在[5，6]上单调递增，∴2kπ-π≤5ω且6ω≤2kπ，当k=1时，≤ω≤，可得ω=1，当k=2时，≤ω≤，可得ω=2，当k＞2时，不存在正整数ω，使之成立，∴ω的所有可能的取值为：1，2．【解析】（1）应用三角函数的定义写出P的坐标，由两点间的距离公式写出PQ，并进行化简同时运用两角和的正弦公式得到f（x）=5+2sin（ωx+）（ω＞0，x＞0），应用三角函数的值域，求出f（x）的值域；（2）根据正弦函数的增区间，求出函数f（x）的增区间，由于f（x）在[5，6]上单调递增，故[5，6]包含在增区间内，列出不等式，通过k的取值，解出ω的范围，根据ω为正整数，求出ω．本题主要考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，主要是值域和单调性，注意k的取值，三角公式的逆用．18.已知等差数列{a n}的公差d不为零，S n为其前n项和，S6=5S3（Ⅰ）求证：a2，a3，a5成等比数列；（Ⅱ）若a2=2，且a2，a3，a5为等比数列{b n}的前三项，求数列||的最大项的值．【答案】（Ⅰ）证明：∵等差数列{a n}的公差d不为零，S n为其前n项和，S6=5S3，∴6a1+15d=15a1+15d，解得a1=0，∴a2=d，a3=2d，a5=4d，∵d≠0，∴a2，a3，a5成等比数列，且公比为2．（Ⅱ）解：∵a2=2，∴d=2，a2，a3，a5为等比数列{b n}的前三项，∴b1=2，b2=4，b3=8，∴S n=n（n-1），S n+1=n（n+1），，==，当n=1时，＞，当n=2时，，当n≥3时，＜，∴＜＞＞，∴数列||的最大项的值为=．【解析】（Ⅰ）利用等差数列的前n项和公式由S6=5S3，得a1=0，由此能证明a2，a3，a5成等比数列．（Ⅱ）由已知条件得S n=n（n-1），S n+1=n（n+1），，=，由此能求出数列||的最大项的值为=．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的最大项和值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质．（1）求表中，，的值，并估计该班的平均分；（2）若该老师想在低于70分的所有同学中随机挑选3位同学了解学习情况，记X为所选3人中分数在[30，50）的同学的人数，求X的概率分布列和均值EX．【答案】解：（1）由统计表，得：，解得a=8，b=0，2，∴c=50-2-8-12-16-10=2．=40×0.04+60×0.16+80×0.24+100×0.32+120×0.2+140×0.04=92．（2）由题意知X可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：EX==．【解析】（1）由统计表，能求出表中a，b，c的值，并能估计出该班的平均分x．（2）由题意知X可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和均值EX．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．20.如图，△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=90°，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，将△ADE沿DE折到△A′DE的位置，使平面A′DE⊥平面BCED．（1）当D为AB的中点时，设平面A′BC与平面A′DE所成的二面角的平面角为α（0＜α＜），直线A'C与平面A'DE所成角为β，求tan（α+β）的值；（2）当D点在AB边上运动时，求四梭锥A′-BCED体积的最大值．【答案】解：（1）作CF⊥DE于F，连接A′F，则CF⊥平面A′DE，∴∠CA′F=β，在矩形BCFD中，CF=BD=1，DF=BC=1，=，在R t△A′DF中，A′F=，tanβ=′作A′P∥DE，∵DE∥BC，∴A′P∥BC，∵平面A′BC∩平面A′DE=A′P，A′P⊥A′D，A′P⊥A′B，∴∠BA′D=α=，∴tan（α+β）=3+2（2）设A′D=x，x∈（0，2），则DE=，BD=2-x，∴四梭锥A′-BCED体积V==，令V′=0，可得x=，且在（0，）递增，在（，2）递减，∴x=时，四梭锥A′-BCED体积的最大值为．【解析】（1）先找出α、β，求出tanβ=，利用两角和的正切公式，求tan（α+β）的值；（2）表示出求四梭锥A′-BCED体积，利用导数求最大值．本题考查空间角，考查体积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．21.已知动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N 两点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，使•=λ2总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，∴点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，∴|PA|+|PB|=8，∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，∴曲线C的方程为：．（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my-3，设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则，，，，联立方程组，消去x，得：（7m2+16）y2-42my-49=0，∴y1+y2=，，x1x2=（my1-3）（my2-3）=m2y1y2-3m（y1+y2）+9，x1+x2=m（y1+y2）-6，∴=（x1+3）•（x2+3）+y1y=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2=（m2+1）y1y2联立方程组，消去x，得，y3为其一根，∴=（m2+1）=，∵•=λ，∴-49=112λ，解得，∴存在符合条件的常数λ，．（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m2+16）y2-42my-49=0，y1+y2=，，∵MN∥OQ，∴S=S△MNQ=S△MNO=|OA|•|y1-y2|=|y1-y2|=•=•==≤2．当且仅当时取等号，∴所求最大值为2．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B 的半径，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线OQ：x=my，直线MN：x=my-3，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），联立方程组，得：（7m2+16）y2-42my-49=0，由此能求出存在符合条件的常数λ．（Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S△MNQ=S△MNO=|OA|•|y1-y2|=|y1-y2|，由此利用均值不等式能求出最大值．本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线是副产品存在，考查最大值的求法，是中档题．22.函数f（x）=x x（x＞0）是一个非常简洁而重要的函数，为了讨论其性质，可以利用对数恒等式将其变形：x x=e．仿照该变形，研究函数φ（x）=x（x＞0）（Ⅰ）求φ（x）=x（x＞0）在x=1处的切线方程，并讨论φ（x）=x（x＞0）的单调性．（Ⅱ）当a＞-1时，讨论关于x的方程φ′（x）=φ（x）（-+）解的个数，（φ′（x）是φ（x）的导函数）【答案】解：（Ⅰ）φ（x）=x=，∴φ′（x）=•，φ′（1）=1，φ（1）=1，∴φ（x）=x（x＞0）在x=1处的切线方程为y=x．令φ′（x）=0得x=e，当x∈（0，e）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，∴φ（x）在（0，e）时，单调递增，在（e，+∞）时，单调递减．（Ⅱ）方程φ′（x）=φ（x）（-+）等价于•=x（-+），即-ax+lnx=0，设g（x）=-ax+lnx（x＞0），∴g′（x）=（a-1）x-a+=，①当a=1时，g′（x）=，x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，[g（x）]max=g（1）=-1＜0，此时方程无实数根；②当a＞1时，g′（x）=（a-1）x-a+==，（i）当=1，a=2时，g′（x）=≥0，g（x）在（0，+∞）递增，且当x→0时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→+∞，故此时方程有唯一解；（ii）当＞1，a∈（1，2）时，g（x）在（0，1）及（，+∞）递增，在（1，）递减，[g（x）]max=g（1）=-＜0，且当x→+∞时，g（x）→+∞，故此时方程有唯一解；（iii）当＜1，a∈（2，+∞）时，g（x）在（0，）及（1，+∞）递增，在（，1）递减，[g（x）]max=g（）=+ln＜0，且当x→+∞时，g（x）→+∞，故此时方程有唯一解；③当-1＜a＜1时＜0＜1，g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，[g（x）]max=g（1）=-＜0，方程无实数解．综上所述，当a∈（-1，1）时，方程无实数解；当a∈（1，+∞）时方程有唯一解．【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求得切线斜率，点斜式写出切线方程，利用导数判断函数的单调性；（Ⅱ）方程φ′（x）=φ（x）（-+）等价于•=x（-+），即-ax+lnx=0，设g（x）=-ax+lnx（x＞0），根据方程的根与函数零点的关系，利用导数判断函数的单调性，进而得出方程解的情况．本题主要考查利用导数的几何意义求函数切线方程及利用导数判断函数的单调性求最值等知识，考查等价转化思想、分类讨论思想的运用能力，逻辑性综合性很强，属难题．。
湖北省八校2014届高三第二次联考 数学理试题 含答案
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝感高中 襄阳五中 襄阳四中2014届高三第二次联考数 学（理工类）(含答案)考试时间：2014年3月20日下午15：00—17：00本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足i z i 21)1(+=+(其中i 是虚数单位)，则z 对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合AB 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 A ．{0} B ．{03}，C ．{13,4}，D ．{013,4}，， 3．下列说法正确的是A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件B ．自然数的平方大于0C ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真D ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数湖北省 八校第4题图4．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．48cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm 3 5．把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 A ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭6．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为ABCD ．57．把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式2F=k qr （其中k 为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到a r 2=处，与从a r 2=处移动到ar 3=处，电场力对它所做的功之比为 A ．23B ．13C ．32D ．38．如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则AB AC =A ．52B ．252C ．52R D ．252R 9．将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 A ．185B ． 91C ．183D ．72110．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是 A ．[)3,4m ∈B ．)40,abcd e ⎡∈⎣C ．562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭BAC第8题图第15题图D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题）11．记集合{}22(,)|4A x y x y =+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为 .12．已知正数x, y, z 满足x+2y+3z=1, 则xz z y y x +++++3932421的最小值为 ．13．定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如右图所示．设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f ______；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______．14．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：11位的回文数总共有 个．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD//AC ． 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ．若AB = AC ，AE = ， BD = 4，则线段CF 的长为______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同？？第19题图的单位长度．已知曲线 54532:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x C （t 为参数）和曲线θθρcos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量22cos m x =（，1,sin 2n x =（），函数()f x m n =⋅． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且()3,1f C c ==，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且113n n S a +=)(*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*∈N n ，12231111n n n T bb b b b b +=+++，求使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥C P A B -中，,,AB BC PB BC ⊥⊥5,PA PB ==64,AB BC ==，点M 是PC 的中点，点N 在线段AB 上,且MN AB ⊥． （Ⅰ）求AN 的长；（Ⅱ）求二面角M NC A --的余弦值．20．（本小题满分12分）甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．甲地区：乙地区：（Ⅰ）计算x ，y 的值； （Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．21．（本小题满分13分）如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点)0,1(F ,C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M （4,0）的直线l 与抛物线C 2分别相交于A 、B 两点.（Ⅰ）写出抛物线C 2的标准方程； （Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆过原点； （Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数)1,0(,2)1l n ()(2≠≥+-+=k k x kx x x f 且．（Ⅰ）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调减区间；（Ⅲ）当0=k 时，设)(x f 在区间)](,0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1l n (，求证：)(,112*2421231423121N n a a a a a a a a a a a a a n nn ∈-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++-．湖北八校2014届高三第二次联考参考答案数学（理工类）一、选择题A D DBC BD B A D二、填空题：11,π21; 12, 18 ; 13, 3- 12- ;14, 900000 ； 15, ; 16, ），（431641 . 三、解答题：17.（1）22()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=cos 2122sin(2)16x x x π=+=++.……………………3分故最小正周期22T ππ==……………………5分 (2）31)62sin(2)(=++=πC C f ，1)62sin(=+∴πC ，C 是三角形内角，∴262ππ=+C 即：.6π=C ……………………7分232cos 222=-+=∴ab c a b C即：722=+b a ． ……………………9分将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：32=a 或4, 23或=∴a ，32或=∴b ……………………11分3,2,==∴>b a b a ……………………12分 18.（1）当1n =时，11a s =，由11113134S a a +=⇒=， ……………………1分当2n ≥时，11111113()01313n n n n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩114n n a a -⇒=∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． ……………………4分 故1311()3()444n n n a -== )(*∈N n …………………6分（2）由（1）知111111()34n n n S a +++-==，14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+ ………………8分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ nT =1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++1110072014222016n n -≥⇒≥+， 故使10072016n T ≥成立的最小的正整数n的值2014n =. ………………12分19.解：（1）方法一、如图，分别取AB 、AC 的中点O 、Q,连接OP 、OQ ，设AN a =以O 为坐标原点，OP 为x 轴，OA 为y 轴，OQ 为z 轴建立空间直角坐标系，则3(400),(0,34),(2,2),(0)2P C M N a -，，，，-，3-,0 设0(00)N x ，，，则9(00),(),2AB MN a ==，-6，-2，-，-2 由MN AB ⊥得()990,6200=22AB MN a a a ⎛⎫=+--⨯⇒ ⎪⎝⎭即-2- 所以29=AN …………………6分方法二：如图，取AB 的中点为O ，PB 的中点为Q ，连接MQ 、NQ ， M 、Q 分别为PB 、PC 的中点∴MQ BC 又 AB BC ⊥ ∴AB MQ ⊥又 MN AB ⊥∴AB MNQ ⊥平面 AB NQ ⊥，又 PA PB =且O 为AB 的中点 ∴OP AB ⊥ ∴NQ OP 又 Q 为AB 中点 ∴N 为OB 中点 ∴113242BN OB AB ===∴92AN = ………………6分（2） 3(2),(0.),2MN NC =-=-，0，-2，4设平面MNC 的一个法向量为()1000,,n x y z =，则0000220034002x z m MN y z m NC --=⎧⎧∙=⎪⎪⇒⎨⎨-+=∙=⎪⎪⎩⎩ 令03z =，则003,y 8x =-=，即()13,8,3n =- ………………9 分平面ANC 的一个法向量为()20,0,1n =，则121212382cos ,n n n n n n ∙<>==故二面角M N--的余弦值为82. ………………12分20.解(I )6,7x y == ………………4分2(3,)5B ， ξ的数学期望为26()3.55E ξ=⨯= ………………6分(III)()320330570203C P C η===，()121020330951203C C P C η=== ()211020330452203C C P C η===，()31033063203C P C η=== η………………10分 η的数学期望为5795456()0+1+2+3=1.203203203203E η=⨯⨯⨯⨯ ………………12分 21.解： (1) 设抛物线的标准方程为),0(22>=p px y 由)0,1(F 得2=p ,x y C 4:22=∴; (3)分(2) 可设ny x AB +=4:,联立x y 42= 得 01642=--ny y ,设1616,16),,(),,(222121212211==-=y y x x y y y x B y x A 则 12120O A O B x x y y ∴⋅=+=,即以AB为直径的圆过原点; ………………8分(3)设)4,4(2t t P ,则，l t t OP 上在直线的中点)2,2(2 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=∴n tt ntt 2244242得1±=n 0<t4,1+==∴y x l n ：直线 (10)分设椭圆:1C 112222=-+a y a x ，与直线4:+=y x l 联立可得：()()22242218117160a y a y a a -+--+-=0a ∆≥≥，∴长轴长最小值为………………13分22.(1)当2=k 时，2)1ln()(x x x x f +-+= x xx f 2111)(+-+='2ln )1(,23)1(=='∴f f ………………2分 ∴曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为：)1(232ln -=-x y即032ln 223=-+-y x ………………3分（2）),1(,1)1()(+∞-∈+-+='x xk kx x x f①当0=k 时，00)(,1)(><'+-='x x f xxx f 则令 ），的单调减区间为：（∞+∴0)(x f ②当1001<<>-k k k 即时，kkx x f -<<<'100)(则令 ），的单调减区间为：（kkx f -∴10)( ③当101><-k k k 即时，010)(<<-<'x kkx f 则令）的单调减区间为：（0,1)(kkx f -∴ ……………………7分（3）当0=k 时，],0[)(n x f 在上单调递减n n n f b n -+==∴)1ln()()(,)1ln(*N n n b n a n n ∈=-+=∴ ………………9分1212121221222121121)2()12)(12(6754532312642)12(5312222264212531--+=-++<+=+<+⨯+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴-n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a n n ………………12分)(,112112)1212()35()13(*2421231423121N n a n n n a a a a a a a a a a a a n nn ∈-+=-+=--++⋅⋅⋅+-+-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++∴-………………14分。
2014届湖北省黄冈中学等八校高三第二次联考理科数学试题(含答案解析)
本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足i z i 21)1(+=+(其中i 是虚数单位)，则z 对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B U中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 A ．{0} B ．{03}， C ．{13,4}， D ．{013,4}，， 3．下列说法正确的是A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件B ．自然数的平方大于0C ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真D ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数4．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．48cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm 3 5．把函数()sin y x x R =Î的图象上所有的点向左平移6p个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 A ．sin 2,3y x x R p æö=-Îç÷èøB ．sin 2,3y x x R p æö=+Îç÷èøC ．1sin ,26y x x R p æö=+Îç÷èøD ．1sin ,26y x x R p æö=-Îç÷èø6．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为A B C D ．57．把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式2F=k qr （其中k 为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到a r 2=处，与从a r 2=处移动到a r 3=处，电场力对它所做的功之比为A ．23 B ．13 C ．32D ．38．如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则AB AC =uuu r uuu rgA ．52B ．252 C ．52R D ．252R 9．将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 A ．185 B ． 91C ．183 D ．72110．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ì--+£ï=í->ïî，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是 A ．[)3,4m ÎB ．)40,abcd e éÎëC ．562112,2a b c d e e e e éö+++Î+-+-÷êëøD ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题） 11．记集合{}22(,)|4A x y x y =+£和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-£³³表示的平面区域分别为1W 和2W ，若在区域1W 内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2W 的概率为 . 12．已知正数x, y, z 满足x+2y+3z=1, 则xz z y y x +++++3932421的最小值为 ．13．定义某种运算Ä，b a S Ä=的运算原理如右图所示．设)3()0()(x x x x f Ä-Ä=.则=)3(f ______；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______．14．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：11位的回文数总共有 个．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD//AC ． 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ．若AB = AC ，AE = ， BD = 4，则线段CF 的长为______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相？同的单位长度．已知曲线 54532:1ïïîïïíì=+=t y t x C （t 为参数）和曲线q q r cos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量22cos m x u r =（，1,sin 2n x r =（），函数()f x m n =×u r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在D ABC 中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且()3,1f C c ==，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且113n n S a +=)(*ÎN n ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*ÎN n ，12231111n n n T bb b b b b +=+++L L ，求使10072016n T ³成立的最小的正整数n 的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥C PAB -中，,,AB BC PB BC ^^5,PA PB ==64,AB BC ==，点M 是PC 的中点，点N 在线段AB 上,且MN AB ^． （Ⅰ）求AN 的长；（Ⅱ）求二面角M NC A --的余弦值．20．（本小题满分12分）甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．（Ⅰ）计算x ，y 的值；（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望． 21．（本小题满分13分）如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点)0,1(F ,C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M （4,0）的直线l 与抛物线C 2分别相交于A 、B 两点.（Ⅰ）写出抛物线C 2的标准方程； （Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆过原点；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数)1,0(,2)1ln()(2¹³+-+=k k x k x x x f 且． （Ⅰ）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调减区间；（Ⅲ）当0=k 时，设)(x f 在区间)](,0[*N n n Î上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1ln(，求证：)(,112*2421231423121N n a a a a a a a a a a a a a n nn Î-+<××××××+×××++-．湖北八校2014届高三第二次联考参考答案数学（理工类）一、选择题二、填空题：三、解答题：18.（1） 当1n =时，11a s =，由11113134S a a +=Þ=， ……………………1分当2n ³时，11111113()01313n n n n n n n n S a S S a a S a ----ì+=ïïÞ-+-=íï+=ïî114nn a a -Þ= ∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． ……………………4分 故1311()3(444n n n a -== )(*ÎN n …………………6分（2）由（1）知111111()34n n n S a +++-==，14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+ ………………8分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++n T =1223111111111111(()()23341222n n b b b b b b n n n +++×××+=-+-+×××+-=-+++1110072014222016n n -³Þ³+，故使10072016n T ³成立的最小的正整数n 的值2014n =. ………………12分（2）Q 3(2),(0.),2MN NC =-=-uuuu r uuu r ，0，-24设平面MNC的一个法向量为()1000,,n x y z =ur，则0000220034002x z m MN y z m NC --=ìì·=ïïÞíí-+=·=ïïîîu r uuuu r u r uuu r令03z =，则003,y 8x =-=，即()13,8,3n =-ur………………9 分平面ANC 的一个法向量为()20,0,1n =uu r，则121212cos ,82n n n n n n ·<>==ur uu rur uu r ur uu r 故二面角M NC A--的余弦值为82. ………………12分21.解： (1) 设抛物线的标准方程为),0(22>=p px y由)0,1(F 得2=p ,x y C 4:22=\; …………………3分(2) 可设ny x AB +=4:,联立x y 42= 得 01642=--ny y ,设1616,16),,(),,(222121212211==-=y y x x y y y x B y x A 则 12120OA OB x x y y \×=+=uuu r uuu r,即以AB 为直径的圆过原点; ………………8分(3)设)4,4(2t t P ,则，l t t OP 上在直线的中点)2,2(2ïîïíì-=+=\n ttntt 2244242得1±=n 0<t Q4,1+==\y x l n ：直线 (10)分设椭圆:1C 112222=-+a y a x ，与直线4:+=y x l 联立可得：()()22242218117160a y a y a a -+--+-=02a D ³³，∴长轴长最小值为………………13分22.(1)当2=k 时，2)1ln()(x x x x f +-+= x xx f 2111)(+-+=¢2ln )1(,23)1(==¢\f f ………………2分\曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为：)1(232ln -=-x y 即032ln 223=-+-y x ………………3分。
湖北省武汉市2014届高三2月调研测试 数学理试题 Word版含答案
武汉市2014届高三2月调研测试数 学（理科）2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数m (3＋i)－(2＋i)（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为 A ．2，6 B ．2，7 C ．3，6 D ．3，73．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若(9x －13x )n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A ．252B ．－252C ．84D ．－847．设a ，b ∈R ，则“a 1－b 2＋b 1－a 2＝1”是“a 2＋b 2＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为P ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1，BB 1上运动且满足EF ＝a 时，则PD 1C 1 B 1A1 ABCDE GF H的最小值为A ．1116B ．34C ．1316D ．789．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 210．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为A ．3＋1B ．23＋2C ．3－1D ．23－2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．12．曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部与边界）．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为 ． 13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为f (n )，则 （Ⅰ）f (5)＝ ；（Ⅱ）f (n )＝ ．14．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m ＝ ；（Ⅱ）对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为 ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ⌒＝AC ⌒，DE 交AB 于点F ．若AB ＝4，BP ＝3，则PF ＝ ．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2cos θ－sin θ)－a ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin2θ．（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ．（Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ；（Ⅱ）求a cos C －c cos Ab的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＞0，a n ＋1＝2－|a n |，n ∈N *． （Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5．（Ⅰ）求直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段BC 1上确定一点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． 21．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上；（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f (x )＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，使f (x 0)≤0，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）证明：b －a b ＜ln b a ＜b －aa ，其中0＜a ＜b ；（Ⅲ）设[x ]表示不超过x 的最大整数，证明：[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．武汉市2014届高三2月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D 二、填空题11．3π2＋ 3 12．4 13．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n 2－2n ＋1 14．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或41 15．215 16．[0，12) 三、解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝π4．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4， 即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知B ＝π4，∴A ＋C ＝3π4，即C ＝3π4－A ．∴a cos C －c cos Ab ＝sin A cos C －cos A sin C sin B ＝sin(A －C )22＝2sin(2A －3π4)． ∵△ABC 是锐角三角形，∴π4＜A ＜π2，∴－π4＜2A －3π4＜π4，∴－22＜sin(2A －3π4)＜22，∴－1＜a cos C －c cos A b＜1．故a cos C －c cos Ab的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a 1＞0，∴a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|．当0＜a 1≤2时，a 3＝2－(2－a 1)＝a 1，∴a 21＝(2－a 1)2，解得a 1＝1．当a 1＞2时，a 3＝2－(a 1－2)＝4－a 1，∴a 1(4－a 1)＝(2－a 1)2，解得a 1＝2－2（舍去）或a 1＝2＋2．综上可得a 1＝1或a 1＝2＋2． (6)分（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1)＝a 1＋(2－|2－a 1|)，即|2－a 1|＝3a 1－2． 当a 1＞2时，a 1－2＝3a 1－2，解得a 1＝0，与a 1＞2矛盾；当0＜a 1≤2时，2－a 1＝3a 1－2，解得a 1＝1，从而a n ＝1（n ∈N *），此时{a n }是一个等差数列；综上可知，当且仅当a 1＝1时，数列{a n }为等差数列．………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵AA 1C 1C 为正方形，∴AA 1⊥AC ．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∴AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由已知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，∴AB ⊥AC ．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)，∴→A 1B ＝(0，3，－4)，→A 1C 1＝(4，0，0)，→B 1C 1＝(4，－3，0)． 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→A 1B ＝0，n ·→A 1C 1＝0．即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0．令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，∴n ＝(0，4，3)． 设直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，则 sin θ＝|cos ＜→B 1C 1，n ＞|＝|→B 1C 1·n ||→B 1C 1||n |＝3×45×5＝1225．故直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225．………………………………6分 （Ⅱ）设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且→BD ＝λ→BC 1（λ∈[0，1]），∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，∴x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，∴→AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)． 又→A 1B ＝(0，3，－4)，由→AD ·→A 1B ＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925∈[0，1]． 故在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ．此时BD BC 1＝λ＝925．…………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2．P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14．………………………………………………4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18， P (X ＝2)＝P (B 1-·B 3)＝P (B 1-)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58． ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98．………………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得F (2，0)，C (2，1)．由→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，得R (2λ，0)，R ′(2，1－λ)． 又E (0，－1)，G (0，1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1， ① 直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1． ②由①②，得M (22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2＝(1＋λ2)2(1＋λ2)2＝1，∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上．…………………………5分 （Ⅱ）假设满足条件的点N (x 0，y 0)存在，则直线NF 1的方程为y ＝k 1(x ＋1)，其中k 1＝y 0x 0＋1，直线NF 2的方程为y ＝k 2(x －1)，其中k 2＝y 0x 0－1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．消去y 并化简，得(2k 21＋1)x 2＋4k 21x ＋2k 21－2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 212k 21＋1，x 1x 2＝2k 21－22k 21＋1．∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x 1≠0，x 2≠0，∴k 21≠1． ∴k OP ＋k OQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝k 1(x 1＋1)x 1＋k 1(x 2＋1)x 2＝2k 1＋k 1·x 1＋x 2x 1x 2＝k 1(2－4k 212k 21－2)＝－2k 1k 21－1．同理可得k OS ＋k OT ＝－2k 2k 22－1．∴k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝－2(k 1k 21－1＋k 2k 22－1)＝－2·k 1k 22－k 1＋k 21k 2－k 2(k 21－1)(k 22－1)＝－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)． ∵k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0，∴－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)＝0，即(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)＝0． 由点N 不在坐标轴上，知k 1＋k 2≠0，∴k 1k 2＝1，即y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝1． ③又y 0＝x 0＋2， ④ 解③④，得x 0＝－54，y 0＝34．故满足条件的点N 存在，其坐标为（－54，34）．………………………………13分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若t ＜0，令x ＝1t ，则f (1t )＝e t 1－1－1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x －1＞0，不合题意； 若t ＞0，只需f (x )min ≤0．求导数，得f ′(x )＝e x －1－t ． 令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t ＋1．当x ＜ln t ＋1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，ln t ＋1)上是减函数； 当x ＞ln t ＋1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(ln t ＋1，＋∞)上是增函数． 故f (x )在x ＝ln t ＋1处取得最小值f (ln t ＋1)＝t －t (ln t ＋1)＝－t ln t ． ∴－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，∴t ≥1．综上可知，实数t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)．…………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )≥f (ln t ＋1)，即e x －1－tx ≥－t ln t ．取t ＝1，e x －1－x ≥0，即x ≤e x －1．当x ＞0时，ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时，等号成立， 故当x ＞0且x ≠1时，有ln x ＜x －1．令x ＝b a ，得ln b a ＜b a －1（0＜a ＜b ），即ln b a ＜b －a a ．令x ＝a b ，得ln a b ＜a b －1（0＜a ＜b ），即－ln b a ＜a －b b ，亦即ln b a ＞b －a b ．综上，得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．………………………………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．令a ＝k ，b ＝k ＋1（k ∈N *），得1k ＋1＜ln k ＋1k ＜1k ．对于ln k ＋1k ＜1k ，分别取k ＝1，2，…，n ， 将上述n 个不等式依次相加，得 ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＜1＋12＋…＋1n ， ∴ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ． ①对于1k ＋1＜ln k ＋1k ，分别取k ＝1，2，…，n －1，将上述n －1个不等式依次相加，得 12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1，即12＋13＋…＋1n ＜ln n （n ≥2）， ∴1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n （n ∈N *）． ②综合①②，得ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n ．易知，当p ＜q 时，[p ]≤[q ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤[1＋ln n ]（n ∈N *）．又∵[1＋ln n ]＝1＋[ln n ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋ (1)]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．……………………………14分。
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2014年湖北省部分重点中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 若z=sinθ−35+i cosθ−45是纯虚数，则tanθ的值为 A. ±34B. ±43C. −34D. 342. 设集合M= x y=x−2,x∈R ，集合N=y y=x2,x∈R，则M∩N= A. ∅B. NC. 0,+∞D. M3. 抛物线y=−2x2的焦点坐标是 A. −12,0 B. −1,0 C. 0,−14D. 0,−184. 各项均不为零的等差数列a n中，若a n2−a n−1−a n+1=0n∈N∗,n≥2，则S2009等于 A. 0B. 2C. 2009D. 40185. 设函数f x=sinωx+φ+cosωx+φ ω>0,φ<π2是最小正周期为π的偶函数，则 A. f x在0,π2上单调递减B. f x在π4,3π4上单调递减C. f x在0,π2上单调递增D. f x在π4,3π4上单调递增6. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为 A. 8B. 4C. 43D. 37. 设椭圆x2a2+y2b2=1a>0,b>0的离心率e=12，右焦点F c,0，方程ax2+bx−c=0的两个根分别为x1，x2，则点P x1,x2在 A. 圆x2+y2=2内B. 圆x2+y2=2上C. 圆x2+y2=2外D. 以上三种情况都有可能8. 已知命题p:函数f x=2ax2−x−1a≠0在0,1内恰有一个零点；命题q:函数y=x2−a在0,+∞上是减函数．若p且¬q为真命题，则实数a的取值范围是 A. a>1B. a≤2C. 1<a≤2D. a≤1或a>29. 正方形 ABCD 的边长为 2，点 E ，F 分别在边 AB ，BC 上，且 AE =1，BF =12，将此正方形沿DE ，DF 折起，使点 A ，C 重合于点 P ，则三棱锥 P −DEF 的体积是 A. 13B. 56C.2 39D. 2310. 在实数集 R 中，我们定义的大小关系“》”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集 D = a a = x ,y ,x ∈R ,y ∈R 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“》”．定义如下：对于任意两个向量 a 1 = x 1,y 1 ，a 2 = x 2,y 2 ，a 1 》a 2 ，当且仅当“x 1>x 2”或“x 1=x 2 且 y 1>y 2”．按上述定义的关系“》”，给出如下四个命题： ① 若 e 1 = 1,0 ，e 2 = 0,1 ，0 = 0,0 ，则 e 1 》e 2 》0 ； ② 若 a 1 》a 2 ，a 2 》a 3 ，则 a 1 》a 3 ；③ 若 a 1 》a 2 ，则对于任意 a ∈D ，a 1 +a 》a 2 +a； ④ 对于任意向量 a 》0 ，0 = 0,0 ，若 a 1 》a 2 , 则 a ⋅a 1 》a ⋅a 2 ． 其中真命题的序号为 A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（共5小题；共25分）11. 设 m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的序号为 ． ①m ⊥n n ⊂α ⇒m ⊥α； ②a ⊥αa ⊂β ⇒α⊥β； ③m ⊥αn ⊥α ⇒m ∥n ； ④n ⊂βα∥β⇒m ∥n ． 12. 在等比数列 a n 中，a 5⋅a 11=3，a 3+a 13=4，则 a15a 5= ．13. 若函数 f x =log a 2−ax a >0,a ≠1 在区间 1,3 内单调递增，则 a 的取值范围是 ．14. 如图，在 △ABC 中，cos C2=2 55，AH⋅BC =0，AB ⋅ CA +CB =0，则过点 C ，以 A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为 ．15. 已知正实数x，y，z满足2x x+1y +1z=yz，则 x+1yx+1z的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数f x=cos2x−2π3−cos2x x∈R．（1）求函数f x的最小正周期及单调递增区间；（2）△ABC内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f B2=−32，b=1，c=3，且a>b，试判断△ABC的形状，并说明理由．17. 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．（1）求异面直线EF与BC所成角的大小；（2）若二面角A−BF−D的平面角的余弦值为13，求AB的长．18. 设数列a n的前n项和为S n，且满足2a n−S n=1，n∈N∗．（1）求数列a n的通项公式；（2）在数列a n的每相邻两项a n和a n+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记其公差为d n；例如：在a1和a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1；在a2和a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，记公差为d2；⋯以此类推．①求出d n的表达式（用n表示），②按照以上规则插入数后，依次排列构成新的数列b n，求b2014的值．19. 某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有 A，B 两个项目可供选择：投资 A 项目一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：X1111217P a0.4b且X1的数学期望E X1=12．投资 B 项目一年后获得的利润X2（万元）与 B 项目产品价格的调整有关，B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，再次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p0<p<1和1−p．经专家测算评估，B 项目产品价格一年内调整次数X（次）与X2的关系如下表所示：X 次012X2万元 4.1211.7620.40（1）求a，b的值；（2）求X2的分布列；（3）若E X1<E X2，则选择投资 B项目，求此时p的取值范围．20. 如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:x+22+y2=r2r>0，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求TM⋅TN的最小值；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求OR+OS的最小值．21. 设函数f n x=x n1−x2在12,1上的最大值为a n n=1,2,3,⋯．（1）求函数f n x的导函数f nʹx，以及a1，a2；（2）求数列a n的通项公式，并求证对任何正整数n n≥2，都有a n≤1n+2成立；（3）设数列a n的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n<716成立．答案第一部分1. C 【解析】因为z=sinθ−35+i cosθ−45是纯虚数，所以sinθ−35=0，cosθ−45≠0，所以sinθ=35，cosθ≠45，所以cosθ=−45，所以tanθ=sinθcosθ=35−45=−34．2. D 【解析】由M中y=x−2，得：x−2≥0，即x≥2，所以M=2,+∞，由N中y=x2≥0，得到N=0,+∞，则M∩N=2,+∞=M．3. D 【解析】因为在抛物线y=−2x2，即x2=−12y，所以p=14，p2=18，所以焦点坐标是0,−18．4. D 【解析】因为a n2−a n−1−a n+1=0，又等差数列中，a n−1+a n+1=2a n，所以a n2=2a n，所以a n=2，所以a n为各项为2的常数列，所以S2009=2×2009=4018．5. A【解析】由f x=sinωx+φ+cosωx+φ=2ωx+φ+π4，f x是最小正周期为π的偶函数，所以ω=1，φ+π4=π2+kπk∈Z．因为φ<π2，所以φ=π4．f x=2cos2x，在0,π2上单调递减．6. C 【解析】由题意及正视图知，此几何体的高为4，侧视图应为矩形，底面三角形的高是侧视图的边长．所以侧视图的高为4，宽为32×2=3，因此侧视图的面积为43．7. A 【解析】因为x1+x2=−ba ，x1x2=−ca，x12+x22=x1+x22−2x1x2=b2+2aca2，e=ca=12，所以a=2c，b2=a2−c2=3c2．所以x12+x22=3c2+4c24c =74<2．所以在圆内．8. C 【解析】由题意，命题p:Δ=1+8a>0f0⋅f1=−1⋅2a−2<0得a>1．命题q:2−a<0，得a>2，所以¬q:a≤2．故由p且¬q为真命题，得1<a≤2．9. B 【解析】根据题意知DP⊥PE，DP⊥PF，PE∩PF=P，所以DP⊥面PEF，而DP=2，EF=52，PE=1，PF=32，由余弦定理得cos∠PEF=1+54−942×1×32=0，所以sin∠PEF=1，所以S△EPF=12PE⋅EF=12×1×52=54，所以V P−DEF=V D−PEF=13×2×54=56．10. B【解析】（1）因为任意两个向量a1=x1,y1，a2=x2,y2，a1》a2⇔“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”．所以若e1=1,0，e2=0,1，0=0,0，则e1》e2》0，故①正确．（2）设a1=x1,y1，a2=x2,y2，a3=x3,y3，由a1》a2，得“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”．由a2》a3，得“x2>x3”或“x2=x3且y2>y3”．若“x1>x2>x3”，则a1》a3；若“x1>x2”，且“x2=x3且y2>y3”，则“x1>x3”，所以a1》a3．若“x1=x2且y1>y2”且“x2>x3”，则x1>x3，所以a1》a3．若“x1=x2且y1>y2”且“x2=x3且y2>y3”，则x1=x3且y1>y3，所以a1》a3．综上所述，若a1》a2，a2》a3，则a1》a3，所以②正确．（3）设a1=x1,y1，a2=x2,y2，a=x,y，则a1+a=x1+x,y1+y，a2+a=x2+x,y2+ y，由a1》a2，得“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”，若x1>x2，则x1+x>x2+x，所以a1+a》a2+a．若x1>x2，或“x1=x2且y1>y2”，则x1+x=x2+x且y1+y>y2+y，所以a1+a》a2+a．综上所述，若a1》a2，则对于任意a∈D，a1+a》a2+a，所以③正确．（4）设a1=x1,y1，a2=x2,y2，a=x,y，由a》0，得“x>0”或“x=0且y>0”，由a1》a2，得“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”，若“x=0且y>0”且“x1>x2且y1<y2”，则“xx1=xx2且yy1<yy2”，所以a⋅a1》a⋅a2不成立．所以④不正确．综上所述，①②③正确．第二部分 11. ②③【解析】根据线面垂直的判定定理，可知一条直线和平面内两条相交直线均垂直，才可以得到线面垂直，故①m ⊥nn ⊂α⇒m ⊥α 错误；根据面面垂直的判定定理：过平面的一条垂线的平面与已知平面垂直，故②a ⊥αa ⊂β ⇒α⊥β 正确；根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行，故 ③m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n 正确； 根据面面平行的性质，两个平面平行，则两个平面无公共点，则平面的任一条直线与另一个平面无公共点，则线面平行，但 m ，n 的关系不确定，故④n ⊂βα∥β ⇒m ∥β 错误；故真命题的序号为：②③．12. 13 或 3【解析】在等比数列 a n 中，设公比为 q ， 因为 a 5⋅a 11=a 3⋅a 13=3， 又因为 a 3+a 13=4，所以 a 3=1，a 13=3，或 a 3=3，a 13=1， ①当 a 3=1，a 13=3 时， 则 q 10=a 13a 3=3，所以 a15a 5=q 10=3； ②当 a 3=3，a 13=1 时， 则 q 10=a 13a 3=13，所以a 15a 5=q 10=13．综合①②可得，a15a 5=13或3． 13. 0,23【解析】因为 f x =log a 2−ax ， 所以令 y =log a t ，t =2−ax ， 因为 a >0 且 a ≠1，x ∈ 1,3 ， 所以 t 在 1,3 上单调递减，因为 f x =log a 2−ax 在区间 1,3 内单调递增， 所以函数 y =log a t 是减函数， 且 2−ax >0 在 1,3 上恒成立， 所以 0<a <1 且 2−3a ≥0， 解得 0<a ≤23． 14. 2【解析】由已知中 AH⋅BC =0 可得：AH 为 BC 边上的高， 又由 AB⋅ CA +CB =0，可得：CA =CB ，又由cos C2=255，可得tan C=43，令AH=4x，则CH=3x，AC=BC=5x，BH=2x，则过点C，以A，H为两焦点的双曲线中，2a=5x−3x=2x，2c=4x，则过点C，以A，H为两焦点的双曲线的离心率e=2．15.【解析】 x+1y x+1z=x2+xz+xy+1yz=x x+1y+1z+1yz，而2x x+1y+1z=yz，则 x+1 y x+1z=yz2+1yz．又因为x，y，z为正实数，所以yz2+1yz≥2yz2⋅1yz=2，当且仅当yz=2时，等号成立．所以 x+1y x+1z的最小值为2．第三部分16. （1）因为f x=cos2x−2π3−cos2x=3sin2x−3cos2x=3sin2x−π,所以故函数f x的最小正周期为π；递增区间为 kπ−π12,kπ+5π12n∈N∗Z．（2）解法一：f B2=3sin B−π3=−32，所以sin B−π3=−12．因为0<B<π，所以−π3<B−π3<2π3，所以B−π3=−π6，即B=π6．由余弦定理得：b2=a2+c2−2ac cos B，所以1=a2+3−2×a×3×32，即a2−3a+2=0，故a=1（不合题意，舍）或a=2．因为b2+c2=1+3=4=a2，所以△ABC为直角三角形．解法二：f B2=3sin B−π3=−32，所以sin B−π3=−12．因为0<B<π，所以−π3<B−π3<2π3，所以B−π3=−π6，即B=π6．由正弦定理得：asin A =1sinπ6=3sin C，所以sin C=32，因为0<C<π，所以C=π3或2π3．当C=π3时，A=π2；当C=2π3时，A=π6．（不合题意，舍）所以△ABC为直角三角形．17. （1）延长AD，FE交于Q，如图1，因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得∠AQF=30∘．即异面直线EF与BC所成角为30∘．（2）方法一：设AB=x，取AF的中点G，由题意得DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG，所以DG⊥平面ABF，过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，如图2，所以∠DHG为二面角A−BF−D的平面角，在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=3．在直角△BAF中，由ABBF =sin∠AFB=GHFG，得GHx=x2+4，所以GH=x2+4．在直角△DGH中，DG=3，GH=2，得DH=2x2+3x+4，因为cos∠DHG=GHDH =13，得x=2515，所以AB=2515．方法二：设AB=x，以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz，则F0,0,0，A−2,0,0，E 0,3,0，D −1,3,0，B−2,0,x，如图3，所以DF=1,−3,0，BF=2,0,−x，因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n1=0,1,0，设n2=x1,y1,z1为平面BFD的法向量，则2x1−z1x=0, x1−3y1=0,所以可取n2=3,1,23x，因为cos⟨n1,n2 ⟩=n1 ⋅n2n1 ⋅ n2=13，得x=2515，所以AB=2515．18. （1）n≥2时，由2a n−S n=1，得2a n−1−S n−1=1，两式相减可得：a n=2a n−1n≥2，又由2a n−S n=1得a1=1≠0，所以数列a n是公比为2的等比数列，所以a n=2n−1；（2）①由（1）知a n=2n−1，a n+1=2n，因为a n+1=a n+n+1d n，所以d n=a n+1−a nn+1=2n−1n+1．②由题意可知，以等比数列的每一项构成的等差数列所含项数分别为2，3，4，⋯，n，2+3+4+⋯+n=n−1n+22，当n=62时，n−1n+22=1952．所以b2014是第62个等差数列的第62项．因为a62=261，d62=26163，所以b2014=261+62−1×26163=261+6163×261=3163×263.19. （1）由题意得a+0.4+b=1,11a+12×0.4+17b=12,解得a=0.5，b=0.1．（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40．P X2=4.12=1−p1−1−p=p1−p，P X2=11.76=p1−1−p+1−p1−p=p2+1−p2，P X2=20.40=p1−p．所以X2的分布列为X2 4.1211.7620.40P p1−p p2+1−p2p1−p（3）由（2）可得E X2=4.12p1−p+11.76p2+1−p2+20.40p1−p=−p2+p+11.76.因为E X1<E X2，所以12<−p2+p+11.76，所以0.4<p<0.6．当选择投资 B 项目时，p的取值范围是0.4<p<0.6．20. （1）依题意，得a=2，e=ca =32，所以c=3，b=4−3=1，故椭圆C的方程为x 24+y2=1．（2）点M与点N关于x轴对称，设M x1,y1，N x1,−y1，不妨设y1>0．由于点M在椭圆C上，所以y12=1−x124. ⋯⋯∗由已知T−2,0，则TM=x1+2,y1，TN=x1+2,−y1，所以TM⋅TN=x1+2,y1⋅x1+2,−y1=x1+22−y12=x1+22−1−x12 4=5x12+4x1+3=5x1+82−1.由于−2<x1<2，故当x1=−85时，TM⋅TN取得最小值为−15．由∗式，y1=35，故M −85,35，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=1325．故圆T的方程为：x+22+y2=1325．（3）设M2cosθ,sinθ，N2cosθ,−sinθ，不妨设sinθ>0，P2cosα,sinα，其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：y−sinα=sinα−sinθ2cosα−2cosθx，令y=0，得x R=2sinαcosθ−cosαsinθsinα−sinθ，同理：x S=2sinαcosθ+cosαsinθsinα+sinθ，故x R⋅x S=4sin2αcos2θ−cos2αsin2θsin2α−sin2θ．所以OR ⋅ OS=x R ⋅ x S=x R⋅x S=4为定值，所以OR+OS ≥2OR ⋅ OS=4，所以OR+OS的最小值是4．21. （1）因为f n x=x n1−x2，所以f nʹx=n⋅x n−11−x2−2x n1−x=x n−11−x n1−x−2x，当n=1时，f1ʹx=1−x1−3x，当x∈12,1时，f1ʹx≤0，即函数f1x在12,1上单调递减，所以a1=f112=18，当n=2时，f2ʹx=2x1−x1−2x，当x∈12,1时，f2ʹx≤0，即函数f2x在12,1上单调递减，所以a2=f212=116．（2）令f nʹx=0得x=1或x=nn+2，因为当n≥3时，nn+2∈12,1，且当x∈12,nn+2时，f nʹx>0，当x∈nn+2,1时，f nʹx<0，故f n x在x=nn+2处取得最大值，即当n≥3时，a n=f n nn+2=nn+2n nn+22=4n nn+2，当n=2时上式仍然成立，综上得a n=18,n=14n nn+2n+2,n≥2，当n≥2时，要证4n nn+2n+2≤1n+22，只需证明1+2n n≥4，因为1+2n=C n0+C n12+⋯+C n n2n ≥1+2+n n−1⋅42=1+2+2n−1n,由n≥2，得2n≥n+2，则2n−2≥n，所以2n−1n≥1，则1+2nn=C n0+C n12n+⋯+C n n2nn ≥1+2+n n−1⋅4=1+2+2n−1n≥1+2+1=4,所以对任意n∈N∗n≥2，都有a n≤1n+22成立．（3）因为当n≥2时，有a n≤1n+2<1n+1n+2=1n+1−1n+2，所以S n<18+13−14+14−15+⋯+1n+1−1n+2=1124−1n+2<1124<716．。