2017-2018学年人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案：1.3空间几何体的表面积与体积 Word版含答案
2017-2018学年人教A版高中数学必修二浙江专版学案：4-
4.2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系1．直线与圆有三种位置关系2.直线Ax ＋By ＋C ＝0代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ [点睛] 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)直线x ＋2y －1＝0与圆2x 2＋2y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是相交．( )答案：(1)√ (2)√2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1 B ．±12C ．±33D ．± 3解析：选C 设l ：y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1.∴k ＝±33. 3．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 5[典例] (1)已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2＋(y －1)2＝36，判断直线l 与圆C 的位置关系．[解] [法一 代数法]由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝36，x －2y ＋5＝0消去y 后整理，得5x 2－50x ＋61＝0. ∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， ∴该方程组有两组不同的实数解， 即直线l 与圆C 相交． [法二 几何法]圆心(7,1)到直线l 的距离为d ＝|1×7－2×1＋5|12＋－2＝2 5.∵d ＜r ＝6，∴直线l 与圆C 相交．[活学活用]1．直线x －ky ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相交或相切D ．相切解析：选C 直线x －ky ＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．2．设m ＞0，则直线l ：2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆的半径为r ＝m ，∵d －r ＝1＋m2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，∴d ≥r ，故直线l 和圆O 相切或相离．[典例] (1)若圆C ：＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)过点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，求切线l 的方程为________． [解析] (1)因为过圆外一点的圆的切线长l 、半径长r 和这点到圆心的距离d 满足勾股定理，即l 2＝d 2－r 2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C (－1,2)，半径长r ＝2，点(a ，b )在直线y ＝x －3上，所以点(a ，b )与圆心的距离的最小值即圆心到直线y ＝x －3的距离d ，易求d ＝|－1－2－3|2＝32，所以切线长的最小值为d 2－r 2＝22－2＝4.(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A 在圆外．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是x ＝－1，不满足题意．设直线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为y －4＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋4＋k ＝0.圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k －3＋4＋k |k 2＋1＝1， 解得k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程y ＝4或3x ＋4y －13＝0. [答案] (1)C (2)y ＝4或3x ＋4y －13＝0[活学活用]1．圆x 2＋y 2＝4在点P (3，－1)处的切线方程为( ) A.3x ＋y －2＝0 B.3x ＋y －4＝0 C.3x －y －4＝0D.3x －y ＋2＝0解析：选C ∵(3)2＋(－1)2＝4，∴点P 在圆上． ∵切点与圆心连线的斜率为－33，∴切线的斜率为3， ∴切线方程为y ＋1＝3(x －3)，即3x －y －4＝0.2．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形PAOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形PAOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ，所以S 四边形PAOB ＝2×12|OA |·|PA |＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形PAOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为252－4＝8.答案：8[典例] 如果一条直线经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．[解] 圆x 2＋y 2＝25的半径长r 为5，直线被圆所截得的弦长l ＝8，于是弦心距d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝52－42＝3.因为圆心O (0,0)到直线x ＝－3的距离恰为3，所以直线x ＝－3是符合题意的一条直线．设直线y ＋32＝k (x ＋3)也符合题意，即圆心到直线kx －y ＋⎝⎛⎭⎪⎫3k －32＝0的距离等于3，于是⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34.故直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x ＝－3和3x ＋4y ＋15＝0.[活学活用]1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25552．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 解析：设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2. 当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝－2＋－2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2. ∴最短弦的长为2 2. 答案：2 2层级一 学业水平达标1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9的位置关系是( ) A ．相交并且直线过圆心 B ．相交但直线不过圆心 C ．相切D ．相离解析：选D 圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|3×1＋4×1＋12|32＋42＝195，圆C 的半径r ＝3，则d ＞r ，所以直线与圆相离．2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A. 6 B.62C ．1D ．5解析：选A 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝2，则圆的半径r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9解析：选D 圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|5＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．0或3 C ．－2或6D ．－1或 3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D. 2 解析：选D 圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.6．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22， 解得a ＝4±15. 答案：4±157．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是________．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4.∴r ＝16＋4－162＝1. 答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上， 故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27， 则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r .∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．∴a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2－d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③ 解由方程①②③组成的方程组，得{ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或{ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(x ＋7)2＝244.层级二 应试能力达标1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．无法确定，与m 的取值有关解析：选A 圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1＜1＝r ，故选A. 2．直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( ) A.π4B.π2C ．πD.3π2解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝22.又圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5＝0被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的14，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即12×2πr ＝π.3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.4．与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．5．过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程为________________．解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立方程组{ y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3，故所求圆的方程为x 2＋y2＋7x ＋y ＋8＝0.答案：x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝06．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.切线长|OP |＝|OO ′|2－|O ′P |2＝2 5. ∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×55＝4.答案：47．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值． 解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1.① 又圆心到直线的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，② 由①②，得{ a ＝2－1，b ＝2或{ a ＝－2－1，b ＝－ 2.8．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． 解：(1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－4－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.4．2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[新知初探]1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：[点睛] (1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距离为－2－2＋－2＝17，则R －r <17<R ＋r ，所以两圆相交，选B.3．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．解析：圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10.又x 2＋y 2＝10， 两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案：x ＋3y ＝0对应学生用书P61[典例] 已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆C 2的位置关系．[解] [法一 几何法]把圆C 1的方程化为标准方程，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝10.圆C 1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r 1＝10.把圆C 2的方程化为标准方程，得(x －1)2＋(y －4)2＝25.圆C 2的圆心坐标为(1,4)，半径长r 2＝5.圆C 1和圆C 2的圆心距d ＝－2－2＋－2－2＝35，又圆C 1与圆C 2的两半径长之和是r 1＋r 2＝5＋10，两半径长之差是r 2－r 1＝5－10. 而5－10<35<5＋10，即r 2－r 1<d <r 1＋r 2， 所以两圆的位置关系是相交． [法二 代数法]将两圆的方程联立得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，①x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，②由①－②得x ＋2y ＋1＝0，③ 由③得x ＝－2y －1，把此式代入①， 并整理得y 2－1＝0，④所以y 1＝1，y 2＝－1，代入x ＋2y ＋1＝0得x 1＝－3，x 2＝1.所以圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点(－3,1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．[活学活用]到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．解析：到点A (－1,2)的距离为3的直线是以A 为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B 的距离为1的直线是以B 为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB |＝＋2＋－1－2＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条． 答案：4[典例] 求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有a ＋2＋a －4－2＝ a ＋2＋a －4＋2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.法二： ∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7.故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.[活学活用]求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.[典例] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．[解] 以O 为坐标原点，OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离．此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.[活学活用]一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0，圆心(0,0)到l ：4x ＋7y －28＝0的距离d ＝2842＋72＝2865，因为2865>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．层级一学业水平达标1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A．相离 B．相交C．内切 D．外切解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝－2＋－2＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )A.10B.10 2C. 5 D．5解析：选B 由题意，知2r＝32＋12＝10，r＝102.3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4条 B．3条C．2条 D．1条解析：选C 圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝＋2＋－8－2＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：选C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( ) A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h解析：选B如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内MN 之间(含端点)为危险区，可求得|MN |＝20，∴时间为1 h.6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是________． 解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1，因为两圆相离，所以a 2＋b 2>2＋1，即a 2＋b 2>3＋2 2. 答案：a 2＋b 2>3＋2 27．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝ 22－32＝1⇒a ＝1.答案：18．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．解析：由已知可设所求的圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.答案：x 2＋y 2－34x －34y －114＝09．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解：圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 圆心C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，－2＋－2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2112－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. 层级二 应试能力达标1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C 依题意可得圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0的圆心分别为C 1(0,0)，C 2(3,4)，则|C 1C 2|＝ 33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( ) A ．r <5＋1 B ．r >5＋1 C ．|r －5|<1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，两圆圆心之间的距离为－2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选 D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为________．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝－2＋－1－2－2＝2(2－1)， ∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.8．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A ，B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A ，B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A ，B 两点在圆上，得{ a ＝0，b ＝2 或{ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．。
2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)2：阶段质量检测(一)空间几何体含解析
阶段质量检测(一）空间几何体(时间120分钟满分150分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等解析：选B 棱柱的侧面必须是平行四边形,侧棱长相等，但底面只需为多边形,且边长也不需要与侧棱长相等,故A、D不正确；球的表面不能为平面图形,故C不正确．2．如图所示的组合体,其构成形式是( ）A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体解析:选D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱,右边是长方体．3.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选A 底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形侧面放置在水平面上时,它的正视图和俯视图可以是全等的矩形,因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确;当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A。
4．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（)A．120° B．150°C．180° D．240°解析：选C 设圆锥的底面半径为R，母线长为L。
由题意，πR2＋πRL＝3πR2,∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后,设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝错误!＝错误!，∴2πR ＝错误!，∴n＝180°,即展开后扇形的圆心角为180°.5。
2017-2018学年人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案：1.1空间几何体的结构 Word版含答案
1.1空间几何体的结构第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2～4，思考并完成以下问题[新知初探]1．空间几何体2．空间几何体的分类3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( )(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( )答案：(1)√(2)×(3)×2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)[典例] 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.[答案] C[活学活用]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④棱柱的侧棱总与底面垂直．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③.答案：③[典例] (1)①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[解析] (1)本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．[答案] (1)A (2)0[活学活用]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选 C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[活学活用]下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )解析：选C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．层级一学业水平达标1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．下列图形中，是棱台的是( )解析：选C 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5 6 98．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案：129．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.如图所示是一个三棱台ABCA′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABCA′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′ABC，BA′B′C′，A′BCC′.(答案不唯一)层级二应试能力达标1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.2．下列说法正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.4．棱台不具有的性质是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C ．侧棱都相等D ．侧棱延长后都相交于一点解析：选C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC ＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形， 可得∠ABC ＝60°. 答案：60°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A A 1DC ，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？ 解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.8.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABFA1DCED1.第二课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征预习课本P5～7，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、球[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．2．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[点睛] 要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条答案：D3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．[典例] 给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．[解析] (1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．[答案] (1)(2)[活学活用]给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④[典例] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥[解析] 图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．[答案] D1.如图所示的简单组合体的组成是( )A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱解析：选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．2.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[典例] 如图所示，已知圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形． ∴A1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，QS ＝A 1B 1＝10π(cm)．∴PQ ＝PS 2＋QS 2＝10π2＋1(cm)． 即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.如图，一只蚂蚁沿着长AB ＝7，宽BC ＝5，高CD ＝5的长方体木箱表面的A 点爬到D 点，则它爬过的最短路程为________．解：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，在图1中AD ＝AC 2＋CD 2＝122＋52＝13， 在图2中AD ＝AB 2＋BD 2＝72＋102＝149， ∵149<13，∴蚂蚁爬过的最短路程为149.层级一 学业水平达标1．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选 B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台解析：选C 由球的定义知选C.4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )A．4πB．8πC．2πD．π解析：选C 边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9.答案：98．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．层级二应试能力达标1．下列结论正确的是( )A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：选C 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A．①②B．①③C．①④D．①⑤解析：选 D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．答案：①②③⑤6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝4 3 cm.答案：4 37．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r .将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°.在Rt △BO ′A ′中，rBA ′＝sin 30°， ∴BA ′＝2r .在Rt △BOA 中，2rBA＝sin 30°，∴BA ＝4r .又BA －BA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.8．圆锥底面半径为1 cm ，高为 2 cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．解：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝ 2 cm ，OE ＝1 cm. ∵△EAA 1∽△ESO ， ∴AA 1SO ＝EA 1EO， 即x2＝1－22x1.2 2，即该内接正方体的棱长为22cm.∴x＝。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案：
空间直角坐标系4．3.1&4.3.2空间直角坐标系空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz.(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z 叫点M的竖坐标．[点睛]空间直角坐标系的画法(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的1 2.4．空间两点间的距离公式(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式( )(2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝(－2)2＋02＋22＝2 2. 答案：2 2[典例]在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标． [解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0， 又GD ＝34，故G 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点． 故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12.[活学活用]如图，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝(3－1)2＋(2－0)2＋(1－5)2＝26， 所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立： (x －3)2＋(y －2)2＋(z －1)2 ＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2， 化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.[活学活用]已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)． 因为M 为BC 1的中点，所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得|MN |＝(2－2)2＋(2－0)2＋(2－4)2＝2 2.[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称且C 的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz 的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案](1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A|AB|＝(1＋3)2＋(1＋3)2＋(1＋3)2＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b ，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋(－1)2＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M1的坐标为(－2,0，－3)，点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝⎛⎭⎫1－232＋⎝⎛⎭⎫2－232＋(2－4)2＝533.层级二 应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.132B.534C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532. 4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线A C 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29. 5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)．由题意，得|P 0P |＝(x －4)2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1. 所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)．则|MN |＝(x 0－6)2＋(1－x 0－5)2＋(0－1)2 ＝2(x 0－1)2＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51. 此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|N C 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝⎛⎭⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－34a 2＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|(－3)2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51，∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________． 解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2，则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)． 点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1， 则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0.答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1. 答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0. 综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－(3)2得a ＝±15. 答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝⎛⎭⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22 内含 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)． ∴G 点的坐标为G ⎝⎛⎭⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝ 32＋32＋14＝732. 17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程；(2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)，半径为12|OP |＝ 12 (4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13.(2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0. 18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径． 则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3， 则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ， 即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝R 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0.(1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. ∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2.①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2，即2＋5(a －2)2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5(a －2)2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k 2<2， 解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1. 所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8， 即k ＝±22，经验证满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3k k 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。
新课标人教A版高中数学必修2教学案(完整版)
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案：
直线的倾斜角与斜率3．1.1 倾斜角与斜率[新知初探]1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.[点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率 (1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α( ) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．若直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135°D ．－45°解析：选B 作出直线l ，如图所示，由图易知，应选B.3．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B. 3 C ．1D.22解析：选A 由题意可知，直线l 的斜率k ＝tan 30°＝33.[典例] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α＋45°或α－135°[解析]由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．[答案] D[活学活用]已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析：选C直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P (－3,1)，Q (－3,10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.[活学活用]1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：选C 斜率k ＝0－23－0＝－23.2．已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．k AB ＝1－11－(－1)＝0，k AC ＝－1－11－(－1)＝－1.∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在.(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项题点一：三点共线问题1．如果A ⎝⎛⎭⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值．解：由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .由斜率公式，得k AB ＝52＋12m －4＝74m －8，k BC ＝－1＋m 4＋4＝m －18.∵点A ，B ，C 在同一条直线上，∴k AB ＝k BC . ∴74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0，解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572. ∴m 的值是3＋572或3－572.题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解：如图所示． ∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.层级一学业水平达标1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )A．45°，1 B．135°，－1 C．90°，不存在D．180°，不存在解析：选C作出图象，故C正确．2．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：选C显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为( ) A．150°B．135°C．75°D．45°解析：选B∵直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，∴其斜率k＝3－0－5－(－2)＝－1.设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝－1，∴θ＝135°.4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )A．－32 B.32C．－1 D．1解析：选C tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即y＋34－2＝1，所以y＝－1.5．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( ) A．(－1,0] B．[0,1]C．[1,2]D．[0,2]解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.6.如图，已知直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°7．一束光线射到x 轴上并经x 轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________.解析：作出入射光线和反射光线如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角等于60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.答案：150°8．已知点A (2，－1)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线PA 的倾斜角为45°，则点P 的坐标为________．解析：设x 轴上点P (m,0)或y 轴上点P (0，n )．由k PA ＝1，得0＋1m －2＝n ＋10－2＝1，得m ＝3，n ＝－3.故点P 的坐标为(3,0)或(0，－3)．答案：(3,0)或(0，－3)9．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1).∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1).整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)，即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.10．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间．当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PA .∵k PA ＝－1－42－(－3)＝－1，k PB ＝－1－22－3＝3，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．层级二 应试能力达标1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0 C. 3D ．2 3解析：选B 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B.2．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率等于2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D.43解析：选D 由直线的斜率公式，得m ＋23－m ＝2，∴m ＝43.3.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0＜k 3＜k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1＜0，所以k 1＜k 3＜k 2.4．若点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎦⎤14，1D.⎝⎛⎭⎫14，1解析：选D 根据已知的条件，可知点P (x ，y )是点A ，B ，C 围成的△ABC 内一动点，那么所求y －2x －1的几何意义是过动点P (x ，y )与定点M (1,2)的直线的斜率．由已知，得k AM ＝14，k BM ＝1，k CM ＝23.利用图象，可得y －2x －1的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，1.故选D. 5．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即2－02－a ＝2－b2－0.∴2(a ＋b )＝ab ，∴a ＋b ab ＝12，∴1a ＋1b ＝12.答案：126．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________． 解析：k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线， 即k AB ≠k AC ，∴1－k5≠0.∴k ≠1. 答案(－∞，1)∪(1，＋∞)7．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图象上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明：∵A ，B ，C 是三个不同的点， ∴x 1，x 2，x 3互不相等． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，即y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 3x 1－x 3， ∴x 31－x 32x 1－x 2＝x 31－x 33x 1－x 3， 整理，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝x 21＋x 1x 3＋x 23，即(x 2－x 3)(x 1＋x 2＋x 3)＝0. ∵x 2≠x 3， ∴x 1＋x 2＋x 3＝0.8．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解：如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k .由已知条件，可得A (1,1)，B (－1,5)．易知k PA≤k≤k PB.由斜率公式得k PA＝43，k PB＝8，所以43≤k≤8.故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43.3．1.2两条直线平行与垂直的判定[新知初探]1．两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.[点睛](1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.2．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.[点睛]l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行( )(2)若l1∥l2，则k1＝k2( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m＝－1， ∴m ＝0. 答案：0[典例] 判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)； (2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． [解] (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54.∵k 1≠k 2，∴l 1与l 2不平行．(2)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，且l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.[活学活用]1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．解析：根据AB ∥DC ，AD ∥BC ，利用平行直线的斜率相等求解．设点D (x ，y )，则由AB ∥DC ，AD ∥BC 可得k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即86－(－2)＝y －6x －8，y x －(－2)＝8－66－8，解得x ＝0，y ＝－2.答案：(0，－2)2．在△ABC 中，A (0,3)，B (2，－1)，E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2.答案：－2[典例] 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)． [解] (1)k 1＝3－(－4)1－(－3)＝74，k 2＝1－(－3)3－(－4)＝47，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直． (2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2. (3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.[活学活用]1．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．解析：由过两点的直线的斜率公式可得k PQ ＝3－a －b3－b －a＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.答案：－12．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1,2)，B (－1,1)，C (0,2)，求BC 边上的高所在直线的斜率与倾斜角．解：设BC 边上的高所在直线的斜率为k ， 则有k ·k BC ＝－1.∵k BC ＝2－10－(－1)＝1，∴k ＝－1.∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为135°.[典例] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． [解] 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a3.(1)若l 1∥l 2，则l 1的斜率k 1＝－a3.∵k 1＝2－a a －4，∴2－a a －4＝－a3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2.①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 1k 2＝－1可得2－a a －4·⎝⎛⎭⎫－a 3＝－1，解得a ＝3或a ＝－4. ∴当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2.[活学活用]已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解：∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知，A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC ，k AD ·k AB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1，n －2m －2·n ＋1m －5＝－1，∴⎩⎨⎧m ＝165，n ＝－85.综上可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165，n ＝－85.层级一 学业水平达标1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥P S ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C 由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行，①②④正确，故选C.2．直线l 过(m ，n )，(n ，m )两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则( ) A ．l 与x 轴垂直 B ．l 与y 轴垂直 C ．l 过原点和第一、三象限 D ．l 的倾斜角为135°解析：选D 直线的斜率k ＝m －nn －m＝－1，∴直线l 的倾斜角为135°. 3．经过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是( ) A ．4 B ．1 C ．1或3D ．1或4解析：选B 由题意，知4－mm －(－2)＝1，解得m ＝1.4．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3 解析：选D ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3.5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直，所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝________；若直线l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：l 1∥l 2时，a －22－1＝3，则a ＝5；l 1⊥l 2时，a －22－1＝－13，则a ＝53.答案：5537．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________.若l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m2，若l 1⊥l 2，则m2＝－1，∴m ＝－2.若l 1∥l 2则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2. 答案：－2 28．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2＋22)，B (0，2－22)，C (4,2)，则△ABC 是________．(填△ABC 的形状)解析：因为AB 边所在直线的斜率k AB ＝(2－22)－(2＋22)0－2＝22，CB 边所在直线的斜率k CB ＝(2－22)－20－4＝22，AC 边所在直线的斜率k AC ＝2－(2＋22)4－2＝－2，k CB ·k AC ＝－1，所以CB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得2m 2＋m －3＝0， 解得m ＝－32或1.(2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13， 解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1. 10．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.层级二 应试能力达标1．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则有( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α2－α1|＝90°D ．α1＋α2＝180°解析：选C 由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.2．已知四点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D 当m ＝0时，直线AB 与直线CD 的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，k AB ＝m ＋1m ，k CD ＝2m ，由m ＋1m ＝2m ，解得m ＝1.综上，m 的值为0或1.3．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，其中l 1∥l 2，且k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，则k 1＋k 2＋k 3的值是( )A ．1 B.32 C.72D ．1或72解析：选D 由k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，解方程得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝－12，k 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 3＝－12.又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，所以k 1＋k 2＋k 3＝1或72.4．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为( ) A ．(－19，－62) B ．(19，－62) C ．(－19,62)D ．(19,62)解析：选A 设A (x ，y )，由已知，得AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，且直线AH ，BH 的斜率存在，所以⎩⎪⎨⎪⎧k AH ·k BC ＝－1，k BH ·k AC ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋3×⎝⎛⎭⎫－14＝－1，y －3x ＋6×⎝⎛⎭⎫－15＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62，即A (－19，－62)．5．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，A B ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0， 所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0)6．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝⎛⎭⎫－4a ，1，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析：由题意得l 1∥l 2，∴k AB ＝k MN . ∵k AB ＝2－4a ＝－a 2，k MN ＝－2－10－1＝3，∴－a2＝3，∴a ＝－6.答案：－67．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解：由斜率公式，得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t－1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t .∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ， ∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ， ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， ∴四边形OPQR 为矩形．8．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m,2)，试求m 的值．解：如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.当m ＝1时，直线AB 的斜率不存在，此时l 2的斜率为0，不满足l 1∥l 2.当m ≠1时，直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m －31－m，∴线段AB的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3. ∵l 1与l 2平行， ∴k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案：
直线、平面平行的判定及其性质2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定预习课本P54～57，思考并完成以下问题[新知初探]1．直线与平面平行的判定[点睛] 用该定理判断直线a 和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a 在平面α外，即a ⊄α； (2)直线b 在平面α内，即b ⊂α；(3)两直线a ，b 平行，即a ∥b . 2．平面与平面平行的判定[点睛] (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则l ∥平面α( ) (2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线平行( )(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ⊂α，a ∥bB ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.[证明]连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB綊A1B1綊D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE ，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.[典例]已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC.(2)求A′B′∶AB的值．[解](1)证明：如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ.∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，且PA′A′M＝PB′B′N＝2，∴A′B′∥MN.同理可得B′C′∥NQ.∵A′B′∥MN，MN⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，∴A′B′∥平面ABC.同理可证B′C′∥平面ABC.又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂平面A′B′C′，B′C′⊂平面A′B′C′，∴平面A′B′C′∥平面ABC.(2)由(1)知A′B′∥MN，且A′B′MN＝PA′PM＝23，即A′B′＝23MN.∵M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝12AB.∴A′B′＝23MN＝23×12AB＝13AB，∴A′B′AB＝13，即A′B′∶AB的值为13.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .[典例]在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．[解] 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ， AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )A．3个B．6个C．9个D．12个解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有( )A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF ∥平面ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明：如图所示，连接SB ，SD ， ∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点， ∴FG ∥SD .又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1，∴FG ∥平面BDD 1B 1. 同理可证EG ∥平面BDD 1B 1， 又∵EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .因为FM ⊄平面AEC ， EC ⊂平面AEC ， 所以FM ∥平面AEC .由EM ＝12PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点． 连接OE ，则BM ∥OE .因为BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以BM ∥平面AEC .又因为FM ⊂平面BFM ，BM ⊂平面BFM ，FM ∩BM ＝M ， 所以平面BFM ∥平面AEC ，所以平面BFM 内的任何直线与平面AEC 均没有公共点． 又BF ⊂平面BFM ，所以BF 与平面AEC 没有公共点，所以BF ∥平面AEC .2．2.3&2.2.4 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质预习课本P58～61，思考并完成以下问题1．直线与平面平行的性质 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b . [点睛] 定理中有三个条件：①直线a 和平面α平行，即a ∥α；②直线a 在平面β内，即a ⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b .三个条件缺一不可．2．平面与平面平行的性质 (1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b . [点睛] (1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线a ∥平面α，直线a ∥直线b ，则直线b ∥平面α( )(2)若直线a ∥平面α，则直线a 与平面α内任意一条直线都无公共点( ) (3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( )A ．平行B ．平行或异面C ．平行或相交D ．异面或相交解析：选B 由题意，CD ∥α，则平面α内的直线与CD 可能平行，也可能异面． 3．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在的平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．解析：由于平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1C 1B ＝A 1C 1，平面ABCD ∩平面A 1C 1B ＝l ，所以l ∥A 1C 1.答案：平行[典例]如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .[证明]如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又∵点M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．[活学活用]如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形.[典例]如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A ′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．[解] 直线a ，b 的位置关系是平行． ∵平面ABC ∥平面A ′B ′C ′， 平面A ′D ′B ∩平面ABC ＝a ，平面A ′D ′B ∩平面A ′B ′C ′＝A ′D ′， ∴A ′D ′∥a ，同理可得AD ∥b .又D 是BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，∴DD ′綊BB ′，而BB ′綊AA ′，∴DD ′綊AA ′， ∴四边形AA ′D ′D 为平行四边形， ∴A ′D ′∥AD ，因此a ∥b .[活学活用]如图，平面α∥平面β，AB ，CD 是两异面直线，且A ，C ∈β，B ，C ∈α，M ，N 分别在线段AB ，CD 上，且AM MB ＝CNND.求证：MN ∥α.证明：如图，过点A 作AE ∥CD ，AE ∩α＝E ，连接BE ，在平面ABE 内作MP ∥BE ，MP 交AE 于P ，连接NP ，DE ，则AM MB ＝APPE .∵AM MB ＝CN ND ，∴AP PE ＝CN ND .∵平面α∥平面β，平面ACDE ∩α＝ED ， 平面ACDE ∩β＝AC ， ∴AC ∥ED ，∴PN ∥ED . ∵PN ⊄α，ED ⊂α，∴PN ∥α.∵PM∥BE，PM⊄α，BE⊂α，∴PM∥α.又PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面α.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.[典例]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.[证明](1)因为在正方体ABCD-AB1C1D1中，AD綊B1C1，1所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接AC1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.[活学活用]如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明：如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CPPB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ， ∴CM MB 1＝DNNB ， ∴CP PB ＝DN NB， ∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B . ∵MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .层级一 学业水平达标1．若直线l ∥平面α，则过l 作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a ，b ，c ，…，那么这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点解析：选A 因为直线l ∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…，所以a ∥b ∥c ∥…，故选A.2.如图，已知S 为四边形ABCD 外一点，G ，H 分别为SB ，BD 上的点，若GH ∥平面SCD ，则( )A ．GH ∥SAB ．GH ∥SDC ．GH ∥SCD ．以上均有可能解析：选B 因为GH ∥平面SCD ，GH ⊂平面SBD ，平面SBD ∩平面SCD ＝SD ，所以GH ∥SD ，显然GH 与SA ，SC 均不平行，故选B.3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选D 由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .4．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γβ∥γ⇒a ∥β. 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．②D ．①③④解析：选C ①α与β有可能相交；②正确；③有可能a ⊂α；④有可能a ⊂β.故选C. 5．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20解析：选B 由α∥β得AB ∥CD .分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PBPD ，∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则有PA PC ＝PB PD ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.6.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案： 27．过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：68．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若a ∥α，a ∥β，则α∥β； ④若a ⊂α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b . 其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a ，b 确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：②④9.如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.证明：在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB. ∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.10.如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．层级二应试能力达标1．已知平面α，β，直线a，b，c，若a⊂α，b⊂α，c⊂α，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交．2．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则( )A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点解析：选D由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．3．已知平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选D∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a⊂α，b⊂β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB ，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25解析：选D∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析：∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝12(AB＋CD)＝5.答案：56.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.解析：∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，HG ∥AC ，∴EF ＝HG ＝BE ABm .同理，EH ＝FG ＝AE AB n ，∴BE AB m ＝AE AB n ，∴AE ∶EB ＝m ∶n .答案：m ∶n7.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；(2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .解：(1)证明：如图所示．连接AC ，CD 1，∵P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，∴PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a . (3)证明：取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，又FE 1∩EE 1＝E 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .8.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝12EC＝1，故MN是△ACE的中位线．所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2：课时跟
课时跟踪检测（四）空间几何体的直观图层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°解析：选D根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( ) A．平行于z′轴且大小为10 cmB．平行于z′轴且大小为5 cmC．与z′轴成45°且大小为10 cmD．与z′轴成45°且大小为5 cm解析：选A平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )解析：选C正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，A D，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC解析：选C因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形．6.水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E ⊥x ′轴于点E ，在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝B ′C ′sin 45°＝2×22＝ 2. 答案： 27.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝3，B ′C ′∥x ′轴，则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中，设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′，则易得O ′D ′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为6×62＝36 2. 答案：36 28.在直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2cm ，则在坐标系xOy 中原四边形OABC 为________(填形状)，面积为________cm 2.解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm ，OC ＝4 cm ，所以四边形OABC 的面积S ＝2×4＝8(cm 2)．答案：矩形 8 9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．解：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O 的作法作出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.10.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC为平行四边形，OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为S＝1×22＝2 2 cm2.层级二应试能力达标1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB 边平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意，可知∠BAD ＝45°，则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形，上、下底边分别为B ′C ′，A ′D ′，且长度分别与BC ，AD 相等，高为A ′B ′，且长度为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A.12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D 平面图形是上底长为1，下底长为1＋2，高为2的直角梯形．计算得面积为2＋ 2.4.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( ) A.732 B.73C ．5 D.52 解析：选A 由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB ＝73，AB 边上的中线长度为732.故选A. 5．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其直观图的面积为________ cm 2.解析：该矩形的面积为S ＝5×4＝20(cm 2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S ′＝24S ＝52(cm 2)． 答案：5 26.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，点B ′在x ′轴上，A ′O ′与x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为________．解析：设△AOB 的边OB 上的高为h ，由直观图中边O ′B ′与原图形中边OB 的长度相等，及S 原图＝22S 直观图，得12OB ×h ＝22×12×A ′O ′×O ′B ′，则h ＝4 2.故△AOB 的边OB 上的高为4 2.答案：4 27.如图所示，△ABC 中，AC ＝12cm ，边AC 上的高BD ＝12cm ，求其水平放置的直观图的面积．解：法一：画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6 cm ， 故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝3 2 cm ，所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)， 即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.法二：△ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 的水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)．8．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．解：画法：(1)建系：如图①，画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底：在x 轴上取线段OB ＝8 cm ，在y 轴上取线段OA ′＝2 cm ，以OB 和OA ′为邻边作平行四边形OBB ′A ′.(3)定点：在z 轴上取线段OC ＝4 cm ，过C 分别作x 轴，y 轴的平行线，并在平行线上分别截取CD ＝4 cm ，CC ′＝2 cm.以CD 和CC ′为邻边作平行四边形CDD ′C ′.(4)成图：连接A ′C ′，BD ，B ′D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．。
人教A版高中数学必修二(浙江专版)教学案：1.1空间几何体的结构 含答案
3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 分类 定义 有两个面互相 平行 ， 其余 各面都是 四边形 ， 并且每 棱柱 相邻两个四边形的公共边 由这些面所 都互相 平行 ， 围成的多面体叫做棱柱 如图可记作： 棱柱 图形及表示 相关概念 底面(底)：两个互相 平行 的 面 侧面：其余各面
ABCDA′B′C′D
ABCA′B′C′ 分 成 三 部 分 ， 形 成 的 三 个 三 棱 锥 分 别 是 A′ABC ， BA′B′C′ ， A′BCC′.(答案不唯一)
层级二 应试能力达标 )
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( A．棱柱的侧棱长都相等 B．四棱锥有五个顶点 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等
面可以把棱锥分成两个棱锥，C 不正确． 3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：选 D
A、B、C 中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选 D. ) B．侧面都是梯形
4．棱台不具有的性质是( A．两底面相似
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都相交于一点
解析：选 C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质． 5. 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图， A ， B ， C 是展开图上的三 点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________. 解析：将平面图形翻折，折成空间图形， 可得∠ABC＝60°. 答案：60° 6．在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何体 是________．(写出所有正确结论的编号) ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三 角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 解析：在正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个 顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形 ACC 1 A 1 ；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面 为等边三角形的四面体，如 AA 1 BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如 ACB 1 D 1 ；⑤每个 面都是直角三角形的四面体，如 AA 1 DC，故填①③④⑤. 答案：①③④⑤ 7.如图在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，沿图中虚线将 3 个三角形折起，使点 A，B，C 重合，重合后记为点 P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为 2a，则每个面的三角形面积为多少？ 解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
2018版数学课堂讲义浙江专用必修二学案：第一章 空间
1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积目标定位 1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.自 主 预 习1.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .即时自测1.判断题(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.(√)(2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(×)(3)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh，特别地，圆柱的底面半径为r，高为h；其体积V＝πr2h.(√)(4)已知圆锥SO的底面半径r＝2，高为4，则其体积为16π.(×)提示(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形.(4)V＝13π×22×4＝163π.2.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于()A.15B.15πC.24πD.30π解析S侧＝πrl＝π×3×5＝15π.答案 B3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4πB.3πC.2πD.π解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.答案 C4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于________.解析V＝13π(12＋1×2＋22)×6＝14π.答案14π类型一空间几何体的表面积【例1】如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋（16－4）2＝13(cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2).规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.【训练1】 如图，已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S －ABC ，求它的表面积.解 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D . 因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a .所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体S －ABC 的表面积S ＝4×34a 2＝3a 2. 类型二 空间几何体的体积(互动探究)【例2】 如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比.[思路探究]探究点一 题中三棱台与三棱锥有什么关系？ 提示 题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的. 探究点二 求体积的常用方法有哪些？提示 求几何体体积的常用方法有：公式法，等积变换法，补体法，分割法. 解 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴V A 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， V C －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh . 又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ， ∴V B －A 1B 1C ＝V 台－V A 1－ABC －V C －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.规律方法 求几何体体积的常用方法【训练2】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d .∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 类型三 与三视图有关的表面积、体积问题【例3】 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A.45，8B.45，83C.4(5＋1)，83D.8，8解析 由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2， ∴V ＝13×22×2＝83.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5， ∴S 侧＝4×12×2×5＝4 5. 答案 B规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.【训练3】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC 为等腰三角形，且AC ＝23，AC 边上的高为1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.由侧视图可知：三棱锥的高h ＝1，∴V S －ABC ＝13S △ABC h ＝33. 答案 33 [课堂小结]1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x ，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2.∴三条棱长分别为2、4、6. ∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D2.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5， ∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 答案 C3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________.解析 设底面半径为r ，侧面积为4π2r 2，表面积为2πr 2＋4π2r 2，其比为1＋2π2π.答案 1＋2π2π4.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C －A 1DD 1求棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C －A 1DD 1的体积： V C －A 1DD 1＝13×12Sh ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh . 所以棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.基 础 过 关1.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )A.72B.42πC.67πD.72π解析 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底 ＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 答案 C2.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D.1解析 三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12×1×1×1＝16. 答案 A3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示该四棱锥侧面和体积分别是( )A.45，8B.45，83 C.4(5＋1)，83D.8，8解析 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.答案 B4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2，S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.答案 2∶15.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱.故该几何体的体积 V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3(m 3). 答案20π36.如图是某几何体的三视图.(1)画出它的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积和体积. 解 (1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)， 所以所求表面积为S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π， 体积为V ＝π×12×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.7.在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积.解 过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D .以△ABC 中边AB 所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥的高的和为AB ＝5，底面半径DC ＝AC ·BC AB ＝125，故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845π。
浙江专用2018版高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构第2课时学案新人教A版必修22018
1.1 空间几何体的结构第2课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征目标定位 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.能根据条件判断几何体的类型.2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.3.了解与正方体、球有关的简单组合体及其结构特征.自主预习1.旋转体(1)圆柱①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.②相关概念(图1)③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.(2)圆锥①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.②相关概念(图2)③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.(3)圆台①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②相关概念(图3)③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.(4)球①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.②相关概念(图4)③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.2.简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.即时自测1.判断题(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.(×)(2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)提示(1)所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符.(2)若绕斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.(3)根据圆台的定义知，正确.(4)旋转后形成的是球面.2.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是()A.球B.圆台C.圆锥D.圆柱解析旋转过程中，与旋转轴垂直的线段形成垂直于旋转轴的圆面，与旋转轴平行的线段形成与旋转轴等距的曲面，所以其余三边旋转一周所围成的旋转体是圆柱.答案 D3.下列几何体是台体的是()解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.答案 D4.等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________.解析结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥.答案圆锥类型一旋转体的结构特征【例1】判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.解(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.【训练1】下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3解析①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确.答案 A类型二简单组合体的结构特征【例2】如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示.(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示.(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示.规律方法 1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.2.必要时作模型培养动手能力.【训练2】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.类型三有关几何体的计算问题(互动探究)【例3】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.[思路探究]探究点一圆锥、圆台的轴截面是什么？提示圆锥的轴截面为等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.探究点二解决此问题的关键是什么？提示解决此问题关键是，作出轴截面，然后利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.解设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r.过轴SO作截面，如图所示.SA′O′A′ 3 r 1则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.∴＝.∴＝＝.SA OA3＋l4r 4解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.规律方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.【训练3】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.(1)由勾股定理得h＝122－（5－2）2＝3 15(cm).x－12 2(2)由三角形相似得：＝，解得x＝20(cm).x 5答：(1)圆台的高为3 15 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[课堂小结]1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.。
(浙江专用)2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积(2)课件新人教A版必修2
(3)正四面体的外接球
正四面体的棱长
a
与外接球半径
R
的关系为：2R＝
6 2 a.
径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝43π.
题点二：球的内接长方体问题 2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点
上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为______． 解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝
12＋22＋32＝ 14，所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 答案：14π
径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 解析：如图所示，设球半径为r，则球心到该
圆锥底面的距离是
r 2
，于是圆锥的底面半径为
r2－2r2＝ 23r，高为32r. 该圆锥的体积为13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积为43πr3，∴该 圆锥的体积和此球体积的比值为3843ππrr33＝392.答案：392
D．2πC2 由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，∴S 球面＝4πR2＝Cπ2.
3．若一个球的直径是 10 cm，则它的体积为________ cm3. 解析：由题意知其半径为 R＝120＝5(cm)，故其体积为 V＝43πR3 ＝43×π×53＝5030π(cm3)． 答案：5030π
球的体积与表面积
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的
正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口， 再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深43πR3＝323π
2017-2018学年人教A版高中数学二(浙江专版)学案：1.3空间几何体的表面积与体积含答案
1.3 空间几何体的表面积与体积1．3。
1 柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P23～27，思考并完成以下问题1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算?2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么?4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？错误!1．柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积:S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl（r＋r′)表面积：S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl)2．柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式V＝错误!Sh（S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V＝错误!(S′＋错误!＋S）h。
[点睛］（1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√"，错误的打“×”）(1）锥体的体积等于底面面积与高之积( ）(2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差（)答案:(1)×(2)√2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A。
错误!a2B。
错误!a2C。
错误!a2D。
错误!a2解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于错误!a，∴S表＝错误!a2＋3×错误!×错误!2＝错误!a2。
3．若圆锥的底面半径为3,母线长为5，则圆锥的体积是________．解析：由已知圆锥的高h＝4，所以V圆锥＝错误!π×32×4＝12π。
答案:12π柱、锥、台的表面积［典例］现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解］如图,设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O,对角线A1C ＝15,B1D＝9,∴a2＋52＝152,b2＋52＝92,∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝错误!2＋错误!2＝错误!＝错误!＝64,∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.(1）求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图,把它还原为直观图,特别要注意从三视图中得到几何体的相关量,再结合表面积公式求解．［活学活用]1．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋4解析:选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×错误!×π×12＋π×1×2＝4＋3π.2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10,则圆台的表面积为（)A．81π B．100πC．168π D．169π解析：选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝错误!＝错误!＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r）l＝π(8＋2)×10＝100π,S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.柱体、锥体、台体的体积[典例]( ）A．2π＋2 3 B．4π＋23C．2π＋错误!D．4π＋错误![解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1,高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为错误!，高为错误!，所以体积为错误!×(错误!）2×错误!＝错误!，所以该几何体的体积为2π＋错误!.[答案] C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（1）求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解．(2）求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[活学活用]1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π，侧面积是6π,则这个圆台的体积是________．解析:设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l,高为h,则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π（r＋R）l＝6π,∴l＝2,∴h＝错误!，∴V＝错误!π（12＋22＋1×2)×错误!＝错误!π。
2017-2018学年人教A版高中数学二(浙江专版)学案：1.2空间几何体的三视图和直观图含答案
1.2 错误!1．2.1＆12.2 中心投影与平行投影空间几何体的三视图预习课本P11～14,思考并完成以下问题1．平行投影、正投影的定义是什么？2．正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么？3．怎样画空间几何体的三视图?4．如何识别三视图所表示的立体模型？错误!1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影[点睛] 平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．3．三视图投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图［点睛］三视图中的每种视图都是正投影．错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√",错误的打“×”）(1)直线的平行投影是直线( ）（2）圆柱的正视图与侧视图一定相同( )（3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同（)答案：（1)×（2)×(3）√2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台解析：选D 先观察俯视图,再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.3．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示,它的俯视图是( )解析：选D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形,注意看得到的棱画实线．中心投影与平行投影[典例] 下列命题中正确的是( ）A．矩形的平行投影一定是矩形B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行C．两条相交直线的投影可能平行D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同,因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点,故B不正确．无论是平行投影还是中心投影,两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．［答案] D画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．[活学活用]如图所示，点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________（填出所有可能的序号）．解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①。
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1.3 空间几何体的表面积与体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P23～27，思考并完成以下问题[新知初探]1．柱体、锥体、台体的表面积公式2．柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .[点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案：(1)× (2)√2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选 A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a ，∴S 表＝34a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝3＋34a 2. 3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高h ＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.答案：12π[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.[活学活用]1．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π解析：选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋ R －r 2＝ 4r 2＋ 3r 2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.[典例] )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.[答案] C[活学活用]1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.答案：733π2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________． 解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积V ＝12×3×4×5－13×12×4×3×3＝24.答案：241.如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A DED 1的体积为________．解析：V 三棱锥A DED 1＝V 三棱锥E DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.答案：162.如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥P ABC 的体积V .解：三棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，△PAC 作为底面求解．故V ＝13S △PAC ·PB ＝13×12×2×4×3＝4.题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB ，EC .四棱锥E ABCD 的体积V 四棱锥E ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ，∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F EBC ＝V 三棱锥C EFB ＝12V 三棱锥C ABE ＝12V 三棱锥E ABC ＝12×12V 四棱锥E ABCD ＝4.∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E ABCD ＋V 三棱锥F EBC ＝16＋4＝20. 题点三：补形法4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.5．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则{x 2＋y 2＝13， y 2＋z 2＝20， x 2＋z 2＝25，∴{ x ＝3， y ＝2， z ＝4.∵V D ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体，同理，V C ABF ＝V D ACG ＝V D BCH ＝16V 长方体，∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.层级一 学业水平达标1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A ．22 B ．20 C ．10D ．11解析：选A 所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433π B.36π C.12π D.33π 解析：选 B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12×13×π×12×3＝36π. 4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.5.如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，∴V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.6．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________．解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3. 答案：9 37．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.答案：33π 8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则a ＝________.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×a ＝3 3，所以a ＝ 3. 答案： 39．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，若四边形ABCD 绕AD 旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图； (2)求出该几何体的表面积．解：(1)如图所示．(2)过C 作CE 垂直AD 延长线于E 点， 作CF 垂直AB 于F 点． 由已知得：DE ＝2，CE ＝2， ∴CF ＝4，BF ＝5－2＝3. ∴BC ＝CF 2＋BF 2＝5. ∴下底圆面积S 1＝25π，台体侧面积S 2＝π×(2＋5)×5＝35π， 锥体侧面积S 3＝π×2×22＝42π， 故表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝(60＋42)π.10.如图，已知正三棱锥S ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2. ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.层级二 应试能力达标1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，∴a ＝4，故V ＝a 3＝43＝64.2.已知高为3的棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B AB 1C 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：选D VB AB 1C ＝VB 1ABC ＝13S △ABC ×h ＝13×34×3＝34.3．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πSD.233πS 解析：选A 底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.533B.433C.536D. 3解析：选A 由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为34×22×2－13×34×22×1＝533. 5．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ ab ＝2， ac ＝3， bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 66．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)cm 2，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．8．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)， ∴圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410 π(cm 2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x6，∴r ＝6－x 3，∴圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]，∴当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.1．3.2 球的体积和表面积预习课本P27～28，思考并完成以下问题[新知初探]1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9( ) (2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( ) 答案：(1)√ (2)√2．若球的过球心的圆面圆周长是C ，则这个球的表面积是 ( ) A.C 24πB.C 22π C.C 2πD ．2πC 2解析：选C 由2πR ＝C ，得R ＝C2π，∴S 球面＝4πR 2＝C 2π.3．若一个球的直径是10 cm ，则它的体积为________ cm 3. 解析：由题意知其半径为R ＝102＝5(cm)，故其体积为V ＝43πR 3＝43×π×53＝5003π(cm 3)．答案：5003π[典例] (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．[解析] (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2.故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.[答案] (1)B (2)4π某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π.答案：3π[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3[解析] 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．[答案] A[活学活用]一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3解析：选B 设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示．在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ，∴球的半径R ＝OA ＝ 22＋ 5 2＝3(cm)， ∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3)．题点一：球的外切正方体问题1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.2π3 C.3π2D.π6解析：选 A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.题点二：球的内接长方体问题2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S ＝4πR 2＝14π.答案：14π题点三：球的内接正四面体问题3．若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积． 解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x ，则a ＝2x ， 由题意2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， ∴S 球＝4πR 2＝64a π＝32a π.题点四：球的内接圆锥问题4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．解析：如图所示，设球半径为r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.答案：932题点五：球的内接直棱柱问题5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2解析：选 B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a .层级一 学业水平达标1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3B.32π3 C ．8πD.82π3解析：选 C 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1，∴截面圆的面积为S ＝π()R 2－12＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π解析：选A 设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，由V ＝13a 2h ＝a 2＝6，得a ＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r ，则(3－r )2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2，则S 球＝4πr 2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30 π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( ) A.π3 B.π4C.π2D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2.6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________． 解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π. 答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r ＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比． 解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9， ∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9， 即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27， ∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.层级二 应试能力达标1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )解析：选 B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B.2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3cm 3D.41613π3cm 3解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42＝5(cm)，所以V 球＝43πR 3＝500π3(cm 3)． 3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S ＝( )A ．32＋πB ．32＋2πC ．28＋2πD ．28＋π解析：选 A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S ＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4.(新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π， ∴r 2＝4，r ＝2，故选B.5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R ，则2R ＝ 22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR 2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________．解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，柱体的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3. 答案：48 37．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． 解：如右图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r3－r ＝12，∴r ＝33 cm ，V 球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm 3)， 即球的体积等于4327π cm 3.8．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A BCD ，求此正三棱锥的体积．解：①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12，∴OH ＝OB 2－HB 2＝9，∴正三棱锥A BCD 的高h ＝9＋15＝24. 又S △BCD ＝34×(123)2＝1083，∴V 三棱锥A BCD ＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083，∴V 三棱锥A BCD ＝13×1083×6＝216 3.综上，可知三棱锥的体积为8643或216 3.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等解析：选 B 棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A 、D 不正确；球的表面不能为平面图形，故C 不正确．2．如图所示的组合体，其构成形式是( )A ．左边是三棱台，右边是圆柱B ．左边是三棱柱，右边是圆柱C ．左边是三棱台，右边是长方体D ．左边是三棱柱，右边是长方体解析：选 D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．3.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选 A 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.4．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180°D ．240°解析：选 C 设圆锥的底面半径为R ，母线长为L .由题意，πR 2＋πRL ＝3πR 2，∴L ＝2R ，圆锥的底面圆周长l ＝2πR .展开成扇形后，设扇形圆心角为n ，则扇形的弧长l ＝n πL180°＝n π×2R180°，∴2πR ＝2n πR180°，∴n ＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°. 5.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④解析：选 A 若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.6.(福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：选 B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：选 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.8．(山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析：选C 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V ＝12V 圆柱＋14V 球＝12×π×12×2＋14×43π×13＝43π.答案：43π10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________，表面积为________．解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋ 2 2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3，S 球＝4π×12＝4π.答案：43π 4π11．一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由________和________组成的，若它的体积是π＋26，则a ＝________.解析：由三视图可知该几何体可以看成是由一个三棱锥和半个圆锥组成的．半圆锥的底面半径为1，高为a ，三棱锥的底面是以2为直角边长的等腰直角三角形，高为a ，所以该几何体的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋12×2×2a ＝π＋26，解得a ＝1.答案：三棱锥 半个圆锥 112．某空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧视图的面积为________cm 2，此几何体的体积为________cm 3.解析：该几何体是半圆锥和半圆柱的组合体，侧视图面积为12π×12＝π2(cm 2)，此几何体的体积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π×12×3＋13π×12×2＝11π6(cm 3)．答案：π2 11π613．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，如图，其底面是一个边长为2的正方形，高为2，故其体积为V ＝13×2×2×2＝83.在△ECD 中，CD 边上的高为2，故S △ECD ＝12×2×2＝2.△EBC 与△EAD 是全等的直角三角形，BC ⊥EC ，且BC ＝2，EC ＝5，故S △EAD ＝S △EBC ＝12×2×5＝ 5.在△EAB 中，EA ＝EB ＝3，AB ＝2，则S △EAB ＝12×2×9－1＝22，故该几何体的表面积为S ＝2＋4＋25＋22＝2(3＋2＋5)． 答案：832(3＋2＋5)14.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．解析：设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，高为h ，则V 三棱台ABC A 1B 1C 1＝13(S 0＋4S 0＋2S 0)h ＝73S 0h ，V 三棱柱FEC A 1B 1C 1＝S 0h .设剩余的几何体的体积为V ，则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.答案：3∶4(或4∶3)15.一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积为________．解析：设圆锥筒的底面半径为r ，高为h .由题意，得2πr ＝14×2π×4，所以r ＝1，所以h ＝42－12＝15，所以V ＝13πr 2h ＝13×π×12×15＝153π.答案：153π 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．解：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A BMC 1C .结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A BMC 1C 中，AB ＝1，BC ＝1，AC ＝2，BM＝12，AM ＝52，CC 1＝1，AC 1＝3，MC 1＝52. 17.(本小题满分15分)如图所示，在多面体FE ABCD 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积V .解：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线AG ，BH ，垂足分别为G ，H .连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12.所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， V ＝V E ADG ＋V F BHC ＋V AGD BHC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×24×2＋24×1＝23. 18.(本小题满分15分)如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是A 1A ，CC 1的中点，求四棱锥C 1B 1EDF 的体积．解：连接EF ，B 1D 1.设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2.∵正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分 别是A 1A ，CC 1的中点， ∴h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a .又S △C 1EF ＝12C 1F ·EF ＝12×a 2×2a ＝24a 2，∴VC 1B 1EDF ＝VB 1C 1EF ＋VD C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝13×24a 2×2a ＝16a 3.19.(本小题满分15分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝．再用面积为S m2的塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．圆柱底面半径为r m.(1)当r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01)．(2)若要制作一个如图所示的底面半径为0.3 m的灯笼，请作出该灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)设圆柱的高为h m，由题意，可知4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－(r－0.4)2＋0.16](0<r<0.6)．所以当r＝0.4时，S max＝0.48π≈1.51(m2)．(2)由r＝0.3,2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6，则该灯笼的三视图为：20．(本小题满分15分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积S；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点，求在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．又S圆锥侧＝πa×2a＝2πa2，S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S＝2πa2＋4πa2＋πa2＝()2＋5πa2.。