《同角三角函数地基本关系》教学设计课题

1.2.2 同角三角函数的基本关系(名师：卓忠越)一、教学目标（一）核心素养通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.（二）学习目标1．牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；2．探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；3．牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力；4．灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力.（三）学习重点1．理解并掌握同角三角函数关系式；2．熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法.（四）学习难点1．已知某角的一个三角函数值，求其余的各三角函数值时符号的确定；2．掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）熟记0︒，30︒，45︒，60︒，90︒五个特殊角的三角函数值（2）阅读教材P18—P202．预习自测（1）已知4cos5α=-，且α为第三象限角，求sinα、tanα的值【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定【解题过程】∵α在第三象限 ∴sin 0,tan 0αα<>∴由22sin cos 1αα+=得：3sin 5α===- 由sin tan cos ααα=得：3tan 4α= 【思路点拨】利用两组三角函数公式和三角函数符号判定，代入解方程求解. 【答案】3sin 5α=-，3tan 4α= （2）化简：（1）cos tan θθ； （2）222cos 112sin αα-- 【知识点】两组关系式的基本应用【解题过程】（1）sin cos tan cos .sin cos θθθθθθ== （2）2222222222222cos 12cos sin cos cos sin 112sin sin cos 2sin cos sin αααααααααααα----===-+-- 【思路点拨】（1）“切化弦”，统一函数名称从而实现化简的目的；（2）利用221sin cos αα=+进行“1”的代换，统一分子分母为齐次式.【答案】（1）sin θ；（2）1（3）求证：（1）4422sin cos sin cos αααα-=-（2）4222sin sin cos cos 1αααα++=【知识点】两组关系式的基本应用【解题过程】（1）法一：左边=442222sin cos (sin cos )(sin cos )αααααα-=+-22sin cos αα=-=右边法二：右边22sin cos αα=-2222(sin cos )(sin cos )αααα=+-44sin cos αα=-=左边（2）左边=222222sin (sin cos )cos sin cos 1αααααα++=+==右边【思路点拨】恒等式证明遵循“化繁为简”的基本准则，即可从左化到右，也可从右化到左，或左右都往中间化得到相同的结果.【答案】见解题过程(二)课堂设计1．知识回顾（1）任意角的三角函数的定义（2）任意角的三角函数值的符号法则（3）初中所学的同角锐角三角函数的基本关系2．问题探究探究一 结合任意角的三角函数的定义，探究同角三角函数的基本关系★●活动① 类比初中所学知识，猜想同角三角函数的基本关系回顾初中学习锐角三角函数的相关知识，在Rt △ACB 中，∠C=90︒，三边长分别为,,a c b ，锐角A 的三角函数的定义是什么？sin ,cos ,tan a b a A A A c c b === 锐角A 的这三个三角函数之间有什么关系呢？22sin cos 1A A +=；sin tan cos A A A= 以上同角三角函数关系对任意角仍成立吗？【设计意图】从已有的知识出发，类比探究知识的延展，得到合理的猜想，为发现新知奠定基础，体会由特殊到一般的数学思想.●活动② 回归定义，证明猜想，得到结论你能根据任意角的三角函数定义证明以上同角三角函数关系吗？222222222sin cos ()()1y x y x r r r r r αα++=+=== sin tan cos yy r x xrααα=== 也就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.【设计意图】运用定义给予严格证明，肯定猜想的正确性，是解决数学问题的常用方法. ●活动③ 架构迁移，熟悉公式结构和使用条件为了让学生及时熟悉公式，要求学生完成以下的课堂练习：（1）22sin 30cos 30︒+︒=_________；（2）22sin ()cos ()44x x +++=ππ___________； （3）22sin 2cos 2x x +=___________；（4）22sin 30cos 45︒+︒=________________．学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：①注意“同角”指相同的角，例如：145cos 30sin 22≠+οο、12cos 2sin 22=+αα、22sin ()cos ()1αβαβ+=++；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如α=ααtan cos sin 中0cos ≠α，且αtan 需有意义等.【设计意图】通过练习，感知并理解同角的意义和公式的使用条件，培养严谨的数学思维习惯. 探究二 同角三角公式的灵活运用●活动① 探究两个公式的等价变形式及应用由等价变形式αα22cos 1sin -=，已知余弦值可以求正弦值；由等价变形式αα22sin 1cos -=，已知正弦值可以求余弦值.但比如: αα2cos 1sin -±=，此时，αcos 、αsin 的符号受所在象限的限制，不是无条件的. 例1.已知5sin 13α=-，其中α在第四象限，求cos ,tan αα的值. 【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定【数学思想】方程的思想【解题过程】第一步：定号∵α在第四象限 ∴cos 0,tan 0αα><第二步：定值∴由22sin cos 1αα+=得：22512cos 1sin 1()1313αα=-=--= 由sin tan cos ααα=得：5tan 12α=-【思路点拨】熟记公式，代入解方程求解. 【答案】125cos ,tan 1312αα==-同类训练1：已知3sin 5α=，求cos ,tan αα的值. 【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定【数学思想】方程的思想和分类讨论思想【解题过程】第一步：定象限 ∵3sin 05α=> ∴α在第一或第二象限 第二步：定号、定值（1）当α在第一象限时，cos 0,tan 0αα>>∴由22sin cos 1αα+=得：4cos 5α=== 由sin tan cos ααα=得：3tan 4α= （2）当α在第二象限时，cos 0,tan 0αα<<∴4cos 5α===-，3tan 4α=- 【思路点拨】涉及开方运算，符号判断取决于角所在象限.当角所在象限不确定时，需逐一分情况讨论. 【答案】4cos 53tan 4αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53tan 4αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩同类训练2：已知1tan 2α=，其中α在第三象限，求sin ,cos αα的值. 【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定【数学思想】方程的思想【解题过程】第一步：定号∵α在第三象限 ∴sin 0,cos 0αα<<第二步：定值由22sin cos 1sin 1cos 2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩解方程得：sin 55αα=-=- 【思路点拨】sin ,cos ,tan ααα共三个量，两个方程，任给其中一个都可以求出另两个.【答案】sin 55αα=-=-【设计意图】通过计算熟练掌握公式，并体会分类讨论思想在三角函数符号确定中的应用 ●活动② 强化提升、灵活应用例2 已知1sin cos 5αα+=，求sin cos αα的值 【知识点】正余弦公式的灵活应用【数学思想】化归思想【解题过程】 解：2221(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=∴12sin cos 25αα=- 【思路点拨】通过平方升次后，便于使用22sin cos 1αα+=，从而使问题得到简化. 【答案】12sin cos 25αα=- 同类训练：在例2的条件下，能求sin cos αα-吗？【知识点】正余弦公式的灵活应用【数学思想】化归思想【解题过程】 解：2221249(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 12()2525αααααααα-=+-=-=--= ∵10sin cos 15αα<+=< ∴α是第二或第四象限角 （1）当α是第二象限角时，sin 0,cos 0αα>< ∴sin cos 0αα-> ∴7sin cos 5αα-= （2）当α是第四象限角时，sin 0,cos 0αα<> ∴sin cos 0αα-< ∴7sin cos 5αα-=-【思路点拨】sin cos ,sin cos αααα+-两者之间通知sin cos αα联系起来，三者任给其中一 个可以求出另外两个. 【答案】7sin cos 5αα-=或7sin cos 5αα-=- 例3 已知tan 2α=-，求下列各式的值：（1）sin cos cos sin αααα-+ （2）22222sin sin cos cos 4sin 3cos αααααα++- 【知识点】弦化切公式的灵活应用【数学思想】化归思想【解题过程】解：（1）分子分母上下同时除以cos α得：sin cos tan 13cos sin 1tan αααααα--==++ （2）分子分母上下同时除以2cos α得：2222222sin sin cos cos 2tan tan 174sin 3cos 4tan 313ααααααααα++++==--【思路点拨】关于sin ,cos αα的齐次分式，可以弦化切，变形为关于tan α的式子.【答案】（1）3； （2）713同类训练：已知tan 2α=-，求值：2212sin cos 45αα+ 【知识点】弦化切公式的灵活应用【数学思想】化归思想【解题过程】 解：222222221212sin cos tan 1274545sin cos 45sin cos tan 125αααααααα+++===++ 【思路点拨】关于sin ,cos αα的齐次分式，可以弦化切，变形为关于tan α的式子. 【答案】725例4 求证： 2212sin 2cos 21tan 2cos 2sin 21tan 2αααααα--=-+ 【知识点】三角函数关系式恒等变形【数学思想】转化化归【解题过程】解：左边=22212sin 2cos 2(cos 2sin 2)cos 2sin 2cos 2sin 2(cos 2sin 2)(cos 2sin 2)cos 2sin 2αααααααααααααα---==--++ 1tan 21tan 2αα-=+=右边 【思路点拨】恒等式变形可由左到右，亦可由右到左，统一次数，统一函数名称.【答案】见解题过程同类训练 求证：tan .sin tan sin tan sin tan .sin αααααααα+=- 【知识点】三角函数关系式恒等变形【解题过程】解：左边=2sin .sin tan .sin sin sin cos sin tan sin sin sin cos 1cos sin cos αααααααααααααααα===---- 右边=2sin sin tan sin sin sin cos 1cos cos sin tan .sin sin sin .sin cos αααααααααααααααα++++=== 又∵2sin (1cos )(1cos )ααα=-+ ∴sin 1cos 1cos sin αααα+=- ∴左边=右边 ∴原式得证.【思路点拨】“切化弦”统一函数名，为证明恒等式奠基；恒等式证明可以从左右分别变形，得到相同或相等的中间式，从而等式得证.【答案】见解题过程3. 课堂总结知识梳理掌握两组三角函数基本关系式：22sin cos 1αα+=和sin tan cos ααα= 重难点归纳（1）运用三角函数公式求三角函数值涉及开方运算时，注意分析确定三角函数值的符号；不能确定的要进行分类讨论；（2）根据三角函数式的结构和求解目标，选择合理的变形方向，并在训练中不断提高三角恒等变形的能力.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知sin 2α=-，且α为第四象限角，求cos ,tan αα的值. 【知识点】正余弦关系式的基本应用及三角函数值符号判定【数学思想】方程的思想【解题过程】∵α在第四象限 ∴cos 0,tan 0αα><∴由22sin cos 1αα+=得：1cos 2α=== 由sin tan cos ααα=得：tan α=【思路点拨】熟记公式，tan α代入解方程求解.【答案】1cos ,tan 2αα==2.已知3tan 4α=-，求sin ,cos αα的值. 【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定【数学思想】方程的思想【解题过程】∵tan 0α< ∴α在第二或第四象限（1）若角α在第二象限，则sin 0,cos 0αα><由22sin cos 1sin 3cos 4αααα⎧+=⎪⎨=-⎪⎩解方程得：34sin ,cos 55αα==- （2）若角α在第四象限，则sin 0,cos 0αα<>由22sin cos 1sin 3cos 4αααα⎧+=⎪⎨=-⎪⎩解方程得：34sin ,cos 55αα=-= 【思路点拨】sin ,cos ,tan ααα共三个量，两个方程，任给其中一个都可以求出另两个；但角所在象限不确定时，注意分类讨论.【答案】34sin ,cos 55αα==-或34sin ,cos 55αα=-=3.已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值. 【知识点】弦化切公式的灵活应用【数学思想】化归思想【解题过程】解：分子分母上下同时除以cos α得：sin cos tan 13cos sin 1tan αααααα++==--- 【思路点拨】关于sin ,cos αα的齐次分式，可以弦化切，变形为关于tan α的式子.【答案】3-4.已知1cos sin 2αα-=-，则求sin cos αα的值. 【知识点】熟练应用公式22sin cos 1αα+=【数学思想】【解题过程】 解：2221(cos sin )cos 2sin cos sin 12sin cos 4αααααααα-=-+=-=∴3sin cos 8αα= 【思路点拨】利用完全平方公式构造sin cos αα，代入22sin cos 1αα+=即可. 【答案】385.求证：2222tan sin tan .sin αααα-=【知识点】三角函数关系式恒等变形【数学思想】【解题过程】解：左边=222222222222sin sin sin cos sin (1cos )tan sin sin cos cos cos αααααααααααα---=-== 22sin .tan αα==右边【思路点拨】恒等式变形可由左到右，亦可由右到左，“切化弦”是常用统一函数名的办法.【答案】见解题过程能力型 师生共研1．(1)已知13sin α＝，且α为第二象限角，求tan α. (2)已知13sin α＝，求tan α. (3)已知)0(1sin m m m α≠≠±＝，，求tan α.【知识点】熟练掌握三角函数关系式及符号判定【数学思想】方程的思想和分类讨论思想【解题过程】(1)∵13sin α＝，且α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin2α＝－1－（13）2＝－223. ∴tan α＝sin αcos α＝－24. (2)∵sin α＝13，∴α是第一或第二象限角． 当α是第一象限角时，∴cos α＝1－sin2α＝1－（13）2＝223. ∴tan α＝sin αcos α＝24； 当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)∵sin α＝m(m ≠0，m ≠±1)，∴cos α＝±1－sin2α＝±1－m2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m 1－m2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m 1－m2. 【思路点拨】先求与sin α的平方关系相联系的cos α，再由公式求tan α.(2)(3)中α的范围不确定，须讨论确定开方的符号．【答案】 (1)－24 (2)24或－24 (3)m 1－m 2或－m 1－m2 2.已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则 (1)sin θ－cos θ＝________；(2)sin 3θ＋cos 3θ＝________；(3)tan θ＝________．【知识点】sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者的关系【数学思想】方程的思想和整体代换的思想【解题过程】 (1)∵sin θ＋cos θ＝713，∴(sin θ＋cos θ)2＝49169. ∴2sin θcos θ＝－120169. 又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2θ＝1713. (2)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝713×(1＋60169)＝1 6032 197. (3)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得sin θ＝1213，cos θ＝－513.∴tan θ＝－125. 方法二：因为sin θ＋cos θ＝713，sin θcos θ＝－60169， 由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513. 又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125. 方法三：同方法二，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0， 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125. 【思路点拨】(1)已知asinx ＋bcosx ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sinx ，cosx.(2)sinx ＋cosx ，sinx －cosx ，sinxcosx 之间的关系为(sinx ＋cosx )2＝1＋2sinxcosx ，(sinx －cosx )2＝1－2sinxcosx ，(sinx ＋cosx )2＋(sinx －cosx )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．【答案】 (1)1713 (2)1 6032 197 (3)－125探究型 多维突破1.α为第二象限角. 【知识点】三角函数关系式恒等变形【数学思想】化归思想【解题过程】解：原式1sin 1sin cos ααα+--= ∵α为第二象限角 ∴1sin 0,1sin 0,cos 0ααα+>-><∴原式=1sin 1sin 2sin 2tan cos cos αααααα+--==-- 【思路点拨】以开方化简为目标，分子分母同时升次凑完全平方；在开方时，注意符号的确定.【答案】a tan 2-2.化简44661sin cos 1sin cos αααα---- 【知识点】三角函数关系式恒等变形【数学思想】化归思想【解题过程】解：（法一）原式=2222244662242241(sin cos )2sin cos 1(sin cos )1(sin cos )1(sin cos )(sin sin cos cos )αααααααααααααα⎡⎤-+--+⎣⎦=-+-+-+ 2222422422222112sin cos 2sin cos 1(sin sin cos cos )1(sin cos )3sin cos αααααααααααα⎡⎤--⎣⎦==--+⎡⎤-+-⎣⎦ 22222sin cos 23sin cos 3αααα== （法二）∵222222231sin cos (sin cos )(sin cos )αααααα=+=+=+∴原式=2224422223664224(sin cos )(sin cos )2sin cos (sin cos )(sin cos )3sin cos 3sin cos αααααααααααααα+-+=+-++ 2222222sin cos 23sin cos (sin cos )3αααααα==+ 【思路点拨】法一通过因式分解降次，统一次数从而实现化简；法二用“1”的代换升次从而实现化简. 【答案】32 自助餐1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512【知识点】三角函数关系式恒等变形【数学思想】化归思想【解题过程】因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512. 【思路点拨】熟记公式，tan α代入解方程求解.【答案】D2.已知tan α＝3，求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．【知识点】两组三角函数关系式的灵活应用【数学思想】化归思想【解题过程】方法一：∵tan α＝3>0，∴α是第一、三象限角．由⎩⎨⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝3cos α，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010(α为第一象限角)，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010，cos α＝－1010(α为第三象限角)． ∴sin αcos α＝310. ∴sin 2α－3sin αcos α＋1＝910－3×310＋1＝1. 方法二：∵tan α＝3，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－3tan α1＋tan 2α＋1＝32－3×31＋32＋1＝1. 【思路点拨】解这类问题有两个方法，一是直接求出sin α和cos α的值，再代入求解，但这种方法较繁琐．二是将所求式转化为只含tan α的代数式，再代入求解.【答案】 13．化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得( ) A ．sin α＋cos α－2 B ．2－sin α－cos α C ．sin α－cos α D ．cos α－sin α【知识点】熟练掌握两组三角函数关系式和三角函数符号判定【数学思想】化归思想【解题过程】原式＝cos α（1－sin α）2cos 2α＋sin α（1－cos α）2sin 2α， ∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0. ∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.【思路点拨】为开方凑完全平方式，并根据角的范围判定符号.【答案】 A。