第五章 定积分的性质
高等数学 第五章 定积分的概念及其性质
() a,( ) b, a (t) b,t [, ]
则有定积分换元公式：
b a f (x)dx
例1：计算定积分
(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
(2)
1 x2 dx
0
定积分的计算
解：(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
4
cos(2
x
)d
(2
x
)
20
4
4
令 t 2x ，则当 x 时，t
解：(2)、 y 1 x2
y2 x2 1( y 0)
如图
y
1S
o
1x
（2）
定积分的概念及性质 4、定积分的计算法则
法则1 常数因子可以提到积分号外.即
法则2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即
法则3 (积分区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间
上均可积，则有
定积分的概念及性质
4
4
4
则当 x 0时，t ，有：
原式 1 2
4
4
cos
tdt
4
1 sin t 4 2 4
2 2
(2) 1 1 x2 dx 0
令 x sin t ，则当 x 1 时，t
2
则当 x 0时，t 0 ，有：
原式 2 1 sin2 td sin t 0
2
cos2
tdt
例2
求
1
0 (
x3
x
1)dx
．
解
1
(
x
3
x
1)dx
高等数学-高等数学-第5章定积分
教学过程教学思路、主要环节、主要内容我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。
设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。
因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。
显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。
为此我们产生了定积分的概念。
定积分的概念：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<x n-1<x n=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[x n-1,x n], 在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(x i-1≤ξi≤x i),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△x i并作出和，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
即：定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。
（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
高等数学(第五章)定积分
二、定积分的定义
定义 设 f ( x) 在[ a , b ]上有界
(1) 将[ a , b ] 任意分成 n 个小区间 [ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],, [ xi 1 , xi ] ,, [ xn 1 , xn ], x0 a , xn b . xi xi xi 1 (i 1, 2,, n), 为第 i 个小区间的长度 .
f ( )x . 在 x 与 x x 之间 . x 0 , x
定理 2 (变上限的积分求导定理) 设 f ( x) 在[ a , b ] 上连续 , x 则 f (t )dt f ( x) .
a
x a
f (t )dt
f (t)
b a
o a
c1
c2
b
f ( x) dx .
x
根据定积分的几何意义 我们可以计算一些简单的定积分 .
y
yx
例1
b a
1dx b a . ?
ab 1 2 2 x dx ? (b a) (b a ) . 2 2
o
a
b
x
例2
例3
b a
R 0
R x dx
2 2
0
i 1
n
并称极限值为 f ( x) 在[ a , b ]上的定积分.
记为
b a
f ( x)dx
上限
b a
f ( x)dx lim f (i )xi .
0
i 1
n
下限
a 叫积分下限 , b 叫积分上限 ,[ a , b ]叫积分区间. f ( x) 叫被积函数 , x 叫积分变量 . f ( x)dx叫被积表达式 .
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
定积分概念与性质(Concept
第五章 定积分Chapter 5 Definite Integrals5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ）一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ）设在()y f x =区间[],a b 上非负、连续，由x a =，x b =，0y =以及曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Let ()f x be continuous and nonnegative on the closed interval [],a b . Then the regionbounded by the graph of ()f x , the x -axis, the vertical lines x a =, and x b = is called the trapezoid with curved edge.黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum ）设()f x 是定义在闭区间[],a b 上的函数，∆是[],a b 的任意一个分割，011n n a x x x x b -=<<<<=，其中i x ∆是第i 个小区间的长度，i c 是第i 个小区间的任意一点，那么和()1niii f c x =∆∑，1i i i xc x -≤≤称为黎曼和。
Let ()f x be defined on the closed interval [],a b , and let ∆ be an arbitrary partitionof [],a b ,011n n a x x x x b -=<<<<=, where i x ∆ is the width of the i th subinterval. Ifi c is any point in the i th subinterval, then the sum()1niii f c x =∆∑，1i i i xc x -≤≤,Is called a Riemann sum for the partition ∆.二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ） 定义 定积分（Definite Integral ）设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=，把区间[],a b 分成n 个小区间：[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
高等数学第五章课后习题答案
班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级 姓名姓名 学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小： （1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。
（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。
第五章定积分、广义积分
0 (令x t)
0
2
(5) xf (sin x)dx
f (sin x)dx
2 f (sin x)dx
0
20
0
(令x t)
二、基本问题及解法
问题(一) 有关变上限积分的运算
如果f ( x)在[a, b]上连续,则变上限积分( x)
x
f (t)dt
a
是x的连续函数.可进行函数的各种运算,如,求极限、 求
(3) a ( x a)k k 1时发散
利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:
例1.下列广义积分发散的是 ( )
1 dx
( A)0
; x
2 dx
(B)
;
1 3 x1
dx
(C )1
; x
dx
(D)2 x (ln x)
利用上述结论不难判定 (C), (D)正确.
6.微积分的常用公式
dy 2xe y2 cos x2dx
例5.设f ( x)在[0, )上连续且满足
x2 (1 x )
f (t)dt x
0
求f (2)
解 : 方程两边对x求导,得 f [x2(1 x)][x2(1 x)] 1,
即 f ( x2 x3 ) (2x 3x2 ) 1.令 x 1,得 f (2) 1 5
(a, c为任意常数)
2 a kf (x)dx k a f (x)dx
3 a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
4
分部积分公式
udv uv
vdu
a
a
a
5 也有相应的换元法；
6
f (x)dx F (x) F () F (a)
高等数学第五章定积分的概念与性质
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx
0 n
2
0 x
1
2
dx lim i xi
0 i 1
n
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
例2. 用定积分表示下列极限:
1 i (1) lim 1 n n i 1 n
n
1p 2 p n p (2) lim n n p 1
1 1 i sin i lim sin lim n n n n n n i 1 i 1
n n
1 sin xdx . 0
i x i
三、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时， f ( x )dx 0 ；
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为 A f ( i )xi
i 1
n
怎样用数学的语言描述划分不断加细?
当分割无限加细, 即小区间的最大长度
max{ x1 , x2 , xn }趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
定积分的概念及性质PPT
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
首页
上页
下页
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
首页
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下页
注意：
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
首页
上页
下页
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
i ，(i n
1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
第五章定积分
第5章定积分积分（integral）思想的起源远远地先于微分，早在古希腊时期就已经萌芽. 我国魏晋时期刘徽的割圆术，也已孕育着近代积分学（integral calculus）的思想. 但是直到17 世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹在总结诸多前辈成果的基础上才建立起比较完整的积分学理论思想体系.如今它已成为诸多科学领域的理论基础.本章主要讨论定积分的基本概念、性质、变限函数、微积分基本定理、定积分的计算、广义积分等.5.1 定积分的基本概念和性质面积这个词对于我们最熟悉不过了，买房时需计算房屋的建筑面积，加工材料时需计算物体的表面积，测量河流的流量时需计算河床断面的面积，设计船体时需计算水线面的面积……，对于规则平面图形（如三角形，梯形，矩形等），我们用初等数学的方法就可以求其面积，而对于不规则的平面图形，例如将直角梯形ABCD（见图 5.1.1）的斜边AB 换为曲边（见图5.1.2），虽然只作了少许改动，但却给我们的计算带来很大的困难，用初等数学求面积的方法已不再奏效.。
实际上，因为任何平面图形的面积均可表示成若干个如图5.1.2 所示的四边形的面积的代数和，因此求这种含一条曲边的四边形的面积是计算一般平面图形面积的关键所在，为了便于今后的讨论，我们称这种含一条曲边的四边形为曲边梯形.。
5.1.1 曲边梯形的面积如图5.1.3 所示，由连续曲线所围成一曲边梯形AabB，如何计算它的面积呢？众所周知，矩形的面积等于底乘以高，而与曲边梯形最相近且最易计算面积的平面图形就是矩形，但由于曲边梯形在底边各点处的高在区间[,] ab 上是变动的，所以不能直接按矩形的面积公式计算曲边梯形的面积.进一步分析可以发现，虽然曲边梯形的高f(x) 在区间[a,b]上是连续变化的，但在很小的区间内它的变化很小，近似于不变，因此如果将区间[a,b]分成若干个小区间（见图 5.1.4），在每个小区间上用其中一点处的高近似代替相应小曲边梯形的高，即用“以直代曲”的方法，这样小曲边梯形的面积就可以用同底的小矩形的面积近似代替，然后将这些小矩形的面积求和（图5.1.4 中阴影部分的面积），那么就得到曲边梯形面积的一个近似值. 怎样才能将误仔细分析可以发现，造成误差的主要原因在于“以直代曲”，即将小曲边梯形的面积用同底的小矩形的面积近似代替. 要减小误差，就要尽量使小曲边梯形的曲边变化进一步更小，更接近于直边. 为此，将区间[,] ab分割成更多的小区间，将原曲边梯形分割成更多的小曲边梯形（见图5.1.5），此时小曲边梯形的曲边的变化显然比前者减少了许多. 用同样的方法又可得到曲边梯形面积的近似值（见图 5.1.5 中阴影部分的面积），误差明显地减少了许多..因此，只要将[a,b]无限地细分下去，使得所有小区间的长度都无限减小，趋于0，这时所有小矩形面积的和越来越接近曲边梯形面积的精确值，其极限如果存在即为所求曲边梯形AabB的面积.将上面求曲边梯形面积的思想、方法、归纳如下：（1）化整为零.如图5.1.6 所示，在区间[a,b] 内任意插入若干分点a=x0<x1<x2<⋅⋅⋅<x n-1<x n=b,把[a,b]分成n个小区间[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3],⋅⋅⋅, [x n-1,x n],它们的长度依次为∆x1= x1-x0, ∆x2= x2-x1,⋅⋅⋅,∆x n= x n-x n-1.经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.（2）积零为整.在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξ i,以[x i-1,x i]为底、f (ξ i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2,⋅⋅⋅,n) ,把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即A≈f (ξ 1)∆x1+ f (ξ 2)∆x2+⋅⋅⋅+ f (ξ n)∆x n∑=∆=niiix f1) (ξ.（3）取极限.求曲边梯形的面积的精确值:显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值,因此,要求曲边梯形面积A的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记λ=max{∆x1,∆x2,⋅⋅⋅,∆x n},于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.5.1.2 定积分的定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义5.1.1设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) 作和∑=∆=ni iixf S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰badx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dx x f A )(.在理解定积分的定义时，应注意以下几个方面：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)可积函数类；有限区间上的连续函数是可积的；有限区间上有有限个间断点的有界 函数是可积的5.1.3 定积分的几何意义 根据定积分的定义，定积分⎰badx x f )(表示如下几何意义。
高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质
第5章 定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。
但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。
现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。
怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。
简言之，就图5.3图5.1图5.2是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。
我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ： （1）分割 用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ，把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ，则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。
定积分定积分的概念与性质
F ' ( x) 0 .
2
高等数学Ⅰ作业
班级：
学号：
姓名：
第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、计算下列定积分 1.
2 0
2 x 2 dx ；
2.
1
1
x dx ； 5 4x
3.
xe
0
1
x
dx ；
4.
e
1
x ln xdx ；
5. 2 sin cos 3 d .
3
高等数学Ⅰ作业
班级：
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姓名：
第四节 反常积分 判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值 1.
1
1 dx ； x4
2.
ax 0
e
dx (a 0) ；
3.
1 dx ； x 2 x 2
2
4.
1 0
x 1 x2ຫໍສະໝຸດ dx ；5.1 dx . 0 (1 x ) 2
0
二、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，证明
b a
f ( x)dx f (a b x)dx .
a
b
三、 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， f ( x ) 0 ，证明： F ( x)
x a
f (t )dt
x b
1 dt 0 在 [ a, b] 内只有一个实根. f (t )
2.
a dx ； ( x a)(x 2a)
3.
4 0
tan 2d ；
4.
定积分定义-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
bx
解决环节：
1) 分割. 在区间 [a, b] 内插入若干个分点，
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a,b] 分成 n y
个小区间 [ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间 [ xi1, xi ]
上任取一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
(i 1, 2,, n)
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
o
y x2
i 1x
n
n
i1
f
(i )xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 n(n 6
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1) 6n n
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i
2xi
y
y x2
lim 1 (1 1)(2 1)
n 6 n n
1
lim
n
n i 1
sin
i
n
n
1
sin xdx.
0
i xi
[a ,
b]上的定积分,
定积分的概念和性质(Concept
第五章定积分Chapter 5 Definite Integrals5.1 定积分的概念和性质( Concept of Definite Integral and its Properties )一、定积分问题举例( Examples of Definite Integral )设在y = f x区间[a,b 1上非负、连续，由x = a , x=b , y =0以及曲线y二f x所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Let f x be continuous and nonnegative on the closed interval 〔a,bL Then the region bounded bythe graph of f x , the x -axis, the vertical lines x 二a, and x = b is called the trapezoid with curved edge.黎曼和的定义(Definition of Riemann Sum)设f x是定义在闭区间l.a,b 1上的函数，厶是l.a,b 1的任意一个分割，a=冷：：：X i ：：： | || :::人」：：：x n = b，其中Ax是第i个小区间的长度，G是第i个小区间的任意一点，那么和nZ f (Cj)A x，x iJL^c 兰洛i V称为黎曼和。
Let f x be defined on the closed interval !a,b l, and let : be an arbitrary partition of l.a,b I,a =怡：％III ex*」vx n =b, where A x is the width of the i th subinterval. If c i is any point in the i th sub in terval, the n the sumnJ f ( c H x i ，x i —x i ,i TIs called a Riema nn sum for the partiti on二、定积分的定义( Definition of Definite Integral )定义定积分(Definite Integral)设函数f x在区间！a,b丨上有界，在〔a,b丨中任意插入若干个分点a =怡：::为：：：川：:：人4 ::: X n =b，把区间'a,b 1 分成n个小区间：仪0必1, I.x1,x2 1JH, l-x n4,x n],各个小区间的长度依次为二咅=%-乂0，二屜=灭2-為，…，^X n^Xn-xn/。
定积分的性质
第五章第三讲、定积分的性质我们列举一些定积分的性质如下：性质 3.1. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积（记着 f (x)∈R[a,b]），k 为常数。
则有∫∫b bk f (x)d x =k f (x)d xa a证明：略性质3.2. 设函数 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上可积，则 f (x)±g(x) 也在区间[a,b] 上可积并且有∫∫∫b b b[ f (x) ±g(x)]d x = f (x) d x ±g(x) d x aa a证明：由定理2.2 可知 f (x)±g(x) 在区间[a,b]上可积，于是按照定积分的定义，我们有左端n=∑±lim [ ( ) ( )]f ξg ξ∆xi i iT →0i=1n n∑∑=+lim ( ) ( )f ξ∆xg ξ∆xi i i iT →0i=1 i=1n n=∑±∑lim ( ) lim ( )f ξ∆xg ξ∆xi i i iT →0 T →0i=1 i=1=右端证毕。
性质3.3. 设函数 f (x) ，区间[α,β]上可积，a,b,c∈[α,β]。
则有∫∫∫b c bf (x) d x = f (x) d x + f (x) d x aa c证明：不妨假设，a,b,c 两两不等（它们中至少有两个相等时，结果显然成立）。
若a <c<b，因 f (x) 在区间[a,b]上可积，所以在分割区间时, 可以永远取c 为分点，于是证毕。
性质3.4. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积.若 f (x)≥ 0 ，则∫baf (x) d x ≥0.证明：对于任意分割，所选择的积分和均非负，即n∑i=1f (ξ)∆x≥ 0i i于是nb=∑∆≥∫。
证毕。
f (x)d x lim f (ξ) x 0i ia T →0i=1推论 3.1. 设函数 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上可积。
14第五章定积分(定积分的定义与性质)
记 xk xk xk 1, k 1, 2,
, n, max 1k n
xk
再在每个小区间 [xk1, xk
积 f (k )xk 的和式：
]上任取一点
n
k
f (k )xk
，作乘
k 1
如果 0时,上述极限存在（即，这个极限值与 [a,b]的分割
及点i 的取法均无关），则称此极限值为函数 f (x) 在区间[a, b]
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
例1 下列各式不正确的是（D ）.
(A)
d
b f (x)dx d
b
f (x)dx 0
dx a
dt a
1
1
(B) f (sin x)dx f (sin t)dt
0
0
(C)
d
b
b
xf (t)dt f (x)dx
定积分 x f (t)dt 称为变上限定积分，它是 x的函数，记作(x) ，即 a
(x)
x
f (t)dt
(x [a,b]).
a
定理 1 若函数 f (x) 在区间 [a,b]上连续，则变上限定积分
(x) x f (t)dt 在区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数， a
即 (x) [ x f (t)dt] f (x) . (x) 是 函 数 f (x) 在[a,b] 的 一个 原函 a
上的定积分，记为 b
n
a
f (x)dx lim 0 k 1
f (k )xk .
积分上限
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[ 显然 f ( x ) g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 在 0,1] 上可积，但 f ( x ), g ( x ) 在[0,1] 上都不可积。
练习题
一、填空题： c 1、如果积分区间 a , b 被点 分成a , c 与c , b ，则 2、如 果 f ( x )在a , b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 a M 与 m ，则 f ( x )dx 有如下估计式：_________ 定积分的可加性为 f ( x )dx __________；
0 i 1
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
[ f i ( x )]dx f i ( x )dx i 1 a a i 1
b
n
n b
性质2 证
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
a kf ( x )dx lim kf ( i )xi 0 i 1
由积分中值定理
f ( x )dx 0
a b
f ( x )dx x
0
f ( ) 2 0
故
b
与题设矛盾
f ( x) 0
② 已知
b
f ( x ) 0 由比较定理
f ( x )dx 0 a
f ( x) 0
若 f ( x )dx 0
a
则由①得
b
而假设 f ( x ) 0 f ( x )dx 0
由非负性
b
x0
f ( x )dx
x0
f ( x )dx x f ( x )dx x
0 0
b
x0
f ( x )dx 0 a
,
f ( x )dx 0 x
0
b
f ( x )dx x f ( x )dx a
0
b
x0
x0
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
证
m f ( x) M ,
b
a mdx a f ( x )dx a Mdx,
b b b
m(b a ) a f ( x )dx M (b a ).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
n n n
b
b
k 为常数). (
lim k f ( i )xi k lim f ( i )xi
0
i 1
0 i 1
k a f ( x )dx.
b
性质1+性质2
得：
[f ( x ) g( x )]dx a
f ( x )dx g ( x )dx
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
a 1 dx a
b
b
b
dx b a .
性质5（非负性） 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0 . (a b)
a
证 f ( x ) 0, f ( i ) 0,
( i 1,2,, n)
思考题解答
[ 由 f ( x ) g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在 a , b ] 上可 积，不能断言 f ( x ), g ( x ) 在[a , b ] 上都可积。
1, x为有理数 例 f ( x) 0， x为无理数
0, x为有理数 g( x ) 1， x为无理数
x
求 lim
x x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
解 由积分中值定理知有 [ x , x 2],
3 3 使 x t sin f ( t )dt sin f ( )( x 2 x ), t 3 x2 3 lim x t sin f ( t )dt 2 lim sin f ( ) x t
xi 0,
n
f ( i )xi 0, i 1
b
n
max{x1 , x2 ,, xn }
lim f ( i )xi a f ( x )dx 0.
0 i 1
例 1 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小.
x
2
2
) 由比较定理
b
f ( x )dx g( x )dx a a
而 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
即
b
[ g( x ) f ( x )]dx 0 a
b
[ g ( x ) f ( x )]dx 0
_______________；
5、下列两积分的大小关系是： （1） x dx _____ x 3 dx
1 2 1
（2）1 ln xdx _______1 (ln x ) 2 dx
2
0 2
0
（3） e dx _______ ( x 1)dx
1 x 1 0 0
二、证明： kf ( x )dx k f ( x )dx （ k 是常数 ）.
sin x dx 的值. 例 2 估计积分 x 解 sin x x [ , ] f ( x) , 4 2 x
2 4
f ( x ) 在[ , ] 上单调下降, 4 2 2 2 故 x 为极大点，x 为极小点, M f ( 4 ) , 4 2
1 sin x 2 2 dx . 2 4 x 2
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
b b a a
三、估计下列积分 3 xarc cot xdx 的值 .
3
四、证明不等式：1
3 2
x 1dx 2 .
六、用定积分定义和性质求极限: 1 1 1 1、lim ( ... ) ; n n 1 n2 2n 2.、lim 4 sin n xdx . n 0 七、设 f ( x ) 及 g ( x )在 a , b 上连续，证明： b f ( x ) 0 , 且 f ( x )dx 0 ， 则 在 1、若 在 a , b 上 a a , b上 f ( x ) 0 ； 2、若在a , b 上， f ( x ) 0 ,且 f ( x ) 不恒等于 0 ，则
即
a f ( x )dx
b
y
f ( )
在区间[a , b] 上至少存在一 个点 ，使得以区间[a , b] 为
底边， 以曲线 y f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( )
o
a
b x 的一个矩形的面积。
例 3 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1，
必有一点 x0 [a, b]使f ( x0 ) 0 不妨设 a < x0 < b （端点处的情况类似）
由 f ( x ) 的连续性
, (a x0 x0 b) 使当 x U ( x0 , )时, 有 f ( x ) 0
f ( x )dx a a
证
m(b a ) a f ( x )dx M (b a )
b
1 b m a f ( x )dx M ba
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a , b] 上至少存在一个点 ，
使
1 b f ( ) a f ( x )dx, ba
f ( )(b a ) . (a b) 积分中值公式的几何解释：
b a
b
_______________________； b a 3、当 a b 时 ，我们规定 a f ( x )dx 与b f ( x )dx 的关 系是______________________； 4、积分中值公式
b
a
f ( x )dx f ( )(b a ) , (a b) 的几何意义是
定积分的性质
一、基本内容
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
a
由①得
f ( x ) g( x )
二、小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
思考题
定积分性质中指出，若 f ( x ), g ( x ) 在 a , b] [ [ 上都可积，则 f ( x ) g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在 a , b] 上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
令 f ( x ) e x x, 解
x [2, 0]
2
f ( x ) 0,
(e x x )dx 0, 2
0
2 e
0
x
dx xdx, 于是 2
0
0
e dx
x
2
0
xdx.
性质5的推论：（比较定理） （1） 如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x ) ，