(概率论与数理统计)
概率论与数理统计
概率论与数理统计概率论与数理统计是现代数学中非常重要的分支之一，它们在自然科学、社会科学，以及工程技术等领域都有广泛的应用。
在生物学，物理学，化学等领域，常常需要采用概率论和数理统计的方法，来研究和分析现象。
这篇文章将要探讨概率论和数理统计的一些基本概念和方法，并介绍它们在现实生活中的应用。
一、概率论概率论是一门研究随机现象及其规律的数学学科。
它的基本思想是通过建立数学模型，来描述随机事件的概率分布及其规律。
随机事件指某一次试验中可能发生或不发生的事情，例如掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等，这些事件的结果是随机的，因此需要采用概率论的方法来研究。
1.概率和概率分布概率是指某一事件发生的可能性，用一个数值来表示。
在概率论中，对于某一特定随机事件，概率的大小常常用P(A)来表示，其中A是这个事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，用数学语言可以表示为P(正面)=0.5，反面朝上的概率也是0.5，即P(反面)=0.5。
概率分布是指某个随机事件的各种结果的概率分布情况。
在一次试验中，随机事件可能会有多个结果，即样本空间。
概率分布用来描述每个结果的概率大小。
例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，正面和反面各占1/2的概率。
2.条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，某个随机事件会发生的概率。
条件概率的计算方法一般采用贝叶斯公式，例如给定事件A，以及事件B，P(A|B)表示在B发生的情况下，A 发生的概率，则条件概率可以表示为：P(A|B) = P(AB)/P(B)其中AB表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立事件是指某个随机事件的发生不会对另一个随机事件的发生产生影响。
如果事件A、B是独立事件，则可以表示为P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)，即A和B的概率相互独立，并不受对方的影响。
3.期望值和方差期望值是统计学中一个非常重要的概念，用来描述一个随机变量的总体平均数。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结,推荐文档
第1 章随机事件及其概率在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
1°Ω={1,2 n}，12°P(1) =P(2) = P(n) =n。
设任一事件A ，它是由1,2 m组成的，则有P(A)= {(1) (2) (m)}= P(1) +P(2) + +P(m)=m=A所包含的基本事件数n 基本事件总数第二章随机变量及其分布设随机变量X 的分布律为k-P( X =k ) = e ，> 0 ，k = 0,1,2 ，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ () 或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
e-x , x≥0,f (x) =0, x < 0 ,其中> 0 ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。
X 的分布函数为1 -e-x, x≥0,F (x) =0,x<0。
记住积分公式：+∞⎰x n e -x dx =n!正态分布设随机变量 X 的密度函数为 21-( x -) 2- ∞ < x < +∞f (x ) =e 2 ， ， 2其中、> 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为 X ~ N (,2) 。
f (x ) 具有如下性质：1° f (x ) 的图形是关于 x = 对称的；2° 当 x = 时， f ()= 1 为最大值；若 X ~ N (,2) ，则 X 2 的分布函数为1 x e- ( t - ) 2F (x ) =⎰- 2 2dt2∞参数= 0 、= 1时的正态分布称为标准正态分布，记为X ~ N (0,1) ，1 其-密x 2度函数记为 (x ) = e 22 ， - ∞ < x < +∞ ，分布函数为21x - t Φ(x ) = 2⎰ e 2dt 。
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
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二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
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(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
概率论与数理统计
一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，
概率论与数理统计(数理统计的基本概念)
000.1..11
N(0,1)
n=10 n=10 nn==33
n增大
000.0..00555
nnn===111
000
-5--55
-4--44
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
444
555
t 分布的密度曲线关于y轴对称 随着n的增大, t 分布的密度曲线越陡
n 时，t 分布趋于标准正态分布N (0,1)
13
例1 设( X1 , X 2 ,, X n )为 来 自 总 体N (, 2 )的 一 个 样 本
当, 2为未知参数时
(1)
f1( X1,
X 2 ,,
Xn)
1 n
n i 1
Xi
为一个统计量
(2)
f2 ( X1 ,
X 2 ,,
Xn)
1 n
n i 1
X
2 i
为一个统计量
(3)
f3 ( X1,
现在转入课程的第二部分
数理统计
数理统计的特点是应用面广，分支 较多, 社会的发展不断向统计提出新的问 题。
1
从历史的典籍中，人们不难发现许 多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的 记载，说明人们很早就开始了统计的工 作 . 但是当时的统计，只是对有关事实 的简单记录和整理，而没有在一定理论 的指导下，作出超越这些数据范围之外 的推断.
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简单随机样本:经简单随机抽样取得的个体的集合
一 般 用 ( X1 , X 2 ,, X n )表 示
样本点:样本中的个体 样本容量:样本中包含的个体的数量 样本观测值:对样本进行观测的结果,
一 般 用( x1 , x2 ,, xn )表 示
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计是研究事件发生的可能性，以及由此衍生的结果
的一门学科。
它可以帮助人们提高分析和预测能力。
可以帮助我们了
解自然界及其客观原理，以及把握当代社会经济实体及其活动。
一、概率概念：
1. 随机事件：指事件发生以来，在所有结果中，用概率值去衡量其发
生的可能性，及其各个单一结果的概率分布情况；
2. 概率：是用来衡量某一随机事件发生的可能性的数值，可以给出这
个事件发生的可能性大小；
3. 概率分布：是某一随机变量及其可能取值之间发生关系的一种描述；
二、数理统计概念：
1、统计：是指对数据进行定量描述，尝试从数据中获得解释性的统计
特征；
2、变量：是指以数值形式表示的某类事物，是研究目标内容分析的一
种实际基础；
3、统计分布：是给定一组数据，通过统计手段，计算出变量的概率分
布情况，及其可能的变化规律；
4、极限定理：是一种概率论的定理，旨在探讨一个系统在重复抽样下，抽样结果的收敛情况；
5、数据描述：是指对数据的描述，可以让人简单明了地理解数据，及
其特征和趋势；
6、统计推断：是指根据统计样本信息，以概率结果作为有效依据，做
出关于总体参数情况的推断；
7、回归分析：是指建立一条回归函数模型，以描述解释变量对被解释
变量的影响；
8、判别分析：是指构建一个准确的模型，能够根据输入的观测值来准
确地判断属于哪一类人或物；
9、聚类分析：是指将一组数据进行分类，从而揭示内部数据间的关系，辅助决策；
10、卡方检验：是指判断某一种统计判断是否证实对某一总体分布结
果的检验，从而决定是否接受或拒绝假设。
《概率论与数理统计》知识点整理
《概率论与数理统计》知识点整理概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象发生的规律以及对这些规律的推断和决策问题。
在现代科学、金融、医学、工程等领域中都有广泛的应用。
下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点：一、概率论：1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。
2.条件概率与概率的乘法定理：条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。
3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式的推导与应用等。
4.随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。
5.两随机变量函数的概率分布：随机变量的函数、数学期望的定义与性质、方差的定义与性质等。
6.多维随机变量及其分布：二维随机变量的概率分布、联合分布函数与边缘分布、条件分布等。
二、数理统计：1.统计数据的描述：数据的集中趋势度量（均值、中位数、众数）、数据的离散程度度量（极差、方差、标准差）、数据的分布形态度量（偏度、峰度）等。
2.参数估计：点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最小二乘估计法等。
3.假设检验：假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验的步骤、单侧检验与双侧检验等。
4.统计分布：正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。
5.方差分析与回归分析：方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。
三、随机过程：1.随机过程的基本概念与性质：随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。
2.马尔可夫链：马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分布与极限等。
3.随机过程的描述：概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、协方差函数等。
4.随机过程的分类：齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。
概率论与数理统计主要内容
概率论与数理统计主要内容概率论与数理统计是数学的两个重要分支，它们研究的是随机事件和数据的规律性。
概率论研究的是随机事件发生的可能性，数理统计研究的是根据已有数据对总体特征进行推断。
概率论是研究随机事件发生的可能性的数学分支。
在日常生活中，我们经常会遇到各种概率性事件，比如天气预报、彩票中奖、交通事故发生等。
概率论通过建立数学模型，描述了随机事件发生的规律性。
在概率论中，我们可以通过概率的定义和性质，计算事件发生的可能性。
通过概率的计算，我们可以更好地理解和预测各种概率性事件。
数理统计是研究根据已有数据对总体特征进行推断的数学分支。
在日常生活中，我们经常会遇到需要根据样本数据来推断总体特征的问题，比如调查民意、产品质量抽检等。
数理统计通过收集样本数据，利用统计学原理和方法，对总体特征进行推断。
在数理统计中，我们可以通过样本的统计量，比如均值、方差等，推断总体的特征，并给出相应的可信区间和置信水平。
概率论和数理统计是密切相关的，它们共同构成了统计学的理论基础。
概率论提供了数理统计的基本概念和方法，为数理统计的推断和判断提供了数学工具。
数理统计则是概率论在实际问题中的应用，通过利用样本数据进行推断和判断，揭示了总体特征的规律性。
在概率论中，我们研究的是随机事件的概率分布和性质。
概率分布是用来描述随机事件发生可能性的函数，常见的概率分布有均匀分布、正态分布、泊松分布等。
概率论中的重要概念包括条件概率、独立性、期望、方差等，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在数理统计中，我们研究的是样本数据的统计特征和总体特征之间的关系。
数理统计的核心问题是参数估计和假设检验。
参数估计是根据样本数据估计总体参数的值，常用的估计方法有最大似然估计、最小二乘估计等。
假设检验是对总体参数的某种假设进行推断和判断，常见的假设检验方法有t检验、F检验等。
概率论与数理统计在各个领域都有着广泛的应用。
在自然科学领域，概率论和数理统计被广泛应用于物理、化学、生物等学科中。
概率论与数理统计课件(完整)
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有
概率论和数理统计的关系
概率论和数理统计的关系概率论和数理统计是数学的两个重要分支，它们之间存在密切的关系。
概率论是研究随机事件发生的规律性的数学理论，而数理统计则是通过概率论的方法，对收集到的数据进行分析和推断的工具。
概率论为数理统计提供了基础理论和方法，而数理统计则是概率论在实际问题中的应用。
概率论是数理统计的基础。
概率论研究的是随机事件的发生概率以及事件之间的关系，为数理统计提供了严密的数学基础。
在数理统计中，我们通常需要对一组数据进行分析和推断，而这些数据往往受到各种随机因素的影响，因此需要用概率论的方法来描述和处理。
例如，在研究一种新药物的疗效时，我们需要收集患者的数据并进行统计分析，而这些数据往往受到患者个体差异、药物剂量等随机因素的影响，因此需要运用概率论的知识对数据进行建模和分析。
数理统计是概率论的应用。
概率论研究的是随机事件的规律性，而数理统计则是通过概率论的方法对实际问题进行统计分析和推断。
数理统计可以通过收集一组样本数据来推断总体的特征和规律。
例如，在市场调研中，我们通常只能对一部分人进行调查，通过对这部分人的数据进行分析和推断，从而得出对整个市场的结论。
这种推断是基于概率论的方法，通过对样本数据的统计分析，来推断总体的特征和规律。
概率论和数理统计的关系可以用一个简单的例子来说明。
假设我们有一个罐子，里面装有黑色和白色两种颜色的球，我们想知道黑色球和白色球的比例。
我们可以通过从罐子中随机抽取一些球，然后统计黑色球和白色球的数量，进而推断总体比例。
在这个例子中，概率论研究的是在给定条件下随机事件的发生概率，而数理统计则是通过对样本数据的统计分析，推断总体的特征和规律。
在实际应用中，概率论和数理统计经常是相辅相成的。
概率论提供了概率分布、随机变量、期望和方差等概念和工具，为数理统计的推断和分析提供了理论基础。
而数理统计则通过采样、估计和假设检验等方法，将概率论的理论转化为实际问题的解决方案。
概率论和数理统计的结合使得我们能够从收集到的数据中获取更多的信息，并做出合理的推断和决策。
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1 , A 2 ,, An 是两两互不相容的事件 , 则 P( A1 A 2 An)
P( A1) P( A 2) P( A n). (有限可加性)
性质3. 若A B, 则有 P(B A) P(B) P( A);
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“
恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算 1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.
E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
A
s
B
(4)A B
10
5.事件的互不相容(互斥): 若A B , 则称A与B是互不相容的 , 或互斥的,即
A与B不能同时发生 .
B
A
AB
11
6. 对立事件(逆事件)：
为对立事件. 即 : 在一次实验中 , 事件A与B中必然有一 个发生, 且仅有一个发生 .
若A B S且A B ，则称A与B互为逆事件，也称
概率论与数理统计超全公式总结
~
χ 2 (n −1)
X − µ ~ t(n −1) s/ n
两个正态总体的方差之比
S12
σ
2 1
/ S22
/
σ
2 2
~F (n1 −1,n2 −1)第六章 点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计
n
Π Π n
L = f (xi ;θ )
i =1
L = p(xi ;θ )
i =1
似然函数
均值的区间估计——大样本结果
⎛ ⎜
x
±
zα
/2
⎝
σ⎞ ⎟
n⎠
x — 样本均值 σ — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
( ) ⎛
⎜ ⎜
S 2 — 样本方差
χ2 α /2
— 卡方分布的分位点
Z=
p − p0
p0 — —总体比例
p0 (1− p0 ) / n p — —样本比例
单正态总体均值的 t 检验
t = X − µ0 S/ n
单正态总体方差的卡方检验
χ 2 = (n −1)S 2
σ
2 0
拒绝域
双边检验
χ2
≥
χα2 / 2或χ 2
k
∑∑ E(X)= xipij
ij
E( X ) = ∫ ∫ xf (x, y)dxdy
不相关不一定独立 第四章
正态分布 X ~ N (µ,σ 2 )
∑∑ E(XY) = xi yj pij
ij
概率论与数理统计(完整版)
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4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表 示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E21,.E无2等穷.样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
可列个事件A1 , A2 ,的和事件记为 Ak .
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与
B的积，即事件A与A B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
实用文档S
9
4.差事件:
交换律: A B B A；A B B A.
结合律: A (B C) (A B) C ; A (B C) (A B) C.
分配律: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C).
对偶律: A B A B;
概率论与数理统计
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第一章 概率论的基本概
念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
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2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
概率论与数理统计定义
概率论与数理统计定义概率论与数理统计是数学的两个重要分支，它们研究的是随机现象的规律性和统计数据的处理与分析。
概率论研究的是随机现象发生的可能性，数理统计则研究的是根据已有数据对总体特征进行推断和决策的方法。
概率论是研究随机现象的规律性及其数学描述的学科。
随机现象是指在一定条件下，无法准确预测其结果的现象，比如掷骰子、抛硬币等。
概率论通过引入概率的概念，对这些随机现象进行定量的描述和分析。
概率的基本性质包括非负性、规范性和可列可加性。
概率的计算可以通过频率法、古典概型和几何概型等方法来进行。
概率论不仅仅在数学中有着广泛的应用，也在其他学科和实际问题中发挥着重要作用。
数理统计则是研究数据的收集、整理、分析和推断的学科。
在实际问题中，我们往往无法获得全部的数据，而只能通过采样来获取一部分数据。
数理统计通过对这些样本数据的分析，推断总体的特征和参数，并对推断结果进行评估和决策。
数理统计的基本概念包括总体、样本、参数和统计量等。
统计推断可以分为点估计和区间估计两种方法，点估计是通过样本数据推断总体参数的一个数值，区间估计是通过样本数据推断总体参数的一个范围。
统计检验则是通过样本数据对总体的某种假设进行推断和判断。
概率论和数理统计在现代科学和社会生活中都有着广泛的应用。
在自然科学中，概率论和数理统计被应用于物理学、化学、生物学等领域，可以帮助科学家从实验数据中发现规律、验证理论和做出预测。
在工程技术中，概率论和数理统计被应用于可靠性分析、风险评估、质量控制等问题，可以帮助工程师进行设计和决策。
在社会科学中，概率论和数理统计被应用于经济学、社会学、心理学等领域，可以帮助研究者分析数据、验证假设和做出预测。
概率论和数理统计是数学中两个重要的分支，它们研究的是随机现象的规律性和统计数据的处理与分析。
概率论通过引入概率的概念，对随机现象进行定量的描述和分析；数理统计通过对样本数据的分析，推断总体特征和参数，并对推断结果进行评估和决策。
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2020年里东京奥运会奖牌榜预测摘要如今，奥运会已成了一个普天同庆的节日，越来越多的国家参与其中，它不但是各个国家的盛典，而且代表了一个国家的综合国力。
2020年的东京奥运会即将来临，而大家对奥运奖牌榜也充满了好奇。
本文将对2020年的奥运会奖牌榜的前十名进行一个预测。
本文硏究奖牌榜所采用的模型是灰色预测模型。
关键字：灰色预测；最小二乘法；东道主效应；多元非线性回归；MATLAB一、问题重述第32届夏季奥林匹克运动会，又称2020年东京奥运会，将于2020年07月24日在日本东京举行，奥运会奖牌榜成了大家关心的热点问题。
请查阅资料，并根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、人口数量、GDP、东道主、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2020年东京奥运会的奖牌榜前10名。
二、问题分析针对问题一：本文就2020年东京运会奖牌榜这一问题进行分析，采用灰色模型GM（1，1）来对2020东京奥运会奖牌榜进行预测，首先制定一个评判标准来将所获奖牌折合成积分数值，从而实现从模拟到数字的量化过程。
再用灰色预测的方法对该问题进行探讨与分析。
紧接着，用MATLAB编程求出结果。
然后使用经济分析的方法，对收入（GDP）和人口体质建立数学模型。
综合考虑东道主效应、政府政策等各种可能影响到奖牌榜的因素，从而使得结果更接近实际情况。
最终得到里约奥运会前十名依次为美国、中国、俄罗斯、英国、德德国、澳大利利亚、法国、韩国、意大利、日本。
针对问题二：我们将各国体育水平分为四类，分别为：一个一等国家，两个二等国家，三个三等国家，四个四等国家。
三、模型假设1、假设各国体育实力没有较大的变化。
2、假设苏联解体前参加的奥运会记录记为俄罗斯记录。
3、假设奥运会如期举行，不会被天气、战乱等因素影响各国所得奖牌情況。
4、假设奥运会各项比赛规则及设置不变。
5、假设各国奥运会得奖牌情况与前几届得奖牌情况有关。
6、假设参赛人员都发挥正常。
7、奖牌榜排名的主要影响因素为GDP、人口、制度、东道主、其他因素的影响微乎其微。
8、假设所查询收集的数据均为真实可靠的，并且各个国家近几年的人均GDP和人口总数不变。
四、符号说明五、模型的建立与求解5.1模型一的建立与求解5.1.1初步确定影响因素对于东京奥运会的影响因素，首先要知道前几届奥运会中具有争夺性的有实力的国家，由于部分国家受多种原因限制参加夏季奥运会以及大国之间的抵制，因此，受社会经济方面的影响因素也较小，使得各国运动成绩缺乏可比性，所以最终选取2000-2016年五届奥运会前15名的国家，这五届的奖牌数以及各国的人口体质与经济状况如下：2000年（澳大利亚）2004年（悉尼）2008年（中国）2012年（英国）2016年（里约）根据上面数据显示，以及我们查找到的有关奥运会奖牌榜预测的分析报告分析得出，对于各个国家获得奥运会奖数量的影响因素主要由以下几个方面：（1）人口数量，如果各个国家各种人才的概率分布是相同的。
那么在其他条件相同的情况下，人口数量较多的国家将有绝对数量更多的优秀运动员，大大高一个国家在奥运会上获得更多奖牌的概率。
（2）经济实力。
任何一项奥林匹克运动需要投入巨大的人力、物力和财力。
良好的经济物质基础可以为运动员提供好的生活条件、训练条件和物质奖励，使得运动员能获更多，更好的训练机会，有动力去争取更多的荣誉。
（3）国家体育实力。
一个国家的体育实力直接反映在其在奥林匹克运动会上获得的奖牌数。
（4）东道主效应。
美国心理学家，将东道主效应定义为：在主客场比赛场次对等情况下，主队在竞赛中获胜的比例超过50％。
他总结了棒球、足球、篮球等一些运动项目的主场胜率，发现主场明显高于客场。
（5）国家政策。
对体育的重视程度高，奖励政策丰厚的国家具有更高的号召力相应地对全国资源也具有更高的整合能力。
5．1．2多元线性回归模型确定影响因素根据历年数据比较分析，我们选取了历年奖榜靠前的15个主要国家和地区。
从世界银行数据获取其在奥运会举办年的GDP、人口总数和国家制度。
同时查询到历届奥运会的东道主。
X1表示国家GDP（亿元），X2表示人口总数（万），X3表示国家制度（用0表示資本主义国家，用1表示社会主义国家），X4表示是否为东道主（用0表示核国不是东道主，用1表示是东道主），得到15个国家各项因素统计表。
获奖总数受国家GDP、人口总数、国家制度、是否为东道主主要因素的影响，获奖总数为y，其数据见附录4，据此，我们画出四个因素与奖牌总数的点图如下：图5-1-2:四个因素与奖牌总数的散点图由散点图可以看出各个因素与奖牌总数大致呈现出线性关系，建立多元线性回归模型：εβββββ+++++=443322110****x x x x y其中是5个未知回归系数。
ε是随机误差，ε服从正态分布），（20σN 即假设其期望。
，方差）（2)(0σεε==D E 为了估计的值以及243210,,,,σβββββ，我们以国家或地区为单 位，得到。
和15.....,3,2,1,,,,4321=i x x x x y i i i i i 且满足 i i i i i i x x x x y εβββββ+++++=443322110****其中i ＝1，2，3，…15为第1次试验时的机误差，且相互独立同服从与。
为 了便于计算，我们用矩阵表示：），（20σN⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=)15(4)15(3)15(2)15(14232221215........2,,,,1.,...,...,..,,,,1,X X X X X X X X X y y Y ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=151432143210.....εεεεεεββββββ，于是，方程（2）又可以表示为εβ+=*X Y即可用最小二乘法即可求出最适宜的β。
在MATLAB 中可以用regress 函数实现。
全部程序1结果如下：从结果可以看出，可决定系数7.02=R 说明回归方程的拟合程度好，同时可以看X4， 即是否为东道主对于奥运会奖牌分数的影响远超另外三个因素，所以我们忽略其他因 素，假设对奥运会奖牌榜名造成波动的因素只有是否为东道主。
下面我们就这一假设， 建立新的GM （1，1）灰度预测模型，来预测2020年的奖牌榜排名。
5．2．GM （1，1）模型二的建立与求解灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成 数，建立起的微分方程形式的模型，这样使于对其变化过程进行研究和描述。
由5－1－2我们如道东道主效应会对排名造成较大的波动，所以这里先考虑剔除由于 东道主效应而“多余”的奖牌。
在灰色预测模型中，随机性被弱化，确定性增强，在深层次的求解中生成函数，据此建立一阶微分方程为其预测模型。
假设有原始数据列：))(),....,2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =，n 为数据个数。
在此我们依据)0(x数据建立GM(1，1)实现预测功能，具体步骤如下：（1）记)1(x 为生成数列：))(),.....,2(),1(()1()1()1()1(n x x x x=；其中，)(1t x ）（中个数据表示对前几项数据的累加。
)()1)0(1k x t x tk ∑==（）（ n ,...,3,2,1=t （1-1）（2）对)()1(t x 建立)()1(t x 的一阶线性微分方程：b ax dtdx =+)1()1( （1-2） 其中，a,b 为待定系数，分别为发展系数和灰色作用量，a 的区间为（-2,2），记a,b 组成的矩阵，求出参数a,b ，就能求出)(1t x ）（，进而求出)0(x 的预测值。
（3）对累加生成数据做均值生成B 与常数项向量n y ，即B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++))(x )1(x (5.0))3(x )2(x (5.0))2(x )1(x (5.0)1()1()1()1()1()1(n n ,T n n x x x Y ))(),.....3(),2(()0()0()0(= （1-3）（4）用最小二乘法，通过最小误差的平方和寻找数据函数的最佳匹配求解灰参数∧a ,n T T Y B B B a ∑-∧=1)( （1-4）（5）将灰色参数∧a 带入b ax dt=+)1()1(dx 进行求解，得： abe a b x t at +-=+-∧)()1(x )0()1( （1-5）其中)1(x )1(+∧t 是一个近似表达式。
（6）对函数表达式)1(x )0(+∧t 及)()1(t x ∧进行离散，并将两者做差还原)0(x 原序列，得到近似数据序列)(x )1(x )1(x )1()1()0(t t t ∧∧∧-+=+ （1-6）（7）利用模型进行预测：)](),....1(),(),....2(),1([)0()0()0()0()0()0(m n x n x n x x x x ++=∧∧∧∧∧∧5．2．1东道主效应的测算通过计算奥运会东道主当届获得的奖脚数增幅情况的平均值，即得到奥运会奖牌数 的东道主效应，设D 为奖牌数的东道主效应，S0为东道主当届获得的奖牌数占当届总奖 牌数的百分比，S1为东道主其他届次获得奖牌数占总奖牌数百分比平均值，n 为该国 获得奥运会奖牌总届数，N 为当届奖牌总数。
则：%100*)(n1i 10nS SD ∑=-=然后去除东道主效应应得到的“多余”奖牌数，得到在假设没有东道主效应下“实际”获得的奖牌数为x ：S N x =*实5.3数据处理及预测对于较为复杂的数学计算，我们采用MATLAB 程序的算法来求得结果。
首先我们査找一些可靠的数据。
由于选择年限太久则变化太大，我们并不能从中更为精确地计算出奖牌榜预测情况，所以在进行对东京奥运会的奖牌榜预测时，我们选择近六届奥运奖牌榜获奖成绩前十五的国家获奖积分成绩排名作为参考依据。
具体数据下表1所示，从表中我们可以清楚地得知各国所获得的奖牌情況。
表1 在近6届奥运会中奖牌榜积分前十六位国家加权积分情况对表1数据进行分析可知，以频率分布为筛选条件选出在近六届奥运会中奖牌榜出现次数最多的十五个国家进行分析。
我们通过对近五届美国、中国、俄罗斯、英国、德国、澳大利亚、法国、韩国、意大利、日本、古巴、匈牙利、西班牙、罗马尼亚、乌克兰、荷兰十六个国家奖牌榜排名情况进行分析便可预测他们在2020年东京奥运会的奖牌榜排位情况，在无重大影响因素的条件下即可预测出前十名的国家排名。
在此次数据处理中，我们采用MATLAB进行程序的编写，依据十五个国家近五届奥运会中奖牌榜积分情况来对2020年东京奥运会奖牌榜进行一个预测。