2017-2018学年广东省广州市海珠区高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年广东省广州市海珠区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若M={x|x2﹣px+6=0}，N={x|x2+6x﹣q=0}，若M∩N={2}，则p+q=（）A．21 B．8 C．6 D．72．（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=x+1 B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=|x|，g（x）=D．3．（5分）下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=x3 D．y=|x|4．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lg|x|D．5．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．128．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）直线kx﹣y﹣k=0（k∈R）和圆x2+y2=2交点的个数为（）A．2个 B．1个 C．0个 D．不确定10．（5分）圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x+2）2+（y﹣5）2=36的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切11．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β12．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算=．14．（5分）经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角是．15．（5分）若函数f（x）=a x﹣1（a＞1）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，则a=．16．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）三角形的三个顶点为A（﹣2，4），B（﹣3，﹣1），C（1，3）．（1）求BC边上高所在直线的方程；（2）求△ABC的面积S．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；（Ⅱ）BC1⊥AB1．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞1）．（1）根据定义证明：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）根据定义证明：函数f（x）是奇函数．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=AC=BC=2，AB=2，SC=1．（1）画出二面角S﹣AB﹣C的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥S﹣ABC的体积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+mx+m﹣1（a≠0）．（1）若f（﹣1）=0，判断函数f（x）的零点个数；（2）若对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），求证：方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在区间（x1，x2）上有实数根．2017-2018学年广东省广州市海珠区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若M={x|x2﹣px+6=0}，N={x|x2+6x﹣q=0}，若M∩N={2}，则p+q=（）A．21 B．8 C．6 D．7【分析】根据交集的定义，得到方程根的关系，进行求解即可．【解答】解：∵M∩N={2}，∴2∈M，2∈N，即4﹣2p+6=0且4+12﹣q=0，得p=5，q=16，则p+q=5+16=21，故选：A．【点评】本题主要考查集合交集的应用，根据元素转化为一元二次方程的根是解决本题的关键．2．（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=x+1 B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=|x|，g（x）=D．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：A．函数f（x）==x+1，x≠1，则定义域为{x|x≠1}，所以两个函数的定义域不同，所以A不是相同函数B．f（x）=（）2=x，x≥0，g（x）==|x|，所以两个函数的定义域和对应法则不同，所以B不是相同函数C．g（x）==|x|，两个函数的定义域和对应法则，所以C表示的是相同函数．D．由即x≥1，由x2﹣1≥0得x≥1或x≤﹣1，则两个函数的定义域不同，不是相同函数．故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一个函数．判断的标准是看两个函数的定义域和对应法则是否相同．3．（5分）下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=x3 D．y=|x|【分析】运用常见函数的奇偶性和值域，即可得到符合题意的函数．【解答】解：y=x2+1为偶函数，值域为[1，+∞）；y=lgx为对数函数，不为偶函数，且值域为R；y=x3为奇函数，值域为R；y=|x|为偶函数，值域为[0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性和值域的求法，掌握常见函数的奇偶性和值域是解题的关键，属于基础题．4．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lg|x|D．【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数及函数对折变换法则，我们逐一分析四个答案中的四个函数的性质，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案．【解答】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；函数y=3x为非奇非偶函数，不满足条件；函数y=lg|x|为偶函数，不满足条件；只有函数既是奇函数，又是增函数，满足条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键．5．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小．【解答】解：函数y=0.6x为减函数；故a=0.60.6＞b=0.61.5，函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a=0.60.6＜c=1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档．6．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【分析】判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．【解答】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．【点评】本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．8．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=a x（0＜a＜1）；当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣a x（0＜a＜1），则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：，故选：D．【点评】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．9．（5分）直线kx﹣y﹣k=0（k∈R）和圆x2+y2=2交点的个数为（）A．2个 B．1个 C．0个 D．不确定【分析】首先求出直线所经过的定点，进一步判断定点和圆的位置关系，进一步求出直线和圆的位置关系．【解答】解：直线kx﹣y﹣k=0（k∈R）转化为：y=k（x﹣1），则：直线经过定点（1，0），由于定点（1，0）在圆x2+y2=2的内部．故经过定点的直线与圆有两个交点．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：经过定点的直线系的应用，点和圆的位置关系的应用．10．（5分）圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x+2）2+（y﹣5）2=36的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【分析】求出两圆圆心距离以及半径，根据圆心距和半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心坐标分别为C1：（1，1），C2：（﹣2，5），两圆半径分别为R=6，r=1，圆心距离|C1C2|===5，则|C1C2|=R﹣r，即两圆相内切，故选：D．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出圆心距，判断圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．11．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【分析】在A中，l∥β或l⊂β；在B中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在C 中，l∥β或l⊂β；在D中，l与β相交\平行或l⊂β．【解答】解：由设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；在B中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交\平行或l⊂β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π【分析】由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选：C．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算=2．【分析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：=．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．14．（5分）经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角是45°．【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角．【解答】解：∵P（1，3），Q（3，5），∴，设经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角为α，（0°≤α＜180°），则tanα=1，∴α=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查直线倾斜角的求法，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．15．（5分）若函数f（x）=a x﹣1（a＞1）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，则a=．【分析】由题意可得关于a的一元二次方程，求解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1（a＞1）在区间[2，3]上为增函数，∴，f（x）min=a．由题意可得：，解得a=（a＞1）．故答案为：．【点评】本题考查指数函数的单调性，考查一元二次方程的解法，是基础题．16．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为12π．【分析】先求出该正方体的棱长a==2，再求出球半径R==，由此能求出该球面的表面积．【解答】解：∵体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，∴该正方体的棱长a==2，∴球半径R==，∴该球面的表面积S=4=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）三角形的三个顶点为A（﹣2，4），B（﹣3，﹣1），C（1，3）．（1）求BC边上高所在直线的方程；（2）求△ABC的面积S．【分析】（1）利用斜率直线计算公式可得k BC，可得BC边上高所在直线的斜率k=﹣，利用点斜式可得可得BC边上高所在直线的方程．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，利用点斜式可得直线BC的方程．利用点到直线的距离公式可得点A到直线BC的距离d，可得△ABC的面积S=|BC|•d．【解答】解：（1）k BC==1，∴BC边上高所在直线的斜率k=﹣1，可得BC边上高所在直线的方程：y﹣4=﹣（x+2），即为：x+y﹣2=0．（2）|BC|==4，直线BC的方程为：y﹣3=x﹣1，化为：x﹣y+2=0．点A到直线BC的距离d==2．∴△ABC的面积S=|BC|•d==8．【点评】本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；（Ⅱ）BC1⊥AB1．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C．（2）推导出BC1⊥B1C，AC⊥CC1，AC⊥BC，从而AC⊥平面BCC1B1，进而AC⊥BC1，由此能证明BC1⊥AB1．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1∩B1C=E，∴E是B1C的中点，∵AB1的中点为D，∴DE∥AC，∵AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，∴DE∥平面AA1C1C．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1，∴BC1⊥B1C，AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，∵AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞1）．（1）根据定义证明：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）根据定义证明：函数f（x）是奇函数．【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；（2）根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．【解答】证明：（1）f（x）=1﹣，令m＜n，则f（m）﹣f（n）=1﹣﹣1+=，∵a＞1，m＜n，则a m＜a n，（a n+1）（a m+1）＞0，故＜0，故f（m）﹣f（n）＜0，故f（x）在R递增；（2）由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=AC=BC=2，AB=2，SC=1．（1）画出二面角S﹣AB﹣C的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥S﹣ABC的体积．【分析】（1）取AB中点O，连结SO，CO，推导出SO⊥AB，CO⊥AB，从而∠SOC 是二面角S﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角S﹣AB﹣C的大小．（2）过S作SE⊥平面ABC，交CO于E，求出OE=，SE==，=，由此能求出三棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：（1）取AB中点O，连结SO，CO，∵SA=SB=AC=BC=2，SC=1．∴SO⊥AB，CO⊥AB，∴∠SOC是二面角S﹣AB﹣C的平面角，∵SO=CO==，∴cos∠SOC===，∴二面角S﹣AB﹣C的大小为：∠SOC=arccos．（2）过S作SE⊥平面ABC，交CO于E，OE===，SE===，=，∴三棱锥S﹣ABC的体积：V S﹣ABC===．【点评】本题考查二面角的大小的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【分析】（1）利用已知条件求出圆的一般式方程．（2）首先求出弦AB的值，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解（1）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．则：1+E+F=0，令y=0，则：圆的方程转化为：x2+Dx+F=0，则：，解得：D=﹣6．利用：，解得：F=1．故：E=﹣2．所以圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0．（2）圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，转化为标准式为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．由于圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，取AB中点M，连接OM，可得|OM|=|AB|，由CM⊥AB，可得CM：y﹣1=﹣（x﹣3），即y=﹣x+4，解得M（2﹣，2+），则|AB|=2，即有=，解得a=0或﹣．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，直线和圆的位置关系的应用．点到直线的距离公式的应用．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+mx+m﹣1（a≠0）．（1）若f（﹣1）=0，判断函数f（x）的零点个数；（2）若对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），求证：方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在区间（x1，x2）上有实数根．【分析】（1）由f（﹣1）=0可求得a=1，利用因式分解，讨论m=2与m不为2，分析判断即可；（2）由题意可得可得△1＞0恒成立，即m2﹣4am+4a＞0对任意实数m恒成立，可得△2＜0，即16a2﹣16a＜0，解不等式即可得到所求范围；（3）令F（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，可证得F（x1）F（x2）＜0，由零点存在定理可知方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在区间（x1，x2）上有实数根．【解答】（1）解：∵函数f（x）=ax2+mx+m﹣1（a≠0），且f（﹣1）=0，∴a﹣m+m﹣1=0，则a=1，f（x）=x2+mx+m﹣1=（x+1）（x﹣1+m），∴当m=2时，此函数f（x）有一个零点﹣1；当m≠2时，函数f（x）有两个零点﹣1，1﹣m；（2）解：对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，可得△1＞0恒成立，即m2﹣4a（m﹣1）＞0，即为m2﹣4am+4a＞0对任意实数m恒成立，可得△2＜0，即16a2﹣16a＜0，解得0＜a＜1；（3）证明：令F（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则F（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，F（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴F（x1）F（x2）=﹣[f（x2）﹣f（x1）]2＜0，所以F（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，则方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在区间（x1，x2）上有实数根．【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数零点的判定定理，考查化归思想与构造函数的思想的综合应用，属于难题．。