上海市罗泾中学八年级数学上册 17.4 一元二次方程的应

17.4 一元二次方程的应用（第一课时） 教学目标：

1、理解二次三项式的意义。

2、知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系,利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。

3、领会认识问题和解决问题的一般规律：由一般到特殊，再由特殊到一般。

教学重点：

会用求根法将二次三项式因式分解。

教学难点：

理解一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。

教学过程

复习引入

1．把下列各式因式分解

（1）652+-x x （2）2092++x x

2. 解下列方程

（1）0652=+-x x （2）02092=++x x

上面两个方程，突出是通过因式分解法来求出他们根的.

3.把下列各式分解因式

（1）382+-x x （2）3222--x x

想一想，如何分解？

解（1）：方程0382=+-x x 的根是 13

4213

28212

648

±=±=-±=x

即: 1341+=x , 1342-=x

∴ )134)(134()]134()][134([382

+---=--+-=+-x x x x x x

讲解：它的正确性可以通过乘法得到验证.

解（2）：让学生练习，然后加以分析。

学习新课

二次三项式c bx ax ++2的因式分解

探究：

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根:

1x =a ac b b 242-+-、2x =a ac

b b 242---，

上面等式，从右到左就是把ax 2+bx+c 分解因式.

因此,把二次三项式ax 2+bx +c(a ≠0)分解因式时,

① 如果b 2-4ac ≥0,那么先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根1x 、2x ，再写出分解式

② 如果b 2-4ac<0，那么方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式.

注意：引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此领悟认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊.

问：解方程0121022=+-x x 得21=x 32=x

因式分解)3)(2(121022--=+-x x x x 对吗？

注意：解方程时0121022=+-x x 能化成0652=+-x x ，但代数式

651210222+-≠+-x x x x ，因此结果中必须乘以二次项的系数2

即：)3)(2(2121022--=+-x x x x

知识运用

例1 把5822+-x x 分解因式

解: 对于方程05822=+-x x ,

b 2-4ac=82-4×2×5=24>0.

这个方程的两个实数根是

26

446284248±=±=±=x

即: 26

41+=x

26

42-=x

∴)

26

4)(26

4(25822--+-=+-x x x x

说明：这里系数2无法全部化去两个因式里的分母，因此保持原来的形式.

例2 把2x 2-8xy+5y 2分解因式．

解： 对于x 的方程2x 2-8xy+5y 2=0的两个实数根是

说明

（1）把x 看成未知数，其它看成已知数．

（2）结果不能漏掉字母y ．

课堂小结

1.这节课我们学习了二次三项式c bx ax ++2在实数范围内因式分解的方法，她的方法是：先求出二次三项式)0(02≠=++a c bx ax 的两个根1x 、2x ，再将c bx ax ++2写成))((21x x x x a --.

2．二次三项式c bx ax ++2因式分解的条件是：当042≥-ac b ，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内可以分解；042<-ac b 时，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内不可以分解.