北师大版初三数学上册第四章《图形的相似巩固练习(无答案)》
北师大初中数学中考总复习：图形的相似--巩固练习(提高)
•中考总复习：图形的相似--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=1，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD 的距离为1，则点P的个数为（）．A．1B．2C．3D．42.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为D E，则△SB CE：△SB DE等于（）．A.2：5B.14:25C.16:25D.4:213.（2015•甘南州）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点△O，设OCD的面积为△m，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）A．m=5B．m=4C．m=3D．m=104.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长()．A．63-3 B.43 C.63 D.3-235．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD②△ADC是等腰直角三角形③∠ADB=∠AEB④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个=，③∠B+∠2=90°④BC∶AC∶AB=3∶4∶5，⑤AC⋅BD=AC⋅C D，②6．如图，△A BC中，CD⊥AB于D，一定能确定△A BC为直角三角形的条件的个数是（）．①∠1=∠A，CD DBAD CDA．1B．2C．3D．4二、填空题7.如图已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点△F，则AEF的面积等于__________（结果保留根号）.第7题第8题8.已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为．9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD= 60°，则CD的长为．第9题第10题10．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为．11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S，S，则S+S的1212值为．3．．．．．．．．．．．．．． ．．12. （2015•湖州）已知正方形 ABC 1D 1 的边长为 1，延长 C 1D 1 到 A 1，以 A 1C 1 为边向右作正方形 A 1C 1C 2D 2，延 长 C 2D 2 到 A 2，以 A 2C 2 为边向右作正方形 A 2C 2C 3D （如图所示），以此类推…．若 A 1C 1=2，且点 A ，D 2，D 3，…，D 10 都在同一直线上，则正方形 A 9C 9C 10D 10 的边长是 ．三、解答题13.（2015•杭州模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E ，F 分别是 DC 和 BC 两边上的动点且始终保 持∠EAF=45°，连接 AE 与 AF 交 DB 于点 N ，△M ．下列结论：① △A D M∽ NBA ；②△CEF 的周长始终保持 不变其值是 4；③AE×AM=AF×AN；④DN 2+BM 2=NM 2．其中正确的结论有哪些？14. 如图（△1）， ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固 定△ABC ，将△EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重 合的情况，设 DE 、DF （或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G 、H 点，如图（2）. （△1）问：始终与 AGC 相似的三角形有及；（2）设 CG ＝x ，BH ＝y ，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）； （3）问：当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？15.已知:直角梯形 OABC 中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB 为直径的圆 M 交 OC 于 D ．E ，连结 AD 、BD 、BE.(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图 1 中的两对相似三角形._____________________，______________________；(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点.①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于△N，使得PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.16．（2011上海）在△R t ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=1213．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（△3）若AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1图2备用图【答案与解析】一．选择题1．【答案】B．2．【答案】B．3．【答案】B；【解析】∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E 是 AB 的中点， ∴2EB=AB=CD，∴=（ ）2，即=（ ）2，解得 m=4 ．故选 B ． 4．【答案】B ． 5．【答案】Ｄ；【解析】①利用 SAS 证明△BAD ≌△CAE ，可得到 CE=BD ，②利用平行四边形的性质可得 AE=CD ，再结合△ADE 是等腰直角三角形可得到△ADC 是等腰直角三角形； ③利用 SAS 证明△BAE ≌△BAD 可得到∠ADB=∠AEB ；④利用已知得出∠GFD=∠AFE ，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF ，进而得出△CGD ∽△EAF ，得 出比例式． 6．【答案】Ｃ；【解析】①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A ，所以∠1+∠2=90°，即△ABC 为直角三角形，故正确；②根据 CD 2=AD•DB 得到 AD CD =CD DB，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD ∽△CBD ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B ，根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确；③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为 90°，故错误；④设 BC 的长为 3x ，那么 AC 为 4x ，AB 为 5x ，由 9x 2+16x 2=25x 2，符合勾股定理的逆定理，故正确； ⑤由三角形的相似无法推出 AC•BD=AD•CD 成立，所以△ABC 不是直角三角形，故错误． 所以正确的有三个．故选 C ． 二．填空题7．【答案】 3 - 3 4．8．【答案】 3 8．29．【答案】 ；3【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°， ∵∠APB=∠PAC+∠C ，∠PDC=∠PAC+∠APD ，∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC ， 又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP ∽△PCD ，∴ AB BP 3 1 = ，即 = ，PC CD 2 CD2∴CD= ．310．【答案】７；【解析】根据已知条件可以推出△CEF ∽△OME ∽△PFN 然后把它们的直角边用含 x 的表达式表示出来， 利用对应边的比相等，即可推出 x 的值答题． 11.【答案】17；【解析】如图，设正方形 S 2 的边长为 x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC= 2 x ，x= 2 CD ，∴AC=2CD ，CD=2，∴EC 2=22+22，即 EC=2 2 ，∴S 2 的面积为 EC 2=8， ∵S 1 的边长为 3，S 1 的面积为 3×3=9， ∴S 1+S 2=8+9=17．12．【答案】．【解析】延长 D 4A 和 C 1B 交于 O ， ∵AB∥A 2C 1，∴ AOB∽ D △2OC 2，∴ = ，∵AB=BC 1=1，DC 2=C 1C 2=2，∴==∴OC 2=2OB ， ∴OB=BC 2=3， ∴OC 2=6，设正方形 A 2C 2C 3D 3 的边长为 x 1， 同理证得： D △2OC △2∽ D 3OC 3，∴= ，解得，x 1=3，∴正方形 A 2C 2C 3D 3 的边长为 3，设正方形 A 3C 3C 4D 4 的边长为 x 2， 同理证得： D △3OC △3∽ D 4OC 4，∴=，解得 x 2= ，∴正方形 A 3C 3C 4D 4 的边长为 ；设正方形 A 4C 4C 5D 5 的边长为 x 3， 同理证得： D △4OC △4∽ D 5OC 5，∴= ，解得 x= ，∴正方形 A 4C 4C 5D 5 的边长为 以此类推…．；正方形 A n ﹣1C n ﹣1C n D n 的边长为 ； ∴正方形 A 9C 9C 10D 10 的边长为 ．故答案为．三.综合题 13．【解析】解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，∴△ADM∽△NBA，①正确；②如图△1，把ADE顺时针旋转90°得到△ABG，则BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴DG=EF，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正确；③当MN∥EF时，AE×AM=AF×AN，∵MN与EF的位置关系不确定，∴③错误；④如图△2，把ADN顺时针旋转90°得到△ABH，则BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，在△NAM和△HAM中，，∴△AEF≌△AGF，∴MN=MH，又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，∴BH2+BM2=MH2，即DN2+BM2=NM2，④正确．∴正确的结论有：①②④.14．【解析】（△1）HGA及△HAB；（2）由（△1）可知AGC∽△HAB∴CG AC=AB BHx9，即=，9y所以，y=81 x 1（3）当CG＜BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH2∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG=12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；99此时，GC=2，即x=2221当CG＞BC时，由（△1）可知AGC∽△HGA2所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9或92时，△AGH是等腰三角形．2∴ DC∴1 = ， ∴ a2 = 1 ， ∴CP = = =24．在 Rt△CPM 中，∵sin ∠EMP = ，∴CM = CP = ⨯ 24 =26．，∴PE = x ． 在 Rt△MPE 中，∵sin∠EMP = ，∴ = ．∴EM = PE = ⨯ x = x ．∴PM =PN = ME2 - PE2 = x ⎪ - x ⎪ = x ． ∵AP +PN +NB =50，∴x + x +y =50．∴y = - x + 50 (0<x <32)．15．【解析】（△1）OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB；（2）①（1，－4a ）；②∵△OAD ∽△CDBCB=OA OD∵ax 2－2ax －3a=0，可得 A （3，0）又 OC=－4a ，OD=－3a ，CD=－a ，CB=1，-a - 3a 3∵ a < 0 ，∴ a = -1．故抛物线的解析式为： y = - x 2 + 2x + 3 ．③存在，设 P （x ，－x 2+2x+3），∵△PAN 与△OAD 相似，且△OAD 为等腰三角形， ∴PN=AN ．当 x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x 2+2x+3)，x 1=－2，x 2=3(舍去)， ∴P （－2，－5），当 x>0（x>3）时，x －3=－(－x 2+2x+3)，x 1=0，x 2=3(都不合题意舍去)， 符合条件的点 P 为（－2，－5）．16.【解析】（1）∵∠ACB =90°，∴AC = AB 2 - BC 2 = 502 - 302 =40．∵S = 1 ⋅ AB ⋅ CP = 21 2⋅ AC ⋅ BC ,AC ⋅ BC 40 ⨯ 30AB 501213CP 12 ∴ = ．CM 1313 1312 12（△2）由 APE ∽△ACB ，得 PE AP =BC AC ，即 PE x 3= 30 40 412 PE 1213 ME 1313 13 3 1312 12 4 16⎛ 13 ⎫2 ⎛ 3 ⎫25 ⎝ 16 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 16 51621 16设AP=x，由（2）知EM=x，AM=x-PM=x-x=x，NB=-x+50．∴ x⎪=x⋅(-x+50)∴CE=AC=．设AP=x，易得BE=(50-x)，∴CE=30-(50-x)．（3）①当点E在线段AC上时，△AME∽△ENB，AM ME=EN NB．∵EM=EN，∴EM2=A M⋅NB．135112116161616⎛13⎫21121⎝16⎭1616解得x1=22，x2=0（舍去），即AP=22．②当点E在线段BC上时，根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴AC EP12==．CE MP55501235353550∴30-(50-x)=．33解得x=42．即AP=42．∴AP的长为22或42．。
北师大九年级上册数学第四章 图形的相似 单元测试卷(无答案)
北师大九年级上册数学第四章 图形的相似 单元测试卷一、选择题〔每题3分，共30分〕1、假设a 、b 、c 、d 是互不相等的正数，且a b =cd ，那么以下式子错误的选项是〔 〕A 、a b c d b d --=B 、a b c d a b c d --=++C 、2222a c b d= D 、1111a c b d ++=++ 2、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，假如AD ∶BC =1∶3，那么以下结论正确的选项是〔 〕A.S △COD =9S △AODB.S △ABC =9S △ACDC.S △BOC =9S △AODD.S △DBC =9S △AOD3、假设△ABC 与△A ′B ′C ′相似，∠A =55°,∠B =100°，那么∠C ′的度数是〔 〕A.55°B.100°C.25°4、矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ， 沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，假设四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，那么AD =〔 〕A 、B 、C 、D 、25、如图，在△ABC 中，AB =8，BC =7，AC =6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.那么PC 的长是( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)10〔第4题图〕 〔第5题图〕 〔第6题图〕 6、如图,在△ABC 中,BC >AC ,点D 在BC 上,且DC =AC ,∠ACB 的平分线交AD 于E ,点F 是AB 的中点,连接EF ,那么S △AEF ∶S 四边形BDEF 为 ( )A.3∶4B.1∶2C.2∶3D.1∶37、如图7，6BC =，E ，F 分别是线段AB 和线段AC 的中点，那么线段EF 的长是〔 〕A ．6B ．5 D ．38、如图10，梯形ABCD 的对角线交于点O ，有以下四个结论：④AOD BOC S S =△△．其中始终正确的有〔 〕A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个 9、如图，平行四边形ABCD 中，AB ∶BC =3∶2，∠DAB =60°，E 在AB 上，且AE ∶EB =1∶2，F是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，那么DP ∶DQ 等于〔 〕A．3∶4 B．13∶25 C ．13∶26 D．23∶1310、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上〔与B、C不重合〕，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CEFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是〔〕A、1B、2C、3D、4〔第7题图〕〔第8题图〕〔第9题图〕〔第10题图〕二、填空题〔每题8分，共24分〕11、如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．假设AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．那么△EBF的周长是________cm．12、如下图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD的中点，点G是CF上的一点，使得3 CG＝2 GF，那么三角形BEG的面积为13、如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝12FD，EF交AC于G，那么AG︰AC ＝______．14、如图10，Rt△DEF是由Rt△ABC沿BC方向平移得到的，假如AB=8，BE=4，DH=3，那么△HEC的面积为 .〔第11题图〕〔第12题图〕〔第13题图〕〔第14题图〕15、如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．假设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．那么y与x的函数关系式为．16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6 cm,动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t s，假设四边形QPCP′为菱形，那么t的值为 .17、如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．假设CD＝CF，那么AE AD．18、如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,假设S=2,那么S1+S2= .〔第15题图〕〔第16题图〕〔第17题图〕〔第18题图〕三、解答题〔共66分〕19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．〔1〕证明：△ACD∽△CBD；〔2〕AD=2，BD=4，求CD的长．20、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M。
九年级数学上册 第四章 图形的相似全章复习与巩固巩固练习(含解析)(新版)北师大版
《图形的相似》全章复习与巩固——巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，给出下列条件： ①； ②；③； ④.其中单独能够判定的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是( )A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形3．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为21，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣8，4） C ．（﹣8，4）或（8，﹣4） D ．（﹣2，1）或（2，﹣1） 4.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG， ⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥6. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD，点P 在四边形ABCD 的边上．若P到BD 的距离为32，则点P 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( ).A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米8. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）.AC ．2二、填空题9. 如图，Rt△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________.10. 如图，M 是ABCD 的边AB 的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与ABCD 的面积之比为___ __.11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元测试题(无答案)
13、两个相似三角形面积之比为 2：7，较大三角形一边上的高为 2 ，则较小三角形的对应
边上的高为_______.
14、如图所示，已知△OAB 与△OA1B1 是相似比为 1：2 的人位似图形，点 O 是位似中心，若
6
△OAB 内的点 P(x，y)与△OA1B1 内的点 P1 对应，则 P1 的坐标是
。
4
A
B
2
10
5
O
5
10
2
4
B1
A1
15、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=8cm，AD=4cm，E 为 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使 △CBF∽△CDE，则 AF= ______cm。
3/7
16、如图，矩形 ABCD 中，E，F 分别在 BC，AD 上，矩形 ABCD∽矩形 ECDF，且 AB＝2，S 矩形 ABCD＝3S 试求 矩形 ECDF。 S 矩形 ABCD=_________.
A．12cm B． 2 3 cm C． 3 cm D．2cm
10、按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的二分之一，如图所示，任取一点 O，连结 OA、 2/7
OB、OC 并取它们的中点 D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC 和△DEF 是位似图形；②△ABC 和△DEF 是相似图形；③△ABC 和△DEF 的周长比是 4：1；
25、如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速 度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间
为 x。（1）当 x 为何值时，PQ∥BC？（2）当 SBCQ = 1 ，求 SBPQ 的值；
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.3 相似多边形 同步测试题(无答案)
4.3 多边形相似同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 下列各组图形中一定相似的图形是（）A.底角对应相等的两个等腰梯形B.有一个角为的两个菱形C.两邻边之比相等的两个平行四边形D.两个矩形2. 如果两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形的相似比为（）A. B. C. D.3. 下列各组图形中相似的图形是（）A.对应边成比例的多边形B.四个角都对应相等的两个梯形C.有一个角相等的两个菱形D.各边对应成比例的两个平行四边形4. 下列两个图形一定相似的是（）A.两个菱形B.两个矩形C.两个正方形D.两个等腰梯形5. 已知两个相似五边形的一组对应边分别是和，如果它们的面积之差是，则较大的五边形的面积是（）A. B. C. D.6. 下列说法正确的是（）A.对应边都成正比例的多边形相似B.对应角都相等的多边形相似C.等边三角形都相似D.矩形都相似7. 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（）D.A. B. C.8. 下列说法中，错误的是（）A.所有的等边三角形都相似B.和同一图形相似的两图形相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的矩形都相似9. 下列各组图形不一定相似的是（）A.两个等边三角形B.各有一个角是的两个等腰三角形C.两个正方形D.各有一个角是的两个等腰三角形10. 如图，矩形中，，，若矩形与矩形相似，则矩形的面积是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 如图，在矩形中，、分别是、的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则________．12. 已知一个矩形的长和宽分别为和，另一个矩形的一组邻边的长为和，若这两个矩形是相似的，则的值为________．13. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的变成了，这次复印的放缩比例是________．14. 如图所示，，分别为平行四边形的边，中点，且，则等于________．15. 下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是________．16. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于________．17. 若两个相似多边形的对应边的比是，则这两个多边形的周长比是________．18. 如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与截去的矩形相似，则所截取的线段的长度可以是________．三、解答题（本题共计8 小题，共计66分，）19. 如图，在矩形中，点、分别是、上一点，若矩形与矩形相似，且，，求的长．20. 小林在一块长为米，宽为米，一边靠墙的矩形小花园周围栽种了一种花做装饰，这种花所占的边框宽为厘米，请问边框内外缘所围成的两个矩形相似吗？21. 已知四边形与四边形相似，如图所示，求、的长和的大小．22. 将一张矩形纸片，以它的一条宽为边长剪去一个正方形，将剩下的矩形再以一条宽为边长剪去一个正方形，若第二次剪裁后所留下的矩形与原来的矩形相似，则矩形的宽与长的比值是多少？23. 如图，矩形的花坛宽米，长米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽与的比值是多少，说出你的理由．24. （1）观察下面两组图形，图中的两个图形相似吗？为什么？图中的两个图形呢？与同伴交流．24.（2）如果两个多边形不相似，那么它们的对应角可能都相等吗？对应边可能都成比例吗？25. 如图是一个由个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．26. 学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．。
九年级数学上册 第四章 图形的相似《图形的相似及相似图形的性质》巩固练习(含解析)(新版)北师大版
图形的相似及相似图形的性质--巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为（ ）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （ ）A. a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6B. a ＝，b ＝，c ＝1，d ＝C. a ＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5D. a ＝，b ＝2，c ＝，d ＝23. 下列命题正确的是( )A ．所有的等腰三角形都相似B ．所有的菱形都相似C ．所有的矩形都相似D ．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a ，b)对应大鱼上的点( )A ．(-2a ，-2b)B ．(-a ，-2b)C ．(-2b ，-2a)D ．(-2a ，-b)5. 若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．32=a bD ．31=-b b a 6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）A ． 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B ． 图形中线段的长度与角的大小都会改变C ． 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D ． 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变二. 填空题7. 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm ，则该道路的实际长度是 km ．8. 若，则________9．已知若-3=,=____;4x y x y y则若5-4=0,x y 则x :y =___. 10. 有一块三角形的草地，它的一条边长为25m ．在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两条边的长都为4cm ，则其他两边的实际长度都是 m ．11. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有 .12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AE BE=三 综合题13. 如果a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m =+经过点（-1,2）， 求此一次函数解析式.14. 一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B ．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2．【答案】C ．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】 D4．【答案】 A【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5.【答案】B6．【答案】D【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D ．二、填空题7.【答案】2.88.【答案】【解析】由可得，故填. 9.【答案】74;.4510.【答案】20.11.【答案】 ③12.【答案】 2.【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以AD EF EF BC=,即EF=所以2AE AD BE EF === 三、 解答题 13.【解析】∵a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++ ∴+1=+1=+1=+1=+1++++++++ca b c d k b c d a c d a b d a b ∴++++++++++++====+1++++++++ca b c d a b c d a b c d a b c d k b c d a c d a b d a b 则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1=3k 则 所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x 当1=3k ，过点（-1,2）时，17=+33y x . 14.。
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似复习练习
初中数学试卷 第四章图形的相似一、单选题1．如图，l 1，l 2，l 3，l 4是一组平行线，l 5，l 6与这组平行线依次相交于点A ，B ，C ，D和E ，F ，G ，H ．若AB ∶BC ∶CD=2∶3∶4，EG=10，则EH 的长为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．202．如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB ＝2a ，则BE 长为（ ）A ．（ +1）aB ．（﹣1）a C ．（3﹣）a D ．（﹣2）a3．如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 交于点O ，则下列比例中成立的是( )A ．O C O A O DO B=B ．OC O B OD O D =C ．O C O D A CO B=D ．B D OC A CO D=4．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE （ 0.5m D E B C == ，A ，C ，B 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得 15m C G = ，然后沿直线 C G 后退到点E 处，这时在镜子里恰好看到凉亭的顶端A ，测得 3m E G = ．若小明身高1.6m ，则凉亭的高度AB 约为（ ）A ．8.5mB ．9mC ．9.5mD ．10m5．如图，ABC 与DEF 位似，点O 是位似中心，若OE=3OB ，A B CS =4，则D E FS=（ ）A ．9B ．12C ．16D ．366．如图，A B C 与D E F 位似，位似中心为点O ，A B C 与D E F 的周长之比为49∶，则A O O D ∶的比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．4：137．如图，在ΔABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，连接DE ，那么ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（ ）A ．1:16B ．1:9C ．1:4D ．1:28．已知：如图，在△ABC 中，B E A C ⊥于点G ，C D A B ⊥于点F ，B A B E =，C A CD =，以下结论：①DE ∠=∠，②DFG E =，③A F A C A GA B=，④D FE G C FB G=，其中正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，△OAB与△OCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90 ︒，CO=CD．若B(2，0)，则点C的坐标为()A．(2，2)B．(1，2)C．（，2 ）D．(2，1)10．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B'的坐标是（）A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）二、填空题11．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，若AD：A'D'=4：3，△ABC的周长为16，则△A'B'C'的周长是．12．如图，////A C E FB D，若:2:3A E E B=，10C D=，则C F=.13．如图，将矩形O A B C置于平面直角坐标系中，4=，点D在B C边O A=，O C m上，且1D C=，将矩形O A B C沿A D折叠，使点B对应点E落在坐标平面内（1）当3m=时，O E的长度为．（2）若点E恰好落在x轴上，则m的值为．14．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=.15．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为．三、解答题16．如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．18．如图（图形不全），等边三角形A B C中，3A B=，点D在直线B C上，点E在直线A C上，且B A DC B E∠=∠，当1B D=时，求A E的长．几位同学通过探究得出结论：此题有多种结果．有同学已经得出两个符合题意结论：①当点D在边B C上、点E在边A C上时，2A E=；②当点D在边B C上、点E在A C的延长线上时，92A E=．要求：请针对其它情况，继续求出A E的长，并写出总的正确结论．19．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似培优测试卷(含解析)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列各组线段中，能成比例的是（）A. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cmC. 0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cmD. 3 cm，4 cm，6 cm，8 cm2.已知两数x ，y ，且3x＝2y ，则下列结论一定正确的是（）A. x＝2，y＝3B. x3＝y2C. x+yy＝53D. x+2y+3＝233.如图，直线a //b //c，AB＝45BC，若DF＝9，则EF的长度为( )A. 9B. 5C. 4D. 34.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm25.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m, BC=8m,则旗杆的高度是( )A. 6.4mB. 7mC. 8m.D. 9m6.已知△ABC∽△DEF ，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 907.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A. （－2，3）B. （2，－3）C. （3，－2）或（－2，3）D. （－2，3）或（2，－3）8.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ， 点G 在线段AD 上，GE//BD ， 且交AB 于点E ， GF//AC ， 且交CD 于点F ， 则下列结论一定正确的是（ ）A. AB AE =AG ADB. DF CF =DG ADC. FG AC =EG BDD. AE BE =CF DF 9.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AB =6 ， BC =8 ，过点 O 作 OE ⊥AC ，交 AD 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥BD ，垂足为 F ，则 OE +EF 的值为（ ）A. 485B. 325C. 245D. 12510.在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC.下列结论：①AB ′=AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D=135°；④BB ′=BC ；⑤ AB 2=AE ⋅AF .其中正确的个数为（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共8题；共24分）11.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE 不行于BC ，添加一条件能使△ABC ∽△ADE 的是________.12.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．13.若x∶y∶z=2∶3∶4，则2x+3y−z的值为________.x−y+2z14.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH=________.15.如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为________米．16.如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是________．17.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2，点E和点F分别为AD,CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH//AB交BC于点H，过点F作FG//BC交AB于点G .若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为________.18.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M ，N ．已知AB=4，BC=6，则MN的长为________．三、解答题（共8题；共66分）19.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ，CD⊥BD ，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD ．20.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.21.图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法．（1）在图①中画出△ABC边BC上的中线AD，则S△ABD=________．（2）在图②中画出△BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足△BEF~△BAC，且S△BEF:S△BAC= 1:4；（3）在图③中画出△BMN，点MN分别在边AB、BC上，使得△BMN与△BAC是位似图形，且（保留作图痕迹）点B为位似中心，位似比为1322.如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD ，∠CBD＝∠A ，过D作DH∥AB ，交BC的延长线于点H ．（1）求证：△HCD∽△HDB ．（2）求DH长度．23.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C 移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=________，CP=________；（用含t 的代数式表示）；（2）t为何值时，△CPQ 的面积等于1？（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？24.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD⋅OC=AB⋅OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G.（1）求证：CE⊥AB．（2）求证：AF⋅DE=AG⋅BC .25.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．图1 图2（1）过点A作AE//DC交BD于点E，求证：AE=BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求证：BD′//CD；②若AD′//BC，求证：CD2=2OD⋅BD．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB 于点Q，过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R．设点P运动的时间为t秒，△PQR与△ABC 重叠部分的面积为S．（1）直接写出线段PQ的长．（用含t的代数式表示）（2）当点R落在边AC上时，求t的值．（3）当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出AQ或PC平分△PQR面积时t的值．答案一、选择题1.解：A、1×6≠3×4，故不符合题意；B、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D、3×8=4×6，故符合题意．故答案为：D．2.解：A、当x=2时，y=3，但不是x一定等于2，y一定等于3，故A不符合题意；B、3x=2y，则x3=y2，故B不符合题意；C、由3x=2y，得xy =23，则x+yy=53，故C符合题意；D、由3x=2y，得xy =23，不能得到x+2y+3=23，故D不符合题意.故答案为：C.3.解：∵l1//l2//l3，根据平行线分线段成比例可知，AB BC =DEEF=45，设DE=4t，EF=5t，又∵DF=9，其中DF=DE+EF=9t=9，解得：t=1，∴EF=5t=5，故答案为：B.4.解：设留下矩形的宽为xcm，∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，∴x4=48，解得x=2则留下矩形的面积为2×4=8(cm2) . 故答案为：C.5.解：设旗杆高度为h，由题意得 1.8h =22+8，解得：h=9米．故答案为：D．6.解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，故答案为：D ．7.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试卷 (Word版无答案)
第四章图形的相似单元测试卷一、选择题（本大题共11小题，共33分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，l1//l2//l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC =54，则DEDF的值为( )A. 59B. 49C. 54D. 452.下列说法正确的( )A. 若ac =bc，则a=b B. 若−12x=4y，则x=−2yC. 若ax=bx，则a=bD. 若a2=b2，则a=b3.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是( )A. 2B. 3C. 4D. 54.如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是( )A. 横坐标和纵坐标都乘以2B. 横坐标和纵坐标都加2C. 横坐标和纵坐标都除以2D. 横坐标和纵坐标都减25.已知4x=7y(y≠0)，则下列比例式成立的是( )A. x4=y7B. x7=y4C. xy=47D. x4=7y6.下列各组中的四条线段成比例的是( )A. a=3cm，b=4cm，c=5cm，d=6cmB. a=3cm，b=2cm，c=6cm，d=4cmC. a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cmD. a=3cm，b=2cm，c=5cm，d=4cm7.已知ab =23，那么下列式子错误的是( )A. a+ba =52B. bb−a=3 C. b+3a+2=32D. b−aa+b=238.给出下列四个判断，其中正确的判断有( ) ①全等三角形是相似三角形； ②顶角相等的两个等腰三角形相似； ③所有的等边三角形都相似； ④所有的直角三角形都相似．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是( )A. BCDF =12B. ∠A的度数∠D的度数=12C. △ABC的面积△DEF的面积=12D. △ABC的周长△DEF的周长=1210.如图所示，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD =12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )A. ①②③④B. ①④C. ②③④D. ①②③11.如图，已知“人字梯”的顶端离地面的高度AD是180cm，ADCD =52，则“人字梯”的底部宽度BC的长是( )A. 36cmB. 72cmC. 108cmD. 144cm二、填空题（本大题共7小题，共21分）12.若ab =20,bc=10，则a+bb+c的值为．13.如图，平面直角坐标系中，已知点A(8,0)和点B(0,6)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=√3，F、E分别为直线BC、AC上的点，沿直线EF将∠C折叠，点C落在D处，当点D恰好在AB上，且△DEF与原△ABC相似时，EF的长为．15.若x2=y3=m4≠0，则2x+3ym=．16.如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是个．17.如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为(−8,6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为．18.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是．三、解答题（本大题共8小题，共66分。
北师大数学九年级上册：第四章《图形的相似》专题练习
第四章《图形的相似》专题练习选择题1.若 4x=7八5z, 2x+y=z,那么 x ： y ： z 的值为（）A. 2： 1： (一3)B. 2： 1： 3C. 2： (-1) ： 3D. 3： 2： 13 .如果a ： 6=3： 2,且。
是a 、。
的比例中项，那么b ： c 等于（ ）4 .如图，ZVIBC 中，4（2, 4）以原点为位似中心，将△48C 缩小后得到△/?&；若。
（1, 2）,△田7的面积为4,则△A8C 的面积为（）5 .如图，直线4〃。
〃总直线4C 和站被儿/2,4所截，48=5, 30=6, EF=4,贝lj " 的长为（）AE.川分别交8c 于点G 、H, 则下列结论中错误的是（GE JG而不D.型里AG FAC. 410A. 4： 3B. 3： 4C. 2： 3D. 3： 26.如图，已知N4?P=N8,若〃=6, AD=4,宓=10,则缈长为( )A♦" B. 7 C. 8 D. 937.如图，在△n8c中，距平分N847交仇?于点。
，点£在4?上，如果N48E=NC, AE=2ED、那么祐与△4DC的周长比为( )A. 1： 2B. 2： 3C. 1： 4D. 4： 98.如图，在平面直角坐标系中，已知点力(-3, 6)、8(-9, -3),以原点。
为位似中心，相似比为之把△480缩小，则点8月、BA. (-3,-1)C. (-9, 1)或(9, -1)cn q9.如图，在△48C中，DE//AB,且黑=亮, D Uz ;的对应点&的坐标是( )B. (-1, 2)D. (-3, -1)或(3, 1) 则普的值为()10 .如图，点力在线段劭上，在8。
的同侧作等边△48C和等边如，CD分别与监AE交于点P、M.对于下列结论:①△%％Zk/O②"=华① ③AB・AD= BP,其中正确的是（C.①③D.①②③填空题11 .如图，在△48C中，/8=9, AC=6、/?=12,点"在四边上，且力的=3,过点制作直线椒与行边交于点花使截得的三角形与原三角形相似，则郴=.A12 .如图，在中，尸是和延长线上一点，连接81交DC于点£则图中的位似三角形共有对.13 .如图，已知AADE S AABC,且4P=3, DC=49 AE=2,贝lj 8£=DE14 .如图，在△»8C中，DE//BC,若彳。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 章末培优、拔高能力提升练习卷(无答案)
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 章末培优、拔高能力提升练习卷(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题2分，共30分)1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）2．如果mn ＝ab ，那么下列比例式中错误的是( )A.a m ＝n bB.an ＝m b C.m a ＝n b D.m a ＝bn3．如图，在平面直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是( )A.83B.203C ．6D ．106．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm7．下列说法：①凡是正方形都相似；②凡是等腰三角形都相似；③凡是等腰直角三角形都相似；④位似图形都是相似图形；⑤两个相似多边形的面积比为4∶9，则它们的周长比为16∶81.其中正确的个数是( )A．5 B．4 C．3 D．28．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12 m，由此他就知道了A，B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB＝24 m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM∶MA＝1∶2 9．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( )A．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长等于六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL10．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( )A ．1B ．2C ．122－6 D ．62－612. 如图，在钝角△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝12 cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1 cm/秒，点E 运动的速度为2 cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是( )A ．3秒或4.8秒B ．3秒C ．4.5秒D ．4.5秒或4.8秒13．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠的部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′的长是（ ）A.2－1 B.22 C ．1 D.1214．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A.AD AB ＝AEAC B.DF FC ＝AE EC C.AD DB ＝DE BC D.DF BF ＝EFFC15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝52S △ABF .其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个选择题答题卡：二、填空题(每小题4分，共20分) 16．若x ∶y ＝1∶2，则x －yx ＋y＝____________.17．如图，已知AD AB ＝DEBC，请添加一个条件，使△ADE ∽△ABC ，这个条件可以是____________．(写出一个条件即可)18．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是____________．19．如图，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距离的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E ，C ，F.若BC ＝2，则EF 的长是____________．20.如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE.设△ACD ，△BCE ，△ABC 的面积分别是S 1，S 2，S 3，现有如下结论： ①S 1∶S 2＝AC 2∶BC 2；②连接AE ，BD ，则△BCD ≌△ECA ；③若AC ⊥BC ，则S 1·S 2＝34S 23.其中结论正确的序号是____________．三、解答题(共70分)21．(7分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)． (1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.22．（7分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离DC ＝20 m ，求旗杆的高度．23．(10分)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．24．(10分)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上，且BD平分∠ABC，设CD ＝x.(1)求证：△ABC∽△BCD；(2)求x的值．25．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，BD＝AD＝AC，AD与CE相交于点F，AE2＝EF·EC.(1)求证：∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；(2)求证：AF·AD＝AB·EF.26．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒⎪⎭⎫⎝⎛<<3100x ，连接MN . (1)若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值； (2)连接AN ，CM ，若AN ⊥CM ，求t 的值．27．(12分)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD.连接MF ，NF. (1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论； (2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第四章 图形的相似(基础)
第四章 图形的相似（基础）图形的相似及相似图形的性质--知识讲解【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形1.定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形对应线段的比叫相似比；(2) 相似图形的周长比等于相似比；（3）相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.2．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果那么ad=bc. 要点诠释：（1）a ，b ，c ，d 叫做这个比例的项，a ，b 叫做比例外项，b ，c 叫做比例内项.（2）若a :b =b :c ，则b 2=ac （b 称为a ,c 的比例中项）4．比例的性质：（1）合分比性质：如果那么； （2）等比性质：如果（b +d +……+n ≠0），那么 【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A ．3cm 、4cm 、5cm 、6cmB ．4cm 、8cm 、3cm 、5cmC ．5cm 、15cm 、2cm 、6cmD ．8cm 、4cm 、1cm 、3cm【答案】C.b c ,a d =a c ,b d =a b c d b d±±=a c m ......b d n ===a c ......m a .b d ......n b +++=+++【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．2.（2018秋•滨海县期末）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（不合题意，舍去），即x的值为．【总结升华】本题考查了比例线段及其相关计算，注意利用代数的方法解决较为简便．3.（2019•洪泽县一模）已知=，则=．【思路点拨】由=，则可设x=2k ，y=3k ，然后把x=2k ，y=3k 代入原式进行分式的运算即可．【答案与解析】解：∵=，∴设x=2k ，y=3k ，∴原式==．故答案为． 【总结升华】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．举一反三：【答案】解:∵xyz ≠0 ∴x ≠0，y ≠0，z ≠0，①当x+y+z ≠0 ∴k=2;②当x+y+z=0时，x+y=-z,z+x=-y,y+z=-x,∴k=-1.综上所述，k=2或-1. 类型二、相似图形4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】 (1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形5.（2018•南通）如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD ．（1）求证：EB=GD ；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD 的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ，∴∠EAB=∠GAD ，∵AE=AG ，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，112BP AB ==，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．图形的相似及相似图形的性质--巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为 （ ）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （ ）A. ＝2，＝4，＝3，＝6B. ＝，＝，＝1，＝C. ＝6，＝4，＝10，＝5D. ＝，＝2，＝，＝23. 下列命题正确的是( )A ．所有的等腰三角形都相似B ．所有的菱形都相似C ．所有的矩形都相似D ．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a ，b)对应大鱼上的点( )A ．(-2a ，-2b)B ．(-a ，-2b)C ．(-2b ，-2a)D ．(-2a ，-b)5.（2019•兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．D ．6.（2018•闸北区一模）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）A ． 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B ． 图形中线段的长度与角的大小都会改变a b c d a b c d a b c d a b cdC ． 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D ． 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变二. 填空题7. （2019•常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm ，则该道路的实际长度是 km ．8. 若，则________9．已知若若:=___. 10.（2018•和平区模拟）有一块三角形的草地，它的一条边长为25m ．在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两条边的长都为4cm ，则其他两边的实际长度都是 m ．11. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有 .12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则三 综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.（2018秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．-3=,=____;4x y x y y则5-4=0,x y 则x y ______.AE BE=a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++y kx m =+15. (2018.新宾县模拟)如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？【答案与解析】一、选择题1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2．【答案】C．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】 D4．【答案】 A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5.【答案】B【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．6．【答案】D【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D ．二、填空题7.【答案】2.8【解析】设这条道路的实际长度为x ，则：，解得x=280000cm=2.8km ．∴这条道路的实际长度为2.8km ．故答案为：2.88.【答案】【解析】由可得，故填.9.【答案】10.【答案】20.【解析】设其他两边的实际长度分别为xm 、ym ，由题意得，==， 解得x=y=20．即其他两边的实际长度都是20m ．11.【答案】 ③12.【答案】 . 【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以,即EF=, 所以三、 解答题 13.【解析】∵∴ ∴ 74;.452AD EF EF BC=2AE AD BE EF ===a b c d k b c d a c d a b d a b c====+++++++++1=+1=+1=+1=+1++++++++ca b c d k b c d a c d a b d a b ++++++++++++====+1++++++++c a b c d a b c d a b c d a b c d k b c d a c d a b d a b则分两种情况：（1），即,(2),即所以当，过点（-1,2）时，当，过点（-1,2）时，. 14.【解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC ，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，=，∴DM •BC=AB •MN ，即BC 2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴=， ∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC 的面积=CD •DF=2×1=2．15.【解析】解：（1）不相似，AB=30，A ′B ′=28，BC=20，B ′C ′=18，而≠；（2）矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似，则=， 则：=， 解得x=1.5，或=，解得x=9．平行线分线段成比例及相似多边形【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.+++=0a b c d +1=0k =-1k ++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ===,a b c d 1=3k 则=-1k =-+1y x 1=3k 17=+33y x2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等. （2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.要点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.要点诠释： （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= AC ，DE=4，那么EF 的值是__________. 右全左全右上左上全上全上下上下上===,,13【答案】2.【解析】2、（2018•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【答案与解析】解：∵PQ∥BC，∴=，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．举一反三ABBC=【变式】如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF 等于______________.【答案】7.5.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可知OB ：OD 的值，再根据平行线分线段成比例即可求解． 【答案与解析】 解：∵AB ∥DC ，， 举一反三42===A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14故选：B．4、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）AB C 6 D【答案】B.举一反三【变式】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ）A ．5：8B ．3：8C ．3：5D ．2：5【答案】解：∵AD ：DB=3：5，∴BD ：AB=5：8， ∵DE ∥BC ，∴CE ：AC=BD ：AB=5：8，233216∵EF ∥AB ，∴CF ：CB=CE ：AC=5：8． 故选A ．类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．【思路点拨】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．【答案与解析】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．【总结升华】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．6.（2018•南通）如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD ． （1）求证：EB=GD ；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD 的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，112BP AB ==，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ， ∴∠EAB=∠GAD ， ∵AE=AG ，AB=AD ， ∴△AEB ≌△AGD ， ∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ， ∵∠DAB=60°， ∴∠PAB=30°， ∴BP=AB=1， AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．【巩固练习】一、选择题1. 下列四组图形中，一定相似的是（ ） A ． 正方形与矩形 B ． 正方形与菱形 C ． 菱形与菱形 D ． 正五边形与正五边形 2AB C D AB EF CD EF BO OE BCBE3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）4．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．（）A．2 B．4 C．D．6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题 7．（2018秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是 ．9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AB=6，AE=3，则AC 的长为 ．10．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，=，DE=4cm ，则BC的长为．11．如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC=AC ，DE=4，那么EF 的值是 ．12．如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE=∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC=2，则EF 的长为 ．12三、解答题13. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．14.（2018秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．15．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选：D．2.【答案】D.3.【答案】C；【解析】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．4.【答案】C；【解析】解：设AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB=BD=3，当P在OB上时，∵EF∥AC，∴==，∴=，∴y=x，当P在OD上时，同法可得：==，∴=，∴y=﹣x+8，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选C．5.【答案】C；【解析】∵AB∥CD∥EF，∴=，即=，∴BC=，∴CE=BE﹣BC=12﹣=．故选C．6.【答案】C；【解析】解：∵AB∥CD∥EF∴∵AC=3，CE=4∴=．故选C．二、填空题7．【答案】①②④⑤；8．【答案】1：3；【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3；9．【答案】9；【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴AC=9，故答案为：9．10．【答案】12cm.【解析】解：∵DE∥BC，∴=，又∵=，∴，∴=，∴BC=12cm．故答案为12cm．11．【答案】2.【解析】解：∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．故答案为：2．12．【答案】﹣1.【解析】解：过F点作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，∵∠ACE=∠BAC ，∴AF=CF.在Rt △CDF 中， CF=2，DF= =， ∵FG ∥BC ， ∴GF ：BD=AF ：AD ，即GF ：1=2：（2+）， 解得GF=4﹣2，∴EF ：EC=GF ：BC ，即EF ：（EF+2）=（4﹣2）：2，解得EF=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题13.【解析】（1）解：∵l 1∥l 2∥l 3，EF ：DF=5：8，AC=24，∴==， ∴=，∴BC=15，∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．（2）解：∵l 1∥l 2∥l 3∴==， ∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，∴==， ∴=，∴CF=4．14. 【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC ，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，=，∴DM•BC=AB•MN，即BC 2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似， 221∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．15.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE=DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴=又∵BE=DF，=∴==∴GF∥BC （平行线分线段成比例）∴∠DGF=∠DBC∵BC=CD∴∠BDC=∠DBC=∠DGF∴GF=DF=BE∵GF∥BC，GF=BE∴四边形BEFG是平行四边形探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：≈0.618AB(0.618是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：AC BC AB AC =12AC AB =如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2018秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．【答案】①②④⑤. 类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．（1）证明：△ABD ∽△DCF ；（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；21（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2018秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A 开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x 秒钟△PBQ 与△ABC 相似，由题意可得AP=xcm ，BQ=2xcm ，BP=AB ﹣AP=（8﹣x ）cm ，又由∠B 是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x 秒钟△PBQ 与△ABC 相似，则AP=xcm ，BQ=2xcm ，∵AB=8cm ，BC=16cm ，∴BP=AB ﹣AP=（8﹣x ）cm ，∵∠B 是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ ∽△ABC ， 解得：x=4；②当=，即=时，△QBP ∽△ABC ，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】BC AB EF DE ==∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑. 举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，．（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF ．∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方2BC FE===BC AB 215-形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明＝即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为＝＝ 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝。
第四章 图形的相似(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册强化巩固测试卷(北师大版)
2020-2021学年九年级数学上册《强化巩固测试卷》(北师大版)第四章图形的相似说明:1.本试卷分议题和答题卡两部分:考试时间为90分钟:满分为120分。
2.考生在答题前，请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题。
3、所有答案必须写在答题卡相应区域，写在其它区域无效。
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF 与ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的()A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【解析】设小正方形的边长为1，则ABC的各边分别为31310F是M或N时，其各边是6、213210ABC各边对应成比例，故选C．2．ABC与DEF的相似比为1:4，则ABC与DEF的周长比为()A．1:2B．1:3C．1:4D．1:16【解析】ABC与DEF的相似比为1:4，ABC与DEF的周长比为1:4；故选：C．3．如图，在ABC中，//DE BC，若23ADDB，则(AEEC)A ．13B ．25C ．23D ．35【解析】//DE BC ， 23AE AD ECDB， 故选：C ．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对【解析】甲：根据题意得：//AB A B ，//AC A C ，//BC B C ，AA ，BB ，ABC ∽△A B C ，甲说法正确； 乙：根据题意得：3AB CD ，5ADBC ，则325A B C D ，527A D B C ，35AB CD A BC D，57AD BC A DB C， AB ADA BA D， 新矩形与原矩形不相似． 乙说法正确． 故选：A ．5．如图，ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①ACP B；②APC ACB；③2AC AP AB；④AB CP AP CB，能满足APC和ACB相似的条件是()A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【解析】当ACP B，A公共，所以APC ACB∽；当APC ACB，A公共，所以APC ACB∽；当2AC AP AB，即::AC AB AP AC，A公共，所以APC ACB∽；当AB CP AP CB，即PC AP BC AB，而PAC CAB，所以不能判断APC和ACB相似．故选：D．6．如图，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则:EF FC等于()A ．3:2B ．3:1C ．1:1D ．1:2【解析】ABCD ，故//AD BC ，DEF BCF ∽， DE EFBCFC， 点E 是边AD 的中点，12AEDEAD ， 12EF FC ． 故选：D ．7．四边形ABCD 与四边形A B C D 位似，O 为位似中心，若:1:3OA OA ，则:(ABCD A B C DS S 四边形四边形)A ．1:9B ．1:3C ．1:4D ．1:5【解析】四边形ABCD 与四边形A B C D 位似，四边形ABCD ∽四边形A B C D ， //AD A D ，OAD ∽△OA D ， ::1:3OA O AAD A D，:1:9ABCD A B C DS S 四边形四边形．故选：A ．8．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起， 测得影长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶( ) A ． 0.5mB ． 0.55mC ． 0.6mD ． 2.2m【解析】 设手臂竖直举起时总高度xm ，列方程得： 1.70.851.1x ， 解得 2.2x ， 2.2 1.70.5m ，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m ． 故选：A ．9．如图，在ABC 中，//DE BC ，12AD DB，则下列结论中正确的是( )A ．12AE AC B ．12DE BCC ．13ADE ABC 的周长的周长 D ．13ADE ABC 的面积的面积【解析】//DE BC ，ADE ABC ∽， AD AE DEABACBC， 12AD DB， 13AD AE DE AB AC BC ， 故A 、B 选项均错误；ADE ABC ∽， 13ADE AD ABC AB的周长的周长，21()9ADE AD ABC AB的面积的面积， 故C 选项正确，D 选项错误． 故选：C ．10．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB ，3CD，那么EF 的长是( )A ．13B ．23C ．34D ．45【解析】AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，////AB CD EF ，DEF DAB ∽，BEF BCD ∽，EF DF ABDB ，EF BFCD BD ， 1EF EF DF BF BD ABCDDBBDBD．1AB ，3CD ，113EF EF ，34EF． 故选：C ．二、填空题：（本题共7个小题，每小题3分，共21分） 11．若253a b b，则a b b143． 【解析】253a b b ， 523a b ， 511233a b， 11113a b， 即143ab b． 故答案为：143． 12．如果(0)a c e k bdfbdf，且3()acebdf ，那么k3 ．【解析】3()a c e b d f ，由等比性质，得3a a c e k b b d f，故答案为：3．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k 13． 【解析】一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，较小三角形与较大三角形的相似比61183k ． 故答案为：13．14．在ABC 中，12AB cm ，18BC cm ，24AC cm ，另一个与它相似的△A B C 的周长为18cm ，则△A B C 各边长分别为 4cm ，6cm ，8cm ．【解析】△A B C ABC ∽，△A B C 的周长：ABC 的周长:A B AB ，在ABC 中，12AB cm ，18BC cm ，24AC cm ，ABC 的周长为：54cm ，△A B C 的周长为18cm ， 1:::3A B ABA C ACB C BC， 4A B cm ，6B C cm ，8A C cm ．故答案为：4cm ，6cm ，8cm ．15．如图，一束光线从点(3,3)A 出发，经过y 轴上点C 反射后经过点(1,0)B ，则光线从点A 到点B 经过的路径长为 5 ．【解析】如图所示，延长AC 交x 轴于B ．则点B 、B 关于y 轴对称，CB CB ．作AD x 轴于D 点．则3AD ，314DB ．5ABACCBACCB．即光线从点A 到点B 经过的路径长为5．16．如图，在ABC 中，//DE BC ，23DE BC ，ADE 的面积是8，则ABC 的面积为 18 ．【解析】解；在ABC 中，//DE BC ，ADE ABC ∽． 23DE BC ， 2224()()39ADE ABCS DE S BC， 849ABCS， 18ABCS，故答案为：18．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且:2:1BE EC ，AE 与BD 交于点F ，则AFD 与四边形DFEC 的面积之比是 9:11 ．【解析】设CEx ，BEFSa ，CE x ，:2:1BE CE ， 2BEx ，3ADBCCDADx ；//BC AD EBF ADF ，又BFEDFA ；EBF ADF ∽ 2224:()()39BEFADFBE x SSADx ，那么94ADFS a ． BCDBEFABEADFABCDEFDCSSS S SS正方形四边形，22919932224x ax x x a ， 化简可求出256x a ； 299911:::9:114244AFDDFECSS a x aa a 四边形，故答案为9:11．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 18．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，且6a dm ，3b dm ，32ddm ，求线段c 的长度． 【解析】根据题意，acbd，即6332c ， 解得：3c ，答：线段c 的长度为3dm ． 19．若4312x y x y，求yx的值． 【解析】4312x yx y， 86x y xy ，57xy ，7557y y xy ．20．已知a 、b 、c 是ABC 的三边，且满足438324a b c ，且12a b c ，请你探索ABC 的形状． 【解析】令438324a b c k ．43ak ，32b k ，84c k ，34a k ，23b k ，48c k ．又12a b c ， (34)(23)(48)12kkk ，3k ．5a ，3b ，4c ．ABC 是直角三角形．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CDCDBD． （1）求证：ACD CBD ∽； （2）求ACB 的大小．【解析】（1）证明：CD 是边AB 上的高，90ADC CDB ，AD CDCDBD． ACD CBD ∽；（2）解：ACD CBD ∽，ABCD ，在ACD 中，90ADC，90AACD，90BCD ACD， 即90ACB． 22．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、CD 上的点，AE ED ，14DF DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G ．（1）求证：ABE DEF ∽；（2）若正方形的边长为4，求BG 的长．【解析】（1）证明：ABCD 为正方形， ADAB DC BC ，90A D ， AE ED ， 12AE AB， 14DF DC ， 12DF DE ， AE DF AB DE ， ABE DEF ∽； （2）解：ABCD 为正方形， //ED BG ， ED DF CG CF， 又14DFDC ，正方形的边长为4， 2ED，6CG ， 10BG BC CG ．23．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m 、20m 梯形空地上种植种植花木，如图： （1）他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为8元2/m ，当AMD 地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满BMC 地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元2/m 、10元2/m ，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？【解析】（1）四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，MAD MCB ，MDA MBC ，AMD CMB ∽，:(10:20AMD BMC S S 2)1:4．种植AMD 地带花费160元，单价为8元2/m ，220AMD S m ，280CMB S m ， BMC 地带所需的费用为880640（元)；（2）设AMD 的高为1h ，BMC 的高为2h ，梯形ABCD 的高为h ．1110202AMD S h ，14h ， 2120802BCM S h ，28h ， 12ABCD S AD BC h 梯形1(1020)(48)2180．2180208080()AMB DMC S S m ，16064080121760（元)，16064080101600（元)，应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B （点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 1.7AB 米；②小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得9.6BE米，小明的眼睛距地面的距离 1.2CB 米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？【解析】由题意得，BAD BCE ，90ABD CBE ， BAD BCE ∽，BD AB BE CB ， 1.79.6 1.2BD ，解得13.6BD ．答：河宽BD 是13.6米．25．如图，已知在ABC 和EBD 中，52ABBC AC EB BD ED ． （1）若ABC 与EBD 的周长之差为60cm ，求这两个三角形的周长．（2）若ABC 与EBD 的面积之和为2812cm ，求这两个三角形的面积．【解析】（1）52AB BC AC EB BD ED ， ABC DBE ∽， ABC 的周长：EBD 的周长52，设ABC 的周长为5k ，EBD 的周长为2k ， 5260k k ， 20k ， ABC 的周长100cm ，EBD 的周长40cm ； （2）52AB BC AC EB BD ED ， ABC DBE ∽， 2525()24ABC DBE S S ，ABC 与EBD 的面积之和为2812cm ， 2581270029ABC S ， 481211229EBD S ．。
九年级数学上册第四章图形的相似《相似三角形判定定理的证明》(基础)巩固练习(含解析)北师大版(20
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相似三角形判定定理的证明【巩固练习】一、选择题1。
如图，已知∠C=∠E,则不一定能使△ABC∽△ADE 的条件是（ ）A ．∠BAD=∠CAE B．∠B=∠D C．BC AC DE AE = D ．AB AC AD AE= 2．在Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=BC ，一直角三角板的直角顶角O 在AB 边的中点上，这块三角板绕O 点旋转，两条直角边始终与AC 、BC 边分别相交于E 、F ，连接EF ，则在运动过程中,△OEF 与△ABC 的关系是（ )A ．一定相似B ．当E 是AC 中点时相似 C ．不一定相似D ．无法判断3．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC=41BC ．图中相似三角形共有（ )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．如图,点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件,不正确的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AC AB AB AP =D ．CBAC BP AB = 5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ )二、填空题7．如图，在△ABC 中,P 为AB 上一点，则下列四个条件中（1）∠ACP=∠B；（2)∠APC=∠ACB；（3）AC 2=AP •AB ；(4)AB •CP=AP •CB ，其中能满足△APC 和△ACB 相似的条件有 （填序号）．8．如图,△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．(不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分!)9．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC△DEF（在横线上方填写“一定相似"或“不一定相似”或“一定不相似”）．10．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为，可证明△AOB∽△DOC．11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C,∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有对相似三角形．（不添加任何辅助线)三、解答题13．如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点,(1）求证：AC2=CE•CF；(2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．14．如图,AB=3AC,BD=3AE,又BD∥AC,点B，A，E在同一条直线上．(1)求证:△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD,设BD=a，求BC的长．15．已知：正方形ABCD中,E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF,AE与BF交于点M．（1）求证：△ABF≌△DAE;(2)找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线)．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；2.【答案】A.3。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习及解析
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( )A. 1∶9B. 1∶25C. 9∶25D. 3∶52.如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′=2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）A. 4：9B. 2：5C. 2：： 3.如果32a b = (0ab ≠），那么下列比例式中正确的是（ ）A. 32a b =B. 23b a =C. 23a b =D. 32a b = 4.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =5，BD =10，AE =3，则CE 的长为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 125.在下面的图形中，相似的一组是( )A. B. C. D. 6.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )A. B. C. D.7.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ．如图所示，若测得BE=90m ，EC=45m ，CD=60m ，则这条河的宽AB 等于（ ）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，-2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB 的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．10.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．11.如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA 的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.12.如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．13.如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在点B和点D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，且BD=30米，测得视线AC与地面HG的交点为F，视线AE与地面HG的交点为G，且H 、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF=3米，DG=5米，求旗杆AH的高度.14.如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC固定不动，让三角板DEF 绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC ＝120°)的底边中点O 重合，两边DF ，DE 分别与边AB ，BC 相交于点P ，Q .写出图中的相似三角形__ _ (直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF 旋转至两边DF ，DE 分别与边AB 的延长线、边BC 相交于点P ，Q .上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．三、填空题15.如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB =32，AC ＝10，那么EC ＝________．16.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．17.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD ，OB=3OC ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若 3.2CD cm ，则AB 的长为________cm ．18.在平面直角坐标系xOy 中，以原点为位似中心，线段AB 与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为__．参考答案1.C【解析】1.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可得.∵△ABC ∽△DEF ，BC ＝3，EF ＝5，∴相似比为BC EF =35，∴△ABC 与△DEF 的面积比为32：52，即△ABC 与△DEF 的面积比为9：25，故选C ．2.A【解析】2.∵四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，∴四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′， ∴2ABCD''''S OA =S 'A B C D OA ⎛⎫ ⎪⎝⎭四边形四边形 ， ∵OA ：OA′=2：3，∴ABCD ''''S 4=S 9A B C D 四边形四边形， 故选A.3.C【解析】3.∵3a=2b ， ∴23a b =或32b a =或23a b =， 所以只有选项C 是正确的，故选C.4.B【解析】4.∵DE ∥BC ，∴AD BD =AE EC ，即510=3EC， 解得：EC=6.故选：B.5.D【解析】5.根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，即可得答案．A 、两图形不是相似图形，故本选项错误；B 、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；C 、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误；D 、∵90°-40°=50°，∴两直角三角形相似，故本选项正确，故选D ．6.B【解析】6.首先求得△ABC 三边的长，然后分别求得A ，B ，C ，D 各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 分别为√10、√2、2，A 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为3、√5、√2，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；B 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√5、1、√2，与△ABC 的三边对应成比例，故符合题意；C 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√13、2、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；D 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为2√2、1、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意，故选B.7.A【解析】7.∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB CD =BE CE . ∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴AB =90×6045=120(m )故选A.8.（1）A 1（4，2），B 1（2，-4）； （2）A 2（0，2），B 2（-1，-1）；（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2）为位似中心的位似图形．【解析】8.试题分析：（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．试题解析：（1）如图所示，A 1（4，2），B 1（2，-4） ．（2）如图所示，A 2（0，2），B 2（-1，-1）．（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2），为位似中心的位似图形．9.（1）详见解析；（2）BE=32．【解析】9.（1）首先得出∠A ＝∠B ＝90°，再根据已知得到∠ADE=∠CEB ，利用两角对应相等的两个三角形相似即可得证；（2）利用相似三角形的性质得出BE 的长，进而得出答案即可．(1)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠ADE ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BEC ；(2)∵△ADE ∽△BEC ，∴BE AD =BC AE ，∵AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，∴BE 1=32， ∴BE ＝32， ∴AB ＝AE ＋BE ＝72.10.（1）见解析；（2）4√55.【解析】10.（1）根据正方形的性质得出∠ABE=∠BCG=90°，进而得出∠BAE=∠CBG ，再利用相似三角形的判定证明即可；（2）根据（1）中的相似三角形，利用其性质解答即可．（1）∵在正方形ABCD 中，∴∠ABE=∠BCG=90°，∵∠BAE+∠ABF=90°，∠CBG+∠ABF=90°，∴∠BAE=∠CBG ，∴△ABF ∽△CBG ；（2）∵△ABF ∽△CBG ，∴AB AF =BG BC ，∵AB=2，G 是CD 的中点，正方形ABCD ，∴BC=2，CG=1，∴BG=√BC 2+CG 2=√5 ， ∴2AF =√52 ，解得：AF=√5=4√55 ． 11.【小题1】 证明：∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.【小题2】 同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .【解析】11.（1）根据题意结合图形，证明△BDG∽△DCG ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． （2）方法同（1）中的解法，证明△BGH ∽△FGC ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． 证明：(1)∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.(2)同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .12.油面高0.6 m.【解析】12.由于DE ∥BC ，可知△ADE ∽△ABC ，再再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC=AD AB ， 即AE 1.5=1.22，解得AE ＝0.9 m ，∴EC ＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 13.24m【解析】13.试题分析：首先设AH=x ，BH=y ，根据△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ，得出BF GB HF HG =， DG DE HG AH =，然后将各数字代入求出x 的值. 试题解析：由题意知，设AH=x ，BH=y ，△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ， ∴BF GB HF HG =， DG DE HG AH=， ∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5） 解得x=24m ． 答：旗杆AH 的高度为24m ．14.(1)△APD ∽△CDQ ； (2)成立，图见解析，理由见解析；(3)△APD ∽△DPQ ，理由见解析；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由见解析.【解析】14.（1）通过角的转化得出∠APD=∠CDQ ，进而可得出△APD ∽△CQD ；（2）由已知可得∠BAC ＝∠BCA ，再根据已知可推导得出∠APD ＝∠CDQ ，继而可得出△APD ∽△CQD ；（3）△APD ∽△DPQ ，理由如下：由△APD ∽△CDQ ，可得AP CD =DP DQ ，再根据点D 为AC 的中点，继而可得出AP DP =AD DQ ，再根据∠PAD ＝∠PDQ ＝30°，即可证明△APD ∽△DPQ ；（4）△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可.(1)∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，∴∠APD=∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ，故答案为：△APD ∽△CDQ ；(2)成立，如图，理由如下：∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴∠ADP ＋∠APD ＝180°－30°＝150°，∵∠EDF ＝30°，∴∠ADP ＋∠CDQ ＝150°，∴∠APD ＝∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ；(3)△APD ∽△DPQ ，理由如下：如图，∵△APD ∽△CDQ ，∴AP CD =DP DQ ，∵点D 为AC 的中点，∴CD ＝AD ，∴AP AD =DP DQ ，即AP DP =AD DQ ，又∵∠PAD ＝∠PDQ ＝30°， ∴△APD ∽△DPQ ；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由：∵∠ABC ＝180°－2α， ∴∠A ＝∠C ＝α，∵∠ADP ＋∠APD ＝180°－α，∠ADP ＋∠QDC ＝180°－α， ∴∠APD ＝∠CDQ ，又∵∠A ＝∠C ，∴△APD ∽△CDQ.15.4【解析】15.由DE ∥BC ，推出AD DB =AE EC =32 , 可得EC=25AC , 由此即可解决问题．解：∵DE ∥BC ，∴AD DB =AE EC =32， ∵AC=10，∴EC=25AC =25×10=4，故答案为4．16.10【解析】16.首先证明△ABP ∽△CDP ，可得AB BP =CD PD ，再代入相应数据可得答案． 如图，由题意可得：∠APE=∠CPE ，∴∠APB=∠CPD ，∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB BP =CD PD， ∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，∴23=CD 15，解得：CD=10米.故答案为：10.17.9.6【解析】17.试题分析：∵OA ＝3OD ，OB ＝3CO ，∴OA ：OD ＝BO ：CO ＝3：1，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴13AO AB OD CD ==， ∴AB ＝3CD ，∵CD ＝3.2cm ，∴AB ＝9.6cm ，故答案为9.6．18.(-2,0)【解析】18.设B ′的坐标为()x y ，，∵线段AB 与线段A′B′是位似图形，且A （﹣1，2），A′（﹣2，4）， ∴位似比k=221-=-， ∵点B 的坐标是（-1，0），∴点B′的坐标为（-2，0）.。
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北师大版初三数学上册第四章《图形的相似》巩固练习
一、选择题
1．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
2.在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).
A．8，3B．8，6C．4，3D．4，6
3．如图，已知BC∥DE，则下列说法不正确的是()
A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE∶AD是相似比D．点B与点E，点C与点D是对应位似点
4．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).
A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3,
5．两个相似三角形对应角平分线的比为2∶3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4，EF ＝3，则CD的长为（）
A．4 B．7 C．3 D．12
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( B )
A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)
,
8．如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，连接AE、BD交于F，若S△DEF∶S△ABF＝1∶9，则DE∶EC＝（）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶9 D．2∶1
9．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ．若AD=OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（ ）
A ．1：2
B ．1：4
C ．1：5
D ．1：6
10．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．已知图中的两个三角形相似，则x ＝ .
12．如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为 .
13如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE •与△ABC •的面积之比为_______，
•△CFG 与△BFD 的面积之比为________.
14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF
＝__125
__．
15．如图，在三角形ABC 中，AB ＝24，AC ＝18，D 是AC 上一点，AD ＝12，在AB 上取一点E ，使以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE ＝ .
16．－油桶高0.8m ，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油面的高度为 .
三、解答题
17．已知a b ＝15，求2b －a 3a
的值． 18．如图，等腰直角△ABC 的斜边AB 所在的直线上有点E 、F ，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，
4)，C(－2，6)．
(1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；
(2)在网格内以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.
20．△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连接BD 并延长交CE 于点E .
(1)求证：△ABD ∽△CED ；
(2)若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．
21．如图，在△ABC 中，AD 是中线，且CD 2＝BE·BA.求证：ED·AB ＝AD·BD.
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．。