圆锥曲线题型总结 学生用

直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识：
1、中点坐标公式：1212,y 22
x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB ==
=
或者AB ===
= 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-
两条直线垂直，则直线所在的向量120v v ∙=
4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。

常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二：弦的垂直平分线问题
题型三：动弦过定点的问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
题型五：共线向量问题
题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值问题
题型八：角度问题
问题九：四点共线问题
问题十：范围问题（本质是函数问题）
问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围 解：
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等
解：
题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>x 轴
上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任
一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭
圆的焦点？并证明你的结论
解：
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC = ，2BC AC = ，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点
P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。

解：
题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。

解：
题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3
6短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3，求△AOB 面积的最大值。

题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。

（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l
被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

题型八：角度问题
例题8、（如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的
轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cos PM PN MPN
-∠＝,求点P 的坐标.
解：
问题九：四点共线问题
例题9、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点M ，且着焦点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB = ，
证明：点Q 总在某定直线上
问题十：范围问题（本质是函数问题）
设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点。

（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2 ，两点，O 为坐标原点， （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥ ？若存在，写出该
圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:。