圆锥曲线题型总结 学生用

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直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识:
1、中点坐标公式:1212,y 22
x x y y x ++==,其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。

2、弦长公式:若点1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上,
则1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,
AB ==
=
或者AB ===
= 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =-
两条直线垂直,则直线所在的向量120v v ∙=
4、韦达定理:若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则1212,b c x x x x a a +=-=。

常见的一些题型:
题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二:弦的垂直平分线问题
题型三:动弦过定点的问题
题型四:过已知曲线上定点的弦的问题
题型五:共线向量问题
题型六:面积问题
题型七:弦或弦长为定值问题
题型八:角度问题
问题九:四点共线问题
问题十:范围问题(本质是函数问题)
问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m ,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:14x y C m
+=始终有交点,求m 的取值范围 解:
题型二:弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2
y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ∆是等
解:
题型三:动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>x 轴
上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(I )求椭圆的方程;
(II )若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任
一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭
圆的焦点?并证明你的结论
解:
题型四:过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E :22221x y a b += (0)a b >>上的三点,其中点A 是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O ,且0AC BC = ,2BC AC = ,如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程;(II)若椭圆E 上存在两点
P 、Q ,使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。

解:
题型五:共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M :22
194
x y +=于P 、Q 两点,且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。

解:
题型六:面积问题
例题6、已知椭圆C :12222=+b y a x (a >b >0)的离心率为,3
6短轴一个端点到右焦点的距离为3。

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3,求△AOB 面积的最大值。

题型七:弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy 中,过定点C (0,p )作直线与抛物线x 2=2py (p>0)相交于A 、B 两点。

(Ⅰ)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求△ANB 面积的最小值;(Ⅱ)是否存在垂直于y 轴的直线l ,使得l
被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。

题型八:角度问题
例题8、(如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN +=(Ⅰ)求点P 的
轨迹方程;(Ⅱ)若2·1cos PM PN MPN
-∠=,求点P 的坐标.
解:
问题九:四点共线问题
例题9、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点M ,且着焦点为1(F (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足AP QB AQ PB = ,
证明:点Q 总在某定直线上
问题十:范围问题(本质是函数问题)
设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点。

(Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求1PF ·2PF 的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围。

问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m ,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
设椭圆E: 22
221x y a b
+=(a,b>0)过M (2 ,两点,O 为坐标原点, (I )求椭圆E 的方程;
(II )是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥ ?若存在,写出该
圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:。

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