陕西省石泉县池河中学中考数学复习课件15：锐角三角函数及其应用(共25张PPT)

于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
仰角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角
、 俯角
叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图⑤
坡度(坡比) 、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，
用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角.如图
⑥，i＝tanα＝
h l
图④
图⑤
图⑥
陕西中考真题
tan25°≈0.5， 3 ≈1.7)
练习2题图
解：如解图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，设CD＝x 米．
在Rt△ADC中，∠DAC＝25°，
∴tan25°＝CD ≈0.5， ∴AD≈ CD＝2AxD，∴BD＝(2x－4)米．
0.5
在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，
∴tan60°＝
CD =
x
= 3，
解得x＝ 4
3
BD 2x 4
≈3.
练习2题解图
2 31
答：该生命迹象所在位置C的深度约为3米．
3. 两个观测点分别观测两个位置点
图形示例 (虚线为构造直角 三角形时所作辅
助线)
（2对2型）
练习3 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测 得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m，到达B点，测得杆 顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和28°.求该电线杆
俯角为45°(点B、E、D在同一直线上)，求两幢建筑物之
间的距离BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈ 0.67， cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
练习1题图
解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15 m，∠AEB＝42°，
重难点精讲优练
类型
解直角三角形的实际应用
1. 同一个观测点观测两个位置点
图形示例 (虚线为构造 直角三角形时 所作辅助线)
(1对2型)
练习1 如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD， AB＝15 m，CD＝20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在 A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的
∵tan∠AEB＝ AB ，∴BE＝ 15 ≈15÷0.90＝ 50 (m)．
BE
tan42
3
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，
CD＝20 m，
50
∴ED＝CD＝20 m，∴BD＝BE＋ED＝ 3 ＋20≈36.7(m)． 答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m.
2. 两个观测点观测同一个位置点
图形示例(虚 线为构造直 角三角形时 所作辅助线)
(2对1型)
练习2 (2016自贡)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织
抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、
B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与 地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象 所在位置C的深度.(结果精确到 1米， 参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，
已知斜边和一条直角 边(c，a)
图形
解法
AB＝ a2 b2 ，由
tanA＝
a b
求∠A，∠B
＝90°－∠A
AC＝ c2 a2 ，由sinA
＝ a 求∠A，∠B＝
c
90°－∠A
4.锐角三角函数的实际应用
一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作
方 为起始方向旋转到目标方向所成的角(一般指锐角)，通 向 常表达成北(南)偏东(西)x度，如图④，A点位于O点的北 角 偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位
第七节 锐角三角函数及其应用
【考情解读】解直角三角形的实际应用近10年5考，其中 2015年在填空题中与“计算器的使用”结合考查；2017、 2012和2010年均在解答题第20题考查，涉及仰角、俯角和方 向角、与相似三角形的应用交替考查、题中所涉及角度均为 2个，一个为特殊角，一个为非特殊角，或两个都为非特殊 角，解题关键在于根据图形作高构造直角三角形.主要体现 数学核心素养中的数学建模、直观想象、数学运算 .
3.直角三角形的边角关系
已知条件
已知一直角边和一锐 角(a，∠A)
图形
已知斜边和一个锐角(c ，∠A)
解法
∠Ba＝90°－∠A，AaB ＝sinA ，AC＝__t_a_n_A
(或AC＝ AB2 a2 )
∠B＝90°－∠A，
BC＝c·sinA，AC＝ c·cosA
已知条件 已知两直角边(a，b)
2. 特殊角的三角函数值
角度α 三角
函数值
30°
45°
sinα cosα tanα
1 2
3
__2__
3 3
2 2
2 2
__1பைடு நூலகம்_
60°
3
__2__
1 2
3
图形
(2)规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2， 分子依次为1、 、2 ；330°、45°、60°角的余弦值恰好 是60°、45°、30°角的正弦值.
1. (2016陕西副题20题7分)某市为了创建绿色生态城市，在 城东建了“东州湖”景区.小明和小亮想测量“东州湖”东
西两端A、B间的距离.于是，他们去了湖边，如图，在湖的
南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测
得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点 C的北偏东45°方向.请你根据以上提供的信息，计算“东州 湖”东西两端之间AB的长.(结果精确到1米) (参考数据：sin73°≈0.9563，cos73°≈0.2924， tan73°≈3.2709， 2 ≈1.414)
基础知识梳理
1. 锐角三角函数的定义
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对
边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.
s∠inAA的＝余弦A斜的：边对co边sA＝＝____A_a斜 c的_边邻 __边_.＝_____bc____.
∠A的正切：tanA＝
A的对边 邻边
a
＝_____b____.
第1题图
解：在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，BC＝350，
∴BD＝350sin45°＝175 .
2
∴CD＝BD＝175 .………………(3分)
2
在Rt△ACD中，∠ACD＝73°，
∴AD＝175 tan73°.………………(5分)
2
∴AB＝AD＋BD＝175 2 tan73°＋175 2 ≈1057(米)． ∴“东州湖”东西两端AB的长约为1057米．…………(7分)