三角函数典型考题归类解析

三角函数典型考题归类解析

三角函数是中学数学学习中重要的基本初等函数之一，与代数、几何有着密切的联系，是解决数学问题的一种有利工具.三角函数作为中学数学的基础内容，在高考试题中年年呈现，多数以中低档题出现，可以独立命题，也可以与其它知识综合渗透.下面就07年全国高考中解答题进行梳理归类，供读者学习时参考： 1．根据解析式研究函数性质

例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1

f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣

⎦，上的最小值和最大值．

解析：（Ⅰ）

π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛

⎫=-+=-=

- ⎪

⎝

⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π．

（Ⅱ）解法一：因为

π()24f x x ⎛⎫=

- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，3π8f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，3π3πππ1

4244f ⎛⎫⎛⎫

=-==- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，

故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦，

1-．

解法二：作函数

π()24f x x ⎛

⎫=

- ⎪

⎝

⎭在长度为一个周期的

区间π9π84⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区

间

π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，

最小值为3π1

4f ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭．

点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数

sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数，然后借助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题得以形象直观展示出来易于解决.

【相关高考1】（湖南文）已知函数

2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．

解析：ππ()cos(2)sin(2)4

4f x x x =+

+

+

πππ))2442x x x

=+

+=

+

=

．

（I ）函数

()

f x 的最小正周期是2ππ

2

T =

=；

（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ

2

k x k -≤≤（k ∈Z

）时，函数

()2f x x

=

是增函数，故

函数

()

f x 的单调递增区间是

π[ππ]

2

k k -

，（k ∈Z ）．

【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛

⎫=+ ⎪

⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．

（I ）设0

x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．

解析：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]

2

6f x x =

++

．

因为

x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以

0π

26x +

πk =，即

0 π

2π6x k =-

（k ∈Z ）．

所以0011π

()1sin 21sin(π)2

2

6g x x k =+

=+

-

．当k 为偶数时，

01

π13()1sin 12644g x ⎛⎫

=+

-=-= ⎪⎝⎭

， 当k 为奇数时，

01π15

()1sin 12644g x =+=+=

． （II ）

1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛

⎫=+=

++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

1π3113cos 2sin 2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=

+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝

⎭． 当

πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππ

ππ1212k x k -+

≤≤（k ∈Z ）时， 函数

1

π3()sin 2232h x x ⎛⎫=

++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡

⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．

2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）

如图

，函数

π2cos()(00)

2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤

的图象与y 轴相

交于

点(0，且该函数的最小正周期为π．

（1）求θ和ω的值；

（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪

⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点

00()Q x y ，是P A

的中点，当

02y =

，0ππ2x ⎡⎤

∈⎢⎥

⎣⎦，时，求0x 的值． 解析：（1）将0x =

，y =

2cos()

y x ωθ=

+cos 2θ=

，因为

π02θ≤≤

，所以

π6θ=

．

由已知πT =，且0ω>，得

2π2π2

T πω=

==．

（2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是P A

的中点，02y =．所以点P

的坐标为0π22x ⎛- ⎝． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，且0π

π2x ≤≤

，所以05πcos 462x ⎛⎫-= ⎪

⎝⎭，

07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=，即02π3x =或03π

4x =．

解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数θ的值，根据题意图象与

y

轴相交于点

(0建立等式关系凭借θ的限制条件就能确定θ的

值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点

00()

Q x y ，将点P 表示出来代入