一题多解专题十五：求斜率的取值范围

一题多解专题十五：求斜率的取值范围

斜率取值范围的两种求法

(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定.

(2)构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率k 满足的不等关系，构造不等式求解.

例1、已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为_________.

法一：因为A(2,-3)，B(-3,-2)，P(1,1)，

所以41213-=---=PA k ,431312=----=PB k 如图（1）所示： 因此直线l 的斜率k 的取值范围为k≤-4或43≥k 法二：依题设知，直线l 的方程为：y -1=k(x -1)，即kx -y+1-k=0,

若直线l 与线段AB 有交点，则A ，B 两点在直线l 的异侧 (或A ，B 之一在直线l 上)， 故(2k+4-k)·(-3k+3-k)≤0， 即(k+4)(4k -3)≥0,解得：k≤-4或43≥

k 1、已知实数x,y 满足2x+y=8,当2≤x≤3时, 求1

1-+x y 的取值范围. 解析】由

1

1-+x y 的几何意义知,它表示点A(1,-1)与线段CD 上任一点P(x,y)连线的斜率,如图2. ∵线段的端点为C(2,4),D(3,2),

2

31312,51214=-+==-+=∴AD AC k k AC Ap AD k k k ≤≤∴,即51

123≤-+≤x y ∴11-+x y 的取值范围是]5,2

3[ 2．直线经过A (2,1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭

⎫π2，π C ．⎣⎡⎦

⎤0，π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π 图

图2

解析 B 直线AB 的斜率k ＝m 2－11－2

＝1－m 2≤1，设直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以π2<α<π或0≤α≤π4

，即直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭

⎫π2，π.