微专题定点定值问题教师版 (1)

圆锥曲线中一类定点定值问题

概念与用法

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．

基本解题数学思想与方法

解答此类问题的基本策略有以下两种：

1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．

2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关． 课前预习：

1、已知直线l 方程为()()32280m x m y ++-+=，当m 变化时，直线l 恒过定点_________()-13，

2、已知圆()()2

2

C 1225,,x y k Z -+-=∈：直线l ：10kx y k -+-=与圆C 的交点个数________

3、直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2

m

＝1恒有公共点，则m 的取值范围是__________. m ≥1且m ≠5

4、已知定圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16，圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C .则曲线C 的方程是 ▲ ．x 24＋y 2

3

＝1

5、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．

【答案】⎡-⎣

6、已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0

x 的取值范围为 ▲ 答案：(1,0)(0,2)-

例1、 在直角坐标系x O y 中，已知椭圆214

x y +=的左、右焦点分别为'F 与F ，圆F ：(22

5

x y +=（1） 设M 为圆F 上一点，满足'MF MF=1

，求点M 的坐标

（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心、OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，求证：点F 到直线QT 的距离FH 为定值。

例2、已知椭圆22

22

:1(0)x y

C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线l 与椭圆C 交于点M 、 N ．

（1）若椭圆C 的离心率为

1

2

，右准线的方程为4x =，M 为椭圆C 上顶点，直线l 交右准线于点P ，求11

PM PN

+

的值； （2）当224a b +=时，设M 为椭圆C 上第一象限内的点，直线l 交y 轴于点Q ，11F M F Q ⊥，证明：点

M 在定直线上．

18．（1）设2(,0)F c ，则21,2

4

c a a c

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,1a c =⎧⎨=⎩，

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=， ……2分 则直线l

的方程为1)y x =-，令4x =

，可得(4,P -，

联立2

21),

143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得25204x x -=

，所以M

，8(,5N ， ……4分

所以

111518243PM PN +=+=+= 6分

（2）设0000(,)(0,0)M x y x y >>，2(,0)F c ，则直线l 的方程为0

0()y y x c x c

=--，

令0x =，可得0

0(0,)cy Q x c

--， ………8分

由11F M F Q ⊥可知，110

0001F M F Q cy y x c

k k x c c

--⋅=

⋅=-+，整理得22200y x c =-， 又222224c a b a =-=-，

联立2

2

2

002200

22

(24),14y x a x y a a ⎧=--⎪⎨+=⎪-⎩，解得2

020

,222a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

， 14分 所以点M 在定直线2x y +=上．

例3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2

b

2＝1 (a >b >0)上的两点，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝⎛⎭⎫x 2b ，y 2a ，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝3

2

，短轴长为2，O 为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值； (3)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

(1)y 24＋x 2

＝1 (2)±2 (3)①当直线AB 的斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，

由m·n ＝0，得x 12

－y 124

＝0，即y 12＝4x 12，

又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 12＋y 1

2

4

＝1，

所以|x 1|＝2

2，|y 1|＝2，

所以S △AOB ＝1

2

|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1，

②当直线AB 的斜率存在时：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋b y 2

4＋x 2

＝1

，得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2

－4＝0， 则x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4

，

由x 1x 2＋y 1y 2

4＝0，得x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4

＝0，

整理得：2b 2－k 2＝4，所以S △AOB ＝12·|b |1＋k 2·AB ＝12|b |(x 1＋x 2

)2

－4x 1x 2 ＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4

＝4b 2

2|b |＝1，

所以△AOB 的面积为定值.