3.1.1不等关系和3.1.2不等关系与不等式(一)课件ppt

a a－ b a (2)当 a＝b 时， ＝1，a－b＝0，∴ ＝1， b b
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
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自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－ ＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－ ＋ ＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－ ＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
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【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较 法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间 的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
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【训练3】 若m＞0，比较mm与2m的大小．
∴x2＋x＋1＞－2m2＋2mx.
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题型三 比较大小——作商法
【例3】 (本题满分12分)已知a＞0，b＞0，比较aabb与abba的 大小． 审题指导 作商法适用于幂式、积式、分式间大小的比 较，作商后可变形为能与1比较大小的式子，要注意利 用函数的有关性质进行比较．
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规律方法 (1)作差法比较两个实数的大小时，关键是作 差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断． (2)变形的方法 ①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数运算性质； ⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论
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【训练2】 已知x∈R，m∈R比较x2＋x＋1与－2m2＋2mx的大 小．
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[错解] 设提供 A 药片 x 片，B 药片 y 片， 2x＋y≥12， 则由题意得5x＋7y≥70， x＋6y≥28.
不要忽略了x，y的实际意义，应有x≥0且y≥0.
[正解] 设提供 A 药片 x 片，B 药片 y 片，则由题意得 2x＋y≥12， 5x＋7y≥70， x＋6y≥28， x≥0，x∈N y≥0，y∈N
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解 假设截得的500 mm钢管x根，截得的600 mm钢管y根． 根据题意，应满足的不等关系为：
500x＋600y≤4 000， 3x≥y， x∈N， y∈N.
规律方法 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是 具有相同性质， 可以进行比较时，才可用；没有可比性的 两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．另外，在用 不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
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以上不等关系对药品成分的限定额度是完全正确 的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的 数量均非负且为整数，这一隐含条件往往是容易被忽视 的，应引起我们足够的重视．
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2．比较实数大小的基本方法 (1)作差法：若a－b＞0，则a＞b； 若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.
(2)作商法： a a 若 a＞0，b＞0，则有：a＞b⇔ ＞1，a＝b⇔ ＝1， b b a a＜b⇔ ＜1. b a a 若 a＜0，b＜0，则有：a＞b⇔ ＜1，a＝b⇔ ＝1， b b a a＜b⇔ ＞1. b
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x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4， 0≤y≤7， x，y∈N. x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 0≤x≤4， 0≤y≤7， x，y∈N.
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题型二
比较大小——作差法
【例2】 已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
误区警示
忽略变量的实际意义导致错误
【示例】 两种药片有效成分见下表：
成分 阿司匹林(mg) 药品 A(1片) B(1片) 2 1 5 7 1 6 小苏打(mg) 可待因(mg)
若要求至少提供12 mg阿司匹林、70 mg小苏打、28 mg可 待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等 式的形式写出来．
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【训练1】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为 6 t的乙型卡车，有9名驾驶员，该车队每天至少要运360 t矿 石至治炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车 每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等 式． 解 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，根据题意，应 有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆，用关于 x，y的不等式表示上述不等式关系即可．
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[规范解答] ∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，abba＞0， aa－ b a a－b ab ∴ b a＝ a－ b＝ .(2 分) ab b b
a b
a a－b a 讨论：(1)当 a＞b 时， ＞1，a－b＞0，∴ ＞1， b b
∴aabb＞abba.(5 分)
解 ∵x2＋x＋1－(－2m2＋2mx) ＝x2－(2m－1)x＋2m2＋1
2m－12 1 ＝x－ － (2m－1)2＋2m2＋1 2 4 12 3 2 ＝x－m＋ ＋m ＋m＋ 2 4 12 1 2 1 1 ＝x－m＋ ＋m＋ ＋ ≥ ＞0， 2 2 2 2
不等式性质的证明，也是解(或证)不等式的重要依据． 想一想：不等关系与不等式有什么区别？ 提示 不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号 “＞”、“＜”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表 示不等关系的，可用“a＞b”、“a＜b”、“a≠b”、“a≥b”或 “a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．
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名师点睛
1．对“不等关系”与“不等式”的几点理解 (1)常见的文字语言与符号语言之间的转换
大于， 小于等于，至 小于，低于， 大于等于，至 文字 高于， 多，不多于， 语言 少于 少，不低于 超过 不超过
符号 语言
＞
＜
≥
≤
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(2)“不等关系”与“不等式”的关系 不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤” 表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a ＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不难发现，不等关 系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系 就无从体现． (3)注意问题的实际意义 体积、面积、长度、质量、时间等均为非负实数．
§1
不等关系
1.1 不等关系
1.2 不等关系与不等式（一）
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【课标要求】
了解不等式(组)的实际背景． 1． 学会比较两个数大小的方法． 2． 【核心扫描】
1．用不等式(组)表示出不等关系．(难点) 2．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，比较两个数大 小的方法．(重点)
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解
m m mm mm m m ＝ .当 ＝1，即 m＝2 时， ＝1， 2 2 2 2
m mm ∴mm＝2m；当 ＞1，即 m＞2 时， m ＞1，∴mm＞2m； 2 2 m mm 当 0＜ ＜1，即 0＜m＜2 时，0＜ m ＜1，∴mm＜2m. 2 2
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2．实数的运算性质与大小顺序之间的关系 a＞b a－b＞0⇔_____；a－b＝0⇔ ______ ；a－b＜0⇔ ______. a＝b a＜b 实数的运算性质 等价符号的左边反映的是_______________，右边反映的是 实数的大小顺序 _______________ ，它是不等式这一章内容的理论基础，是
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题型一
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和 600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超 过500 mm钢管的3倍，请写出满足上述所有不等关系的不等 式． [思路探索] 首先认真分析各不等关系中量与量之间的关 系，再用不等式将其表示出来．