第六章 动力学基础

J z = ∑ m i ri
i =1
n
2
影响转动惯量的因素有：刚体的质量、 影响转动惯量的因素有 刚体的质量、质量的分布情况以及 刚体的质量 轴与刚体固连在一起时J 转轴的位置 ，若z轴与刚体固连在一起时 z是常量。 轴与刚体固连在一起时 是常量。
n v d (Jzω) = ∑Mz (F) i dt i= 1 v dω n 或 Jz = ∑Mz (F ) i dt i=1 v Jzε = ∑Mz F) （i
动量矩定理
MO(mv) = r ×mv
质点动量mv在Oxy平面的投影 平面的投影（ 质点动量mv在Oxy平面的投影（mv)xy 对于点O的矩 的矩， 对于点 的矩，定义为质点动量对于 对于z轴的动量矩 z轴的矩，简称对于 轴的动量矩 轴的矩， 轴的矩 简称对于 轴的动量矩。 质点对于O点的动量矩矢在 轴上的投影 等于对z轴的动量矩 轴的动量矩。 质点对于 点的动量矩矢在z轴上的投影，等于对 轴的动量矩。 点的动量矩矢在 轴上的投影，
第一节
1.牛顿第一定律 牛顿第一定律
动力学的基本定律
牛顿第一定律——如果质点不受力的作用，那么它或 牛顿第一定律 者是静止，或者是作匀速直线运动。 牛顿第一定律表明，任何物体都有保持静止或匀速直 线运动状态的属性，该属性习惯上称为惯性。因此牛 顿第一定律也称惯性定律 惯性定律。 惯性定律
2.牛顿第二定律 牛顿第二定律 牛顿第二定律——质点受力的作用时所获得的加速度 牛顿第二定律 与力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的 方向与力的方向相同。即
•牛顿定律所给出的结论只有在惯性参考系才是正确的。
第二节
质点运动的微分方程
质点受到n个力F1，F2，…，Fn作用时，由质点动力学的 基本方程，有 n
ma = ∑ Fi
i =1
根据质点运动学中描述质点的运动的三种基本方法，可以将 质点的动力学基本方程表示为不同形式的微分方程。 一、质点运动微分方程的矢量形式
例6-3 如图所示，已知定滑轮半径为r，转动惯量为J，带动 定滑轮的胶带拉力为F1和F2。求定滑轮的角加速度ε。 解 由刚体绕定轴的转动微分方程，有
Jε = ( F1 − F2 )r
则
( F1 − F2 )r ε= J
由此可见，欲使跨过定滑轮的胶带拉力相等，只有当定滑轮为 匀速转动(包括静止)，或当非匀速转动时可忽略定滑轮的转动 惯量的条件下才能实现。
动力学的几个基本概念 动力学——研究物体机械运动与作用在物体上的力之间的关系 动力学 的科学。 质点——具有质量而形状和大小都可以忽略不计的物体。 质点 质点系——由几个或无限个有联系的质点所组成的系统。 质点系 运动量——从不同的侧面来描述系统的运动特征。 运动量 物理量 作用量——从不同的侧面来描述力系的作用效果。 作用量
[Mo(mv)]z = Mz (mv)
正负号规定与力对轴矩的规定相同：对着轴看“顺时针为负， 正负号规定与力对轴矩的规定相同：对着轴看“顺时针为负， 与力对轴矩的规定相同 逆时针为正” 逆时针为正”。
2.质点系的动量矩 质点系的动量矩 质点系对点O动量矩等于各质点对同一点 的动量矩的矢量和 质点系对点 动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和， 动量矩等于各质点对同一点 的动量矩的矢量和， 质点系动量对点O的主矩 或者称为质点系动量对点 的主矩， 或者称为质点系动量对点 的主矩，即
l P = ∑ mi vi = m wt 2
(3)因为皮带及皮带轮的质量均匀分布，系统在任何瞬时的形状 与质量分布都是相同的，所以质心的位置固定不动 即
vc = 0
故
mvc = 0
第五节
一、动量矩 1.质点的动量矩 质点的动量矩 质点Q的动量对于 点的矩， 的动量对于O点的矩 质点 的动量对于 点的矩， 定义为质点对点 的动量矩： 质点对点O的动量矩 定义为质点对点 的动量矩：
mvcy = ∑ mi vi y
mvcz = ∑ mi vi z
例6-4 求图中各质点系的动量。(1)质量为m，质心速度为 vc的 均质圆盘在水平面上运动；(2)质量为m，长为l的均质杆绕O轴 转动的角速度为ω；(3)皮带及皮带轮的质量都是均匀的。
解
(1) (2)
P = ∑ mi vi = mvc
d 2s Fr = mr a = m 2 dt
Fn = man = m
v
2
ρ
例6-1 质量为m的质点M绕椭圆形路线运动，如图所示其运 动方程为 x = a cos kt
y = b sin kt
方程中a、b、k都是常数，求作用在质点上的力F。 。 解 以质点M为研究对象，将运动 方程微分两次得
L = ∑Mo (mvi ) O i
i= 1
n
质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴 动量矩的代数 质点系对某轴 的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数 的动量矩等于各质点对同一轴 和，即 n
Lz = ∑Mz (mvi ) = ∑m (xiviy − yivix) i i
i= 1
所以有
[LO]z = Lz
Fx = max = −mk2x
力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的 运动方程作椭圆运动。
例6-2 质量为m的质点在已知力Fx=Fsinωt的作用下沿x轴运 动，在初始时t=0，x=x0,vx=v0，求该质点的运动。 解 取质点为研究对象，质点的运动微分方程为
m dv x = F sin wt dt
代入，分离变量并积分得
dx = v 0 dt +
x = x 0 + (v 0 +
F F )t − sin wt 2 mw mw
第三节
刚体绕定轴转动的微分方程
1.刚体绕定轴转动的概念 刚体绕定轴转动的概念 刚体绕定轴转动——刚体转动时，刚体内始终有一条直线 刚体绕定轴转动 固定不动，而这条直线以外的各点则绕此直线作圆周运动。 2.刚体绕定轴转动的微分方程 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体的转动惯量 转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对z轴 转动惯量 的转动惯量定义为
d d dr d M o ( mv) = (r × mv) = × mv + r × (mv) dt dt dt dt
因为
所以
d dr (mv) = F =v dt dt d M o (mv) = v × mv + r × F dt
因为 v × mv = 0, r × F = M o ( F ) 得
dv d 2 r a= = 2 dt dt
n d 2r m 2 = ∑ Fi dt i =1
二、质点运动微分方程的直角坐标形式
d 2x ax = 2 dt
d2y ay = 2 dt
由牛顿第二定律得
d 2x Fx = m 2 dt
d2y Fy = m 2 dt
三、质点运动微分方程的自然坐标形式 若将课本中的式(6-2)在自然轴系的切线方向、法线方 向投影可得质点运动微分方程的自然坐标形式，即
两边乘以dt得 两边积分得 推导出
mdv x = F sin wtdt
∫
vx
v0
mdv x = ∫ F sin wtdt
0
t
mv x − mv 0 = −
F (cos wt − 1) w
v x = v0 +
将 vx =
dx dt
F (1 − cos wt ) mw
F (1 − cos wt ) dt mw
d M o (mi vi ) = M o ( Fi ) + M o ( Fi′) dt
n个方程相加，有 个方程相加， 个方程相加
n n d ∑ dt M o (mi vi ) = ∑ M o ( Fi ) + ∑ M o ( Fi′) i =1 i =1 i =1 n
d d n d 由于 ∑ M o (mi vi ) = ∑ M o (mi vi ) = Lo , dt i =1 dt i =1 dt
d Mo (mv) = Mo (F) dt
d Mo (mv) = Mo (F) dt
上式表示质点对任意一定点的动量矩对时间的一阶导数， 上式表示质点对任意一定点的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用力对同一点的矩，称为质点的动量矩定理 质点的动量矩定理。 等于作用力对同一点的矩，称为质点的动量矩定理。 2．质点系的动量矩定理 ． 对于n个质点，由质点动量矩定理有 对于 个质点， 个质点
r r F a= m
或
r r F = ma
这是一个矢量表达式，它表明力的方向与加速度方向是一致的。
3.牛顿第三定律 牛顿第三定律 牛顿第三定律——两物体间相互的作用力，总是大小 牛顿第三定律 相等，方向相反，并且沿着同一条直线。 牛顿第三定律也称为作用力和反作用力定律 作用力和反作用力定律。这个定 作用力和反作用力定律 律不仅在物体平衡时适用，而且也适用于作任何形式 运动的物体。
教学重点
质点运动的微分方程； 质点运动的微分方程； 刚体绕定轴转动的微分方程； 刚体绕定轴转动的微分方程； 质点的动量矩定理和动能定理； 质点的动量矩定理和动能定理； 质点的达朗伯原理。 质点的达朗伯原理。
教学难点
刚体绕定轴转动微分方程及其应用； 刚体绕定轴转动微分方程及其应用； 质点和质点系的动量定理； 质点和质点系的动量定理； 质点和质点系的动量矩定理； 质点和质点系的动量矩定理； 质点和质点系的达朗伯原理。 质点和质点系的达朗伯原理。
上式表明：质点系对某点 的动量矩矢在通过该点的 的动量矩矢在通过该点的z轴上的投 上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 轴上的投 影等于质点系对于该轴的动量矩。 影等于质点系对于该轴的动量矩。
二、动量矩定理 1.质点的动量矩定理 质点的动量矩定理 对质点动量矩求一次导数， 对质点动量矩求一次导数，得