自动控制原理-2-1数学模型

解：按ຫໍສະໝຸດ Baidu一般步骤：
（1）输入量：F(t) 输出量：y(t) 中间变量：
弹性阻力Fk(t)，粘滞阻力Ff(t) （2）设系统按线性集中参数考 虑，且无外力作用时，系统处于平 衡状态。
F(t) K m y(t)
f
9
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
F

F(t)
Fk (t )
Ff (t)

m
n 按照所选分析方法，确定数学模型的形式 n 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，
建立尽量简化的、合理的数学模型
微分方程的建立步骤
1. 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量 及内部中间变量，掌握各变量之间的关系
2. 做出合乎实际的假设，忽略次要因素，使问题简化 3. 根据支配系统动态特性的基本定律列出各部分的原始方
式无关，是系统本身的固有特性 u 此比值即称为传递函数，记作G(s)，是复数域内描述
系统输入输出关系的数学模型
G(s) Uc(s) 1 U r ( s) RCs 1
Uc(s) = G(s) Ur(s)
Ur(s)
Uc(s)
G(s)
33
传递函数的定义
u 定义：在初始条件为零的线性定常系统中，系统输出 与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。
设线性定常系统的微分方程式为
a0
d nc(t ) dtn

a1
d n1c(t) dtn1

an1
dc(t) dt

anc(t)

b0
d mr(t ) dtm

b1
d m1r(t) dtm1

bm1
dr(t) dt

bmr(t)
式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。
34
在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得
铁磁材料的饱和特性： 磁场密度B增长率随 激磁电流I增加而减小
线性化的常用方法
n 作图法：已知特性曲线，直接在工作点处作切线 n 实验法：在工作点附近实测偏量x, y 并计算斜率 n 解析法：用一次多项式近似表示特性曲线
---即在工作点附近使用泰勒展开 n 注意：使用解析法要求非线性函数在工作点处各阶
)

anc(t)

b0
d mr(t ) dtm

b1
d m1r(t) dtm1

bm1
dr(t) dt

bmr(t)
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。
8
机械系统举例
例2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t) 为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。
(s sn ) i1 (s si )
ci可用待定系数法或留数法求得。
22
拉普拉斯反变换
u 若F(s)无重极点，用部分分式展开法得到：
F ( s) c1 c2 cn
n

ci
( s s1 ) ( s s2 )
(s sn ) i1 (s si )
u 查表得反变换：
小偏差线性化要点总结
n 通常工作点为系统稳定工作状态，偏差信 号不会很大
n 本质非线性系统若无法泰勒展开，则不可 线性化
n 书写中一般省略偏量符号Δ，但仍应作偏
量理解
复习：拉普拉斯变换
n 拉氏变换定义：
F ( s ) f (t )e st dt L( f (t )) 0
n 拉氏反变换：
f (t )
L1

n
i1
(
s
ci
s
i
)


n
cie sit
i1
u 重极点的情形见p35
常用拉氏变换表（p32-33）
f(t)
F(s)
(t)
1
u(t )
1 s
tu(t )
1 s2
e at
1
sa
拉氏变换的性质
1)线性性质 L[ af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
第二章 控制系统的数学模型
u 数学模型的定义 描述系统内部物理量之间关系的数学表达式
u 数学模型的作用 1.求解得到某些物理量随时间变化的规律 2.进一步研究系统特性的基础
系统数学模型的特点
n 相似性： 许多工程控制系统具有相同的运动规律 n 简化性和准确性： 同一物理系统数学模型不唯一，有完整的、 复杂的模型和简单的、近似的模型，建模 时应作折中考虑
2)微分性质
L
df (t dt
)


sF ( s)
f (0)
常用：若 f (0) f (0) f (n1) (0) 0 ,
则
L d
n x(t)
dt n


sn
X
(s)
3)积分性质 L f (t )dt 1 F ( s ) 1 f (1) (0)
d 2 y(t) dt 2
（4）写中间变量与输出量的关系式
Fk (t) ky(t)
Ff
(t)


f
dy(t) dt
（5）将辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得
m
d
2 y( dt 2
t
)

ky(t)
f
dy(t dt
)

F
(t
)
10
（6）整理方程得标准形
m k
d
2 y(t dt 2
)

写成偏量方程为
y

cos0

1 2!

sin0
2

...
忽略高次项，即
y cos0
在 0 0 的邻域：y (sin )
在 0 的邻域：y (sin sin )
结论：工作点不同，线性化方程一般不同！
f
(t)

1
2j
jF ( s )e st ds L1 ( F ( s ))
j
(t 0)
n 实际使用部分分式展开法+查表求反变换
21
u 部分分式展开法：
F (s)
B(s) A( s )

b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm sn a1sn1 an1s an
建立数学模型的方法
n 解析法
u 依据描述系统运动规律的定律列写运动方程
n 实验法（系统辨识）
u 基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型 u 当系统机理复杂，难以分析或无法分析时使用
建立数学模型的原则
n 建模之前，全面了解系统的自然特征和运 动机理，明确研究目的和准确性要求，选 择合适的分析方法
R
u0
C
uc
解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)，写出电路方程：
RC
duc (t dt
)

uc
(t
)

ur
(t
)
记电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换
30
RCsU c (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s)
Uc (s)

1 RCs

1
Ur
(
s)

RC RCs
s2 s 5 s(s2 3s 2)

s2 s 5 s(s 1)(s 2)
5/2 5 3/2 s s1 s2
y(t) = 5/2 5 e t + 3/2 e2t
29
例2-5 如图所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求 出电容电压uc(t)的变化K规律。

b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm ( s s1 )( s s2 ) ( s sn )
这里s1 , … , sn是 A(s) = 0的根，称为X(s)的极点。
若极点各不相同，可得：
F ( s)
c1

c2
cn
n

ci
( s s1 ) ( s s2 )
程式 4. 列写各中间变量与其他变量的因果式（辅助方程） 5. 联立上述方程，消去中间变量 6. 将方程式化成标准形（输出在左，输入在右，导数降阶）
7
微分方程的标准形式
线性定常物理系统的微分方程一般具有以下形式：
a0
d nc(t ) dtn

a1
d n1c(t) dtn1

an1
dc(t dt
t 0
f1( )
f2(t

)d
为f1(t)和f2(t)的卷积，且有
L f1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
27
线性常系数微分方程的求解
r(t)
c(t) 求解微分方程式
微分方程式
L
R(s)
C(s)
s的代数方程
求解代数方程
时域解c(t) L-1
s域解C(s)
28
例2-4
求解
dy2 (t dt 2
)

3
dy(t dt
)

2
y(t
)

5

1(t
)
初始条件：y(0)= 1, y(0) =2
解：两边取拉氏变换
s2Y(s) sy(0) y(0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s
Y (s)

5/ s s 2 s2 3s 2
3

s
s
4)初值和终值定理
f
(0
)

lim
s
sF
(s)
f ( ) lim f (t ) lim sF ( s )
t
s 0
应用条件：1.f(t)及其导数存在拉氏变换 2.初值/终值存在
26
5)卷积定理
若f1(t)和f2(t)均定义在t ≥0上，则称
f1(t) f2(t)
令uc(0) = 0，得到零状态响应：
Uc(s)
1 RCs

1
U
r
(
s
)
当输入电压ur(t)给定时，Ur(s)也确定了, 输出电压便 完全由1/(RCs+1)所决定。这时，上式也可写成
Uc(s) 1 U r (s) RCs 1
32
u 上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比只与电 路的结构形式及其参数有关，而与输入输出的具体形
( y y0 ) f ( x0 )( x x0 )
n 例2-3 已知非线性函数为 y sin
试分别在θ0 = 0和θ0 =π两点邻域对函数线性化。
解：按一元函数的泰勒展开式对正弦函数展开：
y

y0

dy
d
(
0
0 )
1 2!
d2y
d 2
(
0
0 )2
...
系统数学模型的特点
n 静态模型： 在静态条件下（即变量各阶导数为零）， 描述变量之间关系的代数方程（组）叫静 态（数学）模型。
n 动态模型： 描述变量各阶导数之间关系的微分方程 （组）叫动态（数学）模型。
数学模型的类型
u 时域模型：微分方程、差分方程、状态方程 u复域模型：传递函数、结构图 u频域模型：频率特性
1
uc
(0)
输入电压为阶跃信号：ur (t) = u0 1(t)，代入解得
Uc (s)

u0

1 s

RC RCs
1

uc 0
RC RCs
1
1t
uc (t ) u0 (1 e RC )
1t
uc (0)e RC
31
根据线性系统的叠加原理，可将两种响应分开来研究。
R
L
ur(t)
C
uc(t)
12
解：（1）确定输入量为 ur(t)，输出量为uc(t)，中
i(t) ur(t)
R
间变量为i(t)。
L
C
uc(t)
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
（3）由基尔霍夫定律写原始方程：
L di ( t ) R i ( t ) uc( t ) ur( t ) dt
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
i(t ) C duc (t ) dt
13
（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得
LC
d 2uc (t ) dt 2

RC
duc (t ) dt

uc (t )

ur (t)
（6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为
T1T2
d
2uc (t ) dt 2

T2
du c (t ) dt

uc (t )

ur (t)
对比例2-1的机械系统：
T
2 m
d
2 y(t dt 2
)

T
f
dy ( t ) dt
y(t)
1 k
F (t)
称两种系统为相似系统。
14
非线性数学模型线性化
n 任何元件都存在一定程度非线性 n 线性化：用线性模型代替原非线性模型 n 小偏差线性化：工作点附近用切线代曲线
f k
dy ( t ) dt
y(t)
1 F (t) k
若令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为
T
2 m
d
2 y(t dt 2
)

T
f
dy ( t ) dt
y(t)
1 k
F (t)
Tm 和Tf 称为系统的时间常数；1/k称为静态放大倍数。
11
电路系统举例
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。RLC串联电路如 图所示，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络 微分方程式。
导数存在
小偏差线性化具体步骤
(1)确定输入输出关系y=f(x) ;
(2)在y工作y0点 (f x'(0x,y00))(邻x 域x0将) f(21x!)f展''(开x0成)(x泰勒x0)级2 数:
(3)令 y y y0 , x x x0
并略去二阶以上的高次项，得到
y kx (k f '(x0 ))