自动控制原理-2-1数学模型
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自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制原理第二章
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。适用于简单、典型、常见的
系统，
实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。适用于复杂、
非常见的系统。 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
L
R i
ui
C
uc
24
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为
2 2
1 G(s) 2 2 T s 2 Ts 1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间 为 ，该环节的传递函数为：
G(s) s 2 s 1
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。适用于简单、典型、常见的
系统，
实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。适用于复杂、
非常见的系统。 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
L
R i
ui
C
uc
24
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为
2 2
1 G(s) 2 2 T s 2 Ts 1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间 为 ，该环节的传递函数为：
G(s) s 2 s 1
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
动态微分方程自动控制原理
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
Tfu
GD 2 375
dn dt
（2-2）
ia
La
+ -
Ea
电动机机械微分方程
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
T fu
GD 2 375
dn dt
其中
Tnian
f .w
f
d
dt
，通常忽略不计。
电动机电磁转距与电枢电流成正比
T Cmia
（3）消去中间变量
将（2-3）带入（2-4）得
ia
GD 2 dn 375Cm dt
dia GD2 d 2n dt 375Cm dt 2
（2-3） （2-4）
（2-5） （2-6）
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
La GD2 Ra d 2n GD2ra dn n ua
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
y(t) f
将以上各式代入（1）式得
m d 2 y F f dy Ky
整理得
d 2 y dy
dt 2
m f Ky F
dt
dt 2
dt
例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统
微分方程。
解：（1）确定输入输出量
+ U1 R1 I1
I3 R01
Ug R2
-
R02 I2
R12
K UK
0
Ud D
n
R3 CF
+ R4
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第二版自动控制原理第2章
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，
可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便 地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往 往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影 响较小的因素来简化， 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简 化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确 性，使系统的数学模型过于复杂。
（3）例3.求指数函数 f(t)=e-at 的拉氏变换
F ( s) e e dt e
at st 0 0
( a s ) t
几个重要的拉氏变换
f ( t) F(s)
1 ( s a ) t 1 dt e sa sa 0
F(s) w
s
f ( t)
水 Q1 Q1单位时间进水量
Q2单位时间出水量
Q10 Q20 0
此时水位为H 0
H(t)
阀门 Q2
解：dt时间中水箱内流体增加(或减少) CdH
应与水总量 (Q1Q2)dt相等。即：
CdH =(Q1Q2)dt
dH C Q1 Q2 dt
Q2
1 R
据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比， 则有
自动控制原理
——第二章系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结
§2-1 引言
1.数学模型的概念
描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系
统分析与设计的基础。
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏 变换之和。 (2)微分性质
可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便 地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往 往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影 响较小的因素来简化， 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简 化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确 性，使系统的数学模型过于复杂。
（3）例3.求指数函数 f(t)=e-at 的拉氏变换
F ( s) e e dt e
at st 0 0
( a s ) t
几个重要的拉氏变换
f ( t) F(s)
1 ( s a ) t 1 dt e sa sa 0
F(s) w
s
f ( t)
水 Q1 Q1单位时间进水量
Q2单位时间出水量
Q10 Q20 0
此时水位为H 0
H(t)
阀门 Q2
解：dt时间中水箱内流体增加(或减少) CdH
应与水总量 (Q1Q2)dt相等。即：
CdH =(Q1Q2)dt
dH C Q1 Q2 dt
Q2
1 R
据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比， 则有
自动控制原理
——第二章系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结
§2-1 引言
1.数学模型的概念
描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系
统分析与设计的基础。
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏 变换之和。 (2)微分性质
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理复习课(2)
Gk ( s ) 2 4 s(0.5s 1) s( s 2)
和 ts ；
（1）二阶系统的标准形式为：
2 n Gk ( s) s( s 2n )
调节时间
ts 3 4
n
3 4 3s或4s ( 2%或4%） 0.5 2
4 ；则 n 2rad / s 比较上述两式， 2 n 2 则 0.5 （2）超调量 % e 100% 16%
U 0 ( s ) / Ui ( s )
。
则
U 0 ( s) R2 Ui ( s) R1 ( R2C2 s 1)
或无源网络：RC,RL及RLC等。（如作业）质量-弹簧-阻尼 、液位平衡等系统。
例2-2：简化图示系统的结构图，并求出传递函数 C(s) / R(s) 。 解：结构图经等效变换为下图：
自动控制原理复习课
二、控制系统的数学模型
1.微分方程、传递函数、差分方程频率特性 2.结构图、信号流图 电学、力学等。 熟悉典型环节的传递函数。
例2-1：求下图所示系统的传递函数 解：对于理想放大器
Ui ( s) 0 0 U 0 ( s) R1 z 其中z R2 1 R2C2 s
C ( s)
R( s )
-
2 n s( s 2 n )
C ( s)
kt s
1 kt s
n 2 ( s) s( s 2n )
与典型二阶系统的标准形式
n 2 (1 kt s) n 2 1 s( s 2 ) s 2 2( k / 2) s 2 n t n n n
10 K
所以在K=1时，系统的稳态误差为 ess ess1 ess 2 0.05
和 ts ；
（1）二阶系统的标准形式为：
2 n Gk ( s) s( s 2n )
调节时间
ts 3 4
n
3 4 3s或4s ( 2%或4%） 0.5 2
4 ；则 n 2rad / s 比较上述两式， 2 n 2 则 0.5 （2）超调量 % e 100% 16%
U 0 ( s ) / Ui ( s )
。
则
U 0 ( s) R2 Ui ( s) R1 ( R2C2 s 1)
或无源网络：RC,RL及RLC等。（如作业）质量-弹簧-阻尼 、液位平衡等系统。
例2-2：简化图示系统的结构图，并求出传递函数 C(s) / R(s) 。 解：结构图经等效变换为下图：
自动控制原理复习课
二、控制系统的数学模型
1.微分方程、传递函数、差分方程频率特性 2.结构图、信号流图 电学、力学等。 熟悉典型环节的传递函数。
例2-1：求下图所示系统的传递函数 解：对于理想放大器
Ui ( s) 0 0 U 0 ( s) R1 z 其中z R2 1 R2C2 s
C ( s)
R( s )
-
2 n s( s 2 n )
C ( s)
kt s
1 kt s
n 2 ( s) s( s 2n )
与典型二阶系统的标准形式
n 2 (1 kt s) n 2 1 s( s 2 ) s 2 2( k / 2) s 2 n t n n n
10 K
所以在K=1时，系统的稳态误差为 ess ess1 ess 2 0.05
自动控制原理课件chapter2_1
d d 2 ( )0 ,( 2 )0 , di f di f
Rn +1
0 if 0
图2-3
小偏差线性化示意图
图2-4
RL网络
例2-3，设铁芯线圈电路如图2-4所示，其磁通与线圈中电 流之间的关系如图2-5所示，试写出以为输入，为输出的 微分方程。 解（1）设铁芯线圈磁通 变化时产生的感应电势为：
图2-5磁通与线圈中电流之间Biblioteka 关系(2.3） (2.4)
或
d u c (t ) d u c (t ) T1 + T2 + u c (t ) = u r (t ) 2 dt dt
2
uc (t ) =
1 i (t )dt C∫
式中T1=LC，T2=RC为电路的时间常数，单位为秒。 式(2.3)和式(2.4)是线性定常二阶线性微分方程。
二、非线性方程的线性化
（一）R-L-C电路 电路 图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。求出uc(t)与ur(t)的微分方程。
图2-1 R-L-C 无源电路
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = ur (t ) dt C
(2.1)
（2）式中i(t)是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：
1 u c (t ) = C
∫ i(t )d t
( 2 .2 )
(3) 消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i(t)后，输入输出 微分方程式：
d 2uc (t ) duc (t ) LC + RC + uc (t ) = ur (t ) 2 dt dt
自动控制原理胡寿松第六版
C(s)
1G2(s)G3(s)H2(s) G4(s)
H3(s)/G2(s) H1(s)
G2(s)G3(s)G4(s) 1G2(s)G3(s)H2(s)
C(s)
H3(s)/G2(s) H1(s)
G1(s)
G 2(s)G 3(s)G 4(s)
C(s)
1G 2(s)G 3(s)H 2(s)G 3(s)G 4(s)H 3(s)
C(s) G5 (s)
5
C R ( (s s) ) G 1 1 (s G )G 3 3 (( ss )) G G 4 2 (( ss ))H G 4 (( ss ))G 5(s) 6
• 信号流图的组成及性质
信号流图是以点和有向线段，描述系统的组成、结构、信号传 递关系的图形。它完全表述了一个系统。
M m ( s ) C s m ( s ) M s ( s )
M s(s) C M U A (s)
s ( J m s fm ) m ( s ) M m ( s )
传动机构：将电机的角位移，转换为线位移; E ( s ) E 1 ( s ) E 2 ( s )
L(s)r m(s)
G2(s)G4(s)
G3(s)H(s) G4(s)H(s)
C(s) G5 (s)
3
R(s) G 1 ( s ) G 3 ( s ) G 2 ( s ) G 4 ( s )
G 3 ( s ) G 4 ( s ) H ( s )
C(s) G5 (s)
4
R(s)
1
G 1 ( s ) G 3 ( s ) G 2 ( s ) G 4 ( s ) 1G3(s)G4(s)H(s)
r(t) e(t)
c(t)
自动控制原理第二章
例2-2的机械系统的微分方程为
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (2)
第2章 控制系统的数学模型 图2-3 直流电动机系统
第2章 控制系统的数学模型
(2) 建立输入、 输出量的动态联系。
在他励直流电动机系统中有机械运动及电磁 运动， 二者之间还存在耦合。 根据几种关系建立的输 入、 输出量的动态联系为
机械运动：
J d f M
dt
（2-7）
电磁运动:
u
Ea
La
dIa dt
图中， A点为工作点， y0=f(x0)。 x、 y在 工作点附近做小范围增量变化， 即当x=x0+Δx 时， 有 y=y0+Δy。 则函数y=f(x)在工作点附近可以展开成泰勒 级数：
y
f
(x0 )
f
(x0)x
1 2!
f
(x0 )x2
（2-13）
第2章 控制系统的数学模型
当Δx很小时， 可以忽略上式的高次项 ， 则式(2-13)可以改写为
Ra Ia
（2-8）
第2章 控制系统的数学模型
机电之间的耦合关系：
Ea=CeΩ
（2-９）
M=CmIa
（2-10）
其中， Ce为电动机电势常数； Cm为电动机力矩常数。
第2章 控制系统的数学模型
(3) 消去中间变量， 得到系统的数学模型。 消去中间变量Ea、 Ia和M, 得
La CeCm
d 2
dt2
第2章 控制系统的数学模型
G(s) Uo(s) 1 Ui (s) Ts 1
（2-23）
这一关系可以用图2-6所示的方框图表示， 输入信号经过G(s)动态传递到输出， 故称G(s)为RC电路 的传递函数。
第2章 控制系统的数学模型 图2-6 RC电路方框图
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
自控第二章
Fi 0
式中：Fi是作用于质量块上
f
的主动力，约束力以及惯性
力。
将各力代入上等式，则得
K M y(t)
d2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
(2 1 6)
式中：y——质量块m的位移（m）；
f——阻尼系数（N·s/m)；
K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-1-6)的微分方程标准化
加若干倍，这就是叠加原理。
2－3 传递函数
传递函数的定义：
线性定常系统在零初始条件下，输出
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
•传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数 学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性， 而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性 能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和 频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此 ，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的 数学模型.
自动控制原理
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
主要内容 2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
K s
1 Ts
K——比例系数 T——积分时间常数
可以应用在一些信号转换电路上，比如关于X轴对称的方波 经过积分电路处理后，输出三角波。
3.微分环节
• 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例。
推荐-自动控制原理课后答案第二章 控制系统的数学模型 精品 精品
传递函数为
2-2-5用运算放大器组成的有源电网络如题2-2-5图所示，试采用复阻抗法写出它们的传递函数。
【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。
2-2-6系统方框图如题2-2-6图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数 。
【解】：
(1)
(2)
(3)
(4)
（b）
(1)
(2)
(3)
(4)
（c）
(1)
(2)
(3)
(4)
(d)
(1)
(2)
(3)
(4)
2-2-7系统方框图如题2-2-7图所示，试用梅逊公式求出它们的传递函数 。
【解】：（a）
（1）该图有一个回路
（2）该图有三条前向通路
所有前向通路均与 回路相接触，故 。
（3）系统的传递函数为
（b）
（1）为简化计算，先求局部传递函数 。该局部没有回路，即 ，
【解】：取静态工作点 ，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项
设 （R为流动阻力），并简化增量方程为
2-2-4系统的微分方程组为：
式中 均为正的常数，系统的输入为 ，输出为 ，试画出动态结构图，并求出传递函数 。
【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得：
绘制方框图
题2-2-4图
（1）求传递函数 和 ；（2）若要求消除干扰对输出的影响，求
【解】：（1）根据梅森增益公式得
（2）根据题意
2-2-10某复合控制系统的结构图如图所示，试求系统的传递函数 。
题2-2-10图
【解】：根据梅森增益公式得：
2-2-11系统微分方程如下：
试求系统的传递函数 及 。其中r，n为输入，c为输出。 均为常数。
2-2-5用运算放大器组成的有源电网络如题2-2-5图所示，试采用复阻抗法写出它们的传递函数。
【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。
2-2-6系统方框图如题2-2-6图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数 。
【解】：
(1)
(2)
(3)
(4)
（b）
(1)
(2)
(3)
(4)
（c）
(1)
(2)
(3)
(4)
(d)
(1)
(2)
(3)
(4)
2-2-7系统方框图如题2-2-7图所示，试用梅逊公式求出它们的传递函数 。
【解】：（a）
（1）该图有一个回路
（2）该图有三条前向通路
所有前向通路均与 回路相接触，故 。
（3）系统的传递函数为
（b）
（1）为简化计算，先求局部传递函数 。该局部没有回路，即 ，
【解】：取静态工作点 ，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项
设 （R为流动阻力），并简化增量方程为
2-2-4系统的微分方程组为：
式中 均为正的常数，系统的输入为 ，输出为 ，试画出动态结构图，并求出传递函数 。
【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得：
绘制方框图
题2-2-4图
（1）求传递函数 和 ；（2）若要求消除干扰对输出的影响，求
【解】：（1）根据梅森增益公式得
（2）根据题意
2-2-10某复合控制系统的结构图如图所示，试求系统的传递函数 。
题2-2-10图
【解】：根据梅森增益公式得：
2-2-11系统微分方程如下：
试求系统的传递函数 及 。其中r，n为输入，c为输出。 均为常数。
自动控制原理-第二章全
其中： fs (t) Kx(t)
弹簧力
fd (t)
阻尼力
B
dx(t dt
)
m
K
B
所以有：
m
d 2 x(t) dt 2
B
dx(t) dt
Kx(t)
f
(t)
特点：f (t) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化
了相同的位移x(t) 。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
A1(0.5 j0.866) A2 (0.5 j0.866)
使等号两端的实部和虚部分别相等有 解之得 A1 1, A2 0
0.5.866
所以
F (s)
1 s
s2
s s 1
1 s
(s
s 0.5 0.5)2 (0.866 )2
（4）对部分分式进行拉式反变换，即得微分方程 的解。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
d 2 xc dt 2
5 dxc dt
6xc
6u(t)
u(t) 1(t)
设初始条件为 xc (0) 2, xc (0) 2 求输出量 xc (t)
解： 将微分方程取拉氏变换
(s
0.5 0.5)2 (0.866 )2
所以 f (t) 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
F (s)
s2 s2
9s 33 6s 34
求 f (t) L1 F (s)
F (s) M (s) A1 A2 An
《自动控制原理》第2章自动控制系统的数学模型
dt
t 0
[
d
nf dt
(t
n
)
]
snF(s)
sn1
f
(0)
sn2
f
(1) (0)...
f
(n1) (0)
定理4 积分定理
2021年2月
t
[
f ( )d ] F (s)
0
s
自动控制原理
定理6 初值定理
设F(s)为f(t)的拉氏变换，且
lim
s
sF
(s)
存在
lim f (t) lim sF(s)
实验求取
2021年2月
自动控制原理
例2－1试列写图2-1所示电路
输入量 u r (t) 与输出量 u c (t) 的微分方程。
1. 确定输入、输出量 2. 列写与输入、输出有
关的微分方程
L
di(t) dt
Ri(t)
u
c
(t)
u
r
(t)
i(t) C du c (t)
dt
3. 消去中间变量
LC
d
2u c (t) dt 2
G(s) Ks1 Ks2 ... Ksn
s s1 s s2
s sn
且
Ks1 [(s
….
si )G(s)]ss1
(s2
Q( s1 ) s1)(s3 s1)...(sn
s1)
2021年2月
自动控制原理
例：已知函数
1 设因式展开为 G(s) s(s 1)3 (s 2)
G(s) K1 K2 K3 K4 K5 s s 2 s 1 (s 1)2 (s 1)3
u(c’t)
+
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f k
dy ( t ) dt
y(t)
1 F (t) k
若令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为
T
2 m
d
2 y(t dt 2
)
T
f
dy ( t ) dt
y(t)
1 k
F (t)
Tm 和Tf 称为系统的时间常数；1/k称为静态放大倍数。
11
电路系统举例
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。RLC串联电路如 图所示，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络 微分方程式。
设线性定常系统的微分方程式为
a0
d nc(t ) dtn
a1
d n1c(t) dtn1
an1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t ) dtm
b1
d m1r(t) dtm1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。
34
在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得
n 按照所选分析方法，确定数学模型的形式 n 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，
建立尽量简化的、合理的数学模型
微分方程的建立步骤
1. 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量 及内部中间变量，掌握各变量之间的关系
2. 做出合乎实际的假设，忽略次要因素，使问题简化 3. 根据支配系统动态特性的基本定律列出各部分的原始方
建立数学模型的方法
n 解析法
u 依据描述系统运动规律的定律列写运动方程
n 实验法（系统辨识）
u 基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型 u 当系统机理复杂，难以分析或无法分析时使用
建立数学模型的原则
n 建模之前，全面了解系统的自然特征和运 动机理，明确研究目的和准确性要求，选 择合适的分析方法
程式 4. 列写各中间变量与其他变量的因果式（辅助方程） 5. 联立上述方程，消去中间变量 6. 将方程式化成标准形（输出在左，输入在右，导数降阶）
7
微分方程的标准形式
线性定常物理系统的微分方程一般具有以下形式：
a0
d nc(t ) dtn
a1
d n1c(t) dtn1
an1
dc(t dt
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
i(t ) C duc (t ) dt
13
（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得
LC
d 2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
ur (t)
（6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为
T1T2
系统数学模型的特点
n 静态模型： 在静态条件下（即变量各阶导数为零）， 描述变量之间关系的代数方程（组）叫静 态（数学）模型。
n 动态模型： 描述变量各阶导数之间关系的微分方程 （组）叫动态（数学）模型。
数学模型的类型
u 时域模型：微分方程、差分方程、状态方程 u复域模型：传递函数、结构图 u频域模型：频率特性
求解
dy2 (t dt 2
)
3
dy(t dt
)
2
y(t
)
5
1(t
)
初始条件：y(0)= 1, y(0) =2
解：两边取拉氏变换
s2Y(s) sy(0) y(0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s
Y (s)
5/ s s 2 s2 3s 2
3
R
L
ur(t)
C
uc(t)
12
解：（1）确定输入量为 ur(t)，输出量为uc(t)，中
i(t) ur(t)
R
间变量为i(t)。
L
C
uc(t)
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
（3）由基尔霍夫定律写原始方程：
L di ( t ) R i ( t ) uc( t ) ur( t ) dt
2)微分性质
L
df (t dt
)
sF ( s)
f (0)
常用：若 f (0) f (0) f (n1) (0) 0 ,
则
L d
n x(t)
dt n
sn
X
(s)
3)积分性质 L f (t )dt 1 F ( s ) 1 f (1) (0)
导数存在
小偏差线性化具体步骤
(1)确定输入输出关系y=f(x) ;
(2)在y工作y0点 (f x'(0x,y00))(邻x 域x0将) f(21x!)f展''(开x0成)(x泰勒x0)级2 数:
(3)令 y y y0 , x x x0
并略去二阶以上的高次项，得到
y kx (k f '(x0 ))
f (t )
L1
n
i1
(
s
ci
s
i
)
n
cie sit
i1
u 重极点的情形见p35
常用拉氏变换表（p32-33）
f(t)
F(s)
(t)
1
u(t )
1 s
tu(t )
1 s2
e at
1
sa
拉氏变换的性质
1)线性性质 L[ af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
令uc(0) = 0，得到零状态响应：
Uc(s)
1 RCs
1
U
r
(
s
)
当输入电压ur(t)给定时，Ur(s)也确定了, 输出电压便 完全由1/(RCs+1)所决定。这时，上式也可写成
Uc(s) 1 U r (s) RCs 1
32
u 上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比只与电 路的结构形式及其参数有关，而与输入输出的具体形
f
(t)
1
2j
jF ( s )e st ds L1 ( F ( s ))
j
(t 0)
n 实际使用部分分式展开法+查表求反变换
21
u 部分分式展开法：
F (s)
B(s) A( s )
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm sn a1sn1 an1s an
s2 s 5 s(s2 3s 2)
s2 s 5 s(s 1)(s 2)
5/2 5 3/2 s s1 s2
y(t) = 5/2 5 e t + 3/2 e2t
29
例2-5 如图所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求 出电容电压uc(t)的变化K规律。
解：按照一般步骤：
（1）输入量：F(t) 输出量：y(t) 中间变量：
弹性阻力Fk(t)，粘滞阻力Ff(t) （2）设系统按线性集中参数考 虑，且无外力作用时，系统处于平 衡状态。
F(t) K m y(t)
f
9
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
F
F(t)
Fk (t )
Ff (t)
m
小偏差线性化要点总结
n 通常工作点为系统稳定工作状态，偏差信 号不会很大
n 本质非线性系统若无法泰勒展开，则不可 线性化
n 书写中一般省略偏量符号Δ，但仍应作偏
量理解
复习：拉普拉斯变换
n 拉氏变换定义：
F ( s ) f (t )e st dt L( f (t )) 0
n 拉氏反变换：
t 0
f1( )
f2(t
)d
为f1(t)和f2(t)的卷积，且有
L f1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
27
线性常系数微分方程的求解
r(t)
c(t) 求解微分方程式
微分方程式
L
R(s)
C(s)
s的代数方程
求解代数方程
时域解c(t) L-1
s域解C(s)
28
例2-4
铁磁材料的饱和特性： 磁场密度B增长率随 激磁电流I增加而减小
线性化的常用方法
n 作图法：已知特性曲线，直接在工作点处作切线 n 实验法：在工作点附近实测偏量x, y 并计算斜率 n 解析法：用一次多项式近似表示特性曲线
---即在工作点附近使用泰勒展开 n 注意：使用解析法要求非线性函数在工作点处各阶
R
u0
C
uc
解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)，写出电路方程：
RC
duc (t dt
)
uc
(t
)
ur
(t
)
记电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换
30
RCsU c (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s)
Uc (s)
1 RCs
1
Ur
(
s)
RC RCs
(s sn ) i1 (s si )
ci可用待定系数法或留数法求得。
22
拉普拉斯反变换
u 若F(s)无重极点，用部分分式展开法得到：
F ( s) c1 c2 cn