2018年高考数学二轮复习规范答题示例8直线与圆锥曲线的位置关系课件理
名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题5第15讲直线与圆锥曲线的位置关系问题 精品
(2)当 a＝0 时，即得到一个一次方程，l 与 E 相交， 且只有一个交点，此时，若 E 为双曲线，则直线 l 与 双曲线的渐近线平行；若 E 为抛物线，则直线 l 与抛 物线的对称轴平行．
关 于 y 的 形 式 ， 其 弦 长 公 式 为 |PQ| ＝
1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
3．已知弦 PQ 的中点，研究 PQ 的斜率和方程，即
中点弦问题 (1)PQ 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一条弦，中点 M 的
坐标为(x0，y0)，则 PQ 的斜率为－ba22yx00.运用点差法求 PQ 的斜率，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，P、Q 都在椭圆上，所 以xxaa221222＋ ＋bbyy212222＝＝11，，两式相减得x21－a2 x22＋y21－b2y22＝0，
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求 直线 l 方程的一般式．
【解析】(1)由已知 b＝4，且ac＝ 55，即ac22＝15， ∴a2－a2b2＝15，解得 a2＝20，∴椭圆方程为2x02＋1y62 ＝1； 由 4x2＋5y2＝80 与 y＝x－4 联立，
消去 y 得 9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝490， ∴所求弦长|MN|＝ 1＋12|x2－x1|＝409 2；
以
上
两
式
相
减
得
（x1＋x2）（x1－x2） 2∴kMN＝yx11－－yx22＝－45·xy11＋＋xy22＝－45·－64＝65，
故直线 MN 的方程为 y＋2＝65(x－3)，即 6x－5y －28＝0.
【精选】高考数学二轮复习规范答题示例8直线与圆锥曲线的位置关系课件理
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
|OP| “Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给 1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的 条件扣1分.
跟踪演练 8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，四点 P1(1,1)，
P2(0,1)，P3－1，
23，P41，
规范答题示例8
直线与圆锥曲线的位置关系
典例 8 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞ 0)的离心率为 23，且点 3，12在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E：4xa22＋4yb22＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx ＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. ①求||OOQP||的值；②求△ABQ 面积的最大值.
第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系. 第五步 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注 意变量条件的制约，检查最值取得的条件.
评分细则 (1)第(1)问中，求a2－c2＝b2关系式直接得b＝1，扣1分； (2)第(2)问中，求 |OQ| 时，给出P，Q的坐标关系给1分；无“Δ>0”和
41 直线与圆锥曲线的位置关系-2018年高考数学(理)考点一遍过含解析
考点41直线与圆锥曲线的位置关系（1)了解圆锥曲线的简单应用。
(2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ,已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y Cg x y ==,求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解. 方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点。
若方程组无实数解,则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组,消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.（1）当0a≠时，∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线0有两个交点;∆=⇔方程有两个相同的实数解,即直线与圆锥曲线有0一个交点；∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点。
（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0，c≠0,方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点,与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切;直线与椭圆没有交点⇔相离。
(2）直线与双曲线有两个交点⇔相交。
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行。
直线与双曲线没有交点⇔相离. (3)直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点⇔相离。
二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解(1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长2222121121221()()1|1|(0)＝AB x x y y k x x y y k k-+-+-=+-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长。
2018年高考数学二轮复习 规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系 理
规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1， 得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，。
高三数学二轮复习, 直线与圆锥曲线的位置关系 课件(全国通用)
综上可知，当
1 k∈ －∞，－1 ∪ 2，＋∞∪{0}时，直
线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点； 1 1 当 k∈ －2，0 ∪ －1，2时， 直线 l 与轨迹 C 恰好有 1 1 两个公共点；当 k∈－1，－2∪0，2时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．
探究二
中点弦问题
例 2(2016 年全国卷Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x 的焦点 为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两 点，交 C 的准线于 P，Q 两点． (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上 ， R 是 PQ 的中点 ， 证明 AR∥FQ； (Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 1 【解析】由题设2，0，设 l1：y＝a；l2：y＝b，则 a2 b2 1 1 ab≠0，且 A 2 ，a，B 2 ，b，P－2，a，Q－2，b， 1 a＋b R ，记过 A，B 两点的直线为 l， － ， 2 2 则 l 的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0，
【解析】(Ⅰ)设点 M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1， 即 （x－1）2＋y2＝|x|＋1， 化简整理得 y2＝2(|x|＋x)．故点 M 的轨迹 C 的方程 4x，x≥0， 2 为 y ＝ 0，x<0. (Ⅱ)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y2＝4x，C2：y＝ 0(x<0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)． y－1＝k（x＋2）， 由方程组 2 y ＝4x， 可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
当 k＝0 时，y＝1.把 y＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x 1 ＝ . 故此时直线 l ： y＝ 1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 4 1 ，1. 4 当 k≠0 时， 方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)． ② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0，0)，则由 y－1＝k(x＋ 2k＋1 2)，令 y＝0，得 x0＝－ .③ k Δ<0， 1 (ⅰ )若 由②③解得 k<－1 或 k> .即当 k∈(－ 2 x0<0， 1 ∞，－1)∪2，＋∞时，直线 l 与 C1 没有公共点，与 C2 有一个公共点． 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点．
高考数学总复习 专题08 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
y kx 4 与
y 1 与直线 BM 交于
曲线 C 交于不同的两点 M,N 直线 点 G，求证：A,G,N 三点共线.
练习巩固
π 1. (2011· 福州模拟)抛物线 y2＝4x 的焦点为 F， 过 F 且倾斜角等于长为( A. 2 B. 4 C. 6 ) D. 8
点拨 求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，求最值常见的解法有两 种：代数法和几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则 考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，圆锥曲线中的最值问题大 致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关 的一些问题.
(1)若直线的斜率为k，直线与圆锥曲线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝_________________________. 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
(2)若斜率不存在，则求出交点A，B，直接运算即可．
典例分析
考点一 最值问题
x2 y2 → |最小时，点 P 恰 【例 1】 设点 M(m,0)在椭圆16＋12＝1 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点，当|MP 椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围．
解 x2 y2 设 P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为16＋12＝1，故－4≤x≤4.
2 2 2 2
→ ＝(x－m，y)，∴|MP → | ＝(x－m) ＋y ＝(x－m) ∵MP
x2 ＋12×1－16 ，
→ |2＝1x2－2mx＋m2＋12＝1(x－4m)2＋12－3m2. ∴|MP 4 4 → |2 取得最小值，而 x∈[－4,4]， 依题意可知，当 x＝4 时，|MP 故有 4m≥4，解得 m≥1. 又因为点 M 在椭圆长轴上，所以－4≤m≤4， 综上，1≤m≤4.
主题20 直线与圆锥曲线的位置关系-2018年高考数学二轮
2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第三篇主题20 直线与圆锥曲线的位置关系【主题考法】本主题考题形式解答题，与函数、导数、向量、三角、不等式等知识结合第一小题重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质，第二小题考查直线与椭圆、直线与抛物线的的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力及设而不求思想，综合性较强，第一小题为基础题。
第二小题为难题，分值12分. 【主题考前回扣】1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2＝2px(p＞0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b x≥0顶点(±a,0)，(0，±b) (0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0轴长轴长2a，短轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)e＝1准线x＝－p2渐近线2.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.3．解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 4．定点问题的思路(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．5．求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值 此值一般就是定值 →证明定值：将问题转化为证明待证式与参数 某些变量 无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 6．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； 第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在； 第三步：得出结论． 【易错点提醒】1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误． 3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行． 【主题考向】考向一 椭圆的标准方程与几何性质【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义；2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出椭圆的标准方程.3.椭圆的离心率是椭圆的主要性质，是反映椭圆的扁平程度的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；例1．【江西省临川一中等九校2018届联考】已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点2366,,,2233P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆交于,A B 两点， O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值.【分析】（1）根据点在曲线上，将点代入曲线可得到方程；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据弦长公式得到弦长AB ，又因为2222121212AOB m S AB d k m k∆=⋅=+-+｜｜，根据基本不等式可得到最值. 【解析】（1）设椭圆的方程为221mx ny +=将带入方程，可得1,12m n ==故椭圆的标准方程为（2）设()()1122,,,A x y B x y2212y kx mx y =++= ()222124220k ykmx m ⇒+++-=∆ ()()222216412220k m k m=-+-＞原点到直线l 的距离2111m d k=+()2222222212212121212AOBm S AB d k m m k m k k∆∴=⋅=+-=+-++｜｜由得又由基本不等式222222121222AOBm k m S k ∆++-≤⋅=+ 当且仅当22212k m +=时，不等式取“=”号考向二 抛物线的标准方程与几何性质【解决法宝】1.涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为到抛物线的准线的距离； 2.抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的p 的值，最后代入写出抛物线的标准方程.3.抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，无渐近线，p 的几何意义是焦点到准线的距离.例2．【山东省济南市2018届一模】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1M 在抛物线C ： 2x ay =上，直线l ： ()0y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ， B 两点，且直线OA ， OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ， l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.【分析】（1）将点()2,1M 代入抛物线C ： 2x ay =，得4a =，联立直线y kx b =+与抛物线方程，消去y ，得2440x kx b --=，则124x x k +=， 124x x b =-，由1OA OB k k +=-，求出1k =-；（2）求出直线DM 的方程为()12b x y b-=+，联立直线DM 的方程和抛物线的方程，求出()22,N b b -，利用导数的几何意义，求出切线n 的斜率为b -，得到切线n 的方程2y bx b =--，联立直线DM 、n 的方程，求出Q 点的纵坐标221Q b y b =-，且32=1b S b -，采用导数的方法得出单调性，由单调性求出最小值。
高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)
F(1,0)，
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
基础知识·自主学习
要点梳理
2
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相 交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相 切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没 有公共点．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
1 10 1 当 λ＋ λ ＝ 3 ，即 λ＝3时，|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ，|PQ|的最大值为 9
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
高考数学总复习 第八章第九节 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
又因为 m＞1，所以 m＝ 2. 故直线 l 的方程为 x－ 2y－1＝0.
22
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x＝my＋m ， 2 由 2 x 2＋y2＝1， m
2
2
2 m 消去 x 得 2y2＋my＋ －1＝0， 4
m2 则由 Δ＝m －8( －1)＝－m2＋8＞0，知 m2＜8， 4 m m2 1 且有 y1＋y2＝－ ，y1y2＝ － . 2 8 2 由于 F1(－c,0)，F2(c,0)，故 O 为 F1F2 的中点． → ＝2GO → ，BH → ＝2HO →， 由AG x1 y1 x2 y 2 可知 G( ， )，H( ， )， 3 3 3 3
2
16 解得－ ＜k2＜8，② 13 由①，②知 5＜k2＜8. ∴ 5＜k＜2 2或－2 2＜k＜－ 5.
20
最值与范围问题
(2012· 广州质检)
m2 x2 已知 m＞1，直线 l：x－my－ ＝0，椭圆 C： 2＋y2 2 m ＝1，F1，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，如图 8－9－1 所示． (1)当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， △AF1F2， △BF1F2 的重心分别为 G， H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内， 求实数 m 的取值范围．
15
c 2 3 【尝试解答】 (1)由已知得 c＝2 2， ＝ ， a 3 ∴a＝3， ∴b2＝a2－c2＝1， y2 故椭圆方程为 ＋x2＝1. 9 π (2)由题意知，直线的倾斜角不可能为 0 和 ， 2 ∴设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)．
y＝kx2＋m， 由 2 y 消去 y 得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0， x ＋ 9 ＝1，
名师导学2018届高三数学文二轮复习课件：专题5第12讲直线与圆锥曲线位置关系 精品
有两个交点 A，B，线段 AB 中点为 M.证明：直线 OM
的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值．
【解析】(1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1. 解得 a2＝8，b2＝4，∴C 的方程为x82＋y42＝1.
(2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2， y2)，M(xM，yM)，把 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1 得
(2)当 AB⊥x 轴时，ΑΒ＝ 2，又 CΡ＝3，不合题意．
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝
kx－1，Ax1，y1，Bx2，y2，将 AB 的方程代入椭圆方
程
，
得
1＋2k2
x2
－
4k2x
＋
2
k －1 2
＝
0
，
则
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x1 ， 2 ＝
2k2±1＋22k12＋k2，
C 的坐标为1＋2k22k2，1＋－2kk2，且
【解析】(1)设动圆圆心坐标为 C(x，y)，根据题 意得
x2＋（y－2）2＝ y2＋4 化简得 x2＝4y. (2)解法一：设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b， 由xy2＝＝k4xy＋，b消去 y 得 x2－4kx－4b＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则xx11x＋2＝x2－＝44kb，且 Δ＝16k2＋16b， 以点 P 为切点的切线的斜率为 y′|x＝x1＝12x1， 其切线方程为 y－y1＝12x1(x－x1)， 即 y＝12x1x－14x21， 同理过点 Q 的切线的方程为 y＝12x2x－14x22， 设两条切线的交点为 A(xA，yA)在直线 x－y－2＝0 上， 解得xA＝x1＋2 x2＝2k，即 A(2k，－b)．
2018大二轮高考总复习理数课件：解答题7 第1课时 直线
x2 y2 1．(2017· 潍坊实验中学模拟)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)，其短轴的一个端 点与两个焦点构成面积为 3的正三角形，过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P． (1)求椭圆 C 的标准方程； |DP| (2)过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D，试求 |AB| ．
(2017· 宁夏大学附中二模)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)， 过点 C(－2,0)的直线 → → l 交抛物线于 A，B 两点，坐标原点为 O，OA· OB＝12. (1)求抛物线的方程； (2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程．
[ 思路点拨] (1)设 l∶x＝my－2，代入 y2＝2px，可得根与系数的关系，再利用
第一课时
直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问题
02
高考考点多维解读
基本考点——直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线公共点的2种常用方法 (1) 代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x ， y 的方程组，消去 y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
→ → OA· OB＝12，可得 x1x2＋y1y2＝12，代入即可得出． (2)由(1)可得 y2－4my＋8＝0.设 AB 的中点为 M，可得|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋ y2)－4＝4m2－4，又|AB|＝ 1＋m2|y1－y2|＝ 1＋m216m2－32，联立解出 m 即可得 出．
(2)由 (1)(*)化为 y2－4my＋8＝0． y1＋y2＝4m，y1y2＝8． 设 AB 的中点为 M， 则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，① 又|AB|＝ 1＋m2|y1－y2|＝ 1＋m216m2－32，② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得 m2＝3，m＝± 3． ∴直线 l 的方程为 x＋ 3y＋2＝0 或 x－ 3y＋2＝0．
2018版高考数学一轮复习课件：第8章 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系
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第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
高三一轮总复习
则 x1,2＝2k2±1＋221k＋2 k2，
C 的坐标为1＋2k22k2，1＋－2kk2，
且 AB＝ x2－x12＋y2－y12＝ 1＋k2x2－x12
＝2
21＋k2 1＋2k2 .8
分
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第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
从而 PC＝23k|k2|＋1＋12k12＋ k2.10 分 因为 PC＝2AB，所以23k|k2|＋1＋12k12＋ k2＝4 12＋12＋k2k2， 解得 k＝±1. 此时直线 AB 方程为 y＝x－1 或 y＝－x＋1.12 分
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第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
高三一轮总复习
(2)当 p＝1 时，曲线 C：y2＝2x. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段 PQ 的中点 M(x0，y0).7 分 因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ， 于是直线 PQ 的斜率为－1，则可设其方程为 y＝－x＋b. 由yy2＝＝－2xx，＋b， 消去 x，得 y2＋2y－2b＝0.(*)9 分 因为 P 和 Q 是抛物线 l 的两相异点，则 y1≠y2.
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图 8-9-1
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
高三一轮总复习
[解] (1)抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为p2，0.2 分 由点p2，0在直线 l：x－y－2＝0 上， 得p2－0－2＝0，即 p＝4. 所以抛物线 C 的方程为 y2＝8x.5 分
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和 “Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程 给
1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得
的条件扣1分.
跟踪演练 8
x2 y2 (2017· 全国Ⅰ)已知椭圆 C： 四点 P 2＋ 2＝1(a>b>0)， 1(1,1)， a b
3 3 ， P 1 ， 中恰有三点在椭圆 C 上. 4 2 2
规 范 解 答 ·分 步 得 分
2 2 a － b 3 1 3 解 (1)由题意知a2＋4b2＝1.又 a ＝ 2 ， 2 x 解得 a2＝4，b2＝1.所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y2＝1. x2 y2 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为16＋ 4 ＝1.
2分
|OQ| ①设 P(x0，y0)， |OP| ＝λ，由题意知 Q(－λx0，－λy0).
第四步
建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.
第五步
得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要
注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.
评分细则 (1)第(1)问中，求a2－c2＝b2关系式直接得b＝1，扣1分；
|OQ| (2)第(2)问中，求 时，给出P，Q的坐标关系给1分；无“Δ>0” |OP|
由①知，△ABQ 的面积为 3S，所以△ABQ 面积的最大值为 6 3. 12 分
(**)
构建答题模板 第一步ຫໍສະໝຸດ 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程. 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0， 然后研究判别式，利用根与系数的关系. 第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.
典例 8
x2 y2 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞
1 3 0)的离心率为 2 ，且点 3，2 在椭圆 C 上.
(1)求椭圆 C 的方程； x2 y2 (2)设椭圆 E：4a2＋4b2＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx ＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. |OQ| ①求 |OP| 的值；②求△ABQ 面积的最大值.
审题路线图
(1) 椭圆C上点满足条件 ― → 得到a，b的关系式
3 已知离心率e 2 基本量法求得椭圆C的方程 2 2 2 a b c
|OQ| P，Q (2)① P在C上，Q在E上 ― ― ― ― → 设坐标代入方程 ― → 求出 |OP| 共线
通法 ② 直线y＝kx＋m和椭圆E的方程联立 ― ― ― ― → 研究判别式Δ并判断根与系数的关系 ― → 用m，k表示S△OAB ― → 利用①得 求S△OAB的最值 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 得S△ABQ的最大值 S△ABQ和S△OAB的关系
2 16k2＋4－m2m2 ＝ ＝2 2 1＋4k
m2 m2 4－ 2 2. 1 ＋ 4 k 1＋4k
8分
m2 设 2＝t，将 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程， 1＋4k
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.
由(*)(**)可知 0＜t≤1，因此 S＝2 4－tt＝2 －t2＋4t， 故 0<S≤2 3，当且仅当 t＝1，即 m2＝1＋4k2 时取得最大值 2 3.
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，
2 4 m －16 8km 则 x1＋x2＝－ 2，x1x2＝ 2 . 1＋4k 1＋4k
(*)
4 16k ＋4－m 所以|x1－x2|＝ . 2 1＋4k
2 2
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
2 2 2 16 k ＋ 4 － m |m| 1 所以△OAB 的面积 S＝2|m||x1－x2|＝ 1＋4k2
2 2 2 2 － λx － λy 0 0 λ x0 2 2 因为 4 ＋y0＝1，又 16 ＋ 4 ＝1，即 4 4 ＋y0＝1， |OQ| 所以 λ＝2，即 |OP| ＝2.
x2 0
5分
②设A(x1，y1)，B(x2，y2).
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
P2(0,1)，P3 －1，
(1)求C的方程；
解答
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜
率的和为－1，证明：l过定点.
证明