2017年数学人教版初中中考考前热点冲刺指导《第16讲 三角形与全等三角形》(31ppt)课件
江西省2017中考数学第一部分教材同步复习第四章三角形及应用16全等三角形课件
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2017权威 ·预测
1．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AF＝DE，∠A＝∠D，添加下
列条件，仍不能判定△ACF≌△DBE的是( C )
A．∠F＝∠E C．CF＝BE B．AB＝DC D．∠ACF＝∠DBE
第 1 题图
【考查内容】判定三角形全等的条件．
【解析】 添∠F ＝∠E ，满足“ ASA” ；添条件 AB ＝ DC ，可得 AC ＝ DB ，满足 “ SAS” ；添条件 CF ＝ BE，不能证得△ACF≌△DBE；添条件∠ACF ＝∠DBE，满 足“AAS”．
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【注意】寻找全等三角形中的对应关系： (1)通过全等三角形中的对应边寻找对 应角，或由对应角寻找对应边．(2)由全等三角形角或边的大小寻找对应元素，最长
边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边；最大角与最大角是对应角，最小
角与最小角是对应角．(3)通过平移或旋转前后对应关系等寻找对应元素，平移或旋 转前后的图形是全等图形，故对应角相等，对应边相等． (4) 特殊的对应角或对应 边，如：对顶角对应相等，公共边相等，平行线中内错角相等，同位角相等．
(4)“边边边”或“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等．
斜边 直角边 (5)“斜边、直角边”或“ HL” 公理：① _______ 和一条② ________ 对应相等的两 个直角三角形全等．
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【注意】a.“AAA”不能判定两个三角形全等．
如：在△ABC 与△A′B′C′ 中， ∠A ＝ ∠A′ ， ∠B ＝ ∠B′ ， ∠C ＝ ∠C′ ，如图 1 所
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判定两个 三角形全 等的一般 方法有： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 、 HL. 注意： AAA、 SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
中考冲刺 数学 提分攻略--第16讲 三角形的基本知识全等三角形
第16讲三角形的基本知识全等三角形【试试火力】1.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．132. （2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120° B．90°C．100° D．30°3. （2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ．4.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【把握火苗】火点1三角形的概念及其分类⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎩概念：由不在同一直线上的三条线段连接所得到的图形叫做三角形.角三角形按角分类角三角形角三角形分类不等边三角形底与腰不相等的等腰三角形按边分类等腰三角形三角形①②③④⑤火点2 与三角形有关的线段【掌握火候】1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.【突破火点】燃点1 三角形中的线段例1 （2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线 C．高 D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．【思路点拨】不管是哪种类型的三角形，三角形的角平分线、中线和中位线都在三角形内部，但是锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高与直角边重合，钝角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部.方法归纳：解答本题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线和中线的画法.燃点2 三角形中的角例2 （2017湖南株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（）A．145° B．150° C．155° D．160°【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴6x=180，∴x=30，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．方法归纳：当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其他角；当该角是一个三角形的外角或内角时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行计算.燃点3 三角形的中位线例3 . (2017湖北宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（）A．50m B．48m C．45m D．35m【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m．【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵DE=24m，∴AB=2DE=48m，故选B．方法归纳：解答本题的关键是要依据题目条件，活用中位线定理的结论.燃点4 全等三角形的性质与判定例4如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED ≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定．方法归纳：证明两条边或两个角相等时，若两条边或两个角分别在两个三角形当中，通常证明这两条边或两个角所在的三角形全等.【冰火不容】1. （2017甘肃张掖）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b ﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．02. （2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．3. （2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．124. （2017四川眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114° B．122° C．123° D．132°5. 如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件BC=EF ，就得△ABC ≌△DEF．6. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是AE=AB ．7.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．8. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．10. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A 与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【展示火情】【试试火力】1.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．13【考点】K6：三角形三边关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵AB=5，AC=8，∴3＜BC＜13．故选D．【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．2. （2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120° B．90°C．100° D．30°【考点】K8：三角形的外角性质．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故选：C．3. （2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE=7，∴BC=2DE=14．故答案是：14．4.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠CAB=∠DAE ，再由SAS 证明△BAC ≌△DAE ，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAB=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，，∴△BAC ≌△DAE （SAS ），∴BC=DE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．【把握火苗】①首尾顺次 ②锐 ③直 ④钝 ⑤等边 ⑥锐角 ⑦直角顶点 ⑧一点 ⑨相等⑩一点 ⑪内心 ⑫相等 ⑬大于 ⑭小于 ⑮中点 ⑯平行 ○17一半 ○18180°○19互余 ○20和 ○21相等 ○22相等 【冰火不容】1. （2017甘肃张掖）已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b ﹣c|﹣|c ﹣a ﹣b|的结果为（ ）A ．2a+2b ﹣2cB ．2a+2bC ．2cD ．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．2. （2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，故答案为：120．3. （2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．12【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=AB=4.5．∵CF=CD，∴DF=CD=×4.5=3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选A．4. （2017四川眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114° B．122° C．123° D．132°【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，∵点I是内心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=57°，∴∠BIC=180°﹣57°=123°，故选：C．5. 如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件BC=EF ，就得△ABC ≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】补充条件BC=EF，首先根据AF=DC可得AC=DF，再根据BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上条件CB=EF可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF．【解答】解：补充条件BC=EF，∵AF=DC，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFC=∠BCF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：BC=EF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是AE=AB ．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】添加条件AE=AB，根据等式的性质可得∠BAC=∠EAD，然后再用SAS证明△BAC≌△EAD．【解答】解：添加条件AE=AB，∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，∴∠BAC=∠EAD，在△BCA和△EDA中，，∴△BAC≌△EAD（SAS）．故答案为：AE=AB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．【解答】解：边数n=360°÷72°=5．故答案为：5．8. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．10. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A 与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，∴∠A=（∠1+∠2），∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．。
2017年春新人教版中考数学总复习课件第16讲-等腰三角形
性 质
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
拓 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 展
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上 的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一 腰上的高
等边三角形的判定与性质
1．运用等边三角形的性质进行计算与证明； 2．等边三角形的判定．
例 2 2016· 秦皇岛模拟如图 17－4，点 O 是等边三角形 ABC 内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC 绕点 C 按顺时针 方向旋转 60°得△ADC，连接 OD. (1)求证：△COD 是等边三角形； (2)当 α＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (3)探究：当 α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
拓展
考点3 等边三角形
定 三边都相等的三角形叫做等边三角形 义 等边三角形的三个角都______ 相等 ，并且每 性 一个角都等于______ 60° 质 等边三角形是轴对称图形，有______ 3 条 对称轴 (1) 三个角都相等的三角形是等边三角 判 形 定 (2)有一个角等于 60°的等腰三角形是 等边三角形
考点4 线段垂直平分线与角平分线的性质
名称 性质 定理 线段的垂直平分线 角平分线
线段垂直平分线上 角平分线上的点到这个 的点到线段两端点 角 的 两 边 的 距 离
相等 的距离________ 相____ 的点，在
到 角 的 两 边 距 离
考情分析
考题热身
考点聚焦
考向探究
17－2，∠AOB＝120°， OP 平分∠AOB，且 OP＝2.若点 M，N 分 别在 OA， OB 上， 且△PMN 为等边三角形， 则满足上述条件的△PMN 有( D )
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第16讲 全等三角形课件
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第16讲 全等三角形
知识要点 · 归纳
知识点一 全等三角形及其性质
• 1．全等三角形的概念 • 能够①__完__全_重__合_的两个三角形叫做全等三角形． • 2．全等三角形的性质 • （1）全等三角形的对应边②___相_等____，对应角③__相_等_____. • （2）全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高、中位线）相等． • （3）全等三角形的周长④___相_等____，面积⑤__相__等____.
∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED．
128/10/2021
• 2．（2018·昆明）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D， ∠1＝∠2．求证：BC＝DE.
129/10/2021
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠DAC＋∠1＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， ∠B＝∠D，
在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD， ∠BAC＝∠DAE，
AAS）； • （4）三边对应相等的两个三角形全等（简记为SSS）； • （5）⑥____斜__边__和一条⑦__直__角_边___对应相等的两个直角三角形全等（简
记为HL）．
152/10/2021
• 【易错提示】 AAA和ASS不能判定两个三角形全等．
• 如图1，△ABC与△A′B′C′的三个角都相等，但△ABC和△A′B′C′不全等．
• 3．如图，△ABD≌△ABC，∠C＝110°，∠ABD＝20°，那么∠DAB
＝____50_°___.
142/10/2021
知识点二 全等三角形的判定
• 1．判定三角形全等的方法 • （1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为SAS）； • （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为ASA）； • （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为
人教版八年级数学讲义_第16讲：等边三角形中考班
第16讲：等边三角形一、【知识点】1、三边都相等的三角形叫做等边三角形 ．2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，都等于60°．3、30°的直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半．4、等边三角形的判定：(1)、三个内角都相等的三角形是等边三角形．(2)、有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形．二、【探究新知】探究1：如图，△ABC 为等边三角形，求它的每一个内角．【定理】等边三角形的每个内角都为______度．【例1】如图，△ABC 边BC 上有D 、E 两点，且BD =DE =EC =AD =AE ，则∠BAC =_________．BBC【练习1】△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于点为F ．(1)你能发现图中有几对全等三角形？ (2)求∠BFD 的度数．【探究2】1．若一个三角形的三个内角都相等，它是等边三角形吗？2．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形吗？【等边三角形的判定定理】1．三个内角都相等的三角形是等边三角形．2．有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形．3．有两个角为60°的三角形为等边三角形．【例2】如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形．BBB BB C【探究】如图，Rt △ABC 中，∠A =30°，则线段BC 与线段AB 有何数量关系？并说明理由．【定理】30°的直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的________．【例3】△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BD ⊥AC 边上的中线，BD ⊥BC 于点B ，∠ABC =120°，求证：AB =2BC ．【练习2】等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为10，则腰长为_______．【练习3】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，AB =4㎝，则BD =________．BCAB【练习4】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证EB ：EA 的值．如图，在平面直角坐标系中，△AOP 为等边三角形，A (0,1)，点B 为y 轴上一动点，以BP 为边作等边△PBC ．(1) 求∠CAP 的度数；(2) 当B 点运动时，AE 的长度是否发生变化？C B第16讲：等边三角形测试题姓名＿＿＿＿分数＿＿＿＿＿1．如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm2．如图，△ABC 是等边三角形，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 垂足为点E ，EF ∥AB ，AE =1，则△EFC 的周长=_______．3．如图所示，一个六边形的六个内角都是120°，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长为________4. 已知△ABC 中，AB =AC ，下列结论：① 若AB =BC ，则△ABC 是等边三角形； ②若∠A =60°，则△ABC 是等边三角形；③若∠B =60°，则△ABC 是等边三角形．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，已知△ABC 为等边三角形，点P 在AB 上，以CP 为边长作等边△PCE ．求证：AE ∥BC ．B6．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ，试探究BM 与CM 之间的数量关系．7．如图，D 、E 分别是等边△ABC 的边AC 、BC 上的点，且AD =CE ，BD 、AE 交于点N ，BM ⊥AE 于M ，求证：MN =21BN .BBE。
学霸讲义中考提分课程第16讲三角形与全等三角形
二、专题精讲
例 1：1． （2015•郑州模拟）如图，△ ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，∠A=50°115° C．120° D．130° 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义． 【分析】 根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB 的度数， 再根据三角形的内角和等于 180° 即可求出∠BOC 的度数． 【解答】解：∵∠A=50° ， ∴∠ABC+∠ACB=180° ﹣∠A=180° ﹣50° =130° ， ∵BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
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∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= × 130° =65° ， ∴∠BOC=180° ﹣（∠OBC+∠OCB）=180° ﹣65° =115° ． 故选 B． 【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 2． （2015•绵阳）如图，在△ ABC 中，∠B、∠C 的平分线 BE，CD 相交于点 F，∠ABC=42° ，∠A=60° ，则∠BFC= （ ）
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∴∠CBE= ∠ABC，∠BCD=
，
∴∠CBE+∠BCD= （∠ABC+∠BCA）=60° ， ∴∠BFC=180° ﹣60° =120° ， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是 解答此题的关键．
知识点 3．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0° 且小 于 180° ． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180° ． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用
数学中考第一轮复习讲义：数学中考第一轮复习讲义：第16讲 三角形
第十六讲三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 （简称 ）。
2．三角形的中位线三角形的中位线平行于 ，并且等于 ．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边．4、三角形的内角和定理及推论（1）三角形内角和：三角形三内角之和等于 ．（2）三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角；(3)三角形的一个外角 与它不相邻的两内角之和．5．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为 和等腰三角形；等腰三角形又分为 及 .(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为： 和 .1．（2017•宁德）在△ABC 中，AB=5，AC=8，则BC 长不可能是（ ）A ．4B ．8C ．10D ．132．（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）A ．中线B ．角平分线C ．高D．中位线3．（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）A．120°B．90°C．100°D．30°4．（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）A．6B．7C．11D．125. （2017贵州安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于．6．（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是．7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．知识点一：三角形的三边关系【例题】小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是： 6 ， 11 ， 16 （单位：cm ）．【考点】三角形三边关系．【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．【解答】解：每三根组合，有5，6，11；5，6，16；11，16，5；11，6，16四种情况．根据三角形的三边关系，得其中只有11，6，16能组成三角形．【点评】此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系．【变式】在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．9cmD ．13cm【考点】三角形三边关系．【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．【解答】解：设第三边为c ，则9+4＞c ＞9﹣4，即13＞c ＞5．只有9符合要求．故选C ．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．知识点二、三角形的内角和.【例题】已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．140°D ．160°【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A 的方程，从而求解．【解答】解：∵∠A=2（∠B+∠C），∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A=180°，∠A=120°．故选B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．【变式】(2017湖北宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）A．①②B．①③C．②④D．③④【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，故选B．题型三、三角形主要线段【例题】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．【变式】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．知识点四、三角形的内角和、外角性质【例题】（2017湖南株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（ ）A．145°B．150°C．155°D．160°【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴6x=180，∴x=30，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．【变式】（2017江苏徐州）正六边形的每个内角等于 120 °．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为： =120°，故答案为：120°【典例解析】【例题1】已知三角形两边长分别为3和9，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A．4B．5C．11D．15【考点】三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为3和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，把各项代入不等式符合的即为答案．只有11符合不等式，故答案为11．故选C．【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【例题2】若P是△ABC内任一点，则∠BPC与∠A的大小关系是 ∠BPC＞∠A ．【考点】三角形的外角性质．【分析】如图，延长BP交AC于D．根据△PDC外角的性质知∠BPC＞PDC；根据△ABD外角的性质知∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．【解答】证明：如图，延长BP交AC于D．∵∠BPC＞PDC，∠PDC＞∠A，∴∠BPC＞∠A．故答案是：∠BPC＞∠A．【点评】本题考查了三角形的外角的性质．解题时是结合三角形的内角和与外角的关系来证明结论的．【例题3】一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 四 边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=360，解得n=4，则它是四边形．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．【例题4】如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M．【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先根据平行线的性质得出∠MEB 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠C=80°，∴∠MEB=∠C=80°．又∵∠A=38°，∴∠M=∠MEB﹣∠A=80°﹣38°=42°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．热点1：如图，已知在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC的度数．【考点】三角形内角和定理．【专题】数形结合．【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC 三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC 的度数．【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．热点2：如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．【考点】三角形内角和定理；平行线的判定．【专题】证明题．【分析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，∴∠A+∠1=138°，又∵∠A+10°=∠1，∴∠A+∠A+10°=138°，解得：∠A=64°．∴∠A=∠ACD=64°，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题首先利用三角形内角和定理和∠A与∠1的关系求出∠A的度数，然后再利用平行线的判定方法得证．热点3：如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A=50°，则∠P= 65 °；（2）若∠A=90°，则∠P= 45 °；（3）若∠A=100°，则∠P= 40 °；（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．（2）（3）和（1）的解题步骤相似．（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．【解答】解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，∴，，∴=115°，∴∠P=65°．同理得：（2）45°；（3）40°（4）∠P=90°﹣∠A．理由如下：∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，∴∠CBP+∠BCP=90°+∠A又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，∴∠P=90°﹣∠A．【点评】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．一．选择题1. 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，4cmB ．2cm ，3cm ，5cmC ．2cm ，5cm ，10cmD ．8cm ，4cm ，4cm2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形3．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4. 如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°5．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）A ．120°B ．（128）°C ．144°D ．145°6．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（ ）A ．都是钝角B ．都是锐角C ．是一个锐角、一个钝角D．互补二．填空题7. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．8. 从n边形的一个顶点出发可以引 n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成个三角形．9. 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE 的大小是度．10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C 处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于度．三．解答题.11.一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n 的值．12 ．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？13. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？14. 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．15. 已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm ，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．【知识归纳】1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。
备战 中考数学基础复习 第16课 三角形及全等三角形课件ppt（40张ppt）
【考点3】全等三角形的证明与计算 例3.(2020·无锡)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF. 求证:(1)△ABF≌△DCE; (2)AF∥DE.
【证明】(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C,
∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,
即BF=CE,在△ABF和△DCE中,
AB DC，
B C， ABF≌ DCE SAS;
变式.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段 AM的长; (2)如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证:BE=AF; (3)如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°,求证:AB+AN= 2 AM.
4.(2020·苏州)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋 转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,且AB′=CB′,求∠C′的度数.
【解析】设∠C′=x°. 根据旋转的性质,得∠C=∠C′=x°,AC′=AC, AB′=AB.∴∠AB′B=∠B. ∵AB′=CB′,∴∠C=∠CAB′=x°. ∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°,∠BAC=108°, ∴x+2x+108=180.解得x=24. ∴∠C′的度数为24°.
五、三角形中的三条重要线段 1.中线:三角形的三条中线的交点在三角形的___内____部,这个交点叫做三角形 的___重__心____. 2.角平分线:三角形的三条角平分线的交点在三角形的___内____部. 3.高:___锐__角____三角形的三条高的交点在三角形的内部;直角三角形的三条高 的交点是___直__角__顶__点____;___钝__角____三角形的三条高所在直线的交点在三角形
2017人教版中考数学第16讲《线段、角、相交线与平行线》
解析：如图，作直线 a∥l， ∵l∥m，∴a∥l∥m.
∵l∥a，∴∠1＋∠4＝180° . ∵a∥m，∴∠5＋∠3＝180° . 又∵∠4＋∠5＝∠2， ∴∠1＋∠2＋∠3＝360° . ∴∠3 ＝ 360° － ∠1 － ∠2 ＝ 360° － 115° － 95° ＝ 150° . 故选 D.
10．(2013· 武汉)两条直线最多有 1 个交点，三条直 线最多有 3 个交点，四条直线最多有 6 个交点，……. 那么六条直线最多有( C A．21 个交点 C．15 个交点 ) B．18 个交点 D．10 个交点
解析：每条直线只能与其他直线有一个交点，故六 1 条直线最多有 ×6×5＝15(个)交点．故选 C. 2
16．(2013· 成都)如图，∠B＝30° ，若 AB∥CD，CB 平分∠ACD，则∠ACD＝ 60 度．
解析： ∵° .∵CB 平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠BCD＝60° .
17． (2013· 呼和浩特)如图，AB∥CD，∠1＝60° ， FG 平分∠EFD，则∠2＝ 30° .
A．15° C．35°
B．25° D．45°
解析： 直尺的对边互相平行， 由平行四边形的性质， 可得∠2＝60° －∠1＝60° －25° ＝35° .故选 C.
8．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后， 行驶的方向与原来的方向相同， 则这两次拐弯的角度可 能是( A ) A．第一次向左拐 30° ，第二次向右拐 30° B．第一次向右拐 50° ，第二次向左拐 130° C．第一次向左拐 50° ，第二次向右拐 130° D．第一次向左拐 50° ，第二次向左拐 130°
考点三
相交线
1．对顶角的性质 对顶角相等 . 2．垂线的性质 (1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 (简记为：垂线段最短)．
最新人教版中考数学复习知识点梳理——第16课时 全等三角形
{找两角的夹边（ASA），
（3）已知两角 找夹边以外的任意一边（AAS）.
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中考考点精讲精练
考点1 全等三角形的概念和性质(5年3考）
典型例题
1. （2020淄博）如图4-16-1，若△ABC≌△ADE，则下列结论一定成立的
是
（B ）
A. AC=DE
B. ∠BAD=∠CAE
C. AB=AE
D. ∠ABC=∠AED
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续表
概 （4）角角边：__两__角____和其中一角的___对__边___对应相等的两个三角 念 形全等（可简写成“AAS”）. 定 （5）斜边直角边：___斜__边___和一条__直__角__边__对应相等的两个直角三 理 角形全等（可简写成“HL”）.
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方 4. 证明三角形全等的思路归纳
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2. （2019广州）如图4-16-11，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，
FC∥AB.求证：△ADE≌CFE．
证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.
在△ADE与△CFE中，
∠A=∠FCE，
∠ADE=∠F，
DE=FE,
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
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3. （2018广州）如图4-16-12，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：
4. 如图4-16-4，AC,BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论正确的有
（D ）
①AC⊥BD;
②CB=CD;
③△ABC≌△ADC;
④AC平分∠BAD.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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中考数学考前热点冲刺指导《第16讲三角形与全等三角形》
性质 角平分线上的点到角两边的距离相 等
角的内部到角两边距离相等的点在
判定
这个角的平分线上
2021/12/9
第16讲┃ 三角形与全等三角形
第二十二页，共三十二页。
15．如图16－12，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC
于点E.已知PE＝3，则点P到AB的距离是( A )
A．3
B．4
C．5
图16－3
第16讲┃ 三角形与全等三角形
第六页，共三十二页。
考点(kǎo diǎn)2 三角形的边和角
三角形边 的关系
三角形的内角 和与外角和
三角形外 角性质
三角形任意两边之和__大_于_____第三 边，任意两边之差_小__于_____第三边 三角形内角和等于_1_8_0_°__，外角和为
_3_6_0_°__ ①三角形的一个外角__等_于___与它不相 邻的两个内角的和；②三角形的一个 外角大于与__它__不__相__邻__的_任何一个内角
2021/12/9
第16讲┃ 三角形与全等三角形
第三十一页，共三十二页。
内容(nèiróng)总结
第16讲 三角形与全等三角形。第16讲 三角形与全等三角形。考点1 三角形的分类及重要线段。┃考点自 主(zìzhǔ)梳理与热身反馈 ┃。第16讲┃ 三角形与全等三角形。考点3 全等三角形的定义及性质。考点4 全等三
第二十九页，共三十二页。
在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延
长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
2021/12/9
图16－15
第16讲┃ 三角形与全等三角形
初中数学基础知识1第四单元三角形第16课时《全等三角形》
两角及其夹边分别相 ∠B1＝∠B2，__A_1_B_1_＝__A_2_B_2___，
等(ASA)
∠A 1＝∠A 2
两角及其中一角对边 ∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，_B_1_C_1＝__B__2C__2
分别相等(AAS)
或___A_1_C_1_＝__A_2_C_2_______
第16课时 全等三角形
2 ∴CD＝3.
第16课时 全等三角形
基本模型
模型二 对称模型
图示
模型 总结
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶 点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边 或公共角相等.
第16课时 全等三角形
练习 3 如图，已知线段 AC，BD 相交于点 E，AE＝DE，BE＝CE.
(1)求证：△A B E ≌△DCE ；
(2)当 AB＝5 时，求 CD 的长． (1)证明：在△ABE 和△DCE 中，
A∠EA＝EDB＝E ∠DEC，
BE＝CE
∴△ABE≌△DCE(SAS)；
练习 3 题图
(2)解：∵△ABE≌△DCE，
∴CD＝AB＝5.
第16课时 全等三角形
练习 4 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分点 全等三角形的性质与判定 1. 定义：能够_完__全__重__合___的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫 做全__等__三__角__形__． 2. 性质： (1)全等三角形的对应边___相__等_____、对应角___相__等_____； (2)全等三角形的周长___相__等_____、面积___相__等_____； (3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都___相__等_____．
2017年中考专题复习讲义三角形和全等三角形
【中考考点梳理】考点一全等三角形的概念与性质1．概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形．温馨提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图，△ABC 和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DB C．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高线)相等、周长相等、面积相等．3．常见全等三角形的基本图形(1)平移全等型(2)翻折全等型(3)旋转全等型考点二全等三角形的判定 1．全等三角形的判定方法温馨提示：1．方法2是两边和它们的夹角，如果说“两边及其中一边的对角对应相等”，则不能判定两个三角形全等．2．三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 2．全等三角形的判定思路说明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行．⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找第三边→SSS找直角→HL已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找其中一个已知角的对边→AAS考点三角平分线的性质定理及其逆定理)1．性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．即如图，∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.2．性质定理的逆定理：角的部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．即如上图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP是∠AOB的平分线．温馨提示：应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化，所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质定理解决问题．考点四线段垂直平分线的性质与判定1．定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．2．性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3．性质定理的逆定理：与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【例1】(2015·)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE ＝DF，∠A＝∠D．(1)求证：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．【思路点拨】(1)由AB∥CD，可得∠B＝∠C，再有AE＝DF，∠A＝∠D，可得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质可证；(2)通过等量代换得到△DCF为等腰三角形，且∠C＝∠B＝30°，再通过三角形角和求得∠D的度数．【自主解答】(1)证明：∵AB∥CD, ∴∠B＝∠C．∵AE＝DF，∠A＝∠D, ∴△ABE≌△DCF(AAS)．∴AB＝CD．(2)解：∵AB＝CF，AB＝CD，∴CD＝CF，∴∠D＝∠CFD．∵∠B＝∠C＝30°，∴∠D＝75°.方法总结：判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．【变式训练】1、如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P .(1)求证：△ABM ≌△BCN ； (2)求∠APN 的度数．(1)证明：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN . 又BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN . (2)解：∵∠APN 是△ABP 的一个外角，∴∠APN ＝∠BAM ＋∠ABN ＝∠CBN ＋∠ABN ＝∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°. 2、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【分析】可以判断△ABD ≌△BCD，△MDO ≌△M′BO，△NOD ≌△N′OB，△MON ≌△M′ON′由此即可对称结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC， 在△ABD 和△BCD 中，，∴△ABD ≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．3、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠A DF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选（B）4、如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为（3，4）或（\frac{96}{25}，\frac{72}{25}）或（﹣\frac{21}{25}，\frac{28}{25}）．【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标．【解答】解：如图所示：①∵OA=3，OB=4，∴P1（3，4）；②连结OP2，设AB的解析式为y=kx+b，则，解得．故AB的解析式为y=﹣x+4，则OP2的解析式为y=x，联立方程组得，解得，则P2（，）；③连结P2P3，∵（3+0）÷2=1.5，（0+4）÷2=2，∴E（1.5，2），∵1.5×2﹣=﹣，2×2﹣=，∴P3（﹣，）．故点P的坐标为（3，4）或（，）或（﹣，）．故答案为：（3，4）或（，）或（﹣，）．【例2】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(A)A．6 B．5C．4 D．3【思路点拨】过点P作PE⊥OB于点E，由角平分线的性质易得PE的长．方法总结：题目中若有角平分线这一条件，常考虑2倍角关系或添加垂线段，利用角的平分线的性质定理求角度或证明线段相等或计算线段长度．【变式训练】1、如图，已知△ABC三个角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD ＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为．【解析】∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝100°，∠BAO＝40°，∴∠DAO＝140°.∵AD＝AO，∴∠D＝20°.∵△ABC三个角的平分线交于点O，∴∠ACO＝∠BCO.在△COD和△COB中，CD＝CB，∠OCD＝∠OCB，OC是公共边，∴△COD≌△COB，∴∠D＝∠CBO.∴∠CBO＝20°，∴∠ABC ＝40°，∴∠BCA＝60°.【答案】60°2、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．【例3】如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△A DE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．【变式练习】1、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，.∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥B P，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【考点】旋转的性质．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【例3】如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．【思路点拨】(1)根据题目所给条件可分析出△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；(2)根据AB ∥CD 可得∠BAC ＝∠DCA ，根据AF ＝CE 可得AE ＝FC ，然后再证明△ABE ≌△CDF 即可．【自主解答】(1)解：△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ．(2)证明：△ABE ≌△CDF .∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA ．∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝FC ．在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，∠ABE ＝∠CDF ，AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF (AAS )．方法总结：根据题目给出的条件和图形中隐含的条件，分析哪些三角形全等，再根据三角形全等的判定方法证明即可．【变式练习】1、如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连结BD ．请添加一个适当的条件AB ＝CD 或∠A ＝∠C 或∠ADB ＝∠CBD ，使△ABD ≌△CDB (只需写一个)．2、如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： AH=CB 等（只要符合要求即可） ，使△AEH ≌△CEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）如图所示；（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F分别是OA、OC的中点，∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF．4、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【例4】如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE 分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；证明△ABD～△BCE，得出=，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2；③正确；由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC•AD=AB•BE，∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．【变式练习】1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF 沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】四边形综合题．【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．故选：B．2、在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【分析】①作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，所以BM与CN的长度相等．②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到结论正确；③经过简单的计算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，④用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．【解答】解：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图，由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN∵tanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴cos2α=，∴=1+=1+（）2=1+tan2α，∴=2（1+tan2α）∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AE×AM+AM2=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α=2（1+tan2α）=．∴④正确．故选C．【点评】此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN．【例5】1、如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．【知识点】等腰三角形——等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形——正方形的性质、旋转——旋转的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性质、相似三角形——相似三角形的判判定和性质【思路分析】（1）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN与△AND的角和以及它们的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解.【解答】(l)解：BD ＝CF 成立．证明：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ;AF ＝AD ,△ABD ≌△ACF ,∴BD ＝CF .(2)①证明：由(1)得，△ABD ≌△ACF ，∴∠HF N ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠AND ，∠HNF ＝∠AND ,∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°,∴HD ⊥HF ,即BD ⊥CF .②解：如图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M .在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°，∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt△FHD 中，∵∠MDB ＝∠HDF ,∴△BMD ∽△FHD .∴AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形，∴MA ＝MD ＝322＝3.∴MB ＝3－2＝1,DB ＝12＋32＝10. ∵MD HD ＝BD FD .∴3 HD ＝106. ∴DH ＝9105.【方法总结】本题考查了全等三角形的判判定和性质，全等三角形的性质是证明等角、等线段的最为常用的方法；图形的旋转中，对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变；2、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB=AD=2cm ，BC=5cm ，如图，量得第四根木条CD=5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB 不动，AB=2cm ，量得木条CD=5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系．【分析】（1）相等．连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．（2）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．【解答】解：（1）相等．理由：连接AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，∴∠B=∠D．（2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右侧时，，解得，当点C在点D左侧时，解得，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，∴不合题意，∴AD=13cm，BC=10cm．3、已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．【考点】四边形综合题．【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．4、如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．【归纳猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为60°﹣\frac{180°}{n}（用含n的式子表示）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．【解答】解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'（ASA）∴∠OAE'=∠PAE．在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AA AE=AB ∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．（4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等边三角形．故答案为：是（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣故答案：60°﹣．【巩固练习】1、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3. （2016·市B卷·7分）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据两直线平行，错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED 全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．4.（2016··3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH= ，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△H OE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD= 10，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH= ，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，∴OH=EH×=，故答案为：．5.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，（6分）▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，（7分）∴菱形AECF的面积为2．（8分）【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．6.如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.7.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CA M，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．8.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；（2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==π．9、如图，将一直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，∵CD∥C′D′，。
中考数学一轮复习 第16课 全等三角形(拓展) 导学案-人教版初中九年级全册数学学案
全等三角形（拓展）【考点梳理】：一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
二、全等三角形的判定（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称：“SAS”）。
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称：“ASA”）。
（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称：“AAS”）。
（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称：“SSS”）。
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称：“HL”）。
三、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
【思想方法】数形结合，分类讨论【考点一】：全等三角形的判定【例题赏析】（1）（2015•某某省某某,第8题3分）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF ≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C． AD∥BC D． DF∥BE考点：全等三角形的判定与性质．分析：利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．解答：解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故选：B．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．（2）（2015•某某某某，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F 分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2B ． 3C．D．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析：首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．解答：解：如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF=EF，∵CE=3，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，∴EF==， ∴（9﹣x ）2=9+x 2，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===2，故选A ．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．【考点二】：全等三角形的性质【例题赏析】（2015，某某某某，14，3分）如图，△ABC ≌△DEF ，则EF=5 ．考点： 全等三角形的性质．分析： 利用全等三角形的性质得出BC=EF ，进而求出即可．解答： 解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC=EF则EF=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．【考点三】：角平分线的性质与判定【例题赏析】（2015•某某某某8，3分）如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为（ ）A ． 6B ． 5C ． 4D ． 3考点：角平分线的性质．分析：过点P 作PE ⊥OB 于点E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD ，从而得解．解答：解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA 于D ， ∴PE=PD ，∵PD=6，∴PE=6，即点P 到OB 的距离是6．故选：A ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，记性质是解题的关键．【考点四】：尺规作图【例题赏析】（2015，某某某某，21，6OM 平分∠BOA ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．分析： 根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD ，CM=DM ，答案．解答： 解：结论：OM 平分∠BOA ，证明：由作图的痕迹可知，OC=OD ，CM=DM ，在△和△DOM 中，，∴△≌△DOM，∴∠=∠DOM，∴OM平分∠BOA．点评：本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【考点五】：有关全等三角形的探索题【例题赏析】（2015•某某省某某,第25题14分）如图1，△ABC和△AED角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：BE=CD；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，考点：几何变换综合题．分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE 线段CD的关系；（2）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD 根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；②根据平行四边形的性质可得∠ABC=解答：解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴∠CAD=45°，∴角α的度数是45°．点评：考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度中等．【真题专练】1.（2015•某某，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．2.（2015•某某省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）3.（2015•某某,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）4．（2015，某某某某，21，分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD 垂足分别为E，F．求证：BE=CF．5.（2015，某某某某，21，8分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD(1)作∠A的角平分线交CD于E;(2)过B作CD的垂线，垂足为F;(3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母),并选择其中一对加以证明.6.（2015•某某某某，第18题6分）.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE8.（2015•某某某某）（第17题，12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．9. （2015•某某，第25题14分）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC 中分别以AB 、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE=ABAD=AC ，∠BAE=∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB=7cm ，BC=3cm ，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD （3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．10.（2015•某某,第10题3分）如图，在钝角△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ，取BC D ，AC 中点N ，连接DN 、DE 、DF ．下列结论：①EM=DN ；②S △CDN =12S 四边形ABDN ；③DE=DF ；④⊥DF ．其中正确的结论的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【真题演练参考答案】1.（2015•某某，第10题2分）如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF=CE ，AB ∥DE 加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是AC=DF （只需写一个，考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．2.（2015•某某省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB=CD，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：先根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，而BD=DB，∴当添加AB=CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB=CD．点评：本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边3.（2015•某某,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC=EF或∠BAC=∠EDF．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析： BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．解答：解：若添加BC=EF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC=∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．4．（2015，某某某某，21，分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．（2分）∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．（4分）∴BE=CF．（5分）点评：本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．5.（2015，某某某某，21，8分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD(1)作∠A的角平分线交CD于E;(2)过B作CD的垂线，垂足为F;(3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母),并选择其中一对加以证明.第21题解:(3)△ACE≌△ADE,△ACE≌△CFB证明:△ACE≌△ADE∵AE是∠A的平分线,∴∠CAE=∠DAE,又AC=AD,AE为公共边,∴△ACE≌△ADE(SAS).6.（2015•某某某某，第18题6分）.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC ，即可解决问题．解答：解：如图，∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AB=DE．点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．7.（2015•某某A20，7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E。
2017年中考专题复习讲义三角形和全等三角形
【中考考点梳理】考点一全等三角形的概念与性质1．概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形．温馨提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图，△ABC 和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DB C．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高线)相等、周长相等、面积相等．3．常见全等三角形的基本图形(1)平移全等型(2)翻折全等型(3)旋转全等型考点二全等三角形的判定 1．全等三角形的判定方法温馨提示：1．方法2是两边和它们的夹角，如果说“两边与其中一边的对角对应相等”，则不能判定两个三角形全等．2．三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 2．全等三角形的判定思路说明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行．⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找第三边→SSS找直角→HL已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找其中一个已知角的对边→AAS考点三角平分线的性质定理与其逆定理)1．性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．即如图，∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.2．性质定理的逆定理：角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．即如上图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP是∠AOB的平分线．温馨提示：应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化，所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质定理解决问题．考点四线段垂直平分线的性质与判定1．定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．2．性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3．性质定理的逆定理：与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【例1】(2015·XX)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．(1)求证：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．【思路点拨】(1)由AB∥CD，可得∠B＝∠C，再有AE＝DF，∠A＝∠D，可得△ABE ≌△DCF，由全等三角形的性质可证；(2)通过等量代换得到△DCF为等腰三角形，且∠C ＝∠B＝30°，再通过三角形内角和求得∠D的度数．【自主解答】(1)证明：∵AB∥CD, ∴∠B＝∠C．∵AE＝DF，∠A＝∠D, ∴△ABE≌△DCF(AAS)．∴AB＝CD．(2)解：∵AB＝CF，AB＝CD，∴CD＝CF，∴∠D＝∠CFD．∵∠B＝∠C＝30°，∴∠D＝75°.方法总结：判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．【变式训练】1、如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM 交BN于点P.(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN的度数．(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.又BM＝CN，∴△ABM≌△BCN.(2)解：∵∠APN是△ABP的一个外角，∴∠APN＝∠BAM＋∠ABN＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝（5－2）×180°5＝108°.2、如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．3、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以与全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选（B）4、如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P 的坐标为（3，4）或（\frac{96}{25}，\frac{72}{25}）或（﹣\frac{21}{25}，\frac{28}{25}）．【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB 全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标．【解答】解：如图所示：①∵OA=3，OB=4，∴P1（3，4）；②连结OP2，设AB的解析式为y=kx+b，则，解得．故AB的解析式为y=﹣x+4，则OP2的解析式为y=x，联立方程组得，解得，则P2（，）；③连结P2P3，∵（3+0）÷2=1.5，（0+4）÷2=2，∴E（1.5，2），∵1.5×2﹣=﹣，2×2﹣=，∴P3（﹣，）．故点P的坐标为（3，4）或（，）或（﹣，）．故答案为：（3，4）或（，）或（﹣，）．【例2】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(A)A．6 B．5C．4 D．3【思路点拨】过点P作PE⊥OB于点E，由角平分线的性质易得PE的长．方法总结：题目中若有角平分线这一条件，常考虑2倍角关系或添加垂线段，利用角的平分线的性质定理求角度或证明线段相等或计算线段长度．【变式训练】1、如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为．【解析】∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝100°，∠BAO＝40°，∴∠DAO＝140°.∵AD＝AO，∴∠D＝20°.∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO＝∠BCO.在△COD和△COB 中，CD＝CB，∠OCD＝∠OCB，OC是公共边，∴△COD≌△COB，∴∠D＝∠CBO.∴∠CBO＝20°，∴∠ABC＝40°，∴∠BCA＝60°.【答案】60°2、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．【例3】如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以与AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．【变式练习】1、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【考点】旋转的性质．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【例3】如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF ＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．【思路点拨】(1)根据题目所给条件可分析出△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；(2)根据AB ∥CD 可得∠BAC ＝∠DCA ，根据AF ＝CE 可得AE ＝FC ，然后再证明△ABE ≌△CDF 即可．【自主解答】(1)解：△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ．(2)证明：△ABE ≌△CDF .∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA ．∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝FC ．在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，∠ABE ＝∠CDF ，AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF (AAS )．方法总结：根据题目给出的条件和图形中隐含的条件，分析哪些三角形全等，再根据三角形全等的判定方法证明即可．【变式练习】1、如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连结BD ．请添加一个适当的条件AB ＝CD 或∠A ＝∠C 或∠ADB ＝∠CBD ，使△ABD ≌△CDB (只需写一个)．2、如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： AH=CB 等（只要符合要求即可） ，使△AEH ≌△CEB ．【考点】全等三角形的判定．【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）如图所示；（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F分别是OA、OC的中点，∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF．4、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【例4】如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE 分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；证明△ABD～△BCE，得出=，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2；③正确；由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC•AD=AB•BE，∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．【变式练习】1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF 沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S=2S△BGE．四边形ECFGA．4 B．3 C．2 D．1【考点】四边形综合题．【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S=4S△BGE，故④错误．四边形ECFG故选：B．2、在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【分析】①作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，所以BM与CN的长度相等．②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到结论正确；③经过简单的计算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，④用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．【解答】解：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图，由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN∵tanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴cos2α=，∴=1+=1+（）2=1+tan2α，∴=2（1+tan2α）∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AE×AM+AM2=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α=2（1+tan2α）=．∴④正确．故选C．【点评】此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN．【例5】1、如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．【知识点】等腰三角形——等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形——正方形的性质、旋转——旋转的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性质、相似三角形——相似三角形的判判定和性质【思路分析】（1）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN与△AND的内角和以与它们的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解.【解答】(l)解：BD＝CF成立．证明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.(2)①证明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HF N＝∠ADN，在△HFN与△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90°,∴HD⊥HF,即BD⊥CF.②解：如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.在Rt△BMD与Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD.∴AB＝2，AD＝32，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝322＝3. ∴MB＝3－2＝1,DB＝12＋32＝10.∵MDHD＝BDFD.∴3HD＝106.∴DH＝9105.【方法总结】本题考查了全等三角形的判判定和性质，全等三角形的性质是证明等角、等线段的最为常用的方法；图形的旋转中，对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变；2、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系．【分析】（1）相等．连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．（2）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．【解答】解：（1）相等．理由：连接AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，∴∠B=∠D．（2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右侧时，，解得，当点C在点D左侧时，解得，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，∴不合题意，∴AD=13cm，BC=10cm．3、已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．【考点】四边形综合题．【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．4、如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．【归纳猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为60°﹣\frac{180°}{n}（用含n的式子表示）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．【解答】解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'（ASA）∴∠OAE'=∠PAE．在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AA AE=AB ∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．（4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等边三角形．故答案为：是（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣故答案：60°﹣．【巩固练习】1、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3. （2016·XX市B卷·7分）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．4.（2016·XXXX·3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH= ，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD= 10，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH= ，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，∴OH=EH×=，故答案为：．5.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，（6分）▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，（7分）∴菱形AECF的面积为2．（8分）【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以与逻辑推理能力．6.如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.7.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．8.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E （1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；（2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==π．9、如图，将一X直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD 沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，。
江西省2017中考数学 第一部分 教材同步温习 第四章节 三角形及应用 16 全等三角形讲义 新人教版
判定两个 三角形全 等的一般 方法有： SSS、 SAS 、 ASA、 AAS、HL.注意： AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2.(2016金华)如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能
判定△ABC≌△BAD的是( A ) A．AC＝BD
B．∠CAB＝∠DBA
C．∠C＝∠D
D．BC＝AD
【考查内容】全等三角形的判定．
【解析】由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
A．∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，(SSA)三角形不全等；
∠ABC＝∠BAD， B．在△ABC 与△BAD 中，AB＝BA，
∠CAB＝∠DBA， △ABC≌△BAD(ASA)，正确； C．在△ABC 与△BAD 中，∠ ∠CAB＝C∠＝D∠，BAD，
等．
►知识点二 全等三角形的判定与证明思路
1．全等三角形的判定 (1)“边角边”或“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)“角边角”或“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)“角角边”或“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． (4)“边边边”或“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等． (5)“斜边、直角边”或“HL”公理：①斜__边_____和一条②直__角__边____对应相等的两 个直角三角形全等．
(3)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，∵AC＝B′C′，∠CAC′＝15°， ∴∠ACB＝30°. ∴AD＝12AC＝12BC， S△ABC＝12BC·AD＝12BC·12BC＝14BC2＝5， ∴BC2＝20，∴BC＝2 5(舍去负值)．
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第16讲┃ 三角形与全等三角形
考点2
三角形的边和角
三角形边 的关系 三角形的内角 和与外角和 三角形外 角性质
大于 三角形任意两边之和________ 第三 小于 边，任意两边之差________ 第三边 180° ，外角和为 三角形内角和等于______ ______ 360° ①三角形的一个外角______ 等于 与它不相 邻的两个内角的和；②三角形的一个 外角大于与它不相邻的 ___________任何一个内角
第16讲┃ 三角形与全等三角形
1．如图16－1所示，图中三角形共有( C
)
A．1个
B． 2 个
图16－1 C．3个
D．4个
第16讲┃ 三角形与全等三角形
2．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别 是4，9，12，如何求这个三角形的面积”？小明提示说：“可 通过作最长边上的高来求解”．小华根据小明的提示作出下列 图形，其中正确的是( C )
考点3
全等三角形的定义及性质
重合 ，那么这 如果两个三角形能够完全______ 两个三角形全等，即对应边相等 ______，对应 相等 的三角形全等 角______ 相等 ，对应角 全等三角形对应边_______ 相等 _______
定义
性质
第16讲┃ 三角形与全等三角形
8.如图16－5，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则 ∠ACA′的度数为( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
[解析] 设第三边的长为x，则7－3＜x＜7＋3，所以4＜x＜10.又x为 整数，所以x可取5,6,7,8，所以这个三角形的周长的最小值为15.
第16讲┃ 三角形与全等三角形
6．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三 角形是( B ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
判定 定理
AAS SSS HL
第16讲┃ 三角形与全等三角形
10.如图16－7，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还 需从下列条件中补选一个，则错误的选法是( B )
图16－7 A．AB＝AC C．∠ADB＝∠ADC B．DB＝DC D．∠B＝∠C
第16讲┃ 三角形与全等三角形
11．如图16－8，给出下列四组条件： ①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF； ③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F； ④AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E； 其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( D
图16－2
第16讲┃ 三角形与全等三角形
3．要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接 到达A、B的点C，连接CA、CB，分别在线段CA、CB上取中点D、 E，连接DE，测得DE＝35 m，则可得A、B之间的距离为( B ) A．30 m B．70 m C．105 m D．140 m
图16－3
第16讲
三角形与全等三 角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 三角形的分类及重要线段
钝角
直角三角形 三角形 内
直角 顶点
外
第16讲┃ 三角形与全等三角形
三角形 三角形的中线平分三角形的面积 的中线 三边 距 三角形的 三角形的角平分线的交点到三角形的_______ 角平分线 离相等 三角形的 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边 中位线 的_______ 一半
图16－5
第16讲┃ 三角形与全等三角形
9.如图16－6所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3， 则EC的长为( A ) A．2 B．3 C．5 D．2.5
图16－6
第16讲┃ 三角形与全等三角形
考点4
全等三角形的判定
SAS ASA 两边和它们的______ 夹角 对应相等的两个三 角形全等 夹边 对应相等的两个三 两角和它们的______ 角形全等 对边 对应相等 两个角和其中一个角的______ 的两个三角形全等 三边 对应相等的两三角形全等 ______ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．1组
B．2组
图16－8 C．3组
D．4组
第16讲┃ 三角形与全等三角形
12．如图16－9，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条 件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是 ________．
图16－9
答案不唯一，如：BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D
第16讲┃ 三角形与全等三角形
第16讲┃ 三角形与全等三角形
7．如图16－4，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边 270 形，则∠1＋∠2＝________ 度．
图16－4
[解析] 如图，根据题意可知∠5＝90° ， ∴∠3＋∠4＝90° ，∴∠1＋∠2＝2∠5＋∠3＋∠4＝2×90° ＋90° ＝270° .
第16讲┃ 三角形与全等三角形
第16讲┃ 三角形与全等三角形
14.如图16－11，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B ＝∠1. 求证：AC＝DF.(要求：写出证明过程中的重要依据)
图16－11
第16讲┃ 三角形与全等三角形
证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC， 即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠1， BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． ∴AC＝DF(全等三角形对应边相等)．
13．如图16－10，在△ABC和△BAD中，BC＝AD，请你再补充一个 AC ＝BD或∠CBA＝∠DAB只 条件，要使△ABC≌△BAD.你补充的条件是 ____________________( 填一个)．
图16－10
[解析] 欲证两三角形全等，已有条件：BC＝AD，AB＝BA， 所以补充两边夹角∠CBA＝∠DAB便可以根据SAS证明； 补充AC＝BD便可以根据SSS证明．
第16讲┃ 三角形与全等三角形
4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形 的是( C ) A．1，2，3 B． 2 ， 5 ， 8 C．3，4，5 D．4，5，10 5．一个三角形的两条边长分别为3和7，且第三边的边长为整 数，这样的三角形的周长的最小值是( B ) A．14 B．15 C．16 D．17