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《因式分解》复习课件
分解因式时,先考虑能否提公因式, 再考虑能否运用公式法分解因式.
注意：分解因式一直要分解到不能再分 解为止。
一 填空题： 1. 4a(x - y)+b(y - x) = ( x - y )(4a - b )
2. 若 9x2 + px+q = ( 3x – 5 )2， - 30 , q=____ 25 . 则 p=____
回顾与思考
第二章 因式分解
一、定义： 把一个多项式化成几 个整式乘积的形式,这种变形叫做 分解因式.
•分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果是几个整式的乘积的 形式. • 多项式的分解因式与整式乘法是 方向相反的恒等式.它们是互为逆
运算关系。
二 提公因式法：
如果一个多项式的各项含有公 因式，那么就可以把这个公因式提 出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法。
±8 3.若16x2+ax+1是完全平方式，则a=____
4.
3am 3an 6amn
2 2
解：原式= 3a( m2+n2+2mn )
= 3a( m+n
5. x2(x2-y2)+z2(y2-x2)
2 2 2 2 解：原式=(x -y )(x -z )
2 )
=(x+y)(x-y)(x+z)(x-z)
9.
2 a -
2 (a+b+2)
2 2 (b +c -2bc)
解：原式=a2 - (b-c)2
=(a+b-c)(a-b+c)
二 试说明：两个连续整数的平方差 必是奇数.
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
因式分解复习课PPT课件
小练笔
小练笔：下列变形是否是因式分解？为什么？ • (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x+1) （ 是） • (2)x2-2x+3=(x-1)2+2 （ 否） • (3)x2y2-2xy+1=(xy+1)(xy-1) （否 ） (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn （否 ）
●
9x 2 kx 1
因式分解的规律小结（小组讨论）：
1、首先考虑提取公因式法； 2、两项的在考虑提公因后多数考虑平方差公式。 3、三项的在考虑提公因后考虑完全平方公式。 4、多于三项的在考虑提公因后，考虑分组分解。 5、分解后得到的因式，次数高于二次的必须再考虑 是否能继续分解，确保分解到不能再分解为止。
6a 3a(a 2) 2 （2）( a 3)( a 3) a 9
（1） 3a 2 （3） （4） x
2
是 不是 是 不是 不是 不是 是
4 x 4 x 1 (2 x 1)
2
2
3x 1 x( x 3) 1 1 2 （5） x 1 x ( x ) x 3 2 （6） 18a bc 3a b6ac
3、把下列多项式分解因式
(1)、3x2y4-27x4y2 (2)（b-a)2+a(a-b)+b(b-a) 解:原式=3x2y2(y2-9x2) 解：原式=(a-b)2+a(a-b)-b(a-b)
=3x2y2(y-3x)(y+3x)
=(a-b) (a-b+a-b)
=(a-b)(2a-2b)
=2(a-b)2
（7） 4 y 1 (2 x 1)( 2 x 1)
因式分解复习课课件
常见的因式分解方法
公因式分解
将多项式分解为一个或多个共同的因子，然后提取出公因式。
差平方分解
将一个完全平方的差表示为两个不同的数的乘积。
分组分解
将多项式中的项进行分组，并找到各组之间的共同因子。
特殊因式分解的例子
1
立方差公式
2
用于分解完全立方差的特殊公式：
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
因式分解复习课ppt课件
欢迎来到因式分解复习课程！在本课程中，我们将深入探讨因式分解的基本 概念、步骤以及常见的方法。我们还将研究特殊因式分解的一些例子，以及 因式分解在实际生活中的应用。最后，我们将进行一些练习题，帮助您巩固 所学。让我们开始吧！
因式分解的基本概念
1 什么是因式分解？
因式分解是将一个多项 式分解为不可再分解的 因子乘积的过程。
科学实验
在科学实验中，因式分解可以 帮助我们更好地2 练习题二
分解多项式 \(3x^2 + 6x + 3\)
分解多项式 \(x^3 - 8\)
3 练习题三
分解多项式 \(4x^2 - 25\)
总结和复习提示
在本课程中，我们学习了因式分解的基本概念、步骤和常见方法。我们还研 究了特殊因式分解的例子，并讨论了因式分解在实际生活中的应用。通过练 习题，您可以巩固所学知识。继续练习和实践，因式分解将变得更加容易和 自然。
2 为什么重要？
因式分解有助于简化算 术和代数运算，并在解 决数学问题时提供更清 晰的视角。
3 基本术语
多项式：由系数和幂次 方组成的表达式。因子： 可整除一个多项式的表 达式。
因式分解的步骤
第4课因式分解中考复习PPT课件
第4课 因式分解
知识点索引
要点梳理
基础知识·自主学习
4. 因式分解的应用 当实际问题中数值不够理想时，常利用因式分解的方 法转化为积的情势加强运算．如利用比差法进行大小 比较，可利用因式分解化成积的情势确定差的符号来 比较大小． 如：已知x、y为不相等的正数，比较x2(x－y)与y2(x －y)的大小．
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
【例 1】 (2013株洲)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5) (x＋n)，则m＝____6____，n＝____1____． 解析 ∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n， ∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n，
第4课 因式分解
知识点索引
题型三 运用公式法分解因式
题型分类·深度剖析
变式训练3 (1)(2015杭州)分解因式：m3n－4mn＝ _m_n_(_m_＋__2_)_(_m_－__2_)_． 解析 分解因式m3n－4mn，先提取公因式mn后继续应 用平方差公式分解即可：m3n－4mn＝mn(m2－4)＝ mn(m (＋2)2()2(0m1－4淄2)博．)分解因式：8(a2＋1)－16a＝__8_(_a_－__1_)_2 _． 解析 分解因式8(a2＋1)－16a，先提取公因式8后继续 应用完全平方公式分解即可：8(a2＋1)－16a＝8(a2－2a ＋1)＝8(a－1)2.
∴n5＋ n＝5＝ 5，m，∴nm＝ ＝16.，
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
探究提高 熟练地掌握因式分解的意义．因式分解是将 一个多项式化成几个整式积的情势的恒等变形．本题考 查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
因式分解(复习)精选教学PPT课件
（1）18a2－50 （2）2x2y－8xy＋8y （3）a2(x－y)－b2(x－y) （4）a4－16 （5）81x4－72x2y2＋16y4 （6）(a2＋b2)2－4a2b2 （7） (x y)2 2(x y) 1 （8）a4－2a2b2＋b4 （9）－2xy－x2－y2 （10）3ax2＋6axy＋3ay2
第12章 整式的乘除
（因式分解）复习
定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系 互为逆过程，互逆关系
分解因式 方法
步骤
提公因式法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式 a2±2ab+b2=(a±b)2
二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
2、a 2 7a 10 4、q 2 6q 8
5、x2 x 20
6、m 2 7m 18
7、p2 5 p 36
8、t2 2t 8
9、x4 x2 20
10、a2x2 7ax 8
11、a2 9ab 14b2
12、x 2 11xy 18 y 2
敞开心胸，便会云蒸霞蔚，快乐将永远伴随着你！
(20)4m2－9n2－4m+1 (21)3a2+bc－3ac-ab (22)(x＋y)(x＋y－1)－12
7、利用因式分解计算：
（1）
1001 20032 20012
（2）(1－
1 22
)(1－
1 32
)(1－
1 42
)…(1－
1 102
)
（3）20042-4008×2005+20052
第12章 整式的乘除
（因式分解）复习
定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系 互为逆过程，互逆关系
分解因式 方法
步骤
提公因式法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式 a2±2ab+b2=(a±b)2
二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
2、a 2 7a 10 4、q 2 6q 8
5、x2 x 20
6、m 2 7m 18
7、p2 5 p 36
8、t2 2t 8
9、x4 x2 20
10、a2x2 7ax 8
11、a2 9ab 14b2
12、x 2 11xy 18 y 2
敞开心胸，便会云蒸霞蔚，快乐将永远伴随着你！
(20)4m2－9n2－4m+1 (21)3a2+bc－3ac-ab (22)(x＋y)(x＋y－1)－12
7、利用因式分解计算：
（1）
1001 20032 20012
（2）(1－
1 22
)(1－
1 32
)(1－
1 42
)…(1－
1 102
)
（3）20042-4008×2005+20052
《因式分解》复习课件
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
=56(56+44)
=(101+99)(101-99)
=56×100
=200×2
=5600
=400
二.多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)=_m____
变式： 用因式分解说明257-512能被120整除.
三.整体法求值
若m+n=6,mn=8，则m2n+mn2=_4_8__
变式：若2a-b=2，则6+8a-4b=_1_4__
3.当a、b为何值时，代数式a2+b2 +2a–4b+6
的值最小？最小值是多少？
通过复习这节课你有那些新的收获与 感受?
说出来与大家一起分享！
1.将下列各式因式分解： (1). x2y-2xy2+y3 (2).(m+n)3-4(m+n)
2.已知a-b=2,ab=4，则a3b-2a2b2+ab3的值 为多少？
( 4)9x2n+3-27xn+1
2ab
-m2n2
2x（x+y）
9xn+1
(5) p(y-x) - q(x-y)
y-x
1.公因式确定 （1）系数：取各系数的最大公约数； （2）字母：取各项相同的字母； （3）相同字母的指数：取最低指数。
提公因式法：
公因式可以是数字、 字母、单项式，也 可以是多项式
若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=__
解：∵9x2+kxy+36y2是完全平方式
∴kxy=±2·3x·6y=±36xy ∴k=±36
因式分解复习优质课件
③ (x-y)2-y(y-x)2
（2）运用公式法：
运用公式法中主要使用的公式有如下几 个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2
（2）运用公式法：
例题：把下列各式分解因式
①x2－4y2
② 9x2-6x+1
③ 1-10x+25x2； ④ x2y-4xy+4y²
⑷分组分解法：
分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去 1、分组后可以提公因式 2、分组后可以运用公式
⑷分组分解法：
① 3x+x2-y2-3y
② x2-2x-4y2+1
③ x²+4x+y²+2y+5 ④ a²+b²-6a+4b+13
（三）步骤：
一提 二套
对任意多项式分解因式，都必须首先考 虑提取公因式。
(一)、定义
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式．
整式乘法与因式分解的关系
整式乘法
m(a b)
am bm
因式分解
整式乘法 逆变形 因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形．
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、套用公式法 （3）、十字相乘法 （4）、分组分解法
解：原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3)
又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
（1）、提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把 这个公因式提到括号外面，将多项式写成 乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提 公因式法。
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目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
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因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
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）
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是
D
D. - X² + y²
A. -(4a+1)(4a-1)
C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
B.
D.
-( 2a –1)(2a –1)
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
因式分解的复习
1.基本概念
第一步
2.基本方法
第二步
3.一般步骤 4.主要应用 5.能力拓展
第三步
第四步
6.课堂小结
因式分解
基本概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫 分解因式。 因式分解
ma mb mc m(a b c) 整式乘法
2
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式 2 2 2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 5 x 2 x y ______ y
2
很显然，如果符合完全平方式， 就可用以上公式来分解因式， 我们把它称为“完全平方公式”
1x 2 xy y 是 2 2 是 2A 2 AB B 2 2是 3甲 2 甲乙 乙 2 2 是 4 2
2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
a2-2ab+b2=(a-b)2
其中a2+2ab+b2或a2-2ab+b2叫做完全平方式。
下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1)a2-4a+4 (2)1+a2 (3)4b2+4b-1 (4)a2+ab+b2
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式 “头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
(2) -x-y=-(x+y)
(4) (x-y)3=-(y-x)3
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
公式法
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否 能看成两个数的平方的差； 用完全平方公式分解因式的关键：在于判断 一个多项式是否为一个完全平方式； 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
2 2
(4) 若在多项式x2+1中加上一个单项式后正好是一 个完全平方式，则这个单项式可以是＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有可能）．
能
第一组
第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组
力
大 比
拼
能 力 大 比 拼 总分 名次
能
如图在半径为R的 圆形钢板上，冲去半 径为r的四个小圆， 利用因式分解计算当 R=7.8,r=1.1时剩余部 分的面积（20分）
力
把9991分解成为两上整数的 积。 （20分）
大
若x y 5, xy 6, 则x y xy ____________
3 3
（20分）
比
已知a、b、c是一个三角 形的三边，判断代数式a2-b2 2 -c –2bc 的正负性。（提示：
a2-b2 -c2 –2bc = a2-（b2+c2 +2bc ）
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
第二步第 二环节
主要应用
简化计算 解方程
多项式的除法
超级变变变 简化计算
(1)562+56×44
变式
(2)1012 - 992
若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
解方程：
x³ -9x=0
变式
解下列方程：
超级变变变
(3x- 4) ² - (3x+ 4) ² =48
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
公式法分解因式
（1）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
1、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2 ② -x2-y2 ③ x2-y2 ④ －x2+y2
(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
挑战自我：
基本概念
A层练习
B层练习 C层练习
A层练习
基本概念
下列代数式的变形当中哪些是因式分 解，哪些不是？(4′×3=12′)
(1)3a2+6a=3a(a+2)
是 sure? 否 sure?
(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1
(3) 18a3bc=3a2b· 6ac
否 sure?
B层练习 (1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b) (2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3)
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式；
二套：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式； 三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“套”。[如(x+y)² -x-y=(x+y)(x+y-1）
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解 ，如能分解，应分解到不能再分解为止。
16
。
第一步第 二环节
基本方法
提公因式法：
一般 方法
公式法
平方差类
完全平方类
提公因式法：
1.公因式确定 （1）系数：取各系数的最大公约数； （2）字母：取各项相同的字母； （3）相同字母的指数：取最低指数。 2.变形规律：
（1）x-y=-(y-x)
(3) (x-y)2=(y-x)2 3.一般步骤 （1）确定应提取的公因式；
提公因式法
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各 项的公因式。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取 出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
公式 法
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法 平方差公式a² -b² =(a+b)(a-b) 平方差公式：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式a² ±2ab+b² =(a±b)² 完全平方公式法：适用于完全平方式。
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点
：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2 倍
2 2 首 2首尾 尾
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2 2
2
2
挑战自我：
基本方法
A层练习
B层练习 C层练习
A层练习
Байду номын сангаас
基本方法
将下列各式分解因式：(4′×5=20′) ⑴ -a² -ab； ⑵ m² -n² ； ⑶ x² +2xy+y² (4) 3am² -3an² ； (5) 3x³ +6x² y+3xy² =-a(a+b) = (m+n)(m-n) =(x+y)²
=3a (m+n)(m-n) =3x(x+y)²
B层练习
基本方法
将下列各式分解因式： (5′×3=15′) ⑴ 18a² c-8b² c =2c(3a+2b) (3a-2b) ⑵ m4 - 81n4 = (m2 +9n2)(m+3n) (m-3n) ⑶ x² y² -4xy+4 =（x y –2）²
超级变变变 多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
变式： 20052+2005能被2006整除吗？
第三步
因式分解的简单应用
(1) 若9a2b2＋12ab＋_____=( + )2
(2) 若4a2＋ma＋9是一个完全平方式，则m＝___
(3) 若2a-b=0，则 4a b 1 _______
C层练习
基本方法
将下列各式分解因式： (6′×3=18′) ⑴ (2a+b)² –(a–b)² ； =3a (a+2b) (2) (x+y)² -10(x+y)+25 = (x+y-5)² (3) 4a² –3b(4a–3b) = (2a- 3 b) ²
第二步第 一环节
因式分解的一般步骤：
一般步骤
（20分）
拼
将4x2+1加上一项，使 它成为完全平方式，你有 几种方法? （20分）
通过复习这节课你有那些新的收获与 感受? 说出来与大家一起分享！
课后小测：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （
D
基本概念
检验下列因式分解是否正确？(5′×4=20′)
是 答
案 答 否 案 答 是 案 否 答案
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是
D
D. - X² + y²
A. -(4a+1)(4a-1)
C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
B.
D.
-( 2a –1)(2a –1)
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
因式分解的复习
1.基本概念
第一步
2.基本方法
第二步
3.一般步骤 4.主要应用 5.能力拓展
第三步
第四步
6.课堂小结
因式分解
基本概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫 分解因式。 因式分解
ma mb mc m(a b c) 整式乘法
2
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式 2 2 2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 5 x 2 x y ______ y
2
很显然，如果符合完全平方式， 就可用以上公式来分解因式， 我们把它称为“完全平方公式”
1x 2 xy y 是 2 2 是 2A 2 AB B 2 2是 3甲 2 甲乙 乙 2 2 是 4 2
2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
a2-2ab+b2=(a-b)2
其中a2+2ab+b2或a2-2ab+b2叫做完全平方式。
下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1)a2-4a+4 (2)1+a2 (3)4b2+4b-1 (4)a2+ab+b2
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式 “头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
(2) -x-y=-(x+y)
(4) (x-y)3=-(y-x)3
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
公式法
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否 能看成两个数的平方的差； 用完全平方公式分解因式的关键：在于判断 一个多项式是否为一个完全平方式； 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
2 2
(4) 若在多项式x2+1中加上一个单项式后正好是一 个完全平方式，则这个单项式可以是＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有可能）．
能
第一组
第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组
力
大 比
拼
能 力 大 比 拼 总分 名次
能
如图在半径为R的 圆形钢板上，冲去半 径为r的四个小圆， 利用因式分解计算当 R=7.8,r=1.1时剩余部 分的面积（20分）
力
把9991分解成为两上整数的 积。 （20分）
大
若x y 5, xy 6, 则x y xy ____________
3 3
（20分）
比
已知a、b、c是一个三角 形的三边，判断代数式a2-b2 2 -c –2bc 的正负性。（提示：
a2-b2 -c2 –2bc = a2-（b2+c2 +2bc ）
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
第二步第 二环节
主要应用
简化计算 解方程
多项式的除法
超级变变变 简化计算
(1)562+56×44
变式
(2)1012 - 992
若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
解方程：
x³ -9x=0
变式
解下列方程：
超级变变变
(3x- 4) ² - (3x+ 4) ² =48
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
公式法分解因式
（1）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
1、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2 ② -x2-y2 ③ x2-y2 ④ －x2+y2
(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
挑战自我：
基本概念
A层练习
B层练习 C层练习
A层练习
基本概念
下列代数式的变形当中哪些是因式分 解，哪些不是？(4′×3=12′)
(1)3a2+6a=3a(a+2)
是 sure? 否 sure?
(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1
(3) 18a3bc=3a2b· 6ac
否 sure?
B层练习 (1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b) (2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3)
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式；
二套：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式； 三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“套”。[如(x+y)² -x-y=(x+y)(x+y-1）
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解 ，如能分解，应分解到不能再分解为止。
16
。
第一步第 二环节
基本方法
提公因式法：
一般 方法
公式法
平方差类
完全平方类
提公因式法：
1.公因式确定 （1）系数：取各系数的最大公约数； （2）字母：取各项相同的字母； （3）相同字母的指数：取最低指数。 2.变形规律：
（1）x-y=-(y-x)
(3) (x-y)2=(y-x)2 3.一般步骤 （1）确定应提取的公因式；
提公因式法
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各 项的公因式。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取 出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
公式 法
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法 平方差公式a² -b² =(a+b)(a-b) 平方差公式：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式a² ±2ab+b² =(a±b)² 完全平方公式法：适用于完全平方式。
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点
：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2 倍
2 2 首 2首尾 尾
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2 2
2
2
挑战自我：
基本方法
A层练习
B层练习 C层练习
A层练习
Байду номын сангаас
基本方法
将下列各式分解因式：(4′×5=20′) ⑴ -a² -ab； ⑵ m² -n² ； ⑶ x² +2xy+y² (4) 3am² -3an² ； (5) 3x³ +6x² y+3xy² =-a(a+b) = (m+n)(m-n) =(x+y)²
=3a (m+n)(m-n) =3x(x+y)²
B层练习
基本方法
将下列各式分解因式： (5′×3=15′) ⑴ 18a² c-8b² c =2c(3a+2b) (3a-2b) ⑵ m4 - 81n4 = (m2 +9n2)(m+3n) (m-3n) ⑶ x² y² -4xy+4 =（x y –2）²
超级变变变 多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
变式： 20052+2005能被2006整除吗？
第三步
因式分解的简单应用
(1) 若9a2b2＋12ab＋_____=( + )2
(2) 若4a2＋ma＋9是一个完全平方式，则m＝___
(3) 若2a-b=0，则 4a b 1 _______
C层练习
基本方法
将下列各式分解因式： (6′×3=18′) ⑴ (2a+b)² –(a–b)² ； =3a (a+2b) (2) (x+y)² -10(x+y)+25 = (x+y-5)² (3) 4a² –3b(4a–3b) = (2a- 3 b) ²
第二步第 一环节
因式分解的一般步骤：
一般步骤
（20分）
拼
将4x2+1加上一项，使 它成为完全平方式，你有 几种方法? （20分）
通过复习这节课你有那些新的收获与 感受? 说出来与大家一起分享！
课后小测：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （
D
基本概念
检验下列因式分解是否正确？(5′×4=20′)
是 答
案 答 否 案 答 是 案 否 答案