【恒心】2015届江苏省盐城中学高三上学期1月月考试卷数学试题及参考答案【精品版】

高三年级阶段性随堂练习

数学试题（2015.01）

审题人：胥容华 命题人：沈艳 马岚

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分．

一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）

1.已知集合{}1,0,1,2--=A ，集合{}

1|2<=x x B ，则B A ⋂ = ▲ ． 2.已知复数32i

i

z -=

+（i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 3.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和 为5的概率是 ▲ ．

4.阅读下面的流程图，若输入10=a ，6=b ，则输出的结果是 ▲ ．

5.在ABC ∆中，33=a ，2=c ， 150=B ，则b = ▲ ．

6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ．

7.在等比数列{}n a 中，21=a ，164=a ，则=+⋅⋅⋅++n a a a 242 ▲ ．

8.函数a x f x

+-=

1

31

)( （)0≠x ，则“1)1(=f ”是“函数)(x f 为奇函数”的 ▲ 条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填写） 9.已知,0,0,0>>>n y x ,

1=+y nx y

x 4

1+的最小值为,16则n 的值为 ▲ ． 10．在ABC ∆中， 90=∠A ，1=AB ，2=AC ，设点Q P ,，满足,AB AP λ=

,)1(AC AQ λ-=R ∈λ.若2-=⋅CP BQ ，则λ的值是 ▲ ．

11.设)1,0(),0,1(B A ，直线,:ax y l =圆()1:22

=+-y a x C .若圆C 既与线段AB 又与直线

l 有公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

12．若()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()()⎩

⎨

⎧+∞∈--∈+=),1[,13)

1,0[,1log 2x x x x x f ，则函数

()()2

1

-=x f x g 的所有零点之和为 ▲ ．

图②

13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21,F F 在x 轴上且 焦距为c 2，21A A 为左右顶点，左准线l 与x 轴的交点为M ，

1:6:112=F A MA ，若点p 在直线l 上运动，且离心率2

1<

e ， 则21tan PF F ∠的最大值为 ▲ ．

14.若函数()ax x x f +=ln 存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15. （本小题14分）

已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面，点E 、F 分别为线段BC 、PA 的中点．

（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；

（Ⅱ）求证：BF ∥平面PDE ．

16. （本小题14分）

已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2=

a ，向量)1,1(-=m ，

)2

2

sin sin ,cos (cos -

=C B C B n ，且n m ⊥． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）当)12

7cos(

sin C B -+π

取得最大值时，求B 和b ．

17. （本小题14分）

如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有三个工厂A 、B 、C ，工厂B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，D 为垂足．现要在河岸AD 上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km 、4万元/km ．

（Ⅰ）已知工厂A 与B 之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的

点D 处，改造费用是0.5万元/km ．现决定将供电站建在

并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值； （Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸AD 的点E 处，且决

图①

定铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ，若)3

0(π

θθ≤

≤=∠DCE ，试用θ表示出总施工费用

y （万元）的解析式,并求总施工费用y 的最小值．

18. （本小题16分）

若椭圆C 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，1F 、2F 是它的左、右焦点，椭圆C 过点)1,0(，

且离心率为3

22=

e ． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为A 、B ，直线l 的方程为4=x ，

P 是椭圆上任一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于G 、H 21HF GF ⋅的值；

（Ⅲ）过点)0,1(Q 任意作直线m （与x 轴不垂直）与椭圆C M 、N 两点，与y 轴交于R 点MQ RM λ=，NQ RN μ=．

证明：μλ+为定值．

19. （本小题16分）

已知函数1

1

2)(22+-+=x a ax x f ，其中R a ∈．

（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅲ）若)(x f 在),0[+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．