【小初高学习】专题05 三角函数与解三角形-2019高考数学(理)热点题型

三角函数与解三角形

热点一 解三角形

高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.

【例1】(满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2

3sin A

. (1)求sin B sin C ；

(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.

教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P20B 组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.

由正弦定理得sin 2A ＝32

sin B sin C sin 2A ，4分 (得分点3) 因为sin A ≠0，所以sin B sin C ＝23

.5分 (得分点4) (2)由(1)得sin B sin C ＝23，cos B cos C ＝16

. 因为A ＋B ＋C ＝π，

所以cos A ＝cos(π－B －C )＝－cos(B ＋C )

＝sin B sin C －cos B cos C ＝12

，7分 (得分点5) 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，sin A ＝32，cos A ＝12

，8分 (得分点6) 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝9， ①9分 (得分点7)

由正弦定理得b ＝a sin A ·sin B ，c ＝a

sin A

·sin C ，

所以bc ＝a 2

sin 2A

·sin B sin C ＝8， ②10分 (得分点8) 由①②得：b ＋c ＝33，11分 (得分点9)

所以a ＋b ＋c ＝3＋33，即△ABC 周长为3＋33.12分 (得分点10)

得分要点

❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.

❷得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.

❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).

【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤

第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.

第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.

第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.

第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.

【对点训练】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.

(1)求c ；

(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.

(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6

.

故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612

AC ·AD ＝1. 又△ABC 的面积为12

×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.

热点二 三角函数的图象和性质

注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.

【例2】已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f (x )在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤ 0，π2上的单调性

.

【类题通法】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解.

【对点训练】设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＝0. (1)求ω；

(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4

个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4

，3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝

⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝

32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭

⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫ωx －π3.

由题设知f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3

＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .

又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4

，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32

. 热点三 三角函数与平面向量结合

三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.

【例3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且n ·m ＝b cos B .

(1)求角B 的值；

(2)若cos A －C 2＝3sin A ，且|m |＝5，求△ABC 的面积.

(2)C ＝π－A －B ＝2π3－A ，cos A －C 2＝3sin A ⇒cos ⎝

⎛⎭⎪⎫A －π3＝3sin A ⇒cos A ＝ 3sin A ⇒tan A ＝33

. ∵0

. 在Rt △ABC 中，∵a ＝c sin π6＝12

c ， 又|m |＝5，即a 2＋c 2

＝20，