一类带反凸约束的非线性比式和问题的全局优化算法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ｊ＝１ ｉ＝０ ｊ＝１ ｉ＝０ ｎ ｎ
…， ｓ ． ｔ ．∑ － ｗ０， Ｌｊ Ｖｉ） Ｖｉ）≥－１， ２， ＋ ∑ － ｗｊ， ｇ ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｉ ｉ ｊ（ ｊ（
ｉ＝０ ｎ ｉ＝０
（ ） １ （ ） ２ （ ） ３ （ ） ４
（ ： …， Ｄ Ｌ Ｐ Ｓ） Ｖｉ）≥ ０， ｋ ＝ １， ２， Ｋ， ｉ φｋ（ 烅 ∑ －ｗ０，
ｐ ｘ） ｆ（ 烄 ， ｍ ａ ｘ ∑ ｊ（ ） ｘ ｇ ｊ （ ） １ ｊ＝ Ｐ烅 …， ｓ ． ｔ ． Ａ ｘ ≤ｂ， ｘ）≤ ０， ｋ ＝ １， Ｋ， ｋ（ φ 烆 ｎ ｎ ｎ × ｑ ｑ， ， 其中 ， 在 Ｒ 上是凸的 ， 和φ 在 Ｒ 上是凹的 ， 且对 ｘ ｘ） ｘ） ｘ） Ａ ∈Ｒ ｂ∈ Ｒ ｐ ≥２， ｆ ｇ ｋ（ ｊ（ ｊ（ …， ｘ｜Ａ ｘ ≤ｂ｝有 ｆ ｘ）≥ ０， ｘ）＞ ０， ｇ ｊ ＝ １， ｐ． ∈Ω ＝ ｛ ｊ（ ｊ（
ｋ ｝∪ Ｔ， 步 ５ 令 Ｑ 删除 Ｓ Ｑ Ｓ Ｂ（ Ｓ）≥γ ＼ ｋ ＝ ｛ ｋ １ ｋ 中满足 Ｌ ｋ 的单纯形Ｓ； － ｋ ｛ ， 步 ６ 若 Ｑ 则算法停止 ； 否则 ， 令μ 置ｋ ＝ｋ Ｂ（ Ｓ） ｉ ｎ Ｌ Ｂ（ Ｓ） Ｓ ∈Ｑ ＝ｍ ｜ ｋ ＝ ， ｋ ＝Ｌ ｋ｝
ｌ＝１ ｊ＝１
…， ｘ） ｘ）≥ ０， ＋λ －ｆ ｘ ∈ Ｓ， λ， θ ≥ ０． ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｊ（ ｊ ｊ（ η， ， ， ） 因 －ｆ 故上述问题等价于 （ ｘ） ｘ）和 φ ｘ）均是凹函数且 Ｌ Ｌ Ｐ（ Ｓ） ． ｇ ｋ（ ｊ（ ｊ（ ｊ ≥０
１ ２ ２ １ ０ ２ １ １ ）≥ Ｌ ）且 Ｌ ）＞－ ∞ ． 定理 ３ 设单纯形 Ｓ 和Ｓ 满足 Ｓ 则Ｌ Ｂ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ Ｓ Ｓ ， ２ １ ０ ２ １ 证 由定理 ２ 中 Ｌ 另外要证 Ｂ（ Ｓ）的 定 义 及 Ｓ Ｓ Ｓ ，易 得 Ｌ Ｂ（ Ｓ ）≥ Ｌ Ｂ（ Ｓ） ． １ ０ ）＞－ ∞ ， ）＞－ ∞ ．由定理 ２ 的证明可知 只需证 Ｌ Ｌ Ｂ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ ０ ）＝ ｍ Ｌ Ｂ（ Ｓ ａ ｘ ，，
ｐ ｘ） ｆ（ 烄 ， ｖ＝ ｍ ｉ ｎ ｈ（ ｘ）＝－ ∑ ｊ（ ） 珟 ｊ ｘ （ ｊ＝１ ｇ Ｐ） 烅 …， ｓ ． ｔ ． ｘ）≤ ０， ｋ ＝ １， Ｋ， Ａ ｘ ≤ｂ． ｋ（ φ 烆 ０ ０ ０ ０ ０ …， …， 构造初始单纯 Ｓ 使得 Ω Ｓ ， 其顶点集为 ｛ 由假设条件知 ， 对每个ｊ ＝ １， Ｖ０ ， Ｖ１ ， Ｖｎ ｝ ． ｐ 珟 ／ ， 存在数 Ｌ 令Ｄ ＝ 则（ 可以等 Ｕｊ 满足０＜ Ｌ ｘ） Ｌ Ｕｊ］ Ｐ） ｘ ∈ Ω． ｐ， ｇ ≤Ｕｊ， ｊ， ｊ ≤１ ｊ（ ｊ， ∏ｊ＝１［
０， λ ηθ ≥０ ｘ∈Ｓ β∈Ｄ ｊ＝１
） ｉ ｎ ［ ｘ） ｘ） ＋∑ －１ λ（ ｛ｍ βｇ （ ∑ －βｆ （
ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ＝１
ｐ
ｐ
１Hale Waihona Puke Baidu２ ８
Ｋ
应 用 数 学
ｑ
２ ０ １ ２
ｘ） Ａ ｘ －ｂ θ ＋∑ ＋∑ ｋ ｌ（ ｌ ｌ） ． η φｋ（
ｋ＝１ ｌ＝１
０ ）≥ 令λ ＝η ＝ θ ＝ ０， 得Ｌ Ｂ（ Ｓ
∑
ｎ
ｉ ＝０
＊ 如果 ， ｗ０ Ｖｉ， ｉ
珟 （ …， ， 则ξ 是问题 （ 的一个可行解 ． ｋ ＝ １， ２， Ｋ） Ｐ） ｋ（ φ ξ）≤ ０ ）的对偶线性规划问题可表示为 ： 证 问题 （ Ｌ Ｐ（ Ｓ）
ｐ ｎ ｐ ｎ
， Ｌ Ｂ（ Ｓ）＝ ｍ ｉ ｎ ∑ ∑ － ｗ０， Ｌｊ Ｖｉ） Ｖｉ） ＋ ∑ ∑ － ｗｊ， ｆｊ（ ｆｊ（ ｉ ｉ 烄
ｋ ｋ１ ｋ １ ｋ ｋ１ － 步 ２ 令 ｘ 若Ｓ 存在 ， 则令 Ｓ ＝ｘ－ ， ＝Ｓ－ ； γ ｋ ＝μ ｋ １， ｋ ＝γ ｋ １． － － μ ｋ 珟 ， 步 ３ 若γ 算法停止 ， 的最优值 ， 为其最优解 ； 否则继续 ； Ｐ） ｘ γ ｋ －μ ｋ ≤ε ｋ 为（ ｋ ｋ ｋ ｋ ｋ ， 步４ 利用单纯形对分 ， 将Ｓ 平分为两个子单纯形Ｓ 令Ｔ ＝ ｛ 对每个单纯形 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ １， ２． １， ２｝
ａ ｘ ＝ ｍ ，，
ληθ ≥０ ｊ＝１
） ｘ） Ａｘ －ｂ ） ｉ ｎ ｘ） ｘ） ｉ ｎ∑ ． θ（ λ ＋∑ ＋ｍ －ｆ （ ＋ ｇ（ 〈 〉 ∑β （ ∑ －λ ＋ ｍ ｛ ［ ηφ （ ］｝
ｘ∈Ｓ ｋ＝１ ｌ＝１
∈Ｄ β
ｊ＝１
（ 当 －ｆ ｘ） ｘ）≥ ０ ＋λ ｘ ∈ Ｓ）时 ，有 ｇ ｊ（ ｊ ｊ（ ｍ ｉ ｎ
（ ） ， ） ｛ 求解 （ 得最优值 Ｌ 确定可行集 Ｆ（ 若 Ｆ（ 计算ｈ（ Ｄ Ｌ Ｐ Ｓ） Ｂ（ Ｓ） Ｓ） ． Ｓ） ｘ ｉ ｎ ｈ（ ｘ） ＝ｍ ｜ 珔 Ｔ， ≠ ， ｋ ｋ ｝ ； ）＝＋ ∞ ， ）＜ｈ（ ， （ ） ； 否则 ， 令ｈ（ 若ｈ（ 令 ｘ ＝ｘ ｘ ∈ Ｆ（ Ｓ） ｘ ｘ ｘ） ｘ 珔 珔 珔 并且γ 珔 ｋ ＝ｈ
／ ， …， １ ｘ＊ ） ｇ ｊ ＝ １， ｐ． ｊ（
０ ） ）的构造过程易知结论成立 ． 证 由问题 （ Ｐ（ Ｓ ０ …， ）最优 定理 ２ 设 Ｓ 是顶点集为 ｛ 的任意子单纯形 ， 则相应子问题 （ Ｖ１ ， Ｖｎ ｝的 Ｓ Ｐ（ Ｓ）
）得到 ， 值 Ｖ（ 即： Ｓ）的下界 Ｌ Ｂ（ Ｓ）可由如下线性规划 （ Ｌ Ｐ（ Ｓ）
ｐ ｐ Ｋ ｑ
Ｌ Ｂ（ Ｓ） ａ ｘ｛ ｍ ｉ ｎ ＝ ｍ ，， ，
ληθ ≥０ ｐ
） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ ｘ －ｂ λ θ ＋∑ －１ ＋∑ ＋∑ ｆ ｇ ｋ ｋ（ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ ｊ（ ｊ（ ｊ ｊ（ β η φ ［ －β ］ ｝ ｘ∈Ｓβ ∈Ｄ ∑
ｊ＝１ ｊ＝１ ｋ＝１ ｌ＝１ Ｋ ｑ ｐ ｊ ｋ ｋ ｌ ｌ ｌ ｊ ｊ ｊ ｊ
β∈Ｄ
） ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ． －ｆ （ ＋λｇ （ －ｆ （ ＋λｇ （ 〈 〉＝ ∑Ｌ （ ∑β （
ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ＝１ ｊ＝１ Ｋ ｋ ｋ ｑ ｐ
ｐ
ｐ
由此得
Ｌ Ｂ（ Ｓ）＝ｍ ａ ｘ
｛
ｐ ｘ∈Ｓ
ｊ＝１
ｉ ｎ ｊ＋ｍ ∑ －λ
［
ｋ＝１
） ｘ） Ａ ｘ －ｂ ｘ） ｘ） ＋∑ ＋ ∑Ｌ －ｆ ＋λ θ ｇ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ（ ｊ（ ｊ ｊ（ ∑ηφ （
ｐ
， Ｌ Ｂ（ Ｓ）＝ ｍ ａ ｘ ∑ －λ ｔ 烄 ｊ＋
ｊ＝１
（ ） ： Ｌ Ｐ（ Ｓ） 烅 ｓ ． ｔ ．∑ Ｖｉ） Ａ Ｖｉ －ｂ Ｌｊ Ｖｉ） ＋∑ ＋∑ －ｔ ≥ θ λ ｇ ｋ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ ｊ（ η φｋ（
ｋ＝１ ｌ＝１ ｊ＝１
Ｋ
ｑ
ｐ
ｐ
ｊ＝１
， Ｖ） ∑Ｌｆ （
ｊ ｊ ｉ
…， …， Ｖｉ） Ｖｉ）≥ ０， ｉ ＝ ０， ｎ， ｕ ≥ ０， ＋λ λ， ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｊ（ ｊ ｊ（ η， 烆 －ｆ …， 其中 ， Ａ ｌ 行， ｂ ｌ 个元素 ， ｌ ＝ １， ｑ． ｌ 表示 Ａ 的第 ｌ 表示ｂ 的第 ）及 Ｌ ，其中 证 据子问题 （ Ｐ（ Ｓ） ａ ｒ ａ ｎ ｅ弱对偶定理得 ： Ｖ（ Ｓ）≥ Ｌ Ｂ（ Ｓ） ｇ ｇ
价转化为 ：
＊
收稿日期 ： ２ ０ １ １ ０ ４ ２ ２ － － ） ， ） 基金项目 ： 国家自然基金 （ 河南省科技创新杰出青年基金 （ １ １ １ ７ １ ０ ９ ４ ０ ９ ４ １ ０ ０ ５ ０ ０ ０ １ 作者简介 ： 申培萍 ， 女， 汉族 ， 河南人 ， 教授 ， 研究方向 ： 最优化理论与应用 ．
第４期
申培萍等 ： 一类带反凸约束的非线性比式和问题的全局优化算法
ｐ
０ ）＝ ｍ ， ｖ（ Ｓ ｉ ｎ ∑ －β ｘ） ｆｊ（ ｊ 烄 ｊ＝１ ０ （ ） ） ： Ｐ（ Ｓ …， …， 烅 ｓ ． ｔ ． ｘ） ｘ）≤ ０， ｋ ＝ １， Ｋ， －１ ≤ ０， ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｋ（ ｊ ｊ（ β φ
ｌ＝１ ｊ＝１
］ ｝
…， ． ｔ ． ｘ） ｘ）≥ ０， ｓ ｘ ∈ Ｓ， λ， θ ≥ ０． －ｆ ＋λ ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｊ（ ｊ ｊ（ η，
ｐ
， ａ ｘ ∑ －λ ｔ ＝ｍ ｊ＋
ｊ＝１ Ｋ ｑ ｋ ｋ ｐ
． ｔ ． ｔ≤ ｓ
ｋ＝１
） ， ｘ） Ａ ｘ －ｂ ｘ） ｘ） ＋∑ ＋ ∑Ｌ －ｆ ＋λ θ ｇ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ（ ｊ（ ｊ ｊ（ ∑ηφ （
ｉ＝０ ｎ
…， ｂ Ｖｉ）≥ ０， ｌ ＝ １， ２， ∑ｗ０， ｑ， ｉ（ ｌ －Ａ ｌ
ｉ＝０ ｎ
， ， …， …， ｗ０， ｗｊ， １， ｉ ＝ ０， １， ｎ． ｊ ＝ ０， ｐ， ｉ ＝１ ｉ ≥０ ∑ 烆 ｉ ＝０
ｎ
＊ 珟 ） ， （ ） …， 因ξ＝ 由式 （ 可得 Ａ 故若φ 则ξ 是问题 （ Ｖｉ， ３ ４ ｋ ＝１， ２， Ｋ， Ｐ） ｉ ｋ（ ≤０， ξ ≤ｂ， ξ） ∑ｉ＝０ｗ０，
］ ｝
ｍ ｉ ｎ
ｘ∈Ｓ β∈Ｄ
０，
∑
ｐ
ｊ＝１
ｎ ， 因为ｆ 上 是 凸 的， 故 ｘ） ｘ）在 Ｒ －β ｆｊ（ ｊ ｊ（
∑
ｐ
ｊ＝１
０ 由 Ｍ 是紧集 ， 因此 ｍ ｘ）在 Ｍ Ｓ ｉ ｎ －β ×Ｄ 上连续 ， ｆｊ（ ｊ ０
ｘ∈Ｓ ， β∈Ｄ
∑
ｐ
ｊ＝１
是有限数 ， ｘ） － ｆｊ（ ｊ β
１ ）＞－ ∞ ． 故Ｌ Ｂ（ Ｓ ０ …， 定理 ４ 设 Ｓ 是 任 意 顶 点 集 为 ｛ 的 子 单 纯 形， 且Ｌ 令 Ｖ１ ， Ｖ２ ， Ｖｎ ｝的 Ｓ Ｂ（ Ｓ）≠＋ ∞ ． ＊ ＊ ｛ …， ） 是问题 （ 的前ｎ＋１ 个约束对应的对偶变量 ， 令ξ ＝ ， ， ｗ０ ｗ０ Ｌ Ｐ（ Ｓ） １， ｎ｝
本文给出一个求解 （ 的全局优化算法 ． 首先将原问题进行等价转化 ， 然后利用 Ｌ Ｐ） ａ ｒ ａ ｎ ｅ ｇ ｇ 对偶理论把定界问题转化为一系列线性规划问题 ． 此算 法 的 优 点 在 于 主 要 的 计 算 工 作 是 求 解 一系列线性规划子问题 ， 并且这些子问题随着迭代次数的增加其规模并不扩大 ． 首先将 （ 等价转化为 ： Ｐ）
１ ２ ７
０ ， ｘ ≤ｂ， ｘ ∈Ｓ 烆 Ａ β ∈ Ｄ． ０ ＊ ＊ 珟 的全局最优解 ， 则 ｘ＊ 是问题 （ 的全 局 最 优 解 ； 若 ｘ ， Ｐ（ Ｓ ）） Ｐ） 定理 １ 若 （ β ）是问题 （ ０ ＊ ＊ ＊ ＊ 珟） ）的 全 局 最 优 解 ， 的 全 局 最 优 解， 则 （ 其 中β ｘ 是问 题 （ Ｐ ｘ ， Ｐ（ Ｓ） ＝ ｊ β ）是 问 题 （
的一个可行解 ． 珟 ）的最优值 ｖ（ 今给出求解问题 （ 的分支定界算法 ， 其中子问题 （ Ｐ） Ｐ（ Ｓ） Ｓ）的 下 界 Ｌ Ｂ（ Ｓ） ）得到 ， 是通过求解 （ 分支过程采用单纯形对分 ， 具体步骤如下 ： Ｄ Ｌ Ｐ（ Ｓ）
０ ０ ０ ） ）得 其 最 优 值 Ｌ ） ， ） 步 １ 给定ε ＞ ０， 求解（ 并 确 定 可 行 集 Ｆ（ 令μ Ｄ Ｌ Ｐ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ Ｓ ． ０ ＝ ０ ０ ０ ０ （ ｛ ｝ ； 如果 Ｆ（ 计算γ 否则 ， 令γ 置 Ｌ Ｂ（ Ｓ） ． Ｓ ）≠ ， ｘ） ｉ ｎ ｈ（ ｘ） ｘ ∈ Ｆ（ Ｓ） ＝ｍ ｜ ０ ＝ｈ ０ ＝＋ ∞ ． ０ ， Ｑ０ ＝ ｛ Ｓ｝ ｋ ＝ １；
应 用 数 学 ＭＡ ＴＨＥＭＡ Ｔ Ｉ Ｃ Ａ Ａ Ｐ Ｐ Ｌ Ｉ Ｃ Ａ ＴＡ （ ） ： ２ ５ １ １ ２ ６ １ ３ ０ ２ ０ １ ２， －
＊
一类带反凸约束的非线性 比式和问题的全局优化算法
申培萍 ， 王俊华
（ ） 河南师范大学数学与信息科学学院 ， 河南 新乡 ４ ５ ３ ０ ０ ７ 摘要 ： 本文针对一类带有反凸约束的非线性比式和分式规划问题 ， 提出一种求其全局 该算法利用 Ｌ 最优解的单纯形分支和对偶定界算法 ． ａ ｒ ａ ｎ ｅ对偶理论将其中关键的 ｇ ｇ 定界问题转化为一系列易于求解的线性 规 划 问 题 ． 收敛性分析和数值算例均表明提 出的算法是可行的 ． 关键词 ： 全局优化 ； 分支定界 ； 反凸约束 ； 非线性比式和 （ ） 中图分类号 ： 主题分类 ： Ｏ ２ ２ １． ２ ＡＭ Ｓ ２ ０ ０ ０ ９ ０ Ｃ ３ ０ （ ） 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ ９ ８ ４ ７ ２ ０ １ ２ ０ １ ０ １ ２ ６ ０ ５ － － － 考虑一类比式和分式规划问题 ：
…， ｓ ． ｔ ．∑ － ｗ０， Ｌｊ Ｖｉ） Ｖｉ）≥－１， ２， ＋ ∑ － ｗｊ， ｇ ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｉ ｉ ｊ（ ｊ（
ｉ＝０ ｎ ｉ＝０
（ ） １ （ ） ２ （ ） ３ （ ） ４
（ ： …， Ｄ Ｌ Ｐ Ｓ） Ｖｉ）≥ ０， ｋ ＝ １， ２， Ｋ， ｉ φｋ（ 烅 ∑ －ｗ０，
ｐ ｘ） ｆ（ 烄 ， ｍ ａ ｘ ∑ ｊ（ ） ｘ ｇ ｊ （ ） １ ｊ＝ Ｐ烅 …， ｓ ． ｔ ． Ａ ｘ ≤ｂ， ｘ）≤ ０， ｋ ＝ １， Ｋ， ｋ（ φ 烆 ｎ ｎ ｎ × ｑ ｑ， ， 其中 ， 在 Ｒ 上是凸的 ， 和φ 在 Ｒ 上是凹的 ， 且对 ｘ ｘ） ｘ） ｘ） Ａ ∈Ｒ ｂ∈ Ｒ ｐ ≥２， ｆ ｇ ｋ（ ｊ（ ｊ（ …， ｘ｜Ａ ｘ ≤ｂ｝有 ｆ ｘ）≥ ０， ｘ）＞ ０， ｇ ｊ ＝ １， ｐ． ∈Ω ＝ ｛ ｊ（ ｊ（
ｋ ｝∪ Ｔ， 步 ５ 令 Ｑ 删除 Ｓ Ｑ Ｓ Ｂ（ Ｓ）≥γ ＼ ｋ ＝ ｛ ｋ １ ｋ 中满足 Ｌ ｋ 的单纯形Ｓ； － ｋ ｛ ， 步 ６ 若 Ｑ 则算法停止 ； 否则 ， 令μ 置ｋ ＝ｋ Ｂ（ Ｓ） ｉ ｎ Ｌ Ｂ（ Ｓ） Ｓ ∈Ｑ ＝ｍ ｜ ｋ ＝ ， ｋ ＝Ｌ ｋ｝
ｌ＝１ ｊ＝１
…， ｘ） ｘ）≥ ０， ＋λ －ｆ ｘ ∈ Ｓ， λ， θ ≥ ０． ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｊ（ ｊ ｊ（ η， ， ， ） 因 －ｆ 故上述问题等价于 （ ｘ） ｘ）和 φ ｘ）均是凹函数且 Ｌ Ｌ Ｐ（ Ｓ） ． ｇ ｋ（ ｊ（ ｊ（ ｊ ≥０
１ ２ ２ １ ０ ２ １ １ ）≥ Ｌ ）且 Ｌ ）＞－ ∞ ． 定理 ３ 设单纯形 Ｓ 和Ｓ 满足 Ｓ 则Ｌ Ｂ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ Ｓ Ｓ ， ２ １ ０ ２ １ 证 由定理 ２ 中 Ｌ 另外要证 Ｂ（ Ｓ）的 定 义 及 Ｓ Ｓ Ｓ ，易 得 Ｌ Ｂ（ Ｓ ）≥ Ｌ Ｂ（ Ｓ） ． １ ０ ）＞－ ∞ ， ）＞－ ∞ ．由定理 ２ 的证明可知 只需证 Ｌ Ｌ Ｂ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ ０ ）＝ ｍ Ｌ Ｂ（ Ｓ ａ ｘ ，，
ｐ ｘ） ｆ（ 烄 ， ｖ＝ ｍ ｉ ｎ ｈ（ ｘ）＝－ ∑ ｊ（ ） 珟 ｊ ｘ （ ｊ＝１ ｇ Ｐ） 烅 …， ｓ ． ｔ ． ｘ）≤ ０， ｋ ＝ １， Ｋ， Ａ ｘ ≤ｂ． ｋ（ φ 烆 ０ ０ ０ ０ ０ …， …， 构造初始单纯 Ｓ 使得 Ω Ｓ ， 其顶点集为 ｛ 由假设条件知 ， 对每个ｊ ＝ １， Ｖ０ ， Ｖ１ ， Ｖｎ ｝ ． ｐ 珟 ／ ， 存在数 Ｌ 令Ｄ ＝ 则（ 可以等 Ｕｊ 满足０＜ Ｌ ｘ） Ｌ Ｕｊ］ Ｐ） ｘ ∈ Ω． ｐ， ｇ ≤Ｕｊ， ｊ， ｊ ≤１ ｊ（ ｊ， ∏ｊ＝１［
０， λ ηθ ≥０ ｘ∈Ｓ β∈Ｄ ｊ＝１
） ｉ ｎ ［ ｘ） ｘ） ＋∑ －１ λ（ ｛ｍ βｇ （ ∑ －βｆ （
ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ＝１
ｐ
ｐ
１Hale Waihona Puke Baidu２ ８
Ｋ
应 用 数 学
ｑ
２ ０ １ ２
ｘ） Ａ ｘ －ｂ θ ＋∑ ＋∑ ｋ ｌ（ ｌ ｌ） ． η φｋ（
ｋ＝１ ｌ＝１
０ ）≥ 令λ ＝η ＝ θ ＝ ０， 得Ｌ Ｂ（ Ｓ
∑
ｎ
ｉ ＝０
＊ 如果 ， ｗ０ Ｖｉ， ｉ
珟 （ …， ， 则ξ 是问题 （ 的一个可行解 ． ｋ ＝ １， ２， Ｋ） Ｐ） ｋ（ φ ξ）≤ ０ ）的对偶线性规划问题可表示为 ： 证 问题 （ Ｌ Ｐ（ Ｓ）
ｐ ｎ ｐ ｎ
， Ｌ Ｂ（ Ｓ）＝ ｍ ｉ ｎ ∑ ∑ － ｗ０， Ｌｊ Ｖｉ） Ｖｉ） ＋ ∑ ∑ － ｗｊ， ｆｊ（ ｆｊ（ ｉ ｉ 烄
ｋ ｋ１ ｋ １ ｋ ｋ１ － 步 ２ 令 ｘ 若Ｓ 存在 ， 则令 Ｓ ＝ｘ－ ， ＝Ｓ－ ； γ ｋ ＝μ ｋ １， ｋ ＝γ ｋ １． － － μ ｋ 珟 ， 步 ３ 若γ 算法停止 ， 的最优值 ， 为其最优解 ； 否则继续 ； Ｐ） ｘ γ ｋ －μ ｋ ≤ε ｋ 为（ ｋ ｋ ｋ ｋ ｋ ， 步４ 利用单纯形对分 ， 将Ｓ 平分为两个子单纯形Ｓ 令Ｔ ＝ ｛ 对每个单纯形 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ １， ２． １， ２｝
ａ ｘ ＝ ｍ ，，
ληθ ≥０ ｊ＝１
） ｘ） Ａｘ －ｂ ） ｉ ｎ ｘ） ｘ） ｉ ｎ∑ ． θ（ λ ＋∑ ＋ｍ －ｆ （ ＋ ｇ（ 〈 〉 ∑β （ ∑ －λ ＋ ｍ ｛ ［ ηφ （ ］｝
ｘ∈Ｓ ｋ＝１ ｌ＝１
∈Ｄ β
ｊ＝１
（ 当 －ｆ ｘ） ｘ）≥ ０ ＋λ ｘ ∈ Ｓ）时 ，有 ｇ ｊ（ ｊ ｊ（ ｍ ｉ ｎ
（ ） ， ） ｛ 求解 （ 得最优值 Ｌ 确定可行集 Ｆ（ 若 Ｆ（ 计算ｈ（ Ｄ Ｌ Ｐ Ｓ） Ｂ（ Ｓ） Ｓ） ． Ｓ） ｘ ｉ ｎ ｈ（ ｘ） ＝ｍ ｜ 珔 Ｔ， ≠ ， ｋ ｋ ｝ ； ）＝＋ ∞ ， ）＜ｈ（ ， （ ） ； 否则 ， 令ｈ（ 若ｈ（ 令 ｘ ＝ｘ ｘ ∈ Ｆ（ Ｓ） ｘ ｘ ｘ） ｘ 珔 珔 珔 并且γ 珔 ｋ ＝ｈ
／ ， …， １ ｘ＊ ） ｇ ｊ ＝ １， ｐ． ｊ（
０ ） ）的构造过程易知结论成立 ． 证 由问题 （ Ｐ（ Ｓ ０ …， ）最优 定理 ２ 设 Ｓ 是顶点集为 ｛ 的任意子单纯形 ， 则相应子问题 （ Ｖ１ ， Ｖｎ ｝的 Ｓ Ｐ（ Ｓ）
）得到 ， 值 Ｖ（ 即： Ｓ）的下界 Ｌ Ｂ（ Ｓ）可由如下线性规划 （ Ｌ Ｐ（ Ｓ）
ｐ ｐ Ｋ ｑ
Ｌ Ｂ（ Ｓ） ａ ｘ｛ ｍ ｉ ｎ ＝ ｍ ，， ，
ληθ ≥０ ｐ
） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ ｘ －ｂ λ θ ＋∑ －１ ＋∑ ＋∑ ｆ ｇ ｋ ｋ（ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ ｊ（ ｊ（ ｊ ｊ（ β η φ ［ －β ］ ｝ ｘ∈Ｓβ ∈Ｄ ∑
ｊ＝１ ｊ＝１ ｋ＝１ ｌ＝１ Ｋ ｑ ｐ ｊ ｋ ｋ ｌ ｌ ｌ ｊ ｊ ｊ ｊ
β∈Ｄ
） ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ． －ｆ （ ＋λｇ （ －ｆ （ ＋λｇ （ 〈 〉＝ ∑Ｌ （ ∑β （
ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ ｊ＝１ ｊ＝１ Ｋ ｋ ｋ ｑ ｐ
ｐ
ｐ
由此得
Ｌ Ｂ（ Ｓ）＝ｍ ａ ｘ
｛
ｐ ｘ∈Ｓ
ｊ＝１
ｉ ｎ ｊ＋ｍ ∑ －λ
［
ｋ＝１
） ｘ） Ａ ｘ －ｂ ｘ） ｘ） ＋∑ ＋ ∑Ｌ －ｆ ＋λ θ ｇ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ（ ｊ（ ｊ ｊ（ ∑ηφ （
ｐ
， Ｌ Ｂ（ Ｓ）＝ ｍ ａ ｘ ∑ －λ ｔ 烄 ｊ＋
ｊ＝１
（ ） ： Ｌ Ｐ（ Ｓ） 烅 ｓ ． ｔ ．∑ Ｖｉ） Ａ Ｖｉ －ｂ Ｌｊ Ｖｉ） ＋∑ ＋∑ －ｔ ≥ θ λ ｇ ｋ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ ｊ（ η φｋ（
ｋ＝１ ｌ＝１ ｊ＝１
Ｋ
ｑ
ｐ
ｐ
ｊ＝１
， Ｖ） ∑Ｌｆ （
ｊ ｊ ｉ
…， …， Ｖｉ） Ｖｉ）≥ ０， ｉ ＝ ０， ｎ， ｕ ≥ ０， ＋λ λ， ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｊ（ ｊ ｊ（ η， 烆 －ｆ …， 其中 ， Ａ ｌ 行， ｂ ｌ 个元素 ， ｌ ＝ １， ｑ． ｌ 表示 Ａ 的第 ｌ 表示ｂ 的第 ）及 Ｌ ，其中 证 据子问题 （ Ｐ（ Ｓ） ａ ｒ ａ ｎ ｅ弱对偶定理得 ： Ｖ（ Ｓ）≥ Ｌ Ｂ（ Ｓ） ｇ ｇ
价转化为 ：
＊
收稿日期 ： ２ ０ １ １ ０ ４ ２ ２ － － ） ， ） 基金项目 ： 国家自然基金 （ 河南省科技创新杰出青年基金 （ １ １ １ ７ １ ０ ９ ４ ０ ９ ４ １ ０ ０ ５ ０ ０ ０ １ 作者简介 ： 申培萍 ， 女， 汉族 ， 河南人 ， 教授 ， 研究方向 ： 最优化理论与应用 ．
第４期
申培萍等 ： 一类带反凸约束的非线性比式和问题的全局优化算法
ｐ
０ ）＝ ｍ ， ｖ（ Ｓ ｉ ｎ ∑ －β ｘ） ｆｊ（ ｊ 烄 ｊ＝１ ０ （ ） ） ： Ｐ（ Ｓ …， …， 烅 ｓ ． ｔ ． ｘ） ｘ）≤ ０， ｋ ＝ １， Ｋ， －１ ≤ ０， ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｋ（ ｊ ｊ（ β φ
ｌ＝１ ｊ＝１
］ ｝
…， ． ｔ ． ｘ） ｘ）≥ ０， ｓ ｘ ∈ Ｓ， λ， θ ≥ ０． －ｆ ＋λ ｇ ｊ ＝ １， ｐ， ｊ（ ｊ ｊ（ η，
ｐ
， ａ ｘ ∑ －λ ｔ ＝ｍ ｊ＋
ｊ＝１ Ｋ ｑ ｋ ｋ ｐ
． ｔ ． ｔ≤ ｓ
ｋ＝１
） ， ｘ） Ａ ｘ －ｂ ｘ） ｘ） ＋∑ ＋ ∑Ｌ －ｆ ＋λ θ ｇ ｌ（ ｌ ｌ） ｊ（ ｊ（ ｊ ｊ（ ∑ηφ （
ｉ＝０ ｎ
…， ｂ Ｖｉ）≥ ０， ｌ ＝ １， ２， ∑ｗ０， ｑ， ｉ（ ｌ －Ａ ｌ
ｉ＝０ ｎ
， ， …， …， ｗ０， ｗｊ， １， ｉ ＝ ０， １， ｎ． ｊ ＝ ０， ｐ， ｉ ＝１ ｉ ≥０ ∑ 烆 ｉ ＝０
ｎ
＊ 珟 ） ， （ ） …， 因ξ＝ 由式 （ 可得 Ａ 故若φ 则ξ 是问题 （ Ｖｉ， ３ ４ ｋ ＝１， ２， Ｋ， Ｐ） ｉ ｋ（ ≤０， ξ ≤ｂ， ξ） ∑ｉ＝０ｗ０，
］ ｝
ｍ ｉ ｎ
ｘ∈Ｓ β∈Ｄ
０，
∑
ｐ
ｊ＝１
ｎ ， 因为ｆ 上 是 凸 的， 故 ｘ） ｘ）在 Ｒ －β ｆｊ（ ｊ ｊ（
∑
ｐ
ｊ＝１
０ 由 Ｍ 是紧集 ， 因此 ｍ ｘ）在 Ｍ Ｓ ｉ ｎ －β ×Ｄ 上连续 ， ｆｊ（ ｊ ０
ｘ∈Ｓ ， β∈Ｄ
∑
ｐ
ｊ＝１
是有限数 ， ｘ） － ｆｊ（ ｊ β
１ ）＞－ ∞ ． 故Ｌ Ｂ（ Ｓ ０ …， 定理 ４ 设 Ｓ 是 任 意 顶 点 集 为 ｛ 的 子 单 纯 形， 且Ｌ 令 Ｖ１ ， Ｖ２ ， Ｖｎ ｝的 Ｓ Ｂ（ Ｓ）≠＋ ∞ ． ＊ ＊ ｛ …， ） 是问题 （ 的前ｎ＋１ 个约束对应的对偶变量 ， 令ξ ＝ ， ， ｗ０ ｗ０ Ｌ Ｐ（ Ｓ） １， ｎ｝
本文给出一个求解 （ 的全局优化算法 ． 首先将原问题进行等价转化 ， 然后利用 Ｌ Ｐ） ａ ｒ ａ ｎ ｅ ｇ ｇ 对偶理论把定界问题转化为一系列线性规划问题 ． 此算 法 的 优 点 在 于 主 要 的 计 算 工 作 是 求 解 一系列线性规划子问题 ， 并且这些子问题随着迭代次数的增加其规模并不扩大 ． 首先将 （ 等价转化为 ： Ｐ）
１ ２ ７
０ ， ｘ ≤ｂ， ｘ ∈Ｓ 烆 Ａ β ∈ Ｄ． ０ ＊ ＊ 珟 的全局最优解 ， 则 ｘ＊ 是问题 （ 的全 局 最 优 解 ； 若 ｘ ， Ｐ（ Ｓ ）） Ｐ） 定理 １ 若 （ β ）是问题 （ ０ ＊ ＊ ＊ ＊ 珟） ）的 全 局 最 优 解 ， 的 全 局 最 优 解， 则 （ 其 中β ｘ 是问 题 （ Ｐ ｘ ， Ｐ（ Ｓ） ＝ ｊ β ）是 问 题 （
的一个可行解 ． 珟 ）的最优值 ｖ（ 今给出求解问题 （ 的分支定界算法 ， 其中子问题 （ Ｐ） Ｐ（ Ｓ） Ｓ）的 下 界 Ｌ Ｂ（ Ｓ） ）得到 ， 是通过求解 （ 分支过程采用单纯形对分 ， 具体步骤如下 ： Ｄ Ｌ Ｐ（ Ｓ）
０ ０ ０ ） ）得 其 最 优 值 Ｌ ） ， ） 步 １ 给定ε ＞ ０， 求解（ 并 确 定 可 行 集 Ｆ（ 令μ Ｄ Ｌ Ｐ（ Ｓ Ｂ（ Ｓ Ｓ ． ０ ＝ ０ ０ ０ ０ （ ｛ ｝ ； 如果 Ｆ（ 计算γ 否则 ， 令γ 置 Ｌ Ｂ（ Ｓ） ． Ｓ ）≠ ， ｘ） ｉ ｎ ｈ（ ｘ） ｘ ∈ Ｆ（ Ｓ） ＝ｍ ｜ ０ ＝ｈ ０ ＝＋ ∞ ． ０ ， Ｑ０ ＝ ｛ Ｓ｝ ｋ ＝ １；
应 用 数 学 ＭＡ ＴＨＥＭＡ Ｔ Ｉ Ｃ Ａ Ａ Ｐ Ｐ Ｌ Ｉ Ｃ Ａ ＴＡ （ ） ： ２ ５ １ １ ２ ６ １ ３ ０ ２ ０ １ ２， －
＊
一类带反凸约束的非线性 比式和问题的全局优化算法
申培萍 ， 王俊华
（ ） 河南师范大学数学与信息科学学院 ， 河南 新乡 ４ ５ ３ ０ ０ ７ 摘要 ： 本文针对一类带有反凸约束的非线性比式和分式规划问题 ， 提出一种求其全局 该算法利用 Ｌ 最优解的单纯形分支和对偶定界算法 ． ａ ｒ ａ ｎ ｅ对偶理论将其中关键的 ｇ ｇ 定界问题转化为一系列易于求解的线性 规 划 问 题 ． 收敛性分析和数值算例均表明提 出的算法是可行的 ． 关键词 ： 全局优化 ； 分支定界 ； 反凸约束 ； 非线性比式和 （ ） 中图分类号 ： 主题分类 ： Ｏ ２ ２ １． ２ ＡＭ Ｓ ２ ０ ０ ０ ９ ０ Ｃ ３ ０ （ ） 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ ９ ８ ４ ７ ２ ０ １ ２ ０ １ ０ １ ２ ６ ０ ５ － － － 考虑一类比式和分式规划问题 ：