理论力学4-1力系的主矢量和主矩

主矢量是作用点可以不同的各力之矢量和
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例 4-1-1
边长为a的正方体顶点O、F、C和E上作用有 四个大小都等于P的力，方向如图所示。 求：此力系的主矢量。 第 4章
例 4-1-1
Oy，Oz的单位矢量为 i , j , k，则
P1 P ( 2 i 2 j ) 2 2
P2 P ( 2 i 2 j ) 2 2
应用例题
B
圆角柜
z
C
F1 y F2 G x 轴OC位于Oyz平面内、与铅垂轴Oz的夹角为 θ，宽度OA = b的均质板可绕轴OC转动，计 算板的重力G对OC轴之矩。 F1 G sin mOC (G) b F1 Gb sin 2 2 此力矩使柜门自动关闭
O A
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v P vO ω rOP
例 4-1-3
边长为a的正方体顶点O、F、C和E上作用有 四个大小都等于P的力，方向如图所示。 求：此力系关于O点的主矩。 第 4章
例 4-1-3
M O rOF P2 rOC P3 rOE P4
由几何关系得：
解
P3
F O E
P2 P4
自由矢量：起始点可以任意变化的矢量 （如力系的主矢量） 我们学过的其它矢量分别是哪种矢量？
刚体
F
刚体
F
力的可传性只适用于刚体！
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1
力系的简化
第 4章 力系的简化：用更简单的力系代替原力系。
几个简单力系
力偶
第 4章 力偶 — 大小相等、方向相反、作用线平行 （但不重合）的两个力组成的力系
R
r1 F
几何静力学
MO
力偶矩是确定力偶作用效果的物理量。只要保
持力偶矩不变，在一个刚体上力偶可以在同一 个平面内随便搬移，也可以从一个平面搬到另 一个与之平行的平面上。
力偶既不能等效于合力，也不能等效于零力系 力偶系与一个力偶等效。
返回
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力螺旋不能等效成一个力或力偶！
力螺旋
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第 4章
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第 4章
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几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
C
力F对点O的矩的解析式： i j k mO F x y z Fx Fy Fz x
mox i moy j moz k
r
O d
F A
y
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
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力系的主矩
力系的主矩
第4章 力系对不同矩心的主矩之间的关系：
M P (rPO ri ) Fi
i 1
n
n
Fi
A
Fj Fj e Fjk i
k 1
n
ri Fi rPO Fi
i 1 i 1
n
几何静力学
ri
O
M Ox M Oy
解
取如图所示的坐标系Oxyz，并设坐标轴 Ox，
P3
F O
z
P2
几何静力学
P3
F O E
P2
P4
C
P4
C
P3 P ( 2 j 2 k ) 2 2
P1
D
P4 P ( 2 j 2 k ) 2 2
x
E
P1
D
y
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R Pi
i 1
n
R 2 P( j k )
1
力对点的矩 第 4章 力F对点O的矩： mO F r F
(y F
i i 1 n
n
iz
z i Fiy ) x i Fiz )
MO rPO R
rPO
P
(z F
i i 1 n
或者等价地写成
M P M O R rOP
ix
MO M
2 Ox
M
2 Oy
M
2 Oz
M Oz
(x F
i i 1
iy
y i Fix )
第4章 力系对 O 的主矩：力系中各力对 O 点的力矩 的矢量和。
(e) M O m O ( Fi ) ri Fi M O
i 1 i 1 n n
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第 4章
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几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
分析： （1）柜门必然受到对门轴的力矩的作用才能 自动关闭，产生该力矩的只能是重力。 （2）注意到门轴并非垂直于地面，而是向内 倾斜一个小角度？
几何静力学
4.2 力系的等效与简化
2013年10月13日
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力系的等效
第 4章 如果作用在同一个质系上的两个力系可以 相互替代而不影响质点系的运动状态的改变， 则称这两个力系等效。 特别地，如果在刚体上增加或减少某个力 系而不改变刚体的运动状态，则称该力系是 零力系或平衡力系。 第 4章
MO 0
R0
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
2 3 4
R MO 0
MO 0 MO R
求点P的位置： M P MO R rOP 0
R MO R ( R rOP ) 0
R0
MO 0
力偶 平衡 力螺旋 ( R, M P )
MO 0
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例 4-1-2
几何法
第 4章
例 4-1-2
Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
解析法
y l a, z0
将力F沿坐标轴分解为Fx和Fz两个分力： Fx F sin , Fz F cos 可得 mx ( F ) mx ( Fz ) F (l a ) cos my ( F ) my ( Fz ) Fl cos mz ( F ) mz ( Fx ) F (l a ) sin
2013/10/13
基本概念 第2篇

静力学研究质系在力系作用下平衡的规律

第2篇
静力学
几何静力学：牛顿力学的方法 分析静力学：分析力学的方法 静止：所有质点在某时刻的速度都等于零 保持静止：在某时间段内所有质点的速度都为零 平衡状态：质系相对于惯性系保持静止的状态 平衡力系：若在静止的质系上增加或减少一个力 系，质系依然保持静止，则该力系称为平衡力系
i 1 n
力系的主矢量
第 4章
R Fi
i 1 n
Rx Fix , R y Fiy , Rz Fiz
i 1 i 1
i 1
n
n
n
2 2 R Rx Ry Rz2
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第 4章
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几何静力学 几何静力学
几何静力学
主矢量只有大小和方向，没有作用点
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力与轴平行或相 交时，力对该轴 之矩？
力对点的矩与力对轴的矩之间的关系
力对轴之矩的解析式
例 4-1-2
第4章 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F， 它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度 为。已知CD = a ，杆BC平行于x轴，杆CE平 行于y轴，AB和BC的长度都等于l。 试求力F对x、y和z轴之矩。
力系的等效
力系等效定理：作用在同一个刚体上的两个 力系等效的充分必要条件是它们的主矢量相 等、对同一点O的主矩相等，即
* R R* , MO MO
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第4章 推论 ：作用在刚体上的力可以沿着力的作用 线在刚体上滑移，但是不能平行于作用线在 刚体上平移 — 力的可传性。
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几何静力学 几何静力学
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力偶
力偶对空间任意一点O的主矩 MO r 1 F r 2 ( F ) r21 F 力偶主矩的大小和方向都与 矩心无关；力偶对任意点的 主矩称为力偶矩。
MO
力螺旋
d
F
第 4章
r21 r2
O
在由一个力和一个力偶组成力系中，如果力 偶矩的方向与力的作用线平行，则称该力系 是力螺旋。力的作用线叫做力螺旋的中心轴。

静止与保持静止

静力学

平衡状态与平衡力系


2013年10月13日
平衡方程 — 平衡力系应满足的方程
1
第4章 几何静力学
4.1 力系的主矢量和主矩
2013年10月13日
2013年10月13日
力系的主矢量
第 4章 力系：作用在一个质点系上的力的集合 力系的主矢量：力系中各力的矢量和，即
R Fi
第 4章
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几何静力学
几何静力学

重要公式
力系对不同矩心的主矩之间的关系
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4
力系的等效
第4章 质点的运动状态：位置和速度 力对质点的作用效应：改变质点的瞬时加速度 ，此瞬时之后质点的运动状态将发生改变。 力对物体的作用 内效应：变形和应力（材料力学） 外效应：物体的整体运动状态 外效应 物体的整体运动状态 质系的运动状态：所有质点运动状态的集合 力系对质系的作用效应：改变质系的运动状态
大小：力的大小与力臂的乘积
力对轴的矩 第 4章 力F对z轴之矩等于该力在与z轴垂直的平面上 的投影Fxy对轴与平面交点O 之矩。
mO F Fd 2 AAOC
方向：垂直于 r 和F 矩心：O点
mo(F) z
mz (F ) mO (Fxy ) Fxy h
2OAb
C
rOF a( 2 i 2 k) 2 2
P3
F O
z
P2 P4
C
几何静力学
rOC a j
rOE ai
P1
D
代入上式计算得
MO 2 Pa ( j k )
x
E
P1
D
y
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如何求力系关于E点的主矩？
3
本节小结
第 4章

重要概念
力系的主矢量 力系的主矩（与矩心有关） 力对点的矩 力对轴的矩
钻头上受到的切削阻力系是一力螺旋。R与 L0同向，为右手力螺旋。 空气作用在螺旋桨上的推进力和阻力矩是一 力螺旋。R与L0反向，为左手力螺旋。 第 4章
力系的简化
泊松定理： 作用在刚体上的任意力系向任意 点O简化，得到一个力(由力系的主矢量确定) 和一个力偶(由力系对O点的主矩确定)。 O点称为简化中心。 推论（力的平移定理） ：可以将作用在刚体 上的力 行 其作 线在 体上 上的力平行于其作用线在刚体上平移，同时 时 附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对新 F 作用点的矩。 F A 返回
MO 0
R MO R2 rOP 0
rOP R MO R2
MP rOP
R MO R2 R MO R2
R
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5
13/32
R MO 0
R0
取rOP 垂直于R和MO构成的平面， M 当 d rOP O 时，M P 0 R
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几何静力学
F
思考题：观察针灸中进针方式 的特点？
B
MB(F) A B
F
2
力系的简化
第 4章
第二不变量 第一不变量 1 O点为简化中心 主矩 简化结果 合力 说 明 通过简化中心 通过P, R MO rOP R2 与简化中心无关 平衡力系
主矢量和主矩垂直时的力系简化
第 4章 是否存在一点 P， 使得MP = 0 ? R MO O d P R
F4
F3
F1
R
O
Fj
F e
j
Fjk
k 1
n
i
(i ) R F j( e ) F jk R(e) j 1 k 1 j 1
n
n
n
F2
力系中包括内力和外力，力系的主矢量等 于外力的主矢量。
主矢量和合力是两个不同的概念
合力是作用在同一质点上的各力的矢量和，
零力系（平衡力系） 一个力 力偶 力螺旋
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第 4章
9/32
第 4章
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几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学

如果力系等效于一个力，则该力称为力系的 合力 — 合力概念的推广。 伐里农定理：如果力系有合力，则合力的大 小和方向同力系的主矢量，而合力对任意点 O的矩等于力系对O的主矩。
mz (F ) mO (Fxy ) mO (Fx ) mO (Fy ) mz ( F ) xFy yFx moz
几何静力学
mx (F ) yFz zFy mox my (F ) zF Fx xF Fz moy
力对点的矩在通过该 点的某轴上的投影， 等于力对该轴的矩。
x l ,
mx (F ) yFz zFy F (l a)cos my (F ) zFx xFz Fl cos
mz ( F ) xFy yFx F (l a ) sin
例题
第 4章
圆角柜
如图所示为明 代圆角柜，柜 门打开后可以 自动关闭，试 分析其原理。 第 4章
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几何静力学
该定理的证明需要用到动力学的知识 为什么？ 力系是零力系(平衡力系)的充分必要条件是该 力系的主矢量为零，对任意点的主矩为零
力系的等效
第 4章
矢量的类别
固定矢量：起始点固定的矢量（如力系的主矩） 滑移矢量：起始点可以沿着作用线滑移的矢量 （如作用在刚体上的力）
几何静力学
F
刚体
刚体
F