高一上学期期中考试数学试题及答案解析

合集下载

余姚中学2023学年第一学期期中考试高一数学试题(含答案)

A. 54 cm2
B. 48 cm2
C. 27 cm2
D. 9 cm2
4.函数 f (x) | x2 1| 的大致图象为( ) x
A
B
C
D
5.已知函数 f (x) log2 (2 x) 的值域为 ,1 , 则函数 f (2 x ) 的定义域为( )
A. [0, )
B. [0, 2)
C. [0,1)
9.下列说法正确的是( )
A.
10
化成角度是
18
B.
120
化成弧度是
5 6
C. 330 与 750 的终边相同
D.
若 sin
cos
1 ，则 tan 2
cos sin
2
10.用二分法求函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个零点的近似值 ( 精确度为 0.1) 时，依次计算得到如下数据：
11.函数
f
(x)
x 1 | x
(x |
R)
，以下四个结论正确的是(
)
A. f (x) 的值域是 (1,1)
B.
函数 y
f (x) 的图像与函数 g(x) log2
x x
1 1
图像的交点为
x1
,
y1
,
x2
,
y2
,
x3
,
y3
,,
xm
,
ym
，则
x1 x2 x3 xm 2
C.
若规定
f1(x)
f (x) | x2 1| f (x) ， x
该函数为奇函数，故 A 错误；
当 x 0 时， f (x) | x2 1| 0 ，故 D 错误； x

广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞，故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<，因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢，故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>，所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内．故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−，故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=，又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−，所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误；对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误．故选：BC10. 下列说法正确的是（） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误，对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0，由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确，对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<，当0a <，0b <时，则0a b <<，当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >，当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<，所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >，故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错；对于B ，()21e 1x f x =−+，由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>，所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增，因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增，又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确．故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确．对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确．故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==．故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________．【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________．【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ．【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=，所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−．【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==．由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ．所以11,22A B =−．【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①．因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ，所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤，所以21m −≤≤，且0m ≠．综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ．（1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−，即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤，当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−，因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+，所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>．【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+；当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+，解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+，所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+，所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++，因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号，所以()341618f x ≤−=，所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+，（1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值；（2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根，方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++，可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立，因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−．【小问2详解】解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+，所以()23210x x a a −−++=，两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=．令2x t =，因为1x >−，所以12t >，于是方程可化为2210at at −+=，（*）问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠，方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意；若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>，故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<．综上可得，实数a 的取值范围是41,3．方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=，所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析（2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−，因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>，所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ，又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ，因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤，可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①，又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ，即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立，因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立，即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②．由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。

天津市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

天津2023年11月高一年级期中考试数学试卷（答案在最后）一.选择题(每题12分,共计36分)1.设集合{}0,2,4,5,8,10A =，{}234B x x =-<，则A B = （）A.{}4,8 B.{}0,2,6 C.{}0,2 D.{}2,4,6【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，然后再求交集.【详解】由{}234B x x =-<，得72B x x ⎧⎫=<⎨⎩⎭又{}0,2,4,5,8,10A =所以{}0,2A B =I 故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知命题3:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是（）A.32,80x x ∃≥-≥B.32,80x x ∀≤->C.32,80x x ∀>->D.32,80x x ∃<-≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可求出.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以p ⌝是“32,80x x ∃<-≥”.故选：D.3.设a R ∈，则“1a <”是“21a <”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【详解】由题意，解不等式21a <，得11a -<<，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又()()111-⊂-∞，，，即满足由条件p 不能推出结论q ，且结论q 推出条件p ，故选B.4.设函数()f x 为奇函数，当0x >时，()²2f x x =-，则()2f -=（）A.-1 B.-2C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数特征()()22f f -=-，将2代入0x >时，()²2f x x =-的解析式，求出()2f ，然后即得到()2f -.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以()()22f f -=-，又因为当0x >时，()²2f x x =-，所以()22222f =-=，所以()22f -=-.故选：B.5.已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（）A.{1}B.C.{1,1}-D.【答案】C 【解析】【分析】根据B 是A 的子集列方程，由此求得m 的取值集合.【详解】由于B A ⊆，所以211m m =⇒=±，所以实数m 的取值集合为{1,1}-.故选：C6.下列函数是偶函数且在()0,∞+上单调递增的为（）A.()f x =B.()²1f x x =-+ C.()1f x x x=- D.()f x x=【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性和单调性逐选项判断即可.【详解】对于A ，定义域为[)0,∞+，不关于原点对称，所以()f x 为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ，()²1f x x =-+定义域为R ，关于原点对称，()()()21f x x f x -=--+=，所以()f x 为偶函数，又因为()²1f x x =-+，开口向下，对称轴为0x =，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，()1f x x x =-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，()()11f x x x f x x x-=--=-+=--，所以()f x 奇函数，故C 错误；对于D ，()f x x =定义域为R ，关于原点对称，()()f x x f x -=-=，所以()f x 为偶函数，又()f x x =当()0,x ∈+∞时，()f x x =，在()0,∞+上单调递增，故D 正确，故选：D.7.若0a b <<，则下列不等式成立的是（）A.²a ab >B.²ab b < C.11a b->- D.11a b-<【答案】A 【解析】【分析】利用作差法判断A ；举反例判断BCD ；从而得解.【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0a b -<，则()²0a ab a a b -=->，即²a ab >，故A 正确；对于B ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但221ab b =>=，故B 错误；对于C ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但11112a b -=<=-，故C 错误；对于D ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但11112a b-=>-=，故D 错误.故选：A.8.已知0,0x y >>，且141x y+=，则x y +的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】由题意得14()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9，故选：D9.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A.,y x u ==B.2y s ==C.21,11x y m n x -==+- D.y y ==【答案】A 【解析】【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于A ，y x =和u =的定义域都是R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，函数y =R ，函数2s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故选项B 错误；对于C ，函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，故选项C 错误；对于D ，函数y =的定义域为{|1}x x ≥，函数y =的定义域为(,1][1,)∞∞--⋃+，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选：A .10.已知集合M ＝{x |1x x -≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于()A.∅B.{x |x ≥1}C.{x |x >1}D.{x |x ≥1或x <0}【答案】C 【解析】【分析】首先确定集合M 和集合N ，然后求解其交集即可.【详解】求解分式不等式1xx -≥0可得{}|01M x x x 或=≥<，求解函数y ＝3x 2＋1的值域可得{}|1N x x =≥，结合交集的定义可知M ∩N ={x |x >1}.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.若关于x 的不等式21kx kx -<的解集为R ，则实数k 的取值范围是（）A.()4,0-B.(4,0]-C.[]4,0-D.(,4][0,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】由题可知满足0k =或00k <⎧⎨∆<⎩即可.【详解】由题210kx kx --<的解集为R ，当0k =时，10-<恒成立，满足题意；当0k ≠时，则()2410k k k <⎧⎨∆=-⨯-<⎩，解得40k -<<，综上，40k -<≤.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.12.已知函数() y f x =是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且对[]12,1,1x x ∀∈-，当12x x <时，总有()()12f x f x <，则不等式()()1130f x f x -+-<的解集为（）A.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.12,23⎛⎫⎪⎝⎭ D.12,23⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.【详解】因为[]12,1,1x x ∀∈-，当12x x <时，总有()()12f x f x <,所以() f x 在[]1,1-为增函数，不等式()()1130f x f x -+-<，即()()113f x f x -<--又因为函数() y f x =是定义在区间[]1,1-上的奇函数，所以()() f x f x -=-，[]1,1x ∈-所以()()1331f x f x --=-，所以()()131f x f x -<-所以1111311131x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得1223x <≤所以不等式()()1130f x f x -+-<的解集为12,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D.二.填空题(每题4分，共计32分)13.函数f (x )=12x -的定义域为___________.【答案】{1x x ≥且}2x ≠【解析】【分析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得12x x ≥≠且，所以定义域为{1x x ≥且}2x ≠.故答案为：{1x x ≥且}2x ≠【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．14.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间是_______．【答案】[1,2]-和[4,)+∞【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可写出单调区间.【详解】根据函数的图象，自左向右看，上升为增函数，下降为减函数，所以函数的单调递减区间为[1,2]-和[4,)+∞.【点睛】本题主要考查了利用函数的图象写出单调区间，属于容易题.15.已知函数()231xf x x -=-，则函数的值域为______.【答案】()(),33,-∞--+∞ 【解析】【分析】分离常数法求函数的值域.【详解】()231xf x x -=-定义域为()(),11,-∞+∞ ，()()3112313111x x f x x x x ----===-----因为10x -≠，所以101x ≠-，即1331x --≠--，所以()231xf x x -=-的值域为()(),33,-∞--+∞ .故答案为：()(),33,-∞--+∞ .16.函数()2112f x x x =++在[]2,3-上的最大值是_________________.【答案】172【解析】【分析】根据二次函数的性质求[]2,3-上的最大值即可.【详解】因为()()2211111222f x x x x =++=++,所以对称轴为=1x -,开口向上，所以当3x =时，()f x 有最大值，最大值为()3f =172，故答案为：172.17.已知:14,:p x q x a ≤<<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________________.【答案】[)4,+∞【解析】【分析】根据充分不必要条件定义转换为集合真包含关系求解即可.【详解】设集合{}|14A x x =<≤，集合{}|B x x a =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，即4a ≥.所以实数a 的取值范围为[)4,+∞故答案为：[)4,+∞.18.函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],3-∞-【解析】【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴()2142a x -=-≥，由此可求出实数a 的取值范围.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，所以()2142a --≥，解得3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.19.已知52x <，若不等式9225x m x +≤-恒成立，则实数m 的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】利用配凑法与基本不等式求得9225x x +-的最大值，从而得解；【详解】因为52x <，所以250x -<，则520x ->，所以9992255525252552x x x x x x ⎛⎫+=-++=--++ ⎪---⎝⎭51≤-=-，当且仅当95252x x-=-，即1x =时，等号成立，因为不等式9225x m x +≤-恒成立，所以max9225m x x ⎛⎫≥+ ⎪-⎝⎭，则1m ≥-，所以实数m 的最小值为1-.故答案为：1-.20.已知函数()2,02,0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪-+≥⎩，则当函数值()()1f f x =时，x =__________.【答案】2-或1或4.【解析】【分析】根据分段函数的特征，分0x <，02x ≤≤，2x >求()()1f f x =，得到x 的值.【详解】当0x <时，20x ->，()()222221f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x =-，当02x ≤≤时，20x -+≥，()()()()2221f f x f x x x =-+=--++==，所以1x =；当2x >时，20x -+<，()()()222122ff x f x x x =-+=-==-+-，所以4x =，综上，2x =-或1或4.故答案为：2-或1或4.三.解答题(共计32分)21.已知集合{}231{||,}03A x a x a B x x =-≤≤-=<<.（1）若1a =，求A B ⋃；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|}1x x -≤<（2）32a >【解析】【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解.（2）由题意得A B ⊆，分类讨论A =∅和A ≠∅两种情况，结合集合的运算即可得解.【小问1详解】当1a =时，231{|}{|10}A x a x a x x =-≤≤-=-≤≤，又{}|03B x x =<<，所以3|}1{A B x x ⋃=-≤<.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，又{}231{||,}03A x a x a B x x =-≤≤-=<<，当A =∅时，231a a ->-，解得2a >，此时满足A B ⊆；当A ≠∅时，2a ≤，则23013a a ->⎧⎨-<⎩，解得322a <≤；综上，实数a 的取值范围32a >．22.已知函数()21,1,1x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩.（1）求3 2f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若()0f x =，求 x ；（3）画出函数()f x 的图象.【答案】（1）34（2）0x =或1x =（3）图象见解析【解析】【分析】（1）利用()f x 的解析式，先求32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求3 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得解；（2）分类讨论1x ≥与1x <，分别列式计算即可得解；（3）分别计算1x ≥与1x <，再利用一次函数与二次函数的图象性质即可得解.【小问1详解】因为()21,1 ,1x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，所以331 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则231113 22224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当1x ≥时，由()0f x =得10x -=，解得1x =；当1x <时，由()0f x =得20x x +=，解得0x =或=1x -（舍去）；所以0x =或1x =.【小问3详解】当1x ≥，即1x ≤-或1x ≥时，()1f x x =-，当1x <，即11x -<<时，()2f x x x =+，所以()f x 的图象如图，23.已知关于 x 的不等式()()210x a x a +-+<.（1）若不等式的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭，（ⅰ）求 a 的值；（ⅱ）求关于x 的不等式227104ax x a ++->的解集.（2）解关于 x 的不等式()()210x a x a +-+<.【答案】（1）（ⅰ）12a =-；（ⅱ）132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）利用二次不等式与二次方程根的关系，分类讨论求解即可；（ⅱ）代入a ，解二次不等式即可得解；（2）分类讨论两根的大小关系，从而得解.【小问1详解】（ⅰ）因为()()210x a x a +-+<的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以12,2-是方程()()210x a x a +-+=的两根，而解()()210x a x a +-+=，得x a =-或21x a =-，当2a -=-，即2a =时，12132a -=≠，不满足题意；当12a -=，即12a =-时，212a -=-，满足题意；综上，12a =-；（ⅱ）因为12a =-，所以227104ax x a ++->可化为2217110242x x ⎛⎫-++--> ⎪⎝⎭，整理得()()3210x x --<，解得132x <<，所以227104ax x a ++->的解集为132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】因为()()210x a x a +-+=的解为x a =-或21x a =-，当21a a -=-，即13a =时，()()210x a x a +-+<无解；当21a a -<-，即13a >时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；当21a a ->-，即13a <时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；综上，当13a =时，()()210x a x a +-+<的解集为∅；当13a >时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；。

2022-2023学年河南省商开高一数学上学期期中考试卷及答案解析

商开大联考2022-2023学年上学期期中考试高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析（2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ，故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立，当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。

浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案

浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。

2023-2024学年北京清华大学附属中学昌平学校高一上学期期中数学试题含答案解析

清华附中昌平学校2023—2024第一学期高一年级数学学科期中考试试卷（满分：150分时间：120分钟）考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，只将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--2.命题“3x ∃≥，2230x x -+<”的否定是（）A.3x ∀≥，2230x x -+<B.3x ∀≥，2230x x -+≥C.3x ∀<，2230x x -+≥D.3x ∃<，2230x x -+≥3.ac bc <是a b <的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件4.下列函数中，在区间()1,+∞上为增函数的是（）A.31y x =-- B.2y x= C.12y x =-+ D.245y x x =-+5.函数3()5f x x =-的零点所在的区间是A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)6.函数()21xf x x =+的图像大致是（）A.B.C.D.7.已知0,0x y >>，且822x y+=，则x y +的最小值是（）A.9B.12C.15D.188.下列不等式中解集为[]1,3的是（）A.103x x -≤- B.103xx-≥- C.21-≤x D.()()130x x --≥9.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个商品的售价应定为（）A.95元B.100元C.105元D.110元10.设函数()243,01,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()()1212,2,x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞．其中，由所有正确结论的序号构成的是（）A .①②③B.①③④C.③④D.②③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()021y x =-的定义域是____．12.已知()21f x x x +=-，则()f x 的解析式是_____13.若,m n 是方程2310x x +-=的两个实数根，则22m n mn mn +-=______．14.已知1x >，11y x x =+-，则当且仅当x =____时，y 取得最小值____．15.函数()2214112x ax x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.集合{}{}15,121A xx B x a x a =-≤≤=+≤≤-∣∣（1）当4a =时，求A B ⋃：（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围；17.关于x 的不等式：()210x a a -++<．（1）若2a =，求不等式的解集，（2）求不等式的解集，18.已知()21x f x x+=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在区间[)5,4--上的值域．19.函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式：（2）判断()f x 在()1,1-的单调性，并证明；（3）解不等式()()10f t f t -+<20.为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小张同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，每月生产某大型电子产品x 件，每件产品售价为12万元，需投入月固定成本为6万元，另投入流动成本为()C x 万元，且()91,06491336,6x x C x x x x +<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩．经市场分析，生产的产品当月能全部售完．（注：月利润=月销售收入－固定成本－流动成本）（1）写出月利润()P x （万元）关于月产量x （件）的函数解析式；（2）求月产量为多少件时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，并计算出最大利润值．21.新定义：若存在0x 满足00(())f f x x =，且00()f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的次不动点.已知函数11,0()1(),11x x a af x x a a a⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中01a <<.（1）当12a =时，判断15是否为函数()f x 的次不动点，并说明理由；（2）求出(())f f x 的解析式，并求出函数()f x 在[0,]a 上的次不动点.清华附中昌平学校2023—2024第一学期高一年级数学学科期中考试试卷（满分：150分时间：120分钟）考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，只将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】因为集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则{}2,1M N ⋂=--.故选：D.2.命题“3x ∃≥，2230x x -+<”的否定是（）A.3x ∀≥，2230x x -+<B.3x ∀≥，2230x x -+≥C.3x ∀<，2230x x -+≥D.3x ∃<，2230x x -+≥【答案】B 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.【详解】解：因为命题“3x ∃≥，2230x x -+<”为存在量词命题，所以其否定为“3x ∀≥，2230x x -+≥”．故选：B ．3.ac bc <是a b <的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当2,1,1a b c ===-时，,ac bc a b <>，当1,2,1ab c ===-时，,a b ac bc <>，所以ac bc <是a b <的既不充分也不必要条件.故选：A .4.下列函数中，在区间()1,+∞上为增函数的是（）A.31y x =-- B.2y x=C.12y x =-+ D.245y x x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据一次函数，反比例函数和二次函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A ，函数31y x =--在()1,+∞上为减函数，故A 不符合；对于B ，函数2y x=在区间()1,+∞上为减函数，故B 不符合；对于C ，当1x >时，函数121y x x =-+=+在区间()1,+∞上为增函数，故C 符合；对于D ，函数()224521y x x x -=+=-+在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故D 不符合.故选：C.5.函数3()5f x x =-的零点所在的区间是A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】A 【解析】【分析】求得f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的【详解】由函数()35f x x =-可得()11540f =-=-<，()28530f =-=>，故有()()120f f <，根据函数零点的判定定理可得，函数()f x 的零点所在区间为()1,2，故选A ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．6.函数()21xf x x =+的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到函数()f 为奇函数，且0x >时，()0f x >，结合选项，即可求解.【详解】由函数()21x f x x =+，可得()()()2211x x f x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，又由0x >时，()0f x >，所以函数()f x 图象为B 选项.故选：B.7.已知0,0x y >>，且822x y+=，则x y +的最小值是（）A .9B.12C.15D.18【答案】A【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可.【详解】因为0,0x y >>，且822x y+=，所以()182182110109222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当82y xx y=，即26x y ==时取等号，所以x y +的最小值是9.故选：A .8.下列不等式中解集为[]1,3的是（）A.103x x -≤- B.103xx-≥- C.21-≤x D.()()130x x --≥【答案】C 【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法分别求解即可.【详解】对于A ，由103x x -≤-，得()()13030x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得13x ≤<，所以不等式103x x -≤-的解集为[)1,3，故A 不符；对于B ，由103xx -≥-，得()()13030x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得3x >或1x ≤，所以不等式103xx-≥-的解集为{3x x >或}1x ≤，故B 不符；对于C ，由21-≤x ，解得13x ≤≤，所以不等式21-≤x 的解集为[]1,3，故C 符合；对于D ，由()()130x x --≥，解得3x ≥或1x ≤，所以不等式()()130x x --≥的解集为{3x x ≥或}1x ≤，故D 不符.9.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个商品的售价应定为（）A.95元 B.100元 C.105元D.110元【答案】A 【解析】【分析】假设售价在90元的基础上涨x 元，从而得到销售量，进而可以构建函数关系式，利用二次函数求最值的方法求出函数的最值．【详解】解：设售价在90元的基础上涨x 元因为这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，所以若涨x 元，则销售量减少20x ，按90元一个能全部售出，则按90x +元售出时，能售出40020x -个，每个的利润是908010x x +-=+元设总利润为y 元，则2(10)(40020)202004000y x x x x =+-=-++，对称轴为5x =所以5x =时，y 有最大值，售价则为95元所以售价定为每个95元时，利润最大．故选：A ．函数解析式．10.设函数()243,01,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()()1212,2,x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞．其中，由所有正确结论的序号构成的是（）A.①②③B.①③④C.③④D.②③④【答案】B 【解析】【分析】通过作出函数的简图，即可对①②项进行判断，对于③可以作出抛物线关于y 轴的对称图像与函数在y 轴右侧部分的交点情况判断即可，对于④可以作出符合题意的直线，通过对称性计算得出.【详解】根据函数解析式，作出函数的简图如图.在①中，由图易得函数()f x 的值域是R ，故①正确；在②中，由图易得函数()f x 在(2,0]-上为增函数，在(0,)+∞上为增函数，但在0x =处，图像左高右低，因而不能说函数()f 在()2,-+∞上为增函数，故②错误；③因00x >，故00,x -<于是2000()43f x x x -=-+，其对应的图像与函数1,(0)y x x=->的图像有交点，即00x ∃>，使得()()00f x f x -=，故③正确；④如图作一条与函数()f x 有三个交点且与x 轴平行的直线，不妨假设123x x x ,<<利用对称性知：122(2)4,x x +=⨯-=-而31,x >故必有123 3.x x x ++>-故④正确.故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()021y x =-的定义域是____．【答案】2132x x x ⎧⎫<≠⎨⎩⎭且【解析】【分析】根据已知函数即可求出函数的定义域.【详解】由题意，在()021y x =-中，230210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得：23x <且12x ≠-，故答案为：2132x x x ⎧⎫<≠⎨⎩⎭且.12.已知()21f x x x +=-，则()f x 的解析式是_____【答案】()232f x x x =-+【解析】【分析】利用换元法计算可得.【详解】因为()21f x x x +=-，令1t x =+，则1x t =-，所以()()()221132f t t t t t =---=-+，所以()232f x x x =-+.故答案为：()232f x x x =-+13.若,m n 是方程2310x x +-=的两个实数根，则22m n mn mn +-=______．【答案】4【解析】【分析】根据题意结合韦达定理运算求解.【详解】若,m n 是方程2310x x +-=的两个实数根，则31m n mn +=-⎧⎨=-⎩，所以()2214+-=+-=m n mn mn mn m n .故答案为：4.14.已知1x >，11y x x =+-，则当且仅当x =____时，y 取得最小值____．【答案】①.2②.3【解析】【分析】由基本不等式可得答案.【详解】由题，11111311y x x x x =+=-++≥+=--.当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号.故答案为：2；315.函数()2214112x ax x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_________.【答案】81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】分段函数在R 上的单调递增，只需要保证第一段和第二段都是递增的，而且在临界值时左端要小于或等于右端；即要保证：二次函数在1x <时递增则对称轴大于等于1：即1a >，一次函数递增则要求402a->;再需要保证当1x =时12412a a -+≤--便可求出a 的范围.【详解】因为()f x 是(),-∞+∞上的增函数，所以14021232a a a a ⎧⎪≥⎪⎪->⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩,解得1885a a a ⎧⎪≥⎪<⎨⎪⎪≤⎩，取交集得a 的取值范围是81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，函数在R 上的函数单调性，特别要注意临界位置的大小关系，很多学生容易忽略这点.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.集合{}{}15,121A xx B x a x a =-≤≤=+≤≤-∣∣（1）当4a =时，求A B ⋃：（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围；【答案】（1）{}|17⋃=-≤≤A B x x （2）{}|3a a ≤【解析】【分析】（1）根据并集运算求解；（2）由题意可得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况，结合包含关系运算求解.【小问1详解】若4a =，则{}57=≤≤∣B xx ，所以{}|17⋃=-≤≤A B x x .【小问2详解】若A B B = ，则B A ⊆，当B =∅，则121a a +>-，解得2a <，符合题意；当B ≠∅，则12111215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23a ≤≤；综上所述：实数a 的取值范围{}|3a a ≤.17.关于x 的不等式：()210x a x a -++<．（1）若2a =，求不等式的解集，（2）求不等式的解集，【答案】（1）{}12x x <<（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可；（2）分1a =，1a >和1a <三种情况讨论即可.【小问1详解】若2a =，则2320x x -+<，解得12x <<，所以不等式的解集为{}12x x <<；【小问2详解】由()210x a x a -++<，得()()10x a x --<，对应方程的根为12,1x a x ==，当1a =时，不等式的解集为∅；当1a >时，不等式的解集为{}1x x a <<；当1a <时，不等式的解集为{}1x a x <<.18.已知()21x f x x+=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在区间[)5,4--上的值域．【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）增函数，证明见解析（3）2617,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用作差法求证即可；（3）根据函数的单调性即可得解.【小问1详解】函数()21x f x x +=的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，因为()()21x f x f x x+-==--，所以函数()f x 为奇函数；【小问2详解】函数()f x 在()1,+∞上是增函数，()211x f x x x x+==+，任取121x x <<，则()()21212111f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()2121212121212121111x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-=--=，因为121x x <<，所以2121210,1,10x x x x x x ->>->，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在()1,+∞上是增函数；【小问3详解】因为函数()f x 在()1,+∞上单调递增，且函数()f x 为奇函数，所以函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，即函数()f x 在[)5,4--上是增函数，所以()()()54f f x f -≤<-，即()261754f x -≤<-，所以函数()f x 在区间[)5,4--上的值域为2617,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19.函数()21ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式：（2）判断()f x 在()1,1-的单调性，并证明；（3）解不等式()()10f t f t -+<【答案】（1）()21xf x x =+，()1,1x ∈-（2）单调递增，理由见解析（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由()00f =和1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出答案；（2）利用定义法证明函数单调性；（3）根据函数奇偶性和单调性，结合定义域得到不等式，求出解集.【小问1详解】由题意得()20010bf ==+，解得0b =，112212514af ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，解得1a =，故()21xf x x=+，()1,1x ∈-；【小问2详解】()f x 在()1,1-的单调递增，利用见解析()12,1,1x x ∀∈-，且12x x <，则()()()()()()()()221212121211222112222222121212111111x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ---+---=-==++++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()12,1,1x x ∀∈-且12x x <，所以120x x -<，1210x x ->，故()()()()()()12121222121011x x x x f x f x x x ---=<++，所以()()12f x f x <，故()f x 在()1,1-的单调递增；【小问3详解】因为()21xf x x=+是定义在()1,1-上的奇函数，故()()()()()101f t f t f t f t f t -+<⇒-<-=-，由（2）可知，()f x 在()1,1-的单调递增，故111111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得102t <<，不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭20.为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小张同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，每月生产某大型电子产品x 件，每件产品售价为12万元，需投入月固定成本为6万元，另投入流动成本为()C x 万元，且()91,06491336,6x x C x x x x +<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩．经市场分析，生产的产品当月能全部售完．（注：月利润=月销售收入－固定成本－流动成本）（1）写出月利润()P x （万元）关于月产量x （件）的函数解析式；（2）求月产量为多少件时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，并计算出最大利润值．【答案】（1）()37,064930,6x x P x x x x -<≤⎧⎪=⎨--+>⎪⎩（2）月产量为7件时，获利润最大，利润最大为16（万元）【解析】【分析】（1）由题意可得()()126P x x C x =--，进而可得出答案；（2）分06x <≤和6x >两种情况讨论，结合基本不等式即可得解.【小问1详解】由题意可得()()126P x x C x =--，所以()37,064930,6x x P x x x x -<≤⎧⎪=⎨--+>⎪⎩；【小问2详解】当06x <≤时，()()max 611P x P ==（万元），当6x >时，()49303016P x x x =--+≤-+=（万元），当且仅当49x x=，即7x =时，取等号，综上所述，月产量为7件时，获利润最大，利润最大为16（万元）.21.新定义：若存在0x 满足00(())f f x x =，且00()f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的次不动点.已知函数11,0()1(),11x x a af x x a a x a ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中01a <<.（1）当12a =时，判断15是否为函数()f x 的次不动点，并说明理由；（2）求出(())f f x 的解析式，并求出函数()f x 在[0,]a 上的次不动点.【答案】（1）15是函数()f x 的次不动点，理由见解析（2）()()()()2222222211,0111,11,21,21(1)1x x a a a ax a a x a a a f f x x a a x a a a a a x a a a x a a ⎧+≤<-⎪-⎪⎪-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤--⎪⎪---<≤⎪--⎪⎩，次不动点为221a a a a -+-.【解析】【分析】写出函数解析式，利用新定义，建立方程，可得答案.【小问1详解】当12a =时，()121,02121,12x x f x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则11321555f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，因为131555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，131555f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以15是函数()f x 的次不动点.【小问2详解】由101x a a ≤-+≤得2a a x a -≤≤，此时()()1111f f x x a a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭；由111a x a <-+≤得20x a a ≤<-，此时()()1111f f x x a a a ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭；由()101x a a a ≤-≤-得22a x a a ≤≤-，此时()()()1111f f x x a a a ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭；由()111a x a a <-≤-得221a a x -<≤，此时()()()1111f f x x a a a a ⎛⎫=-- ⎪--⎝⎭；所以()()()()2222222211,0111,121,21(1)1x x a a a ax a a x a a a f f x x a a x a a a a ax a a a x a a ⎧+≤<-⎪-⎪⎪-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤--⎪⎪---<≤⎪--⎪⎩当20x a a ≤<-时，由()()211f f x x x a a =+=-得221a a x a a-=+-，此时2222222111a a a a a a f a a a aa a ⎛⎫---=≠ ⎪+-+-+-⎝⎭，所以221a a x a a -=+-是函数()f x 的次不动点；当2a a x a -≤≤时，由()()2111f f x x x a a =-+=得1ax a=+，此时11a a f a a ⎛⎫=⎪++⎝⎭，所以1a x a =+不是函数()f x 的次不动点；综上可知函数()f x 在[]0,a 上的次不动点为221a a a a-+-.。

2024-2025学年酒泉市高一数学上学期期中考试卷及答案解析

2024—2025学年高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合3{|5}A x x =<，{3,1,0,2,3}B =--，则A B = （）A. {1,0}- B. {2,3} C. {1,0,2}- D. {3,1,0}--【答案】D 【解析】【分析】求出集合{A x x =，再利用交集运算即可求解.【详解】由题意可得集合{A x x =，因为12<<，且{3,1,0,2,3}B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，故D 正确.故选：D.2. 下列命题中正确的是（）A. 若0a b >>，则22a b > B. 若a b <，则22ac bc <C. 若a b <，则11a b> D. 若a b >，则ac bc>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A ；举反例判断BCD.【详解】对于选项A ：若0a b >>，由不等式性质可得22a b >，故A 正确；的对于选项BD ：例如0c =，可得220ac bc ==，0ac bc ==，故BD 错误；对于选项C ：利用1,1a b =-=，可得111,1a b =-=，即11a b<，故C 错误；故选：A.3. 已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A. 1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B. 1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C. 1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ D. 1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D4. 已知函数()235,1,28,1,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则()()2f f 的值为（）A. 4 B. 5 C. 8 D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】因为f (x )=3x +5,x ≤1,−2x 2+8,x >1,所以()222280f =-⨯+=，所以()()()203055ff f ==⨯+=.故选：B5. 下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A. ()1f x x=B. ()exf x =C. ()2f x x = D. ()1f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由常见函数的函数图像即可判断奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性，即可得出结论.【详解】函数()1f x x=是奇函数，在区间()0,∞+上单调递减，故A 不符合题意；函数()e xf x =是非奇非偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故B 不符合题意；函数()2f x x =是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故C 不符合题意；函数()1f x x x=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且满足()()1f x x f x x -=-+=-，又函数y x =和1y x =-均在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()1f x x x =-在区间()0,∞+上单调递增，即函数()1f x x x=-既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增，符合题意.故选：D.6. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A. 2 B. 4C. 2-D. 4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A7. 已知2345a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b>>【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.【详解】易知3362555422933c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭定义域上单调递减，36145<<，所以23b c >>，易知()230y xx =>单调递增，432543>>，则223334422533a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上a b c >>.故选：A8. 函数()1,4,11x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩的值域为（）A. [)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B. 5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [)3,4,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D. 3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得1x ≤时函数()f x 的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，再由基本不等式可求得当1x >时，函数()f x 的值域为[)5,+∞，即可得出结论.【详解】根据题意当1x ≤时，()f x x =t =，可得[)0,t ∈+∞，所以21x t =-，因此可得()2215124f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭；由二次函数性质可得当12t =，即34x =时，()1f x x x =≤取得最大值54，此时()1f x x x =+≤的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；当1x >时，()44111511f x x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；此时()4,11f x x x x =+≥-的最小值为5，因此()4,11f x x x x =+≥-的值域为[)5,+∞；综上可得，函数()f x 的值域为[)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数()f x 的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（）A. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件B. 命题“21,1x x ∀<<”的否定是“1x ∃≥，21x ≥”C. 若a b >，则22a b c c >D. 若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最小值为9【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分和必要条件，全称量词命题的否定、不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】选项A ，若1a >，则11a <；若11a<，则a 有可能是负数，此时1a >不成立，故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，正确，符合题意；选项B ，命题“1x ∀<，21x <”的否定是“21,1x x ∃<≥”，错误，不符合题意；选项C ，若a b >，则22a b c c>，正确，符合题意；选项D ，若0a >，0b >，且41a b +=，则()1111441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，16b =时，取等号，故11a b+的最小值为9，正确，符合题意.故选：ACD10. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是（）A. ()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞B. ()0f x =有3个根C. ()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃D. 当0x <时，()22f x x x=-+【答案】ABC 【解析】【分析】先求得0x <时()f x 的解析式判断选项D ；求得()f x 的单调递增区间判断选项A ；求得()0f x =的根的个数判断选项B ；求得()0xf x <的解集判断选项C.【详解】由()f x 是定义在R 上的奇函数知，对任意x ∈R ，()()f x f x -=-.当0x <时，0x ->，又当0x ≥时，()22f x x x =-，所以()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，故D 错误.由上可知()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩又抛物线22y x x =-的对称轴为直线1x =，开口向上，抛物线22yx x =--的对称轴为直线1x =-，开口向下，结合二次函数的性质知()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞，故A 正确.由()0f x =可得2020x x x ≥⎧⎨-=⎩或220x x x <⎧⎨--=⎩解之得，0x =或2x =或2x =-，故B 正确.由()0xf x <，可得2020x x x <⎧⎨-->⎩或220x x x >⎧⎨-<⎩解得20x -<<或02x <<，故C 正确.故选：ABC11. 已知函数2,0()2,0x x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，则下列判断错误的是（）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的图像与直线1y =有两个交点C. ()f x 的值域是[0,)+∞D. ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数【答案】AB 【解析】【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A 不正确；函数图象与直线1y =有一个交点，故B 错误；函数的值域为[0,)+∞，且在区间(,0)-∞上是减函数，即C 、D 正确；故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 能说明“关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立”为假命题的实数a 的一个取值为_________.【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】将关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立问题转化为0∆<，从而得到a 的取值范围，命题为假命题时a 的取值范围是真命题时的补集，即可得a 的取值.【详解】若不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则()2420a a ∆=--⨯<，解得08a <<，所以该命题为假命题时实数a 的取值范围是08a a ≤≥或，.所以实数a 一个取值为0.故答案为：0（答案不唯一，只要满足“0a ≤或8a ≥”即可）.13. 已知函数()21,02,6,2,x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩则不等式()12f x x >的解集为______.【答案】()1,4【解析】【分析】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象，即可求得不等式()12f x x >的解集.【详解】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为(1,4).故答案为：(1,4)14. 已知正数,x y 满足328x y -=，则3x y+的最小值为______.【答案】9【解析】【分析】先根据指数运算求出33x y =+，代入3x y+中，再利用基本不等式可得最小值.【详解】33282x y y -==，可得33x y =+，又0,0x y >>，所以3333239x y y y +=++≥⨯+=，的当且仅当1y y=，即1y =时取得最小值.故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设全集R U =，集合{}15A x x =≤≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-.（1）若4a =，求A B ，()U A B ⋂ð；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）A ∪B ={x |−9≤x ≤5},(){}U 25A B x x ⋂=<≤ð; （2）13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算.（2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可.【小问1详解】因为4a =，所以{}92B x x =-≤≤.因为{}15A x x =≤≤，所以{}95A B x x ⋃=-≤≤.因为R U =，所以{9U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}25U A B x x ⋂=<≤ð.【小问2详解】因为B A ⊆.①当B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a -->-，解得13a <；②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则121,25,122,a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤-⎩解得a ∈∅综上所述，实数a 的取值范围是13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.16. 已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f xf x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．.【答案】（1）证明见解析（2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f xf x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.17. 已知函数()21x bf x ax +=+，点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3上的最大值和最小值.【答案】（1）18a b =⎧⎨=⎩（2）max ()5f x =，min 7()2f x =【解析】【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求a ，b 的值；（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.小问1详解】因为点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点，【所以2514421b a b a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得18a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】设1213x x ≤<≤，则()()()()()2112121212628281111x x x x f x f x x x x x -++-=-=++++，因为1213x x ≤<≤，所以210x x ->，()()12110x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()281x f x x +=+在[]1,3上单调递减.故()max ()15f x f ==，()min 7()32f x f ==.18. 已知函数()122x f x =+.（1）求()0f 与()2f ，()1f -与()3f 的值；（2）由（1）中求得的结果，猜想f(x)与()2f x -的关系并证明你的猜想；（3）求()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值.【答案】（1））()103f =，()126f =，()215f -=，()1310f = （2）()()122f x f x +-=，证明见解析（3）40434【解析】【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；（2）根据（1）的结果猜想()()122f x f x +-=，计算()()2f x f x +-的值即可证明；（3）根据（2）的结果可得1(2020)(2022)2f f -+=，根据规律计算即可求解.【小问1详解】解：因为()122x f x =+，故11(0)123f ==+，211(2)226f ==+，112(1)225f --==+，311(3)2210f ==+.【小问2详解】解：猜想：()()122f x f x +-=，证明：∵对于任意的x R ∈，都有2221122(2)2222222(22)22x x x x x x f x --====++⨯++∴221()(2)2(22)2x x f x f x ++-==+.故()()122f x f x +-=.【小问3详解】解：由（2）得()()122f x f x +-=，故(2020)(22022)f f -=-，1(2020)(2022)2f f -+=，1(2019)(2021)2f f -+=，所以()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++()()()()()()()2020202220192021(1)(3)021f f f f f f f f f =-++-+⋅⋅⋅+-++++1140432021244=⨯+=.19. 已知()f x 满足 ()()()(),f x f y f x y x y +=+∈R ，且0x >时，()0f x < .（1）判断()f x 的单调性并证明；（2）证明：()()f x f x -=-；（3）若()12f =-，解不等式()2260f x x -->．【答案】（1）减函数，证明见解析（2）证明见解析（3）{|1x x <-或}3x >．【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索()f x -与()f x 之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可.【小问1详解】()f x 是R 上的减函数，证明如下：对任意12,x x ∈R 且12x x <，则210x x ->，所以()210f x x -<；又()()()1212f x f x x f x +-=即()()()21210f x f x f x x -=-<，所以()()21f x f x <.所以()f x 是R 上的减函数.【小问2详解】由()()()f x f y f x y +=+，令y x =-，得()()()0f x f x f +-=；再令0x =可得()()()000f f f +=⇒()00f =；()()0f x f x ∴-+=即()()f x f x -=-.【小问3详解】()()()()122114f f f f =-⇒=+=-，()()()3216f f f =+=-，()2260f x x ∴-->，即()()()2233f x x f f ->-=-，又()f x 是R 上的减函数，所以223x x -<-⇒2230x x -->，解得：1x <-或3x >，所以不等式的解集为{|1x x <-或}3x >.。

江苏省扬州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

扬州市2023-2024学年度第一学期高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}1,2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋃=（）A.{}1,2 B.{}3,4 C.{}5 D.{}1,2,3,4,5【答案】D 【解析】【分析】根据并集定义求解即可.【详解】因为{}1,2,3,4M =，{}3,4,5N =，所以{}1,2,3,4,5M N ⋃=.故选：D .2.对于命题p ：,20x x ∃∈+≤R ，则命题p 的否定为（）A.,20x x ∃∈+>RB.,20x x ∃∈+≥RC.,20x x ∀∈+≤RD.,20x x ∀∈+>R 【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p ：,20x x ∃∈+≤R 的否定为,20x x ∀∈+>R .故选：D3.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设213x +=，得1x =，则(3)1311f =-+=-.故选：A.4.我们知道，任何一个正数N 可以用科学计数法表示成10n N a ⨯＝（110,a n ≤<为正整数），此时()lg lg 0lg 1N n a a =+≤<，当0n ＞时，称N 的位数是1n +.根据以上信息可知603的位数是（）（lg30.47712≈）A.27 B.28C.29D.30【答案】C 【解析】【分析】通过求60lg 3，根据已知估值计算即可求解．【详解】60lg 360lg 3600.4771228.6272280.6272=⋅≈⨯==+，则603的位数是是28129+=．故选：C ．5.若函数()y f x =的图象如下图所示，函数()2y f x =-的图象为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换，判断选项.【详解】函数()y f x =的图象关于y 对称可得函数()y f x =-的图象，再向右平移2个单位得函数()2y f x ⎡⎤=--⎣⎦，即()2y f x =-的图象.故选：C.6.已知关于x 的不等式0ax b -≤的解集是[)2,∞+，则关于x 的不等式()2330ax a b x b +--<的解集是（）A.()(),32,-∞-+∞U B.()3,2-C.()(),23,-∞-+∞ D.()2,3-【答案】A 【解析】【分析】由一元一次不等式求得2b a =，且a<0；由此化简二次不等式并求出解集.【详解】由关于x 的不等式0ax b -≤的解集是[)2,∞+，得2b a =且a<0，则关于x 的不等式()2330ax a b x b +--<可化为260x x +->，即()()320x x +->，解得：3x <-或2x >，所求不等式的解集为：()(),32,-∞-+∞U .故选：A.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.7.已知函数()f x 为R 上的单调递增函数，()0f =，任意,x y ∈R ，都有()()()1=++f x f y f x y ，则不等式()()2223424+-+->f x x f x x 的解集为（）A.{|1x x <或4}x >B.{}|14<<x xC.{|1x x <-或4}x >D.{}|14x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用赋值法可得()34f =，将不等式化为()25)3(1>-+-f x x f ，结合函数单调性运算求解.【详解】因为()()()1=++f x f y f x y ，则有：令0x y ==，可得()()()1002==f f f ；令1x y ==，可得()()()3114==f f f ；且不等式()()2223424+-+->f x x f x x 可化为：()25)3(1>-+-f x x f ，又因为函数()f x 为R 上的单调递增函数，则2–513+->x x ，即2540x x -+<，解得14x <<，所以不等式的解集为{}|14<<x x .故选：B.8.若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【答案】A 【解析】【分析】利用已知等式可得1ab a =-且10a ->；代入所求式子可得基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由111a b +=得：1111a b a a -=-=，即：1a b a =-0b > ，0a >10a ∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=-≥------当且仅当()1911a a =--，即43a =时取等号min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够通过代入消元的方式，整理出符合基本不等式的形式.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若,a b c d >>，则a c b d+>+B.若,0a b c ><，则22a c b c <C.若0a b <<，则22a ab b >>D.若0a b c >>>，则b b c a a c+<+【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断即可.【详解】对于A ，因为,a b c d >>，则0a b ->，0c d ->，所以()()()0a c b d a b c d +-+=-+->，即a c b d +>+，故A 正确；对于B ，由a b >，假设0a b >>，有22a b <，又0c <，所以22a c b c >，故B 错误；对于C ，由0a b <<，可知2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，故C 正确；对于D ，因为0a b c >>>，所以()()()0c b a b b c ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==<+++，所以b b ca a c+<+，故D 正确.故选：ACD.10.已知()R A B =∅ ð，则下面选项中不成立的是（）A.A B A =B.A B B =C.A B B ⋃=D.A B ⋃=R【答案】ACD 【解析】【分析】通过取特殊集合，依次分析各选项即可.【详解】对于A 选项，由A B A = 得A B ⊂，不妨设{}{}1,0A x x B x x =>=>，则(){}01RA B x x ⋂=<≤≠∅ð，故不满足，故A 选项不成立；对于B 选项，由A B B = 得B A ⊂，显然()R A B =∅ ð，满足，故B 选项正确；对于C 选项，由A B B ⋃=得A B ⊂，由A 选项知其不满足，故C 选项不成立；对于D 选项，由A B ⋃=R ，不妨设{}{}1,0A x x B x x =≤=>，显然(){}1R A B x x ⋂=>≠∅ð，故不满足，故D 选项不成立，故选:ACD.【点睛】方法点睛：通过取特殊集合，依次分析各选项.11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，则下列说法正确的是（）A.()00f =B.()f x 为奇函数C.()()()f x f y f x y -=-D.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n 【答案】ABC 【解析】【分析】利用赋值法对ABC 进行逐项分析判断即可；对于D 选项，结合题意及函数的特征，可设()f x x =-，即可判断.【详解】对于A ，依题意，取0x y ==，可得()()200f f =，解得()00f =，故A 正确；对于B ，由于函数()f x 的定义域为R ，在()()()f x f y f x y +=+中，取y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数，故B 正确；对于C ，取x x y =-，由()()()f x f y f x y +=+可得：()()()f x y f y f x -+=，则有()()()f x f y f x y -=-，故C 正确；对于D ，由于函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且()00f =，若()f x x =-，则()f x 在区间[],m n 上单调递减，所以函数()f x 在区间[],m n 上的最大值为()f m ，故D 错误.故选：ABC.12.已知函数()2243,,x mx m x m f x x m x m ⎧-+->=⎨-+≤⎩，则下列说法正确的是（）A.当1m =时，()f x 的单调减区间为][(),12,-∞⋃+∞B.函数()f x 为R 上的单调函数，则0m ≤C.若()()1f x f x ->恒成立，则实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.对[)12,,x x m ∀∈+∞，不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立【答案】BCD 【解析】【分析】对于选项A ，借助一次函数和二次函数的单调性可写出函数的单调区间；对于选项B ，根据函数解析式可判断函数()f x 为R 上的减函数，借助二次函数的单调性列出不等式求解即可；对于选项C ，根据函数()1y f x =-和()y f x =图象之间的关系及()()1f x f x ->恒成立的几何意义可列出不等式进行求解即可；对于选项D ，作差即可比较大小.【详解】对于选项A ，当1m =时，()243,11,1x x x f x x x ⎧-+->=⎨-+≤⎩.因为当()1,x ∈+∞时，函数2=+43y x x --在区间()1,2上单调递增，在区间[)2,+∞上单调递减，函数1y x =-+在区间(]1-∞，上单调递减，所以当1m =时，()f x 的单调减区间为(],1-∞和[)2,+∞，故选项A 错误；对于选项B ，因为函数y x m =-+为减函数，函数2243y x mx m =-+-的图象开口向下，对称轴为直线2x m =.所以要使函数()f x 为R 上的单调函数，须使函数2243y x mx m =-+-在区间(),m +∞上单调递减，即满足2m m ≤，解得0m ≤.故选项B 正确对于选项C ，因为函数()1y f x =-的图象是由函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到的，()()1f x f x ->恒成立表示的几何意义是函数()1y f x =-的图象恒在函数()y f x =图象的上方.当0m ≤时函数()f x 为R 上减函数，符合题意；当0m >时，函数()f x 在区间(],m -∞和[)2,m ∞+上递减，在区间(),2m m 上递增.令()0f x =得x m =或3x m =，由图象平移可得31m m -<，解得12m <，故选项C 正确；对于选项D ，因为对[)12,,x x m ∀∈+∞，()22222121212112212243232224x x x x x x x x x x f m m m x x m ++++⎛⎫⎛⎫=-+⋅-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝()()()()()22222211221221212434323222x mx m x mx m f x f x xx m x x m -+-+-+-+==-++-+，所以()()()2221212121122202244f x f x x x x x x x x x f +-+-⎛⎫-==≥ ⎪⎝⎭+，即不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确.故选：BCD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数0y =的定义域为__________.【答案】()()1,22,-+∞ 【解析】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答.【详解】依题意，要使函数有意义，自变量x的取值必须满足20100x x -≠⎧⎪+≥⎨≠，解得：1x >-且2x ≠，所以函数0y =的定义域为：()()1,22,-+∞ .故答案为：()()1,22,-+∞ .14.已知,R a b ∈，则“0ab =”是“220a b +=”的__________条件（填充“充分不必要条件､必要不充分､充要条件､既不充分又不必要条件”）【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】因为000a ab b =⎧=⇒⎨=⎩或00a b =⎧⎨≠⎩或0a b ≠⎧⎨=⎩，2200a b a b +=⇒==，所以“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.15.已知函数()28f x x kx =--在()5,6上具有单调性，则实数k 的取值范围是________.【答案】(][),1012,-∞⋃+∞【解析】【分析】利用二次函数单调性，比较对称轴与区间的位置关系即可解得实数k 的取值范围是(][),1012,-∞⋃+∞.【详解】由题意可知，二次函数()28f x x kx =--的对称轴为2k x =，若()f x 在()5,6上单调递增可知52kx =≤，解得10k ≤；若()f x 在()5,6上单调递减可知62kx =≥，解得12k ≥；所以实数k 的取值范围是(][),1012,-∞⋃+∞.故答案为：(][),1012,-∞⋃+∞16.有同学发现：函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2f x a f a x b ++-=.根据以上结论，则函数()323f x x x =-的对称中心是__________；若n 为正整数，则()()()()()()12012f n f n f n f f f n -+-++-+++++++= __________.【答案】①.()1,2-②.46n --【解析】【分析】设出函数()f x 的对称中心是(),a b ，根据()()2f x a f a x b ++-=列出方程，即可求得对称中心是()1,2-；根据对称中心可得()()114f x f x ++-=-，那么原式可化为()()()()211f n f n n f ⎡⎤-++⋅++⎣⎦，代入求解即可.【详解】设函数()323f x x x =-的对称中心是(),a b ，则323b a a =-，因为()()2f x a f a x b ++-=，所以有()()()()32323233226x a x a a x a x b a a +-++---==-，整理得：322232266626a ax x a a a +--=-，即()22266660ax x a x -=-=，所以1a =，则2b =-，故函数()323f x x x =-的对称中心是()1,2-；因为()323f x x x =-的对称中心是()1,2-，依题意有()()114f x f x ++-=-，则()()()()()()12012f n f n f n f f f n -+-++-+++++++ ()()()()()()()211021f n f n f n f n f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+++-+++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()411n f =-++46n =--.故答案为：()1,2-，46n --.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（1）已知lg 2m =，lg3n =，试用,m n 表示5log 12；（2）已知13x x -+=（01x <<），求221122x x x x--++．【答案】（1）52log 121m n m +=-；（2）755.【解析】【分析】（1）利用换底公式即可求解.（2）利用指数的运算即可求解.【详解】（1）由换底公式得5lg122lg 2lg32log 12lg51lg 21m nm++===--．（2）由于112122()25x x x x --+=++=，且01x <<，所以1122x x -+=；又22122()2327x x x x --+=+-=-=；所以2211225x x x x--+==+．18.设全集U =R ，集合2205x A xx ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭.（1）当命题p :R x ∃∈,2230x x a -+=为真命题时，实数a 的取值集合为B ，求A B ⋂；（2）已知集合()2,12C a a =-+，若“x A ∈”是“x C ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）依题意，可知方程有解，由0∆≥可求出集合B ，然后解分式不等式求出集合A ，再利用交集的运算求解即可；（2）由已知可确定A 真包含于C ，根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.【小问1详解】依题意，方程2230x x a -+=有解，则()22340a ∆=--⋅≥恒成立，解得：3322a -≤≤，所以集合3322B a a ⎧⎫=-≤≤⎨⎩⎭，又因为()(){}22022505x A x x x x x ⎧⎫-=>=--<⎨⎬-⎩⎭，所以{}15A x x =<<，所以31,2A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦ .【小问2详解】因为“x A ∈”是“x C ∈”的充分不必要条件，所以A 真包含于C ，由（1）知{}15A x x =<<，则集合C ≠∅，又()2,12C a a =-+，则21125212a a a a -≤⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩，解得：2a ≥，所以实数a 的取值范围为：[)2,+∞.19.若正数,a b 满足4,ab a b t t =++∈R ．（1）当0=t 时，求4a b +的最小值；（2）当5t =时，求ab 的取值范围．【答案】（1）25（2）25ab ≥【解析】【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可；（2）根据等式45a b ab +=-，结合基本不等式即可得5ab -≥，解不等式即可得ab 的取值范围．【小问1详解】当0=t 时，有4ab a b =+，即141a b+=所以()1444441725b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭当且仅当44b a a b=，即5,5a b ==时取等号．则4a b +的最小值为25；【小问2详解】当5t =时，有45ab a b =++，则45a b ab +=-因为4a b +≥=所以5ab -≥，50-≥-，解得5≥1≤-（舍）当4a b =时，即5,102a b ==时，等号成立所以25ab ≥．20.已知函数()24x ax f x x++=为奇函数.（1）求实数a 的值；（2）求证：()f x 在区间[)2,+∞上是增函数；（3）若对任意的12,[2,4],x x ∈都有212()()22,f x f x m m -≤--求实数m 的取值范围.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）(][),13,-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）先由()()11f f -=-求出0a =，再由定义验证()f x 为奇函数；（2）利用单调性的定义证明()f x 在区间[)2,+∞上是增函数；（3）根据函数的单调性得出()()()()12421f x f x f f -≤-=，再解不等式2221m m --≥，即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）由()f x 为奇函数，定义域为()(),00,-∞+∞ ，可得()()11f f -=-，即()()1414a a --+=-++，解得0a =，此时()4f x x x=+，对任意()(),00,x ∈-∞+∞U ，()()4f x x f x x -=--=-，满足()f x 为奇函数（2）对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x <()()()()()()2112121212121212124444x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x ----=+--=-+=由122x x ≤<，可得124x x >，120x x -<，则()()120f x f x -<则()()12f x f x <，则()f x 在区间[)2,+∞上是增函数；（3）由()f x 在区间[)2,+∞上是增函数可得对任意[]12,2,4x x ∈，()()()()12421f x f x f f -≤-=则2221m m --≥，解得1m ≤-或3m ≥，实数m 的取值范围是(][),13,-∞-⋃+∞.21.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路､地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，一般情况下，该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30120x <≤时，车流速度v 与车流密度x 之间满足函数关系式：240080v m x=--，（m 为常数）.（1）若车流速度ν不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）【答案】21.[]0,9022.隧道内车流量的最大值为3667辆/小时，此时车流密度为83辆/千米.【解析】【分析】（1）先根据120x =时，0v =得到150m =，从而得到030x ≤≤满足要求，30120x <≤时，解不等式，得到答案；（2）分030x ≤≤和30120x <≤两种情况，表达出车流量y 关于车流密度的关系式，由函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案.【小问1详解】当30120x <≤时，240080v m x=--由题意得，当120x =时，0v =，即2400800120m -=-，解得150m =，当030x ≤≤时，车流速度为60千米/小时，满足要求，若30120x <≤，令24008040150x-≥-，解得3090x <≤，综上，090x ≤≤，车流密度x 的取值范围为[]0,90；【小问2详解】当030x ≤≤时，60y x =，单调递增，故当30x =时，60y x =取得最大值，最大值为60301800⨯=辆/小时；当30120x <≤时，240080150x x xy x v -=⋅=-，令[)15030,120x u -=∈，则()()240015080150y uu u --=-360000144008014400144003667u u ⎛⎫=-+≤-=-≈ ⎪⎝⎭，当且仅当36000080u u=，即u =15083x =-≈由于36671800>，故隧道内车流量的最大值为3667辆/小时，此时车流密度为83辆/千米.22.已知函数()2,R f x ax x a a =--∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间（不必写明证明过程）；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由;（3）当[]1,1a ∈-时，对任意的[]1,3x ∈，恒有()0f x bx +≤成立，求23a b +的最大值.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）根据题意，求出()f x ，然后结合二次函数的性质可求得答案；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）对任意的[]1,3x ∈，恒有()0f x bx +≤成立等价于“11b a x x ⎛⎫≤-++ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立”，然后分01a <≤，0a =和10a -≤<三种情况求解即可.【小问1详解】当1a =时，()2221,111,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=--=⎨+-<⎩，当1x ≥时，2213()124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在[1,)+∞上递增，当1x <时，2215()124f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，因为221111111-+=+-=，所以()f x 的单调递增区间为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；【小问2详解】当0a =时，()f x x =-，因为()()f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数，当0a ≠时，因为()00f a =-≠，所以()f x 不是奇函数，因为()11f a a =--，()11f a a -=-+，且11-≠+a a ，所以()()11f f ≠-，所以()f x 不是偶函数，综上，当0a =时，()f x 为偶函数，当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数；【小问3详解】当[]1,1a ∈-，[]1,3x ∈时，0x a -≥，所以22()(1)0+=--+=+-+≤f x bx ax x a bx ax b x a ，整理得11b a x x ⎛⎫≤-++ ⎪⎝⎭，即11b a x x ⎛⎫≤-++ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立，因为对勾函数1y x x=+在[]1,3x ∈上单调递增，所以若01a <≤，则11y a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上单调递减，所以当3x =时，11y a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭取得最小值1013-a ，则1013b a ≤-，所以2231033a b a a +≤-+<，当0,1a b ==时，233+=a b ，若10a -≤<时，则11y a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上单调递增，所以当1x =时，11y a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭取得最小值12a -，则12b a ≤-，所以2236310a b a a +≤-+≤，当且仅当1,3a b =-=时，23a b +取得最大值10，综上，23a b +的最大值为10.【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“11b a x x ⎛⎫≤-++ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题.。

人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文

人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。

1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。

2023-2024学年常州中学高一数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年常州中学高一数学上学期期中考试卷2023-11（试卷总分为150分，考试时间为120分钟.）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===，则()U M N ð是（）A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,3,4D ．{}1,2,32．下列函数中，值域为()0,∞+的偶函数是（）A．y =B ．y x=C ．1y x=D ．21y x =3．设x ∈R ，则“23x ->”是“2560x x -->”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，若()31f =，则满足()120f x -≤-≤的x 取值范围是（）A ．[]1,0-B ．[]1,2-C ．[]1,2D ．[]1,35．设R A ⊆，且A ≠∅，从A 到R 的两个函数分别为()()21,35f x x g x x =+=+，若对于A 中的任意一个x ，都有()()f xg x =，则集合A 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多6．已知函数()225,1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的堿函数，则实数a 的取值范围是（）A ．0a >B ．01a <≤C ．12a ≤<D ．12a ≤≤7．若0ab >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b a b +>+C ．a b a b b a +>+D ．22a b a a b b +>+8．已知函数()()221R f x x ax a =-+∈，若非空集合(){}()(){}0,1A x f x B x f f x=≤=≤∣∣，满足A B =，则实数a 的取值范围是（）A．11⎡⎤--⎣⎦B．1⎡⎤-⎣⎦C．⎡⎣D．1,1⎡⎣二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解的一个充分条件是（）A ．1m ≤-B ．10m -<<C ．01m ≤<D ．m 1≥10．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（）A ．ab 有最大值14B．11a b +有最小值4D ．22a b+有最大值1211．已知集合{}1,1A =-，非空集合{}3210B x x ax bx =++-=∣，下列条件能够使得B A ⊆的是（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．3,3a b ==-D ．3,3a b =-=12．已知函数()2211x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在()1,+∞上单调递增B ．()f x 值域为][(),22,∞∞--⋃+C ．当0x >时，恒有()f x x>成立D ．若12120,0,x x x x >>≠，且()()12f x f x =，则122x x +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是.14．已知函数()21,,2x c f x xx x c x ⎧-≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若()f x 的值域为[]22-,，则实数c 的值是.15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有种.16．已知一块直角梯形状铁皮ABCD ，其中//AD ,90,1,3BC A AB BC AD ∠=︒===，现欲截取一块以CD 为一底的梯形铁皮CDEF ，点,E F 分别在,AD AB 上，记梯形CDEF 的面积为1S ，剩余部分的面积为2S ，则21S S 的最小值是.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知二次函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 的最小值为4a -.(1)若()51f -=，求a 的值；(2)设关于x 的方程()0f x =的两个根分别为12,x x ，求12x x -的值.18．已知全集U =R ，集合()(){}210,203x A x B x x a x a x -⎧⎫=≤=---≤⎨⎬-⎩⎭∣∣.(1)当12a =时，求()U A B ð；(2)若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()332f x x x =-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)①用定义证明函数()f x 在()0,1上是单调递减函数；②判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，请直接写出结果；(3)根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数()()R f x x ∈的图象.20．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系；()()253,0250,251x x W x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）30x 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）(1)求()f x 的解析式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？21．已知函数()()f xg x =(1)求函数()f x 的定义域和值域：(2)若a 为非零实数，设函数()()()h x f x ag x =+的最大值为()m a .①求()m a ；②确定满足()1m a m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数a ，直接写出所有a 的值组成的集合.22．已知函数()()3R af x x a x =-+∈.(1)求关于x 的不等式()()2221f x f x -->的解集，(2)若对任意的正实数a ，存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f x m ≥，求实数m 的取值范围.1．A【分析】根据给定条件求出M N ⋃，再求()U M N ð即可得解.【详解】因{}1,2M =，{}2,3N =，则{1,2,3}M N = ，而{}1,2,3,4U =，所以(){4}U M N ⋃=ð.故选：A.2．D【分析】利用函数奇偶性的判断与值域的求法，逐一分析判断各选项即可.【详解】对于A ，因为y =的定义域为[)0+∞,，所以此函数不是偶函数，故A 错误；对于B ，因为y x =≥，即y x=的值域为[)0+∞,，故B 错误；对于C ，当=1x -时，11y x ==-，显然值域不为()0,∞+，故C 错误；对于D ，因为()21y f x x ==的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且21y x =>，又()()()2211f x f x x x -===-，所以21y x =是值域为()0,∞+的偶函数，故D 正确.故选：D.3．B【分析】先化简“23x ->”和“2560x x -->”，再利用充分必要条件的定义分析判断即可得解.【详解】因为23x ->等价于1x <-或5x >，2560x x -->等价于1x <-或6x >，而{1x x <-或}5x >{1x x <-或}6x >，所以23x ->⇐2560x x -->，故“23x ->”是“2560x x -->”的必要而不充分条件.故选：B.4．B 【分析】利用()f x 的奇偶性可得()31f -=-，()00f =，再结合()f x 的单调性得到320x -≤-≤，从而得解．【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，()31f =，则()()331f f -=-=-，()00f =，所以()120f x -≤-≤可化()()()320f f x f -≤-≤，又函数()f x 在R 上单调递增，所以320x -≤-≤，解得12x -≤≤.故选：B ．5．C【分析】令2135x x +=+．解得1x =-或4x =，进而可列举出满足条件的集合A ，从而得解．【详解】因为()()21,35f x xg x x =+=+，令2135x x +=+，解得1x =-或4x =，故由题意可知{}1,4A ⊆-，且A ≠∅，则当{1}A =-，{4}A =，{}1,4A =-时，满足条件.故选：C.6．D【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】易知二次函数225y x ax =-+的对称轴为x a =，因为函数25,1(),1x ax x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，所以1125a a a a ≥⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得12a ≤≤.故选：D.7．C【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解.【详解】对于A ，()111b b b a a a a a +--=++，因为0a b >>，所以0,10b a a -<+>，所以()1b aa a -<+，即101b b a a +-<+，于是有11b b a a +<+故A 错误；对于B ，因为()()222211111a b ab a b a b b ab a a b a b a b ab ab --+++--⎛⎫+-+=-== ⎪⎝⎭，因为0a b >>，所以0,0a b ab ->>，但ab 与1的大小不确定，故不一定成立，故B 错误；对于C ，因为2222a b ab a ab b a b a ab b a b b a b a ab +++--⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭()()a b ab a b ab -++=，因为0a b >>，所以0,0,0a b ab ab a b ->>++>，所以()()0a b ab a b ab -++>，即0a b a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，于是有a b a b b a +>+，故C 正确；对于D ，因为()()()()()()222222a b b a a b b a b a a b a a b b b a b b a b +-+-++-==+++，因为0a b >>，所以0,0,20b a b a a b -<+>+>，所以()()()02b a b a b a b -+<+，即202a b a a b b +-<+，于是有22a b aa b b +<+，故D 错误.故选：C.8．A【分析】不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，从而得(){}n B x m f x ≤=≤∣，进而得到0n =且min ()0m f x ≤≤，又m ，()n m n ≤为方程()1f x =的两个根，可得2m a =，由此得到关于a 的不等式组，解之即可得解.．【详解】因为()221f x x ax =-+，不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，则由()()1f f x ≤得()m f x n≤≤，所以()(){}(){}1n B f x f f x x m x =≤=≤≤∣∣，又(){}0A x f x =≤∣，A B =≠∅，所以0n =且min ()0m f x ≤<，因为()1f x ≤的解集为[,]m n ，所以,m n 是()1f x =，即2211x ax -+=的两个根，故2m n a +=，即2m a =，此时由0m n <=，得20a <，则a<0，因为()221f x x ax =-+，显然2440a ∆=+>，且()f x开口向上，对称轴为x a =，所以()()222min 211f a a a a f x =-+=-+=，则2210a a ≤-+≤，又a<0，解得11a ≤≤-，即11a ⎡⎤∈--⎣⎦.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设()1f x ≤的解集为[,]m n ，进而得到0n =且min ()0m f x ≤<，从而得解.9．AB【分析】利用二次方程的性质，结合充分条件的性质即可得解.【详解】因为2210mx x ++=有两个实数解，当0m =时，210x +=，显然不满足题意；当0m ≠时，440m ∆=->，得1m <；综上，1m <且0m ≠，即2210mx x ++=有两个实数解等价于1m <且0m ≠，即0m <或01m <<，要使得选项中m 的范围是题设条件的充分条件，则选项中m 的范围对应的集合是{0m m <或}01m <<的子集，经检验，AB 满足要求，CD 不满足要求.故选：AB.10．ABC【分析】由已知结合基本不等式一一判断计算可得．【详解】解：因为正实数a ，b 满足1a b +=，由基本不等式可得21()24a b ab += ，当且仅当a b =时取等号，故A 正确；因为2112a b a b =++=+++=，当且仅当a b =时取等号，，故B 正确；1114a b a b ab ab ++== ，当且仅当a b =时取等号，即11a b +有最小值4，故C 正确；222()212a b a b ab ab +=+-=-，由A 可知14ab ≤，所以2212a b +≥即22a b+有最小值12，当且仅当a b =时取等号，故D 错误；故选：ABC ．11．ABD【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合B ，再利用集合关系即可判断.【详解】对于A ，方程3210x x x +--=，因式分解得()()2110x x -+=，解得1x =-或1x =，所以{}1,1B =-，满足B A ⊆，故A 正确；对于B ，方程3210x x x -+-=，因式分解得()()2110x x -+=，解得1x =，所以{}1B =，满足B A ⊆，故B 正确；对于C ，方程323310x xx +-=-，因式分解得()()21410x x x -++=，解得1x =或2x =-，所以{1,22B =--，不满足B A ⊆，故C 错误；对于D ，方程323310x x x -+-=，因式分解得()310x -=，解得1x =，所以{}1B =，满足B A ⊆，故D 正确；故选：ABD.12．ACD【分析】先判断()f x 的奇偶性，再在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x +==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断AB ；利用解析式推出1()()f f x x =，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】对于AB ，因为()2211x xf x x x +=++，则由解析式知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，又2222()11()()()11x x x x f x f x x x x x ⎛⎫-+-+-=+=-+=- ⎪--++⎝⎭，所以()f x 为奇函数，当,()0x ∈+∞时，由对勾函数性质知：1t x x =+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1y t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，所以()f x 在(0,1)x ∈上单调递减，在(1,)x ∈+∞上单调递增，且5(),2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上单调递增，在(1,0)x ∈-上单调递减，且5(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎝⎦，所以()f x 值域为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，故A 正确，B 错误；对于C ，当0x >时，()22211011x x x f x x x x x x x +-=+-=+>++恒成立，所以恒有()f x x>成立，故C 正确；对于D ，由222211111()1111x x x x f f x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时，211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点睛：对于D 选项，根据解析式推导出1()f f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而得到211x x =为关键.13．1【分析】根据命题的否定为真，转化为二次不等式恒成立，利用判别式求解.【详解】因为命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，220x x m ++>”是真命题，故2240m ∆=-<，即1m >，故1a =.故答案为：114．12-##0.5-【分析】先由反比例函数的性质分析得0c <，再由二次函数的性质确定c 的取值范围，从而结合函数图像即可得解.【详解】因为()21,,2x c f x xx x c x ⎧-≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，当0c >时，当0x c <≤时，1(1),x c f x ⎛⎤-∈-∞- ⎝=⎥⎦，不合题意；当0c =时，当0x <时，()(0,)1x f x ∈-=+∞，不合题意；所以0c <，当x c ≤时，110x c <-≤-，即()10,f x c ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，当2c x <≤时，()221124f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=-开口向下，对称轴为12x =，当2x =时，()2242f =-=-，令()2f c =-，即22c c -=-，解得1c =-或2c =（舍去），令()0f c =，即20c c -=，解得0c =或1c =，作出()f x 的大致图象，如图，因为()f x 的值域为[]22-,，所以12c -=，解得12c =-，经检验，满足题意.故答案为：12-.15．27【分析】先分析得前两天共售出的商品种类，再考虑第三天售出商品种类的情况，根据题意即可得解.【详解】由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，所以第一天售出但第二天未售出的商品有17314-=种，第二天售出但第一天未售出的商品有13310-=种，所以前两天共售出的商品有1410327++=种，第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种，所以第三天售出但第二天未售出的商品有1459-=种，因为914<，所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27.故答案为：27.16．725##0.28【分析】利用直角梯形的几何性质，求出()211232x x S =-++，从而可得21S S 的表达式，结合函数的单调性，即可得解.【详解】依题意，作CG AD ⊥于G，则2,1GD AD BC CG AB =-===，则CD =由题意知//EF CD ，则FEA D ∠=∠，而1tan 2CG D GD ∠==，sin D =；故1tan 2FEA ∠=，设(01)AF x x =<<，则2AE x =，故EF =，作EH CD ⊥于H，则)sin 32EH ED D x =⋅-，故)()()()()2111132132232522S x x x x x =⋅-=+-=-++，则()()()2221111312321222x S x x x =⨯+⨯--++=-+，故22212321S x x x S x --=+++，令223t x x =-++，则223x x t -=-+，因为01x <<，故252,8t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则213141S t S t t -++==-+，而41y t =-+在252,8⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故41y t =-+的最小值为47125258-+=，即21S S 的最小值为725.故答案为：725.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合梯形的几何性质表示出相关线段长，求出梯形CDEF 的面积表达式，即可求解答案.17．(1)49(2)4【分析】（1）利用二次函数的性质得到42b f aa ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合()51f -=得到关于,a b 的方程组，解之即可得解；（2）利用韦达定理，结合（1）中结论与完全平方公式即可得解.【详解】（1）因为二次函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 的最小值为4a -，所以0a >，则()f x 开口向上，对称轴为2b x a =-，所以42b f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即21422b b a b a a a ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22164b a a =+，因为()51f -=，即()()21155a b -++-⨯=，则5b a =，将5b a =代入22164b a a =+，得2225164a a a =+，解得49a =或0a =（舍去），所以49a =.（2）因为()0f x =，即210ax bx ++=的两个根分别为12,x x ，所以2121,b x x a a x x +=-=，所以()()22222222114144b b a x x x a a x x a x -⎛⎫-+=--⨯=⎪⎝⎭=-，由（1）可知22164b a a =+，即22164a b a =-，所以()221221616a x x a =-=，故124x x -=.18．(1)934x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2)(]{},11-∞-⋃【分析】（1）分别解出集合A 与集合B ，然后求得U B ð，进而求得()U AB ð的值；（2）由题意得A 是B 的真子集，由此列不等式组，解不等式组可求得a 的取值范围.【详解】（1）因为{}10|133x A x x x x -⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭∣，当12a =时,1190|22944B x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫=--≤=≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭∣，则{1|2U B x x =<ð或94x ⎫>⎬⎭，所以()934UB A x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭ð.（2）因为{}()(){}2|13,|20A x xB x x a x a =≤<=---≤，又()22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以22a a +>，由()()220x a x a ---≤得22a x a ≤≤+，所以{}2|2B x a x a =≤≤+，因为x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，所以A B ,所以2123a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≤-或1a =，所以实数a 的取值范围为(]{},11-∞-⋃.19．(1)3332,0()0,032,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪--<⎩(2)①证明见解析；②()f x 在[)1,+∞上单调递增(3)图像见解析【分析】（1）利用函数奇偶性，结合题设条件即可求得()f x 的解析式；（2）①利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；②在①的基本上继续判断即可；（3）利用（1）与（2）中的结论，结合()f x 的单调性与奇偶性即可作图.【详解】（1）因为当0x >时，()332f x x x =-+，所以当0x <时，0x ->，则()()()333232f x x x x x -=---+=-++，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()332f x f x x x =--=--，且()00f =，所以3332,0()0,032,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪--<⎩.（2）①设1201x x <<<，则3111()32f x x x =-+，3222()32f x x x =-+，所以3322121122121122()()(32)(32)()(3)f x f x x x x x x x x x x x -=-+--+=-++-，因为1201x x <<<，所以120x x -<，且22112201,01,01x x x x <<<<<<，则22112230x x x x ++-<，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在()0,1上是单调递减函数．②()f x 在[)1,+∞上单调递增，理由如下：当121x x >≥时，120x x ->，22112230x x x x ++->，则12()()f x f x >，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.（3）由（2）知，()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，且()10f =，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在(],1-∞-上单调递增，且()()110f f -=-=，所以()f x的图象如图，.20．(1)()210040300,021000100040,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩(2)当施用肥料为4千克时，该水果单株最大利润，最大利润为640元【分析】（1）根据题意，利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可得解.【详解】（1）依题意，当02x ≤≤时，()()203010f x W x x x=--()2220534010040300x x x x =⨯+-=-+；当25x <≤时，()()203010f x W x x x=--5010001000204040100040111x x x x x x x x =⨯-=-=--+++；所以()210040300,021000100040,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩；（2）当02x ≤≤时，()221100403001002965f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，此时由二次函数的性质可知()()max 21004402300620f x f ==⨯-⨯+=；当25x <≤时，()()10001000100040104040111f x x x x x =--=--+++1040640≤-，当且仅当()10004011x x =++，即4x =时，等号成立；综上，当施用肥料为4千克时，该水果单株最大利润，最大利润为640元.21．(1)定义域为[]0,2；值域为2⎤⎦(2)①12,02121(),22222a a a m a a a a a ⎧+≥-≠⎪⎪⎪=---<<-⎨⎪≤且；②{}212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）根据根式的概念可得()f x 定义域，再计算()22f x =+求解可得()f x 值域；（2）①令2t ⎤=⎦，设函数()22a F t t t a =-++，2t ⎤∈⎦，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论a 的取值范围，结合()m a 的解析式即可得解.【详解】（1）因为()f x =，所以020x x ≥⎧⎨-≥⎩，则[]0,2x ∈，又()222f x x x ==+-+2=+当[]0,2x ∈时，()[]2110,1x --+∈，所以()[]22,4f x ∈，又()0f x ≥，所以()2f x ⎤∈⎦；（2）依题意，得()h x =令2t ⎤=⎦，则22222t t -=+=，令()22222t a F t t a t t a -=+⋅=+-，2t ⎤∈⎦，当0a >时，此时二次函数对称轴10t a =-<<()()max 2F t F =2a =+.当a<0时，此时对称轴10t a =->，当12a -≥，即102a -≤<时，开口向下，则()()max 2F t F =2a=+；12a <-<，即2122a -<<-，对称轴1t a =-，开口向下，则()max 1F t F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12a a =--，当1a -≤22a ≤-时，开口向下，()max Ft F=综上，12,0211(),22222a a a m a a a a a ⎧+≥-≠⎪⎪⎪=---<<-⎨⎪≤且.②当0a >时，1a >，则122a a +=+，解得1a =或1a =-（舍去）；当102a -≤<时，12a≤-，则2a +=2a （舍去）；当2122a -<<-时，12a -<<12a a --=2a =（舍去）；当a ≤≤时，1a ≤≤，则()1m a m a ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当2a -<<1122a <<-12a a =--，解得a =（舍去）；当2a ≤-时，1102a -≤<12a =+，解得212a =--（舍去）；综上，1a =或22a ≤≤，即{}1a ⎡∈⎢⎣⎦ .【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解.22．(1)答案见解析(2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）依题意化简不等式得()()22320ax x x -+>，从而分类讨论即可得解；（2）由题意可得()ax 0m f x m ≥，然后分704a <≤，744a <<和4a ≥三种情况讨论()y f x =的最大值，从而可求得结果.【详解】（1）因为()()3R af x x a x =-+∈，所以由()()2221f x f x -->，得()23223122a a x x x x ⎡⎤-+---+>⎢⎥-⎣⎦，化简得2022a a x x ->-，即()()32022a x x x +>-，即()()22320ax x x -+>，当0a =时，该不等式无解，当0a >时，不等式化为()()22320x x x -+>，解得203x -<<或2x >，当a<0时，不等式化为()()22320x x x -+<，解得23x <-或02x <<，综上，当0a =时，()()2221f x f x -->的解集为∅，当0a >时，()()2221f x f x -->的解集为()2,02,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，当a<0时，()()2221f x f x -->的解集为()2,0,23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ .（2）因为对任意的正实数a ，存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f x m ≥，所以()ax 0m f x m ≥，易知当0a >时，()3af x x x =-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1()max ,12f x f f ⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且()112f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为()117232,14222f a a f a⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以()172,1422f a f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当720240a a ⎧-≥⎪⎨⎪-≥⎩，即704a <≤时，max ()4f x a =-，因为704a <≤，所以9444a ≤-<，所以94m ≤；当720240a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，即744a <<时，令7242a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，得52a =，所以()153max ,14222f f ⎧⎫⎛⎫≥-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，故32m ≤；当720240a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≤⎩，即4a ≥时，所以max 77()2222f x a a =-=-，因为4a ≥，所以79222a -≥，所以92m ≤；综上，32m ≤，所以m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论()1,12f f ⎛⎫⎪⎝⎭的正负情况，从而确定()0maxf x ，由此得解.。

2024-2025学年广州市高一数学上学期期中考试卷及答案解析

天天向上联盟联考高一年级数学学科试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1. 已知集合{N |25}A x x =∈-≤≤，{2,4,6}B =，则A B = （）A. {0,1,2,3,4,5,6} B. {1,2,3,4,5,6}C. {2,4} D. {|26}x x -≤≤【答案】A 【解析】【分析】利用自然数集N 的定义化简集合A ，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{}{N |25}0,1,2,3,4,5A x x =∈-≤≤=，又{2,4,6}B =，所以{0,1,2,3,4,5,6}A B = .故选：A.2. 命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A. 01x ∃≤，2000x x -≤ B. 1x ∀>，20x x -≤C. 01x ∃>，2000x x -≤ D. 1x ∀≤，20x x -≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”为全称量词命题，其否定为：01x ∃>，2000x x -≤.故选：C3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是A. y =B. 21y x =-+C. 3y x =D. 1y x =+【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义,奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于,A y =定义域为[)0,∞+，不关于原点对称，y ∴=A 错误；对于2,1B y x =-+ 是偶函数，但是(0,+∞)是减函数，选项B 错误；对于3,C y x = 是奇函数，选项C 错误；对于(),1D y f x x ==+ 的定义域为R ，满足()()f x f x -=，1y x ∴=+是偶函数，且在(0,+∞)是递增的，选项D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性，属于基础题.4. 给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（）A. :,()f A B y f x →= B. :,()f B A y f x →=C. :,()f A B x f y →= D. :,()f B A x f y →=【答案】B 【解析】【分析】ACD 选项，可举出反例；B 选项，利用函数的定义作出判断.【详解】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B5. “不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A. 12m >B. 01m << C. 14m >D. 1m >【答案】C 【解析】【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，所以“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2>0140m m ⎧⎨∆=-<⎩，解得12m >.A 选项是充要条件，不成立；B 选项中，12m >不可推导出01m <<，B 不成立；C 选项中，12m >可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14m >是12m >的必要不充分条件，正确；D 选项中，1m >可推导1>2m ，且1>2m 不可推导1m >，故>1m 是12m >的充分不必要条件，D 不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．6. 已知0,0a b >>，且121a b +=，则2112a b +--的最小值为（）A. 2B.C.D. 1+【答案】A 【解析】【分析】由121a b+=得02ba b =>-，得到2b >，进而12012b a -=>-，所以()2112122b a b b +=-+---，由均值不等式求得最小值.【详解】因为0,0a b >>且121a b+=，所以1221b a b b -=-=，所以02ba b =>-，所以2b >，所以()22110222b b b a b b b ---=-==>---，所以12012b a -=>-，所以()21122122b a b b +=-+≥=---，当且仅当122b b -=-即3b =时，等号成立，所以2112a b +--的最小值为2，故选：A.7. 定义在(0,+∞)上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()36f =，则不等式()2f x x>的解集为（）A. ()3,+∞B. ()0,3C. ()0,2D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可.【详解】令()()f x g x x=，因为对()120,x x ∞∀∈+、，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()1212f x f x x x <，即()()12g x g x <，所以()g x 在(0,+∞)上单调递增，又因为()36f =，所以()()3323f g ==，故()2f x x>可化为()()3g x g >，所以由()g x 的单调性可得3x >，即不等式()2f x x>的解集为3x >.故选：A.8. 已知函数()221f x x x =-+，若[)2,x ∃∈+∞对[]1,1a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，则实数m 的取值范围为（）A. ()3,1-B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,3-【答案】B 【解析】【分析】分析可知，()min 22f x m am <-+，可得出210am m --≤对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()21g a am m =--，由题意可得出()()1010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，即可求得实数m 的取值范围.【详解】因为函数()221f x x x =-+，则函数()f x 在[)2,+∞上为增函数，因为[)2,x ∞∃∈+对[]1,1a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，则()2221m am f -+>=，即210am m --<对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()21g a am m =--，则()()1310110g m g m ⎧-=--<⎪⎨=-<⎪⎩，解得113m -<<，因此，实数m 的取值范围是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 若0a b >>且0c ≠，则下列不等式正确的是（）A. 33a b > B.11a b< C.a a cb b c+<+ D. 22ac bc >【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断ABD ，利用作差法即可判断C.【详解】对于AB ，因为0a b >>，所以33a b >，11a b<，故AB 正确；对于C ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==+++，当2,1,2a b c ===-时，()()20c a b b b c -=>+，此时a a cb b c+>+，故C 错误；对于D ，因为0c ≠，所以20c >，又0a b >>，所以22ac bc >，故D 正确.故选：ABD.10. 我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{|S A x x S =∈ð且}x A ∉，类似地，对于集合,A B 我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉，叫作集合A 和B 的差集，记作A B -，例如：{}{}1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则有{}{}1,2,3,6,7,8A B B A -=-=，下列解答正确的是（）A. 已知{}{}4,5,6,7,9,3,5,6,8,9A B ==，则{}378B A -=,,B. 已知{|1A x x =<-或}{}3,|24x B x x >=-≤<，则{|2A B x x -=<-或x ≥4}C. 如果A B ⊆，那么A B -=∅D. 已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则()U A B A B -= ð【答案】BCD 【解析】【分析】依题意根据A B -的定义可知，可先求出A B ⋂，再求出其以A 为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论.【详解】根据差集定义B A -即为{|x x B ∈且}x A ∉，由{}{}4,5,6,7,9,3,5,6,8,9A B ==，可得{}3,8B A -=，所以A 错误；由定义可得A B -即为{|x x A ∈且}x B ∉，由{|1A x x =<-或}{}3,|24x B x x >=-≤<，可知{|2A B x x -=<-或x ≥4}，即B 正确；若A B ⊆，那么对于任意x A ∈，都满足x B ∈，所以{|x x A ∈且}x B ∉=∅，因此A B -=∅，所以C 正确；易知{|A B x x A -=∈且}x B ∉在图中表示的区域可表示为()A A B ð，也即()U A B ∩ð，可得()U A B A B -= ð，所以D 正确.故选：BCD11. 已知函数()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列说法正确的是（）A. ()164f =B. 关于x 的方程()()*21nf x n =∈N 有23n +个不同的解C. ()f x 在[]()*2,21n n n +∈N上单调递减D. 当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤恒成立.【答案】ACD 【解析】【分析】求()6f 的值判断选项A ；当1n =时验证结论是否正确去判断选项B ；由()f x 在[]()*2,21n n n +∈N 上的解析式去判断选项C ；分析法证明不等式去判断选项D.详解】选项A ：()()()1111642(10)2444f f f ===-=.判断正确；选项B ：画出()f x 部分图像如下：当1n =时，由()21f x =，可得131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩或311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩由131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩，可得52x =或32x =；由311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得4x =即当1n =时，由()21f x =可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；选项C ：当*3()n k k =∈N 时，[][]2,216,61n n k k +=+，若[]2,21x n n ∈+即[]6,61x k k ∈+，则()[]622,3x k --∈则()()[]313131111621(6)(16)222k k k f x f x k x k x k ---=-+=--=-++，为减函数；当31()n k k =+∈N 时，[][]2,2162,63n n k k +=++若[]2,21x n n ∈+即[]62,63x k k ∈++，则[]62,3x k -∈则()()[]33311161(62)(36)222k k k f x f x k x k x k =-=---=-++，为减函数；当32()n k k =+∈N 时，[][]2,2164,65n n k k +=++若[]2,21x n n ∈+即[]64,65x k k ∈++，则[]622,3x k --∈则()()[]313131111621(64)(56)222k k k f x f x k x k x k +++=--=---=-++，为减函数；综上，()f x 在[]()*2,21n n n +∈N上单调递减. 判断正确；【选项D ：当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤可化为2()f x x≤，同一坐标系内做出2y x=与()f x 的图像如下：等价于()*11222n n n -≤∈N 即()*1112n n n-≤∈N ，而()1*2n n n -≥∈N 恒成立. 判断正确.故选：ACD【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分12.函数()f x =的定义域为____________．【答案】[)()2,33,⋃+∞【解析】【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.【详解】()f x =20x -≥且||30x -≠，解得2x ≥且3x ≠.故答案为：[)()2,33,∞⋃+13 已知幂函数()2233m m y m x+-=-单调递减，则实数m =_________.【答案】2-【解析】【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解..【详解】因为幂函数()2233m m y m x+-=-单调递减，所以223130m m m ⎧-=⎨+-<⎩，解得2m =-故答案为：2-14. 已知()()()222f x x xxax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___.【答案】15-【解析】【分析】列方程组解得参数a 、b ，得到()f x 解析式后，即可求得()3f 的值.【详解】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩则()()()22268f x x xx x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 集合{}2620A x x x =--+>，{}2560B x x x =-+≥．（1）求A B ，()R A B ⋂ð；（2）若集合{}21C x m x m =<<-，C B ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）{3x x ≥或}2x ≤，{3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）1m ≥-.【解析】【分析】（1）先求出集合A 、B ，再根据集合的交并补运算即可求解；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解.【详解】解：（1）因为{}{}222162062032A x x x x x x x x ⎧⎫=--+>=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2560B x x x =-+≥={3x x ≥或}2x ≤，.12R A x x ⎧=≥⎨⎩ð或23x ⎫≤-⎬⎭，所以A B = {3x x ≥或}2x ≤，()R A B = ð{3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）当C =∅时，显然C B ⊆，此时21m m ³-，即13m ≥；当C ≠∅时，由题意有2123m m m <-⎧⎨≥⎩或2112m m m <-⎧⎨-≤⎩，解得113m -≤<，综上，1m ≥-.16. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．（1）求出当0x >时，()f x 的解析式；（2）如图，请补出函数()f x 的完整图象，根据图象直接写出函数()f x 的单调递减区间；（3）结合函数图象，求当[]3,1x ∈-时，函数()f x 的值域．【答案】（1）()22f x x x =-+ （2）函数图象见解析，()f x 的单调递减区间为：(][),1,1,-∞-+∞（3）[]1,3-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求解，（2）根据奇函数图象关于原点对称即可作出图象，进而可得单调区间，（3）结合函数图象以及单调性，即可求解.【小问1详解】依题意，设0x >，则0x -<，于是()22()22f x x x x x -=--=-，因为()f x 为R 上的奇函数，因此()()22f x f x x x =--=-+，所以当0x >时，()f x 的解析式()22f x x x =-+．【小问2详解】由已知及（1）得函数()f x 的图象如下：观察图象，得函数()f x 的单调递减区间为：(][),1,1,∞∞--+．【小问3详解】当[]3,1x ∈-时，由（1），（2）知，函数()f x 在[]3,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，当=1x -时，()f x 有最小值()()21(1)211f -=-+⨯-=-，当3x =-时，()f x 有最大值()()23(3)233f -=-+⨯-=，而当1x =时，有()11f =，所以，当[]3,1x ∈-时，函数()f x 的值域为[]1,3-17. 已知函数()121x a f x =+-为奇函数，其中a 为常数．（1）求()f x 的解析式和定义域；（2）若不等式()222(2)f x x f ++>成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠；（2）20x -<<【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和分式的定义求解即可；（2）根据函数单调性列不等式求解即可.【小问1详解】由分式的定义可知210x -≠即0x ≠，又因为()121x a f x =+-为奇函数，()2112112x x x a a f x --=+=+--，所以()()()1222021x x a f x f x a -+-=+=-+=-，解得2a =，所以()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠.【小问2详解】因为()2222110x x x ++=++>，当0t >时，210t y =->，且单调递增，所以()2121t f t =+-单调递减，若不等式()222(2)f x x f ++>成立，则2222x x ++<，即()20x x +<，解得20x -<<.18. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为q F x=，x 为道路密度，q 为车辆密度，()10045,040,7120,4080.8x a x F f x x x ⎧-⋅<<⎪==⎨-+≤≤⎪⎩已知当道路密度2x =时，交通流量95F =，其中0a >．（1）求a 的值；（2）若交通流量95F >，求道路密度x 的取值范围；（3）求车辆密度q 的最大值．【答案】（1）13a =（2）()2,40（3）288007【解析】【分析】（1）由题，待定系数解方程21004595a -⋅=即可得答案；（2）根据题意，解不等式95F >即可得答案；（3）由题知2110045,04037120,40808x x x q F x x x x ⎧⎡⎤⎛⎫-⋅⋅<<⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，进而分段研究最值即可得答案；【小问1详解】解：依题意，21004595a -⋅=，即219a =，故正数13a =,所以，a 的值为13.【小问2详解】解：当4080x ≤≤时，()71208F x f x -+==单调递减，F 最大为()4085f =，故95F >的解集为空集；当040x <<时，由110045953x⎛⎫-⋅> ⎪⎝⎭，解得2x >，即402x >>所以，交通流量95F >，道路密度x 的取值范围为()2,40．【小问3详解】解：依题意，2110045,04037120,40808x x x q F x x x x ⎧⎡⎤⎛⎫-⋅⋅<<⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，所以，当040x <<时，1004000q x <⋅<；当4080x ≤≤时，2748028800288008777q x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，由于48040807<<，所以，当4807=x 时，q 取得最大值288007．因为2880040007>，所以车辆密度q 的最大值为288007．19. 若存在常数k ，b 使得函数()F x 与()G x 在给定区间上任意实数x 都有()()F x kx b G x ≥+≥，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的隔离直线函数．已知函数211()1,()12f x x x g x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．（1）证明：函数()y g x =在区间(0,)+∞上单调递增．（2）当0x >时，()y f x =与()y g x =是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．的【答案】（1）证明见解析（2）存在；y x=【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明结论；（2）求出(),()f x g x 的图象的交点，设y =f (x )与y =g (x )是存在隔离直线函数y kx b =+，可得1y kx k =+-，利用()f x kx b ≥+可求出k 的值，结合证明(),(0)g x x x ≤>，即可得出结论.【小问1详解】任取()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()121212111122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212211212111111222x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=-+-=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，由()1212,0,,x x x x ∞∈+<，则120x x -<，120x x >，故12121102x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()()()12120,g x g x g x g x -<∴<，故函数()y g x =在区间(0,)+∞上单调递增．【小问2详解】当0x >时，y =f (x )与y =g (x )存在隔离直线函数；令()()f x g x =，即211112x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即211022x x x x --+=，即3223102x x x -+=，即()()21210x x -+=，解得1x =或12x =-，由于0x >，故舍去12x =-；当1x =时，()()1f x g x ==，即(),()y f x y g x ==有公共点(1,1)，设y =f (x )与y =g (x )存在隔离直线函数y kx b =+，则点(1,1)在隔离直线函数y kx b =+上，则1k b +=，即1b k =-，则1y kx k =+-；若当0x >时有()f x kx b ≥+，即()211x x kx k -+≥+-，则()210x k x k -++≥(0,)+∞上恒成立，即(1)()0x x k --≥，由于1(0,)∈+∞，故此时只有1k =时上式才成立，则10b k =-=，下面证明(),(0)g x x x ≤>，令()11111022y g x x x x ⎛⎫=-=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭，即()0y g x x =-≤，故()g x x ≤，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，所以1y kx k =+-，即y x =为y =f (x )与y =g (x )的隔离直线函数.在。

江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含解析)

20．已知 f 2x 1 3ax4 5 （ a 0 且 a 1）．
（1）求函数 y f x 的解析式，并写出函数 y f x 图象恒过的定点；
（2）若
f
x
3 a2
5
，求
x
的取值范围．
21．已知二次函数 f x x2 ax ba,b R .
(1)若 f 2 0 ，且对于 x R ， f 1 x f 1 x 恒成立，求 a ， b 的值；
v0 1 2 3
Q 0 0.7 1.6 3.3
为描述该超级块艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
Q av3 bv2 cv， Q 0.5v a .
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.
C．若 a b 0 ，则 a2 ab b2
D．若
a
b
0
，则
1 a
1 b
11．已知 f x 是 R 上的偶函数，且在0, 上是单调减函数，则满足不等式
f 2t 1 f t 2 的所有整数 t 的值为（）
A． 2
B． 1
C．0
D．1
12．已知 f x 、 g x 都是定义在 R 上的函数，且 f x 为奇函数， g x 的图像关于直
所以若要 7 m 5 2m ，则 m Î [- 1, 2]，
63
也即函数 f x 的值域为 R 时，
则实数 m 的取值范围为： m Î [- 1, 2]，
故选：D.
8．A
【分析】先根据题意得到
1 y
1 x
2
，从而得到
y
1 y

2024学年山西省朔州市怀仁市九中高一上学期期中考数学试题及答案

山西省朔州市第九中学高中部2023-2024学年高一上学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题（每题4分，共48分）1. 命题“有实数解”的否定是（）A. 无实数解B. 有实数解C. 有实数解D. 无实数解2. “”是“”的（）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集，则实数m的取值范围为（）A. {m|2<m≤3}B. {m|2≤m<3}C. {m|2≤m≤3}D. {m|2<m<3}4. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 下列语句不是存在量词命题的是（）A. 至少有一个x，使成立B. 有的无理数的平方不是有理数C. 存在，是偶数D. 梯形有两边平行6. 已知集合，，，则（）A. B. C. D. 或7. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（）A. B.C. D.8. 若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.9. 下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 存在一条直线与已知直线不平行C. 对任意实数，若，则D. 存在两个全等的三角形的面积不相等10. 若正数满足，则的最小值是（）A. 4B. 6C. 8D. 1011. 对于集合，定义：且，若，则（）A. B. 或C. 或D. 或12. 下列命题是全称量词命题的是（）A. 存在一个实数的平方是负数B. 每个四边形的内角和都是360°C. 至少有一个整数，使得是质数D. ，二、填空题（共22分）13.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________.14. 已知，则“”是“”的________条件．15. 已知正实数满足，则的最小值为___________.16. 已知集合，则的子集的个数为___________.17.某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中______；______；______.三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）18. 已知集合，，R.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.19. 写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．（1），；（2）p：不论m取何实数，关于x方程必有实数根；（3）p：有的平行四边形的对角线相等；（4）p：等腰梯形的对角线互相平分．20. 已知集合，且.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.21. 已知函数.（1）证明区间上单调递减；（2）已知，在上值域是，求，的值.22.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10c m（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？山西省朔州市第九中学高中部2023-2024学年高一上学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题（每题4分，共48分）1. 命题“有实数解”的否定是（）A. 无实数解B. 有实数解C. 有实数解D. 无实数解【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．故选:D．2. “”是“”的（）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为或，又时，不能得出；时，不能得出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选: D.3. 已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集，则实数m的取值范围为（）A. {m|2<m≤3}B. {m|2≤m<3}C. {m|2≤m≤3}D. {m|2<m<3}【答案】A【解析】【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A的元素个数，再求m的取值范围.【详解】因为A有8个子集，所以集合A中含有3个元素，则2<m≤3.故选: A.4. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.【详解】由特称命题的否定的概念知，“，”的否定为：，．故选：B．5. 下列语句不是存在量词命题的是（）A. 至少有一个x，使成立B. 有的无理数的平方不是有理数C. 存在，是偶数D. 梯形有两边平行【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义与性质,判断即可.【详解】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．故选：D.6. 已知集合，，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】根据，可得，分情况讨论即可得解.【详解】由，可得，当时，，此时，不成立；当时，，此时，成立；当时，（舍）或，此时，不成立，综上所述，，故选：C.7. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由“，”为假命题，可得“”，，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.【详解】若“，”为假命题，所以“”，，为真命题，所以A，B，D不正确，排除A，B，D．故选：C．8. 若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；对于B，，无法判断，故B错误；对于C，因为，，故C正确；对于D，因为，故，即，故D错误．故选：C．9. 下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 存在一条直线与已知直线不平行C. 对任意实数，若，则D. 存在两个全等的三角形的面积不相等【答案】D【解析】【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断.【详解】A､C项是全称量词命题，；B项是存在量词命题，是真命题；因为全等的三角形的面积一定相等，所以存在两个全等三角形的面积不相等是存在量词命题，且为假命题，故选：D.10. 若正数满足，则的最小值是（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求最小值．【详解】，当且仅当，即时等号成立，所以最小值是8.故选：C．11. 对于集合，定义：且，若，则（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】根据给的定义分别求解,进而可求解.【详解】，则，或.故选：D12. 下列命题是全称量词命题的是（）A. 存在一个实数的平方是负数B. 每个四边形的内角和都是360°C. 至少有一个整数，使得是质数D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的定义分析判断.【详解】对于ACD，均为存在量词命题，对于B中的命题是全称量词命题.故选：B二、填空题（共22分）13. 深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________.【答案】10【解析】【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可.【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人，只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图，则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为人，故答案为：1014. 已知，则“”是“”________条件．【答案】充分【解析】【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为，所以当时，则，所以“”是“”的充分条件．故答案为：充分15. 已知正实数满足，则的最小值为___________.【答案】##1.8【解析】【分析】由得，然后由“1”的代换，利用基本不等式求得最小值．【详解】正实数满足，所以，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：．16. 已知集合，则的子集的个数为___________.【答案】【解析】【分析】先求出两集合的交集，再利用公式可求出的子集的个数.【详解】因为，所以，所以的子集的个数为.故答案为：417.某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中______；______；______.【答案】①. 9 ②. 8 ③. 10【解析】【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可.【详解】由题意得，则，解得，故答案为：9，8，10三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）18. 已知集合，，R.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【小问1详解】若，则，解得，即实数取值范围【小问2详解】由题知，，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，即，解得.即实数a的取值范围是.19. 写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．（1），；（2）p：不论m取何实数，关于x的方程必有实数根；（3）p：有的平行四边形的对角线相等；（4）p：等腰梯形的对角线互相平分．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；【解析】【分析】对（1）（3）由存在性命题的否定求解，并判断真假；对（2）（4）根据全称命题的否定求解，并判断真假即可.【小问1详解】（1）因为，，所以命题p的否定：，．显然当时，，，命题p的否定为真命题；【小问2详解】因为p：不论m取何实数值，关于x的方程必有实数根；所以命题p的否定：存在实数m，关于x的方程没有实数根．当时，方程有实根，当时，方程的判别式，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题；【小问3详解】p：有的平行四边形的对角线相等，命题p的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等，则命题p是真命题，命题p的否定是假命题；【小问4详解】p：等腰梯形的对角线互相平分，命题p的否定：存在一个等腰梯形，它的对角线不互相平分，命题p为假命题，命题p的否定是真命题．20. 已知集合，且.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据即可根据集合的包含关系求解，（2）将问题转化成，进而求解的情况，即可求解不为空集的情况.【小问1详解】由于“”是真命题，所以，而，所以，解得，故的取值范围为.【小问2详解】因为，所以，得.由为真，得，当时，或，得，因为，所以当时，当时，，故的取值范围为.21. 已知函数.（1）证明在区间上单调递减；（2）已知，在上的值域是，求，的值.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）可得函数在上为减函数，即可得到方程组，解得即可.【小问1详解】证明：，，且，则.因为，所以，则，即，所以在区间上单调递减.【小问2详解】解：由（1）可知，在上为减函数且，所以，，解得或（舍去），所以，.22.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为cm，所以阴影部分的面积，所以，又，故，由图可知cm，cm.海报纸的周长为cm.故海报纸的周长为900 cm.【小问2详解】由（1）知，，，，当且仅当，即cm，cm时等号成立，此时，cm，cm.故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.。

高一上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高一年级第一学期期中考试数学试卷考试时间120分钟，满分150分。

卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A= （）A. B. C. D.2.若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A. B. C. D.3.函数y=的图象是（）A. B. C. D.4.幂函数在时是减函数，则实数m的值为A. 2或B.C. 2D. 或15.若函数y=f（x）的定义域是（0，4]，则函数g（x）=f（x）+f（x2）的定义域是（）A. B. C. D.6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.7.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）表达式是（）A. B. C. D.8.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|lg x|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=，且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.若在区间上递减，则a的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=则函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为（）A. 1B. 3C. 4D. 6卷Ⅱ(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.方程的一根在内，另一根在内，则实数m的取值范围是______．14.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是______ ．15.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______ ．16.已知函数的定义域为D，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，18-22题12分）17.计算下列各式的值：（1）（2）．18.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数，且．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集．20.已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）＋f（2x－1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力度，某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察，发现该厂产生的废气经过过滤排放后，过滤过程中废气的污染物数量千克/升与时间小时间的关系为，如果在前个小时消除了的污染物，（1）小时后还剩百分之几的污染物（2）污染物减少需要花多少时间（精确到小时）参考数据：22.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．第一学期期中考试高一年级数学试卷答案1.【答案】A解：因为A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，则C B A=[3，+∞) ,故选A．2.【答案】C解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．3.【答案】B解：函数y=是奇函数，排除A，C；当x=时，y=ln＜0，对应点在第四象限，排除D.故选B．4.【答案】B解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m =-1，故选B．5.【答案】A解：∵函数f(x)的定义域为(0,4],∴由,得,即0＜x≤2,则函数g(x)的定义域为(0,2],故选:A.6.【答案】C解：∵函数f（x）=e x+4x-3在R上连续，且f（0）=e0-3=-2＜0，f（）=+2-3=-1=-e0＞0，∴f（0）f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x-3的零点所在的区间为（0，）.故选C．7.【答案】D解：设x＜0，则-x>0，∵当x≥0时，，∴f（-x）=-x（1+）=-x（1-），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）=x（1-），故选D．8.【答案】D解：∵函数f（x）为奇函数，若f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f（x-2）≤1，∴f（1）≤f（x-2）≤f（-1），∴-1≤x-2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1，3].故选D．9.【答案】C解：因为f（a）=f（b），所以|lg a|=|lg b|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．10.【答案】D解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选D．11.【答案】A解：令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lg u，配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．12.【答案】C解：令f（x）=1，当时，,解得x1=-，x2=1，当时，,解得x3=5，综上f（x）=1解得x1=-，x2=1，x3=5，令g（x）=f[f（x）]-1=0，作出f(x)图象如图所示：由图象可得当f（x）=-无解，f（x）=1有3个解，f（x）=5有1个解，综上所述函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为4，故选C.13.【答案】(1,2)解：设f(x)=x2-2mx+m2-1，则f(x)=0的一个零点在(0,1)内，另一零点在(2,3)内．∴，即，解得1<m<2．故答案为(1,2).14.【答案】[-1，0）解：作出函数的图象如下图所示，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得-1≤m＜0．故答15.案为[-1，0）．【答案】．解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m-5．∴m的取值范围是．故答案为：．．利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16.【答案】[5，+∞）解：函数的定义域为：x≤2，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，令t=≥0，可得2x=4-t2，所以f（t）=5-t2-t，是开口向下的二次函数，t≥0，f（t）≤5，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是：m≥5．故答案为：[5，+∞）．求出函数的定义域，利用换元法结合函数的性质，求解实数m的取值范围．本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，函数恒成立体积的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：（1）原式===；-----------（5分）（2）原式===log39-9=2-9=-7．----（10分）18.【答案】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，----（1分）则A∪B={x|-2＜x≤7}，----（3分）又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|-2＜x＜1}；----（5分）（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，----（7分）②当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得-1＜m＜，----（11分）综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．----（12分）19.【答案】解：（1），若要式子有意义，则,即，所以定义域为. ----（4分）（2）f(x)的定义域为，且所以f(x)是奇函数. ----（8分）（3）又f(x)>0，即，有.当时，上述不等式,解得. ----（12分）20.【答案】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即，则b=1，经检验，当b=1时，是奇函数，所以b=1；----（3分）（2），f（x）在R上是减函数，证明如下：在R上任取，，且，则，因为在R上单调递增，且，则，又因为，所以，即，所以f（x）在R上是减函数； ----（7分）（3）因为，所以，而f（x）是奇函数，则，又f（x）在R上是减函数，所以，即在上恒成立，令，，，，因为，则k<-1.所以k的取值范围为. ----（12分）21.【答案】解：（1）由已知，∴，当时，，故小时后还剩的污染物. ----（5分）（2）由已知，即两边取自然对数得：，∴，∴污染物减少需要花32小时. ----（12分）22.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；----（3分）（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；----（7分）（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．----（12分）2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试题说明:本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共三个大题，22个小题。

浙江省金华市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

金华2023学年第一学期期中考试高一数学试题卷（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知{}{}1,2,2,3P Q ==，若{},M x x P x Q =∈∉，则M =（）A.{}1 B.{}2 C.{}3 D.{}1,2,3【答案】A 【解析】【分析】由集合M 中元素的特征，对元素进行判断.【详解】1P ∈且1Q ∉，则1M ∈；2P ∈且2Q ∈，则2M ∉，所以{}1M =.故选：A2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.3.已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.}{1a a ≤-B.}{13a a -<<C.}{13a a -≤≤ D.}{31a a -<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得21Δ(1)4202a =--⨯⨯<，解不等式即可求出答案.【详解】因为命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以21Δ(1)4202a =--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选：B ．4.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D5.某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了a km ，觉得有点累，休息后沿原路返回b km （b a <）.想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s 与时间t 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同确定函数图象即可．【详解】第一段时间，该生骑车为直线方程形式，单调递增．第二段实际休息，此时距离起点的距离不变，此时休息期间为常数，然后原路返回，此时距离减小，为递减函数，然后调转车头继续前进，此时距离逐步增加，所以图象C 合适．故选：C ．6.某食品加工厂生产某种食品，第一个月产量为100kg ，第二个月的增长率为a ，第三个月的增长率为b ，这两个月的平均增长率为x ，（a b x ，，均大于零），则（）A.2a bx += B.2a b x +≤C.2a bx +>D.2a bx +≥【答案】B 【解析】【分析】计算出两种方式增长的第三年的产量，从而构建a b x ，，的等式，再利用基本不等式计算a b x ，，的不等关系.【详解】第二个月的增长率为a ，第三个月的增长率为b ，则第三个月的产量为()()1001+1kg a b +这两个月的平均增长率为x ，则第三个月的产量为()21001kg x +所以()()()21001+11001a b x +=+，计算可得1x +=11122a b a b++++≤=+所以2a bx +≤，当且仅当a b =时取得等号.故选：B.7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x R ≥∈．A.若()f a b ≤，则a b≤ B.若()2b f a ≤，则a b≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b≥【答案】B 【解析】【详解】可设2(0)(){2(0)x x x f x x -≥=<，则f （x ）满足题意.易知(1)25=5,f =≤-但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f ，=≥但2＜3,排除C.(2)42=221,f -=≥-<，但排除D.故选B.8.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<时，方程220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列结论正确的是（）A.2log 42= B.lg101= C.3log 232= D.ln e 1-=【答案】ABC 【解析】【分析】根据对数的性质，逐项判断即可得出结果.【详解】根据对数的性质可知，2log 42=，lg101=，3log 232=，ln e 1-=-，故ABC 正确；D 错误.故选：ABC.10.下列命题中，正确的是（）A.若22a bc c<，则a b <B.若ac bc >，则a b >C.若a b <，那么11a b>D .已知,a b c d <<，则a c b d+<+【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式性质逐项判断，或取特值验证即可.【详解】A 选项：由22a b c c<可知0c ≠，所以20c >，故2222a b c c c c ⨯<⨯，即a b <，A 正确；B 选项：当0c <时，10c<，所以11ac bc c c ⨯<⨯，即a b <，B 错误；C 选项：取2,3a b =-=，满足a b <，但1123<-，即11a b <，C 错误；D 选项：由不等式可加性可知D 正确.故选：AD11.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=⋅⋅⋅，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A.0k <B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是15小时【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，求得101e 2k=，进而可得0k <，可判断A ；利用单调性可判断B ；计算10e k b +可判断C ；计算30e k b +可判断D.【详解】对于A ，由题可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，则201e 4k =，故101e 2k=，所以100k <，则0k <，A 正确；对于B ，由A 可知，y kx b =+在R 上是减函数，且e x y =在R 上是增函数，所以e kx b y +=在R 上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B 错误；对于C ，由A 可知，10101ee e 120602k bk b +=⨯=⨯=小时，C 正确；对于D ，由A 可知，330301e ee 120152k bkb+⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭小时，D 正确.故选：ACD.12.已知函数()f x 满足对任意,,()()2()2()x y f x y f x y f x f y ∈++-=+R 恒成立，则（）A.(0)0f =B.(3)9(1)1f f =+C.64(1)(8)f f =- D.函数(3)f x -的图象关于直线3x =对称【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值法得到()()0,1f f 等的值，进而得到函数()f x 的性质，逐一判断即可【详解】对于A ：令0x y ==，得(0)(0)2(0)2(0)f f f f +=+，则(0)0f =，所以A 正确；对于B ：令1x y ==，则()()241f f =，令2,1x y ==，得()()()()312221f f f f +=+，即()()391f f =，所以B 错误；对于C ：令0x =，得()()2()f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，令2x y ==，得()()()()4042161f f f f +==，令4x y ==，得()()()()8044641f f f f +==，又()f x 为偶函数，所以()()()88641f f f -==，C 正确；对于D ：由C 可知()f x 为偶函数，所以()3f x -为()f x 向右平移3个单位得到，此时关于直线3x =对称，D 正确，故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()2log 11x +=，则实数x 的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算可得解.【详解】由()2log 11x +=，可得()22log 1log 2x +=，12x ∴+=，解得1x =.故答案为：1.14.已知正实数x ，y 满足：11x y +=，则xy的最大值为______.【答案】14【解析】【分析】利用不等式()214ab a b ≤+，直接计算即可.【详解】2111144x x x y y y ⎛⎫=⨯≤+= ⎪⎝⎭，当且仅当112x y ==，即1,22x y ==时取得等号；故x y 的最大值为14；故答案为：14.15.若1a >，且不等式()40x a x a ⎛-⎫⎪⎝⎭-<的解集中有且仅有四个整数，则a 的取值范围是_______．【答案】(]4,5【解析】【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而求出结果.【详解】不等式()40x a x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭-<，当12a <<时，4a a <，不等式的解集为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数为2,3,4,5，则456a <≤，此时2435a ≤<，与12a <<矛盾；当2a =时，4a a=，不等式的解集为∅，不符合题意；当2a >时，42a a >>，不等式的解集为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数可能为2,3,4,5或1,2,3,4，当这四个整数为2,3,4,5时，则56a <≤且412a≤<，无解，当这四个整数为1,2,3,4时，则401a<<且45a <≤，解得45a <≤，综上可知，实数a 的取值范围是(]4,5．故答案为：(]4,5．16.已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】【详解】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a <综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设集合2{|320}A x x x =-+=，非空集合()22{|150}B x x a x a =+-+-=.（1）若{2}A B = ，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a =-或1a =（2）{}3a a =-【解析】【分析】（1）由2B ∈，代入后解方程并检验是否满足题意．（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，再根据集合包含关系分类求解．【小问1详解】由题意得{}2320{1,2}A xx x =-+==∣，{2}A B ⋂= ，2B ∴∈222(1)250a a ∴+-⨯+-=即242250a a +-+-=化简得：2230a a +-=(3)(1)0a a +-=解得：3a =-或1a =，检验：当3a =-，{}{}24402B x x x =-+==，满足{2}A B = 当1a =，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{2}A B = ，3a ∴=-或1a =【小问2详解】A B A ⋃=，故B A ⊆，①当B 为单元素集，则Δ0=，即()22(1)450a a ---=，得73a =或3a =-，当73a =，23B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭不含题意，舍；当3a =-，{2}B A =⊆符合.②当B 为双元素集，则{,2}1B A ==，则有2121125aa +=-⎧⎨⨯=-⎩，无解，综上：实数a 的取值范围为{}3a a =-18.化简或计算下列各式：（1）411111336642263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）已知lg 2,lg 3a b ==，用a ，b 表示312log 5（3）已知11224a a-+=，求1a a --的值．【答案】（1）553124a b （2）311a b-+（3）±【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质直接求得答案；(2)利用对数的运算性质以及换底公式将312log 5化为lg 2和lg 3表示的形式，则答案可得；(3)先求114a a -+=，再求1122a a --=±，最后利用平方差公式求1a a --的结果.【小问1详解】()4111411111511533663264363421226263=43a b a b a b a b a b +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--÷-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】()3333333125345122512log log log log log log log 5=-=⨯-=+-10lglg lg 5lg lg 1lg 23lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3222211212121-==-+-+-=+-=+，又lg 2,lg 3a b ==，所以31231log 15a b-=+；【小问3详解】211122242a a a a --⎛⎫== ++⎝⎭+⎪，所以114a a -+=，211122212a a a a --⎛⎫=+⎝-⎭-=⎪，所以1122a a --=±，111112222a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=± ⎪+ ⎪⎝⎭=-⎭⎝.19.已知函数()()()12,2x f x g x x x a +=-=（1）解不等式()4xf x >；（2）求()f x 在区间[)1,-+∞上的值域；（3）对任意[)11,x ∈-+∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，求a 的取值范围【答案】（1）(,1)-∞（2）[1,)+∞（3）34a ≤【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式即可；（2）根据指数函数的单调性求值域；（3）由题意转化为()g x 的值域包含()f x 的值域，根据二次函数分类讨论求解即可.【小问1详解】由题意，()4xf x >，即可得124x x +>，即22x >，解得1x <，即不等式的解集为(,1)-∞.【小问2详解】因为()12x f x +=为增函数，所以[)1,x ∈-+∞时，110()221f x -+≥==，即函数的值域为[1,)+∞.【小问3详解】由（2）知，任意[)11,x ∈-+∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，即()g x 在[)2,+∞上的最小值min ()1g x ≤，对()()2g x x x a =-，①当20a =，即0a =时，2()g x x =在[)2,+∞上单调递增，故2min ()(2)241g x g ===≤不成立；②当20a <，即a<0时，()()2g x x x a =-在[)2,+∞上单调递增，故min ()(2)2(22)1g x g a ==-≤，解得34a ≥，又a<0，故无解；③当20a >，即0a >时，()()2g x x x a =-的对称轴2x a =≤时，()()2g x x x a =-在[)2,+∞上单调递增，故min ()(2)2(22)1g x g a ==-≤，解得34a ≥，故324a ≤≤，当对称轴2x a =>时，2min ()()(2)1g x g a a a a a ==-=-≤成立.综上，34a ≤.20.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完.当020x <≤时，每万台的年销售收入（万元）与年产量x （万台）满足关系式:1802t x =-;当20x >时，每万台的年销售收入（万元）与年产量x （万台）满足关系式:2000900070. (1)t x x x =+-+（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y （万元）关于年产量x (万台）的函数解析式.（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出020x <≤、20x >上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【小问1详解】由题意，当020x <≤时，年收入为(1802)x x -，当20x >时，年收入为2000900070(1)x x x x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，故年利润为(1802)8050,0202000900070805020(1)x x x x y x x x x x x ---<≤⎧⎪=⎛⎫⎨+---> ⎪⎪+⎝⎭⎩，，即2210050,0209000101950201x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩，.【小问2详解】当020x <≤时，2210050y x x =-+-，由函数图象开口向下，对称轴方程为25x =可知函数单调递增，所以当20x =时，max 1150y =，当20x >时，9000900010195010(1)196021960136011y x x x x ⎡⎤=--+=-+++≤-=⎢++⎣⎦，当且仅当900010(1)1x x +=+时，即29x =时等号成立，因为13601150>，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.21.已知幂函数()()212m f x m m x +=-为偶函数．（1）求函数()f x 的解析式．（2）设函数()()()()211g x qf f x q f x ⎡⎤+-⎣⎦=-+，问是否存在实数()0q q <，使得()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间()4,0-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2f x x=（2）存在，130q =-【解析】【分析】（1）直接根据幂函数的定义结合奇偶性即可得结果；（2）把()f x 作为一个整体，(],4x ∈-∞-时，()[)16,f x ∈+∞，()4,0x ∈-时，()()0,16f x ∈，结合二次函数的单调性可得q 的值．【小问1详解】因为()()212m f x m m x +=-为幂函数，所以221m m -=，解得1m =或12m =-，又因为()()212m f x m m x +=-为偶函数，所以1m =，所以函数()f x 的解析式为()2f x x =.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知()()()()()()()2211211g x qf f x q f x qfx q f x =-+-+=-+-⎡⎣⎦+⎤.由于()20f x x =≥，因而当(],4x ∈-∞-时，()[)216,f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(],4-∞-上单调递减，则外层函数()2211y qt q t =-+-+在[)16,+∞上单调递增；当()4,0x ∈-时，()()20,16f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在上()4,0-单调递减，则外层函数()2211y qt q t =-+-+在()0,16上单调递减.所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-.所以存在130q =-满足题设条件.22.已知函数()221f x x x ax =--+，（a ∈R ，a 为常数）．（1）讨论函数()y f x =的奇偶性；（2）若函数()y f x =有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）记()()f xg x x =，若()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点12,x x ，且12x x >，求证：21432x x a -<-．【答案】（1）见解析（2）10a -<<或01a <<（3）见解析【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义分析讨论即可；（2）分类讨论11x -<<，1x ≤-或1x ≥时，()f x 的大致图象，结合图象即可得解；（3）分类讨论01x <<与1x ≥时，()g x 的大致图象，从而得到2101,1x x <<>，22122x a x -+=，112a x -+=，从而利用分析法将问题一路转化为证()()22224110x x +-<，由此得解.【小问1详解】（1）()221f x x x ax =--+，定义域为R ，关于原点对称，又()()()22221()1f x x x a x x x ax -=----+-=---，故当0a =时，()()f x f x -=，函数()f x 为偶函数，当0a ≠时，()(),()()f x f x f x f x -≠-≠-，故函数为非奇非偶函数.【小问2详解】因为()221f x x x ax =--+，当210x -<，即11x -<<时，()221f x x ax =-++，此时()f x 开口向下，对称轴为4a x =，且()01f =，当210x -≥，即1x ≤-或1x ≥时，()1f x ax =-，所以当0a >时，()1f x ax =-在(],1-∞-，[)1,+∞上单调递增，且()11f a =-，()11f a -=--，则()f x 的图象如下：显然，当()110f a =-<，即01a <<时，()f x 有3个零点；当a<0时，()1f x ax =-在(],1-∞-，[)1,+∞上单调递减，且()11f a =-，()11f a -=--，则()f x的图象如下：显然，当()110f a -=--<，即10a -<<时，()f x 有3个零点；当0a =时，()221f x x x =--为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意；综上：10a -<<或01a <<.【小问3详解】因为()221f x x x ax =--+，所以当01x <<时，()212f x x ax =-+，则()()12f x g x x a x x==-+，易知()g x 在()0,1上单调递减，当1x ≥时，()1f x ax =-+，则()()1f x g x a x x==-+，易知()g x 在[)1,+∞上单调递增，因为()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点12,x x ，所以()y g x =与2y =在()0,1与[)1,+∞各有且只有一个交点，又12x x >，所以2101,1x x <<>，且22122x a x -+=，112a x -+=，则22122a x x -=-，112a x -=，故221112x x x -=，即2221211x x x -=，则212221x x x =-，要证21432x x a -<-，即证21221432x x x x -<-，即证2121230x x x +-<，只需证22222312021x x x x +-<-，即证()222222222212130x x x x -+--<，即证42224310x x --<，即证()()22224110x x +-<，因为201x <<，所以2201x <<，则2222410,10x x +>-<，所以()()22224110x x +-<显然成立，证毕.【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图象，结合图象得到22122x a x -+=，112a x -+=，从而利用分析法将问题转化为单变量不等式，由此得解.。

2023-2024学年银川市唐徕中学高一数学上学期期中试卷附答案解析

2023-2024学年银川市唐徕中学高一数学上学期期中试卷2023.11（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,0,1A =-,{}11B x x =-<≤，则（）A ．A B⊆B ．R B A ⊆ðC ．A B = R D ．{}0,1A B = 2．若0a >，则“22a b <”是“a b <-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．43b =（0b >），则b 等于（）A ．413B ．34C ．43D ．354．设x ，y 均为正数，且4x y +=，则xy 的最大值为（）A ．1B ．2C ．4D ．165．一元二次不等式2kx2+kx ﹣38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（）A ．（﹣3，0）B ．（﹣3，0]C ．[﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞）6．函数()f x =的定义域为（）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C．(D．)∞⎡⋃+⎣7．已知函数()1f x +为奇函数，且()02f =，则()2f =（）A ．2-B ．4-C ．2D ．48．若函数()2,1,1x x f x ax x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩的值域为()0,∞+，则实数a 的取值范围为（）.A ．(]0,1B ．()1,0-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于x 的不等式()()()100a x a x a +-<<的解集可能是（）A ．{}1x a x -<<B ．{x x a <-或}1x >C ．{1x x <或}x a >-D ．{}1x x a <<-10．已知幂函数()f x的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+11．下列说法正确的是（）A ．命题“0x ∀>，都有e 1x x >+”的否定是“0x ∃≤，使得e 1≤+xx ”B ．当1x >时，121x x +-的最小值为2C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{|12}x x -<<，则2a c +=D ．“1a >”是“11a <”的充分不必要条件12．当01a b <<<时，下列不等式中不正确的是（）A ．1(1)(1)bba a ->-B ．(1)(1)a ba b +>+C ．2(1)(1)b ba a ->-D ．(1)(1)a ba b ->-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设102a=，1007b =，求2210a b -的值为．14．若()3log lg 0x =，则x 的值等于．15．已知函数21,1()2(1),1x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则(2)f =．16．已知函数(),0{,0a x a x f x x a a x -≥=+-<，其中常数0a >，给出下列结论：①()f x 是R 上的奇函数；②当4a ≥时，()()2f x a f x -≥对任意x ∈R 恒成立；③()f x 的图象关于x a =和x a =-对称；④若对()()12,2,,1x x ∀∈-∞-∃∈-∞-，使得()()121f x f x =，则1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．其中正确的结论是．（请填上你认为所有正确结论的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．化简（式中的字母均为正实数）：(1)1232333-⨯⨯；(2)1111222()(2)(3)xy x y --⋅⋅．18．计算或化简:（1）57log 4323log lg 255lg 4log 27log 4-++⨯；（2）已知lg 2a =，lg 3b =，求5log 12的值.（用,a b 表示）19．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >.命题q ：实数x 满足302x x -≤-.(1)当1a =时，命题p ，q 都为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >.(1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >且满足1a b x y +=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围．21．已知函数()f x =122x x m --（m R ∈）是定义在R 上的奇函数(1)求m 的值(2)根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增（备注：2x>0）(3)若对[]11x ∀∈-，，不等式()2231(f x f kx x ++-)≥0恒成立，求实数k 的取值范围.22．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元()0x ≥满足关系式81ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为1036a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）(1)求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？1．D【分析】根据两集合之间元素的特征判断出{}0,1A B = ，D 正确，ABC 均错误.【详解】A 选项，1A -∈，但1B -∉，故A 不是B 的子集，A 错误；B 选项，1B ∈，但R 1A ∉ð，故B 不是R A ð的子集，B 错误；C 选项，{}11A B x x ⋃=-≤≤，C 错误；D 选项，{}0,1A B = ，D 正确.故选：D 2．B【分析】举出反例得到充分性不成立，a b <-两边平方得到必要性成立.【详解】若1,2a b ==，满足22a b <，不能得到a b <-，充分性不成立，因为0a >，若0a b <<-，两边平方得22a b <，必要性成立.则“22a b <”是“a b <-”的必要不充分条件.故选：B ．3．A【分析】根据分数指数幂的概念可以表示出b 【详解】因为0b >且43b =，所以143b ==.故选：A 4．C【分析】运用基本不等式进行求解即可.【详解】因为x ，y 均为正数，且4x y +=，所以242x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，故选：C5．A【分析】根据二次函数的图象列式可解得结果.【详解】由一元二次不等式2kx2+kx ﹣38＜0对一切实数x 都成立，则2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得﹣3＜k ＜0.综上，满足一元二次不等式2kx2+kx ﹣38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0）.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.6．D【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果【详解】要使函数有意义，必须21030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且x则函数()f x 的定义域为)∞⋃+，故选：D ．7．A【分析】利用奇函数的定义，结合给定值计算即可.【详解】函数()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -+=-+，而()02f =，所以()2(0)2f f =-=-.故选：A 8．D【分析】求出函数2()f x x =-+在(,1)-∞上的值域，由已知可得函数()af x x =在[1,)+∞上的值域包含(0,1]，再列出不等式求解即得.【详解】当1x <时，函数2()f x x =-+在(,1)-∞上单调递减，()f x 在(,1)-∞上的值域为(1,)+∞，因为函数()f x 在R 上的值域为()0,∞+，则函数()af x x =在[1,)+∞上的值域包含(0,1]，显然0a >，否则当1x ≥时，0a x ≤，不符合题意，于是函数()af x x =在[1,)+∞上单调递减，其值域为(0,]a ，因此(0,1](0,]a ⊆，则1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.故选：D 9．BC【分析】分情况讨论解不等式即可.【详解】由()()()100a x a x a +-<<，得()()10x a x +->，当<1a -，即10a -<<时，该不等式的解集为{x x a <-或}1x >，当1a -=，即1a =-时，该不等式的解集为{1x x <或}1x >，当1a ->，即1a <-时，该不等式的解集为{1x x <或}x a >-，故选：BC.10．ABD【分析】根据已知条件求出幂函数()f x 的解析式，然后利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】设()()af x xa =∈R ，则()22af ==，可得12a =，则()12f x x =，对于A 选项，对于函数()f x 0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.11．BCD【分析】结合含有量词的命题的否定检验选项A ，结合基本不等式检验选项B ，结合二次不等式的解集与二次方程根的关系检验选项C ，结合不等式的性质检验选项D ．【详解】对于A ，命题“0x ∀>，都有e 1x x >+”的否定是“0x ∃>，使得e 1≤+xx ”，故A 错误；对于B ，因为1x >，且()1122122211x x x x +=-++≥+=+--，当且仅当()1211x x -=-即1x =+时取等号,故B 正确；对于C ，由不等式220ax x c ++>的解集为{|12}x x -<<，可知212a -+=-，()12ca -⨯=，a<0，2a ∴=-，4c =，2a c +=，故C 正确；对于D ，由“1a >”可推出“11a <”，由11a <可得1a >或a<0，推不出“1a >”，故D 正确．故选:BCD ．12．ABC【分析】由幂函数和指数函数的单调性比大小即可.【详解】01,011,(1)xa a y a <<∴<-<=- 为减函数，又101,,2bb b b b <<∴>> ，12(1)(1),(1)(1),A,C b b b b a a a a ∴-<--<-∴均错；又111,(1)xa b y b <+<+∴=+ 和()()00a b y x x ,y x x =>=>均为增函数，(1)(1)(1),a a b a b b +<++∴<B 错；对于D ，(1)(1)a ba a ->-，而(1)(1),(1)(1)b b a b a b a b --∴->->，∴D 正确.故选：ABC .【点睛】本题考查比大小问题，属于压轴题.关键在于构造函数，利用幂函数与指数函数的单调性解决问题即可.13．47【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.【详解】由题意可知，()222210010274107ba a b-===．故答案为：47.14．10【分析】通过指对互化即可求解．【详解】因为()3log lg 0x =，所以lg 31x ==，所以11010x ==故答案为：10.15．6【分析】直接代入计算即可.【详解】()2(1)22112)6(f f ⨯⨯+===，故答案为：6.16．①②【分析】作出()f x 的图象,由图象对各选项进行判断即可.当x a ≥时,()2f x a x =-,当a x a -<<时,()f x x =,当x a ≤-时,()2f x a x =--,由图易知①正确,③错误;()2y f x a =-的图象是由()y f x =向右平移2a 个单位,故可得②正确;对于④主要需注意求()()12,f x f x 范围,考虑在0附近的值以及临界值的取舍.【详解】试题分析:2,0()(),,02,a x x a a x a x f x f x x a x ax a a x a x x a⎧-≥⎧--≥⎪⎪=∴=-<<⎨⎨+-<⎪⎪--≤-⎩⎩ ,其图象如下图所示,由于图象关于原点对称,故①正确;4a ≥ 时,24a a ≥,故可得()2y f x a =-的图象是由()y f x =向右平移2a 个单位,故可得②正确;观察图可知③错误;对于④：当2-≤-a ,即2a ≥时()[)()[)1222,f x a f x a ∈-+∞∈-+∞,故当()1f x 从负方向接近于0时,()2f x 不满足题意,当21a -<-<-,即12a <<时,()()()122(22,),f x a f x a ∈-+∞∈-+∞,同上可知不满足题意,当1a ->-,即1a <时,()()12(22,),(12,)f x a f x a ∈-+∞∈-+∞要使得和()1f x →+∞时相对应时,需满足120a -≤,即12a ≥,故④错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查分段函数的图象，单调性，奇偶性等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，属于难题.17．(1)123-；(2)6.【分析】（1）（2）利用指数运算法则计算得解.【详解】（1）1112(3)2322233333+---⨯⨯==.（2）11111111111111111222222222222222()(2)(3)()6666xy x y x y x y x yx y xy--------⋅⋅=⋅=⋅==.18．（1）7；（2）21b aa +-.【分析】（1）根据对数运算法则直接计算可得结果；（2）利用换底公式和对数运算法则化简可得结果.【详解】（1）()573log 344323327log lg 255lg 4log 27log 4log 3lg 254log 34-++⨯=+⨯-+⨯2337log 2232126744=+-+⨯=-++=；（2）5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21b aa +++====---.19．(1)(2,3)(2)(1,2]【分析】（1）先化简命题p ，q ，再由命题p ，q 都为真求解；（2）根据p 是q 的必要不充分条件，得{}|23x x <≤是{}|3x a x a <<的真子集，由包含关系建立不等式组求解即可.【详解】（1）当1a =时，由()()130x x --<，解得：13x <<，故命题p ：实数x 满足13x <<.由302x x -≤-，得302x x -<-，或302x x -=-，即(2)(3)0x x --<，或3x =，则23x <<，或3x =，所以23x <≤，故命题q ：实数x 满足23x <≤.若命题p ，q 都为真，则1323x x <<⎧⎨<≤⎩，∴23x <<，∴实数x 的取值范围是(2,3).（2）命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >.∵0a >，3a a ∴<，由()()30x a x a --<，解得3a x a <<，∵p 是q的必要不充分条件，q p ∴⇒，且p q ⇒/，即{}|23x x <≤是{}|3x a x a <<的真子集，∴233a a ≤⎧⎨>⎩，解得12a <≤，∴a 的取值范围是(]1,2．20．(1)1,2a b ==(2)[32]-,【分析】（1）根据题意得到1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根，再利用根与系数关系求解即可；（2）根据题意得到()2min 22x y k k +≥++，再利用基本不等式求出2x y +的最小值即可.【详解】（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根，且0a >，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，即1a =，2b =.所以实数a ，b 的值分别为1，2.（2）由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故()12422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥，当且仅当4y x x y =，结合121x y +=，即24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，依题意有()2min 22x y k k +≥++，即282k k ≥++，得260k k +-≤，即32k -≤≤，所以k 的取值范围为[32]-,．21．(1)2m =；(2)证明见解析；(3)k -≤≤．【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）由奇函数化不等式为22(31)()f x f x kx +>-，再由增函数化为2231x x kx +>-，然后由一元二次不等式恒成立得结论．【详解】（1）()f x 是奇函数，∴(0)1(1)0f m =--=，2m =，2m =时，1()2222x x x x f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；（2）设任意两个实数12,x x 满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(12222x x x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴1222x x<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；（3）原不等式化为22(31)()f x f kx x +≥--，∵()f x 是奇函数，∴不等式化为22(31)()f x f x kx +≥-，又()f x 是增函数，所以2231x x kx +≥-，∴问题转化为[1,1]x ∀∈-，2210x kx ++≥恒成立，设2()21g x x kx =++，11x -≤≤，114k-≤-≤，即44k -≤≤时，2min 8()08k g x -=≥，k -≤≤．1114k ->，即4k <-时，min ()(1)30g x g k ==+≥，无解；14k -<-，即4k >时，min ()(1)30g x g k =-=-≥，无解；综上，k -≤≤．【点睛】方法点睛：关于具有奇偶性和单调性函数()f x 的不等式恒成立问题，解题方法是利用奇偶性化不等式为12()()f x f x <，再由单调性化去“f ”，转化为一般的不等式，如一元二次不等式恒成立问题，再根据不等式的知识求得参数范围．22．(1)4k =，()6413801y x x x =--≥+(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元【分析】（1）先由已知条件求出待定系数k ，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.【详解】（1）由题知，0x =时，4a =，于是，8401k -=+，解得4k =.所以，481a x =-+.根据题意，103620y a a x a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭即6416101381y a x x x =+-=--+所以()6413801y x x x =--≥+（2）6464138139111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭139123≤-=当且仅当11x x +=+，即7x =时，等号成立.所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.。

高一上学期期中数学试题(含参考答案)

高一上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1. 已知集合{}2Z160U x x =∈-≤∣，集合{}2Z 340A x x x =∈--<∣，则UA =（）A ．{14xx ≤≤∣或4}x =- B ．{41xx -≤≤-∣或4}x = C ．{}4,3,2,1,4---- D ．{}4,3,2,1----2. 24x =是2x =-的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若,,a b c R ∈，a b >则下列不等式成立的是（） A ．11a b<B ．22a b <C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 4. 设函数()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，若()3f a =，则实数=a （）A ．2B ．2-或2C ．4-或2D ．4-5. 幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（）A ．27B ．9C ．19D ．1276. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（） A ．4y x = B ．1y x=C ．y =D ．3y x =7. 若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围为（）A ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭8. 已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，且满足()()()1,12f xy f x f y f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()()232f x f x +-≥-的解集为（） A ．[]1,2 B ．][(),12,-∞⋃+∞C ．()()0,12,3D ．][()0,12,3⋃二、多选题（本大题共4小题）9. 已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是（）A ．=AB B ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈10. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，则下列说法正确的有（） A ．0a >B ．0a b c ++<C ．24c a b ++的最小值为6D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或11. 下列说法正确的是（）A ．偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，则1a =B ．若函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则f x y =的定义域是(]3,5-C ．奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D ．若集合{}2|420A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12. 已知定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，且满足以下条件：①()()R,x f x f x ∀∈-=；② ()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项成立的是（）A ．()f x 在(),0∞-上单调递减，B ．()()53f f -<C ．若()()12f m f -<，则3m <D ．若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞三、填空题（本大题共3小题）13. 已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时()()1f x x x =+，则()3f -= ． 14. 已知1x >，则1411y x x =++-的最小值是． 15. 已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，且满足()()()2,01f x f x f +=-=，则()()()()()12320212022f f f f f +++++= .四、双空题（本大题共1小题）16. 已知函数()22,31,3x x x c f x c x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若0c ，则()f x 的值域是；若()f x 的值域是[]1,3-，则实数c 的取值范围是 .五、解答题（本大题共6小题）17. （1）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？（2）根据定义证明函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 已知命题2120p x x a ∀≤≤-≥：，，命题22R +2+2+=0q x x ax a a ∃∈：，. (1)若命题p 的否定为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 为真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围.19. 已知函数()f x A ，集合={1<<1+}B x a x a -.(1)当=2a 时，求R A B ⋂（）；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.20. 已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图象关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图象； (3)直接写出函数()g x 的单调区间．21. 已知函数()223,R f x x bx b =-+∈. (1)求不等式()24f x b <-的解集；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.22. 设函数()()22,52(0)1x f x g x ax a a x ==+->+，(1)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x ≥，求实数a 的取值范围； (2)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.参考答案1. 【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合U 和A ，根据补集的概念即可求得答案.【详解】解不等式2340x x --<得14,{Z 14}{0123}x A x x -<<∴=∈-<<=∣，，，, 由2160x -≤,可得44x -≤≤，{}Z 44{432101234}U x x ∴=∈-≤≤=----∣，，，，，，，，， {}4,3,2,1,4U A ∴=----故选：C. 2. 【答案】B【分析】先解方程24x =，进而判断出.24x =是2x =-的必要不充分条件. 【详解】①当24x =时，则2x =±，∴充分性不成立，②当2x =-时，则24x =，∴必要性成立，∴24x =是2x =-的必要不充分条件. 故选：B. 3. 【答案】D【分析】通过反例1a =，1b ，0c 可排除ABC ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b，则1111a b=>=-，221a b ==，则A 、B 错误；若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥，21011c ∴<≤+，又a b >，2211a bc c ∴>++，则D 正确.故选：D. 4. 【答案】B【分析】根据()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，分0a ≤和 0a >讨论求解. 【详解】解：()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，当0a ≤时，13a -+=，则2a =-，当0a >时，令24a =，则2a =，故实数2a =-或2，故选：B. 5. 【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意；当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A. 6. 【答案】D【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性分析判断.【详解】对于A ：∵()44x x -=，则4y x =是偶函数，故A 错误；对于B ：∵11=--x x ，则1y x=为奇函数，在()(),0,0,-∞+∞单调递减，但在定义域上不单调，故B 错误；对于C :y =[)0,∞+，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即y =C 错误；对于3D :y x =在定义域R 上单调递增，且33()x x -=-，即3y x =为奇函数，故D 正确；故选：D. 7. 【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可. 【详解】不等式234y x m m +<-有解，2min 3,0,04y x m m x y <⎛⎫∴+->> ⎪⎝⎭，且141x y +=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时取“="，min 44y x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，故234m m ->，即()()1340m m +->，解得1m <-或4,3m >∴实数m 的取值范围是()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭. 故选：B. 8. 【答案】D【分析】由赋值法得()42f =-，由函数的单调性转化后求解，【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==得()()121f f =，即()10f =，则()()11122022f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()21f =-，即有()()4222f f ==-，由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在()0,∞+上递减，不等式()()232f x f x +-≥-即为()()234f x x f ⎡⎤-≥⎣⎦.则20302(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01x <≤或23x ≤<，即解集为][()0,12,3⋃. 故选：D9. 【答案】CD【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∴2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∴(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误．故选：CD ． 10. 【答案】BC【分析】由不等式与方程的关系得出02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，从而得到：5b a =-，6c a =，且a<0，再依次对四个选项判断即可得出答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪∴+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得：5b a =-，6c a =，且a<0，故选项A 错误；5620a b c a a a a ++=-+=<，故选项B 正确；()2243641964c a a a b a a ++⎛⎫==-+-≥ ⎪+-⎝⎭，当且仅当13a =-时等号成立，故选项C 正确；20cx bx a -+<可化为：2650ax ax a ++<，即26510x x ++>，则解集为1123x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，故选项D 错误；综上所述选项B 、C 正确，故选：BC. 11. 【答案】BC【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，可判断A 项错误；根据抽象函数定义域的求解法则，以及使得分式根式有意义，可列出不等式组，可判断B 项正确；根据条件可得()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可求得()2f -与()4f -的值，代入即可得出C 项正确；由题意可知，方程2420ax x -++=至多有一个解，对a 是否为0讨论，可得D 项错误.【详解】由偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，可得210a a -+=，解得13a =，A 错；因为函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，即5215x -≤-≤.所以函数()f x 的定义域为[]5,5-.要使f x y =5530x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得35x -<≤，即y =(]3,5-，B 对；因为，奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为-1，则()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可得，()()221f f -=-=，()()448f f -=-=-，则()()()24228115f f -+-=⨯-+=-，则C 项正确；因为集合{}2420A x ax x =-++=∣中至多有一个元素，所以方程2420ax x -++=至多有一个解，当0a =时，方程420x +=只有一个解12x =-，符合题意；当0a ≠时，由方程2420ax x -++=至多有一个解，可得Δ1680a =+≤，解得2a ≤-. 所以，0a =或2a ≤-，则D 项错误. 故选：BC. 12. 【答案】AD【分析】由①可得，()f x 为偶函数.由②可得，()f x 在()0,∞+上单调递增.后分析选项可得答案.【详解】由()()()21121221,0,,,0f x f x x x x x x x ∞-∀∈+≠>-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数.对于A 选项，因()f x 在()0,∞+上单调递增，且()f x 为偶函数，则()f x 在(),0∞-上单调递减，故A 正确.对于B ，C 选项，因()f x 为偶函数，则()()f x f x =.又()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()()553,f f f -=>故B 错误；()()()()1212f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图像是连续不断的，则有12m -<，解得13,m -<<故C 错误；对于D 选项，由()0f x >及()10f -=得：()()11f x f x >⇔>，解得1x <-或1x >，由()0f x <得：()()11f x f x <⇔<，解得11x -<< 则()0f x x>可化为：()00f x x ⎧>⎨>⎩或()00f x x ⎧<⎨<⎩，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故D 正确.故选：AD13. 【答案】－12【分析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-即可得到答案. 【详解】因为()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-，故()()()3331312f f -=-=-⨯+=-．故答案为：－12. 14. 【答案】9【分析】将目标式变形，利用基本不等式即可得出其最值．【详解】1x >，10x ->，()(11414152415911x x x x x ∴++=-++-=--，当且仅当()1411x x -=-即3=2x 时取等号， 32x ∴=时， 1411y x x =++-取最小值9．故答案为：9． 15. 【答案】1-【分析】由()()2f x f x +=-知函数是周期为4的周期函数，再结合偶函数可求()()()()1234f f f f ，，，的值，从而可求()()()()()12320212022f f f f f +++++的值.【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，即函数是周期为4的周期函数；根据题意，()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，则有()()11f f -=，又由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()111f f f -=-=，所以()()110f f =-=，由()()2f x f x +=-，可得()()()()201,310f f f f =-=-=-=，则()()()()12340f f f f +++=，所以()()()()()12320212022f f f f f +++++()()()()()()5051234121f f f f f f ⎡⎤=+++++=-⎣⎦. 故答案为：1-.16. 【答案】 [1,)-+∞ 1[,1]3.【分析】作出函数()f x 的图象，根据二次函数与反比例函数的图象与性质，结合图象，即可求解.【详解】由0c 时，函数()22,301,03x x x f x x x⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，当[3,0]x ∈-时，函数()22f x x x =+，可得函数()f x 在[3,1]--上单调递减，在[1,0]-上单调递增，且()()(3)3,11,00f f f -=-=-=，所以函数的值为[1,3]-；当(0,3]x ∈时，函数()1f x x =为单调递减函数，其值域为1[,)3+∞，综上可得，函数()f x 的值域为[1,)-+∞；作出函数()f x 的图象，如图所示，若函数()f x 的值域为[1,3]-，当1y =-时，即221x x +=-，解得=1x -，当3y =时，即223x x +=，解得3x =-或1x =，当13x=时，可得13x =，结合图象，可得实数c 的取值范围是1[,1]3.故答案为：[1,)-+∞；1[,1]3.17. 【答案】（1）应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）；（2）证明见解析.【分析】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，解不等式()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦即得解；（2）利用函数单调性的定义证明.【详解】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，由题意得()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦，即2302000,x x -+<方程230200x x -+=的两个实数根为1210,20x x ==，2302000x x ∴-+<解集为{1020}x x <<∣，又15,1520x x ≥∴≤<，故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.（2）证明：()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()211212121212121212121211111x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()12,1,x x ∈+∞，得121,1x x >>.所以12121,10x x x x >->. 又由12x x <，得120x x -<.于是()12121210x x x x x x --<，即12y y <. 所以，函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 【答案】(1)(1,)+∞ (2)(0,1]【分析】（1）先求出p ⌝，然后利用其为真命题，求出a 的取值范围即可；（2）由（1）可知，命题p 为真命题时a 的取值范围，然后再求解q 为真命题时a 的取值范围，从而得到q ⌝为真命题时a 的取值范围，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，当12x ≤≤时，214x ≤≤， p ⌝：存在12x ≤≤，20x a -<为真命题，则1a >，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞；（2）由（1）可知，命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，2244(2)0a a a ∆=-+≥，解得0a ≤，所以q ⌝为真命题时，0a >，所以1>0a a ≤⎧⎨⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围为(0，1]． 19. 【答案】(1){3<1x x -≤-或}34x ≤≤(2){3}aa ≤｜【分析】（1）求出定义域，得到{-34}A xx =<≤｜，进而计算出RB 及()R A B ⋂；（2）分B =∅与B ≠∅，列出不等式，求出a 的取值范围. 【详解】（1）要使函数()f x 40+3>0x x -≥⎧⎨⎩，解得：34x -<≤，所以集合{-34}A x x =<≤｜. 2a =，∴{}{}=1<<1+=1<<3B x a x a x x --， ∴{=1RB x x ≤-或}3x ≥，∴{=3<1RA B x x ⋂-≤-或}34x ≤≤；（2）B A ⊆，①当B =∅时，11a a -≥+，即0a ≤，满足题意；②当B ≠∅时，由B A ⊆，得1<1+131+4a a a a --≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得：03a <≤，综上所述：a 的取值范围为{}3a a ≤.20. 【答案】(1)1()f x x -=(2)作图见解析(3)递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞【分析】(1)利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图象性质即可得解.(2)由(1)求出函数()g x ，再借助反比例函数、对称性作出()g x 的图象.(3)根据(2)中图象特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因幂函数()22()55m f x m m x -=-+，则2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-∞+∞，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，则1m =，当4m =时，函数2()f x x =是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，关于原点不对称，所以幂函数()f x 的解析式是1()f x x -=（2）因函数()|()|g x f x =，由(1)知，1()||g x x =，显然()g x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，1()g x x =在(0,)+∞上单调递减，其图象是反比例函数1y x =在第一象限的图象，作出函数()g x 第一象限的图象，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图象，如图，（3）观察(2)中图象得，函数()g x 的递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞. 21. 【答案】(1){|11}x b x b -<<+(2)答案见解析【分析】（1）根据题意解一元二次不等式即可；（2）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为1，求出系数b ，再求函数在区间内的最大值.【详解】（1）若()24f x b <-，即22234x bx b -+<-，则()()110x b x b ⎡⎤⎡⎤---+<⎣⎦⎣⎦，∵11b b -<+，所以11b x b -<<+，故不等式()0f x <的解集为{|11}x b x b -<<+.（2）因为()223f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()1421f b -=+=，解得32b =-，故函数()y f x =的最大值为()27413f b =-=；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴函数()y f x =的最小值为()2741f b =-=，解得32b =（舍去）； ③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上是单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()231f b b =-=，解得b =b =（舍去），故函数()y f x =的最大值为()1424f b -=+=+综上所述：当32b =-时，()f x 的最大值为13；当b =()f x 最大值为4+22. 【答案】(1)5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据题意，分别求出两个函数的最小值，将问题等价转化为min min ()()g x f x ≤，解不等式即可求解；(2)根据题意，分别求出两个函数的值域，然后将问题等价转化为()f x 在[0,1]上值域是()g x 在[0,1]上值域的子集，结合集合的包含关系即可求解.【详解】（1）因为()()()2221221214111x x f x x x x x -+⎡⎤===++-⎢⎥+++⎣⎦，利用1y x x =+函数图像性质可知()f x 在[]0,1上单调递增，于是()f x 在0x =处取得最小值，即()min ()00f x f ==，因为()52g x x a α=+-，注意到0a >，则()g x 在[]0,1上单调递增，于是()g x 在0x =处取得最小值，即()min ()052g x g a ==-，由题意可得：520a -≤，即得5,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由(1)可知：()f x 在1x =处取得最大值，即()max ()11f x f ==于是当[]0,1x ∈时，()f x 的值域[]0,1A = ()g x 在1x =处取得最大值，即()max ()15g x g a ==- 于是当[]0,1x ∈时，()g x 的值域[]52,5B a a =-- 要使得对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x = 根据()f x 与()g x 的连续性可知A B ⊆成立则52051a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数a 的取值范围为5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

安徽省六安2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析

六安2023年秋学期高一年级期中考试数学试卷（答案在最后）满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A.1x ∃≤，20x x ->B.1x ∀>，20x x -≤C.1x ∃>，20x x -≤D.1x ∀≤，20x x ->【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是1x ∃>，20x x -≤.故选：C.2.若12162x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B =I ð（）A.{}14x x <≤ B.{}14x x ≤< C.{}14x x << D.{}14x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】分别解指数不等式和分式不等式求出集合A 与集合B ，再由补集和交集知识进行求解即可.【详解】由12162x ≤≤，得14222x -≤≤，∵2x y =在R 上单调递增，∴解得14x -≤≤，∴{}1216142x A xx x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，又∵501x x -≥-()()51010x x x ⎧--≥⇔⎨-≠⎩，解得1x <或5x ≥，∴501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭{1x x =<或}5x ≥，∴{}15B x x =≤<R ð，又∵{}14A x x =-≤≤，∴(){}14A B x x ⋂=≤≤R ð.故选：D.3.已知p ：12a >，q ：指数函数()()32xf x a =-是增函数，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求出命题q 中a 的范围，判断两个命题间的充分性与必要性即可.【详解】因为指数函数()()32xf x a =-是增函数，所以3211a a ->⇒>，又p ：12a >，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：C4.若0.62a =，30.6b =，0.63c =，则它们的大小关系是（）A.c a b >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数0.6y x =和0.6x y =的单调性即可比较.【详解】因为0.6y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.60.60.6123<<，即1c a >>又0.6x y =在R 上单调递减，所以300.60.6<，即1b <，综上，c a b >>.故选：A5.若,x y 满足0,0,3x y xy x y >>=+，则3x y +的最小值为（）A.10+B.10+C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为3xy x y =+，0,0x y >>，两边同除xy 得131x y+=，所以()133********y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当4x y ==时等号成立，故选：D .6.已知函数()x f x a b =+的图象如图所示，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数()x f x a b =+的图象可求得,a b 的范围，再根据二次函数的图象即可得解.【详解】函数()x f x a b =+的图象是由函数x y a =的图象向下或向上平移b 个单位得到的，由函数()x f x a b =+的图象可得函数为单调递减函数，则01a <<，令0x =得()11,0b +∈-，则()2,1b ∈--，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为A 选项.故选：A .7.设定义在()2,2-上的函数()2112x f x x +=-，则使得()()121f x f x +>-成立的实数x 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C.()0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】()()()211=2x f x x x f -+=---，且定义域是()2,2-，所以()f x 为偶函数，且2112,x y x y +=-=在()0,2均为增函数，所以()f x 在()0,2为增函数，且()f x 为偶函数，所以()()121f x f x +>-，即1212122212x x x x ⎧+>-⎪-<+<⎨⎪-<-<⎩，解得01x <<.故选：C8.已知函数()f x 满足()()()1f x y f x f y +=++（,R x y ∈），当0x >时，()10f x +>且()12f =，若当[]1,3x ∈时，()()221f ax x f x ++<有解，则实数a 的取值范围为（）A.9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.8,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.(),2-∞- D.82,9⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】证明函数单调递增，变换得到()()231f ax x f +<，根据单调性得到231ax x +<，计算函数最值得到答案.【详解】设12x x <，故()2110f x x -+>，则()()()()()2121112110f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-+>，函数单调递增，()()221f ax x f x ++<，即()222f ax x x ++<，即()()231f ax x f +<，即231ax x +<在[]1,3x ∈有解，即221313924a x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭，2max1398249x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫--=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，故8,9a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C.不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭D.0a b c ++>【答案】AC 【解析】【分析】由题意可得3,4-是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，然后利用根与系数的关系表示出,b c ，再逐个分析判断即可.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为(][),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；且方程20ax bx c ++=的两根为－3、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩.对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，因为12b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2120ax ax a -++<，所以21210x x -->，解得14x <-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确.故选：AC .10.以下从M 到N 的对应关系表示函数的是（）A.R M =，R N =，1:f x y x→=B.R M =，{}0N y y =≥，:f x y x →=C.{}0M x x =>，R N =，:f x y →=D.*{|2,N }M x x x =≥∈*{|0,N },N y y y =≥∈2:22f x y x x →=-+【答案】BD 【解析】【分析】判断从M 到N 的对应关系是否表示函数，主要是判断集合M 中的每一个元素在集合N 中是否都有唯一的元素与之对应即可.【详解】对于A 选项，因0,M ∈而0没有倒数，故A 项错误；对于B 选项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应，故B 项正确；对于C 选项，因每个正数的平方根都有两个，即集合M 中的每个元素在集合N 中都有两个元素与之对应，故C 项错误；对于D 选项，因2222(1)1,y x x x =-+=-+当*2,N x x ≥∈时，即有*,2,N y y ∈≥且每个x 对应唯一的y 值，故必有y N ∈成立,故D 项正确.故选：BD.11.已知函数()33f x x =--，下列说法正确的是（）A.()f x 定义域为[)(]3,00,3-B.()f x 在(]0,3上单调递增C.()f x 为奇函数D.()f x 值城为()3,3-【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数的性质逐个判定即可.【详解】对于A ：函数定义域需满足290330x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得[)(]3,00,3x -∈ ，A 正确；对于B ：当(]0,3x ∈时()f x ====，在(]0,3单调递减，所以()f x 在(]0,3内单调递增，B 正确；对于C ：由A 知函数定义域为[)(]3,00,3- ，所以()f x ==，所以()()f x f x x-==-，所以()f x 为奇函数，C 正确；对于D ：由B 知()f x 在(]0,3内单调递增，所以(]0,3x ∈时()(],0f x ∈-∞，又由C 知()f x 为奇函数，所以[)3,0x ∈-时()[)0,f x ∈+∞，所以()f x 得值域为(),-∞+∞，D 错误，故选：ABC12.一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.函数()922f x x=-不存在跟随区间B.若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2a =C.二次函数()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”D.若函数()f x m =-存在跟随区间，则1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，由题，因为函数()922f x x=-在区间(),0∞-与()0,∞+上均为增函数，若()922f x x =-存在跟随区间[],a b 则有922922a ab b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即,a b 为922x x =-的两根．即22940x x -+=的根，故1,42a b ==，故A 错误．对于B 选项，若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，因为()222f x x x =-+在区间[]1,a 为增函数，故其值域为21,22a a ⎡⎤-+⎣⎦，根据题意有222a a a -+=，解得1a =或2a =，因为1a >故2a =，故B 正确．对于C 选项，若()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，当1a b <≤时，易得()22f x x x =-+在区间上单调递增，此时易得,a b 为方程232x x x =-+的两根，求解得=1x -或0x =.故定义域[]1,0-，则值域为[]3,0-．故C 正确．对于D 选项，若函数()f x m =-存在跟随区间[],a b ，因为()f x m =-为减函数，故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩即()()11a b a b a b -=+-+=-（，因为a b <1=．易得01≤<．所以(1a m m ==--，令t =[]()0,1t ∈代入化简可得20t t m --=，同理t =也满足20t t m --=，即20t t m --=在区间[]0,1上有两不相等的实数根．故1400m m +>⎧⎨-≥⎩，解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故D 错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.)2232711644-⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.【详解】原式2332345194134⨯⎛⎫=⨯+-=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1314.已知函数()f x 的定义域为()1,3，则函数()3g x -=的定义域为________.【答案】()5,6【解析】【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可.【详解】因为()f x 的定义域为()1,3，所以()3f x -满足13346x x <-<⇒<<，又函数()3g x -=有意义，所以505x x ->⇒>，所以函数()3g x -=的定义域为()5,6，故答案为：()5,615.已知)132fx +=++，则()f x 的解析式为________.【答案】()2354f x x x =-+，1x ≥【解析】【分析】换元法求解表达式，第一步令括号内的表达式为t ,第二步将表达式中的x 换成t 即可.【详解】)132f x +=++的定义域为[)0,∞+.令1,1t t =≥，则2(1)x t =-，所以，由)132fx +=++得()23(1)2,1f t t t =-++≥，即()2354,1f t t t t =-+≥.于是()2354,1f x x x x =-+≥.故答案为：()2354,1f x x x x =-+≥.16.已知函数()f x x x a =-，当[]0,1x ∈时()f x 的最大值为3，则实数a 的值为________.【答案】2-或4【解析】【分析】化简()f x x x a =-解析式为分段函数形式，讨论0a ≤时，结合最大值求得a 的值；0a >时，数形结合，讨论12a ≥和1122a a +<£以及112a <，确定函数在何处取得最值，求得a 的值，综合可得答案.【详解】由题意知函数的定义域为R ，()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a ≤时，由[]0,1x ∈得()()2224a a f x x x a x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，所以当1x =时，()max 13,2f x a a =-=∴=-，当0a >时，()f x 的图象如图所示，当12a≥，即2a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增,所以()f x 函数在[0,1]上的最大值为(1)13,4f a a =-=∴=，当1122a a <£，即22a ≤<时，()f x 在[0,1]上的图象在2a x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为2(324a a f ==，不符合题意；当112a <，即02a <<-时，()f x 在[0,1]上的图象在1x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为(1)13,2f a a =-==-，不符合题意，故a 的值为2-或4，故答案为：2-或4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合U =R ，{}03A x x =≤≤，{}21,R B x m x m m =≤≤+∈.（1）2m =，求A B ⋃；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）{}05A B x x ⋃=≤≤（2）()[],10,1-∞-⋃【解析】【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.【小问1详解】当2m =时，{}25B x x =≤≤，因为{}03A x x =≤≤，所以{}05A B x x ⋃=≤≤【小问2详解】由题意“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件得B AÜ①若B =∅，则21m m >+，解得1m <-；②若B ≠∅，则21m m ≤+，解得1m ≥-；B A Ü，∴0213m m ≥⎧⎨+<⎩或0213m m >⎧⎨+≤⎩，∴01m ≤≤综合①②得：m 的取值范围是()[],10,1-∞-⋃.18.已知幂函数()()233af a a x x =-+为偶函数，a ∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1g x f x x =++，求函数()g x 的解析式.【答案】（1）()2f x x=（2）()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【解析】【分析】（1）根据题意，由幂函数的定义，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由函数的奇偶性求解函数解析式，即可得到结果.【小问1详解】()f x 为幂函数，∴2331a a -+=，解得1a =或2a =，又()f x 为偶函数，∴2a =，∴()2f x x =.【小问2详解】由（1）得，当0x >时，()21g x x x =++①当0x =时，()0g x =；②当0x <时，0x ->；∴()()()2211g x x x x x -=-+-+=-+，∴()()21g x g x x x =--=-+-综上得()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩19.已知二次函数()f x 是R 上的偶函数，且()04f =，()15f =.（1）设()()f x g x x=，根据函数单调性的定义证明()g x 在区间[)2,+∞上单调递增；（2）当0a >时，解关于x 的不等式()()()21212f x a x a x <-+++.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求的()f x ，应用定义法证明函数的单调性；（2）分类讨论两根的大小关系即可求解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，（0a ≠）()f x 为偶函数，∴0b =.()04f =，∴4c =，∴()24f x ax =+又()15f =，∴1a =，∴()24f x x =+，∴()244x g x x x x+==+.证明：[)12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <，()()12121244g x g x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x --=[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，∴120x x -<，1240x x ->，120x x >∴()()120g x g x -<，∴()()12g x g x <∴()g x 在[)2,+∞上单调递增.【小问2详解】()()2241212x a x a x +<-+++整理得：()22120ax a x -++<，因式分解得()()120ax x --<当0a >，方程()()120ax x --=的两根为1a 和2，且1122aaa--=.①当102a <<时，12a >，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭②当12a =时，12a =，原不等式的解集为∅③12a >时，12a <，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭综上：当102a <<时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当12a =时，不等式的解集为∅当12a >时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.20.天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元（0x ≥）满足关系式91ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为6万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为432a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）（1）求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？【答案】（1）3k =,361121y x x =--+，0x ≥（2）当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元【解析】【分析】（1）由题意求得k ，再利用利润公式即可求得y 关于x 的函数；（2）利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，当0x =时，96a k =-=，∴3k =，∴391a x =-+，所以43632201241121y a a x a x x a x ⎛⎫=+--=+-=-- ⎪+⎝⎭，∴361121y x x =--+，0x ≥.【小问2详解】因为3636112113111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭113101≤-=，当且仅当3611x x =++，即5x =时，等号成立.∴当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元.21.已知函数()133x x bf x a++=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意()1,2x ∈，不等式()()222210f x x f x k +-+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3a =，1b =-.（2）4k ≤【解析】【分析】（1）利用()00f =，()()11f f -=-，求得a ，b 的值，再检验即可；（2）先证明()f x 为R 上单调递增，再结合奇偶性可得2321k x x <+-恒成立，利用二次函数的性质求得()2321g x x x =+-，()1,2x ∈的最小值，进而可解.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数得()1003b f a +==+，∴1b =-，∴()1313xx f x a+-=+，又()()11f f -=-，解得3a =，∴()()1313133331x x x x f x +--==++，则()()()()()311331331313331x xx xxxf x f x ------===-=-+++∴()f x 为R 上的奇函数，∴3a =，1b =-.【小问2详解】()()()31312121331331331x x x x x f x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()()212121122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++，因为3x y =在R 上单调递增，所以当12x x <时，1233x x <，即12330x x -<，又2110,1033x x +>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上单调递增.()1,2x ∀∈，()()22221f x x f x k +->--由()f x 为奇函数，上式可变形为()()22221f x x f k x+->-由()f x 为R 上增函数得22221x x k x +->-即2321k x x <+-恒成立，令()2321,12g x x x x =+-<<，而()2214321333g x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()g x 在()1,2单调递增，所以()()14g x g >=，∴4k ≤.22.已知定义在R 上的函数()142xx f x m m +=⋅--（m ∈R ）.（1）当1m =时，求()f x 的值域；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；（3）若函数()y g x =的定义域内存在0x ，使得()()002g a x g a x b ++-=成立，则称()g x 为局部对称函数，其中(),a b 为函数()g x 的局部对称点，若()1,0是()f x 的局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[)2,-+∞（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，由换元法，结合二次函数值域，即可得到结果；（2）根据题意，分0,0,0m m m =<>讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】当1m =时，()1421xx f x +=--令20x t =>，()2221122y t t t =--=--≥-，∴()f x 的值域为[)2,-+∞.【小问2详解】令22x t =>，22y mt t m=-- 2x t =在()1,+∞上单调递增，∴要使()f x 在()1,+∞上单调递增，只需22y mt t m =--在()2,+∞上单调递增①当0m =时，2y t m =--在()2,+∞上单减不符合题意；②当0m <时，22y mt t m =--开口向下不符合题意；③当0m >时，012m m>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得12m ≥，∴实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由()1,0是()f x 的局部对称点得x ∃∈R ，()()110f x f x ++-=代入整理得()()2442220x xxx m m --+-+-=①令222x x t -=+≥，则()22442222x x x xt --+=+-=-代入①式得22250mt t m --=，2225252tm t t t==--当2t ≥时，函数2y t =和5y t=-均为增函数∴52t t -在[)2,+∞上单调递增，∴5322t t -≥，∴240,32t t t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦-，∴实数m 的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

重庆市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

重庆2023—2024年度（上）期中考试高一年级数学试题（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若()(){}1,2,1,3P =，则集合P 中元素的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据集合和元素的概念进行求解.【详解】集合P 中元素为()1,2，()1,3，共2个．故选：B2.命题“x ∀∈R ，2212x x -+≤0”的否定为（）A.x R ∀∉，20212x x -+≤ B.x ∀∈R ，20212x x -+>C.0x ∃∈R ，2002120x x -+> D.0x R ∃∉，2002120x x -+>【答案】C 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2212x x -+≤0”是全称量词命题，所以其否定为0x ∃∈R ，2002120x x -+>，故选：C3.已知集合πZ ,π|3A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，2ππ|,Z 33k B k ββ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则x A ∈是x B ∈的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A 【解析】【分析】根据集合之间的包含关系判断即可.【详解】()31ππ|πZ =33,,|Z k A k k k αααα⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，()2π2ππ|,Z =|Z 333k k B k k ββββ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，31k + 表示3的整数倍加1，2k +表示全体整数，所以x A ∈可以推出x B ∈，x B ∈不可以推出x A ∈，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.故选：A4.若3x >，则26113x x x -+-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式求最小值．【详解】3x >，则30x ->，22611(3)22(3)333x x x x x x x -+-+==-+≥=---，当且仅当233x x -=-，即3x =+故选：D ．5.已知2:80p m m -<，q ：关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到:08p m <<，由不等式解集为R ，利用根的判别式得到210m -<<，结合两集合的包含关系，得到p 是q 的充分不必要条件．【详解】2:8008p m m m -<⇒<<，由关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，可得()24490m ∆=--⨯<，解之得210m -<<，则由{}08m m <<是{}210m m -<<的真子集，可得p 是q 的充分不必要条件．故选：A6.数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A.)0,02a ba b +≥>> B.)0,02a b a b +≤>>C.)20,0aba b a b≤>>+ D.)220,0a b a b +≥>>【答案】B 【解析】【分析】通过图形，并因为AD a =，BD b =，所以2a bOC +=，2a b OD -=，从而可以通过勾股定理求得CD ，又因为CD OC ≥，从而可以得到答案.【详解】 ABC 等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，AD a =，BD b=∴2a bOC +=，2a b OD -= OC AB⊥∴2222222222a b a b a b CD OC OD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴CD =而CD OC ≥2a b +≥()0,0a b >>，故选项B 正确.故选：B7.已知00a b >>，且1ab ＝，不等式11422ma b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A.m ≥2B.m ≥4C.m ≥6D.m ≥8【答案】D 【解析】【分析】由条件结合基本不等式可求a b +的范围，化简不等式可得()()242a b m a b +≥+-，利用二次函数性质求()()242a b a b ++-的最大值，由此可求m 的取值范围.【详解】不等式11422m a b a b++≥+可化为42a b mab a b ++≥+，又00a b >>，，1ab ＝，所以()()242a b m a b +≥+-，令a b t +=，则242t m t ≥-，因为00a b >>，，1ab ＝，所以2t a b =+≥=，当且仅当1a b ==时等号成立，又已知242t m t ≥-在[)2,+∞上恒成立，所以2max 42t m t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭因为()()2221148488222t t t t t -=-=--+≤，当且仅当4t =时等号成立，所以m ≥8，当且仅当2a =-2b =+或2a =，2b =时等号成立，所以m 的取值范围是[)8,+∞，故选：D .8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为（）A.()(),44,∞∞--⋃+B.()()4,04,-+∞ C.()()4,00,4- D.()4,4-【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合奇函数的性质分析()f x 的符号，进而解不等式()0xf x <.【详解】当0x >时，令()()244f x x x x x =-=-，可知：当04x <<时，()0f x <；当4x >时，()0f x >；又因为()f x 是奇函数，可知：当40x -<<时，()0f x >；当<4x -时，()0f x <；对于不等式()0xf x <，则()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，可得40x -<<或04x <<，所以不等式()0xf x <的解集为()()4,00,4- .故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.2R,10x x x ∀∈-+≥B.Z,Z,243x y x y ∃∈∈+=C.菱形的对角线互相垂直D.任意四边形均有外接圆【答案】AC 【解析】【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可.【详解】对于A ，“∀”是全称量词，且由于140∆=-<，故对2R,10x x x ∀∈-+≥，为真命题，故A 正确；对于B ，“∃”是存在量词，故B 错误；对于C ，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C 正确，对于D ，任意四边形不一定有外接圆，对角和为180 的四边形，有外接圆；对角和不是180 的四边形，没有外接圆，故D 错误.故选：AC.10.下列幂函数中满足条件121212()()((0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数是（）A.()f x x =B.2()f x x =C.()f x =D.1()f x x=【答案】BD 【解析】【分析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.【详解】由题意可知，当0x >时，满足条件121212()()()(0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数()f x 的图象是凹形曲线.对于A ，函数()f x x =的图象是一条直线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++=；对于B ，函数2()f x x =的图象是凹形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++<；对于C ，函数()f x =的图象是凸形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++>；对于D ，在第一象限，函数1()f x x=的图象是一条凹形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++<，故选：BD.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，且满足()21f =，则下列说法正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()21f -=-C.不等式()()232f x f x -->-的解集为()5,-+∞D.()()()()()202320220202220232023f f f f f -+-++++=L L 【答案】AB 【解析】【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A ；根据奇函数的性质求()2f -的值，即可判断B ；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C ；根据奇函数的性质求和，判断D.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()()()()00020f f f f =+=，所以()00f =，令y x =-，得到()()()00f x f x f -+==，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于B 中，因为()f x 为奇函数，所以()()2=21f f --=-，故B 正确；对于C 中，设1212,,x x x x y x >==，可得()()()1212f x x f x f x -=+-，所以()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-，又因为12x x >，所以120x x ->，所以()120f x x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递增，因为()21f -=-，所以()()()422222f f f -=--=-=-，由()()232f x f x -->-，可得()()()234f x f x f >-+-，所以()()()2347f x f x f x >--=-，所以27x x >-，得到7x >-，所以()()232f x f x -->-的解集为()7,-+∞，所以C 错误；对于D 中，因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以()()()()()()2023202320222022110f f f f f f -+=-+==-+=L ，又()00f =，故()()()()()202320220202220230f f f f f -+-++++=L L ，所以D 错误.故选：AB12.已知0b >,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式32330ax x abx b +--≤恒成立.则（）A.a<0B.23a b =C.24a b +的最小值为12D.23a ab a b +++的最小值为6-【答案】ACD 【解析】【分析】先对2333ax x abx b +--进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得30+=,即20,9a a b <=,可得选项A,B 正误;将24a b +中的2a 用9b 代替,再用基本不等式即可得出正误;先将29b a=代入23a ab a b +++中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D 的正误.【详解】因为()()()()223233333ax b ax ax x abx b xx b ax +-++=--=+-,32330ax x abx b +--≤恒成立,即()()230b ax x -+≤恒成立,因为0b >,所以当(x ∈时,20x b -<,则需30ax +≥,当)x ∈+∞时,20x b ->,则需30ax +≤,故当x =时,30ax +=,即30=,所以0a <且239a b =-⇒=,故选项A 正确,选项B 错误;所以294412a b b b +=+≥=,当且仅当94b b =时,即32b =时取等,故选项C 正确;因为222229993333a ab a b a a a a a a a a ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭,令33t a a a a ⎛⎫=+=---≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当3a a-=-，即a =t ≤-所以22296t a a =++,故22229333333624a a t t t a a ⎛⎫⎛⎫+++=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以在(,t ∈-∞-上,233324y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭单调递减,即min 1266y =--=-所以236a ab a b +++≥-，故选项D 正确.故选:ACD【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:2112a b a b+≥≥≥+,,0a b >;(2)柯西不等式:()()()22222a bcd ac bd ++≥+;(3)变换后再用基本不等式:()222222112,2a b a b ab a a a a ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）13.已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=______（填数值）【答案】2【解析】【分析】利用指数幂的运算法则计算出结果.【详解】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：214.若函数()()224,134,1x ax a x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先判断出函数为减函数，再根据分段函数的单调性来列出不等关系，求出结果【详解】因为()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上是减函数，当1x <时，()224f x x ax a =-+，对称轴为x a =，分段函数要满足在R 上单调递减，需要满足1303421a a a a a ≥⎧⎪-<⎨⎪-+≤+⎩，解得：413a ≤≤.故答案为：41,3⎡⎤⎢⎣⎦15.若幂函数()f x 过点()4,2-，则满足不等式()()221f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据幂函数所过点得到()f x 为偶函数，在第一象限过()4,2，从而求出解析式，根据幂函数单调性得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】幂函数()f x 的图象过点()4,2-，∴()f x 为偶函数，在第一象限过()4,2；当0x ≥，设()f x x α=，则42α=，解得12α=；∴幂函数()()24R f x xx =∈，由于204>，故()()24R f x x x =∈在[)0+x ∈∞，上单调递增，不等式()()()()221221221f a f a fa f a a a ->-⇔->-⇔->-，平方得2244441a a a a -+>-+，解得11a -<<；所以实数a 的取值范围是()1,1-．故答案为：()1,1-16.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-【解析】【分析】根据函数的奇偶性，先求得,a b ，然后求得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()+11f x f x -=+①，因为()2f x +是奇函数，所以()()+22f x f x -=-+②，令1x =，由①得：()()024f f a b ==+，由②得：()()()3=1f f a b -=-+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a +-+=⇒=，令0x =，由②得：()()()22208f f f b =-⇒=⇒=-，所以当[]1,2x ∈时，()2=28f x x -，11137=1122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：72-四、解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）17.已知集合{34}A xx =-<<∣，集合{133}B x m x m =-<<+∣.（1）当2m =时，求()R ,A B A B ð；（2）若A B ⋂=∅，求m 的取值范围.【答案】（1）{39}A B xx ⋃=-<<∣，(){31}A B x x ⋂=-<≤R ∣ð（2）{5mm ≥∣或2}m ≤-【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算即可求解，（2）分类讨论即可求解.【小问1详解】当2m =时，{19}B xx =<<∣，{39}A B x x ⋃=-<<∣.因为{1B x x =≤R ∣ð或9}x ≥，所以(){31}A B x x ⋂=-<≤R∣ð.【小问2详解】当B =∅时，133m m -≥+，解得2m ≤-.当B ≠∅时，133,333m m m -<+⎧⎨+≤-⎩或133,14,m m m -<+⎧⎨-≥⎩解得5m ≥，即m 的取值范围是{5mm ≥∣或2}m ≤-.18.已知抛物线()235y mx m x n =+--经过点()0,15-.（1）若关于x 的不等式()2350mx m x n +--<的解集为33m n x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,m n 的值；（2）若0m <，求关于x 的不等式()2350mx m x n +-->的解集.【答案】（1）3,15m n ==（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理计算求值即可;（2）分35m <-,35m =-,305m -<<三种情况讨论一元二次不等式的解集.【小问1详解】由抛物线()235y mx m x n =+--经过点()0,15-得15n =，因为不等式()2350mx m x n +--<的解集为33m n x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，所以0m >，易得关于x 的一元二次方程()2350mx m x n +--=的两个根分别为,33m n -.由根与系数的关系可得53,33,33m n m m m n n m -⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩解得3m =或-3（舍去），即3,15m n ==.【小问2详解】不等式()235150mx m x +-->可化为()()350mx x +->.令35m -=，得35m =-.当35m =-时，不等式为2(5)0x -<，无解；当35m <-时，35m -<，解不等式()()350mx x +->得35x m -<<；当305m -<<时，35m ->，解不等式()()350mx x +->得35x m <<-.综上，当35m <-时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣；当35m =-时，原不等式的解集为∅；当305m -<<时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣.19.已知ABC 的三边长为,,a b c ，其中2a =.求证：ABC 为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解.【详解】证明：充分性：当2a =时，多项式()2224b c b c bc +-+=-可化为()222b c a b c bc a +-+=-，即222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，则()()()2220a b b c a c -+-+-=，所以0a b b c a c -=-=-=，即a b c ==，ABC 为等边三角形，即充分性成立；必要性：由ABC 为等边三角形，且2a =，所以2a b c ===，则()2220b c b c +-+=，40bc -=，所以()2224b c b c bc +-+=-，即必要性成立．故ABC 为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．20.如图，现将正方形区域ABCD 规划为居民休闲广场，八边形HGTQPMKL 位于正方形ABCD 的正中心，计划将正方形WUZV 设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形EFUW ，,,IJVW VZON UZRS 上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形,,,AEHLI DFGTS PQRCO BNMKJ 上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中,,,,GH TQ MP KL LH GT PQ KM GH PM TQ KL EF =======∥∥的长度最多能达到40米.（1）设总造价为S （单位：百元），HG 长为2x （单位：米），试用x 表示S ；（2）试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？6.6=，结果保留整数）【答案】（1）2280000008616000(020)S x x x =++<≤（2）68800百元【解析】【分析】（1）将各部分分别求造价再求和即可；（2）根据基本不等式求解即可.【小问1详解】方法一：因为2HG x =米，所以HL =米，得HW LW x ==米.根据题意可得四个三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 的面积之和为22x 平方米，正方形WUZV 的面积为24x 平方米，四个五边形的面积之和为22228000400000042242x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭平方米，则休闲广场的总造价22224000000204280002252S x x x x ⎛⎫=⨯+⨯+-+⨯ ⎪⎝⎭2280000008616000(020)x x x =++<≤.方法二：设HE y =米，因为2HG x =米，所以HL =米，得HW LW x ==米，根据题意可得阴影部分面积为()2424288x y x x xy x ⋅⋅+⋅⋅=+平方米，则22800081000888000,8x xy x y x x x -+===-，四个三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 的面积之和为22x 平方米，正方形WUZV 的面积为24x 平方米，因为正方形ABCD 的面积为()222(42)16164x y x xy y +=++平方米，所以四个五边形的面积之和为222216164800024x xy y x x ++---()22101648000x xy y =++-平方米，所以休闲广场的总造价()222220428000210164800052S x x xy y x =⨯+⨯+⨯++-+⨯22110328x xy y =++2280000008616000(020)x x x =++<≤.【小问2详解】因为228000000861600016000S x x =++≥+1600068800=+=，当且仅当22800000086xx =，即2220x ==<时，等号成立，所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.21.已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2a f x x x =-+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2,0,()0,0,2,0.a x x x f x x a x x x ⎧-+-<⎪⎪==⎨⎪⎪-++>⎩（2）4a ≥-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得；（2）设12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <则12())0(f x f x ->，即可得到1210a x x +>⋅恒成立，参变分离得到12a x x >-⋅，即可得解.【小问1详解】当0x =时，由函数()f x 为R 上的奇函数得(0)0f =；当0x >时，0x -<，则()2a f x x x-=--，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()2()a f x x f x x -=--=-，所以()2a f x x x =-++，故2,0,()0,0,2,0.a x x x f x x a x x x ⎧-+-<⎪⎪==⎨⎪⎪-++>⎩【小问2详解】由函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，设12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <，都有12()()f x f x <，即12())0(f x f x ->，即121212()()2(2)a a f x f x x x x x -=-+---+-2112()()a a x x x x =-+-2112()(10a x x x x =-⋅+>⋅.则12,[2,)x x ∀∈+∞，因为12x x <，所以210x x ->，所以1210a x x +>⋅，则12a x x >-⋅，又124x x -⋅<-，所以4a ≥-.22.若在函数()f x 的定义域内存在区间[],a b ，使得()f x 在[],a b 上单调，且函数值的取值范围是[],ma mb （m 是常数），则称函数()f x 具有性质M ．（1）当12m =时，函数()f x =M ?若具有，求出a ，b ；若不具有，说明理由；（2）若定义在()0,2上的函数()45f x x x =+-具有性质M ，求m 的取值范围．【答案】（1）函数()f x =M ，0,4.a b =⎧⎨=⎩（2）19,216⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得1212a b ==，解得即可；（2）首先将()f x 写出分段函数，再分[](),0,1a b ⊆和[][),1,2a b ⊆两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当[][),1,2a b ⊆时，得到()2451f x m x x x ==-+-在[)1,2上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为()f x =[)0,∞+上单调递增，所以()f x =[],a b上的函数值的取值范围是，即1212a b ==，显然0a b ≤<，所以04a b =⎧⎨=⎩，故函数()f x =M ．【小问2详解】解：()45,014545,12x x x f x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪=+-=⎨⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为4y x x=+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，当[](),0,1a b ⊆时，()f x 单调递减，∴()()f a mb f b ma ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4545a b a a b b +-=+-，整理得()()50a b a b -+-=，∵5a b +=与[](),0,1a b ⊆矛盾，∴当[](),0,1a b ⊆时，不合题意．当[][),1,2a b ⊆时，()f x 在[)1,2单调递增，∴()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，知()f x mx =在[)1,2上有两个不等实根，即()2451f x m x x x==-+-在[)1,2上有两个不等实根，令11,12t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()2451h t t t =-+-，由1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，59816h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10h =，知19216m <<，。

北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析

2024-2025学年第一学期高一年级数学学科期中考试命题人：（答案在最后）考生须知1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分.考试时间120分钟.2.认真填写所在班级、姓名、学号.3.请用2B 铅笔填涂机读卡，用黑色签字笔在二卷上按要求作答.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.已知集合{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,0,1}-C.{0,1}D.{0,1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】由于{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，故A B = {0,1,2}，故选：D2.已知a b >，则下列关系中正确的是（）A.a c b c ->-B.ac bc> C.a b> D.22a b >【答案】A 【解析】【分析】由不等式的性质可判断A ，由特值法可判断BCD.【详解】由a b >，则a c b c ->-，A 正确；当0c =时，ac bc =，故B 错误；当3,7a b =-=-时，a b >，3,7a b ==，则a b <，故C 错误；229,49a b ==，则22a b <，故D 错误.故选：A.3.命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是（）A.R m ∀∈，都有2230m m -+≤B.R m ∃∈，使得2230m m -+≤C.R m ∃∈，使得2230m m -+<D.R m ∃∈，使得2230m m -+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是“R m ∃∈，使得2230m m -+≤”.故选：B.4.已知函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((1))f f -等于（）A.4B.2- C.D.2【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的定义域，先求得(1)f -，再求((1))f f -即可.【详解】因为函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，所以()(1)314f -=--=，所以()((1))42f f f -===，故选：D 5.不等式111x >-的解集为（）A.()(),12,-∞+∞ B.(),2-∞ C.()1,2 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据根式不等式等价于()()120x x --<，即可求解.【详解】由111x >-可得1120011x x x x -+->⇒<--，故等价于()()120x x --<，解得12x <<，故选：C6.下列函数中，满足“对任意的1x ，()20,x ∈+∞使得()()12120f x f x x x -<-”成立的是（）．A.()221f x x x =--+ B.()1f x x x=-C.()1f x x =+ D.()2f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据单调性的定义知函数在在(0,)+∞上为减函数，然后逐项分析即可.【详解】根据题意，“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，使得()()12120f x f x x x -<-”，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数.对于选项A ，2()21f x x x =--+为二次函数，其开口向下且对称轴为1x =-，所以()f x 在(0,)+∞上递减，符合题意；对于选项B ，1()f x x x=-，因为y x =在(0,)+∞上递增，1y x =-在(0,)+∞上递增，所以由单调性的性质知，()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项C ，()1f x x =+为一次函数，所以()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项D ，()2f x x=-在(0,)+∞上单调递增，不符合题意.故选：A.7.已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A.13x <<B.11x -<< C.01x << D.03x <<【答案】C 【解析】【分析】判断出{}02x x <<的真子集，得到答案.【详解】因为{}01x x <<是{}02x x <<的真子集，故{}01x x <<是p 的一个充分不必要条件，C 正确；ABD 选项均不是{}02x x <<的真子集，均不合要求.故选：C8.函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是（）A.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由()y f x =在()0,2上是增函数，()2y f x =+为偶函数，可知()2y f x =+在()0,2上是减函数，进而可比较函数值的大小.【详解】∵()y f x =在()0,2上是增函数，∴()2y f x =+在()2,0-上是增函数，由函数()2y f x =+是偶函数，知：()2y f x =+在()0,2上是减函数，而()()()73512,2,121212222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1301222<<<<，∴()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B9.已知()2411f x x +=-，则函数()f x 的解析式为（）A.()22f x x x=- B.()()211f x x x =-≥C.()()2221f x x x x =-+≥ D.()()221f x x x x =-≥【答案】D 【解析】【分析】根据换元法，设211x t +=≥，得21x t =-，代入即可求解．【详解】设211x t +=≥，则21x t =-，所以()()22112f t t t t =--=-，所以()()221f x x x x =-≥，故选：D ．10.已知()222,01,0x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,0-B.[]0,1C.[] 2,1- D.[]1,2【答案】B 【解析】【分析】由(0)f 是函数()f x 的最小值，结合二次函数的性质知222()2()f x x ax a x a ==-+-在(-∞，0]上单调递减，从而可得0a ≥，再由分段函数的性质知(0)(1)f f ≤，从而求实数a 的取值范围．【详解】解：(0)f 是函数()f x 的最小值，2()()f x x a ∴=-在(-∞，0]上单调递减，0a ∴≥，当0x >时，1()2f x x a a x=+-≥-在1x =处有最小值，即min ()(1)2f x f a ==-，故(0)(1)f f ≤，即22a a ≤-，解得，21a -≤≤，综上所述，01a ≤≤，故实数a 的取值范围是[0，1]，故选：B ．二、填空题（本题共6小题，共30分）11.已知集合{}2|10,A x x x R =-=∈，用列举法表示A =_________.【答案】{}1,1-##{}1,1-【解析】【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合.【详解】解：解方程210x -=得1x =±，所以列举法表示集合为{}1,1A =-，故答案为：{}1,1-12.函数()11f x x =+-的定义域为______.【答案】[)()2,11,-⋃+∞【解析】【分析】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩即可求出.【详解】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得2x ≥-且1x ≠，所以()f x 的定义域为[)()2,11,-⋃+∞.故答案为：[)()2,11,-⋃+∞.13.若函数2()(1)f x x a x a =+-+在区间[2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围__________.【答案】[3,)-+∞【解析】【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.【详解】函数2()(1)f x x a x a =+-+图象开口向上，对称轴为12a x -=-，由函数()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，得122a --≤，解得3a ≥-，所以a 的取值范围是[3,).-+∞故答案为：[3,)-+∞14.已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为_____．【答案】9【解析】【分析】把要求的式子变形为()14414x yx y x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可得到14x y +的最小值．【详解】因为0,0,1x y x y >>+=,所以()1441459x yx y x y y x ⎛⎫++=+++≥+⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =即12,33x y ==时，取等号．故答案为：915.已知函数3()3(g x ax bx a =++，b 为常数），若(2)1g =，则(2)g -=__．【答案】5【解析】【分析】设3()()3f x g x ax bx =-=+，可得函数()f x 为奇函数，从而可得()()0f x f x +-=，即得()3()30g x g x -+--=，代入条件即可得解.【详解】根据题意，设3()()3f x g x ax bx =-=+，有33()()()()()f x a x b x ax bx f x -=-+-=-+=-，则函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，即()3()30g x g x -+--=，变形可得()()6g x g x +-=，则有(2)(2)6g g +-=，(2)1g =，则(2)5g -=；故答案为：5.【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，解题的关键是设3()()3f x g x ax bx =-=+，从而与奇偶性建立联系进而得解，属于基础题.16.若关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，则实数m 的取值范围______.【答案】(],2-∞【解析】【分析】根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】2221021x x m m x x --+≤⇒≤-++，设()[]()2210,3f x x x x =-++∈，()()222112f x x x x =-++=--+，该二次函数的对称轴为1x =，开口向下，当[]0,3x ∈时，()()max 12f x f ==，要想关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，只需()max 2m f x m ≤⇒≤，所以实数m 的取值范围为(],2-∞，故答案为：(],2-∞三、解答题；本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集U =R ，集合{}23A x x =-<<，{}32B x x =-≤≤，（1）求A B ，A B ⋂；（2）求()U A B ð，()U A B ⋃ð．【答案】17.{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤18.(){}23U A B x x ⋂=<<ð，(){2U A B x x ⋃=≤ð或}3x ≥．【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义一次计算即可.【小问1详解】利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，如图．则{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤.【小问2详解】依题意：{2U A x x =≤-ð或}3x ≥，{3U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}23U A B x x =<< ð，(){2U A B x x =≤ ð或}3x ≥．18.已知函数()22f x x x =-．（1）写出()f x 的分段解析式；（2）画出函数()f x 的图象；（3）结合图象，写出函数()f x 的单调区间和值域．【答案】()1函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2见详解;()3函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【解析】【分析】()1去绝对值得到分段函数()f x 的解析式;()2根据解析式,通过描点作图,画出函数()f x 图象;()3结合图象,通过观察,写出函数()f x 的单调区间和值域;【详解】()1由题意可得,当0x ≥时, ;当0x <时,()22f x x x =+;所以函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2根据()1中函数()f x 的解析式,通过描点作图,得到函数()f x 的图象如下:()3由函数图象可知,函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质;函数图象的判定和作法，利用函数图象判断函数的性质;属于中档题,常考题型.19.已知关于x 的不等式()222R x x ax a a +>+∈.（1）若1a =，求不等式的解集；（2）解关于x 的不等式.【答案】（1）112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将1a =代入解不等式即可；（2）因为对应方程的两个根为1,2a -，分12a =-、12a >-、12a <-三种情况解不等式即可.【小问1详解】由()()()()222,2121,210x x ax a x x a x x a x +>+∴+>+∴-+>，当1a =时，可得解集为112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或.【小问2详解】对应方程的两个根为1,2a -，当12a =-时，原不等式的解集为12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，当12a >-时，原不等式的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或}x a >，当12a <-时，原不等式的解集为{x x a <或12x ⎫>-⎬⎭，20.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()41f x x x =+-．（1）利用函数单调性的定义，证明：()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数（2）求函数()f x 的解析式．【答案】（1）证明见解析（2）()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩【解析】【分析】（1）任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，通过判断()()12f x f x -的符号来证明单调性即可；（2）利用()()f x f x =--可得函数解析式.【小问1详解】任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，则()()()()12121212121244411x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫-=+--+-= ⎪⎝⎭，[)1212,2,,x x x x ∈+∞> ，12120,40x x x x ∴->->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，∴()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数；【小问2详解】当0x <时，由函数()f x 是奇函数得()()4411f x x x x x f x ⎛⎫-+--==++ ⎪⎝⎭-=--，，又()00f =，()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪∴==⎨⎪⎪++<⎩.21.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为2900m 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （单位：m ），三块种植植物的矩形区域的总面积为S （单位：2m ）．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）求S 的最大值，并求出此时x 的值．【答案】（1）72002916=--+S x x，()8,450x ∈（2）当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．【解析】【分析】（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积:900(8)2S x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭,根据边长为正得其定义域为(8,450)；（2）利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+⎪⎝⎭，()8,450x ∈．【小问2详解】因为8450x <<，所以72002240x x +≥=，当且仅当60x =时等号成立，从而676S ≤．故当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．22.已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()01f =，()10f -=；()f x 在R 上为增函数；（2）34a <.【解析】【分析】（1）利用赋值法求出()()0,1f f -的值，利用函数的单调性定义判断()f x 的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式()()231f ax x f x -+<转化为()()221f ax x f -<-，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.【详解】（1）令0x y ==，得()()()00001f f f +=+-，得()01f =，令1,1x y =-=，得()()()0111f f f =-+-，得()10f -=；设12,x x 是任意两个不相等的实数，且12x x <，所以210x x ->，所以()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()2110f x x -->，因此()()()()21210f x f x f x f x ->⇒>即()f x 在R 上为增函数；（2）因为()()231f ax x f x -+<，即()2211f ax x -+<，即()220f ax x -<，又()10f -=，所以()()221f ax x f -<-，又因为()f x 在R 上为增函数，所以221ax x -<-在[]1,2x ∈上恒成立；得2210ax x -+<在[]1,2x ∈上恒成立，即221a x x<-在[]1,2x ∈上恒成立，因为2221111x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，当2x =时，221x x -取最小值34，所以34a <；即34a 时满足题意.。