2019年高考数学一轮课时分层训练6函数的奇偶性周期性与对称性理

课时分层训练(六) 函数的奇偶性、周期性与对称性

A 组 基础达标

一、选择题

1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x

＋m ，则f (－2)＝( )

【导学号：79140033】

A ．－3

B ．－54

C.54

D ．3

A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20

＋m ＝0，解得m ＝－1，则

f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]

2．函数y ＝log 21＋x

1－x

的图像( )

A ．关于原点对称

B ．关于直线y ＝－x 对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y ＝x 对称

A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，

即函数定义域为(－1,1)，

又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x

1－x ＝－f (x )，

所以函数y ＝log 21＋x

1－x

为奇函数，故选A.]

3．(2018·银川质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，

当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x

，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－92＝( )

A.12

B. 2

C.22

D ．1

B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝21

2

＝2，故选B.]

4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( ) A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3

D ．有最小值－3

B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.

法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，

f (x )max ＝3，故选B.]

5．(2017·湖南省东部六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( )

【导学号：79140034】

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)

C.⎝

⎛⎭

⎪

⎫1100，100

D ．(0,1)∪(100，＋∞)

C [法一：不等式可化为：⎩

⎪⎨

⎪⎧

lg x ≥0，

lg x ＜2或⎩

⎪⎨

⎪⎧

lg x ＜0，

－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1

100

＜

x ＜1，所以x 的取值范围为⎝

⎛⎭

⎪

⎫1100，100.

法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1

100

＜x ＜100，故选C.]

二、填空题

6．(2018·西宁检测(一))已知函数f (x )＝x 3

＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.

0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3，又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]

7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2

，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________.

【导学号：79140035】

1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.

∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]

8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13的x 的取值范围

是________．

⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]

三、解答题

9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．

[解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32－x ，

且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，

所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．

(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.

10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x

1－3

x .

(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x

8

.

[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－－x

1－3

－x ＝

x

1－3

－x

.

(2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x 8，所以11－3x ＜－18，所以13x

－1＞18

，所以3x

－1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；

当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x ＞－18

，所以3

－x ＞32

，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．

B 组 能力提升

11．(2018·郑州第二次质量预测)已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪

⎫lg 13＝( )