牛题：等边三角形内接圆上一点到三顶点距离平方和不变
等边三角形内切圆半径计算公式
等边三角形内切圆半径计算公式是一个重要的几何学知识点，它在数学和工程领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍等边三角形内切圆半径的计算公式，并探讨其推导过程和几何意义。
一、等边三角形内切圆的定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切。
等边三角形内切圆的半径记为r。
二、等边三角形内切圆半径计算公式等边三角形内切圆半径的计算公式是：r = a * √3 / 6其中，a为等边三角形的边长。
三、推导过程我们来看一下等边三角形内切圆半径计算公式的推导过程。
1. 我们知道等边三角形的高等于√3/2乘边长，而内切圆的半径正好是等边三角形的高。
2. 我们可以得出等边三角形内切圆半径r等于边长a乘以√3/6。
四、几何意义等边三角形内切圆半径的计算公式给出了等边三角形内切圆半径与边长之间的关系，这有助于我们在实际问题中快速计算内切圆的半径。
五、应用举例假设一个等边三角形的边长为6cm，根据等边三角形内切圆半径的计算公式，我们可以直接求得内切圆的半径：r = 6 * √3 / 6 = √3 ≈ 1.73cm六、结论等边三角形内切圆半径的计算公式为r = a * √3 / 6，其中a为等边三角形的边长。
这个公式的推导过程清晰简单，关系直观明了，有着重要的几何意义和实际应用价值。
等边三角形内切圆半径计算公式是一个重要的数学公式，它有着广泛的应用领域，对于提高数学和工程问题的解决效率有着重要的意义。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
等边三角形内切圆是一个非常有趣的几何形状，它具有许多有趣的性质和应用。
在本文的下半部分，我们将进一步探讨等边三角形内切圆的性质、相关定理以及一些实际应用。
七、等边三角形内切圆的性质1. 等边三角形内切圆的半径和等边三角形边的关系通过上文的讨论，我们已经知道等边三角形内切圆的半径r与等边三角形的边长a之间满足以下关系：r = a * √3 / 6这个关系式可以帮助我们在已知等边三角形边长的情况下快速计算出内切圆的半径，为诸如工程设计、数学建模等实际问题的解决提供了便利。
三角形的外心与内切圆关系性质解析
三角形的外心与内切圆关系性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有丰富的性质与关系。
其中，外心与内切圆是三角形中重要的概念。
本文将对三角形的外心与内切圆的关系性质进行解析。
一、外心与内切圆的定义1. 外心：三角形的外接圆的圆心被称为外心，它是三条边的垂直平分线的交点。
外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离。
2. 内切圆：三角形内切圆的圆心被称为内心，它是三角形三条内切线的交点。
内切圆的半径等于内心到三条边的距离。
二、外心与内切圆的位置关系1. 外心与内心的连线垂直于三角形的一条边：外心与内心之间的连线垂直于三角形的一条边。
根据垂直平分线的性质可知，外心与该边的中点相重合。
2. 外心是三角形三条高的交点：三角形的高是指从三个顶点到对边的垂线段。
外心是三条高的交点，同时也是三条边上的垂直平分线的交点。
3. 内心是三角形内角的平分线的交点：三角形的内心是三个内角的平分线的交点。
内心到三条边的距离相等，等于内切圆的半径。
4. 内切圆切分三角形的面积：三角形被内切圆切分成三个小三角形，每个小三角形的面积等于半周长与边长之差的乘积。
三、外心与内切圆的关系性质1. 外心、内心和重心共线：重心是三角形三条中线的交点，它也是三角形内接圆三条角平分线的交点。
根据欧拉定理可知，外心、内心和重心三点共线，且内心与重心在外心与重心的连线上的一半距离。
2. 内切圆半径与外接圆半径的关系：内切圆半径r和外接圆半径R之间有如下关系：r = R / 2，即内切圆半径是外接圆半径的一半。
3. 外心到顶点的距离等于外接圆半径：外心到三角形任意顶点的距离等于外接圆的半径，即OA = OB = OC = R，其中O为外心，A、B、C为三角形的顶点。
4. 内心到顶点的距离等于内切圆半径：内心到三角形任意顶点的距离等于内切圆的半径，即IA = IB = IC = r，其中I为内心。
四、应用与拓展外心与内切圆的关系性质不仅在几何学中有重要应用，也在其他学科中有广泛的拓展。
三角形内切圆圆心公式
三角形内切圆圆心公式一、三角形内切圆圆心（内心）的定义。
三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这个点称为三角形的内心。
设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。
1. 推导。
- 根据角平分线的性质，设内切圆半径为r，内心为I。
- 对于直角三角形，其面积S=(1)/(2)ab。
- 同时，三角形的面积还可以表示为S = (1)/(2)(a + b+ c)r（因为三角形的面积等于以内切圆半径为高，三角形周长的一半为底的三角形面积）。
- 所以(1)/(2)ab=(1)/(2)(a + b + c)r，则r=(ab)/(a + b+ c)。
- 直角三角形内切圆圆心到三边的距离都等于内切圆半径r。
2. 内心坐标（在平面直角坐标系中的情况）- 假设直角三角形的直角顶点为坐标原点(0,0)，两直角边分别在x轴和y轴上，两直角边长度分别为a和b。
- 因为内心是角平分线的交点，根据角平分线的性质，内心的坐标为(r,r)，其中r=(ab)/(a + b+ c)，c=√(a^2)+b^{2}。
三、一般三角形内切圆圆心坐标公式（利用向量法或解析几何方法推导，这里以向量法为例）1. 设三角形顶点坐标及相关向量。
- 设ABC的顶点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)。
- 设→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1)，→AC=(x_3-x_1,y_3-y_1)。
2. 求角平分线向量。
- 根据角平分线的向量公式，∠ A的角平分线向量→AD（D在角平分线上），→AD=frac{|→AC|→AB+|→AB|→AC}{|→AB|+|→AC|}。
3. 同理求∠ B和∠ C的角平分线向量。
- 设→BE是∠ B的角平分线向量，→CF是∠ C的角平分线向量（E,F分别在相应角平分线上）。
- 通过类似的方法求出→BE和→CF。
4. 求内心坐标（联立方程求解）- 设内心I(x,y)，因为内心I在三条角平分线→AD，→BE，→CF上。
三角内切圆面积公式
三角内切圆面积公式三角形的内切圆是三边的唯一切圆，也是三角形的最大内切圆。
它是与三边相切于一点的圆，且此点与三边的切点相互连线形成的三角形的外接圆。
本文将详细介绍三角形内切圆的性质以及计算其面积的公式。
一、内切圆的性质1.内切圆的圆心与三角形的内心重合，即内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点。
2.内切圆的半径等于三条边的垂直距离之和的一半，即r=(p-a)/2,其中p为三角形的半周长，a为三角形任意一边的垂直距离。
3.内切圆的半径与三角形的面积的关系是r=S/p，其中S为三角形的面积，p为三角形的半周长。
4.三角形内切圆与三角形的三边相切于三个切点，其中任意两个切点与三角形的顶点、内心共线。
5.内切圆的面积可以根据半径r计算得到，即S=πr²。
二、三角形内切圆的面积公式根据内切圆的性质，可以得到计算三角形内切圆面积的公式。
假设三角形的半周长为p，面积为S，内切圆的半径为r，根据内切圆的面积公式S=πr²有：S=(p·r)²/π将内切圆的半径r带入，得到：S=(p(p-a)(p-b)(p-c))/p²S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))其中a、b、c分别为三角形的三条边。
为了证明内切圆的面积公式S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，可以采用海伦公式和套圆法。
1.海伦公式根据海伦公式，三角形的面积可以表示为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p为三角形的半周长，即p=(a+b+c)/2证明如下：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，AB=c，BC=a，CA=b。
假设ABD是三角形ABC的内切圆，D为内切圆与∆ABC的切点。
设AD=BD=CD=r，AD=h为三角形ABC的高线，则h等于内切圆与三角形ABC的高线，即h等于内切圆的半径r。
根据直角三角形ABD和点A、B的投影点C'在直角三角形ABD上的位置关系可以得到：h²=a²-(p-a)²=p(p-a)-(p-a)(p-a)=p(p-a)-(p-a)²=(p-a)(p-a)=(p-a)²h²=(p-b)²h²=(p-c)²根据勾股定理，可以得到：h² = (p-a)² + b² - 2(p-a)bcos(C)= (p-b)² + a² - 2(p-b)acos(A)= (p-c)² + a² - 2(p-c)acos(B)将h²=(p-b)²和h²=(p-c)²带入，可以得到：(p-a)² + b² - 2(p-a)bcos(C) = (p-b)²(p-a)² + b² - 2(p-a)bcos(C) = (p-c)² + a² - 2(p-c)acos(B)化简上述两个方程得：b² - 2(p-a)bcos(C) = a² - 2(p-c)acos(B)2abcos(C) = 2acos(B)bcos(C) = acos(B)bcos(C) = acos(B)根据余弦定理，可以得到：cos(C) = cos(B)C=B因此，∆ABC是等边三角形，三条边均相等。
等边三角形内一点到三条边的距离-概述说明以及解释
等边三角形内一点到三条边的距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等边三角形是一种具有特殊几何性质的三角形，其三条边长度相等，三个内角均为60度。
在等边三角形内部选取一点后，我们可以考虑这个点到三条边的距离。
这个问题在数学研究中具有一定的重要性和应用性。
本文旨在探讨等边三角形内一点到三条边的距离的相关概念、性质以及可能的应用。
理解等边三角形内一点到三条边的距离对于深入了解等边三角形的几何特性，解决与之相关的实际问题具有重要意义。
首先，我们将介绍等边三角形的定义和性质，包括它的构造、角度和边长的关系等方面。
然后，我们将探讨三角形内一点到三条边的距离的概念，并讨论不同点位置对于距离的影响。
我们将深入研究这个问题，分析距离的特点、性质以及相关的定理。
最后，我们将总结等边三角形内一点到三条边的距离的特性，并探讨其在实际应用中的可能性和进一步研究方向。
通过本文的阐述和分析，读者将能够全面了解等边三角形内一点到三条边的距离的概念和性质，进一步加深对等边三角形的认识，并掌握解决实际问题的一些方法和思路。
文章的结构将按照以上大纲来展开阐述，期望能给读者带来全面而深入的认识。
1.2文章结构文章结构:在本篇文章中，我们将依次介绍等边三角形的定义和性质，以及三角形内一点到三条边的距离的相关概念。
首先，我们会给出等边三角形的定义，介绍其特点和性质，从而为后面的内容打下基础。
然后，我们会引入三角形内一点到三条边的距离的概念，并介绍这一距离与等边三角形的关系。
在此过程中，我们将探讨如何求解三角形内一点到三条边的距离，并给出相应的推导和证明过程。
在正文部分，我们将深入研究等边三角形内一点到三条边的距离的特点。
具体而言，我们会探讨这一距离与等边三角形内各边的关系，如何确定这一距离的最小值和最大值，以及在特殊情况下这一距离的具体取值等。
同时，我们会分析这个距离在等边三角形内的变化规律，并揭示其中的规律和性质。
在结论部分，我们将总结等边三角形内一点到三条边的距离的特点和规律。
内切圆三角形公式
内切圆三角形公式内切圆是指一个圆完全位于三角形内部，并且与三角形的三条边都相切。
内切圆在几何学中有着广泛应用，可以帮助求解三角形的各种参数和性质。
下面将介绍一些关于内切圆的常用公式和相关定理。
一、内切圆的半径公式设三角形的内切圆半径为r，三角形的周长为p（即三条边的长度之和），三角形的面积为S，则有以下关系：1.内切圆的半径公式：r=S/(p/2)这个公式说明，内切圆的半径大小与三角形面积成正比，与三角形的周长成反比。
即三角形的面积越大，内切圆的半径越大；而三角形的周长越大，内切圆的半径越小。
二、内切圆和三角形的关系1.内切圆与三角形的接点：内切圆与三角形的三条边分别相切于三个点，称为内切圆的接点。
这三个接点将三角形的三条边分成了三个小线段。
2.内切圆和三角形的切点连线：将内切圆的三个切点依次相连，可以得到三条线段，分别和三角形的三个顶点相连。
这三个线段叫做切点连线。
三、内切圆和三角形的性质1.内切圆和三角形的关系：内切圆的圆心恰好是三角形三条内角平分线的交点。
这个性质称为内切圆的圆心定理。
也就是说，内切圆的圆心和三角形的三个内角平分线的交点重合。
2.内切圆和三角形的面积关系：设三角形的内切圆的半径为r，三角形的面积为S，则有以下关系：S=p*r这个公式说明，三角形的面积等于内切圆的半径和三角形的周长的乘积。
3.内切圆和三角形的边长关系：设三角形的内切圆与三条边的切点分别为A，B，C，内切圆的半径为r，则有以下关系：AB，+，AC，=BC，+，BA，=CA，+，CB，=其中，a，b，c分别表示三角形的三条边的长度。
也就是说，三角形的每条边与相邻两个内切圆的切点的连线的长度之和等于该边的长度。
四、内切圆和三角形的角度关系1.内切圆和三角形的切角关系：设三角形的内切圆与三角形的三条边分别相切于三个点，称为内切圆的接点，则这三个点和三个相对的内角组成的6个角中的任意两个角相等。
这个性质也称为内切圆的切角定理。
内切圆三角形公式
内切圆三角形公式内切圆三角形是指一个三角形内含有一个内切圆的情况。
内切圆是指一个圆与三角形的三条边相切，并且与三角形的内角位于边的中垂线上。
内切圆对于三角形的性质和特征有很大的影响，它们之间存在一些有趣的关系和公式。
在讨论内切圆三角形的公式之前，我们先来了解一下内切圆的性质和特征。
内切圆的圆心与三角形的三条边的中垂线的交点组成一个三角形，在这个三角形中，圆心与各边的交点分别是圆心角的平分点。
另外，内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：三角形的面积等于内切圆的半径与三条边的长度之积的一半。
接下来，我们将介绍一些与内切圆三角形相关的公式。
1.费马点公式：费马点是指一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
对于任意一个内切圆三角形，费马点就在内切圆的圆心上。
费马点公式给出了费马点到三角形三个顶点的距离之和与内切圆半径的关系：r=d1+d2+d3其中，r表示内切圆的半径，d1、d2、d3分别表示费马点到三个顶点的距离。
2.角平分线长度公式：内切圆对于三角形的内角位于边的中垂线上，因此可以得到如下关系：l1+l2=l3+l4其中，l1、l2、l3、l4分别表示三角形两个内角的平分线长度。
3.角平分线长度与半角公式：内切圆的半角是指内切圆的半径与边的长度之比。
相邻两条边的内切圆半角之和等于对角边内切圆半角的两倍。
即：α+β=2γ其中，α、β、γ分别表示相邻两条边的内切圆半角和对角边的内切圆半角。
4.内切圆半径与三角形面积的关系：内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：S=r·p其中，S表示三角形的面积，r表示内切圆的半径，p表示三角形的半周长。
5.勾股定理公式：a=p-rb=p-rc=p+r其中，a、b、c分别表示直角边的长，p表示三角形的半周长，r表示内切圆的半径。
上述是内切圆三角形的一些公式，它们可以帮助我们理解和计算内切圆三角形的性质和特征。
根据这些公式，我们可以推导和证明一些内切圆三角形的定理和性质。
三角形内有没有一个点到三边距离之和最小
不论是不是内心, 一个点到三边的距离都是垂线段的长度, 相互之间不能直接比较.正确的结论是这样的:①若三角形不等腰,则平面上到三边距离和最小的点是最大内角的顶点.②若三角形等腰, 而底边大于腰,则到三边距离和最小的点是顶角的顶点.③若三角形等腰, 而底边小于腰,则底边上(内部和端点)任意一点到三边距离和相等, 并为平面上点到三边距离和的最小值.④若三角形等边,则三角形内任意一点到三边距离和相等, 并为平面上点到三边距离和的最小值.证明不难, 关键是如下特殊情况.借用下面的图, P是△AMN的一边MN所在直线上任意一点.PE, PF分别为到另两边的垂线段. 设AM ≥ AN, NK MJ分别是AM, AN边上的高.则有如下结论:1) MJ ≥ NK.2) 当P不在线段MN上, 有PE+PF > NK.3) 若AM = AN, 且P在线段MN上, 有PE+PF = NK.4) 若AM > AN, P在线段MN上且不与N重合, 则PE+PF > NK.证明:1) ∵AN·MJ/2 = S△AMN = AM·NK/2, ∴AN·MJ = AM·NK.又∵AM ≥ AN, ∴MJ ≥ NK.2) 若P在M左侧, 则PE+PF ≥ PE > MJ ≥ NK. 若P在N的右侧, 则PE+PF ≥ PF > N K. 因此PE+PF > N K对直线MN上不在线段MN上的P点均成立.3) ∵S△AMP = AM·PF/2, S△ANP = AN·PE/2,∴S△AMN = S△AMP+S△AMP = (AM·PF+AN·PE)/2.又∵S△AMN = AM·NK/2, ∴AM·NK = AM·PF+AN·PE (*).∵AM = AN, ∴NK = PF+PE.4) 接上面(*)式.∵AM > AN, PE > 0,∴AM·NK = AM·PF+AN·PE < AM·PF+AM·PE = AM·(PE+PF),∴NK < PE+PF.向左转|向右转回到一般情况.如图, 设P是△ABC所在平面上任意一点, PD, PE, PF分别为其到三边的垂线段.过P作BC的平行线, 交AB, AC于M, N.不妨设AB ≥ AC, 则有AM ≥ AN. 设NK, NL为N到AB, BC的垂线段.∵MN // BC, ∴PD = NL.而上面的特殊情况已证PE+PF ≥ NK, ∴PD+PE+PF ≥ NL+NK.即P到三边距离和不小于N到三边距离和.这样就完成了第一步放缩, 将平面上的点变到一条边所在的直线上.再对N使用上面的特殊情况(N在直线AC上运动),可知AB ≥ BC时, N到三边的距离和不小于C到三边的距离和 (由AB ≥ AC, 此时AB为最大边). 而BC ≥ AB, N到三边的距离和不小于A到三边的距离和, (由AB ≥ AC, 此时BC为最大边).总结起来, N到三边的距离和不小于最大内角的顶点到三边的距离和.这样就完成了第二步放缩, 将直线上的点变到一点.因此平面上到△ABC三边距离和的最小值一定在其最大内角的顶点取得.而当△ABC有两边或三边相等, 上述放缩过程中的部分"≥"能成立等号.此时可能有更多的点取得最小值.具体来说, 当三角形等腰, 且底边小于腰, 最大内角是底角.底边上的点到三边(另两边)的距离和为定值, 即都等于最小值.但对底边之外的点, 第一步放缩的不等号是严格的, 因此不能取得最小值.当三角形等边, 两步放缩都能取得等号(对三角形内的点).因此最小值在三角形内的任意点处取得(其实也可以直接用△APB, △BPC, △CPA的面积证明).至此结论证毕.如果非要说内心到三边距离的极值性质, 那就是"到三边距离的最大值最小".这个其实很显然, 而且意义不大, 所以就不写了.199条建筑设计知识1. 公共建筑通常以交通、使用、辅助三种空间组成2. 美国著名建筑师沙利文提出的名言‘形式由功能而来’3. 密斯.凡.德.罗设计的巴塞罗那博览会德国馆采用的是‘自由灵活的空间组合’开创了流动空间的新概念4. 美国纽约赖特设计的古根海姆美术馆的展厅空间布置采用形式是串联式5. 电影放映院不需采光6. 点式住宅可设天井或平面凹凸布置可增加外墙面，有利于每层户数较多时的采光和通风7. 对结构形式有规定性的有大小和容量、物理环境、形状的规定性8. 功能与流线分析是现代建筑设计最常用的手段9. 垂直方向高的建筑需要考虑透视变形的矫正10. 橙色是暖色，而紫色含有蓝色的成分，所以偏冷；青色比黄色冷、红色比黄色暖、蓝色比绿色冷11. 同样大小冷色调较暖色调给人的感觉要大12. 同样距离，暖色较冷色给人以靠近感13. 为保持室内空间稳定感，房间的低处宜采用低明度色彩14. 冷色调给人以幽雅宁静的气氛15. 色相、明度、彩度是色彩的三要素；三元色为红、黄、蓝16. 尺度的概念是建筑物整体或局部给人的视角印象大小和其实际大小的关系17. 美的比例，必然正确的体现材料的力学特征18. 不同文化形成独特的比例形式19. 西方古典建筑高度与开间的比例，愈高大愈狭长，愈低矮愈宽阔20. ‘稳定’所涉及的要素是上与下之间的相对轻重关系的处理21. 人眼观赏规律H 18°～45°局部、细部2H 18°～27°整体3H ＜18°整体及环境22. 黄金分隔比例为1：1.61823. 通风屋面只能隔离太阳辐射不能保温，适宜于南方24. 总图布置要因地制宜，建筑物与周围环境之间关系紧凑，节约因地；适当处理个体与群体，空间与体形，绿化和小品的关系；合理解决采光、通风、朝向、交通与人流的组织25. 热水系统舒适稳定适用于居住建筑和托幼蒸汽系统加热快，适用于间歇采暖建筑如会堂、剧场26. 渐变具有韵律感27. 要使一座建筑显得富有活力，形式生动，在构图中应采用对比的手法对比的手法有轴线对比、体量对比、方向对比、虚实对比、色彩对比28. 要使柱子看起来显得细一些，可以采用暗色和冷色29. 巴西国会大厅在体型组合中采用了对比与协调的手法30. 展览建筑应使用穿套式的空间组合形式31. 室外空间的构成，主要依赖于建筑和建筑群体组合32. 在意大利威尼斯的圣马可广场的布局中，采用了强调了各种空间之间的对比33. 当坡地坡度较缓时，应采用平行等高线布置34. 建筑的有效面积=建筑面积-结构面积35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38°42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/1243. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38°42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/1243. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38°42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/1243. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽51. 入地下车库的坡道端部宜设挡水反坡和横向通长雨水篦子52. 室内台阶宜150*300；室外台阶宽宜350左右，高宽比不宜大于1：2.553. 住宅公用楼梯踏步宽不应小于0.26M，踏步高度不应大于0.175M54. 梯段宽度不应小于1.1M（6层及以下一边设栏杆的可为1.0M），净空高度2.2M55. 休息平台宽度应大于梯段宽度，且不应小于1.2M，净空高度2.0M56. 梯扶手高度0.9M，水平段栏杆长度大于0.5M时应为1.05M57. 楼梯垂直杆件净空不应大于0.11M，梯井净空宽大于0.11M时应采取防护措施58. 门洞共用外门宽1.2M，户门卧室起居室0.9M，厨房0.8M，卫生间及阳台门0.7M，所有门洞高为2.0M59. 住宅层高不宜高于2.8M60. 卧室起居室净高≥2.4M，其局部净高≥2.1M（且其不应大于使用面积的1/3）61. 利用坡顶作起居室卧室的，一半面积净高不应低于2.1M利用坡顶空间时，净高低于1.2M处不计使用面积；1.2--2.1M计一半使用面积；高于2.1M全计使用面积62. 放家具墙面长3M，无直接采光的厅面积不应大于10M263. 厨房面积Ⅰ、Ⅱ≥4M2；Ⅲ、Ⅳ≥5M264. 厨房净宽单面设备不应小于1.5M；双面布置设备间净距不应小于0.9M65. 对于大套住宅，其使用面积必须满足45平方米66. 住宅套型共分四类使用面积分别为34、45、56、68M267. 单人卧室≥6M2；双人卧室≥10M2；兼起居室卧室≥12M2；68. 卫生间面积三件3M2；二件2--2.5M2；一件1.1M269. 厨房、卫生间净高2.2M70. 住宅楼梯窗台距楼地面净高度低于0.9米时，不论窗开启与否，均应有防护措施71. 阳台栏杆净高1.05M；中高层为1.1M(但要＜1.2)；杆件净距0.1172. 无外窗的卫生间应设置防回流构造的排气通风道、预留排气机械的位置、门下设进风百叶窗或与地面间留出一定缝隙73. 每套应设阳台或平台、应设置晾衣设施、顶层应设雨罩；阳台、雨罩均应作有组织排水；阳台宜做防水；雨罩应做防水74. 寒冷、夏热冬冷和夏热冬暖地区的住宅，西面应采取遮阳措施75. 严寒地区的住宅出入口，各种朝向均应设防寒门斗或保温门76. 住宅建筑中不宜设置的附属公共用房有锅炉房、变压器室、易燃易爆化学物品商店但有厨房的饮食店可设77. 住宅设计应考虑防触电、防盗、防坠落78. 跃层指套内空间跨跃两楼层及以上的住宅79. 在坡地上建住宅，当建筑物与等高线垂直时，采用跌落方式较为经济80. 住宅建筑工程评估指标体系表中有一级和二级指标81. 7层及以上（16米）住宅必须设电梯82. 宿舍最高居住层的楼地面距入口层地面的高度大于20米时，应设电梯83. 医院病房楼，设有空调的多层旅馆，超过5层的公建室内疏散楼梯，均应设置封闭楼梯间（包括首层扩大封闭楼梯间）设歌舞厅放映厅且超过3层的地上建筑，应设封闭楼梯间。
等边三角形顶点到中心的距离
等边三角形顶点到中心的距离等边三角形是指三条边长度相等的三角形，它的中心点是指三条中线的交点，也就是三条边中点的连线所交的点。
本文将探讨等边三角形顶点到中心的距离。
1. 各顶点到中心的距离相等首先，我们可以证明一个结论：等边三角形各顶点到中心的距离相等。
这个结论可以通过以下步骤得到：（1）画出等边三角形ABC，并以M、N、P分别表示AB、BC、CA的中点。
（2）连接各顶点到中心点O，得到OA、OB、OC三条连线。
（3）由于三边长度相等，所以三个中点M、N、P构成的三角形也是等边三角形，且其边长是初始等边三角形的一半。
（4）通过割几何和全等三角形的性质，可以证明三角形OMN ≌ OMP≌ ONP。
（5）由于三边相等，则三角形OMN、OMP、ONP的三边长度也相等。
而且，它们是通过顶点分别连到中心的连线。
则得到等边三角形内每个顶点到中心点的距离相等。
综上所述，等边三角形各顶点到中心的距离相等，可以记为d。
2. 如何求等边三角形顶点到中心的距离有了结论，我们就可以求等边三角形顶点到中心的距离了。
设等边三角形的一条边长为a，则其面积为S=√3/4 * a²（这个可以通过海龙公式求得）。
而且，等边三角形中心到各顶点的距离（即上文所述的d）等于2/3 * 高（等边三角形的高即通过中心点垂直于一条边所得到的垂线段）。
则利用等边三角形的特点，可以得到等边三角形的高为h=√3/2 * a。
因此，等边三角形的中心到各顶点的距离d=2/3 * h = 2/3 * √3/2 * a = √3/3 * a。
3. 总结综上所述，等边三角形的中心到各顶点的距离相等，且距离可表示为√3/3 * a（其中a为等边三角形的边长）。
掌握这个结论和求解方法，可以帮助我们更好地理解等边三角形的特点，进而应用到更广泛的数学领域中。
圆内接等边三角形的面积公式
圆内接等边三角形的面积公式在我们的数学世界里，圆内接等边三角形可是一个有趣的存在。
今天咱们就来好好聊聊圆内接等边三角形的面积公式。
先来说说啥是圆内接等边三角形。
简单来讲，就是一个等边三角形，它的三个顶点都恰好落在一个圆上。
那这时候，咱们怎么去算它的面积呢？这就得用到一个神奇的公式啦：$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$ ，这里的 $S$ 表示三角形的面积，$r$ 是圆的半径。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这公式咋来的呀？” 我笑了笑，决定带着他们一起来推导推导。
咱们先画一个圆，然后在圆里画出一个内接等边三角形。
接下来，咱们连接圆心和三角形的三个顶点。
这样就把这个等边三角形分成了三个相等的等腰三角形。
这时候咱们来看看其中一个等腰三角形。
等腰三角形的顶角是$120^{\circ}$ ，底角就是 $30^{\circ}$ 。
咱们设圆的半径是 $r$ ，那等腰三角形的腰长也是 $r$ 。
从圆心向等腰三角形的底边作垂线，这条垂线就是底边的中线。
根据三角函数，咱们可以算出底边的一半是 $r\times \sin 30^{\circ} = \frac{r}{2}$ ，所以底边的长度就是 $r$ 。
那这个等腰三角形的面积就是：$\frac{1}{2} \times r \times r \times\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$ 。
因为整个圆内接等边三角形是由三个这样的等腰三角形组成的，所以它的面积就是 $3 \times\frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$ 。
看着学生们恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。
学会了这个公式，咱们来做几道题试试。
比如说，已知圆的半径是5 厘米，那圆内接等边三角形的面积是多少呢？咱们直接把半径代入公式，$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ 平方厘米。
与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理
，你与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。
外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。
内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。
重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。
垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点相对边作垂线，垂线的交点即是垂心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
等边三角形外心到顶点的距离
等边三角形外心到顶点的距离好嘞，今天咱们聊聊等边三角形的外心和顶点之间的距离。
听起来有点复杂，但其实呢，咱们可以把它想得简单点。
等边三角形，嘿，那可是个特别的家伙。
三条边一样长，三角形的三个角也是相等的，都是60度，简直就是个对称的小天使。
想象一下，咱们的外心，它就像一个神秘的中心点，正好在三角形的外面，离每个顶点的距离都一样，感觉好像在跟三个顶点玩捉迷藏。
想象一下，外心就像是三角形的小保姆，默默在外面看着，随时准备给每个顶点一个温暖的拥抱。
我们可以用圆来帮助理解。
把外心想成是一个圆的中心，这个圆可以完美地包住整个等边三角形。
对，就是这样，外心到每个顶点的距离就等于这个圆的半径。
是不是听起来就更简单了？所以，三角形的每个顶点，和外心之间的那段距离，都是相同的，感觉就像三兄弟，心有灵犀。
我们说说怎么算这段距离。
想象一下，咱们把一个边的长度叫做a。
嘿，等边三角形的外心到顶点的距离，其实就是这个边长度的三分之一再乘以根号三。
这样算的话，如果边长是6，那外心到顶点的距离就是6乘以根号三再除以3，嘿嘿，算出来的距离大约是3.46。
是不是很有意思？你看，这个距离就是个稳定的数字，不管你把三角形的大小怎么变化，这个公式永远适用。
说到这里，可能有小伙伴会想，为什么要用根号三这个家伙呢？这其实和三角形的性质有关系。
外心的存在，让我们在几何世界中找到一种和谐的感觉。
每个顶点和外心之间的距离都是一致的，简直就像一个和谐的小家庭。
无论是打麻将还是下棋，和谐永远是个好东西，不是吗？再说了，这个距离还跟我们生活中的一些事儿有点像。
比如，朋友之间的距离，有时候不在于你们见面的频率，而在于心的距离。
就像外心和顶点，它们都知道彼此存在，心灵相通，距离并不是问题。
就算不在一起，心里也有个牵挂。
你看，几何学不仅有公式，里面还有哲理。
等边三角形的外心和顶点的距离，甚至可以作为我们处理问题的一种思路。
生活中很多事情，虽然看似复杂，其实只要找到关键，就能轻松解决。
已知三角形内一点与三个顶点的距离求三角形的面积
题目：已知P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求△ABC 的面积。
（一）解题有两个思路：（1） 利用面积的方法求解做辅助线：将△PAC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△P ’AB ，连接PP ’，ACP ABP ACP BCP ABP BCP ABC ABC '6'681024S +S S +S S +S 2S S APP BPP ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆⇒为边长为的正三角形，为边长分别为、、的直角三角形，这两个三角形的面积分别为，也就是：根据对称性原理，可以求得：将上面三个式子相加，得到：（2） 利用求边长的方法求解还是做辅助线：将△PAC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△P ’AB ，然后6810AP'BC P810M6CPA P'B22A 222BC 2A BP BP M APM=30AM=3P AB =A =M +BM =3+S AB =36+2(8+1004∆⇒=+ 从点做的垂线交的延长线于，则∠，（二）作图作图时，如果顺着题意来做图，先画一个正三角形ABC ，然后再里面找一点P ，使得PA=6，PB=8，PC=10（或者满足这一比例关系），实际上非常难。
那么正确的作图方法是：画出边长为6的正三角形APP ’和边长分别为6、8、10的直角三角形BPP ’，然后连接AB ，以AB 为边做正三角形ABC 即可，这样获得的图形是才是准确的。
（三）延伸这道题可以延伸出如下的题目：四边形BPCP ’中，连接PP ’和BC ，其中BP=8，BP ’=6，CP=CP ’=PP ’=10，求BC 的长。
延伸的题目是解题过程中想到的。
在第二种解法中当利用边长为6和边长为8的正三角形加上直角三角形时都很容易求解，但是当利用边长为10的正三角形加上直角三角形时难住我了，我晚上为此失眠了好几个小时，在脑子里面构建这样的图形接近了我大脑脑力的极限，下一步的求解则是完全无能了。
三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小值的点在哪里？
三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小值的点在哪里？这个问题可以作为一个知识了解，发散思维三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小值的点叫费马点，为什么这么叫，请看如下：费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。
费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点即为所求P点。
证明：如下图所示。
连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60°∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆∴∠APB=120° ，∠APD=∠ABD=60°同理：∠APC=∠BPC=120°以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°∴△APF为正三角形。
∴不难发现△ABP与△ADF全等。
∴BP=DF ，PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合，且M或在线段DG上或在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
证明重心到三角形的三顶点的距离平方和最小
证明重心到三角形的三顶点的距离平方和最小重心到三角形的三顶点的距离平方和最小是一个重要的几何问题。
在本文中，我们将探讨如何证明这一结论。
让我们回顾一下什么是重心。
在一个三角形ABC中，重心是三条中线的交点，其中中线是连接顶点和对边中点的线段。
重心通常用G 表示。
我们的目标是证明重心到三角形的三个顶点的距离平方和最小。
换句话说，我们要证明对于任意一点P，PA² + PB² + PC² ≥ GA² + GB² + GC²。
其中，A、B、C为三角形的顶点，P为任意一点。
我们来研究重心到三个顶点的距离平方和GA² + GB² + GC²。
根据重心的定义，我们可以知道GA = 2/3 * AM，GB = 2/3 * BM，GC = 2/3 * CM。
其中，M为对边BC的中点。
现在，我们可以将GA² + GB² + GC²改写为(2/3)² * (AM² + BM² + CM²)。
由于AM² + BM² + CM²是一个常数，我们可以将其记为k。
因此，GA² + GB² + GC² = (2/3)² * k = 4/9 * k。
接下来，我们来研究PA² + PB² + PC²。
根据平方和的性质，我们可以将其拆分为三个部分，即PA² + PB² + PC² = PA² + PA² + PB² + PB² + PC² + PC²。
现在，让我们考虑PA² + PA²。
根据三角形的定理，我们知道PA =GA + PG。
将其代入PA² + PA²中，我们可以得到PA² + PA² = (GA + PG)² + (GA + PG)² = 2(GA² + PG²) + 2GA * PG。
内切圆三角形公式(二)
内切圆三角形公式(二)内切圆三角形公式1. 内切圆半径公式内切圆半径公式是指在一个三角形中，内切圆的半径与三角形的三边之间存在一定的关系。
内切圆半径R可以通过以下公式计算：R = A / S其中，A表示三角形的面积，S表示三角形的半周长。
示例假设存在一个边长分别为a、b、c的三角形，半周长为s，面积为A。
根据公式我们可以得到：R = A / s2. 内切圆心公式内切圆心公式是指在一个三角形中，内切圆的圆心与三角形的三边之间存在一定的关系。
内切圆的圆心可以通过以下公式计算：Sx = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c) Sy = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)其中，x1、x2、x3表示三角形的三个顶点在x轴上的坐标，y1、y2、y3表示三角形的三个顶点在y轴上的坐标。
示例假设存在一个三角形，其中的顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
根据公式我们可以得到内切圆的圆心坐标为：Sx = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c) Sy = (a *y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)3. 内切圆的切点公式内切圆的切点公式是指在一个三角形中，内切圆与三个边的切点之间存在一定的关系。
内切圆与三个边的切点可以通过以下公式计算：Tx1 = (a * x1 + R * x4) / (a + R) Ty1 = (a * y1 + R * y4) / (a + R)Tx2 = (b * x2 + R * x5) / (b + R) Ty2 = (b * y2 + R * y5) / (b + R)Tx3 = (c * x3 + R * x6) / (c + R) Ty3 = (c * y3 + R * y6) / (c + R)其中，R表示内切圆的半径，x4、y4、x5、y5、x6、y6分别表示三角形的三个顶点与内切圆的切点在x轴和y轴上的坐标。
等边三角形内切圆的半径
等边三角形内切圆的半径
内切圆半径为6分之根号3乘以a。
假设等边三角形的边长为a，那么长的一半为a/2，依据勾股定容理，所以三角形的高是√[a²-(a/2)²]=√3a/2。
又由于是等边三角形，所以三角形的四心合一。
分高为2：1，其中长的是外接圆半径，短的是内切圆半径。
所以，内切圆半径是6分之根号3乘以a。
等边三角形内切圆相关学问
1、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
2、三角形肯定有内切圆，其他的图形不肯定有内切圆（一般状况下，n边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆），且内切圆圆心定在三角形内部。
3、在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
4、内切圆的半径为r=2S/C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。
5、面积法；1/2lr（l周长）用于任意三角形。
什么是内切圆
与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。
特别地，与三角
形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
三角形肯定有内切圆，其他的图形不肯定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。