模型组合讲解——等效场模型

模型组合讲解——等效场模型

［模型概述］ 2008.11.25

复合场是高中物理中的热点问题，常见的有重力场与电场、重力场与磁场、重力场与电磁场等等，对复合场问题的处理过程其实就是一种物理思维方法。所以在复习时我们也将此作为一种模型讲解。

［模型讲解］

例： 如图2所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡

状态。

（1）若使细线的偏角由α增大到ϕ，然后将小球由静止释放。

则ϕ应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？

（2）若α角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放在到达竖

直位置需多少时间？ 图2

解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成，并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：

αcos )()(22mg Eq mg =

+，令'cos mg mg =α 这里的α

cos 'g g =可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图3所示。这样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。

（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A 点由静止开始摆至B 点

的速度为零。根据重力场中单摆摆动的特点，可知αϕ2=。

（2）若α角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为

g

L g L T αππc o s 2'2==，从A →B 的时间为单摆做简谐运动的半 周期。 即g L T t απcos 2==

。 图3 思考：若将小球向左上方提起，使摆线呈水平状态，然后由静止释放，则小球下摆过程中在哪一点的速率最大？最大速率为多大？它摆向右侧时最大偏角为多大？

点评：本题由于引入了“等效重力场”的概念，就把重力场和电场两个场相复合的问题简化为只有一个场的问题。从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来。值得指出的是，由于重力场和电场都是匀强场，即电荷在空间各处受到的重力及电场力都是恒力，所以，上述等效是允许且具有意义的，如果电场不是匀强电场或换成匀强磁场，则不能进行如上的等效变换，这也是应该引起注意的。

巩固小结：通过以上例题的分析，带电粒子在电场中的运动问题，实质是力学问题，其解题的一般步骤仍然为：确定研究对象；进行受力分析（注意重力是否能忽略）；根据粒子的运动情况，运用牛顿运动定律、动能定理或能量关系、动量定理与动量守恒定律列出方程式求解。 ［模型要点］

物体仅在重力场中运动是最简单，也是学生最为熟悉的运动类型，但是物体在复合场中的运动又是我们在综合性试题中经常遇到的问题，如果我们能化“复合场”为“重力场”，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。如何实现这一思想方法呢？

如物体在恒力场中，我们可以先求出合力F ，在根据m

F g '求出等效场的加速度。将物体的运动转化为落体、抛体或圆周运动等，然后根据物体的运动情景采用对应的规律。

［练习巩固］

如图８所示，在匀强电场中一带正电的小球以某一初速度从绝缘斜面上滑下，并沿与斜面相切的绝缘圆轨道通过最高点．已知斜面倾角为300, 圆轨道半径为Ｒ，匀强电场水平向右，场强为Ｅ，小球质量为m ，带电量为E

mg 33，不计运动中的摩擦阻力，则小球至少应以多大的初速度滑下？在此情况下，小球通过轨道最高点的压力多大？

［课后作业］

1、如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆形轨道的最低点与一水平轨道相连，轨道都是光滑的，轨道所在的空间存在水平向右的匀强电场，场强为E.从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m的带正电的小球，为使小球刚好能在竖直面内完成圆周运动，求释放点A距

圆轨道最低点B的距离s.已知小球受的电场力等于小球重力的.

2、已知如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场。一根长l的绝缘细绳一端固定在O点，另一端系有质量为m并带有一定电荷的小球。小球原来静止在C点。当给小球一个水平冲量后，它可以在竖直面内绕O点做匀速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从C点开始在竖直面内绕O点做圆周运动，至少要给小球多大的水平冲量？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？

+

解析：小球的受力如图９所示，从图中可知：

3

333===Emg mgE mg qE tg θ，030=θ． 所以带电小球所受重力和电场力的合力始终垂直于斜面，

小球在斜面上做匀速直线运动， 其中mg mg F 3

32cos ==θ 把小球看作处于垂直斜面向下的等效力场F 中，等效力加速度g m F g 3

32,==，小球在Ｂ点的速度最小，为Rg Rg v B 332,==

，由功能关系可得： ,2222

121R m g mv mv B A += Rg g R Rg Rg v v B A 3

31033243324,2=+=+= 此即为小球沿斜面下滑的最小速度．

设Ｃ点的速度为v c ，则

)c o s 1(2

121,22θ-=-R mg mv mv B C Rg Rg Rg R g v v B C )232()2

31(334332)cos 1(2,2-=-+=-+=θ 小于球通过最高点Ｃ时，向心力由重力和轨道压力提供，因而有：

R mv mg N C 2=+

图 ９

mg R

Rg m mg R mv N C --=-=)232(2mg )332(-=

1、解析：小球在电场力和重力作用下在竖直面内做圆周运动，新的等效“最高点”在竖直位置的左侧，如图所示.因小球刚好完成圆周运动，故在等效“最高点”C 点：

F=m ，又因为qE=mg ① 所以：

v 2=Rg ②

且cosθ== = ③ sinθ= ④ 对小球从A 点到C 点用动能定理：qE(s-Rsinθ)-mg(R+Rcosθ)=m ⑤

解①②③④⑤组成的方程组得：s=R.

2、解：由已知，原来小球受到的电场力和重力大小相等，增大电压后电场力是重力的3倍。在C 点，最小速度对应最小的向心力，这时细绳的拉力为零，合力为2mg ，可求得速度为v =gl 2，因此给小球的最小冲量为I = m gl 2。在最高点D 小球受到的拉力最大。从C 到D 对小球用动能定理：222

12122C D mv mv l mg -=⋅，在D 点l mv mg F D 22=-，解得F =12mg 。