五年高考真题(数学理) 7.1 不等关系与不等式

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高考北师大版数学总复习课件：7.1不等关系与不等式

π π 5．(教材改编题)已知－ <α <β < ，则 α－β 的取值范围是 2 2 ________．
[答案] (－π，0) π π π π [解析] ∵－ <α<β < ，∴－ <α< ，α－β<0， 2 2 2 2
π π － <－β< ，∴－π<α－β<0 2 2
6． (2012· 盐城模拟 )已知 a<0，－ 1<b<0，那么 a， ab， ab2 的大小关系是________．
[答案] A
)
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵“a＋c>b＋d”⇒ / “a>b 且 c> d”， ∴充分性不成立；又“a> b 且 c> d”⇒“a＋c>b＋d”， ∴必要性成立，故选 A.
2．(2012· 泉州模拟)若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A．若 a> b，则 ac2> bc2 B．若 a< b<0，则 a2> ab> b2 1 1 C．若 a< b<0，则 < a b b a D．若 a< b<0，则 > a b
知识梳理 1．比较两个实数大小的法则设 a， b∈ R，则 (1)a>b⇔ a－b>0 ； (2)a＝ b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔ a－b<0 .
2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b， b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔a＋c>b＋c ； (4)a>b， c>0⇒ ac>bc； a>b， c<0⇒ ac<bc；

【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第七章不等式

第七章不等式考点1 不等关系与不等式1.（2017•山东,7）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A.a+ ＜＜log2（a+b）B.＜log2（a+b）＜a+C.a+ ＜log2（a+b）＜D.log2（a+b））＜a+ ＜1. B ∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选B．2.（2017·天津,8）已知函数f（）= ，设a∈R，若关于的不等式f（）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A.[﹣，2]B.[﹣，]C.[﹣2 ，2]D.[﹣2 ，]2. A 当≤1时，关于的不等式f（）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣2+﹣3≤ +a≤2﹣+3，即有﹣2+ ﹣3≤a≤2﹣+3，由y=﹣2+ ﹣3的对称轴为= ＜1，可得= 处取得最大值﹣；由y=2﹣+3的对称轴为= ＜1，可得= 处取得最小值，则﹣≤a≤ ①当＞1时，关于的不等式f（）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（+ ）≤ +a≤+ ，即有﹣（+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= + ≥2 =2（当且仅当=2＞1）取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得，﹣ ≤a≤2．故选A ． 3.(2016·北京,5)已知,y ∈R ,且＞y ＞0,则( )A.1x －1y＞0 B.sin －sin y ＞0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0 D.ln ＋ln y ＞0 3.C [函数y ＝1x 在(0,＋∞)上单调递减,所以1x ＜1y ,即1x －1y ＜0,A 错;函数y ＝sin 在(0,＋∞)上不是单调函数,B 错;函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0,＋∞)上单调递减,所以⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫12y ,即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y＜0,所以C 正确；ln ＋ln y ＝ln y ,当＞y ＞0时,y 不一定大于1,即不一定有ln y ＞0,D 错.]4. (2016·全国Ⅰ,8)若a >b >1,0<c <1,则( )A.a c b >1⇒a c >b c ,故A 错；对B ：由于－1<c －1<0,∴函数y ＝c －1在(1,＋∞)上单调递减,∴a >b >1⇔a c －11),则f ′()＝ln ＋1>1>0,f ()在(1,＋∞)上单调递增,因此f (a )>f (b )>0⇒a ln a >b ln b >0⇒1a ln a <1b ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c a ln a >ln cb ln b ⇒b log ac >a log b c ,C 正确；对D ：要比较log a c 和log b c ,只需比较ln c ln a 和ln cln b,而函数y ＝ln 在(1,＋∞)上单调递增,故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇔1ln a <1ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c ln a >ln cln b ⇔log a c >log b c ,D 错误,故选C.]5.(2014·四川,4)若a >b >0,c <d <0,则一定有( ) A.a c >bdB.a c b cD.a d －1c >0,又a >b >0,故由不等式性质,得－a d >－b c >0,所以a d <bc,故选D.]6.(2014·浙江，6)已知函数f ()＝3＋a 2＋b ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9 D.c >96.C [由题意，不妨设g ()＝3＋a 2＋b ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g ()的三个零点分别为1＝－3，2＝－2，3＝－1，因此有(＋1)(＋2)(＋3)＝3＋a 2＋b ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9].]7.(2015·江苏，7)不等式22－＜4的解集为________.7.{|－1＜＜2} [∵22－＜4＝22，∴2－＜2，即2－－2＜0，解得－1<<2.]8.(2014·江苏，10)已知函数f ()＝2＋m －1，若对于任意∈[m ，m ＋1]，都有f ()<0成立，则实数m 的取值范围是________.8.⎝⎛⎭⎫－22，0[由题可得f ()<0对于∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.] 考点2 线性规划1．（2018天津，2）设变量，y 满足约束条件则标函数最大值为 ) A ．6 B ．19 C ．21 D ．451.C 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：，可点A 的坐标为：A (2,3)，据此可知目标函数的最大值为：.题选择选项.2.（2017•新课标Ⅱ,5）设，y 满足约束条件，则=2+y 的最小值是（）A.﹣15B.﹣9C.1D.92. A 、y 满足约束条件的可行域如图：=2+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则=2+y 的最小值是：﹣15．故选A．3.（2017·天津,2）设变量，y满足约束条件，则目标函数=+y的最大值为（）A. B.1 C. D.33. D 变量，y满足约束条件的可行域如图：目标函数=+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数=+y的最大值为：3．故选D．4.（2017•北京,4）若，y满足，则+2y的最大值为（）A.1B.3C.5D.94. D ，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数=+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选D．5.（2017•浙江,）若、y满足约束条件，则=+2y的取值范围是（）A.[0，6]B.[0，4]C.[6，+∞）D.[4，+∞）5. A 、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数=+2y经过坐标原点时，函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由解得A（0，3），目标函数的直线为：0，最大值为：36目标函数的范围是[0，6]．故选A．6.(2016·四川,7)设p ：实数,y 满足(－1)2＋(y －1)2≤2,q ：实数,y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.A [如图,(－1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数,y 满足②则必然满足①,反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.]7.(2016·山东,4)若变量,y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.127.C[满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如右图阴影部分(包括边界),2＋y 2是可行域上动点(,y )到原点(0,0)距离的平方,显然,当＝3,y ＝－1时,2＋y 2取最大值,最大值为10.故选C.]8.(2016·北京,2)若,y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.58.C [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令＝2＋y ,则y ＝－2＋,作直线2＋y ＝0并平移,当直线过点A 时,截距最大,即取得最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2),可得2＋y 的最大值为2×1＋2＝4.]9.(2015·广东,6)若变量,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则＝3＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.49.C[不等式组所表示的可行域如下图所示,由＝3＋2y 得y ＝－32＋z 2,依题当目标函数直线l ：y ＝－32＋z2经过A ⎝⎛⎭⎫1，45时,取得最小值即min ＝3×1＋2×45＝235,故选C.]10.(2015·北京,2)若,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则＝＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.210.D[可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12＋12,当直线y ＝－12＋12,过点A (0,1)时,取得最大值2.]11.(2015·福卷,5)若变量,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则＝2－y 的最小值等于( )A.－52B.－2C.－32D.211.A[如图,可行域为阴影部分,线性目标函数＝2－y 可化为y ＝2－,由图形可知当y ＝2－过点⎝⎛⎭⎫－1，12时最小,min ＝2×(－1)－12＝－52,故选A.]12.(2015·山东,6)已知,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若＝a ＋y 的最大值为4,则a ＝( )A.3B.2C.－2D.－312.B[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2,0),由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1).由＝a ＋y ,得y ＝－a ＋.∴当a ＝－2或a ＝－3时,＝a ＋y 在O (0,0)处取得最大值,最大值为ma ＝0,不满足题意,排除C,D 选项；当a ＝2或3时,＝a ＋y 在A (2,0)处取得最大值, ∴2a ＝4,∴a ＝2,排除A,故选B.]13.(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.1713.D[设甲、乙的产量分别为吨,y 吨,由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数＝3＋4y ,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3).则ma ＝3×2＋4×3＝18(万元).]14.(2014·广东,3)若变量,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且＝2＋y 的最大值和最小值分别为m和n ,则m －n ＝( ) A.5 B.6C.7D.814.B[作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y ＝－2＋经过点A 时,的值最大,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1,则m ＝ma ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2＋经过点B 时,的值最小,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1y ＝x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1,则n ＝min ＝2×(－1)－1＝－3,故m －n ＝6.]15.(2014·安徽,5),y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若＝y －a 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( ) A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－115.D[法一由题中条件画出可行域,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则A ＝2,B ＝－2a ,C ＝2a －2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要A ＝B >C 或A ＝C >B 或B ＝C >A ,解得a ＝－1或a ＝2.法二目标函数＝y －a 可化为y ＝a ＋,令l 0：y ＝a ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2.]16.(2014·山东,9)已知,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数＝a ＋by (a >0,b >0)在该约束条件下取到最小值25时,a 2＋b 2的最小值为( ) A.5 B.4C. 5D.216.B [法一不等式组表示的平面区域如图所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,1)处取得最小值,故2a ＋b ＝25,两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20,又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2,所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2),所以a 2＋b 2≥4,即a 2＋b 2的最小值为4,当且仅当a ＝2b ,即b ＝25,a ＝45时等号成立. 法二把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线,则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方,即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.]17.(2014·新课标全国Ⅰ,9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(,y )∈D ,＋2y ≥－2,p 2：∃(,y )∈D ,＋2y ≥2,p3：∀(,y)∈D,＋2y≤3,p4：∃(,y)∈D,＋2y≤－1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p317.C[画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数＝＋2y经过可行域内的点A(2,－1)时,取得最小值0,故＋2y≥0,因此p1,p2是真命题,选C.]18．（2018全国Ⅰ，13）若，y满足约束条件，则大值为_____________．18.6 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由得，画出直线，将其下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，取得最大值，由，解得B(2,0)，此时，答案为6.19．（2018全国Ⅱ，14）若满足约束条件则大值为_________．19.9 不等式组表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数最大值必在顶点处取得，易知当时，.20．（2018浙江，12）若满足约束条件则最值是__________，最大值是___________．20. -28 作可行域，如图中阴影部分所示，则直线点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.21．（2018北京，12）若，y满足+1≤y≤2，则2y−的最小值是__________．21.3 作可行域，如图，则直线点A(1,2)时，取最小值3.22.（2017•新课标Ⅰ,14）设，y满足约束条件，则=3﹣2y的最小值为________．22. -5 由，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立，解得A （﹣1，1）．∴=3﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．23.（2017•新课标Ⅲ,13）若，y 满足约束条件，则=3﹣4y 的最小值为________23.﹣1 由=3﹣4y ，得y=﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=﹣，通过平移可知当直线y=﹣，经过点B （1，1）时，直线y= ﹣在y 轴上的截距最大，此时取得最小值，将B 的坐标代入=3﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数=3﹣4y 的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．24.（2017•山东,10）已知,x y 满足30{350 30x y x y x -+≤++≤+≥，则2z x y =+的最大值是__________．24. 5 画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A （﹣3，4），此时直线y=﹣ + 在y 轴上的截距最大，所以目标函数=+2y 的最大值为ma =﹣3+2×4=5．故选C ．25.(2016·全国Ⅲ,13)若,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则＝＋y 的最大值为________.25.32[满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2,－1),B (0,1),C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界,过C ⎝⎛⎭⎫1，12时取得最大值为32.] 26.(2016·全国Ⅰ,16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 g,乙材料1 g,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 g,乙材料0.3 g,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 g,乙材料90 g,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.26. 216 000 [设生产A 产品件,B 产品y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数＝2 100＋900y .作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,ma ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).]27.(2015·新课标全国Ⅰ,15)若,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________. 27.3[约束条件的可行域如下图,由y x ＝y －0x －0,则最大值为3.]28.(2014·大纲全国,14)设、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则＝＋4y 的最大值为________.28.5 [作出约束条件下的平面区域,如图所示.由图可知当目标函数＝＋4y 经过点B (1,1)时取得最大值,且最大值为1＋4×1＝5.]29.(2014·湖南,14)若变量,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且＝2＋y 的最小值为－6,则＝________.29.－2 [画出可行域(图略),由题意可知不等式组表示的区域为一三角形,平移参照直线2＋y ＝0,可知在点(,)处＝2＋y 取得最小值,故min ＝2＋＝－6.解得＝－2.]考点3 基本不等式1．（2018全国Ⅲ，12）设a=log0.20.3，b=log20.3，则() A．a+b<ab<0B．ab<a+b<0C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b1.B ∵a=log0.20.3,b=log20.3,∴1a =log0.30.2,1b=log0.32,∴1a+1b=log0.30.4,∴0<1a+1 b <1,即0<a+bab<1.又∵a>0,b<0,∴ab<0,即ab<a+b<0.故选B.2．（2018天津，13）已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为_____________.2.1 4由a−3b+6=0可知a−3b=−6，且：2a+18b=2a+2−3b，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×√2a×2−3b=2×√2−6=14.当且仅当{2a=2−3b a−3b=6，即{a=−3b=1时等号成立.综上可得2a+18b的最小值为14.3.（2017•江苏,10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是________．3.30 由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4≥4×2× =240（万元）．当且仅当=30时取等号．故答案为：30．4.（2017·天津,12）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．4. 4 a，b∈R，ab＞0，∴≥= =4ab+ ≥2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．5 .(2014·上海，5)若实数，y满足y＝1，则2＋2y2的最小值为________．5.22[∵2＋2y2≥2x2·2y2＝22y＝22，当且仅当＝2y时取“＝”，∴2＋2y2的最小值为2 2.]。

(五年高考真题)2016届高考数学复习第七章第一节不等关系与不等式理(全国通用)

第一节不等关系与不等式考点不等关系与不等式1．(2014·四川，4)若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c b cD.a d －1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以a d <b c，选D.答案 D2．(2013·陕西，10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解析 (特例法)当x ＝－1.5时，排除A ，B ；当x ＝－1.5，y ＝1.5时，排除C.故选D. 答案 D3．(2011·浙江，7)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析当0<ab <1时，若b >0，则有a <1b ；若b <0，则a <0，从而有b >1a.故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件．反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a <1b 或b >1a，但ab <0.故选A. 答案 A4．(2011·上海，15)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2解析对A ：当a ＝b ＝1时满足ab >0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab >0，但a ＋b <0，1a ＋1b <0，而2ab >0，2ab>0，显然B 、C 不对；对D ：当ab >0时，由均值定理知b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2，故选D. 答案 D。

高考数学一轮复习第七章不等式 7.1 不等式及其解法课件理

D.a2>ab>b2
答案 D 选项A,∵c为实数,∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此时ac2=bc2,故选项A不正确;选项B, 1 - 1 =
ab
b ,a∵a<b<0,∴b-a>0,ab>0,∴ b>0a,即 >1 ,1故选项B不正确;选项C,∵a<b<0,∴取a=-2,b=-1,
ab
ab
ab
12/11/2021
2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的
取值范围是
.
答案
2 2
,0
解析要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需
f f
(即m ) 0,解得-
(m 1) 0,
∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.
∵ b =l o g 2=0 . 3 =llgo0g.220.2,∴b- =logb 20.3-log20.2=log2
a lo g 0.2 0 .3 l g 2
a
解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,
<1,∴3 b<1+
2
⇒ab b<a+b,排除A.故选B.
a
∵ 1 +1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,

2024年高考数学真题分类汇编02：不等式与不等关系

不等式与不等关系一、单选题1．（2024·全国1卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024·全国1卷）已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ì---<=í++³î，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-¥B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+¥3．（2024·全国2卷）已知命题p ：x "ÎR ，|1|1x +>；命题q ：0x $>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p Ø和q 都是真命题C ．p 和q Ø都是真命题D ．p Ø和q Ø都是真命题4．（2024·全国2卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ³，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．15．（2024·全国甲卷文）若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-6．（2024·北京）已知集合{|41}M x x =-<£，{|13}N x x =-<<，则M N È=（）A ．{}43x x -<C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．（2024·北京）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A ．12122log 22y y x x ++>B ．12122log 22y y x x ++<C ．12212log 2y y x x +>+D ．12212log 2y y x x +<+9．（2024·天津）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>二、填空题10．（2024·上海）已知,x ÎR 则不等式2230x x --<的解集为．三、解答题11．（2024·全国甲卷文）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a £时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．12．（2024·全国甲卷理）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ³时，()0f x ³恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．B【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ³时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -ì-³ï´-íï-£+î，解得10a -££，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.3．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p Ø是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q Ø是假命题，综上，p Ø和q 都是真命题.故选：B.4．C【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-£-a b ，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ¥Î-+时，可知()0,ln 0x a x b +³+³，此时()0f x ³；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a Î--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b Î--时，()ln 0x b +<，故0x a +£，所以10b a -+£；()1,x b ¥Î-+时，()ln 0x b +>，故0x a +³，所以10b a -+³；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5．D【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=ìí+-=î，解得321x y ì=ïíï=î，即3,12A æöç÷èø，则min 375122z =-´=-.故选：D.6．A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【解析】由题意得()4,3M N È=-，故选：A.7．C【分析】根据题意分析可得12.1112.22e e S S n n --ì=ïíï=î，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -ì==ïïí-ï==ïî，解得12.1112.22e e S S n n --ì=ïíï=î，若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >；若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==；若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C.8．A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=Î，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-Î--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.9．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B10．{}|13x x -<<【分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集.【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.11．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+¥，11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时，1()0ax f x x-¢=<，故()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当10,x a æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.综上所述，当0a £时，()f x 在(0,)+¥上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，在10,a æöç÷èø上单调递减.（2）2a £，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+，再令()()h x g x ¢=，则121()e x h x x-¢=-，显然()h x ¢在(1,)+¥上递增，则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=，即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增，故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=，即()g x 在(1,)+¥上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证12．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a £-【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a £-、102a -<<、0a ³分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+¢=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,¥-+上为增函数，故()f x ¢在()1,¥-+上为增函数，而(0)0f ¢=，故当10x -<<时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+¢+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++¢+，当12a £-时，()0s x ¢>，故()s x 在()0,¥+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x ¢>，所以()f x 在[)0,¥+上为增函数，故()()00f x f ³=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x ¢<，故()s x 在210,a a +æö-ç÷èø上为减函数，故在210,a a +æö-ç÷èø上()()0s x s <，即在210,a a +æö-ç÷èø上()0f x ¢<即()f x 为减函数，故在210,a a +æö-ç÷èø上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ³，此时()0s x ¢<在()0,¥+上恒成立，同理可得在()0,¥+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a £-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。

高考数学一轮复习第七章不等式 7.1 不等关系与不等式理(2021年最新整理)

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第七章不等式 7。

1 不等关系与不等式理1．两个实数比较大小的方法（1）作差法错误! （a ,b ∈R );(2）作商法错误! (a ∈R ，b 〉0)．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性 a 〉b ⇔b 〈a ⇔传递性 a 〉b ，b >c ⇒a >c ⇒可加性 a >b ⇔a ＋c 〉b ＋c ⇔可乘性错误!⇒ac 〉bc注意c 的符号｝a 〉b ，c 〈0⇒ac <bc同向可加性错误!⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性错误!⇒ac 〉bd ⇒ 可乘方性 a >b 〉0⇒a n 〉b n （n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性 a 〉b 〉0⇒错误!>错误!（n ∈N ，n ≥2）3。

不等式的一些常用性质（1）倒数的性质①a >b ，ab >0⇒错误!<错误!。

②a 〈0〈b ⇒错误!<错误!.③a >b >0,0〈c <d ⇒a c 〉bd .④0<a 〈x 错误!(b－m〉0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m〉0）．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）两个实数a，b之间,有且只有a〉b，a＝b，a〈b三种关系中的一种．（√）(2)若错误!〉1，则a>b。

(五年高考真题)2016届高考数学复习第七章第一节不等关系与不等式理

第一节不等关系与不等式考点不等关系与不等式1.(2014·四川，4)若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c b cD.a d －1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以a d <b c，选D.答案 D2.(2013·陕西，10)设[x ]表示不大于x 最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A.[－x ]＝－[x ]B.[2x ]＝2[x ]C.[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D.[x －y ]≤[x ]－[y ]解析 (特例法)当x ＝－1.5时，排除A ，B ；当x ＝－1.5，y ＝1.5时，排除C.故选D. 答案 D3.(2011·浙江，7)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当0<ab <1时，若b >0，则有a <1b ；若b <0，则a <0，从而有b >1a.故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”充分条件. 反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a <1b 或b >1a，但ab <0.故选A. 答案 A4.(2011·上海，15)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立是( )A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2解析对A ：当a ＝b ＝1时满足ab >0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B.C ：当a ＝b ＝－1时满足ab >0，但a ＋b <0，1a ＋1b <0，而2ab >0，2ab>0，显然B.C 不对；对D ：当ab >0时，由均值定理知b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，故选D. 答案 D。

2025届高中数学一轮复习课件《不等式与不等关系》ppt

B．2ba＜log2(a＋b)＜a＋1b
C．a＋1b＜log2(a＋b)＜2ba
D．log2(a＋b)＜a＋1b＜2ba
1 解析：令 a＝3，b＝13，则 a＋1b＝6，1＜log2(a＋b)＝log2130＜2，2ba＝233＝214，即 a＋1b＞
log2(a＋b)＞2ba.故选 B．
解析答案
高考一轮总复习•数学
第21页
方法二(作商法)：∵p＝a3a＋bb3＝a＋baa2－b ab＋b2， ∴pq＝a2－aabb＋b2≥2aba－b ab＝1，应用基本不等式：a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时等号成立. 此题还有另一妙解：p＝ba2＋ ab2＝ba2＋a＋ab2＋b－(a＋b)≤2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝q. 当且仅当 a＝b 时等号成立． ∵q＜0，∴p≤q.故选 B．
解析答案
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第14页
重难题型全线突破
高考一轮总复习•数学
第15页
题型不等式简单性质的理解
典例 1(1)若 a，b 都是实数，则“ a－ b＞0”是“a2－b2＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出1a＜1b成立的是________．
解析答案
高考一轮总复习•数学
4．“a＋b＞2c”的一个充分条件是( )
A．a＞c 或 b＞c
B．a＞c 且 b＜c
C．a＞c 且 b＞c
D．a＞c 或 b＜c
第13页
解析：对于 A，a＞c 或 b＞c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 A 错误；对于 B，a＞c 且 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 B 错误；对于 C，a＞c 且 b＞c，由同向不等式相加的性质，可以推出 a＋b＞2c，故 C 正确；对于 D，a＞c 或 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 D 错误．故选 C．

§7.1 2017《5年高考3年模拟》B版(浙江省专用)教学不等关系与不等式

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高考数学（浙江省专用）
§7.1 不等关系与不等式栏目索引Fra bibliotek知识清单
考点不等关系与不等式的性质
1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.另外,若
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方法2 用不等式性质研究参变量的取值范围的解题策略
在求参变量的取值范围时,一定
要注意题设中的条件,在变换过程中要准确利用不等式的基本性质及其他有关的性质.
例2 若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中整数恰好有2个,则实数a的取值范围是
.
解题导引利用不等式性质确定a的符号利用特殊值得关于a的不等式组解不等式组
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如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,且n≥2). 推论3:开方法则如果a>b>0,那么 n a > n b (n∈N*,且n>1). 4.在两个不等式中,如果每一个不等式的左边都大于(或小于)右边,那么这两个不等式就是同向不等式,例如a2+a>a+1,3a2+5>2a是同向不等式.如果一个不等式的左边大于(或小于)右边,而另一个不等式的左边小于(或大于)右边,那么这两个不等式就是异向不等式,例如a2+3>2a,a2<a+5是异向不等式. 5.同向可加性及同向可乘性可以推广到两个以上的不等式. 6.注意不等式性质的单向性或双向性,也就是说每条性质是否具有可逆性.只有a>b⇒b<a,a>b⇒ a+c>b+c是可以逆推的,而其余几条性质不可逆推,在应用性质时要准确把握条件是结论的充要条件还是充分条件. 7.在应用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的前提条件.例如: (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c⇒a≤c就是错误的.

近五年全国卷理科数学不等式

12.I.全国普通高等学校招生统一考试理科数学（23）已知函数()2f x x a x =++- （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

13.I 全国普通高等学校招生统一考试理科数学（23）已知函数a x x x f ++-=212)(，3)(+=x x g .（Ⅰ）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集； Ⅱ）设1->a ，且当)21,2[a x -∈时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围. 13.II 全国普通高等学校招生统一考试理科数学（24）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ac ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥ 14.I 全国普通高等学校招生统一考试理科数学24.若0,0a b >>，且11ab a b+=.（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 14.II 全国普通高等学校招生统一考试理科数学24. 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围. 15.I 全国普通高等学校招生统一考试理科数学（24）已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围15.II 全国普通高等学校招生统一考试理科数学24．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：（1）若ab > cd ；则a b c d +>+；（2）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件。

高中数学五三高考真题解析7.1 不等式及其解法

专题七不等式【真题典例】7.1不等式及其解法挖命题【考情探究】分析解读本节是高考的热点,主要命题点有:(1)不等式的性质及应用,常以不等式为载体与函数相结合考查,注意不等式的等价变形;(2)不等式的解法,常与集合的基本运算相结合考查;(3)一元二次不等式恒成立问题,常与函数结合考查.一般以选择题和填空题的形式出现,难度不大.破考点【考点集训】考点一不等关系1.(2018河南商丘4月联考,4)若a<b<0,则下列不等关系中,不成立的是()A.>B.>C.<D.a2>b2答案B2.(2018广东中山期末,7)已知实数a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c答案B3.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.解析设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为常数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,∴解得∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.考点二不等式的解法1.(2017安徽江淮十校第三次联考,5)|x|(1-2x)>0的解集为()A.(-∞,0)∪B.C. D.答案A2.(2018安徽蒙城第一中学、淮南第一中学等五校联考,11)在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2个整数,则实数a的取值范围是()A.(-3,5)B.(-2,4)C.[-3,5]D.[-2,4]答案D3.(2018上海长宁、嘉定一模,2)不等式≤0的解集为.答案(-1,0]炼技法【方法集训】方法一元二次不等式恒成立问题1.(2018安徽安庆模拟,9)若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值是()A.0B.-2C.-D.-3答案C2.(2018湖南长、望、浏、宁四县3月联合调研,12)设f(x)满足f(-x)=-f(x),且在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1],当a∈[-1,1]时都成立,则t的取值范围是()A.-≤t≤B.t≥2或t≤-2或t=0C.t≥或t≤-或t=0D.-2≤t≤2答案B3.(2018江苏南京金陵中学高三上学期月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是.答案1≤t≤过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一不等关系(2018课标Ⅲ,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b答案B考点二不等式的解法(2014课标Ⅰ,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3答案BB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一不等关系1.(2017山东,7,5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+<答案B2.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.->0B.sin x-sin y>0C.-<0D.ln x+ln y>0答案C3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<答案D考点二不等式的解法1.(2018北京,8,5分)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤时,(2,1)∉A答案D2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.答案C组教师专用题组1.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100答案D2.(2015湖北,10,5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n,则正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6答案B3.(2014浙江,6,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9答案C4.(2014山东,5,5分)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y3答案D【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届四川眉山一中办学共同体高三10月月考,3)若0<a<1,b>c>1,则下列选项中正确的是()A.<1B.>C.c a-1n>0,则()A.-<-B.-<C.>D.m2<mn答案B3.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,8)不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a>0的解集为()A. B.C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2或x>1}答案A4.(2017河北武邑中学第三次调研,9)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-)B.(-,0)C.(-∞,0)∪(,+∞)D.(-∞,-)∪(,+∞)答案A5.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学联考,4)若a>1,0<c<b<1,则下列不等式不正确的是()A.log a2018>log b2018B.log b a<log c aC.(c-b)c a>(c-b)b aD.(a-c)a c>(a-c)a b答案D6.(2018河北衡水金卷(一),12)已知数列{a n}中,a1=2,n(a n+1-a n)=a n+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式<2t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为()A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.(-∞,-2]∪[1,+∞)C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-2,2]答案A二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2019届江苏常州武进期中,7)已知函数f(x)=(x-1)(px+q)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则不等式f(x-3)<0的解集为.答案(-∞,2)∪(4,+∞)8.(2018安徽淮南第一次模拟,13)若A={x|ax2-ax+1≤0,x∈R}=⌀,则a的取值范围是. 答案[0,4)9.(2017四川成都外国语学校11月月考,16)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时, f(x)=e x,若∀x∈[a,a+1],有f(x+a)≥[f(x)]2成立,则实数a的取值范围是.答案三、解答题(共10分)10.(2019届江西九江高三第一次十校联考,22)已知函数f(x)=x2-x+1.(1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围;(2)若∃x∈[1,2],f(x)≥2成立,求实数a的取值范围.解析(1)由题意得Δ=-4≤0,解得-4≤a≤4,∴实数a的取值范围为[-4,4].(2)由题意得∃x∈[1,2],使≤x-成立.令g(x)=x-,x∈[1,2],则g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g(x)max=g(2)=,∴≤,解得a≤3,∴实数a的取值范围为(-∞,3].。

专题7.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式(2021年高考数学一轮复习专题)

专题不等关系与不等式的性质及一元二次不等式一、题型全归纳题型一不等式性质的应用命题角度一判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．【例1】(2020·石家庄质量检测)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．(12)a >(12)b【解析】：通解：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b，所以A ，B ，D 不一定成立，因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.优解：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立．故选C.【例2】若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；①|a |＋b >0；①a －1a >b －1b ；①ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【解析】因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a >－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b<0<1ab ，综上知，①①正确，①①错误．命题角度二比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1.所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c 0，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x >e 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在x >e 时是减函数．因为e<a ln bb，即b ln a >a ln b ，所以ln a b >ln b a ，则a b >b a .命题角度三求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．【例1】(2020·长春市质量检测(一))已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是．【解析】：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.【例2】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.题型二一元二次不等式的解法【题型要点】一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；①若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；①对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．【易错提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．命题角度一不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤【例1】不等式0<x2－x－2≤4的解集为．【答案】：[－2，－1)①(2，3]【解析】：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．命题角度二含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0无解；①当a >1时，1a <1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1a <x <1；①当0<a <1时，1a >1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11；当a ＝1时，解集为①；当a >1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x.命题角度三已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<31-21-x x ，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】(2020·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)①(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)①(2，＋∞)【解析】因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－ba＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎪⎭⎫⎝⎛+a b x (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}．命题角度四分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)①f (x )·g (x )>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)①⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.【例5】不等式1－x 2＋x≥1的解集为( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21-2-，C ．(－∞，－2)①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- D ．(－∞，－2]①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- 【解析】：1－x 2＋x ≥1①1－x 2＋x －1≥0①1－x －2－x 2＋x ≥0①－2x －12＋x ≥0①2x ＋1x ＋2≤0①⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0①－2<x ≤－12.故选B.【例6】不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．【解析】：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －4）（x －5）≥0，x －5≠0，解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><534x x x 或. 题型三一元二次不等式恒成立问题类型一形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围【题型要点】一元二次不等式在R 上恒成立的条件【例1】若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ①R 恒成立，则实数a 的取值范围是．【解析】当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ①R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2，a 的取值范围是(－2，2]．类型二形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围【题型要点】形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ①R )恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围； (2)数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．【例2】(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是．【解析】设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0，所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f （1）≥0，f （5）≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.类型三形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围【题型要点】形如f (x )>0或f (x )<0(参数m ①[a ，b ])的不等式确定x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．【例3】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解析】将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)．题型四转化与化归思想在不等式中的应用【题型要点】(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c >0的x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c <0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【例1】(2020·内蒙古包头)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.【例2】a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( ) A ．－494B ．18C ．8D ．－6【解析】：因为关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，解得m ≥3或m ≤－2.所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10取得最小值，最小值为8.故选C.二、高效训练突破一、选择题1．(2020·潍坊模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2] C ．[－1,1]D ．[1,2]【解析】A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．2．若正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，则( )A.1a >1bB ．a 2a ＋bD ．lg a ＋lg b >0【解析】由已知得a >b >1或0b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确．3．已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【解析】：法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，ba⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立，故选C.4.(2020·安徽淮北一中（文）模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．[－4，－3) C ．[－4，0) D ．(－3，4]【解析】：由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，函数y ＝(x ＋1)(x －3)的图象的对称轴是直线x ＝1，故函数在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，在x ＝1处取得最小值，最小值为－4，在x ＝3处取值为0，在x ＝0处取值为－3，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4，0)．5．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]①[5，＋∞)C ．(－∞，－1]①[4，＋∞)D ．[－2，5] 【解析】：.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.6．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f (x )<0的解集为( ) A ．(－2，2)①(2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)【解析】：因为函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4，所以不等式(x －2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2.故原不等式的解集为(－2，2)①(2，＋∞)．故选A. 7.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式 (ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)①(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)①(3，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，①a ＝b ＜0，①不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，①所求解集是(－1,3)．故选C. 8.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2【解析】：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.9.(2020·天津市新华中学模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：①x ①R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，10.设a ，b ①R ，定义运算“①”和“①”如下：a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ①n ≥2，p ①q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4【解析】：.结合定义及m ①n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ①q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q 1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ①[－2，4]，故选D. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ①R ，b ①R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ①[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)①(2，＋∞)D ．不能确定【解析】：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ①[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立解得b ＜－1或b ＞2.二、填空题1.设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c 2；①1a <1b ；①|a |>|b |；①a |c |≥b |c |，则一定成立的有________．(填正确的序号)【解析】：对于①，1c 2>0，故①成立；对于①，a >0，b <0时不成立；对于①，取a ＝1，b ＝－2时不成立；对于①，|c |≥0，故①成立．2．已知实数a ①(1，3)，b ①⎪⎭⎫⎝⎛4181，，则a b的取值范围是________．【解析】：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24，故答案为(4，24)．3．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．【解析】：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.4．(2020·扬州模拟)若a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.6.已知①ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．【解析】：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >ba ，所以⎩⎨⎧1y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；①a ＋x >b ＋y ；①ax >by ；①x －b >y －a ；①a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．【解析】：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此①不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx，因此①不成立．由不等式的性质可推出①①成立．8.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9.(2020·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )＝x ln (3－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为________．【解析】因为f (x )＝x ln (3－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln (3－x )>0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100)．10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ①R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【解析】：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x ＋b －a 24，f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝(x ＋a 2)2.又f (x )<c ，所以(x ＋a 2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ①.①－①，得2c ＝6，所以c ＝9.三解答题1.求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解析】：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【解析】：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．(2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a （x ＋1）2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛2321-，.3已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. (1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．【解析】：(1)因为当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. 所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18， f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞1225--， 4．(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值；(2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2①⎥⎦⎤⎢⎣⎡10101，，试求a 的取值范围．【解析】：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. 所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1.(2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1. (3)由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a①（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a .因为x 1x 2①⎣⎡⎦⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2①⎣⎡⎦⎤4，12110①a ①⎣⎡⎦⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0①0<a ≤14，所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121，14.。

新课标高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件理

A．－2＜a－b＜0
B．－2＜a－b＜－1
C．－1＜a－b＜0
D．－1＜a－b＜1
解：－1＜a＜1，－1＜－b＜1⇒－2＜a－b ＜2.又 a＜b，则－2＜a－b＜0.故选 A.
第五页，共26页。
(2016·四川成都模拟)若 a＜b＜0，则下
列不等式中一定成立的是( A.1a＜1b
)
B.12a＜12b
第三页，共26页。
自查自纠
1．＞0 ＝0 ＜0
2 ． (1)b<a (2)a>c (3)>
ac<bc (5)a＋c>b＋d (7)ac>bd (10)an>bn(n∈N 且 n≥2)
n (11)
n a>
Hale Waihona Puke b(n∈N且n≥2)
(4)ac>bc
第四页，共26页。
(教材题改编)若－1＜a＜b＜1，则( )
解：a，b，c 是实数，若 a＞b＞c＞0，不等式 a＋b＞c 成立；a，b，c 是实数，若 a＞0＞b＞c，不等式 a＋b＞c 成立；a，b，c 是实数，若 0＞a＞b ＞c，a＋b＝c，不等式 a＋b＞c 不成立，一组整数 a，b，c 的值为负数，依次为－1，－2，－3. 故填－1，－2，－3.
第二十一页，共26页。
(2)(2016·云南模拟)若－1≤lgxy≤2，1≤lg(xy)≤4，则 lgxy2的取值范围是________．
解：由 1≤lg(xy)≤4，－1≤lgxy≤2，得 1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，则 lgxy2＝2lgx－lgy＝12(lgx＋lgy)＋32(lgx－lgy)，所以－1≤lgxy2≤5.故填[－1，5]．

第七章不等式、推理与证明 7.1

§7.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)．概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b ，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b ，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c b ＋d D ．a ＋d >b ＋c答案 C解析由同向不等式具有可加性可知C 正确．题组三易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c －bd >0 B.a c －b d <0 C.a d >b c D.a d ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －bb a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b，又a >b >0，故ab >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，即a a b ba b b a >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案 M >N解析因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a <7a a 7 B ．77a a ＝7a a 7 C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定答案 C解析 77a a 7a a 7＝77－a a a －7＝⎝⎛⎭⎫7a 7－a，则当a >7时，0<7a <1，7－a <0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7；当0<a <7时，7a >1，7－a >0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a >7a a 7. 题型二不等式的性质例2 (1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ； ④a >b >0，能推出1a <1b 的是________．(填序号)答案 ①②④解析运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b ，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2 (1)已知a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析方法一由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4，2) (1，18)解析 ∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)若a 1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a b 2B ．1>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12aC.b a ＋ab <2 D ．a e b >b e a答案 D解析由题意知，b <a <0，则a 2⎝⎛⎭⎫12a >1，b a ＋ab >2， ∵b <a <0，∴e a >e b >0，－b >－a >0 ∴－b e a >－a e b ，∴a e b >b e a ，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b 答案 A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.4．(2018·沈阳模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q 答案 A解析因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ，而sin 2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π 答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π. ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.7．设012log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.8．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a e)，y ′＝1－ln xx 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是() A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) B ．sin x >sin yC ．x 3<y 3 D.1x 2＋1>1y 2＋1答案 C解析方法一因为实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立；对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立；对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．10．设0b ln aB ．a ln b <b ln aC ．a e b <b e aD ．a e b ＝b e a答案 B解析观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x在(0，1)上单调递减，又因为0b e a ，故选B. 二、填空题11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．答案 ①解析由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a b 的充分条件．13．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．14．设α∈⎝⎛⎭⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.三、解答题15．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥a b， ∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b⇒ ⎭⎬⎫c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >b c －b . 16．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b的取值范围．解因为1<a <4，2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b <2.。

高考数学5年高考3年模拟B精品课件浙江专用：7.1 不等关系与不等式

3.(2018浙江镇海中学阶段性测试,7)已知a>b>c,且3a+2b+c=0,则 c 的取值范围是
.
a
答案 -5< c <-1
a
解析
∵a>b>c,∴6c<3a+3c<3a+2b+c<5a+c<6a,又3a+2b+c=0,则
a 0,
3a 3c 0,则-5<
5a c 0,
c
a <-1.
4.(2017浙江金华十校联考(4月),12)在lg 2,(lg 2)2,lg(lg 2)中,最大的是 .
.
答案 6
解析不等式x|x-a|≤x+4等价于|x-a|≤1+ 4 (x≠0),所以函数y=|x-a|的图象不在y=1+ 4 的图象上
x
x
方.如图,作出函数y=1+ 4 和y=|x-a|的图象(可将其看作函数y=|x|向右平移a个单位长度得到).
x
考虑边界情形,当直线y=a-x恰与y=1+ 4 相切时,令a-x=1+ 4 ,即x2-(a-1)x+4=0,
,最小的是
答案 lg 2;lg(lg 2) 解析 0<lg 2<1,所以lg(lg 2)<0,且lg 2-(lg 2)2=lg 2·(1-lg 2)>0,所以最大的是lg 2,最小的是lg(lg 2).
5.(2016浙江新高考研究卷四(桐乡高级中学),13)已知0≤x≤y≤1,则(2x-y)·(1-2x)的最大值为 .
答案 C 函数f(x)=x+ x 是[0,+∞)上的增函数,由 a 1- b 1=2b-a-1⇒ a 1+a-1= b 1+2(b -1)≥ b 1+b-1,所以a-1≥b-1≥0,即a≥b≥1.故选C.

高考数学一轮总复习(目标导航+自主导学+典例讲解)71不等关系与不等式课件北师大版

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[解析] 设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β) ＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 由xx＋＋y2＝y＝1， 3，解得xy＝＝－ 2. 1， ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.
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易错警示对不等式认识不到位致误
(2)同时应用多个不等式时，容易改变不等式范围特别是多次运用同向不等式相加这一性质，因不是等价关系易出错.
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一个技巧
名师点睛
作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式
分解或配方．
一种方法
待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表
示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不
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高考目标导航
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考纲要求
命题分析
从近三年的高考试题来看，不等式关系、不等式 1.了解现实世界和
的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，日常生活中的不等
又有填空题，难度为中低档．与不等式有关的集关系．
合的运算，也是常考题型． 2．了解不等式(组)
估计与命题、充要条件结合命制试题是常规方的实际背景．
成立，排除B；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)<0，排除
C；f(x)＝(
1 2
)x在R上是减函数，∵a>b，∴f(a)<f(b)，即
(12)a<(12)b，故选D.
第三十一页，共49页。
不等式的性质
对于实数a、b、c，判断下列命题的真假． (1)若a>b，则ac>bc； (2)若a>b，则ac2>bc2； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若a<b<0，则1a>1b. [思路分析] 可利用不等式的性质判断一个命题为真命题，要说明一个命题为假，可通过举反例说明．

五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：7.1 不等关系与不等式精品

ba
等式的性质两边同乘b得ab>b2,即命题甲成立.故选B. (2)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
∴
m m
n n
4, 2,
解得
m 3, n 1,
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
突破方法
方法不等式性质的应用
由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng (x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.
例 (1)(2016河北衡水质检,3,5分)设a,b为实数,命题甲:ab>b2,命题乙: 1 < 1 <0,则甲是乙的 (
∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.
答案 (1)B (2)[5,10]
1-1 (1)(2016安徽黄山三模,10,5分)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,记P=|a+b+c|+|2a-b|,
Q=|a-b+c|+|2a+b|,则 ( )
1.双向性:a>b⇔b<a,a>b⇔ a+c>b+c .
2.单向性:
(1)传递性:a>b,b>c⇒ a>c ;
(2)同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d;

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第一节
不等关系与不等式
考点不等关系与不等式
1．(2014·四川，4)若a >b >0，c <d <0，则一定有( )
A.a c >b d
B.a c b c
D.a d －1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所
以a d <b c ，选D.
答案 D
2．(2013·陕西，10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )
A ．[－x ]＝－[x ]
B ．[2x ]＝2[x ]
C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]
D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]
解析 (特例法)当x ＝－1.5时，排除A ，B ；当x ＝－1.5，y ＝1.5时，排除C.故选D.
答案 D
3．(2011·浙江，7)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析当0<ab <1时，若b >0，则有a <1b ；若b <0，则a <0，从而有b >1a .故“0<ab <1”
是“a <1b 或b >1a ”的充分条件．
反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a <1b 或b >1a ，但ab <0.故选A.
答案 A
4．(2011·上海，15)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2>2ab
B ．a ＋b ≥2ab
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山东世纪金榜科教文化股份有限公司 C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2
解析对A ：当a ＝b ＝1时满足ab >0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：
当a ＝b ＝－1时满足ab >0，但a ＋b <0，1a ＋1b <0，而2ab >0，2ab
>0，显然B 、C 不对；对D ：当ab >0时，由均值定理知b a ＋a b ≥2b a ·a
b ＝2，故选D.
答案 D。