十字交叉法

十字交叉法在化学计算中的应用
交叉法又名十字交叉法或混合规则，是—种利用差量关系进行简化计算的数学运算技巧，是有关混合物计算中有中间值关系、用图示速算的一种常用解题方法，因此具有形象直观、运算简捷的特点。

此法经常在溶液的混合、平均相对分子质量(平均相对原子质量)、平均热量、气体密度等方面运用。

原理及图示：
用a、b表示两种组分A、B的某一“特性数量”，c表示介于a、b之间(a＜c＜b)的该“特性数
量”的平均值(中间值)，表示A组分和B组分的份数比，有即。

其中a、b、c可以是质量分数、物质的量浓度、化学式量、摩尔质量、密度等。

值得注意的是：运用十字交叉法最突出而又最关键的问题是如何明确十字交叉后的差值比涵义。

正确确定差值比涵义的有效方法是，将交叉算式中三个值均赋予比值形式的组合单位，如“g·mo l－1”、“kJ·mol—1、”“g·L—1”等，那么经过十字交叉后的差值比，一定是以“组合单位”中的分母单位之比。

可列出二元一次方程组求解的题目，一般可以用十字交叉法解。

举例如下：
（1）有关平均原子量的计算：两种同位素的相对原子质量（或质量数）与元素原子量作交叉后的差值比，就是两种同位素的原子个数比或（物质的量比），再求同位素百分数
（2）由两种化合物组成混合物，某种元素的质量分数十字交叉后的差值比，就是两种化合物的质量比。

（3）同一溶质的不同浓度的两种溶液相混合，溶质的质量分数十字交叉后的差值比，就是两溶液的质量比。

（4）两种物质的相对分子质量(相对原子质量)即摩尔质量十字交叉后的差值比，就是两种物质的物质的量比。

（5）两种物质分别燃烧时放出的热量与其混合物燃烧放出的热量进行十字交叉后的差值比，就是这两种物质的物质的量比。

（6）两种有机物完全燃烧消耗氧气的量、加氢气的量进行十字交叉后的差值比，就是两种有机物的物质的量比
（7）两种有机物分子式中的碳原子数或者氢原子数与其混合物平均碳原子数或者氢原子数进行十字交叉后的差值比，就是这两种有机物的物质的量比。

（8）有关混合物反应的计算（利用单个反应消耗某种反应物的量与混合后消耗的量做十字交叉，差值比就是混合物中两种组分的物质的量比，再求分数）
例1.（上海高考题）由CO2、H2和CO组成的混合气在同温同压下与氮气的密度相同。

则该混合气体中CO2:H2:CO的体积比为（）
A．29:8:13B．22:1:14
C．13:8:29D．26:16:57
[解析]混合气体中M(CO)=M(N2)=28g·mol-1，故CO2与H2混合平均相对分子质量应为28，由十字交叉法有
即，故选C、D。

答案：CD
[评注]对于多组分体系，如果某些化学量之间有某种特定关系，则可经转换，将多组分构造成双组分，从而用十字交叉法快捷求解。

例2（北京市调考题）NaOH与Ca(OH)2的固体混合物3.9g，溶于足量水后，用2mol/L的盐酸50mL恰好完全中和，则原混合物中NaOH与Ca(OH)2的物质的量之比为（）A．2:1B．1:1C．3:1D．4:1
[解析]依题意知：每lmol H+恰好与39g混合物反应，而与lmol H+恰好反应时需NaOH、Ca(O的质量分别为40g、37g，利用十字交叉法有
即
选D
[评注]此题将求n(NaOH):n[Ca(OH)2]，利用1mol H+消耗碱的质量转化为求出
的形式，利用交叉法便快捷求出结论。

有关混合物计算型选择题直接或转换成用此法求解最简便。

例3、（全国高考题）300mL某浓度的NaOH溶液中含有60g溶质。

现欲配制lmol/L NaOH溶液，应取原溶液与蒸馏水的体积比约为（）
A．1：4B．1：5C．2：1D．2：3
【答案与提示】A。

即1:4
例4、（海南调考题）电解普通水和重水（D2O）的混合物，通电一段时间后，两极共生成气体18.5g，其体积为33.6L（标准状况），在所生成的气体中，重氢（D）和普通氢（H）的原子个数比是（）
A．1：2B．2：3C．1：3D．2：5
【答案与提示】C。

从可知：每摩尔水被分解可生成1.5mol气体，由题意推知有lmol这种“混合水”分解，其平均相对分子质量为18.5。

故n(D2):n(H2)=n(D):n(H)=n(D2O):n(H2O)=1:3。

练习：
一．有关质量分数的计算：
例：实验室用密度为1.84克/厘米3 98%的浓硫酸与密度为1.1克/厘米3 15%的稀硫酸混和配制密度为1.4克/厘米3 59%的硫酸溶液, 取浓、稀硫酸的体积比最接近的值是
A. 1:2
B. 2:1
C. 3:2
D. 2:3
[分析] 98 44
\ 59 /
/ \ 其质量比为44:39，其体积比为44/1.84 : 39/1.1 ≈ 2:3
15 39 答案为 D
根据溶质质量守恒, 满足此式的是98%X + 15% Y = 59%(X+Y)
X 和 Y 之比是溶液质量比,故十字交叉得出的是溶液质量比为44 : 39 ,再换算成体积比
二.有关物质的量浓度的计算
例: 物质的量分别为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按怎样的体积比才能配成4摩/升的溶液?
[分析] 6 3
\ 4 /
/ \
1 2
根据溶质物质的量守恒, 满足此式的是6X + Y = 4 (X+Y)
X 和 Y 之比是体积比,故十字交叉得出的是体积比为3 : 2 ,答案为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按3 : 2的体积比才能配成4摩/升的溶液
三. 有关平均相对分子质量的计算
例: 实验测得乙烯与氧气混合气体的密度是氢气的14.5倍,可知其中乙烯的质量百分比为:
A.25.0%
B.27.6%
C.72.4%
D.75.0%
[分析] 28 3
\ 29 /
/ \
32 1 根据质量守恒, 满足此式的是 28X + 32 Y = 29(X+Y)
X 和 Y 之比是物质的量之比,故十字交叉得出的是物质的量比3 : 1,
3×28
乙烯的质量百分含量= ------------------ ×100% = 72.4 % 答案为C
3×28＋1×32
四. 有关平均相对原子质量的计算
例: 铜有两种天然同位素 63Cu和65Cu , 参考铜的原子量为63.5 , 估算 63Cu 的平均原子百分含量约是
A. 20%
B.25%
C.66.7%
D.75%
[分析] 63 1.5
\ 63.5 /
/ \
65 0.5
根据质量守恒, 满足此式的是 63X + 65 Y = 63.5 (X+Y)
可知X :Y 应为原子个数比,故十字交叉法得出的是原子个数比.
1.5
故63Cu的原子百分含量= ---------×100% =75%
1.5 + 0.5
五. 有关反应热的计算
例: 已知下列两个热化学方程:2H 2(气) + O2 (气) = 2H2 O(液) +571.6千焦
C3H8 (气) +5O2 (气) = 3CO2 (气) + 4H2O (液) + 2220千焦, 实验测知氢气和丙烷的混和气体共5摩尔完全燃烧时放热3847千焦, 则混和气体中氢气和丙烷的体积比是
A. 1:3
B. 3:1
C.1:4
D. 1:1
[分析]
根据总热量守恒, 满足此式的是 285.8X + 2220 Y = 769.4 (X+Y)
可知X :Y 应为物质的量比,故十字交叉法得出的是物质的量比, 即体积比当然本题用估算法更简单.
六. 有关混和物反应的计算
例：已知白磷和氧气可发生如下反应：P4 +3O2 = P4O6，P4 +5O2 = P4O10在某一密闭容器中加入62克白磷和50.4升氧气(标准状况), 使之恰好完全反应, 所得到的P4O10 与P4O6 的物质的量之比为
A. 1:3
B. 3:2
C. 3:1
D. 1:1
[分析] P4O10 5 1.5
\ 2.25/0.5 /
/ \
P
4O
6
3 0.5
根据O2物质的量守恒, 满足此式的是5X + 3Y = 2.25/0.5 (X+Y)
X 和 Y 之比是P4O10和P4O6物质的量比,故十字交叉得出的物质的量比为3:1, 答案为C
七.相关结构的推测
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。

C60是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。

这个多面体有60个顶点，从每个顶点引出3条棱，各面的形状分为五边形和六边形两种，计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解析：因每两个顶点共有一条棱故每个顶点独立拥有1.5条棱，所以棱数=1.5 * 60=90
根据欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2（Y+F-E=2）
可知C60的面数=2+90-60=32
若此多面体的面全为五边形则应有32*5/3个顶点（一个五边形有5个顶点每个顶点被三个面所共有），同理若全为六边形则应有32*6/3个顶点。

五边形32*5/3 4
＼／
60
/ \
六边形 32*6/3 20/3 ∴五边形:六边形 = 12：20=3：5
∴五边形12个，六边形 20 个。

八.有关体积分数的计算
已知H2和CO的混合气，其平均式量是20，求混合气中H2和CO的体积比。

（4∶9）
解：H2 2 4
╲╱ 4
____ 20 =------
╱╲ 9
CO 28 9
九.有关两种含相同元素物质的质量比
FeO中和FeBr2的混合物中Fe的质量百分率为50%，求两物质的质量比（13∶15）
解：FeO 7/9 13/54 13
╲╱
——1/2 ——
╱╲ 15
FeBr27/27 5/18
化学中对十字交叉法的应用大致有以下几种：
（1）有关质量分数的计算（用两种不同浓度溶液的质量分数与混合溶液的质量分数作十字交叉，求两种溶液的质量比）
（2）有关物质的量浓度的计算（用混合钱的物质量的浓度与混合后的物质量的浓度做十字交叉，求体积比）
（3）有关平均分子量的计算（通过纯物质的物质量分数与混合后的平均分子量做十字交叉，求百分数）
（4）有关平均原子量的计算（用同位素的原子量或质量数与元素原子量作交叉，求原子个数比或同位素百分数）
（5）有关反应热的计算（有单个反应的热效应与混合都反应热做十字交叉，求百分数）
（6）有关混合物反应的计算（利用单个反应消耗某种反应物的量与混合后做十字交叉，求分数）
（7）相关结构的推测（找到相对应的比例关系，如点，边，面等的关系，在做交叉，球分数）
（8）有关体积分数的测定（用组分的式量与混合气的平均式量做十字交叉，求组分体积比或含量）
（9）有关两种含相同元素物质的质量比（用两种物质中同一元素的质量分数求两物质的质量比）
有以下几道例题来分别对这几点的应用作解释（一～六题转载自）。