高中数学一轮复习理数通用版：课时达标检测(四十七) 直线与圆锥曲线 Word版含解析

课时达标检测（四十七） 直线与圆锥曲线

[小题常考题点——准解快解]

1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的交点个数是( )

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．0

解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b

a x 平行，所以它与双曲线只有

1个交点．

2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA ―→

MA ―→·MB ―→＝0，则m ＝( )

A. 2

B.22

C.1

2

D ．0

解析：选B 由⎩⎨⎧

y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，

得A (2,22)，B ⎝⎛⎭⎫12，－2，又∵M (－1，m )且MA ―→·MB ―→

＝0，∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝

2

2

. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )

A ．2 B.455 C.4105

D.8105

解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

4＋y 2＝1，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5

.∴|AB |

＝

1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋k 2·

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝

2·

⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2

－1)5＝425

·5－t 2，

故当t ＝0时，|AB |max ＝

410

5

. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，

若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－1

2，则m

的值为( )

A.32

B.52 C ．2

D ．3

解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 2

2，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1

－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1

＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝1

2

，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，

y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 22

2＝54

，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以

54＝－14＋m ，解得m ＝3

2

. 5．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．

解析：直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧

y ＝3x ＋1，

x 2＝4y ，

得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.

答案：16

6．设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则

双曲线的离心率为________．

解析：双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1的一条渐近线为y ＝b

a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2

－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，

所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2

＝ 5.

答案： 5

7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→

＝0，则k ＝________.

解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB ―→＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝1

2(|AG |＋|BH |)，所

以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，

得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以

∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－

1k MF

＝2.

答案：2

[大题常考题点——稳解全解]

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为6

3.

过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．

解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧

c ＝2，

c a ＝6

3，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得a ＝6，b ＝ 2.

故椭圆C 的方程为x 26＋y 2

2

＝1.

(2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

6＋y 2

2＝1，

y ＝k (x －2)得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以x 1＋

x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2

－4)＝－4k 1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3.因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0，即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以

4－x 23－y 2

3＝0.所以

4－2(9k 2＋1)1＋3k

2＝0.解得k ＝±3

3.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0.

2．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为1

2，其一个顶点是抛物线x 2＝

－43y 的焦点．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．

解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，