高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理

【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．

1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)．

(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.

(3)面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.

(4)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.

2． 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)．

(1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22

. (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ|

＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v |

＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．

3． 求空间距离

直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距

离：d ＝|PM →·n ||n |

(其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习

1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，

写出所有正确的命题______________________．

2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，

∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________．

3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，

CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．

4．如图，过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，

则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是________．

三、典型例题

探究点一 利用向量法求异面直线所成的角

例1 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．

探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角

例2 如图，已知平面ABCD ⊥平面DCEF ，M ，N 分别为AB ，DF 的中点，求直线MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值．

探究点三 利用向量法求二面角

例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12

，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．

探究点四 综合应用

例4 如图所示，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是

公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1，另一个侧面ABC 是正三角形．

(1)求证：AD ⊥BC ；

(2)求二面角B －AC －D 的余弦值；

(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．

四、课后练习 一、填空题(每小题6分，共48分)

1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于________．

2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成的角的大小为________．

3．如图，在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 和AD 的中点，则AE 与CF 所成的角的余弦值为________．

4．(2011·南通模拟) 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知B 1C ，C 1D 与上底面

A 1

B 1

C 1

D 1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成的余弦值为________．

5．P 是二面角α—AB —β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM 、PN ，如果∠BPM

＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α—AB —β的大小为________．

6．(2011·无锡模拟)已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________．