高中数学必修四PPT优秀课件(配套课件课时提升卷任意角等105个) 54

【证明】以A为原点，AB,AD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，
设正方形边长为1，则 A B ＝ 1 ,0 ， A D ＝ 0 ,1 ．
由已知，可设 A P ＝(a，a)，并可得 E B ＝(1－a,0)，
BF＝0，a， EF＝1－a，a， DP＝AP－AD＝a，a－1，
因为 DPEF＝(a，a－1)·(1－a，a) ＝(1－a)a＋a(a－1)＝0. 所以 DPEF，因此DP⊥EF.
(2)设a与b的夹角为θ，依题意有
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，
所以cos θ＝ 1 ，
2
因为0≤θ≤π，所以 ＝ .
3
答案：
3
类型 四 平面向量基本定理和平面向量的坐标运算 1.平面向量基本定理的应用 (1)含义. 平面内任意向量都可以用两个不共线的向量线性表示，而且 表示方法是唯一的. (2)应用. 根据平面向量基本定理中的“唯一性”可以建立方程组求某 些参数的值.
【典例1】已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，
满足 2A C ＋ C B ＝ 0 ， 则 OC＝ ( )
A．2O A － O B
B．－ O A 2 O B
C. 2OA－1OB
33
【解析】选A.
D．－1OA2OB
33
依题意得：2 ( O C － O A ) ＋ ( O B － O C ) ＝ 0 ， O C ＝ 2 O A － O B .
D.垂心
【解析】选B.因为 A H A B A H A C ，
所以A H A B A H A C 0 ， A H A B A C 0 , A H C B 0 . 所以AH⊥CB.
同理由 B H B A B H B C ， 可得BH⊥AC，所以点H是△ABC的垂心. 因为O A O B O C O H ， 所以 O A O C O H O B B H . 设D为AC的中点，则 O A O C 2 O D ， 故 2 O D B H ， 所以OD∥BH或直线OD与BH重合. 所以OD⊥AC,点O在线段AC的垂直平分线上. 同理可证，点O在线段BC的垂直平分线上， 所以点O为△ABC的外心.
AD为BC边上的高，O为AD的中点，若A O ＝λ A B＋μ B C ，
则λ ＋μ ＝( )
A．1
B. 1
C. 1
D. 2
2
3
3
(2)已知平面向量，a=(2,4)，3a+2b=(4,8)，则a·b=( )
A．-10
B．10
C．-20
D．20
(3)若 O A 2 ,8 ， O B － 7 ,2 ， 则 1 3A B____________.
类型 一 平来自百度文库向量的线性运算 向量的线性运算
(1)向量的加法 ①平行四边形法则. ②三角形法则:首尾相接,起点指终点. (2)向量的减法 三角形法则:共起点,连终点,指被减.
(3)向量的数乘
长度
λ a 长度是向量a 的长度的|λ |倍
λ >0 λ =0 λ <0
方向 与a同向
是0,方向任意 与a反向
所以 ab 32－ 1210.
5.(2013·牡丹江高一检测)已知△ABC,点H,O为△ABC所在
平面内的点，且 A H A B A H A C , B H B A B H B C ，
O A O B O C O H ， 则点O为△ABC的( )
A.内心
B.外心
C.重心
阶段复习课 章
【答案速填】 ①_用__有__向__线__段__表__示__ ②_平__行__向__量__(_或__共__线__向__量__)_ ③_坐__标__表__示__ ④__零__向_量__
⑤_三__角__形__法__则__和__平__行__四__边__
_形__法__则__ ⑥λ__a_与__a_共__线__ ⑦_数__量__积__a_·__b_等__于__a_的__长__度__ _|_a_|_与__向_量___b_在__a_方__向__上__的__投__ 影__|_b__|_c_o_s__θ__的__乘__积__ ⑧_a_·__b_=_|_a_|_|_b_|_c_o_s__θ__
所以a·b=(2,4)·(－1,－2)=2×(－1)+4×(－2)=－10.
(3)因为 A B O B － O A － 7 , 2 － 2 , 8 － 9 , － 6 ,
所以 1A B 1－ 9 ,－ 6 － 3 ,－ 2 .
33
答案：(－3,－2)
使λ 1a+λ 2b=0.
【典例2】设两个非零向量a与b不共线，
(1)若 A B ＝ a b ， B C ＝ 2 a ＋ 8 b ， C D ＝ 3 a b ，
求证：A,B,D三点共线. (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)因为 B C ＝ 2 a ＋ 8 b ， C D ＝ 3 a b ， 所以 B D B C C D ＝ 2 a ＋ 8 b 3 a b 5 a ＋ 5 b ，
表示与B C
同向单位向量，
BD |B D
| 表示与 B D 同向单位向量，
以 BE，BF 为邻边作平行四边形BEGF，
则 B G B E B F B A B C 2B D ，
|B A | |B C | |B D |
在△BEG中 |B E | |B F | 1 ， | B G | 2 ,
2
3
所以 BE＝BD－ED＝BD－1AD＝BD－1(AB＋BD)
4
4
＝3BD－1AB＝1BC－1AB 4444
＝1AC－1AB＝1b－1a. 4 2 42
2.已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，
如果c∥d，那么( )
A.k＝1且c与d同向
B.k＝1且c与d反向
C.k＝－1且c与d同向
D.k＝－1且c与d反向
【解析】选D.c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，
d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
c∥d⇒k×(－1)－1×1＝0，所以k＝－1.
所以c＝(－1,1)与d反向.
3.(2013·德州高一检测)设e是单位向量, A B 3 e ， C D 3 e ,
AD 3, 则四边形ABCD是( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
【解析】选B.因为 A B 3 e ,C D 3 e ， 所以 A B C D D C ， 所以 AB CD即AB∥CD，
AB|CD| 即AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为 ABAD3, 所以AB=AD， 所以四边形ABCD是菱形.
所以 |B E |2 |B F |2 |B G |2 ,
所以
2
2
2
B EE GB G,
所以△BEG是等腰直角三角形,
四边形BEGF是正方形，故四边形ABCD是正方形，
其面积为|AB|2
2
2 2.
答案：2
【跟踪训练】1.如图所示，在△ABC中，BD ＝ 1DC ， AE＝ 3ED ，
【解析】(1)选D. A D ＝ A B ＋ B D ＝ A B ＋ 1B C ，
3
2 A O ＝ A B ＋ 1 B C ， 即 A O ＝ 1 A B ＋ 1 B C . 故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 .
3
26
263
(2)选A. 因为a=(2,4)，3a+2b=(4,8)，
所以2b=(4,8)－3a=(4,8)－3(2,4)=(－2,－4),b=(－1,－2),
又因为a与b不共线,
所以
k－ 0,


k
－
1

0,
解得k=±1.
类型 三 平面向量的数量积及模、夹角问题 1.平面向量数量积的定义 (1)非零向量a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cos θ ，其中θ 是a与b的夹角 (2)零向量与任一向量的数量积为0 2.平面向量数量积的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 则a·b=x1x2+y1y2.
类型 五 平面向量在几何和物理方面的应用 平面向量两个方面的应用
(1)物理应用：速度、位移、力、功. (2)平面几何应用：
向量 共线向量 数乘向量
数量积
几何问题 ①点共线问题 ②直线与直线平行
求线段长度之比 ①线段长度 ②直线与直线的夹角
【典例5】已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB 于点E，PF⊥BC于点F. 求证：DP⊥EF.
3.求向量的模 (1)由a·a=|a|2得|a|= a a . (2)设a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|= x 2 y 2 . 4.求向量的夹角 设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 两向量夹角θ (0≤θ ≤π )的余弦cos ab x1x2y1y2 .
ab x12y12 x2 2y2 2
2
若 A B ＝ a ， A C ＝ b ， 则 B E 等于( )
A . 1 a＋ 1 b 33
B.－ 1 a＋ 1 b 24
C. 1 a＋ 1 b 24
D .－ 1 a＋ 1 b 33
【解析】选B.
因为 A E ＝ 3E D ， 所以 E D ＝ 1A D ，
4
因为 B D ＝ 1D C ， 所以 B D ＝ 1B C ，
2.平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)， a-b=(x1-x2,y1-y2). a·b=x1x2+y1y2. 若a=(x,y),λ ∈R,则λ a=(λ x,λ y).
【典例4】(1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，
4.(2012·重庆高考)设x,y∈R,向量a=(x,1)，b=(1,y)，
c=(2,－4)且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.5
B.10
C.25
D.10
【解析】选B.
因为a⊥c，所以a·c=(x,1)·(2,－4)=2x－4=0，x=2.
因为b∥c，所以1×(－4)－2y=0，y=－2,
所以a+b=(2,1)+(1,－2)=(3,－1),
类型 六 数形结合思想 平面向量问题中的数形结合思想
向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则使向量具备 形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又让向量具备数的 特征.所以，向量融“数”“形”于一体，具有几何形式与代 数形式的“双重身份”.因此研究向量问题或用向量解决数学 问题时，如果恰到好处地应用数形结合的思想，可以将许多 复杂问题简单化，抽象问题直观化.
类型 二 向量的共线问题 证明共线问题常用的方法
(1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ ,使b=λ a. (2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|=|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ 1,λ 2，
【典例6】在四边形ABCD中，A B D C 1 ,1 ，
BABC 2BD， 则四边形ABCD的面积是_______．
|BA| |BC| |BD|
【解析】因为 ABDC， 所以四边形ABCD是平行四边形,
如图所示，BE BA 表示与B A 同向单位向量，
| BA |
BF BC | BC |
【典例3】 (1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝ 1 3 ， 则|b|＝_______. (2)已知向量a，b满足 (a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1， |b|＝2，则a与b的夹角为__________．
【解析】(1)因为|a+b|= 1 3 , 所以|a+b|2=13,即(a+b)2=13, |a|2+2a·b+|b|2=13. 又因为a与b的夹角为120°，|a|=3, 所以9+2×3|b|cos 120°+|b|2=13，|b|2-3|b|-4=0， 解得|b|=4或|b|=-1(舍). 答案：4
又 AB ＝ ab，
所以 B D 5 a ＋ 5 b 5 a b 5 A B ,
所以 A B 与 B D 共线，又 A B 与 B D 有公共点B， 所以A,B,D三点共线.
(2)若ka＋b和a＋kb共线，
则存在实数μ使ka＋b=μ(a＋kb),
所以(k-μ)a=(μk-1)b,