衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期第二次模拟考试 理数试卷(含答案)

4
故选：A.
12.【答案】D
【解析】由题意可知 f ′(= x)
aex (x
−1)
+
1 x
−
x= 12
0
有两个不等根.即
ae
x
(
x
−
1)
=−
x− x2
1
,
x ∈ (0, 2) ,有一根 x = 1 .另一根在方程 1 = −x2ex , x ∈ (0, 2) 中,令 h(x) = x2ex , x ∈ (0, 2) , a
上式对 n = 1 也成立，
可得数列
{an
}
是首项为
1，公比为
1 2
的等比数列，
可= 得 S5
1= − 215 1− 1
31
．
16
2
故答案为： 31 ． 16
15. ①②
16.【答案】 6π 【解析】如图，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 O1 ，在平面 BCD 内的射影为 O2 则二面角 A − BC − D 的平面角为∠AMD ,点 A 在截面圆 O1 上运动，点 D 在截面圆 O2 上运 动，由图知，当 AB = AC ，BD = CD 时，三棱锥 A − BCD 的体积最大，此时 ∆ABC 与 ∆BDC
是等边三角形,
高三数学理科试题 第 1 页(共 10 页)
高三数学理科试题 第 2 页(共 10 页)
设 BC = a ，则 A= M D= M
3 2
a ， S∆BCD
=
3 a2 . 4
=h AM sin(π −= ∠AMD)
6 3
a
, VA− B= CD
1 3
S∆DBC= ⋅ h
2= a3 12
17.解：（Ⅰ）在 ∆ABC 中， A=D D=C 1 AC ， 2
∴ S∆B= DC S∆ABC
1 DC ⋅ h 2= 1 AC ⋅ h
D= C AC
1 2
，其中
h
为
AC
边上的高.ຫໍສະໝຸດ 2又 sin∠ABC =sin∠DBC ，
∴ S∆B= DC
1 BD ⋅ BC ⋅sin∠DBC
2
=
B= D
1
.
S∆ABC 1 AB ⋅ BC ⋅ sin∠ABC AB 2
= 42 + 52 − 2× 4× 5× cos∠BCD = 41− 40cos∠BCD ……②
而
BD AB
=
1 2
，即
AB2
=
4BD2
，
所以，116 − 80cos∠B= CD （4 41-40cos∠BCD），解得 cos∠BCD = 3 ， 5
∴sin∠BCD
=4 5
，∴ S∆BDC
=
1 BC ⋅CD·sin∠BCD = 2
= h′(x) ex (x2 + 2x) > 0 所以 h(x) 在 x ∈ (0, 2) 且 x ≠ 1上单调递增.所以 − 1 ≠ h(1) =e, 即 a
h(x) ∈ (0, e) ∪ (e, 4e2 ) .所以 a ∈
(−∞,
−
1 e
)
(−
1 e
,
−
1 4e2
)
.故选
C.
13.【答案】4
31 14.【答案】
∴M
=3× 23 + 22 +
a3
=91+ a3 , a13
= 1 ，∴ N
=9 ，即： 91+ a3
−
91+ a3 10
×10
= 9 ,
a3
∈ [0, 9] 且
a3
∈
N
,∴ 91+ a3 10
∈[9.1,10]
,∴当
a3
∈ [0, 9 )
时，
91+ a3 10
=
9
，此时：
91 +
a3
−
2
（Ⅱ）在 ∆ABC 中， AB2 = BC2 + AC2 − 2BC ⋅ AC ⋅ cos∠BCD
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= 42 +102 − 2× 4×10× cos∠BCD = 116 − 80cos∠BCD ……①
在 ∆BDC 中， BD2 = BC2 + DC2 − 2BC ⋅ DC ⋅ cos∠BCD
8
.
又因为 B= E
B= C
4
，
ED DC 5
∴ S∆B= EC S∆BDC
1 BE ⋅ BCsin∠DBC
2 1
BD
⋅
= BCsin∠DBC
B= E BD
4
，
9
2
∴
S∆CED = 5 ， ∴ SBDC 9
S∆CED
=
5×8 = 9
40
.
9
18.试题解析：
（1）证明：取 AP 中点 M ，连 DM , BM ，
16
【详解】 a1 + 2a2 + + 2n−1an =n ，
可得 n = 1 时， a1 = 1 ，
n ≥ 2 时， a1 + 2a2 + …+ 2n−2 an−1=
又 a1 + 2a2 + …+ 2n−1an = n ，
两式相减可得 2n−1an = 1 ，
即 an
=
1 2
n−1
，
n −1，
6 4
解得 a =
3 ，所以 DM
=
3 2
, DO2
= 1 ， O2M
=
1 2
，设 ∠AMD
= 2θ
则 cos 2θ
=2 cos2 θ
−1 =−
1 3
,解得 tanθ
=
2= ,∴ OO2
O= 2M tanθ
2 ,球 O 的半径 2
R=
DO22 + OO22 =
6 ,所求外接球的表面积= 为 S 4= π R2 6π . 2
理数二模答案
1-12 CACCC,ACBDA,BC 8.【答案】B
【解析】由程序框图可知，S 表示的结果为前12 项中所有偶数项之和；T 表示的结果为前12
项中所有奇数项之和，则：S = 7 + 7 + 0 + 2 + 2 + 5 = 23，T = 9 + a3 +1+ 7 + 0 + 5 = 22 + a3
90
= 9 ，解得：a3
=
8 ,当
a3
=
9
时，
91+ a3 10
= 10
，此时：91 +
a3
−100
=0
≠
9,
∴ a3 ≠ 9 ,综上所述： a3 = 8 ,故选 B.
10.【答案】A
【详解】由已知 F (1, 0) ，准线方程为 x = −1 ，过点 A 作 AA1 垂直于准线交准线于 A1，
因为
MD
/
/
PF
且
FA
=
5DA
，所以
= AF AD
A= M AP
1
，
5
又因为
AA1
垂直于准线交准线于
A1 ，所以
A= M AP
= xA AA1
1
，
5
即
xA xA +1
=
1 5
，解得
xA
=
1 4
，
代入抛物线方程可得
A
1 4
,1
，
AB 斜率，即为 AF 的斜率，所以 k =
1−0 = 1 −1
−4 3.
∵ DA = DP ， BA = BP
∴ PA ⊥ DM ， PA ⊥ BM ， ∵ DM ∩ BM = M
∴ PA ⊥ 面 DMB ，又∵ BD ⊂ 面 DMB ， ∴ PA ⊥ BD
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（2） ∵ DA = DP ， BA = BP ， DA ⊥ DP ， ∠ABP = 600 ∴ ∆DAP 是等腰三角形， ∆ABP 是等边三角形，∵ A=B P=B B=D 2 ， ∴ DM = 1，