空间点直线平面之间的位置关系(教学设计)
教学设计2：8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中点与直线有两种关系：点在线上，点在线外如图中A在线AB上在线A’B’外.点与平面位置关系有两种：点在面上，点在面外如图A在平面ABCD上A不在BB’C’C’上.2.空间中直线与直线的位置关系不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线平行直线（无交点）.共面直线：相交直线（一个交点）；异面直线（无交点）.3.异面直线的画法：4.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）.为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角.5.练习一、已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？解：是，因为两条直线既不相交也不平行.练习二、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中.（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？6.空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内（无数个公共点）；直线与平面相交（一个公共点）；直线与平面平行（没有公共点）.7.空间中平面与平面的位置关系：两个平面平行（没有公共点）；两个平面相交（有一条公共直线）.8.探究：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，连接A'B,D'C,请你举出一些图中直线与平面的位置关系.平面ABCD//平面A'B'C'D'，平面AA'DD'//平面BB'CC'，AA '//平面BB'CC'，A'B//平面CC'DD'等.9.例一：如图用符号表示下列图形中的直线、平面之间的位置关系.解：在(1)中α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B在（2）α∩β=l,.a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P10.例二：如图，AB∩α=B,A∉α，a⊂α，B∉a.直线AB 与a具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB与a是异面直线.理由如下：若直线AB 与a不是异面直线，则它们相交或平行，设它们确定的平面为β，则B∈β，αβ⊂由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面平面α与β重合，从而ABα⊂, 进而A∈α，这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.补充说明：例二告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.11.例3：已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样学生思考例三学生独立思考例5并回答段炼学生立体感段炼学生独立解决问题能力的位置关系？并画图说明．解：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．总结：判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与l是异面直线(如图)．12.例4：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交．(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．(4)平面AMD1与平面BNC相交.12.例5：在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．证明：∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．总结：判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．1.空间中直线与直线位置关系.。
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。
高三数学上册 《空间直线和平面的位置关系》教案
城东蜊市阳光实验学校1〔1〕空间直线和平面的位置关系一、教学内容分析空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言根底，也是进展空间几何研究的起点.1空间直线和平面的位置关系〔1〕是在学习了空间直线和直线的位置关系之后,进一步探究空间直线和平面的特殊位置关系之一——直线和平面垂直.课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题,要求学生能理解空间直线和平面垂直的含义及其表示法，归纳出空间直线和平面垂直的定理.通过图14-18，要求学生会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系.通过图14-1的长方体，要求能运用空间直线和平面垂直的定义及定理进展简单的推理，体会出几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性,通过例1，要求学生能理解异面直线间的间隔、点和平面的间隔的概念，知道直线和平面的间隔、平面和平面的间隔的含义及其与点和平面的间隔的转化关系，会在简单图形中进展有关间隔确实定与计算.空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的间隔以及直线和平面所成的角等内容的根底，因此它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.二、教学目的设计在通过观察和实验，探究直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性，开展空间想象力和逻辑思维才能，理解异面直线间的间隔、点和平面的间隔的概念，知道直线和平面的间隔、平面和平面的间隔的含义及其与点和平面的间隔的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法.三、教学重点及难点空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法，几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性，空间间隔确实定与计算.四、教学用具准备投影仪，多媒体课件五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入引例:简述以下问题的结论，并画图说明：〔1〕直线a α≠⊂平面，直线ba A =，那么b 和α的位置关系如何？〔2〕直线a α≠⊂平面，直线//b a ，那么b 和α的位置关系如何？解：〔1〕,b bA αα≠⊂=平面或；〔2〕,//b b αα≠⊂平面或. [说明]〔1〕引导学生掌握空间直线与平面的各种位置关系，学会各种位置关系的画法与表示方法.注意立体几何中，文字、符号语言与图形直观的互相转化. 〔2〕小结空间直线和平面的位置关系[说明]同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系.今天我们来探究空间直线和平面相交中的一种特殊位置关系——直线和平面垂直二、学习新课问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么？请举例说明.引入 探究 稳固 应用 总结 作业AB B’C’[说明]引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的墙角线和地面的位置关系等.问题2：结合对以下问题的考虑，讨论能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线和这个平面垂直呢？〔1〕如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC系是什么？随着太阳的挪动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗〔2〕旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线是什么？根据是什么？由此得到什么结论？〔3〕如图2，当旗杆AB倾斜时，还能保证AB与地面上的任一直线都垂直吗？[说明]〔1〕引导学生用“平面化〞与“降维〞的思想来考虑问题，通过观察考虑，感知直线与平面垂直的内涵.〔2〕教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间是是的变化而挪动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直.〔3〕通过观察、考虑与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直〞是这条直线与平面垂直的本质内涵.还可引导学生观察实例〔如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系〕和几何模型〔如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等〕，从中感知：只要平面外的直线不垂直于这个平面，平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直，反之亦然.〔4〕让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法.定义：一般地，假设一条直线l与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l与平面α垂直〔line l perpendiculartoplaneα〕，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线〔perpendicularline〕，平面DCBA图4α叫做直线l 的垂面．l 与面α的交点叫做垂足.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3.辨析1：以下命题是否正确？为什么？〔1〕假设一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直. 〔2〕假设一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线.[说明]通过问题辨析，加深概念的理解.由〔1〕使学生明确定义中的“任意一条直线〞是“所有直线〞的意思.而〔2〕给出了直线与直线垂直的一种断定方法.引导学生给出命题〔2〕的符号表示：a a b b αα≠⊥⎫⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎭问题3：通常定义可以作为断定的根据，那么用上述定义断定直线与平面垂直是否方便？为什么？如何改进？[说明]感受用定义作判断不方便，引发学生探究断定定理的需要，体会有限与无限的辨证关系. 引导学生考虑用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才适宜，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，可引导学生观察直立地面的棋杆与其在地面的影子，还可进展如下实验. 实验：如图4，请同学们拿出准备好的一块〔任意〕三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，〔BD 、DC 与桌面接触〕.问题4：如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么结论？[说明]通过折纸让学生发现当且仅当折痕娥AD 是BC 边上的高，即AD⊥BC 时翻折后的折痕AD 与桌面垂直.引导学生发现折痕AD 与桌面垂直的本质特征：AD 是BC 边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，同时CD 、BD 是两相交直线不变，这就是说，当AD 垂直于桌面内的两条相交直线αlP图3图6CD 、BD 时，它就垂直于桌面所在的平面.定理2：假设直线l 与平面α上的两条相交直线a 、b 都垂直，那么直线l 与平面α垂直.用符号语言表示为：,,,a b a b O l l a l b ααα≠≠⊂⊂⋂=⎫⎪⇒⊥⎬⊥⊥⎪⎭辨析2：〔1〕以下命题是否正确？为什么？假设一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，那么这条直线垂直于平行四边形所在的平面.〔2〕如图5,假设α内两条相交直线m 、n 与l 无公一一共点且l⊥m、l⊥n，直线l 还垂直平面α吗？[说明]通过辨析，让学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,否找到两条相交直线和直线垂直，共点是无关紧要的.所谓：“线不在多，相交那么灵〞.三、稳固练习例1：如图,观察跨栏、跳高架，你认为跨栏的支架、跳高架的立竿能竖直立于地面的原因是什么[说明]用学习到的知识解释实际生活中的问题，增强学生运用数学的意识，深化对直线与平面垂直定理的理解.例2：如图6，a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.[说明]初步感受如何运用直线与平面垂直的定理与定义解决问题，明确运用线面垂直定理时的详细步骤，防止缺少条件，特别是“相交〞的条件.让学生用文字语言表达：假设两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.命题表达了平行关系与垂直关系的联络，其结果给出了直线和平面垂直的又一个断定方法. 例3：〔1〕如图7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是AA1、CC1的中点，判断以下结论是否正确：①AC⊥面CDD1C1②AA1⊥面A1B1C1D1CA 1 EF③AC⊥面BDD1B1④EF⊥面BDD1B1 ⑤AC⊥BD1〔2〕将〔1〕中正方体改成长方体呢，以上结论是否正确？[说明]利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用.其中①是定义的应用，②是定理的应用，④是考虑题2结论的应用，③⑤是定理与定义的综合应用.四、应用应用之一是利用直线与平面垂直的定义、定理进展一些简单的推理，体会几何推理证明的考虑方法，根本规那么和严谨性. 我们继续研究图7例4:如图7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是AA1、CC1的中点，AC BD O =，连接11,,,A D A B DF BF ，求证:1BD A F ⊥[说明]要证线线垂直，可找线面垂直，反之亦然.即：这是立体几何证明垂直时常用的转化方法.除此之外，也要注意有时是从数量关系通过计算找线线垂直，如勾股定理等，有时会利用平面几何的性质，如等腰三角形底边上的三线合一等等.应用之二是利用直线与平面垂直的定义、定理解决一些度量问题，如角、间隔等，我们如今来探究间隔的度量问题.问题5：你能举例说明间隔在日常生活中的重要性吗？[说明]引导学生举出生活中常见的需要测量间隔的例子，如为了有适宜的照明，需要确定吊灯与桌面的间隔；为了保证平安，高压线离地面需要相当的间隔；为了购置家具，需要知道天花板与地面的间隔等等，体验探究间隔的必要性，间隔定义：〔1〕点M 和平面α的间隔：过点M 作平面α的垂线，垂足为N ，我们把点M 到垂足N 之间的间隔叫做点M 和平面α的间隔.〔2〕直线l 和平面α的间隔：设直线l 平行于平面α．在直线l 上任取一点M ，我们把点M 到平面α的间隔叫做直线l 和平面α的间隔.〔3〕设平面α平行平面β，在平面α上任取一点M ，我们把点M 到平面β的间隔叫做平面α和平面β的间隔.〔4〕异面直线a 和b 的间隔：设直线a 和b 是异面直线，当点M 、N 分别在a 和b 上，且直线MN 既垂直于直线a ，又垂直于直线b 时，我们把直线MN 叫做异面直线a 和b 公垂线，，垂足M 、N 之间的间隔叫做异面直线a 和b 的间隔.[说明]立体几何中，求间隔的关键是化归，即空间间隔向平面间隔的化归，表达了“降维〞的思想. 我们继续研究图7例5：如图7,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，1,AA AB 和AD 的长分别为3,4cm cm 和5cm .〔1〕求点A 和点1C 的间隔； 〔2〕求点A 到棱11BC 的间隔；〔3〕求棱AB 和平面1111D A B C 的间隔； 〔4〕求异面直线AD 和11A B 的间隔.[说明]求间隔的根本步骤是作、证、算，此外还要特别注意交融在运算中的推理过程，推理是运算的根底，运算只是推理过程的延续.因此求间隔的关键是直线与平面位置关系的论证.四、课堂小结〔1〕通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？CA 1 EF〔2〕上述判断直线与平面垂直的方法表达了什么数学思想？〔3〕你会利用直线与平面垂直的定义和定理找到点、线、面的间隔并计算吗？五、作业布置1、点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC 与BD 的交点，且PA=PC ，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD.2、探究题：如图，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD 〔侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱〕中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？3、课本P14练习4．AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，AB ＝2，AC ＝1， P 为⊙O 所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB 与平面所成角为45 〔1〕证明：BC⊥平面PAC ； 〔2〕求点A 到平面PBC 的间隔．[说明]通过训练，稳固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的才能.其中第1题主要运用直线与平面垂直的断定定理，第2、是活用直线与平面垂直的定义与断定定理.第3、4题是利用直线与平面垂直的定义与断定定理找到点、线、面的间隔并计算.六、教学设计说明空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的间隔以及直线和平面所成的角等内容的根底，因此它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.在探究空间直线与平面垂直的定义及断定定理时，注意从详细实例出发，通过观察、考虑与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直〞是这条直线与平面垂直的本质内涵.引导学生考虑用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才适宜，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，通过折纸活动进展讨论，再通过辨析，让学生明白要判断一条直线与一个题 3 A DCBA’ B’C’D’平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和直线垂直，至于这两条相交直线是否和直线有公一一共点是无关紧要的.所谓：“线不在多，相交那么灵〞.在这个过程中，用问题驱动课堂教学，引导学生自主探究、归纳、总结出相关概念，充分发挥学生主体作用，在应用定义和定理证明空间直线与平面垂直的过程中，注意引导学生把在直线和平面关系转化为直线和直线的关系，浸透转化思想的应用.这种转化思想同样要浸透在求直线和平面、平面和平面之间的间隔中，它们都可转化成求点和平面的间隔.空间直线与平面垂直的问题是立体几何中一个根本的问题，在后面的多面体学习中会继续涉及，因此，教学中要注意把握好“度〞.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，都要紧扣定义和定理.。
03教学设计_1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系，主要是垂直。
在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。
1.教学重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2.教学难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系多媒体一、情境导学类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？二、探究新知空间中直线、平面垂直的向量表示位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为μ1,μ2,则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0线面垂直设直线l的方向向量为μ,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得μ=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=01.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )(4)若两平面α,β的法向量分别为u 1=(1,0,1),u 2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k ),若α⊥β,则k=( ) A.2 B.-5C.4D.-2答案:B解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.例1如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是矩形,PA=AB=1,点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.求证:无论点E 在边BC 上的何处,都有PE ⊥AF.思路分析只需证明直线PE 与AF 的方向向量互相垂直即可. 证明:(方法1)以A 为原点,以AD ,AB ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AD=a ,则A (0,0,0),P (0,0,1),B (0,1,0),C (a ,1,0),于是F (0,12,12).∵E 在BC 上,∴设E (m ,1,0),∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,1,-1), AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12). ∵PE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PE ⊥AF . ∴无论点E 在边BC 上何处,总有PE ⊥AF .(方法2)因为点E 在边BC 上,可设BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ++λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ++λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(0-1+1+0+0+0)=0,因此PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故无论点E 在边BC 上的何处,都有PE ⊥AF . 延伸探究本例条件不变,求证:AF ⊥BC. 证明:同例题建系,易知AF ⃗⃗⃗⃗⃗ += 0,12,12,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +=(a ,0,0),因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +=0,所以AF ⊥BC.利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.跟踪训练1在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为AC 的中点.求证:(1)BD 1⊥AC ;(2)BD 1⊥EB 1.(2)∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +=(-1,-1,1),EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,1) ,∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +=(-1)×12++(-1)×12+1×1=0,∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD 1⊥EB 1.证明:以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B (1,1,0),D 1(0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E (12,12,0),B 1(1,1,1).(1)∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,1), AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0. ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD 1⊥AC.例2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M 分别为棱AB ,BC ,B 1B 的中点.求证:D 1M ⊥平面EFB 1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面EFB 1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面EFB 1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB 1的法向量,然后说明D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与法向量共线,从而证得结论.证明:(方法1)因为E ,F ,M 分别为棱AB ,BC ,B 1B 的中点, 所以D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0-0+0-12+12−14×0=0,因此D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .同理D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,因此D 1M ⊥平面EFB 1.(方法2)分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则D 1(0,0,1),M (1,1,12),B 1(1,1,1),E (1,12,0),F (12,1,0),于是D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−12),B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12,−1),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,−1),因此D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×0+1×(−12)+(−12)×(-1)=0,故D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 又D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(−12)+1×0+(−12)×(-1)=0,故D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,因此D 1M ⊥平面EFB 1.(方法3)分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,1),M (1,1,12),B 1(1,1,1),E (1,12,0),F (12,1,0),于是D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−12), B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12,−1),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,−1),设平面EFB 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 于是n ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此{−12y −z =0,−12x −z =0, 取x=2,则y=2,z=-1,即n =(2,2,-1),而(1,1,−12)=12(2,2,-1),即D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12n , 所以D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n ,故D 1M ⊥平面EFB 1.利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.跟踪训练2如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB=4 ,CD=2, AD=2√2,PA ⊥平面ABCD ,PA=4. 求证:BD ⊥平面PAC.证明:因为AP ⊥平面ABCD ,AB ⊥AD ,所以以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则B (4,0,0),P (0,0,4), D (0,2√2,0),C (2,2√2,0), 所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2√2,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4). 所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4)×2+2√2×2√2+0×0=0, BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4)×0+2√2×0+0×4=0,所以BD ⊥AC ,BD ⊥AP . 因为AP ∩AC=A ,AC ⊂平面P AC ,AP ⊂平面P AC , 所以BD ⊥平面P AC.例3如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥BC ,AB=BC=2,BB 1=1,点E 为BB 1的中点,证明:平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C.思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n 1,n 2,证明n 1·n 2=0.解:由题意得AB ,BC ,B 1B 两两垂直.以点B 为原点,BA ,BC ,BB 1所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A (2,0,0),A 1(2,0,1),C (0,2,0),C 1(0,2,1),E 0,0,12,则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,1), AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,0,12. 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1).则{n 1·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{z 1=0,−2x 1+2y 1=0.令x 1=1,得y 1=1.∴n 1=(1,1,0).设平面AEC 1的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2). 则{n 2·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2x 2+2y 2+z 2=0,−2x 2+12z 2=0, 令z 2=4,得x 2=1,y 2=-1.∴n 2=(1,-1,4).∵n 1·n 2=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴n 1⊥n 2,∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C.利用空间向量证明面面垂直的方法1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.跟踪训练3如图,在五面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD , AD ∥BC ∥FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF=AB=BC=FE=12AD 求证:平面AMD ⊥平面CDE.分析:因为FA ⊥平面ABCD ,所以可以以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系.证明:如图,建立空间直角坐标系,点A 为坐标原点,设AB=1,依题意得A (0,0,0),M (12,1,12) ,C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,1,1),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,12),CE⃗⃗⃗⃗⃗ +=(-1,0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此CE ⊥AM ,CE ⊥AD. 又AM ∩AD=A ,∴CE ⊥平面AMD.又CE ⊂平面CED ,∴平面AMD ⊥平面CED.金题典例 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a ,BB 1=3a ,D 是A 1C 1的中点,E 是B 1C 的中点.(1)求cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >.(2)在线段AA 1上是否存在点F ,使CF ⊥平面B 1DF ?若存在,求出|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |;若不存在,请说明理由.解:(1)以B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.∵AC=2a ,∠ABC=90°,∴AB=BC=√2a. ∴B (0,0,0),A (√2a ,0,0),C (0,√2a ,0),B 1(0,0,3a ),A 1(√2a ,0,3a ),C 1(0,√2a ,3a ),D (√22a,√22a,3a),E (0,√22a,32a), CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a ,-√2a ,3a ), BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22a,32a). ∴|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13a ,|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√112a ,CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0-a 2+92a 2=72a 2. ∴cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=7√143143.(2)存在.理由如下:假设存在点F ,使CF ⊥平面B 1DF.不妨设AF=b ,则F (√2+a ,0,b ),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +=(√2+a ,-√2+a ,b ),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +=(√2+a ,0,b-3a ),B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a,√22a,0). ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-a 2+0=0,∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 恒成立.由B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 2+b (b-3a )=b 2-3ab+2a 2=0,得b=a 或b=2a , ∴当|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 或|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a 时,CF ⊥平面B 1DF . 应用空间向量解答探索性(存在性)问题 立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在. 三、达标检测B.平面AED ⊥平面A 1FD 1C.平面AED 与平面A 1FD 1相交但不垂直D.以上都不对答案:B 解析:以D 为原点, DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ,y ,z 建立空间直角坐标系,求出平面AED 的法向量n 1与平面A 1FD 1的法向量n 2.因为n 1·n 2=0,所以n 1⊥n 2,故平面AED ⊥平面A 1FD 1.3.若直线l 的方向向量是a =(1,0,-2),平面β的法向量是b =(-1,0,2),则直线l 与β的位置关系是 . 答案:l ⊥β 解析:因为a ∥b ,所以l ⊥β.4.如图,在四面体ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC=CD , ∠BCD=90°,∠ADB=30°,E ,F 分别是AC ,AD 的中点, 求证:平面BEF ⊥平面ABC.证明:建立空间直角坐标系,如图,取A (0,0,a ),则易得B (0,0,0), C√32a ,√32a ,0,D (0,√3a ,0),E√34a ,√34a ,a2,F (0,√32a,a2).∵∠BCD=90°,∴CD ⊥BC.∵AB ⊥平面BCD ,∴AB ⊥CD.又∵AB ∩BC=B ,∴CD ⊥平面ABC. ∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32a,√32a,0)为平面ABC 的一个法向量.设平面BEF 的法向量n =(x ,y ,z ),∴n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(x ,y ,z )·(−√34a,√34a,0)=0.∴x=y.由n ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x ,y ,z )·(0,√32a,a 2)=0, 有√32ay+a2z=0,∴z=-√3y. 取y=1,得n =(1,1,-√3). ∵n ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-√3)·(−√32a,√32a,0)=0, ∴n ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴平面BEF ⊥平面ABC.5．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：//NM 平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1MN =，0，1)-，平面11A ADD 的法向量(0n =，1，0)，∴0MN n =，MN ⊂/平面11A ADD ，//MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-，∴11·0MN A B =，1·0MN AM =，11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．四、小结五、课时练教学中主要突出了几个方面：一是突出类比学习，让学生类比向量解决平行问题，进而学习运用空间向量解决垂直问题，发展学生的类比思想和逻辑推理能力。
《直线、平面之间的位置关系》示范课教学设计【高中数学教案】
《直线、平面之间的位置关系》教学设计用符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系；理解直线与平面垂直的含义、了解点面距、线面距、面面距的定义教学重点：直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义． 教学难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系．PPT 课件．【新知探究】问题1：空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系有哪些位置关系？.师生活动：结合图11－1－17，总结空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系.预设的答案：直线与平面的位置关系：一般地，如果l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则：lα≠∅与l α=∅有且仅有一种情况成立.（1）当l α≠∅时，要么l α⊂，要么l 与α只有一个公共点； （2）当lα=∅时，称直线l 与平面α平行，记作：//l α.平面与平面的位置关系：如果α与β是空间中的两个平面，则αβ≠∅ 与◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标αβ=∅有且仅有一种情况成立．（1）当αβ≠∅时，α与β的公共点组成一条直线；（2）当αβ=∅时，称平面α与平面β平行，记作：//αβ.文字语言表达图形语言表达符号语言表达A是直线l上的点，A1不是直线l上的点A∈l，A1∉l A是平面α内的点，A1不是平面α内的点A∈α，A1∉α直线l在平面α内(或平面α过直线l)l⊂α直线l在平面α外直线l与平面α相交l∩α＝Al⊄α直线l与平面α平行l∥α平面α与平面β相交于l α∩β＝l 平面α与平面β平行α∥β设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题2：观察图中的长方体(1) A1A与AB是否垂直，A1A与AD是否垂直并说明理由；(2) 判断A1A与AC是否垂直；(3) 若直线在平面ABCD 内，且过点A ，判断A 1A 与l 是否垂直.师生活动：引导学生阅读教材，给出结论 预设的答案：直线与平面垂直：由观察可知，图中，不管直线的具体位置如何，只要,A l l ∈⊂平面ABCD ，则一定有1A A l ⊥.追问：如何定义直线与平面垂直？空间距离有哪些？ 预设的答案：直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直（或l 是平面α的一条垂线，α是直线l 的一个垂面），记作l α⊥），其中点A 称为垂足. 因此，图中长方体中，有1A A ⊥平面ABCD ，类似地，有1A A ⊥平面1111,A B C D 11A B ⊥平面11BCC B .点到平面的距离、直线到平面的距离：给定空间中一个平面α以及一个点A ，过A 可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B ，则称B 为A 在平面α内的射影（也称为投影），线段AB 为平面α的垂线段，AB 的长为点A 到平面α的距离.特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；平行平面间的距离：当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.因此，点1A 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，直线11A B 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，面1111A B C D 与面ABCD 之间的距离等于1A A 的长.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】 例1.思考辨析(1)直线l 在平面α内，记作l ∈α.( ) (2)若a ∩b ＝∅，则a 与b 平行．( )(3)若l ∩α≠∅，则直线l 与平面α有公共点．( ) (4)若直线l 在平面α外，则直线l 与平面α平行．( )(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．( ) 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案： (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 设计意图：了解点、线、面位置关系的表示． 例2. 下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： B 当α内的无数条直线平行时，l 与α不一定垂直，故①不对； 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与α垂直，故②不对； 当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． 设计意图：直线与平面垂直的概念辨析例3. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，AA 1＝3 cm ，则 (1)点A 到平面DCC 1D 1的距离为________； (2)直线AA 1到平面BCC 1B 1的距离为________； (3)平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1之间的距离为________. 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：(1)4 cm (2)6 cm (3)3 cm 设计意图：进一步认识空间距离及求法 【课堂小结】问题：（1）直线与平面、平面与平面位置关系有哪些？ （2）直线与平面垂直是定义是什么？空间距离有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．直线a 与平面α的位置关系：⎩⎨⎧a ∩α＝∅⇒a ∥αa ∩α≠∅⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 与α相交a 在α内；平面α与平面β的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧α∩β＝∅⇒α与β平行α∩β≠∅⇒α与β相交2．直线与平面垂直：(1)定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直．(2)点面距：若点A 是平面α外一点，AB ⊥α，B 为垂足，则线段AB 的长 为点A 到平面α的距离．(3)线面距、面面距转化为点面距．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生想出几何体的基本元素、及点、线、面的位置关系，从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业： 【目标检测】1. 给出下列四个命题：①若直线l ∩m ＝∅，则l 与m 平行；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若m ⊂α，m ∩β＝M ． 那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 设计意图：考查空间两个平面的位置关系 2. 下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线l 是平面α的一条垂线，则直线l 垂直于 平面α内的所有直线；④若直线l 垂直于平面α，则称平面α是直线l 的一个垂面． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①A 1B 与D 1C ________；②A1B与B1C________；③D1D与平面BCC1B1________；④AB1与平面BCC1________；⑤平面ABB1与平面DCC1_________；⑥平面ABB1与平面DD1A1________.设计意图：考查空间两条直线、空间两个平面的位置关系4.线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________cm；(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.设计意图：考查空间距离的求法参考答案：1.A对于①，直线l∩m＝∅，即直线l与直线m没有公共点，l与m可能平行，也可能异面，∴l不一定与m平行．故①错．对于②，直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．对于④，∵m⊂α，m∩β＝M，∴点M∈α，M∈β，故平面α与平面β相交，故④正确．2.C①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知②③④正确．3.①平行②异面③平行④相交⑤平行⑥相交4．(1)3(2)4(3)5如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.。
2021高一数学【新教材】第二册教学设计 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
【新教材】8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系（人教A版）空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是本节的重点和难点.这些位置关系是根据交点个数来定义的，本节重点是结合图形判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.课程目标1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．数学学科素养1.数学抽象：异面直线的理解；2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面.观察如图所示的长方形，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本128-131页，思考并完成以下问题1、什么是异面直线？2、空间两条直线的位置关系？3、直线与平面的位置关系？4、平面与平面的位置关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法:2.空间两条直线的位置关系3.直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a 在平面α内有无数个公共的直线a 与平面α相交有且只有一个公共的直线a 与平面α平行无公共点4.平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点,这些点在一条直线上四、典例分析、举一反三题型一直线与直线的位置关系例1如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是AA 1,AB 的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB 与CC 1;(2)A 1B 1与DC;(3)A 1C 与D 1B.位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点有且只有一个公共点a ⊂αa∩α=A a ∥αα∥βα∩β=l【答案】见解析.【解析】(1)因为C ∈平面ABCD,AB ⊂平面ABCD,又C ∉AB,C 1∉平面ABCD,所以AB 与CC 1异面.(2)因为A 1B 1∥AB,AB ∥DC,所以A 1B 1∥DC.(3)因为A 1D 1∥B 1C 1,B 1C 1∥BC,所以A 1D 1∥BC,则A 1,B,C,D 1在同一平面内.所以A 1C 与D 1B 相交.解题技巧（判定两直线异面的常用方法）(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.跟踪训练一1、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与棱AB 异面且垂直的棱有()(A)8条(B)6条(C)4条(D)3条【答案】C 【解析】如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB 平行,有四条与AB 相交,还剩四条,这四条是CC 1,DD 1,A 1D 1,B 1C 1都是与AB 异面且垂直.故选C.题型二直线与平面的位置关系例2如图所示,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,试判定BC 1与六个面的位置关系.【答案】见解析．【解析】因为B ∈面BCC 1B 1,C 1∈面BCC 1B 1,所以BC 1⊂面BCC 1B 1.又因为BC 1与面ADD 1A 1无公共点,所以BC 1∥面ADD 1A 1.因为C 1∈面CDD 1C 1,B ∉面CDD 1C 1,所以BC 1与面CDD 1C 1相交,同理BC 1与面ABB 1A 相交,BC 1与面ABCD 相交,BC 1与面A 1B 1C 1D 1相交.解题技巧(直线与平面位置关系的解题思路)解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.跟踪训练二1、下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行③若直线a 在平面α外,则a ∥α.(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a ∥α或直线a 与α相交,故③不正确.故选B.题型三平面与平面的位置关系例3α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是()(A)平面α内有两条直线a,b 都与平面β平行,那么α∥β(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β(C)若直线a 与平面α和平面β都平行,那么α∥β(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【答案】D【解析】对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D 符合面面平行的定义,正确.选D.解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.跟踪训练三1、平面α与平面β平行且a ⊂α,下列四种说法中,①a 与β内的所有直线都平行;②a 与β平行;③a 与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】因为α∥β,a ⊂α,所以a 与β无公共点,所以a ∥β,故②正确,所以a 与β内的所有直线都没有公共点,所以a 与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系1、异面直线例1例2例32、直线与直线的位置关系3、直线与平面的位置关系4、平面与平面的位置关系七、作业课本131页练习，131页习题8.5的剩余题.就本节课位置关系学生容易理解，但在做题时容易进入误区，例：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.所以要求学生做题时要将其所有情况考虑全面.。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)(教学设计)-高二数学(选择性必修第一册)
我们知道面图形等是组成空间几何体的基本元素因此,为了用空间向量解决立体儿何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
教师引导学生思考下列问题：
问题1：如何确定一个点在空间的位置？
思考：
如何用向量表示空间中的一个点．
如图1.4-1,在空间中,我们取一定点 作为基点,那么空间中任意一点 就可以用向量 来表示．我们把向量 称为点 的位置向量．
（2）蕴含的思想与方法
对于距离问题,由于前面已研究了两点间的距离,本单元利用向量投影统一研究其余距离问题,其中点到直线的距离,点到平面的距离是核心,其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题,利用直线的方向向量和平面的法向量,统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角,进而利用向量的数量积解决问题.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题,体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
1.
学生在“立体几何初步”的学习中,对于距离和夹角有了一定的认识,但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中,也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题,但对于其中的向量方法体会还不够深刻,对于用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,也达不到熟练运用的程度,特别是在解决综合性问题时,常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
（3）培育的数学核心素养
通过本单元求解距离和掩度的问题,可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题,从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性,培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
教学设计1：1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行
1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行一、教学目标1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系；2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 二、教学重难点 1. 教学重点用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系. 2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 三、教学过程 （一）新课导入1. 复习：直线的方向向量和平面的法向量.2. 直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题. （二）探索新知问题1 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？（学生自主思考，举手回答，教师引导，最后讲解）如下图，设12u u ，分别是直线21l l ，的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以1212l l λ⇔⇔∃∈R u u ，使得12λ=u u .类似地，如下图，设u 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l α⊄， 则0lα⇔⊥⇔=u n u n .如下图，设12n n ，分别是平面αβ，的法向量，则12αβλ⇔⇔∃∈R n n ，使得12λ=n n .（三）例题精析例1 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，a b a b P ab ββαα⊂⊂⋂=，，，，.求证：αβ.证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v . 因为ab αα，，所以00==n u n v ，.因为a b a b P ββ⊂⊂⋂=，，，所以对任意点Q β∈， 存在x y ∈R ，，使得PQ x y =+u v .从而()0PQ x y x y =+=+=n n u v n u n v . 所以，向量n 也是平面β的法向量. 故αβ.例2 如图，在长方体中，1432AB BC CC ===，，.线段1B C 上是否存在点P ，使得1A P平面1ACD ？证明：以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间1111ABCD A B C D-直角坐标系.因为1A C D ，，的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以1(340)(302)AC AD =-=-，，，，，. 设()x y z =n ，，是平面1ACD 的法向量，则100AC AD ==n n ，， 即340320x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以2312x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.取6z =，则43x y ==，.所以，(436)=n ，，是平面1ACD 的一个法向量.由11A C B ，，的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)， 得11(040)A B =，，，1(302)B C =--，，.设点P 满足11(01)B P B C λλ=， 则1(302)B P λλ=--，，，所以1111(342)A P A B B P λλ=+=--，，. 令10A P =n ，得1212120λλ-+-=，解得12λ=，这样的点P 存在. 所以，当1112B P BC =，即P 为1B C 的中点时，1A P 平面1ACD .（四）课堂练习1.若平面的法向量分别为，则( )A. B.与相交但不垂直 C.D.或与重合【答案】D【解析】∵，∴，∴或与重合.故选D.2.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是( ) A. B. C. D.【答案】B 【解析】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.∴.∴.故选B.3.已知直线过点，且平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量不可能是( )αβ，1(13)(126)2=-=--a b ，，，，，αβαβαβ⊥αβαβ2=-b a b a αβαβα(231)-，，β(42)λ-，，αβλ103-66-103αβαβ23142λ-==-6λ=l 10(1)P -，，l 11(2)=a ，，αl ()123M ，，αA. B.C.D.【答案】D【解析】因为，直线平行于向量，所以若是平面的法向量， 则必须满足，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D.4.若不同的平面的一个法向量分别为，则与的位置关系为_______. 【答案】平行【解析】. 5.如图，已知梯形中， ，，，四边形为矩形，，平面平面.求证：平面.证明：取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，设平面的法向量，∴，不妨设，(142)-，，11(1)42-，，11(1)42--，，(011)-，，(024)PM =，，l a n α00PM =⎧⎪⎨=⎪⎩n a n αβ，111(1)(13)632=--=-m n ，，，，，αβ3////αβ=-∴∴，，n m m n ABCD //AD BC AD AB ⊥22AB BC AD ===EDCF CF =EDCF ⊥ABCD //DFABE D DA x DEz (1,0,0)A (1,2,0)B (0,E (1,F-(1,BE =--(0,2,0)AB =ABE (,,)x y z =n 2020x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩=n又(DF =-，∴，∴，又∵平面，∴//DF 平面ABE . （五）小结作业小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 作业： 四、板书设计1. 用向量刻画线线平行；2. 用向量刻画线面平行；3. 用向量刻画面面平行.30DF =-+=n DF ⊥n DF ⊄ABE。
《空间中直线与平面之间的位置关系》教学设计 (1)
《空间中直线与平面之间的位置关系》教学设计2..1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学目的：通过对生活实例的观察、思考，让学生认识空间中直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。
教学重点：直线与平面的三种位置关系及其应用。
教学难点：例4的教学是难点。
教学过程一、新课引入1、空间中两条直线有几种位置关系？2、一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？3、如图，线段A’B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？二、新课直线与平面的位置关系有且只有三种：（1）直线在平面内――有无数个公共点；（如直线A’B在平面ABB’A’内）（2）直线与平面相交――有且只有一个公共点；（如直线A’B与平面BCC’B’只有一个公共点）（3）直线与平面平行――没有公共点。
（如直线A’B在平面DCC’D’平行）直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
直线与平面的三种位置关系用图表示一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a在平面α外，应把直线a 或它的一部分画在表示平面α的平行四边形外。
直线a与平面α相交于点A，记作a∩α=A直线a与平面α平行，记作a∥α。
例4、下列命题中正确的个数是（）（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α。
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行。
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。
（4）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
（A）0（B）1（C）2（D）3分析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确。
问题（1）不正确，相交时也符合。
问题（2）不正确，如右图中，A’B与平面DCC’D’平行，但它与CD不平行。
问题（3）不正确。
另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC’D’平行，但直线CD 平面DCC’D’问题（4）正确，所以选（B）。
高中数学教学课例《平面与平面之间的位置关系》课程思政核心素养教学设计及总结反思
教学过程
问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有
一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，
交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图 3，用符号 语言表示为：P∈α 且 P∈βα∩β=l,且 P∈l.
让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提
高学生的学习兴趣.
学生学习能
学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在
力分析 学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
本节主要通过让学生活动、学生讨论、之后教师讲
解与补充使得学生学习平面与平面的位置关系，平面与
教学策略选 平面的位置关系有两种：
择与设计
①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交
——有一条公共直线.通过活动、讨论来培养学生的空
间想象能力
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点
拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生
提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断
空间中平面与平面之间的位置关系。
1．知识与技能
（1）了解空间中平面与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系
教学目标 的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节
空间点直线平面之间的位置关系(教学设计)
2.1（1）空间点、直线、平面之间的位置关系（教学设计）2.1.1平面一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（2）掌握平面的基本性质及作用；2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，利用生活中的实物形成平面的概念，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理点、线、面的关系.3、情感与价值使学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣,提高学生的空间想象能力.二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.教学过程：一、创设情境，新课引入1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的．2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？4．教师借助实物，引入生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，这些都给我们以平面的印象.给同学设问：你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.顺势导入新课.二、师生互动，新课讲解1、平面含义教师根据上述平面实例，导入几何里所说的平面概念，就是从这样的一些物体中抽象出来的，强调几何里的平面是无限延展的.2、平面的画法及表示教师设问师：在平面几何中，怎样画直线？引入平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α 3、平面的基本性质 无限延展性 4、 探究公理 （1）问题1的探究教师提出问题，引发学生思考：如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢？（把直尺放在物体表面的各个方向上，如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙，就可判断物体表面是平的） 教师点拔：这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法．如果物体表面是平的，把直尺边缘无论如何放在平面上，则边缘与平面都没有缝隙，也就是说，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．由此，可以归纳出公理1．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（如图14-1）．DCBAα·Aα·B a这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．这一性质是平面的主要特征．弯曲的面就不是处处具有这种性质．教师进一步分析：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．把点作为基本元素，直线、平面即为“点的集合”，这样：点A在直线a上，记作A∈a；点A在直线a外，记作A a；点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作Aα；直线a在平面α内，记作aα；直线a在平面α外，记作aα．公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα．例1：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内．注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯．课堂练习1：判断下列命题的真假①如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．（ X ）②过一条直线的平面有无数多个．（V ）③与一个平面没有公共点的直线不存在．（X）④如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．（V）（2）问题2的探究教师提出问题，引发学生思考：自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？（因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上，而且为了站稳，前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线，因此我们可以推测：过不共线的三点有且只有一个平面）教师演示：用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点（如图14-2），当把作为平面的硬纸板放在上面时，这张作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，硬纸板所在平面就不能确定了，正如同刚才的发现：过不共线的三点有且只有一个平面．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3）公理2也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．教师出示问题：试举出一个应用公理2的实例．（例如，一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）教师明晰：由于两点确定一条直线，根据公理2容易得出如下推论：推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．已知：点A，直线a，A a．（如图14-6）求证：过点A和直线a可以确定一个平面．分析：“确定一个平面”包含两层意思：一是存在，二是唯一．这两层都应证明．（说明：这个证明可以由教师引导学生一起分析完成，但步骤教师一定要板书）证明：存在性．因为A a，在a上任取两点B，C，所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理2）因为B∈α，C∈α，所以a∈α．（公理1）故经过点A和直线a有一个平面α．唯一性．如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么Ａ∈β，ａβ，因为B∈ａ，C∈ａ，所以B∈β，B∈β．（公理1）故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．所以平面α和平面β重合．（公理2）所以经过点A和直线ａ有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．类似地可以得出下面两个推论：推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8）（3）问题3的探究教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？（不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线）教师点拔：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．这个实例说明了平面具有如下性质．公理3 如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5）公理3的数学符号语言：P∈α，P∈βα∩β＝a，P∈a．教师进一步概括：为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫作这两个平面的交线．由公理３可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点．课堂练习2：判断下列命题的真假．①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上．（V）②两个平面的公共点的集合可能是一条线段．（ X ）例2：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9）已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证法1：因为AB∩AC＝A，所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BCα．（公理1）因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．证法2：因为A直线BC，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．故ABα，同理ACα，所以AB，AC，BC共面．证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2）因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1）同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）课堂练习3：1. 三角形、梯形是平面图形吗？（是）2. 四条直线两两相交且不过同一点，这四条直线是否一定共面？（不一定）3. 两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面呢？例3：(tb2600603)用符号表示下列语句。
直线与平面之间的位置关系教学设计
直线与平面之间的位置关系教学设计直线与平面之间的位置关系教学设计一、教学目标1、知识与技能：（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法：（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教法1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教法：观察类比，探究交流。
四、教学过程（一）复习引入：1 空间两直线的位置关系：（1）相交；（2）平行；（3）异面2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：．3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的'直线是异面直线。
推理模式：与是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α例1下列命题中正确的个数是（）内，则L∥?⑴若直线L上有无数个点不在平面内的任意一条直线都平行?平行，则L与平面?(2)若直线L与平面（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行内任意一条直线都没有公共点?平行，则L与平面?（4）若直线L 与平面（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)32、探析平面与平面的位置关系：① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？联系生活中的实例找面面关系.② 讨论得出：相交、平行。
人教版高中数学必修四 (空间中点、线、面的位置关系)
教案漂市一中钱少锋点A不在直线l上l A∉2.两条直线位置关系符号表示图形表示直线a与l 相交Ala=直线a与l 平行l a//直线a与l 异面异面与la异面直线的定义：空间中的两条直线既不平行也相交，则称这两条直线异面.两条直线异面，则它们不同在任何一个平面内. 用平面衬托的方法表示异面直线.3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A 在平面α内 α∈A点A 不是平面α内的点 α∉A4. 直线与平面（1）直线在平面α内（或平面α过直线l ）：直线l 上的所有点都在平面α内，记作α⊂l .（2）直线l 在平面α外：直线l 上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l .①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .②直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面 位置关系 符号表示 图形表示平面βα与相交l =βα平面βα与平行βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α相交于点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.以可以取其中任一点来作点面距来求线面距离.两个平面平行时，其中一个平面的每一点到另一个平面距离都相等，所以可以转化为点面距来处理.例题例1 判断下列命题是否正确.(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则α//l.( )(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行. ( )(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. ( )【答案】（1）错；（2）错；（3）对.例2 在正方体1111DCBAABCD-中，（1）与直线1AA异面的棱有条；（2）与直线BA1相交的棱有条；（3）直线BA1与直线CB1的位置关系是；（4）直线BA1与直线CD1的位置关系对线面平行关系的定义的认识，线与面没有公共点即线与平面中的所有线都没有公共点，且直线上的所有点都不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条；(2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条； (3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离；（2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距离；（3）求平面11A ADD 与平面11B BCC 之间的距离. 【答案】(1)4；(2)2；(3)4.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.通过找线面垂直，完成距离的求解.【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。
人教A版高中数学必修二《空间中直线与平面之间的位置关系》教学设计
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、教学重点与难点正确判定直线与平面的位置关系.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入)一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做直线在平面内？②什么叫做直线与平面相交?③什么叫做直线与平面平行?④直线在平面外包括哪几种情况?⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬.讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.⑤直线在平面内a α直线与平面相交a∩α=A直线与平面平行a∥α（三）应用示例思路1例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案：B变式训练请讨论下列问题：若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.求证：l与a、b、c共面.证明：如图4,∵a∥b,图4∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l,∴AB⊂α，即l⊂α.同理b、c确定一个平面β，l⊂β,∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面,∴α与β重合.故l与a、b、c共面.变式训练已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.∴P∈β，a⊂β，P∉a.又P∈α，a⊂α，P∉a,由推论1：过P、a有且只有一个平面,∴α、β重合.∴PQ⊂α.点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.思路2例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式训练若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a 与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.答案：D变式训练不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.答案：①变式训练若直线a⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行(4)α内不存在与a平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.（四）知能训练已知α∩β=l,a⊂α且a⊄β,b⊂β且b⊄α,又a∩b=P.求证：a与β相交,b与α相交.证明：如图10,∵a∩b=P,图10∴P∈a,P∈b.又b β,∴P∈β.∴a与β有公共点P,即a与β相交.同理可证,b与α相交.（五）拓展提升过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？解：(1)如图11,C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,图11 图12 图13显然，平面PQ是符合要求的平面.(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.（六）课堂小结本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.（七）作业课本习题2.1 A组7、8.11。
高中数学必修2《空间点、直线与平面之间的位置关系》教案
⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 ⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 课题名称 《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》 科 ⽬ ⾼中数学 教学时间 1课时 学习者分析 通过第⼀章《空间⼏何体》的学习，学⽣对于⽴体⼏何已经有了初步的认识，能够识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，并理解它们的⼏何特征。
但是这种理解还只是建⽴在观察、感知的基础上的，对于原理学⽣是不明确的，所以学⽣此时有很强的求知欲，急于想搞清楚为什么;同时学⽣经过⾼中⼀年的学习，已经具备了⼀定的逻辑推理能⼒，只是缺乏训练，不够严密，不够清晰;有⼀定的⾃主探究和合作学习的能⼒，但有待提⾼，并愿意动⼿并参与分组讨论。
教学⽬标 ⼀、知识与技能 1. 理解空间点、直线、平⾯的概念，知道空间点、直线、平⾯之间存在什么样的关系; 2. 记忆三公理三推论，能够⽤简单的语⾔概括三公理三推论，会⽤图形表⽰三公理三推论，并将其转化成数学符号语⾔; 3. 明确三公理三推论的功能，掌握使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题的⽅法。
⼆、过程与⽅法 1. 通过⾃⼰动⼿制作模型，直观地感知空间点、直线与平⾯之间的位置关系，以及三公理三推论; 2. 通过思考、讨论，发现三公理三推论的条件和结论; 3. 通过例题的训练，进⼀步理解三公理三推论，明确三公理三推论的功能。
三、情感态度与价值观 1. 通过操作、观察、讨论培养对⽴体⼏何的兴趣，建⽴合作的意识; 2. 感受⽴体⼏何逻辑体系的严密性，培养学⽣细⼼的学习品质。
教学重点、难点 1. 理解三公理三推论的概念及其内涵; 2. 使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题。
教学资源 (1)每位同学准备两张硬纸板，其中⼀张中间⽤⼩⼑划条缝，铅笔三根; (2)教师⾃制的多媒体课件。
《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教学过程的描述 教学活动1 ⼀、导⼊新课 1. 回忆构成平⾯图形的基本元素：点、直线。
《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计
空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容和内容解析1．内容空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系及其符号表示．2．内容解析在前面的学习中，学生掌握了空间中点线面之间的3条基本事实，和三个推论．学生可借助这些结论和生活实际对空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的关系进行总结和概括．这些感性认识为后面章节研究它们关系的判定和性质奠定了初步的基础．空间中，点、直线、平面这三类对象之间有6类关系，其中点与点、点与线、点与面之间的关系学生已经非常清楚．而直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系，学生只有粗浅的认识．而长方体提供了观察它们之间关系的重要模型．先观察然后归纳长方体中的直线、平面之间的关系，这是新课程改革中较好体现逻辑推理重要学科素养的内容．空间中的几何对象与其代数表示各有其优缺点，代数表示较为简洁、明确，而几何表达较为形象直观．直线、平面之间的位置关系也一样，能利用代数符号表达几何关系，也能用几何图形表达代数符号，是本节课中数学建模这一学科素养的具体体现．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过对长方体和生活中实物的观察，归纳空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系；能够对上述关系进行符号表示，能在几何表示和符号表示之间快速转换．二、目标和目标解析1．目标（1）归纳并理解空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系．（2）能对上述关系进行符号表达，能在图形表示与符号表达之间相互转换．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能通过长方体中具体的直线、平面之间的关系，抽象、归纳出直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系，并能在具体的空间图形中回答指定对象较为明显的位置关系．达成目标（2）的标志是：学生能通过类比集合中属于和含于等符号，表达直线与直线间的相交、平行；直线与平面间的在面内、相交、平行；平面与平面的平行、相交等的所有可能的位置关系．对于文字叙述或者符号表达的点线面的位置关系，学生能通过平行四边形、直线、点等图形表示出来，特别是异面直线．三、教学问题诊断分析学生对于点与点，点与线、点与面之间的关系是非常清楚的，但是如何通过抽象，剥离出本质特征，用几何图形表示不是很明白．直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系是后面章节中重点介绍的内容，本节课主要是初步感知这些对象之间关系，并用基本图形表达这些关系．异面直线是用否定性的定义来表达的，即不在任何一个平面内，没有公共点．在用图形表达的时候，只能借助一条直线在面内，一条直线与平面相交，且交点不在前一直线上来展现，或者借助两个相交平面，其各自面内有一直线，它们没有交点来衬托展现．无论是直线与直线、直线与平面、平面与平面中的哪种关系，在用图形表达时，均需借助一个或多个平面展现其相对位置关系．本节课的教学难点是：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的图形表达．四、教学过程设计（一）探究、归纳空间中直线与直线的位置关系问题1 空间中的基本要素有点、直线、平面，它们之间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点在直线上、点不在直线上；点与平面之间有点在面内、点不在面内等等．我们也知道在同一平面中，直线与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系．那么，在空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有哪些位置关系呢？我们可以借助长方体模型或者教室中的物体首先研究一下空间中直线与直线的位置关系有哪些？师生活动：教师展示三维的长方体图形，引导学生通过观察图形中具体的直线与直线间不同的位置关系，梳理归纳出直线之间的相交、平行、异面三种位置关系．设计意图：从现有的平面知识出发，引发空间中对象间的关系，然后具体到难度相对较低的直线与直线间的位置关系.方法主要是观察、归纳．问题2平面中直线与直线的平行关系与空间中直线间的平行关系意义一样吗？那么，相交关系呢？何用图形表示空间中直线之间的平行和相交呢？追问1：两直线异面，即两条直线不在任何一个平面内，又应该怎么用图形表示呢？师生活动：学生应该都能利用平行四边形以及平行四边形内部的线段来准确地画出空间中直线与直线的相交、平行关系，但是对于追问可能会有些难度．但至少可以想到用下图来表示．基本想法是两条直线中一条在面内，另一条一定不在面内，也就是说不能画在平行四边形内部．设计意图：让学生经历从已知到未知，从空间图到直观图的过程．可促进学生经历从特殊到一般的思维过程，体会正难则反的数学探究方法．追问2：既然异面直线是不在同一平面内的直线，能否通过绘制两个不同的平面，再在各自平面中绘制不相交的直线来展现异面直线呢？师生活动：教师提出问题，引导学生认知常见的展现异面直线的情形．通过讨论后，教师展示下图．设计意图：通过不同形式的展示，引导学生全面认识异面直线，其本质为两直线不相交、不平行．（二）探究、归纳空间中直线与平面之间的关系问题3 观察下图，直线AB与长方体的六个平面分别有几个交点，它们之间的位置关系又一样吗？再结合生活中的实例思考，空间中直线与平面有哪些位置关系？师生活动：教师提出问题，引导学生类比空间中直线与直线的位置关系，借助长方体模型或者生活中的实例，探究空间中直线与平面的交点，从而归纳出直线与平面间的位置关系．教师引导学生认识直线与平面相交和直线与平面平行均称直线在平面外．追问1：当直线与平面的交点个数为无数个，一个，零个的时候，我们分别称它们的位置关系为直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行，那么用直观图怎么表示这些位置关系呢？师生活动：直线在平面内时，可以通过在表示平面的平行四边形内画一条线段展现，上一环节中的探究和讨论已经基本可以绘制直线与平面相交的直观图．教师引导学生通过观察生活中直线与平面平行时给人的直观感受来绘制直线与平面平行的直观图，也就是通过直线与平行四边形中的一条边平行来展现．设计意图：教材直接给出了直线与平面的三种位置关系，略作说明地给出了三种位置关系的直观图．此环节可让让学生结合生活中的实例理解这样绘制图形的合理性．体会直线与平面位置关系的常用直观图表示．追问2：点、直线、平面均有对应的符号表示，那么它们之间的位置关系应该怎么用符号表示呢？师生活动：教师引导学生从集合的角度理解直线与平面，自然引出直线与平面相交的基本符号表示为a∩α=A；直线与平面平行的符号为a//α．设计意图：几何与代数是数学对象的两个方面，数形结合认识事物会更全面，学会用数学语言表达世界是数学中的一种基本素养．直线与平面位置关系的直观图表示更形象、更直观，但是符号表达会更简洁、更准确．（三）探究归纳空间中平面与平面的位置关系问题4 观察下图，平面ABCD与长方体的其他平面公共点的个数有什么不同，它们之间的位置关系又有什么不一样？再结合生活中的实例思考，空间中平面与平面有哪些位置关系？师生活动：教师引导学生逐个观察平面ABCD与其他五个平面的交点情况，也可引导学生实际观察教室内地面与四周墙面、天花板的交点情况．引导学生类比直线与直线的位置关系，得到直线与平面的位置关系有平行、相交两种情况．设计意图：与直线与平面之间位置关系的探究类似，通过实例观察抽象出平面与平面的交点情况，再通过类比这一推理方式，得到平面与平面之间的位置关系．这里体现是的对数学抽象和逻辑推理这些数学素养的提升．追问：如何用符号表达平面与平面之间的位置关系？教师引导学生类比直线与直线的平行，还有直线与平面平行的符号表示，来得到平面与平面相交、平行时的符号表示．设计意图：此处的设计与直线与平面之间位置关系的符号表示意图一致，均为加强学生的数形结合意识的培养和数学直观素养的提升．（四）直线、平面位置关系的应用问题5 观察下图长方体中直线与平面，尽可能多地分类举出空间直线、平面位置关系的例子，并用符号表示这些关系．师生活动：教师可让学生在白板上分类写出尽可能多的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其符号表示．设计意图：虽然学生通过观察，逐项探究得到不同对象间的位置关系，但是学生并未形成系统全面的认知，且不熟练．此环节的设置，一方面检测学生对空间中直线、平面位置关系的掌握情况；另一方面，借助长方体中的直线与平面关系的感知，增强学生的空间感．例1如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．例2 如图，直线与具有怎样的位置关系？为什么？师生活动：对于例题1，教师可以请一名学生上台板书，其余同学在台下书写，教师巡视查看学生书写的规范性与全面性．对于例题2，教师可让学生思考，异面直线的定义是对共面的全面否定，对它的证明，最好的方式是进行反正．假定两直线不是异面关系，则它们一定共面，利用已知的基本事实和正确的推理得到矛盾的结论，从而得到之前假设的错误．设计意图：继续强化直线、平面之间位置关系的判定与符号表示．引导学生体会证明两条直线异面时常用的一种逻辑——反证法，提升学生逻辑推理的数学素养．（五）归纳小结，布置作业1．教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面有哪些位置关系？（3）怎么用符号表示空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？（4）证明两直线异面时用了什么证明方法？设计意图：通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法．2．布置作业教科书第131页第1，2，3，4题，第132页第4题，第9题．五、目标检测设计1．如图所示，用符号语言可表达为( )．A．α∩β＝m，n？α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n？α，A？m，A？nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n设计意图：通过这个题目，检测学生对直线与平面位置关系的判断及其符号表示的掌握情况．2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以上几个结论中，正确结论的序号是( )．A．①②③B．②C．③D．②③设计意图：这个正方体还原后的图形如下图．检测学生在平面图形与空间图形之间的相互转换，提高其空间感，加强学生对直线与直线位置关系的判断，特别是异面直线的判断．3．已知：α∥β，a？α．求证：a∥β．证明：法一：∵α∥β，∴两个平面没有公共点，把平面和直线都看成点的集合，则有α∩β＝？，a？α，∴a∩β＝？，即直线a与平面β无公共点，依据直线和平面平行的定义可得a∥β．法二：假设a不平行于β，则①a∩β＝A，这时α与β有一个公共点A；②a？β，这时α与β有无数个公共点．①和②都与已知α∥β没有公共点矛盾，∴a∥β．设计意图：考查学生运用定理、公理等已知正确的结论，按照正确的推理格式进行推理论证的能力，特别是反证法的应用．。
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
直线CD与平面ABCD ——有无数个公共点； 直线AA1与平面ABCD ——有只且有一个公共点A； 直线D1C1与平面ABCD ——没有公共点．
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面的位置关系有且只有三种
直线在 平面外
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
XXX
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空 间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如 点在平面内，直线在平面内，两个平面相交， 等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位 置关系吗？
点线关系 线线关系 面面关系 点面关系 线面关系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与 直线之间有哪些不同的位置关系？
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
1.空间中直线与直线的位置关系
直线DC与AB在同一个平面ABCD内，它们 D1
没有公共点，它们是平行直线；
A1
直线DC与BC也是在同一个平面ABCD内， 它们只有一个公共点B，它们是相交直线；
CA
G DB
HE F
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
哪些线段所在直线是异面直线？
CA
C G
A
E G
DB HE
F
H D
BF
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系教学设计
1.4.1⽤空间向量研究直线、平⾯的位置关系教学设计教材分析本节课选⾃《普通⾼中课程标准数学教科书-选择性必修第⼀册》（⼈教A版）第⼀章《空间向量与⽴体⼏何》，本节课主要学习⽤向量语⾔描述直线、平⾯的垂直关系并且⽤向量⽅法证明垂直问题。
本节课的学习，可以培养学⽣提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平⾯化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能⼒。
⼆、教学⽬标1、能⽤向量语⾔表述直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯的垂直关系；2、能⽤向量⽅法证明必修内容中有关直线、平⾯垂直关系的判定定理；3、能⽤向量⽅法证明空间中直线、平⾯的垂直关系。
三、学科素养1.逻辑推理：⽤向量描述垂直关系；2.数学运算：向量的加减数乘、数量积运算；3.直观想象：直线、平⾯的垂直关系。
四、教学重难点1.教学重点：⽤向量语⾔表述直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯的垂直关系；2.教学难点：⽤向量⽅法证明空间中直线、平⾯的垂直关系。
五、教学准备多媒体 PPT教学过程（⼀）复习回顾，温故知新1. 回顾前⾯所学的怎么⽤⽤向量语⾔描述线线、线⾯、⾯⾯平⾏关系？学⽣回答：1）线线平⾏1. 线⾯平⾏1. ⾯⾯平⾏设计本环节意图：帮助学⽣通过复习所学的内容，巩固加深理解，并且通过类⽐上节所学内容，对本节所学内容起到⼀个承上启下的作⽤，从⽽帮助学⽣建⽴起学习数学的信⼼，激发学⽣的学习兴趣。
情景导学思考：类似空间中直线、平⾯平⾏的向量表⽰，在直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯垂直关系中，直线的⽅向向量、平⾯的法向量之间有什么关系？带着这个思考问题，⾃⾏阅读教材，类⽐平⾏的学习⽅法去想⼀下怎么⽤向量的⽅法去描述垂直问题。
（⼩组讨论）设计本环节意图： 抛出问题，让学⽣主动思考，⾃觉去阅读教材，主动积极去解决问题，从⽽提升学⽣的逻辑推理的学科素养⽔平。
学习新知通过阅读课本学习，相信同学们对怎么⽤向量来描述空间中的垂直关系已经有了⼀定的认识，那么，现在请同学们⼀起来探讨⼀下下⾯的三个思考。
空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
空间点、直线、平面之间的位置关系第2课时空间点、直线、平面之间的位置关系（一）教学内容空间中点、直线、平面之间的位置关系．（二）教学目标1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义．2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示．3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示．（三）教学重点与难点教学重点：空间直线、平面的位置关系．教学难点：会用三种语言（图形语言、文字语言、符号语言）描述空间直线、平面的位置关系及三种语言间的相互转化．（四）教学过程设计一、引入新课情境：在平面内，点与直线的位置关系有两种，即点在线上、点在线外；两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间，例如，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，过街天桥所在直线和马路所在直线，它们既不相交也不平行．黑板所在的平面与地面相交等．那么，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？这就是我们这节课所要学习的内容．设计意图：通过生活实例直观感知空间中直线的位置关系，类比平面中的点、直线的位置关系，提出问题，引发学生思考．二、课堂探究长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系．问题１：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面．12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图所示的长方体ABCD−A′B′C′D′，你能发现点与直线、点与平面之间的位置关系吗？答：以点A为例，点A在直线AB上，在直线A′B′外；即，空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外；点A在平面ABCD内，在平面A′B′C′D′外；即，空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外．问题2：观察长方体ABCD−A′B′C′D′，回答下列问题：（1）直线AB与直线DC是什么位置关系？（2）直线AB与直线BC是什么位置关系？（3）直线AB与直线CC′是什么位置关系？答：（1）直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线；（2）直线AB与BC也在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线；（3）直线AB与直线CC′不同在任何一个平面内，它们既不平行，也不相交．异面直线的概念：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．追问1：你还能找出与直线AB异面的其它直线吗？答：直线B′C′、直线A′D′、直线DD′．追问2：空间两条直线有几种位置关系呢？答：空间直线间的位置关系可分为共面直线和异面直线，其中共面直线又分为平行直线和相交直线．相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．注：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如下图所示．追问3：分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？答案：不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线，如图，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b=O，所以a与b不是异面直线．问题3：观察教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与地面的关系，再观察你手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系．你发现了什么？答：教室两墙面的交线与地面只有一个公共点，墙面和天花板的交线与地面没有公共点，手中的笔与作业本所在的平面可能没有公共点，也可能只有一个公共点，或者有无数个公共点．追问1：在空间中，直线与平面有哪几种位置关系呢？我们仍以长方体ABCD−A′B′C′D′为例进行探究，（1）直线AB与平面ABCD有几个公共点？（2）直线AA′与平面ABCD有几个公共点？（3）直线A′B′与平面ABCD有几个公共点？答：（1）直线AB与平面ABCD有无数个公共点；（2）直线AA′与平面ABCD只有一个公共点A；（3）直线A′B′与平面ABCD没有公共点．由此，我们可以根据直线与平面的公共点的个数得出直线与平面的位置关系：如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行；如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交；如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内．问题4：空间中，平面与平面有哪几种位置关系呢？探究：观察长方体ABCD−A′B′C′D′，它的上、下底面有没有公共点？下底面与平面BCC′B′有没有公共点？答：长方体的上、下底面无论怎样延展都没有公共点，而它的下底面与平面BCC′B′有一条公共直线BC．由此，我们得出两个平面之间的位置关系：如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交．三、知识应用例1用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来．解：在（1）中，α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B．在（2）中，α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩l=P，b∩l=P，a∩b=P．例2如图，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a．直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB与a是异面直线．理由如下：若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β．由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与平面β重合，从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾．所以直线AB与a是异面直线．判断异面直线的方法：1.利用异面直线的定义判断；2.与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．设计意图：通过例题，考查学生对空间中点、直线、平面的位置关系的理解，并锻炼学生三种语言的转化能力．四、课堂练习1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线没有公共点．()(2)没有公共点的两条直线是异面直线．()(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．()(4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线．()(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．()2.若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（）A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能3.若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行或异面参考答案：1.解：(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，没有公共点；正确；(2)没有公共点的两条直线的位置关系是平行或异面；错误；(3)有异面直线的定义可知，正确；(4)如图，a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b=O，所以a与b不是异面直线，错误；(5)如图，a与b是异面直线且a与c也是异面直线，但b//c．2.解：由符号语言知，M，N是直线l上的两点，且点M在平面α内，点N在平面α外，故l与α相交．故选C．3.解：长方体的上下底面平行；如图，直线a，b分别在上、下底面，a//b；直线a，c分别在上、下底面，a与c异面；分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面；故选C．五、归纳总结回顾本节课的内容，你都学到了什么？答：空间点、直线、平面之间的位置关系：点与直线的位置关系：点在线上、点在线外；点与平面的位置关系：点在面内、点在面外；直线与直线的位置关系：相交、平行、异面；直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行；平面与平面的位置关系：相交、平行．。
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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）理解并掌握异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授DD′∥AA′，
BB′与DD′平行吗？（平行）
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
数学符号语言表示：
共同讨论得出符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
相交：同一平面内，有且只有一个公共点
平行：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
例1：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?
1 2 3
4 5 6
2、平行公理：
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生观察长方体模型并思考：
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
例4：（1）如图，观察长方体ABCD-A′B′C′D′，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（3）通过本节课的学习，最大收获是什么？
五、布置作业：
A组：
1、（课本P51习题2.1A组第3题）（做在书上即可）
2、（课本P51习题2.1A组第4题）（做在书上即可）
3、（课本P51习题2.1A组第5题）（做在书上即可）
4、（1）分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_______。(相交，平行、异面)
(2)FO与BD所成的角？
解：(1)如图：∵CG∥BF，
∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又BEF中∠EBF =450，所以BE与CG所成的角为450
（2）连接FH，
∵HD∥EA∥FB∴HD∥FB∴四边形HFBD为平行四边形，
∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。
如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
结论：
① a＇与b＇所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，〕；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
公理4的作用：用于判断空间两条直线平行。
例2（课本P45例2）：如图，已知空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH是什么四边形，并证明你的结论。
证明：连结BD
∵E、H分别是AB、AD的中点
∴EH是△ABD的中位线
∴EH∥BD，且EH= BD
同理，FG∥BD，且FG= BD
（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
重点：
1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：
异面直线所成角的计算。
教学过程
一、复习回顾：
1、平面有哪些性质？（无限延展性）
（1）同一平面内的两条直线位置关系有哪些？（平行、相交）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面
3.已知a、b是异面直线，c∥a，那么c与b（C）
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
4、如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体
ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
∴EH∥FG，且EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形
探究：在例2中，若加上条件AC=BD，那么这
个四边形是什么四边形？（菱形）
例3：如右图：长方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是C′D′、 CC′的中点，那么A′E与BF的位置关系怎样？
3、等角定理：
平几中的等角定理在空间中结论是否依然成立？
（2）空间的两条直线有哪些位置关系呢？
二、创设情景、导入课题
通过身边诸多实物（如：正方体、正四面体（学生自已做的几何体等）），引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
三、师生互动、新课讲解
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，
又依题意知O为AH中点, ∴∠HFO=300即FO与BD所成的夹角是300
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例5（课本P47例3）如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′。
（1）哪些棱所在直线与直线B A′是异面直线？
（2）直线B A′与CC′的夹角是多少？
（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
课堂练习：（课本P48练习NO：1；2）
四、课堂小结，巩固反思：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
让学生观察、思考：
∠ADC与∠A′D′C′、∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
（∠ADC = ∠A＇D＇C＇，∠ADC + ∠A′B′C′ = 1800）
师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（2）不平行的两条直线的位置关系是_________（相交或异面）
（3）直线a和b是异面直线，直线c//a，那么b与c的位置关系是_____（相交或异面）
（4）两条直线没有公共点，它们的位置关系是______（平行或异面）
B组：
1、（课本P51习题2.1B组第1题）（做在书上即可）
2.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ D ）