第3章 三角函数,解三角形第1节

答案：(1)× (2)√
(3)√
(4)√
第二章
函数、导数及其应用
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2．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度 数是( π A．3 π C．－3 ) π B．6 π D．－6
解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A，B 1 1 不正确．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 6 .即为－ 6 ×2π π ＝－3.
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5．(2014· 河南开封模拟)已知α是第二象限角，P(x， 2 边上一点，且cos α＝ 4 x，则x＝( A． 3 C．－ 2 ) B．± 3 D．－ 3
5 )为其终
解析：依题意得cos α＝
2 x ＝ x<0，由此解得x＝－ 3. 2 4 x ＋5
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(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位 置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在O(0,0)，圆在x轴上沿正向滚 → 动．当圆滚动到圆心位于A(2,1)时，OP的坐标为________．
[答案] (2－sin 2,1－cos 2)
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2．已知角α终边上一点P，P到x轴的距离与到y轴的距离之比为 3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值．
|y| 3 解：设P(x，y)，则根据题意，可得|x|＝4， 又∵sin α<0， ∴α的终边只可能在第三、第四象限． ①若点P位于第三象限，可设P(－4k，－3k)(k>0)， 则r＝ x2＋y2＝5k， 4 x y 3 从而cos α＝ r＝－5，tan α＝x＝4， 7 ∴cos α＋2tan α＝10.
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热点破解通关预练
重点题型 破解策略
已知角α终边上一点P 的坐标，求三角函数 值
已知角α的终边所在的 直线方程，求三角函 数值 判断三角函数值的符 号问题
先求出点P到原点的距离r，然后利用三角 函数的定义求解；若含参数，需对参数进 行讨论
先设出终边上一点的坐标，求出此点到原 点的距离，然后利用三角函数的定义求解 相关的问题；若直线的倾斜角为特殊角， 也可直接写出角α的三角函数值 先判断角所在的象限，再根据各象限的符 号规律判断
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考点三 三角函数定义及三角函数线创新应用
[师说 ]任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义属于理解 内容．在高考中以选择题、填空题的形式出现 ，考查利用定义求三
角函数值或已知三角函数值求坐标等问题．
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︵
2，
2.
∴PC＝1－cos 2，OC＝2－sin 2. → 故OP＝(2－sin 2,1－cos 2)．
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[互动探究]
在本调研(2)中，若OP与圆相切时，点A的横坐标
1 为x0，求证：S△OPA＝2x.
[互动探究证明] 由于OB⊥AB，所以OB＝x0，又因为OP与圆 相切，所以OP＝x0， 1 1 在Rt△OPA中，S△OPA＝2OP· AP＝2x0.
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3 ．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终边 在( ) A．x轴上 C．直线y＝x上 B．y轴上 D．直线y＝－x上
解析：由余弦线的定义，可知α终边在x轴上．
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4．(2015· 沈阳模拟)已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限， 则在[0,2π]内α的取值范围是(
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π π 10π [解析] ①α＝60° ＝3，l＝10×3＝ 3 (cm)． ②由已知，得l＋2R＝20， 1 1 所以S＝2lR＝2(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2弧度． 2π ③设弓形面积为S弓．由题知l＝ 3 (cm)，
第三章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
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网控基础点 提炼命题源
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读读教材
1．弧度的定义和公式
(1) 定 义 ： 把 长 度 等 于 半 径 长 的 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 ________．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 |α|＝________(弧长用l表示) ①1°＝________rad， ②1 rad＝(________)° 弧长l＝________ S＝________＝________
1 2π 1 π 2π 2 S弓＝S扇形－S三角形＝2× 3 ×2－2×2 ×sin 3＝ 3 － 3(cm2)．
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[互动探究]
本调研第(1)问中的R＝10
cm改为扇形的弦AB＝
10 2 cm，其他条件不变，则扇形的弧长为多少？
[互动探究答案] 10 2π cm 3
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1．已知角α的终边上一点P的坐标为(－ 3，y)(y≠0)，且sin α＝ 1 1 2y，则cos α－tan α等于( 3 3 A． 2 或－ 2 3 C．－ 2 ) 3 B． 2 3 3 3 D． 2 或－ 2
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π 180 1 l (1)1弧度的角 (2)r ①180 ② π |α|· r 2lr
1 2 2|α|r
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2．任意角的三角函数
三角函数 定义 正弦 余弦 正切 ________叫做α的 正切，记作tan α
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
[调研3] cos α＝( 4 A.5 3 C．－5 )
(1)(2014· 全国大纲)已知角α的终边经过点(－4,3)，则
3 B．5 4 D．－5
[答案] D
[解析] 记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝ －42＋32 ＝
4 x －4 5，故cos α＝r＝ 5 ＝－5，故选D.
MP
OM
AT
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练练基础
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)已知2α的终边在x轴上方，则角α的终边在第一象限．(
(2)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60°.( (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( 限．( ) ) )
)
(4) 点 P(tan α ， cos α) 在 第 三 象 限 ， 则 角 α 终 边 在 第 二 象
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[解析] 如图，连接AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于点 C，B，过A作AD⊥PC于点D，由题意知BP 的长为2. ∵圆的半径为1， π ∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－2.
π ∴DP＝AP· sin2－2＝－cos π DA＝AP· cos2－2＝sin
________叫做α的正 ________叫做α的 弦，记作sin α 余弦，记作cos α
Ⅰ
各 象 限 符 号 Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
y x
y x ＋
＋ ＋
＋ －
－
－ －
＋ －
＋
－
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三角函数
正弦
余弦
正切
三角函 数线 有向线段 ________ 为正弦线 有向线段 ________ 为余弦线 有向线段 ________ 为正切线
考点二 扇形的面积公式与弧长公式
[调研2] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这 个扇形的面积最大？ π (3)若α＝3，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
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[答案] B
)
B．－1 D．－3
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π [解析] 由α＝2kπ－ 5 (k∈Z)，知α的终边在第四象限，又θ与α的 终边相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 因此y＝－1＋1－1＝－1. 故选B．
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自我感悟解题规律
终边相同的角的几点理解 1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终 边相同的角有无数个，它们之间相差360° 的整数倍． 2．角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴负半轴上 的角的集合可以表示为
3π xx＝2kπ＋ ，k∈Z 2 π xx＝2kπ－ ，k∈Z 2
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三角函数与圆的交汇问题
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[典例 ]
如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为
1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的
速度匀速向上移动，圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y
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已知扇形的面积为定值S，问圆心角α为多少时周长有最小值？
解：设半径为r，弧长为l. 1 由已知得2lr＝S， 2S 故周长y＝2r＋l＝2r＋ r ≥4 S，当且仅当r＝ S时等号成立， l 此时l＝2 S，圆心角α＝r＝2. 故圆心角α＝2时，周长有最小值为4 S.
，也可以表示为
.
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α 3．由α所在的象限，确定n所在象限的方法． α (1)由角α的范围，求出n所在的范围； α (2)通过分类讨论把角写成θ＋k· 360° (k∈Z)的形式，然后判断 n 所在象限．
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名师归纳类题练熟
弧度制应用的关注点 1 (1)弧度制下l＝|α|r，S＝ 2 lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l nπr nπr2 ＝ 180 ，扇形面积S＝ 360 ，此时n为角度，它们之间有着必然的联 系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时，要注意合理应用圆心角所 在的三角形．
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研细核心点 练透经典题
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考点一 终边相同角的表示
π [调研1] 已知角 α＝2kπ－ 5 (k∈Z)，若角θ与角α的终边相同， sin θ cos θ tan θ 则y＝|sin θ|＋|cos θ|＋|tan θ|的值为( A．1 C．3
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②若点P位于第四象限，可设P(4k，－3k)(k>0)， 则r＝ x2＋y2＝5k， 3 x 4 y 从而cos α＝ r＝5，tan α＝x＝－4， 7 ∴cos α＋2tan α＝－10. 7 综上所述，若点P位于第三象限，则cos α＋2tan α＝10； 7 若点P位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－10.
π π A．4，2 3π 5π C． 4 ， 4
)
5π B．π， 4 π π 5π D．4，2∪π， 4
解析：由sin α－cos α>0且tan α>0， 则sin α>cos α且tan α>0，
π π 5π α的取值范围是4，2∪π， 4 .
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解析：由已知得r＝|OP|＝ 3＋y2， y y ∴sin α＝2＝ . 3＋y2 ∴2＝ 3＋y2， ∴y2＝1，∴y＝± 1， 1 3 故sin α＝± 2，cos α＝－ 2 . 3 tan α＝± 3 . 1 3 3 3 则cos α－tan α＝ 2 或－ 2 . 故选D．
第二章